Widersprueche der Mengenlehre

[Dieter Jungmann]

Verwendete Zeichen:
Zeichen: Bedeutung:
>- mächtiger als
el Element von
N Menge der natürlichen Zahlen (einschl. 0)
P, Q, I Menge der Primzahlen, rationalen Zahlen, irrationalen Zahlen
Pot(P) Potenzmenge von P
oo Unendlich
/= nicht gleich

Zusammenfassung:

Die Mengenlehre enthält elementare Widersprüche, deren Ursachen
aufgezeigt werden. CANTORs Diagonalbeweis ist unvollständig und
fehlerhaft. Die Mächtigkeitsdefinition erweist sich als unhaltbar,
ebenso der Begriff der transfiniten Menge. Pot(P) ist nach der Theorie
überabzählbar, sie lässt sich aber auf eine Teilmenge von N abbilden.
Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen ist gleichmächtig wie N
(Dualsystem). Auch Pot(N) ist abzählbar. Die Begriffe Unendlich und
Irrationale Zahl werden untersucht.

1. Widersprüche

1.1 Irrationale Zahlen als rationale Folgen

Lässt man in der dezimalen Schreibweise einer irrationalen Zahl alle
Ziffern nach der n-ten Stelle weg, erhält man einen endlichen Dezimal-
bruch, der sich als Quotient a/b zweier ganzer Zahlen darstellen lässt.
Berücksichtigt man auch die (n + 1)-te Stelle, ergibt sich eine weitere
rationale Zahl, usw.. Jede irrationale Zahl ist mit einer sie charakte-
risierenden endlosen rationalen Folge verknüpft. In Stellenwertsystemen
mit anderer Grundzahl ergeben sich weitere Folgen. Aussagefähiger ist
eine von allen Stellenwertsystemen unabhängige charakteristische ratio-
nale Folge, die sich ergibt, indem für jede gegebene Stellenzahl von a
(oder b) der Wert gewählt wird, der der irrationalen Zahl am nächsten
kommt. (Für sqrt(2) gibt es eine einfache Rekursionsformel, mit der sich
a und b beliebig genau direkt berechnen lassen. Die Quotienten dieser
Werte ergeben gerade diese rationale Folge. Sie weist Strukturen auf,
die in der Stellenwertschreibweise nicht erkennbar sind.)

Daraus ergibt sich unter der Voraussetzung, dass die Gesetze der Logik
uneingeschränkt gelten, folgende Konsequenz: Es ist nicht möglich, zwei
verschiedene irrationale Zahlen anzugeben, deren rationale Folgen sich
nicht in wenigstens einer rationalen Zahl unterscheiden (sonst wären
sie identisch). Da dies für alle Vergleiche jeder irrationalen Zahl mit
jeder anderen gilt, muss es zu jeder irrationalen Zahl wenigstens eine
rationale Zahl geben, die nur mit ihr verknüpft ist. Q muß also
mindestens so mächtig sein wie I. Falls die Gesetze der Logik nicht
auf unendliche Mengen anwendbar sind, gilt das auch für die vermeint-
lichen Beweise von I >- Q.

1.2 CANTORs Diagonalbeweis

Als Anknüpfungspunkt für die weiteren Überlegungen dient CANTORs Zuord-
nungsvorschrift. Da nach dem Verständnis der Mengenlehre die Menge der
reellen Zahlen im Einheitsintervall gleichmächtig ist wie die Menge
aller reellen Zahlen, brauchen nur die ersteren berücksichtigt zu
werden. Abweichend von CANTOR werden nur die irrationalen Zahlen berück-
sichtigt, weil der Beweis sonst von vornherein absurd ist (s. u.). Man
listet also auf der linken Seite der Zuordnungstabelle in beliebiger
Reihenfolge alle irrationalen Zahlen zwischen 0 und 1 auf und bildet
sie umkehrbar eindeutig auf die natürlichen Zahlen ab, indem diese auf
der rechten Seite in aufsteigender Folge aufgelistet werden, z. B.:

,_329 230 484 ... 1
,1_21 497 099 ... 2
,68_8 724 209 ... 3
,247 _823 068 ... 4
,337 5_31 857 ... 5
... ...

Die Liste sei vollständig. Nun nimmt man von jeder irrationalen Zahl die
durch vorangehenden Unterstrich gekennzeichnete Ziffer in diagonaler
Anordnung und verändert sie in beliebiger Weise (z. B. durch Addition
einer 1). Die geänderten Ziffern werden zu einer ganzen Zahl (Diagonal-
zahl) mit unendlich vielen Stellen zusammengefügt, z. B. 43994..., von
der weiter unten gezeigt wird, dass sie nicht in der Tabelle enthalten
ist. Durch Hinzufügen eines Dezimalkommas vor der ersten Ziffer erhält
man eine neue irrationale Zahl. Da sich alle irrationalen Zahlen der
Tabelle in mindestens einer Stelle von der irrationalen Diagonalzahl
unterscheiden, kann sie entgegen der ursprüngliche Annahme nicht in der
Tabelle enthalten sein (auf die exakte Begründung kann hier verzichtet
werden). Da CANTOR die neue ganze Zahl ignoriert, glaubt er bewiesen zu
haben, dass es nicht möglich ist, jeder irrationalen Zahl umkehrbar
eindeutig eine ganze Zahl zuzuordnen. Daraus folgert er, dass es sog.
transfinite Mengen gibt, die mächtiger sind als N.

Wenn man alle Ziffernkombinationen zulässt, enthält die Liste nicht nur
irrationale Zahlen sondern auch die periodischen Dezimalbrüche. Trotzdem
handelt es sich nicht um die Menge der reellen Zahlen des Einheitsinter-
valls, denn dazu gehören auch die endlichen Dezimalbrüche. Werden sie
berücksichtigt und an den Anfang der Tabelle gesetzt, so dass sich die
Zahl der Nachkommastellen kontinuierlich vergrössert, sind bereits alle
endlichen natürlichen Zahlen für ihre Abbildung verbraucht. Zur Abbil-
dung der periodischen und irrationalen Brüche stehen dann nur noch
natürliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen zur Verfügung, die eben-
falls nicht abzählbar sind.

Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,
die Liste sei vollständig. Dann müsste sie entweder eine letzte Zeile
enthalten oder sich ständig wiederholen (evtl. mit vertauschten Zeilen).
Dann wäre die Menge der dargestellten Zahlen endlich. Eine unendliche
Menge kann nicht vollständig sein (s. Abschn. 4). Jeder Test kann daher
nur ihre Unvollständigkeit bestätigen, weitergehende Schlüsse sind nicht
möglich. Das gilt für alle unendlichen Mengen, nicht nur für die reellen
oder irrationalen Zahlen. Wenn der Diagonalbeweis stichhaltig wäre,
liesse er sich auch auf die rechte Seite von CANTORs Zuordnungstabelle
anwenden, indem jede natürliche Zahl n durch 10^n ersetzt wird. Durch
diese formale Änderung wird die Vollständigkeit der Liste nicht beein-
flusst. Sie enthält dann auf der rechten Seite die Zahlen
{1, 10, 100, ...}. Da die Zahl der Ziffern von Zeile zu Zeile anwächst,
lässt sich auch auf der rechten Seite eine Diagonalzahl bilden, die
nicht in der Tabelle enthalten ist, indem in jeder Zeile die letzte
Ziffer z. B. durch eine 2 ersetzt wird. Der Diagonalbeweis sagt also
nichts darüber aus, ob I auf N abgebildet werden kann.

Um den Kern des Problems deutlicher hervorzuheben, wird eine endliche
Tabelle aufgestellt, die auf der linken Seite alle Dezimalbrüche mit
n Dezimalstellen zwischen 0 und 1 einschliesslich der 0 und ohne die 1
enthält. Da es für die n Ziffern 10^n Kombinationsmöglichkeiten gibt,
besteht die Tabelle aus n Spalten für die Ziffern und 10^n Zeilen für
die daraus gebildeten Zahlen. Den Dezimalbrüchen werden auf der rechten
Seite die ganzen Zahlen von 0 bis 10^n - 1 zugeordnet. Die größte ganze
Zahl hat ebenfalls n Dezimalstellen, nämlich n mal die 9, zu ihrer
Darstellung werden also ebenfalls n Spalten benötigt. Die Ziffern-
kombinationen der Dezimalbrüche sind identisch mit denen der ganzen
Zahlen, nur ihre Reihenfolge in der Tabelle kann unterschiedlich sein.

Man sieht jetzt, dass die Diagonalzahlen nicht n sondern 10^n Dezimal-
stellen haben, d. h. sie setzen sich aus (10^n)/n Diagonalen zusammen,
wenn in jeder Zeile eine Ziffer geändert werden soll. (n = 1000 erfor-
dert bereits 10^997 Diagonalen pro Diagonalzahl.) Um sie in die Tabelle
aufnehmen zu können, muss die Zahl der Spalten auf 10^n vergrössert
werden. Damit ergeben sich 10^(10^n) Kombinationsmöglichkeiten und eine
entsprechend grössere Zeilenzahl, womit das Spiel von neuem beginnt.
Daran ändert sich auch beim Grenzübergang n --> oo nichts, die Zahl
der Zeilen ist eine Größenordnung mächtiger als die Zahl der Spalten,
sie entsprechen der Potenzmenge der Spalten. (Die Potenzmenge enthält
2^n Elemente, zum direkten Vergleich müssten die Zahlen im Dualsystem
dargestellt werden, worauf es aber hier nicht ankommt.) Mit einer
einzigen Diagonalen werden also nicht alle Zahlen der Liste erfasst,
so dass der Beweis gegenstandslos ist.

Der Diagonalbeweis und seine Akzeptanz in der Mengenlehre offenbaren
einen widersprüchlichen Gebrauch des Begriffs Unendlich. Da dieser
induktiv definiert wird, müsste N eine offene Menge sein, die nicht
vollständig sein kann. Der Diagonalbeweis ergibt aber (abgesehen von
dem vorstehend aufgezeigten Fehler) nur Sinn, wenn die nachgewiesene
Eigenschaft der Unvollständigkeit nur für die irrationalen (oder
reellen) Zahlen, nicht aber für N gilt. Für N wird also stillschweigend
der strukturlose Unendlichkeitsbegriff (s. Abschn. 4) vorausgesetzt.
Das bedeutet, dass N auch natürliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen
enthält, sie machen dann sogar den wesentlichen Bestandteil von N aus,
während die endlichen Zahlen nur eine vernachlässigbare Teilmenge sind.
Daraus ergibt sich eine einfache Möglichkeit, I auf N abzubilden, indem
jeder irrationalen Zahl die ganze Zahl zugeordnet wird, die sich ergibt,
wenn in der irrationalen Zahl bei unveränderter Ziffernfolge das
Dezimalkomma weggelassen wird.

1.3 Die Potenzmenge der Menge P der Primzahlen

P ist eine unendliche Teilmenge von N und daher per definitionem gleich-
mächtig wie N. Pot(P) sollte wie jede Potenzmenge einer unendlichen
Menge überabzählbar sein. Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen und alle Teil-
mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten. Da es keine
2 identische Teilmengen gibt und die Primzahlen keine Faktoren enthal-
ten, unterscheiden sich alle Zahlen, die sich als Produkte der Prim-
zahlen der Teilmengen darstellen lassen. Jedem Element von Pot(P) lässt
sich daher umkehrbar eindeutig eine natürliche Zahl zuordnen, die
entweder eine Primzahl oder ein Produkt von ersten Potenzen von _
Primzahlen ist. |_|

Es sei Pm, m = ganzzahlig >= 1, die Menge der m-ten Potenzen der Prim-
zahlen. Analog zum vorstehenden Beweis lässt sich Pot(Pm) umkehrbar
eindeutig auf die Teilmenge Tm von N abbilden, deren Elemente die m-ten
Potenzen der Primzahlen und deren Produkte sind. Wenn man die leere
Menge, die definitionsgemäss jeder Potenzmenge hinzugefügt wird, nur
in _einer_ der Teilmengen Tm berücksichtigt und der Zahl 0 zuordnet,
sind alle Tm, Tn mit m /= n disjunkt. Daher ist N die Vereinigungsmenge
von 1 und allen Tm. N müsste also gleichmächtig sein wie die Vereini-
gungsmenge von unendlich vielen Potenzmengen der Primzahlen.

1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen

Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
(2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird. Da die Teilmengen keine
Zweierpotenz mehrfach enthalten, ist die Abbildung umkehrbar eindeutig,
denn jede Summe von Zweierpotenzen mit unterschiedlichen Exponenten
definiert genau eine natürliche Zahl. Umgekehrt lassen sich alle natür-
lichen Zahlen als Summe von Zweierpotenzen mit unterschiedlichen Expo-
nenten darstellen. Die Abbildung ist also auch lückenlos, d. h. jedem
Element in N wird ein Element in Pot(D1) zugeordnet und umgekehrt.
(Das ist die Darstellung der natürlichen Zahlen im Dualsystem.) Die
Anzahl der Elemente von Pot{2^k | k el N} ist also identisch mit der
Anzahl der natürlichen Zahlen.

Es sei
D2 = {2^2^k | k el N} = {2, 4, 16, 256, ...}

die Menge der Zweierpotenzen, deren Exponenten ebenfalls Zweierpotenzen
sind. Die Ausdrücke 2^k, 2^2^k, 2^2^2^k = 2^(2^(2^k)), ... seien als
1-, 2-, 3-, ...-fache Zweierpotenzen bezeichnet. Pot(D2) wird umkehrbar
eindeutig auf D1 abgebildet, indem der leeren Menge die Zahl 1 und jeder
Teilmenge {2^2^km, 2^2^kn, ...} von Pot(D2) das Produkt

s = (2^2^km mal 2^2^kn mal ...) = 2^(2^km + 2^kn + ...)

zugeordnet wird. Alle s sind Zweierpotenzen, also Elemente von D1. Für
die Summen der Zweierpotenzen im Exponenten des letzten Klammerausdrucks
wurde die Eindeutigkeit und Lückenlosigkeit bereits nachgewiesen. Da
keine Kombination von k-Werten mehrfach vorkommt, sind auch alle s-Werte
nur einmal vertreten. Die Abbildung ist daher umkehrbar eindeutig und
lückenlos. Daraus folgt, dass die Potenzmenge der Potenzmenge (zweifache
Potenzmenge) von D2 umkehrbar eindeutig und lückenlos auf N abgebildet
werden kann. Jede natürliche Zahl ist die Summe von Zweierpotenzen
(Dualsystem) und jede Zweierpotenz das Produkt von unterschiedlichen
2-fachen Zweierpotenzen.

Es sei
D3 = {2^2^2^k | k el N} = {2^2, 2^4, 2^16, 2^256, ...}

die Menge der 3-fachen Zweierpotenzen. Pot(D3) kann umkehrbar eindeutig
und lückenlos auf D2 abgebildet werden, indem der leeren Menge die Zahl
2 und den Teilmengen {2^2^2^km, 2^2^2^kn, ...} von Pot(D3)
die Zahlen
a3 = 2^a2 mit a2 = 2^(2^km + 2^kn + ...) = s

zugeordnet werden. Das Verfahren lässt sich beliebig fortsetzen. Wenn
Dq die Menge der q-fachen Zweierpotenzen ist, lässt sich Pot(Dq)
umkehrbar eindeutig und lückenlos auf D(q-1) abbilden, indem der
leeren Menge die niedrigste Zahl aus D(q-1) und den übrigen Elementen
von Pot(Dq) die Zahlen aq = 2^a(q-1) zugeordnet werden. Mit grossen
Werten von q lässt sich Dq im Verhältniss zu N beliebig ausdünnen.
Trotzdem sind beide Mengen definitionsgemäss gleichmächtig, obwohl N
gleichmächtig wie die q-fache Potenzmenge von Dq ist.

Das vorstehende Verfahren hat folgenden Hintergrund: Die Anzahl der
Elemente von Pot(T) einer Menge T mit n Elementen wächst exponentiell
mit n. Um zu erreichen, dass sich die Potenzmenge einer Teilmenge T1
von T auf T abbilden lässt, muss T1 relativ zu T mit wachsendem n
entsprechend stärker ausgedünnt werden. Die Zweierpotenzen erfüllen
diese Bedingung im Verhältnis zu N. Nachdem _eine_ solche Beziehung
existiert, lässt sie sich auf beliebige Mengen anwenden. Es sei z. B.
P1 die Menge, welche alle (2^n)-ten Primzahlen mit n el N enthält,
also P1 = {2, 3, 7, 19, 53, ...}. Dann lässt sich Pot(P1) umkehrbar
eindeutig und lückenlos auf P abbilden (wenn auch nicht mit einer ein-
fachen Formel). Entsprechend lässt sich Pot(P2) umkehrbar eindeutig
und lückenlos auf P1 abbilden, wenn P2 als die Menge definiert ist,
die alle (2^n)-ten Zahlen von P1 als Elemente enthält. Das Verfahren
lässt sich beliebig fortsetzen. Jede unendliche Menge kann daher
umkehrbar eindeutig und lückenlos auf eine beliebigfache Potenzmenge
einer ihrer Teilmengen abgebildet werden.

1.5 Gleichzerlegungsprobleme

Das Kreisquadrierungsproblem von TARSKI besagt, dass ein Kreis und ein
flächengleiches Quadrat mit den Methoden der Mengenlehre gleichzerlegbar
sind. Nach dem BANACH-TARSKI-Paradoxon sind zwei dreidimensionale Körper
mit unterschiedlichem Volumen gleichzerlegbar. Beides steht im Wider-
spruch zu den Ergebnissen der analytischen Geometrie. Daraus folgt, dass
die Mengenlehre ihren Anspruch, axiomatische Grundlage der Mathematik
zu sein, nicht einlösen kann, weil ihre Ergebnisse die bewährte Mathe-
matik konterkarieren statt sie zu fundieren.

2 Die Mächtigkeitsdefinition

Ursache der Widersprüche ist die Mächtigkeitsdefinition. Eine Menge
kann nicht gleichmächtig wie eine ihrer echten Teilmengen sein. Für
endliche Mengen ist diese einfache logische Aussage gültig. Ihre
Anwendung auf unendliche Mengen lehnt die Mengenlehre ab. Das führt
zu einer ausweglosen Situation. In der Realität gibt es keine unend-
lichen Mengen. Auch die Einlassung, man könne sie sich aber vorstellen,
hilft nicht weiter, denn bekanntlich kann man sich auch etwas falsches
vorstellen (den meisten Menschen fällt das sogar besonders leicht).
Jede nur auf Vorstellung beruhende Aussage muss sich deshalb an der
Realität messen lassen. Da hier diese Möglichkeit entfällt, bleibt
als einziges (und letztlich doch unsicheres) Hilfsmittel nur eine
unbedingt zuverlässige Logik. Die Gesetze der bekannten Logik wurden
aber aus dem Verhalten endlicher Mengen abgeleitet und auch nur an
ihnen erprobt. Eine Anwendung dieser Regeln auf unendliche Mengen
lehnt die Mengenlehre ab. Da sie keine erprobte Alternative anzubieten
hat, sind alle ihe Aussagen über unendliche Mengen spekulativ.

Da P dichter ist als D1, sollte auch Pot(P) dichter sein als Pot(D1).
Im vorigen Abschnitt wurde aber gezeigt, dass die Anzahl der natür-
lichen Zahlen gleichgroß ist wie die Zahl der Elemente von Pot(D1) und
gleichgroß wie die Anzahl der Elemente von unendlich vielen Potenzmengen
der Primzahlen. Der Grund für das paradoxe Ergebnis ist, dass die
Abbildung von Pot(P) auf N nur für endliche Teilmengen gilt und kein
Rückschluss auf das Verhältnis der unendlichen Mengen P und N möglich
ist, weil kein geordneter Grenzübergang stattfindet.

