Conjecture (?)
Denis Leger
je me pose le problème suivant :
Soit E le carré [0,1]x[0,1].
On considère deux courbes paramétrées continues t -> f(t) et t -> g(t), à
supports inclus dans E.
On suppose de plus que
f(0) = (0,1), f(1) = (1,0)
g(0) = (0,0), g(1) = (1,1)
Montrer que les deux courbes se coupent (faire un dessin pour voir...).
Merci d'avance à toute personne ayant une idée.
Denis
Julien SALGADO
>je me pose le problème suivant :
>Soit E le carré [0,1]x[0,1].
>On considère deux courbes paramétrées continues t -> f(t) et t -> g(t), à
>supports inclus dans E.
>On suppose de plus que
>f(0) = (0,1), f(1) = (1,0)
>g(0) = (0,0), g(1) = (1,1)
>Montrer que les deux courbes se coupent (faire un dessin pour voir...).
Oh, les bon souvenirs! J'avais réussi à prouver ce résultat en utilisant de
la topo (niveau prepa, puisqu'à l'époque j'y étais):
- Éliminer tous les cas où les courbes coïncident avec les segments...
- Montrer que une courbes sépare deux ouverts du carré (la surface).
- Se rappeler que le carré est connexe et conclure (par l'absurde)
C'est le deuxième point qui est le moins simple, et je ne vois pas trop
comment le refaire... maintenant que je fais de la physique, certains
automatismes ont disparus ;-)
Je sais qu'il existe aussi une façon de le montrer de le montrer de façon
constructive, mais...
--
Julien
David Madore
Denis Leger <denis...@enst-bretagne.fr> wrote:
>Soit E le carré [0,1]x[0,1].
>
>On considère deux courbes paramétrées continues t -> f(t) et t -> g(t), à
>supports inclus dans E.
>
>On suppose de plus que
>f(0) = (0,1), f(1) = (1,0)
>g(0) = (0,0), g(1) = (1,1)
>
>Montrer que les deux courbes se coupent (faire un dessin pour voir...).
Supposons par l'absurde que f(u)!=g(v) pour tous u,v. Alors on peut
considerer la fonction (u,v)->(g(v)-f(u))/|g(v)-f(u)| qui à un couple
(u,v) associe le vecteur unitaire de même direction et de même sens
que le vecteur reliant f(u) à g(v). Ceci définit une fonction
continue du carré [0;1]*[0;1] vers le cercle unité. Puisque le carré
en question est simplement connexe, on peut trouver un relèvement de
cette fonction, e^(ih(u,v)). Quitte à changer h par une constante, on
peut supposer h(0,0)=-pi/2 (avec les valeurs que vous donnez plus
haut). Lorsque u varie de 0 a 1, v restant egal a 0, f(u) passe de
(0,1) a (1,0) en restant dans le carre, donc h(u,0) passe de -pi/2 a
-pi en restant compris entre ces deux valeurs. Ainsi, h(1,0)=-pi. De
meme, on voit ensuite que h(1,1)=-3pi/2, h(0,1)=-2pi et h(0,0)=-5pi/2.
Or on avait pris h(0,0)=-pi/2. Contradiction.
(Evidemment, si fait un petit trou dans le carre, il cesse d'être
simplement connexe, et le relèvement n'existe plus necessairement.
Effectivement, le résultat n'est plus vrai. On peut toujours prendre
h a valeurs dans R/2piZ, mais alors on a bien -5pi/2=-pi/2 et il n'y a
pas de contradiction.)
Ceci montre qu'on ne peut pas partitionner le carre en deux parties
connexes par arcs de sorte que (0,0) et (1,1) soient dans l'une et
(0,1) et (1,0) dans l'autre. Avec ``connexes'' à la place de
``connexes par arcs'', c'est possible, cependant.
--
David A. Madore
(david....@ens.fr,
http://www.eleves.ens.fr:8080/home/madore/)
Denis Leger
>In article <35e6aef0.13349032@news>,
>Denis Leger <denis...@enst-bretagne.fr> wrote:
>>Soit E le carré [0,1]x[0,1].
>>
>>On considère deux courbes paramétrées continues t -> f(t) et t -> g(t), à
>>supports inclus dans E.
>>
>>On suppose de plus que
>>f(0) = (0,1), f(1) = (1,0)
>>g(0) = (0,0), g(1) = (1,1)
>>
>>Montrer que les deux courbes se coupent (faire un dessin pour voir...).
>
>Supposons par l'absurde que f(u)!=g(v) pour tous u,v. Alors on peut
>considerer la fonction (u,v)->(g(v)-f(u))/|g(v)-f(u)| qui à un couple
>(u,v) associe le vecteur unitaire de même direction et de même sens
>que le vecteur reliant f(u) à g(v). Ceci définit une fonction
>continue du carré [0;1]*[0;1] vers le cercle unité. Puisque le carré
>en question est simplement connexe, on peut trouver un relèvement de
>cette fonction, e^(ih(u,v)).
>Quitte à changer h par une constante, on
>peut supposer h(0,0)=-pi/2 (avec les valeurs que vous donnez plus
>haut). Lorsque u varie de 0 a 1, v restant egal a 0, f(u) passe de
>(0,1) a (1,0) en restant dans le carre, donc h(u,0) passe de -pi/2 a
>-pi en restant compris entre ces deux valeurs. Ainsi, h(1,0)=-pi. De
>meme, on voit ensuite que h(1,1)=-3pi/2, h(0,1)=-2pi et h(0,0)=-5pi/2.
>Or on avait pris h(0,0)=-pi/2. Contradiction.
Superbe démonstration ! Je me doutais que c'était un problème de connexité, mais
je ne voyais pas comment la faire intervenir. Bravo.
Une question quand même : est-il possible de faire la même chose avec uniquement
de la topologie de prépa ? On ne dispose pas alors de théorème de relèvement, ni
de notion de simple connexité.
Denis
David Madore
Maillot (Exercices de mathematiques pour l'Agregation), qui me semble
de niveau prepa (je ne l'ai que tres rapidement survolee). Puisqu'on
a un des auteurs en question dans ce ng, peut-etre peut-il en dire
plus.
Antoine Chambert-Loir
>Il y a une demonstration differente dans le Chambert-Loir, Fermigier &
>Maillot (Exercices de mathematiques pour l'Agregation), qui me semble
>de niveau prepa (je ne l'ai que tres rapidement survolee).
Oui, mais elle utilise 2 autres exercices et notamment
une version du théorème de Jordan pour les lignes polygonale
(l'indice d'un point par rapport à un lacet admet une description
combinatoire).
Mais la première me paraissait de niveau prépa, le théorème
de relèvement étant "facile" à démontrer sur une partie étoilée
du plan.
Antoine Chambert-Loir
--
Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Pierre et Marie Curie
Boite 247, 4 place Jussieu, F-75252 Paris Cedex 05
Tel: 01 44 27 72 83 Fax: 01 44 27 48 44
http://www.math.jussieu.fr/~chambert
--
Antoine