Resolution de x^x=cst
Haypo
Je cherche depuis longtemps (j'ai commencé à penser à ça voilà 6 mois) la
solution de l'équation x^x = a = une constante ( > 1, a=3 par exemple).
Je sais que x^x = exp(x*ln(x)), on peut donc se ramener à résoudre :
x*ln(x)=ln(a) ... ce qui ne m'avance pas.
Le résultat n'a pas besoin d'être super précis, un résultat dit "approché" peut
convenir.
@+ Haypo
PS: Je cherche une méthode pas un résultat (x^x=3 -> x=~1.83)
--
Message posté via le web sur http://www.foorum.fr/
Pierre
> solution de l'équation x^x = a = une constante ( > 1, a=3 par exemple).
> Je sais que x^x = exp(x*ln(x)), on peut donc se ramener à résoudre :
> x*ln(x)=ln(a) ... ce qui ne m'avance pas.
Je pense qu'il faut isoler x d'un côté de l'équation :
x = ln(a) / ln (x) (1)
Ou bien
x = exp (ln(a) / x) (2)
Une des deux fonctions a une pente plus petite que 1 (en valeur absolue) au
voisinage de a puisque (1) et (2) sont deux fonctions inverses. Il suffit
donc de l'utiliser pour faire un calcul par itérations.
Pour a = 3 la fonction (2) donne x = 1,82545502292483
Pour a = 100 fonction (1) donne x = 3,59728502354042
Je ne sais pas si c'est tout juste, et si cela répond à ta question ...
--
Amicalement, Pierre
Xavier Caruso
>
> Je cherche depuis longtemps (j'ai commencé à penser à ça voilà 6 mois) la
> solution de l'équation x^x = a = une constante ( > 1, a=3 par exemple).
> Je sais que x^x = exp(x*ln(x)), on peut donc se ramener à résoudre :
> x*ln(x)=ln(a) ... ce qui ne m'avance pas.
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> solve(x^x=a,x);
bytes used=1000112, alloc=786288, time=0.10
ln(a)
---------------
LambertW(ln(a))
J'ai posté il y a quelque temps sur ce newsgroup, l'aide que Maple donne
pour la fonction LambertW, je ne vais donc peut-être pas le refaire.
Enfin tout ça pour dire qu'il n'y a pas de solution exprimable avec
seulement les fonctions classiques (ie en gros exp et ln)...
> Le résultat n'a pas besoin d'être super précis, un résultat dit
> "approché" peut convenir.
Si tu veux juste un algorithme, essaie d'appliquer celui de Newton qui
doit marcher vachement bien pour ce genre de fonctions.
Eric Schneider
"Haypo" <haypo.n...@ifrance.com> a écrit dans le message news:
2001111-33...@foorum.com...
Raibaut
> solution de l'équation x^x = a = une constante ( > 1, a=3 par exemple).
> Je sais que x^x = exp(x*ln(x)), on peut donc se ramener à résoudre :
> x*ln(x)=ln(a) ... ce qui ne m'avance pas.
>
> Le résultat n'a pas besoin d'être super précis, un résultat dit "approché"
peut
> convenir.
>
> @+ Haypo
>
> PS: Je cherche une méthode pas un résultat (x^x=3 -> x=~1.83)
>
devrait couler tout seul
f'(x)=ln(x)+1
sur [1/e,+infini[ f s'annule car elle est continue negative et positive et
il ya meme une unnique solution
maintenant avec un coup de dichotomie tu approches ta solution aussi pres
que tu veux .
@+Michel