Das wird am Beispiel von CANTORs vermeintlichem Beweis gezeigt, dass Q
und N gleichmächtig seien. Das Wesentliche lässt sich durch Vergleich
mit einem einfachen Gegenbeweis erläutern. Das Intervall 0 < x <= 100
enthält 100 natürliche und unendlich viele rationale Zahlen. Das gleiche
gilt für das Nachbarintervall 100 < x <= 200 und für alle anderen gleich
grossen Intervalle. Die durch diese Intervalle definierten Teilmengen
von Q und N können daher nicht lückenlos aufeinander abgebildet werden,
auch ein Rückgriff auf die natürlichen Zahlen anderer Teilmengen ist
nicht möglich, weil sie dort ebenfalls benötigt werden. Das gilt auch
für alle Vereinigungsmengen und daran ändert sich auch beim Grenzüber-
gang x --> oo nichts. Q ist daher zweifelsfrei mächtiger als N.

CANTORs Beweis benutzt ebenfalls eine Teilmenge von Q. Die rationalen
Zahlen q = a/b mit a, b el N und a, b >= 1 werden dem Intervall
1/n <= q <= n mit n el N entnommen. Die Bedingung a + b <= n + 1 legt
fest, welche q aus diesem Intervall für die Abbildung herangezogen
werden. Wird das Intervall auf n + 1 vergrössert, kommen alle q hinzu,
für die a + b = n + 2 gilt, sofern sie nicht bereits berücksichtigt
wurden, weil nur teilerfremde a und b eine neue rationale Zahl ergeben.
Es findet keine Kontrolle statt, wieviele q aus dem vorgegebenen
Intervall bei dieser Abbildung nicht berücksichtigt werden. (Es sind
unabhängig von n unendlich viele.) Ferner ist das Intervall nicht
definiert, aus dem die natürlichen Zahlen entnommen werden, die den q
zugeordnet werden, sondern es wird nach Belieben so gewählt, dass sich
die beabsichtigte Zuordnung gerade erfüllen lässt. (Es wächst schneller
als n aber langsamer als n^2.) Auch gibt es keine Formel für die Anzahl
der q, die bei vorgegebenem n zu berücksichtigen sind. Die Aussagekraft
der Abbildung beschränkt sich daher auf die konkret vorgegebene Teil-
menge, über das Verhalten beim Grenzübergang n --> oo lässt sich nichts
aussagen, weil kein übersichtlicher Grenzübergang möglich ist.

Mit CANTORs unkontrollierter Abbildungsmethode lässt sich - im Gegensatz
zur Aussage der Mengenlehre - auch "beweisen", dass N und Pot(N) gleich-
mächtig sind. Von einer endlichen Teilmenge von N, die die Zahlen von
0 bis n enthält, wird die Potenzmenge gebildet. Ihren Elementen werden
in aufsteigender Folge die natürlichen Zahlen zugeordnet. Bei jeder
Vergrösserung von n um 1 werden den neu hinzukommenden Elementen der
Potenzmenge die nächsten natürlichen Zahlen zugeordnet. Den Elementen
{0}, {1}, {0,1}, {2}, {0,2}, {1,2}, {0,1,2}, {3}, {0,3}, {1,3}, ...
aus Pot(N) werden also die Zahlen 0, 1, 2, 3, ... aus N zugeordnet. Die
Vorgehensweise entspricht CANTORs Abbildung von Q auf N. Mit solchen
Abbildungen lässt sich nahezu jedes gewünschte Resultat erzielen. Der
Grund, warum sich I mit dieser Methode nicht auf N abbilden lässt (wenn
die natürlichen Zahlen mit unendlich vielen Stellen unberücksichtigt
bleiben), ist allein die Tatsache, das keine irrationale Zahl exakt
bekannt ist. Die Abzählbarkeit ist kein Kriterium für die Mächtigkeit
einer Menge. In der Mathematik ist alles abzählbar, was exakt bekannt
ist. Rechnen ist nur ein anderer Ausdruck für intelligentes Abzählen,
denn auch das komplizierteste Theorem lässt sich auf einen Abzählvorgang
zurückführen. Was nicht (wenigstens prinzipiell) abzählbar ist, kann
daher auch nicht Gegenstand mathematischer Untersuchungen sein.

Mit der Mächtigkeit ist bei endlichen Mengen die Anzahl ihrer Elemente
gemeint. Da bei unendlichen Mengen die Zahl ihrer Elemente nicht bekannt
ist, kann auch ihre Mächtigkeit nicht angegeben werden. In solchen
Fällen muss die absolute Angabe durch eine relative ersetzt werden. Die
Mächtigkeit ist daher als mittlere Dichte aufzufassen. Die Dichte von N
dient als Einheit. Mengen, deren Elemente keine Zahlen sind, müssen
zuerst auf eine Zahlenmenge abgebildet werden, um mathematisch unter-
sucht werden zu können. Es brauchen daher nur Mengen von Zahlen berück-
sichtigt zu werden. Die Dichte ist der Differentialquotient und die
Mächtigkeit (= mittlere Dichte) der Differenzenquotient aus der Anzahl
der Elemente der zu untersuchenden Zahlenmenge und der Anzahl der im
gleichen Intervall enthaltenen natürlichen Zahlen. Dieser Mächtigkeits-
begriff ist auch auf unendliche Mengen anwendbar. Die Ermittlung des
Grenzwertes der mittleren Dichte setzt eine sorgfältige Untersuchung
voraus, welche die Mengenlehre vermissen lässt. Man vergleiche den
Aufwand, der zur Bestimmung der mittleren Dichte von P nötig war, mit
der Leichtigkeit, mit der die Mengenlehre P und N als gleichmächtig
erklärt. Im Gegensatz zur Kontinuumshypothese sind mit dieser Definition
beliebige Mächtigkeiten möglich. (Die Kontinuumshypothese ist in
Wahrheit keine Hypothese sondern eine zwangsläufige Folge der Mächtig-
keitsdefinition.)

Von den genannten Abbildungen halten nur die Abbildungen von Pot(Dq)
auf D(q-1) und insbesondere von Pot(D1) auf N einer strengen Kontrolle
stand. Die Potenzmenge aller in der Teilmenge
Tm = {0, 1, 2, 3, ..., (2^m - 1)} enthaltenen Zweierpotenzen lässt sich
umkehrbar eindeutig (und lückenlos) auf die ebenfalls in Tm enthaltenen
natürlichen Zahlen abbilden. Das gilt für beliebige Tm. N und Pot(D1) haben
daher die gleiche mittlere Dichte und sind gleichmächtig.

3 Irrationale Zahlen

Die sog. irrationalen Zahlen sind keine Zahlen sondern Variablen. Mit
jeder irrationalen Variablen ist eine Rechenvorschrift verbunden, mit
der ihr bei Bedarf eine rationale Zahl zugewiesen wird. (Ohne diese
wie auch immer geartete Vorschrift ist die "Zahl" nicht definiert.)
Bei unbegrenzter Anwendung der Rechenvorschrift ergibt sich eine endlose
Folge von rationalen Zahlen, deren Grenzwert man als irrationale Zahl
bezeichnen kann. Zur Anwendung kommt aber nie diese Zahl sondern immer
nur die Variable, weil die Zahl nicht bekannt ist und auch nie bekannt
sein wird (näherungsweise bekannt ist nur eine andere Ausdrucksweise
für die Anwendung der Variablen, denn eine Zahl hat nur einen einzigen,
unveränderbaren Wert). Die irrationalen Grenzwerte sind also nur eine
unpräzise Fiktion. Bisher wurden alle Approximationen mit rationalen
Zahlen ausgeführt, weil keine irrationalen Zahlen bekannt sind, diese
werden vielmehr selbst rational approximiert. Es sind keine zwei
irrationalen Zahlen bekannt, die so dicht beieinander liegen, dass
nicht noch beliebig viele rationale Zahlen dazwischen Platz hätten.
Dies dürfte nicht der Fall sein, wenn die Behauptung zuträfe, dass I
dichter ist als Q. Dann wiederum wären die irrationalen Zahlen nicht
beliebig genau rational approximierbar und damit undefiniert. Es ist
nicht möglich, eine beliebige reelle Zahl mit irrationalen Zahlen zu
approximieren ohne indirekt auf rationale Zahlen zurückzugreifen.
Dagegen kann jede reelle Zahl beliebig genau rational approximiert
werden, das ist sogar Voraussetzung für ihre Existenz. (Diese Ausdrucks-
weise ist eigentlich falsch, denn es werden keine Zahlen sondern unbe-
kannte Lösungen von Aufgaben oder Problemen approximiert. Eine "Zahl",
die _nur_ durch eine Approximation definiert wird, ist daher keine Zahl
sondern Ausdruck eines nicht exakt lösbaren Problems, für das es nicht
gelingt, die passende Lösungszahl zu finden.)

Mit einem digitalen System, wie es jedes Zahlensystem ist, lässt sich
kein Kontinuum ohne Restfehler darstellen. Im Unterschied zu technischen
Anwendungen lässt sich das mathematische "Quantisierungsrauschen"
beliebig klein machen aber grundsätzlich nicht völlig vermeiden. Die
irrationalen Variablen sind der mathematische Ausdruck dieser Tatsache.
Es wäre erstaunlich, wenn alle Problemlösungen deckungsgleich mit dem
digitalen Raster eines Zahlensystems wären. Die Eigenschaft einer
Problemlösung, mit einer rationalen Zahl beschreibbar zu sein oder
nicht, ist invariant gegenüber allen Zahlensystemen, die auf den natür-
lichen Zahlen aufbauen (andere sind nicht bekannt). Das bestätigt, dass
es sich um ein Deckungsproblem mit dem digitalen Zahlenraster handelt,
denn alle Zahlensysteme lassen sich auf dasselbe rationale System
zurück führen, das aus den ganzen Zahlen und den Quotienten aus zwei
ganzen Zahlen besteht.

Jede irrationale Zahl lässt sich als Summe einer rationalen und einer
irrationalen Zahl darstellen. Diese Aufspaltung in zwei Summanden
erfolgt bei jeder numerischen Berechnung. Der bekannte Teil einer
irrationalen Zahl ist immer ein rationaler Summand. Der verbleibende
Rest ist eine unbekannte irrationale Zahl. Die irrationalen Reste
gehören einem Intervall an, das sich prinzipiell beliebig klein machen
lässt. Dieses Intervall hat den Charakter eines mathematischen Grund-
rauschens. Seine Grösse ist nicht fest vorgegeben sondern hängt von den
technischen Möglichkeiten ab. Jede irrationale Zahl ist die Summe einer
exakt bekannten rationalen Zahl und einer grundsätzlich unbekannten
irrationalen Zahl aus dem Intervall des Grundrauschens.

Für die irrationalen Zahlen fehlt nicht nur der Existenzbeweis, sie
sind sogar überflüssig. Der direkte Beweis ihrer Existenz durch Angabe
des exakten numerischen Wertes wenigstens einer irrationalen Zahl wird
nie gelingen, der indirekte Beweis ist nicht möglich, weil sich die
Eigenschaften endlicher Mengen nicht auf unendliche Mengen übertragen
lassen und das Aufstellen beweisbarer spezieller Regeln für unendliche
Mengen nicht möglich ist, weil es keine realen unendlichen Mengen zur
Überprüfung solcher Regeln gibt. (Hier sind nicht die induktiven sondern
die strukturlosen unendlichen Mengen gemeint (s. Abschn.4), die Voraus-
setzung für die Existenz der irrationalen Grenzwerte sind.) Überflüssig
sind sie, weil es bei symbolischen Rechnungen keinen Unterschied macht,
ob die Symbole als Variablen oder Zahlen interpretiert werden, während
sie in numerischen Berechnungen ohnehin durch rationale Zahlen ersetzt
werden. Tatsächlich ist kein mathematisches Problem denkbar, das sich
bei Verzicht auf die irrationalen Grenzwerte nicht mehr oder nicht mehr
so genau lösen lässt wie ohne diesen Verzicht. Eine Theorie mit dem
Anspruch, axiomatische Grundlage einer Disziplin zu sein, sollte ohne
überflüssige Begriffe auskommen.

4 Der Begriff Unendlich

Der Begriff Unendlich ergibt sich aus dem Bildungsgesetz der natürlichen
Zahlen. Jede natürliche Zahl entsteht aus der vorhergehenden durch
Addition von 1, und zu jeder gegebenen Zahl lässt sich eine noch größere
konstruieren. Da sich für diesen Prozess keine obere Grenze angeben
lässt, gelangt er grundsätzlich nie an ein Ende. N kann daher keine
abgeschlossene Menge sein, denn dann wäre der Prozess zum Stillstand
gekommen. An welcher Stelle aber hätte der Stillstand eintreten sollen?
Unendlich ist also eine Methode, die sinnvoll nur auf endliche Mengen
anwendbar ist. Das führt zu folgender
D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).

Obwohl die Mengenlehre den Begriff Unendlich ebenfalls induktiv defi-
niert, macht sie häufig stillschweigend von einem anderen, dem struktur-
losen Unendlichkeitsbegriff Gebrauch, der nachfolgend erläutert wird.

Eine unendliche Menge ist entweder unvollständig (offene oder induktive
Menge) oder strukturlos (abgeschlossene Menge). Die Strukturlosigkeit
lässt sich am Beispiel der natürlichen Zahlen einsehen. Diese lassen
sich in aufsteigender Folge so anordnen, dass sich benachbarte Zahlen
um 1 unterscheiden. Das gilt aber nur für endliche Teilmengen. Sobald
die unendliche Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet wird (falls sie
existiert), müssen auch matürliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen
berücksichtigt werden. Dann treten beim Versuch, zwei benachbarte Zahlen
anzugeben, dieselben Probleme auf wie beim Versuch, zwei benachbarte
irrationale Zahlen zu finden. Es ist auch keine Aussage darüber möglich,
ob eine unendliche natürliche Zahl gerade oder ungerade ist, ob sie eine
Primzahl ist oder welche Faktoren sie enthält. Anders ausgedrückt: Wenn
die grösste Zahl (und damit auch alle anderen Zahlen) einer Menge natür-
licher Zahlen eine der genannten Eigenschaften aufweist, ist die Menge
endlich. Daraus folgt, dass N (wenn sie keine offene endliche Menge nach
obiger Definition ist) unendlich viele strukturlose Zahlen, also Zahlen
mit unbegrenzt vielen Stellen, enthalten muss, denn wenn man alle Zahlen
mit endlich vielen Stellen weglässt, vernachlässigt man nur eine end-
liche Zahlenmenge.

Beim strukturlosen Unendlichkeitsbegriff entfällt die Eigenschaft der
Unvollständigkeit. Ihm liegt die Vorstellung zugrunde, dass eine unend-
liche Menge eine abgeschlossene Menge ist, die den endlichen Mengen als
eigenständiges Gebilde gegenübersteht. Zwischen ihnen gibt es keinen
kontinuierlichen Übergang. Beim Übergang von einer endlichen zu einer
unendlichen Menge ist der letzte Schritt ein unendlich weiter Sprung,
die unendliche Menge taucht wie ein Deus ex machina aus dem Nichts auf
und verleibt sich die noch endliche Menge ein. Das Symbol oo steht in
diesem Fall stellvertretend für die Gesamtheit aller Zahlen mit unend-
lich vielen Vorkommastellen. Bei konsequenter Anwendung dieses Unend-
lichkeitsbegriffs ist daher die Auswertung eines Ausdrucks der Form
oo/oo nicht möglich, weil sich keine Zahlen mit unendlich vielen Stellen
realisieren lassen und man auch nicht wüsste, welche von ihnen einzu-
setzen ist. Da die Existenz von natürlichen Zahlen mit unendlich vielen
Stellen vorausgesetzt wird, ist auch die Existenz von irrationalen
Zahlen gesichert, sie sind in diesem Fall der Quotient von zwei unend-
lichen natürlichen Zahlen. --(Auch die Konstruktion von irrationalen
Zahlen als Grenzwert konvergenter unendlicher Reihen setzt die Existenz
von unendlichen ganzen Zahlen voraus. Denn damit die als rationale
Brüche darstellbaren Summanden gegen 0 streben, müssen im Nenner unend-
liche ganze Zahlen möglich sein. Um das Problem zu vermeiden, müsste
die Existenz beliebig kleiner irrationaler Zahlen vorausgesetzt werden
bevor die erste konstruiert wurde. Auch wäre zu klären, ab welcher
Stelle der Reihe sie auftreten sollen. Diese Konstruktion ist ein logi-
scher Zirkel.)-- Auch zwischen rationalen und irrationalen Zahlen gibt
es keinen kontinuierlichen Übergang, es handelt sich um getrennte
Welten, wobei die Welt der Zahlen mit unendlich vielen Stellen
spekulativen Charakter hat.

Wie sehr diese Welten getrennt sind, wird an einem Beispiel erläutert.
Zwei endliche Mengen sind gleichmächtig, wenn die Zahl ihrer Elemente
gleich ist. Fügt man einer Menge auch nur ein Element hinzu, ist sie
die mächtigere. Unendliche Mengen haben diese Eigenschaft nicht. Selbst
die Vereinigungsmenge beliebig vieler gleichmächtiger unendlicher Mengen
hat (nach der Mengenlehre) dieselbe Mächtigkeit. Würde man durch Hinzu-
fügen von unbegrenzt vielen Elementen versuchen, einen kontinuierlichen
Übergang von einer endlichen zu einer unendlichen Menge auszuführen,
müsste sich diese Eigenschaft an einer Stelle ändern. Ein solcher
Umschlagpunkt ist aber nicht definierbar, nicht einmal vorstellbar.
Wenn sich die Eigenschaften endlicher und unendlicher Mengen so radikal
unterscheiden, ist auch aus den Eigenschaften endlicher Teilmengen kein
Rückschluss auf die Eigenschaften einer unendlichen Menge möglich.
Deshalb ist beim strukturlosen Unendlichkeitsbegriff auch keine Aus-
wertung von unbestimmten Ausdrücken möglich, da hierbei immer ein Rück-
griff auf endliche Teilmengen nötig ist.

Für die Existenz abgeschlossener und daher strukturloser unendlicher
Mengen gibt es keinen Beweis. Da es in der Realität keine unendlichen
Mengen gibt, könnte es sich bei ihnen nur um Mengen von abstrakten
Begriffen handeln. Diese entstehen in den Köfpen der Menschen. Da deren
Zahl endlich ist, da die Menschheit nicht ewig existiert und da das
Denken mit endlicher Geschwindigkeit erfolgt, kann es nur endlich viele
abstrakte Begriffe geben. Auch mit induktiven Methoden lassen sich nur
endliche Mengen erzeugen, weil jeder Erzeugungsvorgang endliche Zeit in
Anspruch nimmt. Die Annahme, dass sich abgeschlossene, fertige unend-
liche Mengen mit unendlicher Geschwindigkeit erzeugen lassen, ist nicht
zulässig, weil eine unendliche Geschwindigkeit nicht vorausgesetzt
werden kann bevor die Existenz unendlicher Grössen bewiesen wurde. Nach
obiger Definition wäre eine unendliche Geschwindigkeit ohnehin nur eine
unbekannte, ständig wachsende, aber doch immer noch endliche Geschwin-
digkeit. Die Annahme der Existenz abgeschlossener unendlicher Mengen
bedeutet daher, dass sie a priori existieren müssen. Die Existenz von
a priori vorhandenen Grössen oder Eigenschaften ist aber grundsätzlich
nicht beweisbar oder unmittelbar einsehbar, sie muss geglaubt werden.
(Und dieser Glaube stellt sich regelmässig als Notlösung ein, wenn keine
andere Erklärung gefunden wird.) Das gilt besonders für unendliche
Mengen, die sich in Wahrheit niemand vorstellen kann. (Sollte es doch
jemanden geben, könnte er es nicht beweisen. Es zählen aber nur beweis-
bare oder unmittelbar einsehbare Aussagen.) Solche Grössen eignen sich
daher nicht als Axiome einer exakten Wissenschaft. Es bleibt daher nur
die Möglichkeit, unendliche Mengen im Sinne obiger Definition zu ver-
stehen. Das gilt auch für die Zahlen, die nach aller Erfahrung erst bei
Bedarf nach einem fest vorgegebenen Schema erzeugt werden und nicht
a priori existieren. Aber selbst wenn man ihre Existenz a priori voraus-
setzt, ist nichts gewonnen, denn worin besteht der Unterschied zwischen
Zahlen, von deren Existenz man zwar überzeugt ist, die sich aber dennoch
(wie die irrationalen Grenzwerte) auf grund ihrer Definition nicht
realisieren lassen, und solchen Zahlen, die tatsächlich nicht
existieren? Die Aussagefähigkeit des mathematischen Existenzbegriffs
würde fraglich werden.

