[Physik-FAQ][2001-08] (V 8; R 0; 2001-08-05)
Dierck Hillmann
> 1.7 Was ist ein Vektor?
> ----------------------------------------------------------------
>
> Ein Vektorraum ist ein Tripel " ( K , V , * ) " aus einer
> abelschen Gruppe " V ", einem Körper " K " und dem Produkt " *
> ", mit " * : K x V -> V ", so daß die Abbildung " * " mit den
> Operationen und neutralen Elementen von " K " und " V "
> verträglich ist. Die Elemente der Basismenge der abelschen
> Gruppe " V " nennt man "Vektoren".
Die meisten Leute, die nicht wissen, was ein Vektor ist, hören
schätzungsweise bereits vor Ende dieses Absatzes auf zu lesen, weil sie
es nicht verstehen.
> Ein Vektor wird in der Physik aber auch oft nach der Regel "Ein
> Vektor ist ein Vektor, der sich wie ein Vektor transformiert"
> definiert.
Das ist eine sehr seltsame Definition, es ist IMHO zumindest etwas
schöner/besser, wenn man das 2. "Vektor" durch n-Tupel oder auch Tripel
ersetzt.
Tschüß
Dierck
Wolfgang Salchow
Dierck Hillmann schrieb:
> Hallo!
>
> > 1.7 Was ist ein Vektor?
> > ----------------------------------------------------------------
> >
> > Ein Vektorraum ist ein Tripel " ( K , V , * ) " aus einer
> > abelschen Gruppe " V ", einem Körper " K " und dem Produkt " *
> > ", mit " * : K x V -> V ", so daß die Abbildung " * " mit den
> > Operationen und neutralen Elementen von " K " und " V "
> > verträglich ist. Die Elemente der Basismenge der abelschen
> > Gruppe " V " nennt man "Vektoren".
>
> Die meisten Leute, die nicht wissen, was ein Vektor ist, hören
> schätzungsweise bereits vor Ende dieses Absatzes auf zu lesen, weil sie
> es nicht verstehen.
>
Das kann ich bestätigen.
Noch schlimmer ist aber ,das ich bis zu dem Versuch diesen
Absatz zu verstehen, immer glaubte ich wüßte was ein
Vektor ist.
Gruß,
Wolfgang
Thomas Müller
Dierck Hillmann schrieb:
> Hallo!
>
> > 1.7 Was ist ein Vektor?
> > ----------------------------------------------------------------
> >
> > Ein Vektorraum ist ein Tripel " ( K , V , * ) " aus einer
> > abelschen Gruppe " V ", einem Körper " K " und dem Produkt " *
> > ", mit " * : K x V -> V ", so daß die Abbildung " * " mit den
> > Operationen und neutralen Elementen von " K " und " V "
> > verträglich ist. Die Elemente der Basismenge der abelschen
> > Gruppe " V " nennt man "Vektoren".
>
> Die meisten Leute, die nicht wissen, was ein Vektor ist, hören
> schätzungsweise bereits vor Ende dieses Absatzes auf zu lesen, weil sie
> es nicht verstehen.
>
Ist es bösartig, wenn ich jetzt vorsichtig unterstelle, dass Anette genau
das damit erreichen wollte?
MfG Thomas
Harry Schmidt
> ----------------------------------------------------------------
>
> Ein Vektorraum ist ein Tripel " ( K , V , * ) " aus einer
> abelschen Gruppe " V ", einem Körper " K " und dem Produkt " *
> ", mit " * : K x V -> V ", so daß die Abbildung " * " mit den
> Operationen und neutralen Elementen von " K " und " V "
> verträglich ist. Die Elemente der Basismenge der abelschen
> Gruppe " V " nennt man "Vektoren".
Warum denn ausgerechnet "Tripel"? In der RT hat man 4-Tupel als
Vektoren, allgemein müßte man von n-Tupeln reden.
Ich würde Vektor allerings anders definieren, nämlich über die
Vektorraumaxiome (ein Vektor ist ein Element eines Vektorraumes mit den
bekannten Axiomen), dann braucht man den Begriff n-Tupel (also die
Definition über Koordinaten) gar nicht und kann später auf Darstellungen
und Entwicklung nach einer Basis eingehen (was Du dann ja später auch
machst).
> Eine Bedeutung in der elementaren Schulphysik ist "Ein Vektor
> ist eine Größe (ein Pfeil) mit Betrag und Richtung". Da eine
> Zahl keine Richtung hat, sieht man sie auch nicht als Vektor an,
> obwohl sie mathematisch gesehen ein Vektor sein kann.
Vielleicht sollte man das an den Anfang des Abschnitts stellen.
