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Evoluzione di un pacchetto gaussiano
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Paolo Cavallo
Jun 13, 2013, 1:11:41 PM6/13/13
to
Salve a tutti,
mi domando se qualcuno potrebbe puntarmi nella direzione giusta. La
dispersione di un pacchetto d'onda gaussiano nel tempo è un fenomeno
irreversibile? Si associa a un aumento di entropia? Ho sempre pensato
che l'aspetto irreversibile dell'evoluzione della fdo fosse il collasso,
ma in questo caso non so cosa pensare.
Grazie,
Paolo
mi domando se qualcuno potrebbe puntarmi nella direzione giusta. La
dispersione di un pacchetto d'onda gaussiano nel tempo è un fenomeno
irreversibile? Si associa a un aumento di entropia? Ho sempre pensato
che l'aspetto irreversibile dell'evoluzione della fdo fosse il collasso,
ma in questo caso non so cosa pensare.
Grazie,
Paolo
Elio Fabri
Jun 14, 2013, 3:52:47 PM6/14/13
to
Paolo Cavallo ha scritt:
E' perfettamente reversibile.
Puoi benissimo costruire una f. d'onda che a un certo istante è molto
più sparpagliata, e nel tempo si contrae fino ad assumere la larghezza
minima richiesta dal pr. d'indet.
(Il trucco è che ci sarà una correlazione tra posizione e impulso.)
A tempi successivi si sparpaglia di nuovo: l'evoluzione è *simmetrica*
nel tempo attorno al punto di minima larghezza.
Potrei scriverti l'espressione analitica, se non fosse proibitiva da
scrivere in ASCII :-)
Ma anche senza calcoli e formule, può bastare il fatto che
l'evoluzione temporale è un operatore unitario, che è invertibile per
definizione.
--
Elio Fabri
> mi domando se qualcuno potrebbe puntarmi nella direzione giusta. La
> dispersione di un pacchetto d'onda gaussiano nel tempo è un fenomeno
> irreversibile? Si associa a un aumento di entropia?
Sicuramente no.
> dispersione di un pacchetto d'onda gaussiano nel tempo è un fenomeno
> irreversibile? Si associa a un aumento di entropia?
E' perfettamente reversibile.
Puoi benissimo costruire una f. d'onda che a un certo istante è molto
più sparpagliata, e nel tempo si contrae fino ad assumere la larghezza
minima richiesta dal pr. d'indet.
(Il trucco è che ci sarà una correlazione tra posizione e impulso.)
A tempi successivi si sparpaglia di nuovo: l'evoluzione è *simmetrica*
nel tempo attorno al punto di minima larghezza.
Potrei scriverti l'espressione analitica, se non fosse proibitiva da
scrivere in ASCII :-)
Ma anche senza calcoli e formule, può bastare il fatto che
l'evoluzione temporale è un operatore unitario, che è invertibile per
definizione.
--
Elio Fabri
Paolo Cavallo
Jun 15, 2013, 3:07:56 AM6/15/13
to
Elio Fabri ha scritto:
> E' perfettamente reversibile.
>...
Grazie, è quello che tornava anche a me, ma la domanda di uno studente
molto bravo mi ha messo in imbarazzo. Ha pensato che lo sparpagliamento
della funzione d'onda potesse essere analogo alla diffusione di un gas.
A me sono venute in mente soltanto ragioni matematiche per
controbattere. Mi rendo conto che non sono in grado di spiegare la
differenza fisica fra i due processi che portano la posizione probabile
di una particella a occupare, per così dire, volumi sempre più ampi.
Paolo
> E' perfettamente reversibile.
>...
> Ma anche senza calcoli e formule, può bastare il fatto che
> l'evoluzione temporale è un operatore unitario...
Grazie, è quello che tornava anche a me, ma la domanda di uno studente
molto bravo mi ha messo in imbarazzo. Ha pensato che lo sparpagliamento
della funzione d'onda potesse essere analogo alla diffusione di un gas.
A me sono venute in mente soltanto ragioni matematiche per
controbattere. Mi rendo conto che non sono in grado di spiegare la
differenza fisica fra i due processi che portano la posizione probabile
di una particella a occupare, per così dire, volumi sempre più ampi.