Beim induktiven Unendlichkeitsbegriff entfällt die Eigenschaft der
Strukturlosigkeit. Er beruht auf obiger Definition, wonach eine unend-
liche Menge eine offene unvollständige endliche Menge ist. Er kennt
keine Zahlen mit unendlich vielen Stellen und daher auch keine irratio-
nalen Grenzwerte. Irrationale Zahlen sollten daher richtigerweise als
irrationale Variablen bezeichnet werden. Da es keine scharfe Grenze
zwischen endlichen und unendlichen Mengen gibt, findet bei der Annähe-
rung an einen Grenzwert kein echter Grenzübergang sondern nur eine
beliebig weitgehende Annäherung statt, wenn auch die Bezeichnung Grenz-
übergang wegen der bequemeren Ausdrucksweise üblich ist. Unbestimmte
Ausdrücke wie oo/oo bereiten keine Schwierigkeiten, weil sich hinter
dem Symbol oo jetzt keine unerreichbaren Zahlen mit unendlich vielen
Stellen verbergen sondern unbegrenzte endliche Folgen, die sich in
bekannter Weise auswerten lassen. Die Epsilon-Delta-Methode nach
WEIERSTRASS stützt sich ausschliesslich auf den induktiven Unendlich-
keitsbegriff und stellt damit die Infinitesimalrechnung auf ein sicheres
Fundament. Die Mengenlehre verhält sich widersprüchlich. Da sie den
Begriff Unendlich induktiv definiert, müsste für Q, N und deren Teil-
mengen die Mächtigkeit wie in Abschn. 2 erläutert gleich der mittleren
Dichte sein. Der Mächtigkeitsbegriff der Mengenlehre setzt jedoch den
strukturlosen Unendlichkeitsbegriff voraus.

Zur Unterscheidung von den abzählbar unendlichen Mengen, zu denen Q und
N gehören (N enthält in diesem Fall nur Zahlen mit endlich vielen
Stellen), könnte man die strukturlosen Mengen, zu denen I und die Menge
der natürlichen Zahlen mit unendlich vielen Stellen gehören würden, als
transfinite Mengen bezeichnen. Transfinit ist also nur ein anderer Aus-
druck für strukturlos (und spekulativ). Strukturlose Mengen haben keine
Eigenschaften und daher auch keine unterschiedlichen Mächtigkeiten.
Daher kann eine strukturlose Menge auch gleichmächtig sein wie eine
ihrer echten Teilmengen, weil diese Aussage in diesem Fall ohnehin
inhaltslos ist.

Das Bestreben, die Zahlenmenge als Kontinuum aufzufassen, ist ein Wider-
spruch in sich. Ein perfektes Kontinuum ist völlig strukturlos ohne
Anfang und Ende, denn an diesen Stellen müsste es eine ausgeprägte
Struktur aufweisen. Auch an den Grenzen der Strukturbereiche würden
Änderungen auftreten, die dem Begriff des perfekten Kontinuums wider-
sprechen. Würden die Zahlen ein solches Kontinuum bilden, wären sie
zum Rechnen ungeeignet, da sie nicht unterscheidbar wären. Wollte man
zur Vermeidung dieses Problems auf die Perfektion des Kontinuums ver-
zichten, stellt sich die Frage, welche Eigenschaft nicht kontinuierlich
sein soll. Es müsste jedenfalls eine für die Methamatik relevante sein.
Damit ist aber die Vorstellung von der Kontinuität der Zahlenmenge
bereits aufgeweicht wenn nicht sogar ad absurdum geführt. Wenn man an
der Vorstellung der irrationalen Zahlen als irrationale Grenzwerte
festhält, bilden sie das überflüssige und nicht fassbare Kontinuum,
während der für die Mathematik allein brauchbare strukturierte Anteil
der Zahlenmenge von den rationalen Zahlen gestellt wird.

--
Dieter Jungmann, Gartenstrasse 18, D-56858 Mittelstrimmig
dtr.ju...@t-online.de

Falls einige News-Server die Umlaute nicht richtig uebertragen sollten,
kann man von einem Suchprogramm folgende Substitutionen ausfuehren
lassen:
=C4 --> Ä (od. Ae), =D6 --> Ö, =DC --> Ü
=E4 --> ä, =F6 --> ö, =FC --> ü

[Rainer Rosenthal]

Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote in message
news:3A5214BA...@t-online.de...

> Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,
> die Liste sei vollständig

Hallo Dieter,

dies ist kein Fehler in Cantors Beweis sondern sein Beweis besagt,
dass es ein Fehler wäre, an eine vollständige Liste zu glauben.

> Jeder Test kann daher
> nur ihre Unvollständigkeit bestätigen, weitergehende Schlüsse sind nicht
> möglich

Also stimmst Du Cantor zu, dass die Liste unvollständig sein muss.
Weitergehende Schlüsse zu verbieten, erscheint mir recht kess. Denn
der forschende Geist - und wenn jemand einen solchen besass, dann
sicher der grosse Cantor - fragt sich doch beklommen, als "wie gross"
man Mengen einzuschätze hat, die sich jeder Auflistung entziehen.

> Das wird am Beispiel von CANTORs vermeintlichem Beweis gezeigt, dass Q
> und N gleichmächtig seien. Das Wesentliche lässt sich durch Vergleich
> mit einem einfachen Gegenbeweis erläutern

Der "Gegenbeweis" erinnert fatal an die Argumentation, es gebe weniger
gerade natürliche Zahlen als natürliche Zahlen überhaupt. Motto: Es ist ja
nur jede zweite natürliche Zahl gerade, also ...
Dabei ist ja der ganze Witz darin begründet, dass mit n -> 2*n eine
Bijektion hergestellt wird. Wenn man so will: eine vollständige Liste aller
geraden natürlichen Zahlen.

Und ebenso ist das lustig-geniale Zickzack-Verfahren zum Aufzählen der
Tabelle der Brüche ( = positive rationale Zahlen) eben der Beweis dafür,
dass Q+ (und damit auch Q) in eine vollständige Liste passt, also zu N
gleichmächtig ist.

============

Bei den Astronomen gibt eine strikte Abgrenzung zu den Astrologen. Wieso
gibt es in Mathematik keine solche offizielle Abgrenzung ?
Ich bin nämlich ziemlich fest davon überzeugt, dass für Dich die Suche nach
der Erkenntnis und die Phase des Selbstzweifels seit längerer Zeit abge-
schlossen ist.
Das dsm-Forum dient aber eher der Diskussion als der Agitation.
Ich würde mich trotzdem freuen, wenn es zu einer Diskussion kommen könnte.

Nach der Proklamation Deines Manifests müssten dann aber einzelne Punkte
ausgewählt und einzeln behandelt werden. Ich habe lediglich einige wenige
ausgewählt, um Dein Posting nicht unwidersprochen und schädlich stehen zu
lassen. Schädlich deswegen, weil so mancher meinen könnte, dass "dieser
ganze Cantor-Kram" ja doch nix gescheites und lernenswertes wäre und sich
um die nicht geringe Arbeit drückt, die im Nachvollziehen von Cantors
Gedanken liegt.

Gruss,
Rainer

[Thomas Haunhorst]

On Tue, 02 Jan 2001 18:49:46 +0100,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:

>1.1 Irrationale Zahlen als rationale Folgen

>Da dies für alle Vergleiche jeder irrationalen Zahl mit

>jeder anderen gilt, muss es zu jeder irrationalen Zahl wenigstens eine
>rationale Zahl geben, die nur mit ihr verknüpft ist.

Was meinst Du mit "verknuepft"? Kannst Du so eine Verknuepfung angeben?

>1.3 Die Potenzmenge der Menge P der Primzahlen
>
>P ist eine unendliche Teilmenge von N und daher per definitionem gleich-
>mächtig wie N. Pot(P) sollte wie jede Potenzmenge einer unendlichen
>Menge überabzählbar sein. Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
>abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
>B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
>der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
>den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen

alle Mengen von Primzahlen

>und alle Teil-
>mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten. Da es keine
>2 identische Teilmengen gibt und die Primzahlen keine Faktoren enthal-
>ten, unterscheiden sich alle Zahlen, die sich als Produkte der Prim-
>zahlen der Teilmengen darstellen lassen.

Hier betrachtest Du endliche Teilmengen von Primzahlen.

>Jedem Element von Pot(P) lässt
>sich daher umkehrbar eindeutig eine natürliche Zahl zuordnen, die
>entweder eine Primzahl oder ein Produkt von ersten Potenzen von _
>Primzahlen ist.

Jeder endlichen Menge von Primzahlen kannst Du in eindeutiger Weise eine
natuerliche Zahl durch Produktbildung ihrer Elemente zuordnen. Diese Funktion
ist injektiv. Aber was machst Du mit den unendlichen Primzahlmengen?

>1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen

Siehe oben.

>2 Die Mächtigkeitsdefinition
>
>Ursache der Widersprüche ist die Mächtigkeitsdefinition. Eine Menge
>kann nicht gleichmächtig wie eine ihrer echten Teilmengen sein.

Wieso? N ist glm zu 2N (einfach zu zeigen.)
Bei endlichen Mengen hast Du natuerlich recht. Mir scheint, dass Du auch
bei den obigen "Beweisen" immer nur von Endlichkeiten ausgehst.

>Ihre Anwendung auf unendliche Mengen lehnt die Mengenlehre ab.

n|->2n zeigt doch aber, dass es geht.

>Das führt
>zu einer ausweglosen Situation. In der Realität gibt es keine unend-
>lichen Mengen.

Das ist die Crux in Deiner Denkweise. Wie in Deinen obigen "Beweisen" hast
Du Dich von dieser Praemisse leiten lassen.

>Auch die Einlassung, man könne sie sich aber vorstellen,
>hilft nicht weiter, denn bekanntlich kann man sich auch etwas falsches
>vorstellen (den meisten Menschen fällt das sogar besonders leicht).
>Jede nur auf Vorstellung beruhende Aussage muss sich deshalb an der
>Realität messen lassen.

Zenons Paradoxon faellt mir gerade dazu ein, aber die Schildkroete kann zum
Glueck doch noch ueberholt werden.

>Da hier diese Möglichkeit entfällt, bleibt
>als einziges (und letztlich doch unsicheres) Hilfsmittel nur eine
>unbedingt zuverlässige Logik.

Und die Erfahrung, dass Schildkroeten doch nicht Olympiasieger werden
koennen. ;-)

>Die Gesetze der bekannten Logik wurden
>aber aus dem Verhalten endlicher Mengen abgeleitet und auch nur an
>ihnen erprobt.
>Eine Anwendung dieser Regeln auf unendliche Mengen
>lehnt die Mengenlehre ab.

Das tut sie sicher nicht. Die Mengenlehre kann das garnicht, sondern nur
die Menschen, die sie nicht akzeptieren. Du vertrittst hier einen intuitio-
nistischen Standpunkt.

>Da sie keine erprobte Alternative anzubieten
>hat, sind alle ihe Aussagen über unendliche Mengen spekulativ.

Auf die Konsequenzen kommt es an, will sagen: dass die Schildkroete letztend-
lich doch von Achill eingeholt wird, laesst sich mathematisch durch eine Reihe
zeigen. So eine (unendliche) Folge beschreibt also gut, was wir auch erfahren.
Wenn sie das aber tut, dann spricht in meinen Augen nichts dagegen, solche
Erfahrungen auch so mathematisch zu modellieren.

>Der Grund für das paradoxe Ergebnis ist, dass die
>Abbildung von Pot(P) auf N nur für endliche Teilmengen gilt und kein
>Rückschluss auf das Verhältnis der unendlichen Mengen P und N möglich

>ist...

Huch, hier steht ja meine Argumentation. Aber Du machst meiner Ansicht nach
einen entscheidenden Fehler, naemlich: Einerseits versuchst Du im Rahmen der
Mengenlehre zu beweisen, dass Pot(P) glm zu N ist, andererseits lehnst Du aber
die "Unendlichkeit" als spekulatives Element ab. Wenn Du Infinity ablehnst und
ein Axiomensystem der Mengenlehre mit (non Inf) aufstellst, dann gibt es aber
auch keine Menge N. Du kannst also obige Behauptungen auch nicht aufstellen,
und was nicht aufzustellen ist, kann auch nicht bewiesen werden.

>
>Das wird am Beispiel von CANTORs vermeintlichem Beweis gezeigt, dass Q
>und N gleichmächtig seien. Das Wesentliche lässt sich durch Vergleich
>mit einem einfachen Gegenbeweis erläutern.

Es ist klar, dass Cantors Beweis Humbug ist, wenn Du Infinity ablehnst.
Andererseits, wenn Du Deinen Standpunkt selbst relativierst und Dich
fuer einen Moment auf Infinity einlaesst, dann darfst Du aber dann nicht mehr
zwischenduch (non Infinity) einfliessen lassen. Das ist in der Tat unmathema-
tisch.

[Und wieder betrachtest Du im folgenden nur endliche Mengen]

>Mit der Mächtigkeit ist bei endlichen Mengen die Anzahl ihrer Elemente
>gemeint. Da bei unendlichen Mengen die Zahl ihrer Elemente nicht bekannt
>ist, kann auch ihre Mächtigkeit nicht angegeben werden.

Die Maechtigkeit der Menge der natuerlichen Zahlen ist die Kardinalzahl
|N|. Mit solchen Zahlen kann man rechnen!

Gruss

Thomas.
--

[Boris 'pi' Piwinger]

Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:

>P, Q, I Menge der Primzahlen, rationalen Zahlen, irrationalen Zahlen

>1. Widersprüche

>
>1.1 Irrationale Zahlen als rationale Folgen

[rationale Folge, die gegen eine gegebene Zahl konvergiert]

>Daraus ergibt sich unter der Voraussetzung, dass die Gesetze der Logik
>uneingeschränkt gelten, folgende Konsequenz: Es ist nicht möglich, zwei
>verschiedene irrationale Zahlen anzugeben, deren rationale Folgen sich
>nicht in wenigstens einer rationalen Zahl unterscheiden (sonst wären
>sie identisch).

Richtig.

>Da dies für alle Vergleiche jeder irrationalen Zahl mit
>jeder anderen gilt, muss es zu jeder irrationalen Zahl wenigstens eine
>rationale Zahl geben, die nur mit ihr verknüpft ist.

Und schon haben wir einen Fehler. Gut, dass man sich damit den Rest
des Artikels schenken kann. Danke, dass der Fehler nicht erst in Zeile
1237 versteckt war.

pi
--
One of the three most powerful tools in mathematics is abuse of notation.
(Gerald Sacks)

[Harald Schumann]

Grüß Dich, Boris.

BpP>Gut, dass man sich damit den Rest des Artikels schenken kann.

Nein! Unbedingt zu Ende lesen - das Ding wimmelt von Köstlichkeiten. Ich
hab's jedenfalls umgehend meiner Sammlung der komischsten Usenet-Artikel
einverleibt. :-)

Glückauf! Harald

[Detlef Mueller]

Dieter Jungmann wrote:
>
...

> 1.1 Irrationale Zahlen als rationale Folgen
>

...

> Daraus ergibt sich unter der Voraussetzung, dass die Gesetze der Logik
> uneingeschränkt gelten, folgende Konsequenz: Es ist nicht möglich, zwei
> verschiedene irrationale Zahlen anzugeben, deren rationale Folgen sich
> nicht in wenigstens einer rationalen Zahl unterscheiden (sonst wären
> sie identisch).
>

Klar.

> Da dies für alle Vergleiche jeder irrationalen Zahl mit
> jeder anderen gilt, muss es zu jeder irrationalen Zahl wenigstens eine
> rationale Zahl geben, die nur mit ihr verknüpft ist.
>

Falsch. Dies ist nur der Gramatik nach
eine Schlussfolgerung.
Allerdings kein Argument, sondern
Unsinn. Und fertig.
...
>
> 1.2 CANTORs Diagonalbeweis
>
...
Die Annahme:

> Die Liste sei vollständig. ...

Fuehrt zum Widerspruch:

> man eine neue irrationale Zahl. Da sich alle irrationalen Zahlen der
> Tabelle in mindestens einer Stelle von der irrationalen Diagonalzahl
> unterscheiden, kann sie entgegen der ursprüngliche Annahme nicht in der
> Tabelle enthalten sein (auf die exakte Begründung kann hier verzichtet
> werden).

Also ein korrekter Widerspruchsbeweis.

> Da CANTOR die neue ganze Zahl ignoriert,
>

Tut er nicht, er braucht sie ja fuer seinen Widerspruch.

...

>
> Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,

> die Liste sei vollständig. ...

Grins. Kein weiterer Kommentar hierzu.
...

>
> 1.3 Die Potenzmenge der Menge P der Primzahlen
>
> P ist eine unendliche Teilmenge von N und daher per definitionem gleich-
> mächtig wie N.
>

So siehts aus.

> Pot(P) sollte wie jede Potenzmenge einer unendlichen
> Menge überabzählbar sein.
>

Sollte sie, ja.

> Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
> abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
> B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
> der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
> den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen und alle Teil-
> mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten.
>

Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
ist z.B. in der Auflistung nicht enthalten.

Praemisse falsch: Beweis Murks.
Und fertig.

>
> 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
>
> Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
>

Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.

Praemisse falsch: Beweis Murks.
Und fertig.
...

>
> 1.5 Gleichzerlegungsprobleme
>
> Das Kreisquadrierungsproblem von TARSKI besagt, dass ein Kreis und ein
> flächengleiches Quadrat mit den Methoden der Mengenlehre gleichzerlegbar
> sind. Nach dem BANACH-TARSKI-Paradoxon sind zwei dreidimensionale Körper
> mit unterschiedlichem Volumen gleichzerlegbar. Beides steht im Wider-
> spruch zu den Ergebnissen der analytischen Geometrie.
>

Falsch.
Die Ergebnisse der analytischen Geometrie stellen
Messbarkeitsvoraussetzungen an die vorkommenden
Teilmengen.
Diese sind bei den im BANACH-TARSKI-Paradoxon
vorkommenden Mengen nicht gegeben.

Wieder Murks.

...

> 2 Die Mächtigkeitsdefinition
>
> Ursache der Widersprüche ist ...
>
Es wurden keine Widersprueche gezeigt, also ist das
folgende Gegenstandslos.

> 3 Irrationale Zahlen
>
> Die sog. irrationalen Zahlen sind keine Zahlen sondern Variablen.

...
Es folgt eine drollige Beschreibung der wohldefinierten
irrationalen Zahlen als "unprazise"
...
[irrationale Zahlen]

> werden vielmehr selbst rational approximiert. Es sind keine zwei
> irrationalen Zahlen bekannt, die so dicht beieinander liegen, dass
> nicht noch beliebig viele rationale Zahlen dazwischen Platz hätten.
>

Bekannt.

> Dies dürfte nicht der Fall sein, wenn die Behauptung zuträfe, dass I
> dichter ist als Q.
>

Quatsch. Wie soll denn "dichter" definiert sein?
Dicht im Top. Sinne ist eine Menge oder nicht.

> Dann wiederum wären die irrationalen Zahlen nicht
> beliebig genau rational approximierbar und damit undefiniert.
>

Wieso denn das nicht?

> Es ist
> nicht möglich, eine beliebige reelle Zahl mit irrationalen Zahlen zu
> approximieren ohne indirekt auf rationale Zahlen zurückzugreifen.
>

Wieso das nicht?