> Ein Vektor wird in der Physik aber auch oft nach der Regel "Ein
> Vektor ist ein Vektor, der sich wie ein Vektor transformiert"
> definiert.
Das klingt doch ziemlich esoterisch.
> In diesem Fall ist mit "Vektor" oft ein "Vektorfeld" gemeint.
Jetzt wird's schon etwas besser... Vermutlich sollte man noch erklären,
was "transformieren" bedeutet.
Vielleicht sollte man noch auf die ket- und bra-Vektoren im Hilbertraum
hinweisen, das würde vielleicht einige Postings über Quantenmechanik
vereinfachen und einfacher verständlich machen.
Grüße, Harry
----------------------------------------------------------
"You may say I'm a dreamer."
Harry Schmidt
har...@studserv.uni-stuttgart.de
Roland Franzius
Anette Stegmann schrieb:
> {2001-08-06 00:51} "Thomas Müller" (news...@shadowpage.de):
>
> >> Die meisten Leute, die nicht wissen, was ein Vektor ist,
> >> hören schätzungsweise bereits vor Ende dieses Absatzes auf
> >> zu lesen, weil sie es nicht verstehen.
> >Ist es bösartig, wenn ich jetzt vorsichtig unterstelle, dass
> >Anette genau das damit erreichen wollte?
>
> Das ist eine interessante Idee. Ich habe das jetzt etwas
> umgeordnet und die ersten beiden Absätze vertauscht. Dann ist es
> nicht mehr so abschreckend und man wird auf die mathematische
> Definition hingeleitet.
>
> |
> |1.7 Was ist ein Vektor?
> |
> |Eine Bedeutung in der elementaren Schulphysik ist "Ein Vektor
> |ist eine Größe (ein Pfeil) mit Betrag und Richtung". Da eine
> |Zahl keine Richtung hat, sieht man sie auch nicht als Vektor
> |an, obwohl sie - mathematisch gesehen - ein Vektor sein kann.
> |Um das zu verstehen, geben wir die allgemeine mathematische
> |Definition wieder:
> |
> |Ein Vektorraum ist ein -->Tripel " ( K , V , * ) " aus einer
> |-->abelschen -->Gruppe " V ", einem -->Körper " K " und dem
> -->Produkt "
> |* ", mit " * : K x V -> V ", so daß die -->Abbildung " * " mit
> |den -->Operationen und -->neutralen -->Elementen von " K " und " V "
> |-->verträglich ist. Die -->Elemente der -->Basismenge der abelschen
> |Gruppe " V " nennt man "Vektoren".
> |
> |[u.s.w]
>
Wenn du, wie oben gezeigt, an jedem Wort nach Brockhausmanier in diesem
Satz ein Link auf die Definition setzst, besteht der Satz nur aus
unaufgelösten Links und ist damit wertlos.
--
Roland Franzius
Georg Scherer
"Harry Schmidt" <har...@studserv.uni-stuttgart.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3B6E428F...@studserv.uni-stuttgart.de...
> > 1.7 Was ist ein Vektor?
> > ----------------------------------------------------------------
> >
> > Ein Vektorraum ist ein Tripel " ( K , V , * ) " aus einer
> > abelschen Gruppe " V ", einem Körper " K " und dem Produkt " *
> > ", mit " * : K x V -> V ", so daß die Abbildung " * " mit den
> > Operationen und neutralen Elementen von " K " und " V "
> > verträglich ist. Die Elemente der Basismenge der abelschen
> > Gruppe " V " nennt man "Vektoren".
>
> Warum denn ausgerechnet "Tripel"?
K und V und * gibt zusammen 3 mathematische Objekte, deswegen Tripel.
Die Dimensonalität des Vektorraumes kommt viel, viel später.
Harry Schmidt
>
> K und V und * gibt zusammen 3 mathematische Objekte, deswegen Tripel.
> Die Dimensonalität des Vektorraumes kommt viel, viel später.
Hoppla, mal wieder geschrieben ohne drüber nachzudenken...
Ich nehme (fast) alles zurück und behaupte das Gegenteil ;-)
Gruß, Harry
Harald Anlauf
Hilfe!
Warum sagt niemand einfach und direkt, daß man zwei Vektoren addieren
kann (daher abelsche Gruppe), und daß "*" einfach die Multiplikation
mit einem Skalar (einer Zahl aus K) ist, man also den Vektor strecken
oder stauchen kann? Und daß Assoziativ- und Distributivgesetze
gelten?
Ohne Anette auf die Füße treten zu wollen: ich selbst kenne die
Definition eines VR mit einer geringfügig anderen Formulierung: Tripel
(V, +, *), wobei auf der Menge V zwei Operationen + und * definiert
sind, ..., (V, +) ist abelsche Gruppe, ..., blablabla. Finde ich
marginal verständlicher und nicht weniger korrekt.