Paolo
Elio Fabri
Jun 19, 2013, 3:27:53 PM6/19/13
to
Paolo Cavallo ha scritto:
vorrei provare a spiegarli, anche se ci ho messo un po' :)
1. "La domanda di uno studente molto bravo".
Ecco il problema...
A parte che ormai non so se potrai raggiungerlo per dargli ulteriori
lumi, il problema è: per quanto sia bravo, che cosa *realmente* sa di
meccanica quantistica?
Sospetto poco, di necessità. E soprattutto temo che non abbia sentito
un punto essenziale: che cos'è uno *stato* in m.q.
Mi viene poi il dubbio che abbia acquisito una visione "epistemica"
della prob. quantistica, ossia che la veda come espressione di una
"insufficiente conoscenza" sullo stato del sistema.
Solo così potrei giustificare l'idea che l'allargamento di un
pacchetto implichi aumento di entropia.
(Però sulla questione entropia tornerò più avanti.)
2. In realtà se lo stato è rappresentato da un pacchetto, è comunque
esattamente determinato, la sua evoluzione è deterministica (anche
indietro nel tempo).
Lo stato resta determinato a ogni istante (evoluzione unitaria) anche
se sembra ci sia qualcosa di paradossale.
Vediamo di precisare.
Intanto, anche se tu non l'hai detto, io ho dato per scontato che
stiamo parlando di una particella libera.
Poi, che al tempo t=0 la sua f. d'onda sia una gaussiana (quindi reale).
Ci si domanda che cosa succede a t diversi.
Come ti ho già detto, l'espressione esatta a qualunque t si può
scrivere, ma non si può scrivere qui...
Mi limito quindi a descriverne alcune proprietà.
3. Intanto, per t=0 il pacchetto ha indet. minima:
Delta q * Delta p = hbar/2.
A tempi diversi, Delta q è maggiore, mentre Delta p non cambia (p è una
costante del moto).
Quindi Delta q * Delta p a ogni tempo, >0 o <0, è maggiore e aumenta
allontanandosi dal tempo 0.
Secondo: a ogni t (escluso t=0) la f. d'onda è *complessa*.
Questo è importante per due ragioni:
- Intanto perché il tuo studente molto bravo probab. non ha mai visto
o usato f. d'onda complesse, e quasi certamente non ha idea di quale
significato fisico ciò può avere.
Sarei pronto a scommettere che non vada al di là dell'interpr. di
|psi|^2 come densità di probabilità...
- Poi (connessa con la prima) il fatto che la psi sia complessa
si porta dietro una cosa che ho già citato: una *correlazione* fra le
due osservabili q e p.
E' questa correlazione che spiega in senso fisico come mai il
pacchetto si allarghi nonostante un'evoluzione unitaria.
Capisci bene che qui la padronanza di adeguati strumenti matematici
gioca un ruolo *essenziale*: senza la giusta matematica semplicemente
l'argomento *non può essere capito*, neppure nel contenuto fisico.
E' quello che intendo quando definisco la matematica "strumento di
pensiero" per la fisica.
4. Ora due parole sull'entropia.
Ovviamente non ha senso parlare di entropia per una sola particella.
Può trarre però in inganno l'interpretazione epistemica.
Si può credere che dare una f. d'onda in sostanza significhi dare un
*insieme statistico*, con tante particelle le cui posizioni si
distribuiscono secondo la densità di prob. data da |psi|^2.
Ma non è così: il carattere non deterministico dei risultati delle
misure emerge al contrario dalla ripetizione di un esperimento in cui
la particella viene messa *sempre nello stesso stato*, con la stessa
psi.
(E' qui il caso di ricordare che in m.q. *lo stato è la psi*, niente
di più e niente di meno.
Non c'è niente di più misleading, parlando di m.q., che dire che "non è
possibile determinare esattamente lo stato".
E' vero che non è possibile determinare esattamente una traiettoria, e
neppure i valori simultanei di q e di p a un certo istante, che
darebbero la completa specificazione dello stato secondo la m.
classica.
Ma appunto, la m.q. non è la m. classica: ha una diversa definizione
di stato e non bisogna confondere le acque...)