> Dagegen kann jede reelle Zahl beliebig genau rational approximiert
> werden, das ist sogar Voraussetzung für ihre Existenz. (Diese Ausdrucks-
> weise ist eigentlich falsch, denn es werden keine Zahlen sondern unbe-
> kannte Lösungen von Aufgaben oder Problemen approximiert. Eine "Zahl",
> die _nur_ durch eine Approximation definiert wird, ist daher keine Zahl
> sondern Ausdruck eines nicht exakt lösbaren Problems, für das es nicht
> gelingt, die passende Lösungszahl zu finden.)
>

Aus den rationalen Cauchykonvergenten Folgen die Nullfolgen
herauszudividieren fuehrt ganz exakt zu vollkommen eindeutigen
Objekten.
Da wird nichts "geschaetzt" oder "Approximiert".

> Mit einem digitalen System, wie es jedes Zahlensystem ist, lässt sich
> kein Kontinuum ohne Restfehler darstellen.
>

Deshalb braucht man ja "richtige" Zahlen, nicht die unzulaenglichen
Digitalen Zahlensysteme.
Die koennen "richtige Zahlen" (TM) naemlich nur unvollstaendig
naehern!
...

>
> Jede irrationale Zahl lässt sich als Summe einer rationalen und einer
> irrationalen Zahl darstellen. Diese Aufspaltung in zwei Summanden
> erfolgt bei jeder numerischen Berechnung. Der bekannte Teil einer
> irrationalen Zahl ist immer ein rationaler Summand. Der verbleibende
> Rest ist eine unbekannte irrationale Zahl. Die irrationalen Reste
> gehören einem Intervall an, das sich prinzipiell beliebig klein machen
> lässt. Dieses Intervall hat den Charakter eines mathematischen Grund-
> rauschens. Seine Grösse ist nicht fest vorgegeben sondern hängt von den
> technischen Möglichkeiten ab. Jede irrationale Zahl ist die Summe einer
> exakt bekannten rationalen Zahl und einer grundsätzlich unbekannten
> irrationalen Zahl aus dem Intervall des Grundrauschens.
>

Nun, das mag bei Informatik-Ueberlegungen Sinn machen,
was die Mathematik betrifft, ist es ziemlicher Unsinn.
Natuerlich ist der Alghoritmisch noch nicht bestimmte
Rest der Zahl eindeutig und wohlbekannt.

Ansonsten koennte man den Alghorithmus prinzipiell
ab einer bestimmten Stellenzahl nicht mehr weiterfuehren.
Kann man aber doch.

Ein Grundproblem scheint hier das Verwechseln
des Abstraktums "Zahl" mit einer Ziffernfolge
auf dem Papier zu sein.

Ganz verschiedene Ziffernfolgen koennen sich
auf die selbe Zahl beziehen, selbst im Rationalen
gibt es Zahlen, die sich in entsprechenden Systemen
nicht durch endliche Ziffernfolgen (n-adisch)
ausdruecken lassen.

Der Vorliegende Text scheint jedenfalls
von anderen Objekten zu sprechen, als denen,
die in der Mathematik unter dem Begriff
"Zahl" verstanden werden :)

> Für die irrationalen Zahlen fehlt nicht nur der Existenzbeweis, sie
> sind sogar überflüssig. Der direkte Beweis ihrer Existenz durch Angabe
> des exakten numerischen Wertes wenigstens einer irrationalen Zahl wird
> nie gelingen, der indirekte Beweis ist nicht möglich,

Ann:
(p/q)^2=2, p,q Ganz, Teilerfremd (sonst kuerzen).
=> p^2 = 2 q^2 => 2 teilt p^2 => 2 teilt p =>
4 teilt p^2 (=2q^2) => 2 teilt q^2 => 2 teilt q,
Widerspruch.
Also gibt es keine p,q mit (p/q)=Wurzel 2,
wohl aber eine Cauchyfolge, die gegen Wurzel
2 konvergiert, modulo Nullfolgen ist dies die
exakt bestimmte reelle Zahl Wurzel aus 2.
Diese ist also irrational.

...
>
> 4 Der Begriff Unendlich
>
...

> D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
>

Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
ist das hier keine vernuenftige Definition.

...

> um 1 unterscheiden. Das gilt aber nur für endliche Teilmengen. Sobald
> die unendliche Menge aller natürlichen Zahlen betrachtet wird (falls sie
> existiert), müssen auch matürliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen
> berücksichtigt werden.
>

Nein, warum? Natuerliche Zahlen haben immer nur endlich
viele Stellen. Was anderes muss man nicht berücksichtigen.
Murks.
...

Bitte noch einmal mit korrekten Schlussfolegerungen
ueberarbeiten und klare Definitionen verwenden.

Wenn das ein Silvesterscherz war, bin ich
reingefallen und wuensche auch einen guten
Rutsch gehabt zu haben :)

Gruss,
Detlef

[Dieter Jungmann]

Detlef Mueller schrieb:

>
> Dieter Jungmann wrote:
> >
> ...
> >
> > 1.2 CANTORs Diagonalbeweis
> >
> ...
> Die Annahme:
>
> > Die Liste sei vollständig. ...
>
> Fuehrt zum Widerspruch:
>
> > man eine neue irrationale Zahl. Da sich alle irrationalen Zahlen der
> > Tabelle in mindestens einer Stelle von der irrationalen Diagonalzahl
> > unterscheiden, kann sie entgegen der ursprüngliche Annahme nicht in der
> > Tabelle enthalten sein (auf die exakte Begründung kann hier verzichtet
> > werden).
>
> Also ein korrekter Widerspruchsbeweis.
>

Habe ich auch nicht bestritten. Es kommt auf die Schlussfolgerung an, die
daraus gezogen wird und die ist falsch, das ist im Artikel ausfuehrlich
begruendet.

>
> > Da CANTOR die neue ganze Zahl ignoriert,
> >
> Tut er nicht, er braucht sie ja fuer seinen Widerspruch.
>

Tut er doch, er benutzt nur die neue irrationale Zahl.
> ...

> > Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
> > abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
> > B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
> > der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
> > den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen und alle Teil-
> > mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten.
> >
> Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> ist z.B. in der Auflistung nicht enthalten.
>

Wieso denn das? Die Primzahl 23 beispielsweise ist sowohl in P wie auch
in Pot(P) als Element enthalten und wird auf sich selbst abgebildet. Die
Kombination der Primzahlen 17 und 23 ist eine Teilmenge von P und somit
ein Element von Pot(P). Diesem Element von Pot(P) wird umkehrbar eindeutig
die Zahl 17 mal 23 = 391 in P zugewiesen. Das laesst sich fuer alle
Elemente
von Pot(P) durchfuehren. Weshalb sollten bestimmte Primzahlen davon ausge-
nommen sein.?

>
> >
> > 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
> >
> > Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> > Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> > jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> > (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
> >
> Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.
>

Gleiche Frage wie oben: Warum nicht? Wenn nicht ausnahmslos alle Elemente
von Pot(D1) auf N abbildbar waeren und umgekehrt, waere das Dualsystem zur
Darstellung der natuerlichen Zahlen ungeeignet. Muss ich das wirklich noch
deutlicher erklaeren? In was fuer eine Newsgroup bin ich bloss geraten?

Wenn nicht nur eine voruebergehende mentale Blockade vorliegt sondern tat-
saechlich noch Verstaendnisschwierigkeiten bestehen, bitte ich um eine
genaue Beschreibung derselben, damit ich dazu Stellung nehmen kann, denn
diese Frage ist von entscheidender Bedeutung. Die transfiniten Mengen sind
abstrakte Gebilde ohne nachpruefbaren realen Hintergrund. Fuer ihren
Existenzbeweis ist CANTORs Satz, dass jede Potenzmenge maechtiger ist als
die zugehoerige Grundmenge, unverzichtbar. Mit der Widerlegung dieses
Satzes
werden alle Aussagen der Mengenlehre ueber unendliche Mengen hinfaellig.
Daraus folgt u. a., dass auch die Begriffe irrationale Zahl und Unendlich
neu ueberdacht werden muessen. Nur unter dieser dieser Voraussetzung sind
meine Ausfuehrungen dazu sinnvoll. Ihre Eroerterung ergibt daher erst Sinn,
wenn die Frage der Potenzmengen geklaert ist.

Trotzdem lassen sich einige der kritisierten Punkte bereits vorab klaeren:

> >
> > Das Kreisquadrierungsproblem von TARSKI besagt, dass ein Kreis und ein
> > flächengleiches Quadrat mit den Methoden der Mengenlehre gleichzerlegbar
> > sind. Nach dem BANACH-TARSKI-Paradoxon sind zwei dreidimensionale Körper
> > mit unterschiedlichem Volumen gleichzerlegbar. Beides steht im Wider-
> > spruch zu den Ergebnissen der analytischen Geometrie.
> >
> Falsch.
> Die Ergebnisse der analytischen Geometrie stellen
> Messbarkeitsvoraussetzungen an die vorkommenden
> Teilmengen.
> Diese sind bei den im BANACH-TARSKI-Paradoxon
> vorkommenden Mengen nicht gegeben.
>

Genau deshalb können sie nicht mathematisch untersucht werden. Wenn man
es doch tut, kommen die paradoxen Ergebnisse heraus. Hier muss allerdings
geklaert werden, was man von der Mathematik erwartet. Ich gehe davon aus,
dass sie die Realitaet und nicht irgendwelche Geister- oder Phantasie-
welten beschreiben soll. Mit der Einbeziehung nicht messbarer Mengen
wird die Grenze zur Spekulation ueberschritten, weil sich diese Phaenomene
nie werden ueberpruefen lassen. Zumindest halte ich es nicht fuer sinnvoll,
eine solche Theorie zur axiomatischen Grundlage der Mathematik zu machen.
Ausserdem halte ich die Argumentation mit den nichtmessbaren Mengen fuer
einen logischen Fehler, weil dieser Begriff speziell eingefuehrt wurde,
um die Widersprueche der Mengenlehre zu verdecken.
>
> > 2 Die Mächtigkeitsdefinition
> ...

> > Dies dürfte nicht der Fall sein, wenn die Behauptung zuträfe, dass I
> > dichter ist als Q.
> >
> Quatsch. Wie soll denn "dichter" definiert sein?
> Dicht im Top. Sinne ist eine Menge oder nicht.
>
> > Dann wiederum wären die irrationalen Zahlen nicht
> > beliebig genau rational approximierbar und damit undefiniert.
> >
> Wieso denn das nicht?
>

Weil die irrationalen Zahlen mit einer Vorschrift definiert sind, mit
deren Hilfe eine fuer sie charakteristische rationale Folge erzeugt
wird. Wenn es mehr irrationale als rationale Zahlen gaebe, muesste
diese Folge abbrechen, bevor die irrationale Zahl vollstaendig
definiert ist. Vgl. auch Abschn. 1.1.

> > Es ist
> > nicht möglich, eine beliebige reelle Zahl mit irrationalen Zahlen zu
> > approximieren ohne indirekt auf rationale Zahlen zurückzugreifen.
> >
> Wieso das nicht?
>

Weil die irrationalen Zahlen ihrerseits rational approximiert werden.

>
> Nun, das mag bei Informatik-Ueberlegungen Sinn machen,
> was die Mathematik betrifft, ist es ziemlicher Unsinn.
> Natuerlich ist der Alghoritmisch noch nicht bestimmte
> Rest der Zahl eindeutig und wohlbekannt.
>
> Ansonsten koennte man den Alghorithmus prinzipiell
> ab einer bestimmten Stellenzahl nicht mehr weiterfuehren.
> Kann man aber doch.
>

Das bedeutet, daß der Alghorithmus zwar bekannt ist, was ich nie
bestritten habe, die eigentlich gesuchte Zahl ist aber unbekannt.
Mit dem Alghorithmus lassen sich immer nur rationale Zahlen als
Ersatz für die gesuchte irrationale Zahl ermitteln. Das gilt unab-
haengig von der Frage nach der Ueberabzaehlbarkeit. Ein weiteres
Problem kommt hinzu, wenn man daran festhaelt, dass die
Menge der irrationalen Zahlen ueberabzaehlbar ist. Das setzt
voraus, dass auch die Anzahl der Dezimalstellen der irrationalen
Zahlen uebarabzaehlbar ist. Ich gehe davon aus, dass dies
keiner weiteren Begruendung bedarf, nachdem nachgewiesen wurde,
dass es mit Potenzmengen nicht moeglich ist, aus einer abzaehlbaren
eine ueberabzaehlbare Menge zu erzeugen. Wenn die Stellenzahl nicht
abzaehlbar ist, lassen sich auch nicht alle Ziffern alghorothmisch
ermitteln.

>
> Ganz verschiedene Ziffernfolgen koennen sich
> auf die selbe Zahl beziehen, selbst im Rationalen
> gibt es Zahlen, die sich in entsprechenden Systemen
> nicht durch endliche Ziffernfolgen (n-adisch)
> ausdruecken lassen.
>

Dabei handelt es sich um die periodischen Brueche. Genau dies ist
gemeint mit dem Hinweis, daß sich alle Zahlensysteme auf das
rationale System, bestehend aus den Quotienten zweier ganzer
Zahlen, zurueckfuehren lassen. In n-adischen Systemen hat immer nur
ein kleiner Bruchteil der rationalen Zahlen eine endliche Stellen-
zahl, waehrend die meisten unendliche periodische Brueche sind. Das
rationale System (oder sollte ich besser die rationale Schreibweise
sagen?) ist das einzige System, in dem alle rationalen Zahlen durch
Zahlen mit endlich vielen Stellen darstellbar sind.

>
> ...
> > D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> > schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> > beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
> >
> Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
> ist das hier keine vernuenftige Definition.

Nicht abgeschlossen meint in diesem Zusammenhang natuerlich eine nach
oben offene Menge, also eine Menge, fuer die keine groesste Zahl
angegeben werden kann. Ich bin davon ausgegangen, daß der Begriff
klar ist, es mag aber sein, daß diese Ausdrucksweise heute nicht
mehr gebraeuchlich ist.

Gruß

Dieter

[Harald Schumann]

DJ>Die Primzahl 23 beispielsweise ist sowohl in P wie auch in Pot(P) als
DJ>Element enthalten

Wenn das zutrifft, ist die 23 keine Primzahl.

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Detlef Mueller schrieb:
> >
> > Dieter Jungmann wrote:
> > >
> > ...
> > >

> > > 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
> > >
> > > Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> > > Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> > > jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> > > (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
> > >
> > Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> > ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.
> >
> Gleiche Frage wie oben: Warum nicht? Wenn nicht ausnahmslos alle Elemente
> von Pot(D1) auf N abbildbar waeren und umgekehrt, waere das Dualsystem zur
> Darstellung der natuerlichen Zahlen ungeeignet. Muss ich das wirklich noch
> deutlicher erklaeren? In was fuer eine Newsgroup bin ich bloss geraten?
>

Nun, in eine mathematische (hoffe ich doch).
Wie Thomas Haunhorst schon ausgefuehrt hat, stimmt Deine Argumentation
so lange, wie Du Dich um endliche Teilmengen von D1 bemuehst. Bei einer
unendlichen Teilmenge ist es aber nicht mehr moeglich, eine natuerliche
Zahl zuzuordnen, oder?
Was geschieht mit
{1,2,4,8,16,32,...} -> 1+2+4+8+16+32+...
Das gleiche Problem tauchte ja auch bei der Potenzmenge der
Primzahlmenge auf. Deine Zuordnungen bilden jeweils die Menge der
endlichen Teilmenge auf eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen ab. (Bei
D1 sogar auf N selbst.) Aber Deine Zuordnung funktioniert bei
unendlichen Teilmengen nicht mehr.
Es sei denn, Du verstehst unter natuerlichen Zahlen etwas anderes als
der gewoehnliche Mathematiker. Das wuerde dann auch erklaeren, dass Du
an einer Stelle von natuerlichen Zahlen mit unendlich vielen Stellen
sprichst. Vielleicht solltest Du erst einmal diesen strittigen Punkt
klaeren.

> > ...
> > > D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> > > schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> > > beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
> > >

Also: Zunaechst einmal habe ich schon Probleme mit einer Definition, die
da lautet: Eine unendliche Menge ist eine ... e n d l i c h e Menge
...
Ich denke mal, dass Du eher meinst, dass jede unendliche Menge sozusagen
aus einer endlichen Menge und einer Vorschrift, neue Elemente zu bilden,
entsteht.
Wie ist es z.B. mit der Menge der Quadratzahlen? Wo ist da die zugrunde
liegende endliche Menge, wo die Methode Unendlich?

> > Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
> > ist das hier keine vernuenftige Definition.
>
> Nicht abgeschlossen meint in diesem Zusammenhang natuerlich eine nach
> oben offene Menge, also eine Menge, fuer die keine groesste Zahl
> angegeben werden kann. Ich bin davon ausgegangen, daß der Begriff
> klar ist, es mag aber sein, daß diese Ausdrucksweise heute nicht
> mehr gebraeuchlich ist.
>

Dann gibt es aber auch abgeschlossene unendliche Mengen, z.B.
{ 1 , 1/10 , 1/100 , 1/1000 , ...}
Diese Menge ist sicherlich nach oben nicht offen, aber genauso sicher
unendlich und sogar rational.

> Gruß
>
> Dieter

--

Gruesse, email: hgo...@yahoo.com
Holger URL: http://www.geocities.com/Colosseum/Stadium/9099

[Holger Gollan]

Wir wollen mal nicht zu kleinlich sein. Er meint natuerlich {23} als
Element der Potenzmenge. In diesem Sinne ist natuerlich jedes Element
von P auch Element von Pot(P).
Diese kleine Aenderung macht seinen Beweis aber nicht richtiger.

[Harald Schumann]

>DJ>Die Primzahl 23 beispielsweise ist sowohl in P wie auch in Pot(P) als
>DJ>Element enthalten
>
> Wenn das zutrifft, ist die 23 keine Primzahl.

HG>
HG>Wir wollen mal nicht zu kleinlich sein.

Bin ich normalerweise auch gar nicht.

HG>Er meint natuerlich {23} als Element der Potenzmenge.

Da wäre ich gerade in diesem Fall nicht so sicher. Seine Absonderungen
wimmeln derart von Fehlern, daß man grundsätzlich annehmen muß, daß er gar
nicht weiß, wovon er spricht.

HG>In diesem Sinne ist natuerlich jedes Element von P auch Element von
HG>Pot(P).

Mit etwas Wohlwollen: ja. ;-)

HG>Diese kleine Aenderung macht seinen Beweis aber nicht richtiger.

Sehe ich auch so ...

Glückauf! Harald

[Detlef Mueller]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Detlef Mueller schrieb:
> >
> > Dieter Jungmann wrote:
> > >
> > ...
> > >
> > > 1.2 CANTORs Diagonalbeweis
> > >
> > ...
> > Die Annahme:
> >
> > > Die Liste sei vollständig. ...
> >
> > Fuehrt zum Widerspruch:
> >
> > > man eine neue irrationale Zahl. Da sich alle irrationalen Zahlen der
> > > Tabelle in mindestens einer Stelle von der irrationalen Diagonalzahl
> > > unterscheiden, kann sie entgegen der ursprüngliche Annahme nicht in der
> > > Tabelle enthalten sein (auf die exakte Begründung kann hier verzichtet
> > > werden).
> >
> > Also ein korrekter Widerspruchsbeweis.
> >
> Habe ich auch nicht bestritten. Es kommt auf die Schlussfolgerung an, die
> daraus gezogen wird und die ist falsch, das ist im Artikel ausfuehrlich
> begruendet.
>

Deine Begruendung ist im Wesentlichen:

"
Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,

die Liste sei vollständig. Dann müsste sie entweder eine letzte Zeile
enthalten oder sich ständig wiederholen (evtl. mit vertauschten Zeilen).
"

Dieser Schluss ist schlicht falsch (oder eine boeswillige
Missinterpretation des Wortes "Liste").
"Liste" ist natuerlich hier nicht als real auf Papier
vorliegender Aufschrieb zu verstehen, sondern
als Zuordnungsvorschrift (Funktion) l, die jeder Zahl
n eine Reelle Zahl l(n) zuordnet.