--
Ciao,
-ha
Dierck Hillmann
> "Harry Schmidt" <har...@studserv.uni-stuttgart.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:3B6E428F...@studserv.uni-stuttgart.de...
>> Warum denn ausgerechnet "Tripel"?
Gibt es einen guten Grund, dass das hierzu gehörende Ausgangsposting bei
mir _nicht_ sichtbar/lesbar/erschienen ist???
Tschüß
Dierck
Harry Schmidt
>
> Gibt es einen guten Grund, dass das hierzu gehörende Ausgangsposting bei
> mir _nicht_ sichtbar/lesbar/erschienen ist???
Ich hab geschrieben ohne zu denken. Deshalb war's zum großen Teil
quatsch und ich hab's gecancelt. Leider nicht schnell genug, wie's
scheint, Georg hat den Quatsch auch schon erkannt gehabt und sinnvoll
drauf geantwortet.
Gruß, Harry
Christopher Eltschka
> {2001-08-06 00:51} "Thomas Müller" (news...@shadowpage.de):
>
> >> Die meisten Leute, die nicht wissen, was ein Vektor ist,
> >> hören schätzungsweise bereits vor Ende dieses Absatzes auf
> >> zu lesen, weil sie es nicht verstehen.
> >Ist es bösartig, wenn ich jetzt vorsichtig unterstelle, dass
> >Anette genau das damit erreichen wollte?
>
> Das ist eine interessante Idee. Ich habe das jetzt etwas
> umgeordnet und die ersten beiden Absätze vertauscht. Dann ist es
> nicht mehr so abschreckend und man wird auf die mathematische
> Definition hingeleitet.
>
> |
> |1.7 Was ist ein Vektor?
> |
> |Eine Bedeutung in der elementaren Schulphysik ist "Ein Vektor
> |ist eine Größe (ein Pfeil) mit Betrag und Richtung". Da eine
> |Zahl keine Richtung hat, sieht man sie auch nicht als Vektor
> |an, obwohl sie - mathematisch gesehen - ein Vektor sein kann.
> |Um das zu verstehen, geben wir die allgemeine mathematische
> |Definition wieder:
> |
> |Ein Vektorraum ist ein Tripel " ( K , V , * ) " aus einer
> |abelschen Gruppe " V ", einem Körper " K " und dem Produkt "
> |* ", mit " * : K x V -> V ", so daß die Abbildung " * " mit
> |den Operationen und neutralen Elementen von " K " und " V "
> |verträglich ist. Die Elemente der Basismenge der abelschen
> |Gruppe " V " nennt man "Vektoren".
> |
> |[u.s.w]
Verbesserungsvorschlag (angesichts der Tatsache, dass die Zielgruppe
im Wesentlichen aus Nichtmathematikern besteht):
"Ein Vektorraum besteht aus einem Koerper K (also einer Menge, deren
Elemente sich i.W. so verhalten, wie wir es von Zahlen erwarten),
einer additiven Gruppe V (den Vektoren; "additive Gruppe" heisst, dass
man sie addieren kann, und dabei die gewohnten Regeln gelten), und
einem Produkt "*", das es erlaubt, Vektoren mit Koerperelementen
zu multiplizieren."
Christopher Eltschka
> {2001-08-08 11:19} "Christopher Eltschka" (celt...@web.de):
>
> >"Ein Vektorraum besteht aus einem Koerper K (also einer
> >Menge, deren Elemente sich i.W. so verhalten, wie wir es von
> >Zahlen erwarten), einer additiven Gruppe V (den Vektoren;
> >"additive Gruppe" heisst, dass man sie addieren kann, und
> >dabei die gewohnten Regeln gelten), und einem Produkt "*",
> >das es erlaubt, Vektoren mit Koerperelementen zu
> >multiplizieren."
>
> nächste Fassung:
>
> 1.7 Was ist ein Vektor?
1.8, wenn ich mich recht erinnere?
> ----------------------------------------------------------------
>
> Eine Bedeutung in der elementaren Schulphysik ist "Ein Vektor
> ist eine Größe (ein Pfeil) mit Betrag und Richtung". Da eine
> Zahl keine Richtung hat, sieht man sie auch nicht als Vektor an,
> obwohl sie - mathematisch gesehen - ein Vektor sein kann.