Quindi secondo la mecc. statistica quantistica l'insieme statistico di
cui stiamo parlando è quello che si chiama uno "stato puro", in cui
tutte le particelle dell'insieme occupano *lo stesso microstato*.
E questo rimane vero a ogni tempo: comunque tu voglia definire
un'entropia, essa non cambierà nel tempo.
Come giustamente dici, è l'operazione di misura che ha carattere
irreversibile: lo stato puro a causa della misura precipita in una
"miscela statistica", e questa ha realmente un'entropia maggiore.
Incidentalmente, ciò accade attraverso un'azione di "decoerenza",
ossia distruggendo i termini di correlazione.
Dopo una misura di posizione, i pacchetti tutti identici si sono
trasformati in una collezione di pacchetti più stretti (hai
determinato la posizione) ma *diversi*, e distribuiti con una densità
che coincide con l'originaria |psi|^2.
Forse (anzi, senza forse :) ) non è tutto quello che ci sarebbe da
dire, ma penso di averti dato materia per meditare :-)
In cambio, ti ringrazio, perché anche a me questa "semplice" domanda
ha richiesto un po' di lavoro e mi ha fatto riflettere meglio su cose
che pure sapevo :-)
--
Elio Fabri
> Grazie, è quello che tornava anche a me, ma la domanda di uno studente
> molto bravo mi ha messo in imbarazzo. Ha pensato che lo
> sparpagliamento della funzione d'onda potesse essere analogo alla
> diffusione di un gas.
> A me sono venute in mente soltanto ragioni matematiche per
> controbattere. Mi rendo conto che non sono in grado di spiegare la
> differenza fisica fra i due processi che portano la posizione
> probabile di una particella a occupare, per così dire, volumi sempre
> più ampi.
La tua replica mi ha dato da pensare, per parecchi motivi, e ora
> molto bravo mi ha messo in imbarazzo. Ha pensato che lo
> sparpagliamento della funzione d'onda potesse essere analogo alla
> diffusione di un gas.
> A me sono venute in mente soltanto ragioni matematiche per
> controbattere. Mi rendo conto che non sono in grado di spiegare la
> differenza fisica fra i due processi che portano la posizione
> probabile di una particella a occupare, per così dire, volumi sempre
> più ampi.
vorrei provare a spiegarli, anche se ci ho messo un po' :)
1. "La domanda di uno studente molto bravo".
Ecco il problema...
A parte che ormai non so se potrai raggiungerlo per dargli ulteriori
lumi, il problema è: per quanto sia bravo, che cosa *realmente* sa di
meccanica quantistica?
Sospetto poco, di necessità. E soprattutto temo che non abbia sentito
un punto essenziale: che cos'è uno *stato* in m.q.
Mi viene poi il dubbio che abbia acquisito una visione "epistemica"
della prob. quantistica, ossia che la veda come espressione di una
"insufficiente conoscenza" sullo stato del sistema.
Solo così potrei giustificare l'idea che l'allargamento di un
pacchetto implichi aumento di entropia.
(Però sulla questione entropia tornerò più avanti.)
2. In realtà se lo stato è rappresentato da un pacchetto, è comunque
esattamente determinato, la sua evoluzione è deterministica (anche
indietro nel tempo).
Lo stato resta determinato a ogni istante (evoluzione unitaria) anche
se sembra ci sia qualcosa di paradossale.
Vediamo di precisare.
Intanto, anche se tu non l'hai detto, io ho dato per scontato che
stiamo parlando di una particella libera.
Poi, che al tempo t=0 la sua f. d'onda sia una gaussiana (quindi reale).
Ci si domanda che cosa succede a t diversi.
Come ti ho già detto, l'espressione esatta a qualunque t si può
scrivere, ma non si può scrivere qui...
Mi limito quindi a descriverne alcune proprietà.
3. Intanto, per t=0 il pacchetto ha indet. minima:
Delta q * Delta p = hbar/2.
A tempi diversi, Delta q è maggiore, mentre Delta p non cambia (p è una
costante del moto).
Quindi Delta q * Delta p a ogni tempo, >0 o <0, è maggiore e aumenta
allontanandosi dal tempo 0.
Secondo: a ogni t (escluso t=0) la f. d'onda è *complessa*.