Der Kantorbeweis konstruiert aus einer solchen
Vorschrift dann eine weitere Vorschrift, der sich
eine reelle Zahl zuordnen laesst (dazu spaeter mehr),
die, im Widerspruch zur Annahme nicht im Bild der Funktion
l auftaucht.
Jetzt klar?

"Abzaehlung" ist als Aufzaehlung aufzufassen, die derart
ist, dass jede reelle Zahl, wenn man lange genug
aufgezaehlt hat, irgendwann drann kommt. Das ist
aber bei der konstruierten Zahl nicht der fall.

Bevor Du weiterschreibst, schau erstmal meinen
Absatz (**********) zu "reellen Zahlen" an,
wo ich versuche die Definition dieser Zahlen
naeherzubringen.

Wie Du bemerkst wird auch eine noch so lange
Aufzaehlung rationaler Zahlen aus einer
Vorschrift, die eine reelle Zahl definiert,
nie gleich einer reellen Zahl gesetzt werden
koennen.
Du solltest das verstanden haben, bevor
du weiter ueber die "Ungenauigkeit" der
reellen Zahlen schwadronierst!

> >
> > > Da CANTOR die neue ganze Zahl ignoriert,
> > >
> > Tut er nicht, er braucht sie ja fuer seinen Widerspruch.
> >
> Tut er doch, er benutzt nur die neue irrationale Zahl.
>

und? Gleichzeitig ignoieren und benutzen ist schon
interessant :)

> > ...
> > > Da sie sich aber auf eine Teilmenge von N
> > > abbilden lässt, schliessen sich die beiden Aussagen aus.
> > > B e w e i s : Die Potenzmenge ist definiert als Menge aller Teilmengen
> > > der Grundmenge einschließlich der leeren Menge und der Grundmenge. Zu
> > > den Elementen von Pot(P) gehören daher alle Primzahlen und alle Teil-
> > > mengen, die 2, 3, 4, ... verschiedene Primzahlen enthalten.
> > >
> > Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> > ist z.B. in der Auflistung nicht enthalten.
> >
> Wieso denn das? Die Primzahl 23 beispielsweise ist sowohl in P wie auch
> in Pot(P) als Element enthalten und wird auf sich selbst abgebildet. Die
> Kombination der Primzahlen 17 und 23 ist eine Teilmenge von P und somit
> ein Element von Pot(P). Diesem Element von Pot(P) wird umkehrbar eindeutig
> die Zahl 17 mal 23 = 391 in P zugewiesen. Das laesst sich fuer alle
> Elemente
> von Pot(P) durchfuehren. Weshalb sollten bestimmte Primzahlen davon ausge-
> nommen sein.?
>

Du scheinst den Unterschied zwischen einer Menge und
einem Element nicht zu verstehen.
23 ist ein _Element_ der Menge der Primzahlen die modulo 4
gleich -1 sind, keinesfalls aber die Menge selber, ist
doch klar, oder?
Und die ganze Menge der Primzahlen die modulo 4 gleich -1
sind wird von deiner angeblichen Abbildungsvorschrift
nicht erfasst, da Du das Produkt der Elemente nur fuer
_endliche_ Mengen bilden kannst, wie hier auch schon
bemerkt wurde.
Ergo handelt es sich bei der angegebenen Vorschrift
um keine vernuenftig definierte Abbildun Pot(P)->Nat
und Du musst Dir was neues ausdenken.

> >
> > >
> > > 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
> > >
> > > Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> > > Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> > > jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> > > (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
> > >
> > Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> > ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.
> >
> Gleiche Frage wie oben: Warum nicht?
>

Gleiche Antwort wie oben:
Auf die Angegebene Menge ist die Vorschrift nicht
anwendbar.
...

> Wenn nicht ausnahmslos alle Elemente
> von Pot(D1) auf N abbildbar waeren und umgekehrt, waere das Dualsystem zur
> Darstellung der natuerlichen Zahlen ungeeignet. Muss ich das wirklich noch
> deutlicher erklaeren? In was fuer eine Newsgroup bin ich bloss geraten?
>

Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
haben?
Da es keine unendlichstelligen natuerlichen Zahlen
gibt, versagen deine Abbildungen bei allen nichtendlichen
Mengen.
Wenn Du spaeter aus den "Widerspruechen" schliesst, dass
unendliche Mengen nicht statthaft sind, ist das mithin
ein Witz (denn hier laesst du eben dies einfliessen).

> Wenn nicht nur eine voruebergehende mentale Blockade vorliegt sondern tat-
> saechlich noch Verstaendnisschwierigkeiten bestehen, bitte ich um eine
> genaue Beschreibung derselben, damit ich dazu Stellung nehmen kann, denn
> diese Frage ist von entscheidender Bedeutung.
>

Ich hoffe die Erklaerungen sind ausreichend.

> Die transfiniten Mengen sind
> abstrakte Gebilde ohne nachpruefbaren realen Hintergrund. Fuer ihren
> Existenzbeweis ist CANTORs Satz, dass jede Potenzmenge maechtiger ist als
> die zugehoerige Grundmenge, unverzichtbar. Mit der Widerlegung dieses
> Satzes
> werden alle Aussagen der Mengenlehre ueber unendliche Mengen hinfaellig.
>

glaube ich gern.

...

> > >
> > > Das Kreisquadrierungsproblem von TARSKI besagt, dass ein Kreis und ein
> > > flächengleiches Quadrat mit den Methoden der Mengenlehre gleichzerlegbar
> > > sind. Nach dem BANACH-TARSKI-Paradoxon sind zwei dreidimensionale Körper
> > > mit unterschiedlichem Volumen gleichzerlegbar. Beides steht im Wider-
> > > spruch zu den Ergebnissen der analytischen Geometrie.
> > >
> > Falsch.
> > Die Ergebnisse der analytischen Geometrie stellen
> > Messbarkeitsvoraussetzungen an die vorkommenden
> > Teilmengen.
> > Diese sind bei den im BANACH-TARSKI-Paradoxon
> > vorkommenden Mengen nicht gegeben.
> >
> Genau deshalb können sie nicht mathematisch untersucht werden. Wenn man
> es doch tut, kommen die paradoxen Ergebnisse heraus.
>

Klar kann man sie untersuchen.
Das scheinbar paradoxe Ergebnisse herauskommen
zeigt nur, dass die Messbarkeitsvoraussetzungen
wichtig sind.

Wenn eine Praemisse der Ergebnisse der analytischen
Geometrie nicht gegeben ist, ist ein von Diesen
abweichendes Ergebnis doch gar kein Widerspruch!

Simples Beispiel:
Analytische Geometrie stellt fest:
"An heissen Herdplatten verbrennt man sich
die Finger"

BANACH-TARSKI sagt:
"Hier habe ich eine Herdplatte, an der man
sich nicht die Finger verbrennt!"

Paradoxon?
Nein: die Praemisse heiss wurde
nicht untersucht, es stellte sich auch
spaeter heraus, dass sie nicht gegeben
war ... und?

> Hier muss allerdings
> geklaert werden, was man von der Mathematik erwartet. Ich gehe davon aus,
> dass sie die Realitaet und nicht irgendwelche Geister- oder Phantasie-
> welten beschreiben soll.
>

Dir "Realitaet" ist was fuer Philosophen,
Physiker halten sich an Modelle, die moeglichst
befriedigend (Phaenomene erklaerend) sind,
Mathematiker befassen sich mit den
Modellen.
Das ist, grob gesehen, meine Sichtweise.
Natuerlich interessieren anwendbare Sachen
irgendwie meist doch mehr :)
Andererseits hat sich das Konzept der
reellen Zahlen vielfach als sehr praktisch
erwiesen.

> Mit der Einbeziehung nicht messbarer Mengen
> wird die Grenze zur Spekulation ueberschritten, weil sich diese Phaenomene
> nie werden ueberpruefen lassen. Zumindest halte ich es nicht fuer sinnvoll,
> eine solche Theorie zur axiomatischen Grundlage der Mathematik zu machen.
>

Ich denke, die Entdeckung des "Paradoxons" zeigte einfach, dass
die "Messbarkeitsvoraussetzungen" noetig sind, um naeher an
"die Realitaet" zu gelangen.
Ob es fruchtbar ist, nicht messbare Mengen zu untersuchen,
oder reiner Spieltrieb, ist eine andere Frage.
Verboten ist es aber wohl kaum.
Wie bei der Zahlentheorie in der chiffrierung, oder
Gruppentheorie in der Quantenphysik mag sich ueberraschend
eine praktische Anwendung ergeben.

> Ausserdem halte ich die Argumentation mit den nichtmessbaren Mengen fuer
> einen logischen Fehler, weil dieser Begriff speziell eingefuehrt wurde,
> um die Widersprueche der Mengenlehre zu verdecken.
>

Es handelt sich hier (siehe oben) nicht mehr um
einen Widerspruch als die Aussage, dass man sich
an kalten Herdplatten die Finger nicht
verbrennt.
Nochmal: hier wurde kein "Widerspruch verdeckt", sondern
eine notwendige, bisher nicht beachtete Voraussetzung
eingefuehrt, die "wirkliche" Mengen (TM) stets erfuellen
und die bisher vernachlaessigt wurde.

> >
> > > 2 Die Mächtigkeitsdefinition
> > ...
> > > Dies dürfte nicht der Fall sein, wenn die Behauptung zuträfe, dass I
> > > dichter ist als Q.
> > >
> > Quatsch. Wie soll denn "dichter" definiert sein?
> > Dicht im Top. Sinne ist eine Menge oder nicht.
> >
> > > Dann wiederum wären die irrationalen Zahlen nicht
> > > beliebig genau rational approximierbar und damit undefiniert.
> > >
> > Wieso denn das nicht?
> >
> Weil die irrationalen Zahlen mit einer Vorschrift definiert sind, mit
> deren Hilfe eine fuer sie charakteristische rationale Folge erzeugt
> wird.
>

(**********)
Das wollen wir mal praezisieren:

Wir haben Vorschriften (Zahlenfolgen).

Eine Vorschrift sei vernuenftig, wenn
zu jedem bel. grossen natuerlichen N
eine Zahl N0 existiert, so dass alle
rationalen Zahlen, die diese Vorschrift
ab N0 liefert, voneinander um weniger
als 1/N abweichen (Konvergierende
Folge).

Aus zwei vernuenftigen Vorschriften V1, V2
kann man eine neue machen, indem man
als n. Element die Differenz (Summe, Produkt,
etc. genauso) als neue Vorschrift nimmt.

Es laesst sich beweisen, dass die neue
Vorschrift wieder "vernuenftig" in obigem
Sinne ist.

Eine Vorschrift sei "Nullwertig", wenn
zu jedem bel. grossen natuerlichen N
eine Zahl N0 existiert, so dass alle
rationalen Zahlen, die diese Vorschrift
ab N0 liefert, kleiner als 1/N sind
(Nullfolge).

Zwei Vorschriften seien "gleichwertig",
wenn ihre Differenz nullwertig ist.

Nun bilden gleichwertige Vorschriften
sogenannte "Klassen" in der Menge der
vernuenftigen Vorschriften.

Diese Klassen definiert man als die
reellen Zahlen.

Die Rationalen Zahlen kann man als
Elemente davon auffassen (die Zahl
q wird halt als die Vorschrift
(q,q,q,q,...) auffassen).

> Wenn es mehr irrationale als rationale Zahlen gaebe, muesste
> diese Folge abbrechen, bevor die irrationale Zahl vollstaendig
> definiert ist. Vgl. auch Abschn. 1.1.
>

gleicher Fehlschluss, dort schon begruendet.

> > > Es ist
> > > nicht möglich, eine beliebige reelle Zahl mit irrationalen Zahlen zu
> > > approximieren ohne indirekt auf rationale Zahlen zurückzugreifen.
> > >
> > Wieso das nicht?
> >
> Weil die irrationalen Zahlen ihrerseits rational approximiert werden.
>

Nein, niemand zwingt einen dazu.

Obige Klassen von Folgen (Vorschriften) sind
Elemente fuer sich, niemand muss da irgedwas
approximieren.

Auch, wenn man zeigt, dass genau eine
positive reelle Zahl die Gleichung x^2=2
erfuellt, weiss man genau, dass eine
Vorschrift existiert, die man hier wohl
sogar explizit angeben kann, und die
vernuenftig ist.
Damit ist obige Klasse von Vorschriften
exakt definiert.

Es ist nicht noetig, Ziffern auszurechnen,
wenn man ein Bildungschema angeben kann.

Es wird direkt mit den Vorschriften
gerechnet und dabei kommen neue Vorschriften
heraus.

Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muss
mehr "approximiert" werden.

Klar?

> >
> > Nun, das mag bei Informatik-Ueberlegungen Sinn machen,
> > was die Mathematik betrifft, ist es ziemlicher Unsinn.
> > Natuerlich ist der Alghoritmisch noch nicht bestimmte
> > Rest der Zahl eindeutig und wohlbekannt.
> >
> > Ansonsten koennte man den Alghorithmus prinzipiell
> > ab einer bestimmten Stellenzahl nicht mehr weiterfuehren.
> > Kann man aber doch.
> >
> Das bedeutet, daß der Alghorithmus zwar bekannt ist, was ich nie
> bestritten habe, die eigentlich gesuchte Zahl ist aber unbekannt.
>

Sollte jetzt klar sein: mit der richtigen Definition
der reellen Zahlen _ist_ der Alghorithmus, die Vorschrift,
gewissermassen schon das Objekt mit dem gerechnet wird.
Die ist wohlbekannt und gleich der gesuchten Zahl.
Niemand muss (und kann) eine unendlich lange Ziffernfolge
hinschreiben bevor eine Zuordnungsvorschrift auf wundersame
Weise zu einer "reellen Zahl" mutiert.
Rechnen mit reellen Zahlen ist Rechnen mit (Klassen von) Folgen,
Zuordnugsvorschriften, Alghorithmen - wie auch immer.

> Mit dem Alghorithmus lassen sich immer nur rationale Zahlen als
> Ersatz für die gesuchte irrationale Zahl ermitteln.
>

Nein, eine rationale Zahl ist in der Regel nie ein Ersatz
fuer den Alghorithmus. Die Reelle Zahl wird durch den
Alghorithmus selbst repraesentiert, nicht durch irgendwelche
Ergebnisse zu irgendeinem Berechnugszeitpunkt - das waer
in der Tat schwammig.
So ist es aber nicht.

> Das gilt unab-
> haengig von der Frage nach der Ueberabzaehlbarkeit. Ein weiteres
> Problem kommt hinzu, wenn man daran festhaelt, dass die
> Menge der irrationalen Zahlen ueberabzaehlbar ist. Das setzt

> voraus, dass auch die Anzahl ...

Menge?

> der Dezimalstellen der irrationalen
> Zahlen uebarabzaehlbar ist.
>

Was meinst Du damit?
Es gibt doch nur die Dezimalstellen {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
oder?

> Ich gehe davon aus, dass dies
> keiner weiteren Begruendung bedarf, nachdem nachgewiesen wurde,
> dass es mit Potenzmengen nicht moeglich ist, aus einer abzaehlbaren
> eine ueberabzaehlbare Menge zu erzeugen.
>

Wurde nicht nachgewiesen.

...

> > ...
> > > D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> > > schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> > > beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
> > >
> > Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
> > ist das hier keine vernuenftige Definition.
>
> Nicht abgeschlossen meint in diesem Zusammenhang natuerlich eine nach
> oben offene Menge, also eine Menge, fuer die keine groesste Zahl
> angegeben werden kann.
>

Auf Mengen muss es keine Ordnungsrelation geben.
Meinst du es vielleicht folgendermassen:

D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist ein

Ding D, zu dem endliche Mengen in "ist enthalten in"-
Beziehung gesetzt werden koennen, und fuer das fuer
jede endliche Menge, die in D enthalten ist, eine
endliche Menge groesserer Kardinalitaet gibt, die
auch in D enthalten ist.

> Ich bin davon ausgegangen, daß der Begriff
> klar ist, es mag aber sein, daß diese Ausdrucksweise heute nicht
> mehr gebraeuchlich ist.
>

Fuer Mengen von Zahlen kenne ich nur nach oben
unbeschraenkt oder unbegrenzt, fuer beliebige
Mengen macht der Ausdruck wohl kaum einen Sinn.

[Dieter Jungmann]

Holger Gollan schrieb:

>
> Dieter Jungmann wrote:
> >
> > Detlef Mueller schrieb:
> > >
> > > Dieter Jungmann wrote:
> > > >
> > > ...
> > > >
> > > > 1.4 Die Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen
> > > >
> > > > Es sei D1 = {2^k | k = 0, 1, 2, 3, ...} die Menge der Zweierpotenzen.
> > > > Pot(D1) lässt sich auf N abbilden, indem der leeren Menge die 0 und
> > > > jeder Teilmenge {2^km, 2^kn, ...} von Pot(D1) die Summe
> > > > (2^km + 2^kn + ...) zugeordnet wird.
> > > >
> > > Falsch. Die Menge Der Primzahlen die modulo 4 gleich -1 sind,
> > > ist z.B. wie oben in der Auflistung nicht enthalten.
> > >
> > Gleiche Frage wie oben: Warum nicht? Wenn nicht ausnahmslos alle Elemente
> > von Pot(D1) auf N abbildbar waeren und umgekehrt, waere das Dualsystem zur

> > Darstellung der natuerlichen Zahlen ungeeignet. ...
> > ...
> ...

> Wie Thomas Haunhorst schon ausgefuehrt hat, stimmt Deine Argumentation
> so lange, wie Du Dich um endliche Teilmengen von D1 bemuehst. Bei einer
> unendlichen Teilmenge ist es aber nicht mehr moeglich, eine natuerliche
> Zahl zuzuordnen, oder?
> Was geschieht mit
> {1,2,4,8,16,32,...} -> 1+2+4+8+16+32+...
> Das gleiche Problem tauchte ja auch bei der Potenzmenge der
> Primzahlmenge auf. Deine Zuordnungen bilden jeweils die Menge der
> endlichen Teilmenge auf eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen ab. (Bei
> D1 sogar auf N selbst.) Aber Deine Zuordnung funktioniert bei
> unendlichen Teilmengen nicht mehr.

Warum nicht? Der Beweis findet sich am Ende von Abschn. 2 des Beitrags:

Die Potenzmenge aller in der Teilmenge Tm = {0, 1, 2, 3, ..., (2^m - 1)}

enthaltenen Zweierpotenzen laesst sich umkehrbar eindeutig (und luecken-
los) auf die ebenfalls in Tm enthaltenen natuerlichen Zahlen abbilden.
Das gilt fuer beliebige Tm und folglich auch fuer m --> oo. Ein ueber-
sichtlicherer Grenzuebergang als in diesem Beispiel ist kaum moeglich.
Wenn er hier nicht zulaessig ist, wo dann? Vielleicht bei CANTORs
unuebersichtlicher Abbildung von Q auf N? Dass er gerade dort nicht
moeglich ist, habe ich ausfuehrlich begruendet.

Die in meinem Artikel beschriebene Moeglichkeit, Pot(N) auf N abzubilden,
ist eine sinngemaesse Uebertragung von CANTORs Abbildungsmethode von Q
auf N. Warum sollte bei der Abbildung von Potenzmengen nicht mehr moeg-
lich sein, was bei der Abbildung von Q moeglich ist?

Dein Argument ist eine unbewiesene Behauptung. Kannst Du eine obere
Grenze fuer die Teilmengen Tm angeben, oberhalb der die Abbildung
nicht mehr funktioniert? Wenn nicht, wie begruendest Du dann Deine
Behauptung?