>
> Vektoren lassen sich addieren (hintereinandersetzen) oder mit
> einer Zahl (einem Skalar) multiplizieren ("gewichten",
> "bewerten", "strecken"). Es gelten verschiedene Assoziativitäts-
> , Kommutativitäts- und Distributivitäts-Regeln, die man abstrakt
> im mathematischen Begriff "Vektorraum" zusammenfasst:
>
> Ein Menge, die sich hinsichtlich der Addition und Multiplikation
> in vielem so verhält, wie normale Zahlen, nennt man in der
> Mathematik auch einen "Körper". Wenn man hierbei nur die
> Addition berücksichtigt, nennt man sie eine "Gruppe". Faßt man
> nun einen Koerper und eine Gruppe so zusammen, daß man die
> "Zahlen" des Koerpers mit den "Werten" der Gruppe multiplizieren
> kann, so nennt man dies einen "Vektorraum", wenn die neue
> Multiplikation mit den bestehenden Verknüpfungen und neutralen
> Elementen verträglich ist. Ein Wert aus solch einem Vektorraum
> nennt man dann auch einen "Vektor". (Eine genauere Definition
> kann man der unten genannten Datei der TU Freiberg entnehmen.)
>
> Ein Vektor wird in der Physik aber auch oft [...]
Wesentlich besser. Mir ist allerdings aufgefallen, dass der
urspruengliche Abschnitt auch in "1.7 Was ist ein Skalar?" auftritt.
Da die Wiederholung dieses ausfuehrlicheren Abschnittes in beiden
Punkten doch etwas uebertrieben scheint, waere es vielleicht sinnvoll,
beide in einen Punkt ("1.7 Was ist ein Skalar/ein Vektor?")
zu kombinieren.
Uebrigens wuerde ich eher sagen:
"Ein Skalar ist eine *Groesse*, die sich wie ein Skalar transformiert"
bzw. dasselbe fuer "Vektor".
Bei der Gelegenheit faellt mir noch auf, dass die Forderung, dass die
skalare Groesse "eine Zahl ist", so nicht stimmt. Korrekt ist, dass
sie durch eine einzige Zahl charakterisiert wird. Zum Beispiel ist die
Temperatur "5K" keine Zahl (das Quadrat ist keine Temperatur, und
5K+(5K)^2 ist nicht erlaubt), aber sicher ein Skalar (die Temperatur
aendert ihren Wert nicht, wenn ich mich umdrehe). In der Tat sind die
meisten Skalare keine Zahlen, sondern einheitenbehaftete Groessen.
Christopher Eltschka
> {2001-08-09 18:24} "Christopher Eltschka" (celt...@web.de):
>
> >> 1.7 Was ist ein Vektor?
> >1.8, wenn ich mich recht erinnere?
>
> Wurde korrigiert.
>
> >Wesentlich besser. Mir ist allerdings aufgefallen, dass der
> >urspruengliche Abschnitt auch in "1.7 Was ist ein Skalar?"
> >auftritt. Da die Wiederholung dieses ausfuehrlicheren
> >Abschnittes in beiden Punkten doch etwas uebertrieben
> >scheint, waere es vielleicht sinnvoll, beide in einen Punkt
> >("1.7 Was ist ein Skalar/ein Vektor?") zu kombinieren.
>
> Ich habe immer befürchtet, daß das einmal jemand entdeckt.
>
> Dann werde ich die beiden Abschnitte vertauschen (womit "Was ist
> ein Vektor" doch wieder "1.7" wird) und im Skalar-Artikel auf
> den Vektor-Artikel verweisen.
>
> >Uebrigens wuerde ich eher sagen:
> >"Ein Skalar ist eine *Groesse*, die sich wie ein Skalar
> >transformiert" bzw. dasselbe fuer "Vektor".
>
> Das ist absichtlich so "unlogisch" formuliert, um die
> Kreisartigkeit der "Definition" besonders hervorzuheben.
Na ja, die Definition wird nicht zirkulaer, wenn man definiert, wie
sich ein Skalar transformiert. Das heisst, man _beginnt_ mit dem
Transformationsverhalten und nennt alles, was sich so transformiert,
einen Skalar. Das Transformationsverhalten wird man dann kurz als "das
Transformationsverhalten eines Skalars" bezeichnen. Was "sich wie ein
Skalar transformieren" bedeutet, wird also definiert, bevor definiert
wird, was ein Skalar ist. Somit ist die Definition nicht kreisfoermig.
Letztlich besagt die Definition: "Ein Skalar ist eine Groesse, die in
jedem Koordinatensystem gleich aussieht ."
>
> >In der Tat sind die
> >meisten Skalare keine Zahlen, sondern einheitenbehaftete
> >Groessen.
>
> Ich werde hinzufügen, daß ein Skalar auch eine Dimension haben
> kann.
Mit dem Wort "Dimension" waere ich vorsichtig - da auch Vektorraeume
eine Dimension haben (die aber natuerlich etwas voellig anderes ist),
koennte dies Missverstaendnisse provozieren. Besser ist
"einheitenbehaftete Groesse" - da sind Missverstaennisse
ausgeschlossen.