Questo è importante per due ragioni:
- Intanto perché il tuo studente molto bravo probab. non ha mai visto
o usato f. d'onda complesse, e quasi certamente non ha idea di quale
significato fisico ciò può avere.
Sarei pronto a scommettere che non vada al di là dell'interpr. di
|psi|^2 come densità di probabilità...
- Poi (connessa con la prima) il fatto che la psi sia complessa
si porta dietro una cosa che ho già citato: una *correlazione* fra le
due osservabili q e p.
E' questa correlazione che spiega in senso fisico come mai il
pacchetto si allarghi nonostante un'evoluzione unitaria.
Capisci bene che qui la padronanza di adeguati strumenti matematici
gioca un ruolo *essenziale*: senza la giusta matematica semplicemente
l'argomento *non può essere capito*, neppure nel contenuto fisico.
E' quello che intendo quando definisco la matematica "strumento di
pensiero" per la fisica.
4. Ora due parole sull'entropia.
Ovviamente non ha senso parlare di entropia per una sola particella.
Può trarre però in inganno l'interpretazione epistemica.
Si può credere che dare una f. d'onda in sostanza significhi dare un
*insieme statistico*, con tante particelle le cui posizioni si
distribuiscono secondo la densità di prob. data da |psi|^2.
Ma non è così: il carattere non deterministico dei risultati delle
misure emerge al contrario dalla ripetizione di un esperimento in cui
la particella viene messa *sempre nello stesso stato*, con la stessa
psi.
(E' qui il caso di ricordare che in m.q. *lo stato è la psi*, niente
di più e niente di meno.
Non c'è niente di più misleading, parlando di m.q., che dire che "non è
possibile determinare esattamente lo stato".
E' vero che non è possibile determinare esattamente una traiettoria, e
neppure i valori simultanei di q e di p a un certo istante, che
darebbero la completa specificazione dello stato secondo la m.
classica.
Ma appunto, la m.q. non è la m. classica: ha una diversa definizione
di stato e non bisogna confondere le acque...)
Quindi secondo la mecc. statistica quantistica l'insieme statistico di
cui stiamo parlando è quello che si chiama uno "stato puro", in cui
tutte le particelle dell'insieme occupano *lo stesso microstato*.
E questo rimane vero a ogni tempo: comunque tu voglia definire
un'entropia, essa non cambierà nel tempo.
Come giustamente dici, è l'operazione di misura che ha carattere
irreversibile: lo stato puro a causa della misura precipita in una
"miscela statistica", e questa ha realmente un'entropia maggiore.
Incidentalmente, ciò accade attraverso un'azione di "decoerenza",
ossia distruggendo i termini di correlazione.
Dopo una misura di posizione, i pacchetti tutti identici si sono
trasformati in una collezione di pacchetti più stretti (hai
determinato la posizione) ma *diversi*, e distribuiti con una densità
che coincide con l'originaria |psi|^2.
Forse (anzi, senza forse :) ) non è tutto quello che ci sarebbe da
dire, ma penso di averti dato materia per meditare :-)
In cambio, ti ringrazio, perché anche a me questa "semplice" domanda
ha richiesto un po' di lavoro e mi ha fatto riflettere meglio su cose
che pure sapevo :-)
--
Elio Fabri
Paolo Cavallo
Jun 20, 2013, 11:07:48 AM6/20/13
to
Grazie per la risposta approfondita e articolata. Intercalo qualche
commento.
Elio Fabri ha scritto:
giusto alla sua età saccheggia fonti di informazione di ogni tipo per
curiosità e impazienza. La mia difficoltà è proprio qui, naturalmente.
Correggere gli errori senza togliergli la voglia di porsi domande. In
fondo, se un ragazzo di 19 anni si chiede se lo sparpagliamento della
funzione d'onda fa aumentare l'entropia, io sono compiaciuto...
> Capisci bene che qui la padronanza di adeguati strumenti matematici
> gioca un ruolo *essenziale*: senza la giusta matematica semplicemente
> l'argomento *non può essere capito*, neppure nel contenuto fisico.