Wenn nur endliche Teilmengen als Elemente von Pot(D1) zugelassen werden,
ist die Gesamtzahl der Elemente von Pot(D1) endlich und folglich kann
dann Pot(D1) nur auf eine endliche Anzahl natuerlicher Zahlen abgebildet
werden. Das wuerde bedeuten, dass entweder N eine endliche Menge sein
muesste oder dass nicht alle Elemente von N im Dualsystem darstellbar
sind. Das waeren dann unendlich viele. In welcher Schreibweise willst Du
diese natuerlichen Zahlen darstellen?

Es besteht noch ein weiterer Widerspruch. Man kann die Elemente von
Pot(D1) (ohne Beschraenkung auf endliche Teilmengen und ohne eine
Abbildung auf N) so zusammenfassen, dass sich eine Menge T ergibt,
die nur noch unendliche Teilmengen Tn enthaelt. T1 sei die Menge
der Zweierpotenzen, T2 die Menge aller Teilmengen, die 2
Zweierpotenzen als Elemente enthalten, ..., Tn die Menge aller
Teilmengen, die n Zweierpotenzen enthalten, ... . T1 ist auch
Teilmenge von N und daher abzaehlbar. T2 laesst sich auf eine
Teilmenge von Q abbilden, indem jedem Element von T2 eine rationale
Zahl q = a/b zugewiesen wird, so dass b gleich der ersten Zweierpotenz
ist und a gleich der zweiten Zweierpotenz plus 1. a und b sind also
teilerfremd und die Menge aller so gebildeten q ist eine Teilmenge von
Q. Da Q abzaehlbar ist, ist auch T2 abzaehlbar.

Die Menge aller moeglichen Zweierkombinationen aller Elemente
einer abzaehlbaren Menge ist also ebenfalls abzaehlbar. Das gilt
allgemein, denn eine beliebige abzaehlbare Menge kann zuerst auf
T1 abgebildet werden, um dann den Beweis in gleicher Weise zu fuehren.
T3 ist die Menge aller Zweierkombinationen der Elemente von T2 mit den
Elementen von T1 und daher abzaehlbar. Tn ist die Menge der Zweier-
kombinationen der Elemente von T(n-1) mit den Elementen von T1, wobei
lediglich die Kombinationen entfallen, die dieselbe Zweierpotenz
mehrfach enthalten wuerden.
Alle Tn sind also abzaehlbar. T ist die Menge aller Tn und daher
gleichmaechtig wie N und folglich abzaehlbar. Die Tn sind die Elemente
von T, es interessiert daher nicht, wie sich die Tn zusammensetzen.
Pot(D1) dagegen ist die Menge aller in den Tn enthaltenen Elemente.
Pot(D1) ist also die Vereinigungsmenge einer abzaehlbaren Menge
abzaehlbarer Mengen und daher ebenfalls abzaehlbar im Widerspruch
zu der Voraussetzung, ueberabzaehlbar zu sein.

>
> > > ...
> > > > D e f i n i t i o n : Eine unendliche Menge ist eine nicht abge-
> > > > schlossene endliche Menge, deren Elemente mit der Methode Unendlich
> > > > beliebig vermehrt werden können (induktiver Unendlichkeitsbegriff).
> > > >
>
> Also: Zunaechst einmal habe ich schon Probleme mit einer Definition, die
> da lautet: Eine unendliche Menge ist eine ... e n d l i c h e Menge
> ...
> Ich denke mal, dass Du eher meinst, dass jede unendliche Menge sozusagen
> aus einer endlichen Menge und einer Vorschrift, neue Elemente zu bilden,
> entsteht.

Kennst Du eine andere Methode, unendliche Mengen zu bilden?

> Wie ist es z.B. mit der Menge der Quadratzahlen? Wo ist da die zugrunde
> liegende endliche Menge, wo die Methode Unendlich?

Wo liegt das Problem? Man addiert 1 zur Wurzel der groessten Quadratzahl
und bildet das neue Quadrat.

> > > Was soll abgeschlossen bedeuten? ohne das zu konkretisieren,
> > > ist das hier keine vernuenftige Definition.
> >
> > Nicht abgeschlossen meint in diesem Zusammenhang natuerlich eine nach
> > oben offene Menge, also eine Menge, fuer die keine groesste Zahl
> > angegeben werden kann. Ich bin davon ausgegangen, daß der Begriff
> > klar ist, es mag aber sein, daß diese Ausdrucksweise heute nicht
> > mehr gebraeuchlich ist.
> >
>
> Dann gibt es aber auch abgeschlossene unendliche Mengen, z.B.
> { 1 , 1/10 , 1/100 , 1/1000 , ...}
> Diese Menge ist sicherlich nach oben nicht offen, aber genauso sicher
> unendlich und sogar rational.

Was heisst _sogar_ rational? Es geht in diesem Zusammenhang ausschliess-
lich um die moegliche Groesse oder Maechtigkeit einer Menge. Daher
interessiert nur die Anzahl der Elemente und nicht ihre Bedeutung. Das
aendert allerdings nichts daran, dass ich hier eine falsche Formulierung
gewaehlt habe. Um diese Fehler herauszufinden, benoetige ich Kritik
und sachdienliche Hinweise. Deshalb Dank fuer Deinen Beitrag und

Gruß

Dieter

[Dieter Jungmann]

Hallo Detlef,
weil die Gefahr besteht, dass die Diskussion unuebersichtlich wird,
wenn zu viele Fragen gleichzeitig behandelt werden, beschraenke ich
mich auf die Details, von denen ich annehme, dass sie sich schnell
abhaken lassen. Die komplexeren Probleme moechte ich zurueckstellen,
bis die Frage nach der Abbildung von Pot(D1) auf N, die z. Z. im
Mittelpunkt der Diskussion steht, geklaert ist.

Zu meiner Bemerkung

> Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,
> die Liste sei vollständig. Dann müsste sie entweder eine letzte Zeile
> enthalten oder sich ständig wiederholen (evtl. mit vertauschten Zeilen).

schreibst Du:

> Dieser Schluss ist schlicht falsch (oder eine boeswillige
> Missinterpretation des Wortes "Liste").
> "Liste" ist natuerlich hier nicht als real auf Papier
> vorliegender Aufschrieb zu verstehen, sondern
> als Zuordnungsvorschrift (Funktion) l, die jeder Zahl
> n eine Reelle Zahl l(n) zuordnet.
>

Dazu folgendes:
1) Der Hinweis auf die "letzte Zeile" ist eine anschauliche Darstellung,
eine exaktere Begruendung folgt in Abschn. 4. Darauf habe ich 2 Zeilen
weiter hingewiesen, was Du offensichtlich (absichtlich?) uebersehen hast.

2) Auch die Zeilen einer Liste bilden eine Menge. Die Menge der Zahlen
wird umkehrbar eindeutig auf die Menge der Zeilen abgebildet, so dass
es gleichgueltig ist, ob ich mich auf die Zeilen oder direkt auf die
Zahlen beziehe.

3) Was nutzt der Beweis, dass die Liste der irrationalen Zahlen
unvollstaendig ist, wenn die Liste der natuerlichen Zahlen, was ich
ausfuehrlich erlaeutert habe, ebenfalls unvollstaendig ist? Wenn sowohl
die Menge N als auch die Menge I (oder R) unvollstaendig ist, wie kannst
Du dann folgern, dass N abzaehlbar ist, I aber nicht?

4) Tatsaechlich eignet sich CANTORs Beweis nicht einmal zum Beweis der
Unvollstaendigkeit der Liste, weil er von der falschen Voraussetzung
ausgeht, dass dazu eine Diagonale ausreicht. Auch das habe ich ausfuehr-
lich dargelegt. Bezeichnenderweise geht keiner von Euch darauf ein.

5) Wenn diese Tipps nicht ausreichen, moechte ich die weitere Diskussion
des Diagonalbeweises aus dem oben genannten Grund auf spaeter vertagen.

Zu den Primzahlen:
Deine Aussagen dazu gelten entweder fuer alle Primzahlen oder fuer
keine. Wenn Du weiter daran festhaelst, dass die Primzahlen, die
modulo 4 gleich -1 sind, in diesem Zusammenhang eine Sonderstellung
einnehmen, dann nenne endlich den Grund dafuer! Der Rest Deiner
Ausfuehrungen erledigt sich von selbst, wenn die Frage nach der
Abbildung von Pot(D1) auf N geklaert ist.

Zur Abbildung von Pot(D1), Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen,
auf N:
Im wesentlichen vertrittst Du hierzu dieselbe Meinung wie die anderen
Diskussionsteilnehmer. In meiner Antwort vom 11. 1., 00:15, an Holger
Gollan kannst Du meine Argumente nachlesen.

Du setzt allerdings noch eins drauf, indem Du schreibst:

> Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> haben?
> Da es keine unendlichstelligen natuerlichen Zahlen
> gibt, versagen deine Abbildungen bei allen nichtendlichen
> Mengen.
> Wenn Du spaeter aus den "Widerspruechen" schliesst, dass
> unendliche Mengen nicht statthaft sind, ist das mithin
> ein Witz (denn hier laesst du eben dies einfliessen).
>

Mit endlich vielen Binaerstellen lassen sich nur endlich viele
natuerliche Zahlen darstellen. Aus Deinem Argument folgt, dass
die Menge der natuerlichen Zahlen endlich ist. Was nun, kleiner
Witzbold?

Zum Banach-Tarski-Paradoxon:
Nicht messbare Mengen kommen real nicht vor, es besteht daher kein
Bedarf zur Einfuehrung dieses Begriffs. Er wurde auch nur eingefuehrt,
weil die Theorie ohne ihn nicht auskommt. Ausserhalb der Theorie gibt
es keine Verwendung dafuer. Es handelt sich also um eine Ad-Hoc-
Hypothese. Natuerlich steht es Dir frei, solche Hypothesen zu akzep-
tieren, mich ueberzeugen sie nicht. Mir stellt sich vielmehr die Frage,
wie ein Widerspruch wohl aussehen muss, damit ein Mengentheoretiker
ihn als solchen erkennt und ihn nicht formal korrekt wegdefiniert.

Zur Existenz der irrationalen Zahlen:
Du schreibst

>
> Es wird direkt mit den Vorschriften
> gerechnet und dabei kommen neue Vorschriften
> heraus.
>
> Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muss
> mehr "approximiert" werden.
>

und weiter unten

> Sollte jetzt klar sein: mit der richtigen Definition
> der reellen Zahlen _ist_ der Alghorithmus, die Vorschrift,
> gewissermassen schon das Objekt mit dem gerechnet wird.
> Die ist wohlbekannt und gleich der gesuchten Zahl.
>

und noch weiter unten
> ... Die Reelle Zahl wird durch den
> Alghorithmus selbst repraesentiert, ...
>
Alle drei Aussagen sind eine Bestaetigung meiner Behauptung,
dass es fuer die irrationalen Zahlen keinen Existenzbeweis
gibt. Ein Algorithmus ist ein Werkzeug zur Ermittlung eines
gesuchten Ergebnisses (hier also einer irrationalen Zahl).
Es gehoert schon eine ordentliche Portion Ignoranz und
Begriffsverwirrung dazu, das Werkzeug mit dem Werkstueck zu
verwechseln. Ich kann Dich nicht daran hindern, Dich mit einer
solchen verbalen Ersatzkonstruktion zufrieden zu geben, ich
ziehe es vor, einzusehen, dass nicht jedes Problem 100%ig exakt
loesbar ist. Im Endergebnis erzielst Du mit Deinem Selbstbetrug
auch kein genaueres Resultat. Wenn Du an Deiner Auffassung festhaelst,
so wie ich an meiner, wenn sich keine neuen Gesichtspunkte ergeben,
muessen wir die Diskussion dieses Problems an dieser Stelle beenden,
denn hier stehen sich zwei grundverschiedene Auffassungen vom Wesen
einer Zahl gegenueber, die sich gegenseitig ausschliessen.

>
> Was meinst Du damit?
> Es gibt doch nur die Dezimalstellen {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
> oder?
>

{0,1,2,...,9} ist die Menge der Ziffern, die im Dezimalsystem benoetigt
werden. Die Anzahl der Dezimalstellen ist identisch mit der Anzahl der
Ziffern, die zur Darstellung einer Dezimalzahl benoetigt werden.

--
Gruss

Dieter

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>

Hallo Dieter,

> Hallo Detlef,
> weil die Gefahr besteht, dass die Diskussion unuebersichtlich wird,
> wenn zu viele Fragen gleichzeitig behandelt werden, beschraenke ich
> mich auf die Details, von denen ich annehme, dass sie sich schnell
> abhaken lassen. Die komplexeren Probleme moechte ich zurueckstellen,
> bis die Frage nach der Abbildung von Pot(D1) auf N, die z. Z. im
> Mittelpunkt der Diskussion steht, geklaert ist.
>

Wunderbar! Ein einziges Thema, und kein "unendliches" Chaos!

>
> Zur Abbildung von Pot(D1), Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen,
> auf N:
> Im wesentlichen vertrittst Du hierzu dieselbe Meinung wie die anderen
> Diskussionsteilnehmer. In meiner Antwort vom 11. 1., 00:15, an Holger
> Gollan kannst Du meine Argumente nachlesen.
>

Und in meiner Antwort findest Du die Begruendung, warum Deine Zuordnung
keine Abbildung auf die Menge der natuerlichen Zahlen liefert. Leider
bisher ohne Antwort. Aber Du scheinst ja ein etwas eigenartiges
Verstaendnis der natuerlichen Zahlen zu besitzen. (s.u.)

> Du setzt allerdings noch eins drauf, indem Du schreibst:
> > Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> > endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> > haben?
> > Da es keine unendlichstelligen natuerlichen Zahlen
> > gibt, versagen deine Abbildungen bei allen nichtendlichen
> > Mengen.
> > Wenn Du spaeter aus den "Widerspruechen" schliesst, dass
> > unendliche Mengen nicht statthaft sind, ist das mithin
> > ein Witz (denn hier laesst du eben dies einfliessen).
> >
> Mit endlich vielen Binaerstellen lassen sich nur endlich viele
> natuerliche Zahlen darstellen. Aus Deinem Argument folgt, dass
> die Menge der natuerlichen Zahlen endlich ist. Was nun, kleiner
> Witzbold?
>

Entschuldige bitte, aber das ist absoluter Quatsch. Wie ich schon einmal
vermutet habe, scheinst Du eine andere Sicht auf die natuerlichen Zahlen
zu haben und auch solche mit unendlich vielen Stellen zuzulassen, oder?
Nur zur Erlaeuterung: Natuerlich hat jede natuerliche Zahl nur endlich
viele Binaerstellen, genau so, wie sie nur endlich viele Dezimalstellen
hat. Trotzdem kann man auf diese Weise unendlich viele Zahlen
darstellen. Oder ist die folgende Liste endlich? (Egal, ob im Dual- oder
Dezimalsystem)
1, 10, 100, 1000, 10000, ...
Jede diese Zahlen besitzt nur endlich viele Stellen, es sind aber
unendlich viele Zahlen, oder?

>
> --
> Gruss
>
> Dieter

[Detlef Mueller]

Hallo,

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Detlef,
> weil die Gefahr besteht, dass die Diskussion unuebersichtlich wird,
> wenn zu viele Fragen gleichzeitig behandelt werden, beschraenke ich
> mich auf die Details, von denen ich annehme, dass sie sich schnell
> abhaken lassen.
>

Gute Idee.

>
> Zu meiner Bemerkung
> > Ein Fehler in CANTORs Beweis besteht in der (versuchsweisen) Annahme,
> > die Liste sei vollständig. Dann müsste sie entweder eine letzte Zeile
> > enthalten oder sich ständig wiederholen (evtl. mit vertauschten Zeilen).
> schreibst Du:
> > Dieser Schluss ist schlicht falsch (oder eine boeswillige
> > Missinterpretation des Wortes "Liste").
> > "Liste" ist natuerlich hier nicht als real auf Papier
> > vorliegender Aufschrieb zu verstehen, sondern
> > als Zuordnungsvorschrift (Funktion) l, die jeder Zahl
> > n eine Reelle Zahl l(n) zuordnet.
> >
> Dazu folgendes:
> 1) Der Hinweis auf die "letzte Zeile" ist eine anschauliche Darstellung,
> eine exaktere Begruendung folgt in Abschn. 4. Darauf habe ich 2 Zeilen
> weiter hingewiesen, was Du offensichtlich (absichtlich?) uebersehen hast.
>

Darin tauchen "natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen"
auf, die angeblich aufgrund der unbeschraenktheit der Nat. Zahlen
notwendig sind, dazu spaeter mehr - jedenfalls
fusst der Text im folgenden darauf, und diese Annahme ist
imo falsch - doch Du bekommst spaeter gelegenheit, mich
hier zu widerlegen, oder ein Missverstaendnis richtigzustellen.

> 2) Auch die Zeilen einer Liste bilden eine Menge. Die Menge der Zahlen
> wird umkehrbar eindeutig auf die Menge der Zeilen abgebildet, so dass
> es gleichgueltig ist, ob ich mich auf die Zeilen oder direkt auf die
> Zahlen beziehe.
>

Nun, das mag wahr sein. Aber "Liste" suggeriert etwas endliches,
was notiert vorliegt, oder?
Bei eiener Abbildung ist von vornherein klar, dass die Menge
der Bilder nicht endlich sein muss.

> 3) Was nutzt der Beweis, dass die Liste der irrationalen Zahlen
> unvollstaendig ist, wenn die Liste der natuerlichen Zahlen, was ich
> ausfuehrlich erlaeutert habe, ebenfalls unvollstaendig ist? Wenn sowohl
> die Menge N als auch die Menge I (oder R) unvollstaendig ist, wie kannst
> Du dann folgern, dass N abzaehlbar ist, I aber nicht?
>

Wenn Du mit deiner Erlaeuterung den erwaehnten Abschnitt 4. meinst,
musst Du noch einmal deine Folgerung der Existenz von nat.
Zahlen "mit unendlich vielen Stellen" praezisieren. Ich halte
sich jedenfalls fuer falsch.

> 4) Tatsaechlich eignet sich CANTORs Beweis nicht einmal zum Beweis der

> Unvollstaendigkeit der Liste, ...
>
Welcher Liste jetzt?
Natuerlich ist die (fiktive) Liste vollstaendig, sonst
waere sie keine Liste.
Verstehen wir etwas unterschiedliches darunter?
Ich habe eine Liste a1, a2, a3, ... an, a(n+1), ...
von Zahlen gegeben. Was wuerde fuer Dich bedeuten, dass
diese vollstaendig ist, oder unvollstaendig?

> weil er von der falschen Voraussetzung
> ausgeht, dass dazu eine Diagonale ausreicht. Auch das habe ich ausfuehr-
> lich dargelegt. Bezeichnenderweise geht keiner von Euch darauf ein.
>

Nochmal: erst schreibst Du

"Wenn man alle Ziffernkombinationen zulässt, enthält die Liste nicht nur
irrationale Zahlen sondern auch die periodischen Dezimalbrüche. Trotzdem
handelt es sich nicht um die Menge der reellen Zahlen des Einheitsinter-
valls, denn dazu gehören auch die endlichen Dezimalbrüche."

Das ist natuerlich falsch, denn endliche Dezimalbrueche tauchen
sehr wohl auf, man muss sogar einschraenkungen machen, dass sie
nicht doppelt auftauchen:
0,5 = 0,5000000... = 0,49999999...
Ein Fehler, ab da braucht man nicht weiterzulesen, wenn die
Argumentation aufeinander aufbauend ist (weshalb wohl auch
viele auf das folgende nicht eingehen). Der ist erstmal zu
beheben.

...

>
> Zu den Primzahlen:
> Deine Aussagen dazu gelten entweder fuer alle Primzahlen oder fuer
> keine. Wenn Du weiter daran festhaelst, dass die Primzahlen, die
> modulo 4 gleich -1 sind, in diesem Zusammenhang eine Sonderstellung
> einnehmen, dann nenne endlich den Grund dafuer!
>

Der Grund, diese (willkuerlich) hervorzuheben ist folgender:

Es geht um die Potenzmenge der Menge der Primzahlen.

