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Apics Competetios (2011) - Cuadriláteros

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viterick

unread,
Jan 16, 2012, 12:21:19 PM1/16/12
to
Dado un cuadrilátero convexo ABCD:

a) Muestre que siempre existen puntos W, X, Y, Z tal que la Z es punto
medio de AW, W es punto medio de BX, X es punto medio de CY, Y es
punto medio de DZ

b) Muestre que Área (ABW) + Área (CDY) = Área (BCX) + Área
(DAZ).

viterick

unread,
Jan 16, 2012, 12:34:01 PM1/16/12
to

Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
Jan 16, 2012, 12:58:23 PM1/16/12
to
viterick wrote:
> Dado un cuadrilátero convexo ABCD:
>
> a) Muestre que siempre existen puntos W, X, Y, Z tal que la Z es punto
> medio de AW, W es punto medio de BX, X es punto medio de CY, Y es
> punto medio de DZ


Utilizando números compejos es inmediato. Llamando con la misma letra, pero minúscula, al complejo que corresponde a cada afijo, tenemos un sistema lineal de 4 ecuaqciiones con 4 incógnitas:

z = (a + w)/2
w = (b + x)/2
x = (c + y)/2
y = (d + z)/2 ===>

w = (a + 8b + 4c + 2d)/15
x = (2a + b + 8c + 4d)/15
y = (4a + 2b + c + 8d)/15
z = (8a + 4b + 2c + d)/15


> b) Muestre que Área (ABW) + Área (CDY) = Área (BCX) + Área
> (DAZ).

Esto más tarde ...

--
Saludos,

Ignacio Larrosa Cañestro
A Coruña (España)
ilar...@mundo-r.com
http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/

Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
Jan 16, 2012, 1:56:12 PM1/16/12
to
Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> viterick wrote:
>> Dado un cuadrilátero convexo ABCD:
>>
>> a) Muestre que siempre existen puntos W, X, Y, Z tal que la Z es
>> punto medio de AW, W es punto medio de BX, X es punto medio de CY,
>> Y es punto medio de DZ
>
>
> Utilizando números compejos es inmediato. Llamando con la misma
> letra, pero minúscula, al complejo que corresponde a cada afijo,
> tenemos un sistema lineal de 4 ecuaqciiones con 4 incógnitas:
>
> z = (a + w)/2
> w = (b + x)/2
> x = (c + y)/2
> y = (d + z)/2 ===>
>
> w = (a + 8b + 4c + 2d)/15
> x = (2a + b + 8c + 4d)/15
> y = (4a + 2b + c + 8d)/15
> z = (8a + 4b + 2c + d)/15
>
>
>> b) Muestre que Área (ABW) + Área (CDY) = Área (BCX) + Área
>> (DAZ).
>
> Esto más tarde ...

De momento solo un applet:

http://www.xente.mundo-r.com/ilarrosa/GeoGebra/APIC2011_Cuadrilateros.html

Y la observación de que la suma de las áreas de cada par de triángulos opuestos es 2/5 de la del cuadrilátero de partida, y como consecuencia, la del cuadrilátero central es 1/5.

Y el resultado se mantiene aunque ABCD no sea convexo, con tal de que WXYZ esté totalmente en su interior. Supongo que si no está totalmente en el interior, con una interpretación adecuada de las áreas también se cumplirá.

Me da la impresión de que hallando las áreas con geometría analítica, debe ser muy sencillo, pero estoy de momento en una demostración sintética.

Ignacio Larrosa Cañestro

unread,
Apr 4, 2017, 1:35:27 PM4/4/17
to
El lunes, 16 de enero de 2012, 19:56:12 (UTC+1), Ignacio Larrosa Cañestro escribió:
> Ignacio Larrosa Cañestro wrote:
> > viterick wrote:
> >> Dado un cuadrilátero convexo ABCD:
> >>
> >> a) Muestre que siempre existen puntos W, X, Y, Z tal que la Z es
> >> punto medio de AW, W es punto medio de BX, X es punto medio de CY,
> >> Y es punto medio de DZ
> >
> >
> > Utilizando números compejos es inmediato. Llamando con la misma
> > letra, pero minúscula, al complejo que corresponde a cada afijo,
> > tenemos un sistema lineal de 4 ecuaqciiones con 4 incógnitas:
> >
> > z = (a + w)/2
> > w = (b + x)/2
> > x = (c + y)/2
> > y = (d + z)/2 ===>
> >
> > w = (a + 8b + 4c + 2d)/15
> > x = (2a + b + 8c + 4d)/15
> > y = (4a + 2b + c + 8d)/15
> > z = (8a + 4b + 2c + d)/15
> >
> >
> >> b) Muestre que Área (ABW) + Área (CDY) = Área (BCX) + Área
> >> (DAZ).
> >
> > Esto más tarde ...
>

Applet renovado: https://goo.gl/pKBh5G


> Y la observación de que la suma de las áreas de cada par de triángulos opuestos es 2/5 de la del cuadrilátero de partida, y como consecuencia, la del cuadrilátero central es 1/5.
>
> Y el resultado se mantiene aunque ABCD no sea convexo, con tal de que WXYZ esté totalmente en su interior. Supongo que si no está totalmente en el interior, con una interpretación adecuada de las áreas también se cumplirá.
>
> Me da la impresión de que hallando las áreas con geometría analítica, debe ser muy sencillo, pero estoy de momento en una demostración sintética.


En realidad es muy sencillo, basta triángular por completo los ocho puntos. El cuadrilátero WXYZ se puede hacer de dos formas, en dos triángulos de área p y q o r y s, pero p + q = r + s.

Como los triángulos inferior y superior se descomponen cada uno en dos triángulos como los centrales, tienen áreas 2p y 2q, mientras que los situados a izquierda y derecha tienen áreas 2r y 2s. Todo ello debido a que tienen bases y alturas iguales.

Por tanto, si es (ABCD) = T, se tiene que

3(p + q) + 2(r + s) = 2(r + s) + 3(p + q) = 5(p + q) = 5(r + s) = T

(WXYZ) = 1/5 T
(ABW) + (CDY) = (BCX) + (DAZ) = 2/5 T




Saludos cinco años después ...

viterick

unread,
Apr 6, 2017, 9:17:27 PM4/6/17
to
Y 5 años después: Gracias Ignacio.

Saludos

Viterick
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