Sì, lo capisco. Mi piacerebbe che non fosse così. (Una volta lessi uno
scambio di battute fra Feynman e, credo, Gell-Mann, a proposito del
teorema spin-statistica, del fatto che si riuscisse a darne una
"spiegazione intuitiva", e di come questo secondo RF implicasse che non
lo capiamo davvero.)
> Ovviamente non ha senso parlare di entropia per una sola particella.
Era a questo punto che mi ero domandato se magari qualcuno si fosse mai
inventato un concetto molto tecnico di entropia applicabile direttamente
alla funzione d'onda. Con tutto il parlare che si fa negli ultimi anni
di informazione anche in fisica fondamentale...
> Dopo una misura di posizione, i pacchetti tutti identici si sono
> trasformati in una collezione di pacchetti più stretti
Ora stai parlando di un insieme statistico di particelle libere?
> ... penso di averti dato materia per meditare :-)
Certamente!
Grazie ancora,
Paolo
commento.
Elio Fabri ha scritto:
> 1. "La domanda di uno studente molto bravo".
> Ecco il problema...
In realtà non è neanche un mio studente, ma un diplomando che com'è
> Ecco il problema...
giusto alla sua età saccheggia fonti di informazione di ogni tipo per
curiosità e impazienza. La mia difficoltà è proprio qui, naturalmente.
Correggere gli errori senza togliergli la voglia di porsi domande. In
fondo, se un ragazzo di 19 anni si chiede se lo sparpagliamento della
funzione d'onda fa aumentare l'entropia, io sono compiaciuto...
> Capisci bene che qui la padronanza di adeguati strumenti matematici
> gioca un ruolo *essenziale*: senza la giusta matematica semplicemente
> l'argomento *non può essere capito*, neppure nel contenuto fisico.
scambio di battute fra Feynman e, credo, Gell-Mann, a proposito del
teorema spin-statistica, del fatto che si riuscisse a darne una
"spiegazione intuitiva", e di come questo secondo RF implicasse che non
lo capiamo davvero.)
> Ovviamente non ha senso parlare di entropia per una sola particella.
inventato un concetto molto tecnico di entropia applicabile direttamente
alla funzione d'onda. Con tutto il parlare che si fa negli ultimi anni
di informazione anche in fisica fondamentale...
> Dopo una misura di posizione, i pacchetti tutti identici si sono
> trasformati in una collezione di pacchetti più stretti
> ... penso di averti dato materia per meditare :-)
Certamente!
Grazie ancora,
Paolo
Giorgio Pastore
Jun 22, 2013, 5:08:11 PM6/22/13
to
On 6/20/13 5:07 PM, Paolo Cavallo wrote:
....
segnale dei disastri dovuti all' abuso del termine entropia. (Lo so che
sta diventando una specia di fissazione; ma quando alla comprensione di
un fenomeno si sostituisce l' uso di una "formula" mi sembra che c'e'
qualcosa che, come comunita' di fisici abbiamo sbagliato (e molto).
....
> Era a questo punto che mi ero domandato se magari qualcuno si fosse mai
> inventato un concetto molto tecnico di entropia applicabile direttamente
> alla funzione d'onda. Con tutto il parlare che si fa negli ultimi anni
> di informazione anche in fisica fondamentale...
In realta' (e questa e' l' uuale sorgente di confusione) qui di entropie
ce n'e' piu' di una:
- termodinamica: non c'entra niente proprio perche' stiamo parlado di
una sola particella e non c'e' nulla che assomigli ad uno stato
termodinamico di equilibrio;
- entropia della teoria dell' informazione: e' definita per qualsiasi
distribuzione di probabilita'.Una volta che la f.d'onda permette di
calcolare una distribuzione di probabilita', la si puo' dare. Nel caso
del pacchetto d'onda che si sparpaglia porterebbe ad un aumento della
entropia dell' informazione.
- entropia di von Neumann: e' definita come Tr(rho log rho) dove rho e'
la matrice densita' di un sistema quantistico. Per uno stato puro si
annulla. In generale misura la concentrazione dello stato quantistico su
pochi o molti autostati; Il Pacchetto d' onda, in quando sovrapposizione
di un insieme fissato di stati ha entropia di v. N. costante.
Quale esempio migliore (ma non s quanto comprensibile per uno studente
liceale, sia pur bravo) dei problemi causati dallao stesso von Neumann
con i suo suggerire lo stesso nome a cose diverse ?