Die Elemente dieser Potenzmenge sind definitionsgemaess
die Teilmengen (endlich wie auch unendlich) aus der
Menge der Primzahlen.

Wenn Deine gegebene Abbildung besagete Potenzmenge in die
Natuerlichen Zahlen abbilden soll, muss sie jeder dieser
Teilmengen eine natuerliche Zahl zuordnen.

Das tut sie aber nicht, als Gegenbeispiel habe ich willkuerlich
die erstbeste unendliche Teilmenge der Primzahlen herausgegriffen,
und als Standardbeispiel erkoren.

Deine Abbildung wuerde hier zu einem unendlichen Produkt
fuehren, das ist aber keine Natuerliche Zahl, denn jede
natuerliche Zahl hat nur endlich viele Primfaktoren.

...

>
> Zur Abbildung von Pot(D1), Potenzmenge der Menge der Zweierpotenzen,
> auf N:
> Im wesentlichen vertrittst Du hierzu dieselbe Meinung wie die anderen
> Diskussionsteilnehmer. In meiner Antwort vom 11. 1., 00:15, an Holger
> Gollan kannst Du meine Argumente nachlesen.
>

Getan: Dein Problem ist, dass Du meinst die
Potenzmenge sei die Vereinigung der Mengen der
Leeren Menge,
der einelementigen Teilmengen,
der zweielementigen Teilmengen,
der dreielementigen Teilmengen und so fort.

Das ist aber falsch.

Die Menge selbst ist in dieser Vereinigung im Allgemeinen
schon nicht enthalten:
Beispiel: die Natuerlichen Zahlen N.
N hat mehr als ein, mehr als zwei, mehr als drei,
und ueberhaupt zu jedem n mehr als n Elemente.

Daher kommt die Menge N in der obigen Auflistung
an keiner Stelle vor.

Sprich: Du beschraenkst dich immernoch auf eine
winzige Teilmenge der wirklichen Potenzmenge.

Das die dann abzaehlbar ist, ist kein
Wunder.

> Du setzt allerdings noch eins drauf, indem Du schreibst:
> > Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> > endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> > haben?
> > Da es keine unendlichstelligen natuerlichen Zahlen
> > gibt, versagen deine Abbildungen bei allen nichtendlichen
> > Mengen.
> > Wenn Du spaeter aus den "Widerspruechen" schliesst, dass
> > unendliche Mengen nicht statthaft sind, ist das mithin
> > ein Witz (denn hier laesst du eben dies einfliessen).
> >
> Mit endlich vielen Binaerstellen lassen sich nur endlich viele
> natuerliche Zahlen darstellen. Aus Deinem Argument folgt, dass
> die Menge der natuerlichen Zahlen endlich ist. Was nun, kleiner
> Witzbold?
>

Du behauptest also, die Menge der natuerlichen Zahlen,
die nur endlich viele binaerstellen haben, ist selbst
endlich.

Nun, als endliche Menge muesste sie ja ein groesstes
Element haben.

Bitte nenn mir dieses groesste Element.
Oder sage mir nur, wieviele Stellen es denn hat.

Siehst Du, worauf ich hinaus will?

Das jede Zahl nur endlich viele Stellen hat,
heisst ja nicht, dass die Anzahl der Stellen
nicht beliebig gross sein kann.

Vielleicht hilft folgende Ueberlegung:
Habe ich eine Zahl mit endlich vielen
Stellen, und addiere eins dazu, so erhoeht
sich die Anzahl der Stellen dadurch
hoechstens um 1, oder?

Dann kann aber die Anzahl der Zahlen
mit endlich vielen Stellen nicht endlich
sein, denn wenn es eine obere Grenze
m gaebe, haetten wir die Zahlen
1, 1+1=2, 2+1=3, ... , m, m+1,
die alle verschieden sind, und alle
nur endlich viele Stellen haben.

Deshalb gibt es unendlich viele Zahlen
mit endlich vielen Stellen,
klar?
Jede einzelne Zahl hat nur endlich
viele Stellen, aber die Stellenanzahl
ist insgesammt nicht beschraenkt.
Allein weil ich immer wieder Zahlen mit
mehr (aber immernoch endlich vielen)
Stellen als alle aus einer beliebigen
endlichen Menge finden laesst, kann
die Menge der Zahlen mit endlich vielen
Stellen nicht endlich sein.

> Zum Banach-Tarski-Paradoxon:
> Nicht messbare Mengen kommen real nicht vor, es besteht daher kein
> Bedarf zur Einfuehrung dieses Begriffs. Er wurde auch nur eingefuehrt,
> weil die Theorie ohne ihn nicht auskommt.
>

Sicher kommt sie ohne ihn aus.

> Ausserhalb der Theorie gibt
> es keine Verwendung dafuer. Es handelt sich also um eine Ad-Hoc-
> Hypothese.
>

Sieh es so: Man hatte die physikalischen Mengen,
die man beobachten konnte (Flaechen, Volumen in
der Natur), und versuchte sie Axiomatisch zu
fassen.
Dann stellte man fest, dass die bisherigen
Axiome so frei waren, dass es Mengen gab,
die sich komisch verhalten (denen sich etwa kein
Mass zuordnen laesst).
Das ist aber doch gar kein Grund zur Panik,
fuehrt zu keinem Widerspruch und warnt den
Physiker nur, dass Modell und "Wirklichkeit"
verschiedene Sachen sind.

> Natuerlich steht es Dir frei, solche Hypothesen zu akzep-
> tieren, mich ueberzeugen sie nicht. Mir stellt sich vielmehr die Frage,
> wie ein Widerspruch wohl aussehen muss, damit ein Mengentheoretiker
> ihn als solchen erkennt und ihn nicht formal korrekt wegdefiniert.
>

Hier gibt es keinen Widerspruch.

Du hast nur Mengen, denen sich kein Mass zuordnen
laesst.

In den komplexen Zahlen hat man z.B. keine
Anordnung, aber auf der Teilmenge der rationalen
Zahlen sehr wohl, das ist nichts
aussergewoehnliches.

> Zur Existenz der irrationalen Zahlen:
> Du schreibst
> >
> > Es wird direkt mit den Vorschriften
> > gerechnet und dabei kommen neue Vorschriften
> > heraus.
> >
> > Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muss
> > mehr "approximiert" werden.
> >
> und weiter unten
> > Sollte jetzt klar sein: mit der richtigen Definition
> > der reellen Zahlen _ist_ der Alghorithmus, die Vorschrift,
> > gewissermassen schon das Objekt mit dem gerechnet wird.
> > Die ist wohlbekannt und gleich der gesuchten Zahl.
> >
> und noch weiter unten
> > ... Die Reelle Zahl wird durch den
> > Alghorithmus selbst repraesentiert, ...
> >
> Alle drei Aussagen sind eine Bestaetigung meiner Behauptung,
> dass es fuer die irrationalen Zahlen keinen Existenzbeweis
> gibt.
>

Ich habe versucht, mich deinem Sprachgebrauch anzupassen,
hat wohl nicht ganz geklappt.

Versuchen wir es nochmal zum Abhaken, irgendwann musst
Du nein oder weiss nicht antworten, da koennen wir
weitermachen:

Glaubst Du an die Existenz von Folgen von
rationalen Zahlen?

Glaubst Du an die Existenz von Konvergenten Folgen
von rationalen Zahlen?

Glaubst Du an die Existenz von Nullfolgen rationaler
Zahlen?

Glaubst Du daran, dass Konvergente Folgen rationaler
Zahlen, die sich nur um Nullfolgen unterscheiden,
Zu Klassen zusammenfassen kann?

Glaubst Du daran, dass man fuer diese Klassen
die elementaren Rechenoperationen definieren
kann?

Wenn ja, hast Du jetzt eine Skizze der Konstruktion der
reellen Zahlen vor Dir, also einen Existenzbeweis.

> Ein Algorithmus ist ein Werkzeug zur Ermittlung eines
> gesuchten Ergebnisses (hier also einer irrationalen Zahl).
> Es gehoert schon eine ordentliche Portion Ignoranz und
> Begriffsverwirrung dazu, das Werkzeug mit dem Werkstueck zu
> verwechseln.
>

"Werkstuecke" sind fuer dich die rationalen Zahlen.
Deine Illusion ist, Du wuesstest, was etwa 7/11 ist.
Rationale Zahlen sind genauso Abstrakta wie auch
Reelle.
Wenn ich den Umfang eines Kreises vom Radius 1
betrachte, oder die Laenge der Diagonale eines
Einheitsquadrates, so wird ein kleines Kind
sicher weniger Probleme haben hier 2pi oder
Wurzel aus 2 als gleichberechtigt zur Groesse
1 zu betrachten als so mancher verbildete
Erwachsene.

...

> >
> > Was meinst Du damit?
> > Es gibt doch nur die Dezimalstellen {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},
> > oder?
> >
> {0,1,2,...,9} ist die Menge der Ziffern, die im Dezimalsystem benoetigt
> werden. Die Anzahl der Dezimalstellen ist identisch mit der Anzahl der
> Ziffern, die zur Darstellung einer Dezimalzahl benoetigt werden.
>

Mh, "die Anzahl der Dezimalstellen ist ueberabzaehlber".

Naja, ich denke das klaert sich damit, ob jede Natuerliche
Zahl endlich viele Dezimalstellen zur Darstellung benoetigt.

Das habe ich aber weiter oben (skizzenhaft) gezeigt.

Gruss,
Detlef

[Dieter Jungmann]

Hallo Holger,

Du schreibst

> Und in meiner Antwort findest Du die Begruendung, warum Deine Zuordnung
> keine Abbildung auf die Menge der natuerlichen Zahlen liefert.

Wo ist denn die Begruendung? Ausser unbewiesenen Behauptungen war
bisher nichts von Dir zu lesen.

Du faehrst dann fort:
> Leider bisher ohne Antwort. ...
Das ist unfair. Ich habe sehr genau auf Deine unbewiesene Behauptung
geantwortet, aber Du gehst mit keinem Wort darauf ein.

Du versuchst permanent Dich damit herauszureden, dass die Abbildung
nur fuer endliche Teilmengen gelte. Warum beantwortest Du nicht die
Frage nach der groessten Teilmenge, oberhalb der die Abbildung nicht
mehr moeglich ist? Wie werden natuerliche Zahlen oberhalb dieser
Grenze dargestellt? Was ist mit der Abbildung von Pot(N) auf N
nach dem Vorbild von Cantors Abbildung von Q auf N?

Deine Behauptung, nur endliche Teilmengen von Pot(D1) koennten auf
N abgebildet werden, hast Du mit dem Hinweis zu begruenden versucht,
dass die Potenzmenge der unendlichen Menge der Zweierpotenzen auch
unendliche Teilmengen als Elemente enthaelt. Das Argument ist unsinnig,
weil sich ausnahmslos jede abzaehlbar unendliche Menge als Vereinigung
von unbegrenzt vielen unendlichen Teilmengen darstellen laesst. Deshalb
gilt auch der folgende Satz der Mengenlehre:
"Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
abzaehlbar." (Zitat aus H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengen-
lehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994, S. 139, 2.6 (c))

Mit Hilfe dieses Satzes habe ich in meiner Antwort, die Du allerdings
nicht zur Kenntnis nimmst, bewiesen, dass Pot(D1) abzaehlbar ist. Beim
Beweis der Abzaehlbarkeit der Tn habe ich sogar auf die naheliegende
Abbildung auf Teilmengen von N verzichtet und den Umweg ueber Teil-
mengen von Q gewaehlt, weil Abbildungen auf Teilmengen von N bei Dir
offenbar zu einer mentalen Sperre fuehren. Aber auch diese Muehe war
vergebens, weil Du alles, was Deine Vorurteile nicht bestaetigt,
schlicht ignorierst.

Eines Deiner Probleme ist offensichtlich der Begriff Unendlich.
Du schreibst
> ...

> Nur zur Erlaeuterung: Natuerlich hat jede natuerliche Zahl nur endlich
> viele Binaerstellen, genau so, wie sie nur endlich viele Dezimalstellen
> hat. Trotzdem kann man auf diese Weise unendlich viele Zahlen
> darstellen. Oder ist die folgende Liste endlich? (Egal, ob im Dual- oder
> Dezimalsystem)
> 1, 10, 100, 1000, 10000, ...
> Jede diese Zahlen besitzt nur endlich viele Stellen, es sind aber
> unendlich viele Zahlen, oder?
>

Ich sehe nur 5 Zahlen und 3 Punkte, von unendlich keine Spur. Die
groesste der 5 Zahlen hat 5 Dezimalstellen (oder 5 Binaerstellen,
wenn man sie als Dualzahlen interpretiert). Dieses Beispiel zeigt
besonders deutlich den untrennbaren Zusammenhang zwischen der Anzahl
der Binaerstellen und der Anzahl der damit darstellbaren Zahlen. Die
Anzahl der Zahlen Deiner Zahlenfolge ist exakt gleich gross wie die
Anzahl der Binaer- (oder Dezimal-)stellen der groessten dieser
Zahlen. Wie kannst Du also behaupten, dass die Anzahl der Zahlen
unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
groessten dieser Zahlen aber endlich ist?

Du lehnst meine Definition des Begriffs Unendlich ab. Das koennte
ich akzeptieren, wenn Du im Gegenzug eine eigene Definition vorlegen
wuerdest, damit klar wird, was Du mit unendlich meinst. Statt dessen
operierst Du vollmundig mit einem Begriff, von dem ich den Eindruck
habe, dass Du selbst nicht weisst, um was es sich handelt. Wenn die
weitere Diskussion Sinn haben soll, erklaere also genau, was Du
unter einer unendlichen Menge verstehst, und liefere auch den
Existenzbeweis fuer Deine unendlichen Mengen. Da es in der Realitaet
nur endliche Mengen gibt und somit der direkte Nachweis der Existenz
unendlicher Mengen nicht moeglich ist, ist ein eindeutiger theore-
tischer Existenzbeweis unverzichtbar, wenn der Begriff nicht nur
Spekulation sein soll. Mit einer solchen Definition koenntest Du
mich mehr beeindrucken als mit Deinen unbewiesenen Behauptungen.

In den naechsten Tagen werde ich auf das posting von Detlef Mueller
etwas ausfuehrlicher antworten. Bis dahin

Gruss

Dieter

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,

>
> Du versuchst permanent Dich damit herauszureden, dass die Abbildung
> nur fuer endliche Teilmengen gelte. Warum beantwortest Du nicht die
> Frage nach der groessten Teilmenge, oberhalb der die Abbildung nicht
> mehr moeglich ist? Wie werden natuerliche Zahlen oberhalb dieser
> Grenze dargestellt? Was ist mit der Abbildung von Pot(N) auf N
> nach dem Vorbild von Cantors Abbildung von Q auf N?
>

Du behauptest also, dass eine Aussage, die fuer alle endlichen
Teilmengen einer unendlichen Menge gilt, zwangslaeufig auch fuer die
unendliche Menge selbst gueltig ist? (Wobei Deine Aussage ja nur fuer
einen Teil der endlichen Teilmengen galt, und was "unendlich" eigentlich
bedeutet, sollten wir wirklich mal klaeren.)
Wie ist es mit folgender Aussage: Sei T_n = {1,2,...,n} die Menge der
ersten n natuerlichen Zahlen. Dann gilt: T_n besitzt ein groesstes
Element, eine obere Schranke, was auch immer. Deiner Meinung nach gilt
das dann auch fuer die Vereinigung aller T_n, also die Menge der
natuerlichen Zahlen?

> Deine Behauptung, nur endliche Teilmengen von Pot(D1) koennten auf
> N abgebildet werden, hast Du mit dem Hinweis zu begruenden versucht,
> dass die Potenzmenge der unendlichen Menge der Zweierpotenzen auch
> unendliche Teilmengen als Elemente enthaelt. Das Argument ist unsinnig,
> weil sich ausnahmslos jede abzaehlbar unendliche Menge als Vereinigung
> von unbegrenzt vielen unendlichen Teilmengen darstellen laesst. Deshalb
> gilt auch der folgende Satz der Mengenlehre:
> "Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
> abzaehlbar." (Zitat aus H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengen-
> lehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994, S. 139, 2.6 (c))
>

Ja, und? Das Problem ist doch, dass die Aussage beim Uebergang zur
Vereinigung nicht unbedingt richtig bleiben muss (Sinn ergeben muss).
Beispiel:
Betrachte Pot(N) und N. Obige T_n sind Elemente von Pot(N) und es gilt,
dass N die Vereinigung der abzaehlbar vielen T_n ist. Nun koennte man
analog zu Deinem Beweis mit Pot(D1) eine Abbildung definieren, die jedem
endlichen Element von Pot(N), also jeder endlichen Teilmenge von N, die
Summe (das Produkt) ihrer Elemente, also eine natuerliche Zahl zuordnet.
Fuer die Summe wuerde man dann jedem T_n die natuerliche Zahl n*(n+1)/2
zuordnen. Dies kannst Du nun fuer alle T_n machen, was aber sagt dass
fuer die Vereinigung der T_n, also fuer N selbst aus? Kannst Du auf
diese Art und Weise auch N eine natuerliche Zahl zuordnen? (Die Summe
aller natuerlichen Zahlen?)
Noch einmal wiederholt: Fuer jeden endlichen Teil hast Du eine konkrete
Aussage, beim Uebergang zur Vereinigung, zum unendlichen Ganzen, muss
diese Aussage aber nicht mehr Bestand haben.

> Mit Hilfe dieses Satzes habe ich in meiner Antwort, die Du allerdings
> nicht zur Kenntnis nimmst, bewiesen, dass Pot(D1) abzaehlbar ist. Beim
> Beweis der Abzaehlbarkeit der Tn habe ich sogar auf die naheliegende
> Abbildung auf Teilmengen von N verzichtet und den Umweg ueber Teil-
> mengen von Q gewaehlt, weil Abbildungen auf Teilmengen von N bei Dir
> offenbar zu einer mentalen Sperre fuehren. Aber auch diese Muehe war
> vergebens, weil Du alles, was Deine Vorurteile nicht bestaetigt,
> schlicht ignorierst.
>

Nun, sieh es mal so. Du willst etwas beweisen, von dem ich ueberzeugt
bin, dass es falsch ist. Ich zeige Dir einen Fehler ganz am Anfang
Deines Beweises, auf den Du im Folgenden gar nicht mehr eingehst. Ich
haette schon erwartet, dass Du dazu Stellung beziehst, da Deine ganzer
Beweis darauf aufbaut.

> Eines Deiner Probleme ist offensichtlich der Begriff Unendlich.

Wer damit Probleme hat, ist vielleicht noch heraus zu finden.

> Du schreibst
> > ...
> > Nur zur Erlaeuterung: Natuerlich hat jede natuerliche Zahl nur endlich
> > viele Binaerstellen, genau so, wie sie nur endlich viele Dezimalstellen
> > hat. Trotzdem kann man auf diese Weise unendlich viele Zahlen
> > darstellen. Oder ist die folgende Liste endlich? (Egal, ob im Dual- oder
> > Dezimalsystem)
> > 1, 10, 100, 1000, 10000, ...
> > Jede diese Zahlen besitzt nur endlich viele Stellen, es sind aber
> > unendlich viele Zahlen, oder?
> >
> Ich sehe nur 5 Zahlen und 3 Punkte, von unendlich keine Spur. Die
> groesste der 5 Zahlen hat 5 Dezimalstellen (oder 5 Binaerstellen,
> wenn man sie als Dualzahlen interpretiert). Dieses Beispiel zeigt
> besonders deutlich den untrennbaren Zusammenhang zwischen der Anzahl
> der Binaerstellen und der Anzahl der damit darstellbaren Zahlen. Die
> Anzahl der Zahlen Deiner Zahlenfolge ist exakt gleich gross wie die
> Anzahl der Binaer- (oder Dezimal-)stellen der groessten dieser
> Zahlen. Wie kannst Du also behaupten, dass die Anzahl der Zahlen
> unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
> groessten dieser Zahlen aber endlich ist?