Una volta chiarito che si tratta di concetti diversi, che rapresentano
diversi aspetti della fisica del sistema usando (purtroppo) lo stesso
nome, ci si puo' anche convivere. Megio di tutto arebbe ppiccicare
sempre all' "entropia" di cui si sta parlando anche il suo nome
qualificante (termodinamica, di Shannon, di von Neumann, di Tsallis, di
Renyi, di Kolmogorov, ...).
Giorgio
....
> Correggere gli errori senza togliergli la voglia di porsi domande. In
> fondo, se un ragazzo di 19 anni si chiede se lo sparpagliamento della
> funzione d'onda fa aumentare l'entropia, io sono compiaciuto...
Io, da un lato lo sarei, dall' altro lo prenderei con l' n+1-esimo
> fondo, se un ragazzo di 19 anni si chiede se lo sparpagliamento della
> funzione d'onda fa aumentare l'entropia, io sono compiaciuto...
segnale dei disastri dovuti all' abuso del termine entropia. (Lo so che
sta diventando una specia di fissazione; ma quando alla comprensione di
un fenomeno si sostituisce l' uso di una "formula" mi sembra che c'e'
qualcosa che, come comunita' di fisici abbiamo sbagliato (e molto).
....
> Era a questo punto che mi ero domandato se magari qualcuno si fosse mai
> inventato un concetto molto tecnico di entropia applicabile direttamente
> alla funzione d'onda. Con tutto il parlare che si fa negli ultimi anni
> di informazione anche in fisica fondamentale...
ce n'e' piu' di una:
- termodinamica: non c'entra niente proprio perche' stiamo parlado di
una sola particella e non c'e' nulla che assomigli ad uno stato
termodinamico di equilibrio;
- entropia della teoria dell' informazione: e' definita per qualsiasi
distribuzione di probabilita'.Una volta che la f.d'onda permette di
calcolare una distribuzione di probabilita', la si puo' dare. Nel caso
del pacchetto d'onda che si sparpaglia porterebbe ad un aumento della
entropia dell' informazione.
- entropia di von Neumann: e' definita come Tr(rho log rho) dove rho e'
la matrice densita' di un sistema quantistico. Per uno stato puro si
annulla. In generale misura la concentrazione dello stato quantistico su
pochi o molti autostati; Il Pacchetto d' onda, in quando sovrapposizione
di un insieme fissato di stati ha entropia di v. N. costante.
Quale esempio migliore (ma non s quanto comprensibile per uno studente
liceale, sia pur bravo) dei problemi causati dallao stesso von Neumann
con i suo suggerire lo stesso nome a cose diverse ?
Una volta chiarito che si tratta di concetti diversi, che rapresentano
diversi aspetti della fisica del sistema usando (purtroppo) lo stesso
nome, ci si puo' anche convivere. Megio di tutto arebbe ppiccicare
sempre all' "entropia" di cui si sta parlando anche il suo nome
qualificante (termodinamica, di Shannon, di von Neumann, di Tsallis, di
Renyi, di Kolmogorov, ...).
Giorgio
Giorgio Pastore
Jun 24, 2013, 1:06:00 AM6/24/13
to
On 6/22/13 11:08 PM, Giorgio Pastore wrote:
...
>
> - entropia di von Neumann: e' definita come Tr(rho log rho)...
Rileggendo mi accorgo di essere stato troppo sintetico :-(
Per evitare equivoci: anche quella di v.N. e' di fatto un' "entropia
dell' informazione". Solo che misura l' incertezza relativa ad eventi
diversi rispetto a quelli misurati dalla |psi^2|.
Giorgio
...
> - entropia della teoria dell' informazione: e' definita per qualsiasi
> distribuzione di probabilita'.....
>
> - entropia di von Neumann: e' definita come Tr(rho log rho)...
Rileggendo mi accorgo di essere stato troppo sintetico :-(
Per evitare equivoci: anche quella di v.N. e' di fatto un' "entropia
dell' informazione". Solo che misura l' incertezza relativa ad eventi
diversi rispetto a quelli misurati dalla |psi^2|.
Giorgio
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