Mir war schon klar, dass die 3 Punkte nicht gerade perfekter
mathematischer Notation entsprachen, aber ich bin eigentlich davon
ausgegangen, dass Du nicht auf solche Feinheiten abhebst, sondern Dich
um die Inhalte bemuehst.
Prinzipiell erscheint in Deiner Argumentation wieder das gleiche
Problem: Natuerlich hat jede einzelne Zahl in dieser Folge nur endlich
viele Stellen, aber es gibt unendlich viele von diesen Zahlen. Oder
willst Du behaupten, dass es nur endlich viele natuerliche Zahlen gibt?

>
> Du lehnst meine Definition des Begriffs Unendlich ab. Das koennte
> ich akzeptieren, wenn Du im Gegenzug eine eigene Definition vorlegen
> wuerdest, damit klar wird, was Du mit unendlich meinst. Statt dessen
> operierst Du vollmundig mit einem Begriff, von dem ich den Eindruck
> habe, dass Du selbst nicht weisst, um was es sich handelt. Wenn die
> weitere Diskussion Sinn haben soll, erklaere also genau, was Du
> unter einer unendlichen Menge verstehst, und liefere auch den
> Existenzbeweis fuer Deine unendlichen Mengen. Da es in der Realitaet
> nur endliche Mengen gibt und somit der direkte Nachweis der Existenz
> unendlicher Mengen nicht moeglich ist, ist ein eindeutiger theore-
> tischer Existenzbeweis unverzichtbar, wenn der Begriff nicht nur
> Spekulation sein soll. Mit einer solchen Definition koenntest Du
> mich mehr beeindrucken als mit Deinen unbewiesenen Behauptungen.
>

Wie waere es mit der Menge der natuerlichen Zahlen? Endlich oder
unendlich? Wenn sie endlich waere, dann muesste es doch ein groesstes
Element geben, oder?

> In den naechsten Tagen werde ich auf das posting von Detlef Mueller
> etwas ausfuehrlicher antworten. Bis dahin
>
> Gruss
>
> Dieter

--

[Sören Schindler]

Ich habe mir zum Spass sämtliche Postings in diesem Thread
durchgelesen und es ist schon erstaunlich, wie sehr sich die Postings
Dieter Jungmanns die von James Harris (der mit dem ganz einfachen
FLT-Beweis) in der sci.math Newsgroup ähneln...

Dieter Jungmann wrote:
<<ziemlich viel-Schnipp>>

[Dieter Jungmann]

Hallo Detlef,

meine Antwort hat sich hinausgezoegert, ich hoffe aber, dass es
dafuer jetzt etwas mehr Klarheit gibt.

>
> > 4) Tatsaechlich eignet sich CANTORs Beweis nicht einmal zum Beweis der
> > Unvollstaendigkeit der Liste, ...
> >
> Welcher Liste jetzt?
> Natuerlich ist die (fiktive) Liste vollstaendig, sonst
> waere sie keine Liste.
> Verstehen wir etwas unterschiedliches darunter?
> Ich habe eine Liste a1, a2, a3, ... an, a(n+1), ...
> von Zahlen gegeben. Was wuerde fuer Dich bedeuten, dass
> diese vollstaendig ist, oder unvollstaendig?
>

Es besteht die Absicht, alle {an} einer gegebenen Zahlenmenge in eine
Liste aufzunehmen. Wenn alle an in der Liste enthalten sind, ist sie
vollstaendig, wenn ein oder mehrere an fehlen, ist sie unvollstaendig.

Cantor standen die heutigen Begriffe der Mengenlehre noch nicht zur
Verfuegung, er konnte sie daher auch nicht benutzen. Es ist daher
Erbsenklauberei, an einzelnen Ausdruecken Anstoss zu nehmen. Die
Beschreibung mit Hilfe einer Liste oder Tabelle hat er gewaehlt, um
den Sinn des Diagonalbeweises moeglichst anschaulich zu erklaeren.

Da mir Zweifel kommen, ob Du den Sinn des Diagonalbeweises kennst,
will ich ihn kurz andeuten. Wenn es nur darum ginge, dass in
jeder Zeile eine Ziffer geaendert wird, koennte man einfach alle
untereinander an derselben Dezimalstelle stehenden Ziffern aendern.
Da die Anordnung der reellen Zahlen in der Liste beliebig ist, koennte
man, nachdem die neue Zahl definiert wurde, zwei Zahlen vertauschen,
so dass sich mindestens bei der einen Zahl die Ziffer an
der vorgegebenen Dezimalstelle nicht mehr von der Ziffer der neuen
Zahl an derselben Dezimalstelle unterscheidet. Da es viele Tausch-
moeglichkeiten gibt, laesst sich nicht ausschliessen, dass es eine
Zahl gibt, die auch in allen anderen Dezimalstellen mit der neuen
uebereinstimmt. Man haette also keinen Beweis. Durch die diagonale
Anordnung der zu veraendernden Ziffern wird erreicht, dass auch dann
noch erkennbar ist, dass sich die neue Zahl in wenigstens einer
Dezimalstelle von jeder in der Liste enthaltenen Zahl unterscheidet,
wenn deren Reihenfolge geaendert wird. Wie das funktioniert, kannst
Du Dir selbst ueberlegen.

Die Idee mit der Diagonalen ist in der Tat raffiniert. Sie setzt aber
voraus, dass die Anzahl der Zeilen und Spalten der Liste (also die
Anzahl der zu beruecksichtigenden Zahlen und die Anzahl der zu ihrer
Darstellung benoetigten Dezimalstellen) gleich ist. Diese Voraussetzung
ist aber, wie ich nachgewiesen habe, nicht erfuellt, eine solche Annahme
ist geradezu absurd. Daher ist der Diagonalbeweis gegenstandslos.

> >
> Nochmal: erst schreibst Du
> "Wenn man alle Ziffernkombinationen zulässt, enthält die Liste nicht nur
> irrationale Zahlen sondern auch die periodischen Dezimalbrüche. Trotzdem
> handelt es sich nicht um die Menge der reellen Zahlen des Einheitsinter-
> valls, denn dazu gehören auch die endlichen Dezimalbrüche."
>
> Das ist natuerlich falsch, denn endliche Dezimalbrueche tauchen
> sehr wohl auf, man muss sogar einschraenkungen machen, dass sie
> nicht doppelt auftauchen:
> 0,5 = 0,5000000... = 0,49999999...
> Ein Fehler, ab da braucht man nicht weiterzulesen, wenn die
> Argumentation aufeinander aufbauend ist (weshalb wohl auch
> viele auf das folgende nicht eingehen). Der ist erstmal zu
> beheben.
>

Richtig. Deshalb habe ich auch geschrieben "Werden sie beruecksichtigt

und an den Anfang der Tabelle gesetzt, so dass sich die Zahl der

Nachkommastellen kontinuierlich vergroessert, sind bereits alle
endlichen natuerlichen Zahlen fuer ihre Abbildung verbraucht. Zur
Abbildung der periodischen und irrationalen Brueche stehen dann nur
noch natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen zur Verfuegung,
die ebenfalls nicht abzaehlbar sind."

Da die Reihenfolge der reellen Zahlen beliebig ist, ist es zulaessig
und uebersichtlicher, die endlichen Brueche an den Anfang der Tabelle
zu stellen. Die ueblichen Beschreibungen des Diagonalbeweises sugge-
rieren naemlich, dass sie unberuecksichtigt bleiben, zumindest wird
ihre Bedeutung nicht sichtbar. Die Tabelle koennte z. B. so aussehen:
,1 1
,2 2
... ...
,9 9
,01 10
,11 11
... ...
,91 19
,02 20
,12 21
... ...
,99 99
,001 100
,101 101
... ...
,901 109
,011 110
... ...

Man hat jetzt die Wahl zwischen mehreren Uebeln. Da es kaum
zu begruenden sein duerfte, warum die Anzahl der moeglichen
Dezimalstellen der natuerlichen Zahlen eine andere sein sollte
als die Zahl der Nachkommastellen der Brueche, koennte man
annehmen, dass sie gleich ist. Dann waere aber die Anzahl der
reellen Zahlen exakt gleich der Anzahl der natuerlichen Zahlen.
Da die Anzahl der Dezimalstellen der natuerlichen Zahlen
abzaehlbar ist, gilt das dann auch fuer die Dezimalstellen
der Brueche.

Ausserdem gibt es dann nur rationale Zahlen, denn ein Bruch
mit einer abzaehlbaren Anzahl von Dezimalstellen laesst sich
als Quotient von 2 ganzen Zahlen mit abzaehlbar vielen Stellen
darstellen. Waeren darunter auch irrationale Zahlen, muesste
man eine Stellenzahl definieren, ab der der Quotient keine rationale
Zahl mehr ist. Eine solche Definition ist nicht sinnvoll moeglich.

Da die Mengenlehre davon ausgeht, dass es mehr reelle als natuerliche
Zahlen gibt, muss die maximale Stellenzahl der Brueche groesser
sein als die der natuerlichen Zahlen. Daraus wiederum folgt,
dass die Stellenzahl der Brueche ueberabzaehlbar sein muss,
denn waere sie wie die Stellenzahl der natuerlichen Zahlen
abzaehlbar, liesse sich nicht mehr begruenden, warum sich die
Anzahl der Stellen der natuerlichen Zahlen nicht auf dieselbe
Anzahl wie die der Brueche sollte anheben lassen.

Fuer die irrationalen Zahlen ergibt sich daraus folgende
Konsequenz: Es gibt keinen Algorithmus, mit dem sich ueber-
abzaehlbar viele Stellen berechnen lassen. Selbst wenn man
definieren wuerde, dass die irrationalen Zahlen zu existieren
haben, wuerde feststehen, dass es sich nur um ein unerfuellbares
Postulat handelt. Das bedeutet auch, dass es keine Zahlen mit
ueberabzaehlbar vielen Stellen gibt, denn fuer ihre Erzeugung
gibt es keinen Algorithmus. Daraus folgt, wie gezeigt, dass die
Menge der reellen Zahlen des Einheitsintervalls gleich gross ist
wie die Menge der natuerlichen Zahlen. Da Zahlen mit abzaehlbar
vielen Stellen rationale Zahlen sind, gibt es fuer irrationale
Zahlen keinen Existenzbeweis.

Wenn Du bei Deiner (unhaltbaren, wie ich spaeter noch zeigen werde)
Aussage bleibst, dass die Anzahl der Dezimalstellen der natuerlichen
Zahlen endlich ist, sind alle natuerlichen Zahlen fuer die Abbildung
der endlichen Brueche verbraucht, es bleiben keine zur Abbildung der
Zahlen mit unendlich vielen Stellen uebrig. Du koenntest das als
Beweis fuer die Ueberabzaehlbarkeit der reellen Zahlen interpretieren.
Das kann aber nicht Cantors Absicht gewesen sein, denn dann haette
er den Diagonalbeweis nicht gebraucht. Ausserdem haette er dann seine
Behauptung, dass Q gleichmaechtig sei wie N, selbst widerlegt.
Denn mit endlichen Dezimalbruechen laesst sich nur ein kleiner
Teil der rationalen Zahlen darstellen, die meisten sind periodische
Dezimalbrueche mit unendlich vielen Stellen, fuer deren Abbildung
dann aber keine natuerlichen Zahlen uebrig sind.

Der Diagonalbeweis enthaelt so viele Fehler (ich habe nicht alle
aufgezaehlt), dass man schliesslich nicht mehr weiss, was mit
welchem Argument bewiesen werden soll. Ich muss also raten. Da Du
die Position der Mengenlehre vertrittst, ist es Deine Aufgabe,
verbindlich zu sagen, wie der Diagonalbeweis zu interpretieren ist,
wenn Dich die vorstehenden Ausfuehrungen nicht ueberzeugen.

Zu den Primzahlen:

Was Du mit den Primzahlen, die modulo 4 gleich -1 sind, meinst,
ist jetzt klar. Das Beispiel zeigt, wie man aneinander vorbei
reden kann, wenn man von unterschiedlichen Standpunkten aus an
ein Problem herangeht.

Trotz dieser Klarstellung kann ich mich allerdings Deiner
Argumentation nicht anschliessen.

>
> Deine Abbildung wuerde hier zu einem unendlichen Produkt
> fuehren, das ist aber keine Natuerliche Zahl, denn jede
> natuerliche Zahl hat nur endlich viele Primfaktoren.

Wenn Du eine solche Behauptung aufstellst, musst Du konsequenterweise
sagen, wie viele Primfaktoren eine natuerliche Zahl maximal enthalten
darf. Du benutzt hier den Begriff unendlich, ohne Dir das bewusst zu
machen, im Sinne des strukturlosen Unendlichkeitsbegriffs, den ich in
Abschn. 4 erlaeutert habe, also so, als ob oo eine festvorgegebene
Superzahl ausserhalb von N waere. Das trifft aber auf N nicht zu. Die
Unendlichkeit von N besteht einfach nur darin, dass es eben nicht
moeglich ist, eine groesste Zahl anzugeben. Das gilt auch fuer die
Anzahl der Primfaktoren. Die Aussage, es muesste in meiner Abbildung
auch natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Primfaktoren geben, ist
daher unsinnig, es sei denn, man haette sich auf den induktiven
Unendlichkeitsbegriff, wie ich ihn definiert habe, geeinigt. In diesem
Fall sind unendliche Mengen ein Sonderfall von endlichen Mengen, eben
jenen Mengen, fuer die sich keine obere Grenze fuer die Anzahl der
Elemente angeben laesst. Dann aber tritt das Problem, auf das Du hinaus
willst, nicht auf.

Alle Primzahlen sind Elemente von N. Fuer alle Elemente von N gelten
die gleichen Rechenregeln. Insbesondere gibt es keine obere Grenze fuer
die Anzahl der Elemente, auf die eine Rechenoperation gleichzeitig
anwendbar ist. Wenn Du an Deinem Argument festhaelst, musst Du neue
Rechenregeln definieren.

Im uebrigen sagt der mengentheoretische Abzaehlbarkeitsbegriff nichts
ueber die Beschaffenheit der Elemente aus. Er verlangt nur, dass sich
die Elemente einer abzaehlbaren Menge in der Form {n0, n1, n2, ...}
schreiben lassen. Dabei muss eindeutig erkennbar sein, dass jedes
Element der Menge seinen Platz in dieser abzaehlbaren Auflistung findet.
Die Abbildung von Pot(P) auf N und noch deutlicher die Abbildung von
Pot(D1) auf N erfuellt diese Bedingung wesentlich uebersichtlicher
als beispielsweise Cantors Abbildung von Q auf N. Wenn Du bestreitest,
dass Pot(P) und Pot(D1) abzaehlbar sind, musst Du zuerst eine von der
heutigen Mengenlehre abweichende neue Definition der Abzaehlbarkeit
einfuehren.

Damit eruebrigen sich eigentlich weitere Ausfuehrungen zur Abbildung
von Pot(D1) auf N. Da Du Dich offensichtlich an einer bestimmten
Vorstellung festgebissen hast, will ich Dir noch eine Hilfestellung
geben.

Du argumentierst so, als ob es um die Abbildung von Pot(N) auf N
ginge. Dann waere Deine Argumentation nachvollziehbar, obwohl auch
Pot(N) nach dem Abzaehlbarkeitskriterium der Mengenlehre abzaehlbar
ist.

Die Menge D1 der Zweierpotenzen {2^n | n el N} ist eine extrem
"duenne" Teilmenge von N. Das wird erst bei groesseren Werten von n
sichtbar. Die Differenz (2^(n+1) - 2^n) verdoppelt sich jedesmal,
wenn n um 1 vergroessert wird. Andererseits verdoppelt sich auch die
Anzahl der Elemente der Potenzmenge einer Menge mit n Elementen
jedesmal, wenn n um 1 erhoeht wird. Die beiden Effekte kompensieren
sich exakt. Das kommt auch in den Teilmengen Tm, auf die ich bereits
mehrfach hingewiesen habe, deutlich zum Ausdruck. Deshalb ist die
Anzahl der Elemente von Pot(D1) exakt identisch mit der Anzahl der
Elemente von N.

Vielleicht benoetigst Du noch eine grundsaetzlichere Ueberlegung,
um Dich aus den Fallstricken der Mengenlehre befreien zu koennen.
Du findest sie am Anfang von Abschn. 2 meines Artikels. Wenn die unsinnige
Maechtigkeitsdefinition, wonach eine Menge gleichmaechtig
sein kann wie eine ihrer echten Teilmengen, nicht zu Widerspruechen
fuehren wuerde, waere die Logik ein Gluecksspiel und zur Gewinnung
und Ueberpruefung von Erkenntnissen ungeeignet.

>
> Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> haben?

> ...

> Du behauptest also, die Menge der natuerlichen Zahlen,
> die nur endlich viele binaerstellen haben, ist selbst
> endlich.
>
> Nun, als endliche Menge muesste sie ja ein groesstes
> Element haben.
>
> Bitte nenn mir dieses groesste Element.
> Oder sage mir nur, wieviele Stellen es denn hat.
>
> Siehst Du, worauf ich hinaus will?

Du behauptest also, die Menge B der Binaerstellen einer
natuerlichen Zahl ist endlich.

Nun, fuer eine endliche Menge muesste es ja eine groesste Zahl
geben, die sagt, wieviel Binaerstellen es maximal sein duerfen.

Bitte nenn mir diese Zahl.

Siehst Du, worauf ich hinaus will?

Mit dieser Argumentation drehst Du Dich im Kreis herum.

Die Binaerstellen einer natuerlichen Zahl lassen sich
nummerieren. Es gibt keine groesste zulaessige Nummer.
D. h. sie lassen sich auf N abbilden.
Die Menge B der Binaerstellen ist also gleichmaechtig
wie N. Es ist daher unsinnig, zu behaupten,
B sei endlich und N unendlich. Beide Mengen sind gleich
endlich oder unendlich. Und da N die Potenzmenge von B
ist, liegt ein eindeutiger Widerspruch in den Aussagen
der Mengenlehre vor.

Zum Banach-Tarski-Paradoxon:
Zu meiner Bemerkung

> > Ausserhalb der Theorie gibt
> > es keine Verwendung dafuer. Es handelt sich also um eine Ad-Hoc-
> > Hypothese.

schreibst Du

> Sieh es so: Man hatte die physikalischen Mengen,
> die man beobachten konnte (Flaechen, Volumen in
> der Natur), und versuchte sie Axiomatisch zu
> fassen.
> Dann stellte man fest, dass die bisherigen
> Axiome so frei waren, dass es Mengen gab,
> die sich komisch verhalten (denen sich etwa kein
> Mass zuordnen laesst).
> Das ist aber doch gar kein Grund zur Panik,
> fuehrt zu keinem Widerspruch und warnt den
> Physiker nur, dass Modell und "Wirklichkeit"
> verschiedene Sachen sind.
>

Diese Warnung braucht der Physiker nicht, weil ihm das Problem
bewusst ist. Sein Ziel ist es ja gerade, das Modell so an die
Wirklichkeit anzupassen, dass innerhalb der Messgenauigkeit
kein Unterschied mehr feststellbar ist. Wenn das nicht gelingt,
weiss er, dass das Modell unbrauchbar ist. In der Physik zaehlt
nur, was messbar ist, ein nicht messbares Modell ist daher von
vornherein unbrauchbar. In der klassischen Mathematik kommen
ebenfalls keine nicht messbaren Mengen vor. Daraus folgt, dass
das Modell Mengenlehre als axiomatische Grundlage der (klassischen)
Mathematik ungeeignet ist. Als Modell einer erweiterten Mathematik
ist sie ebenfalls ungeeignet, weil es keine Moeglichkeit zur
Ueberpruefung der Aussagen gibt.

In der "Wirklichkeit" gibt es nur endliche Mengen. Nicht messbare
Mengen sind aber immer unendliche Mengen, sie setzen sogar den
spekulativen strukturlosen Unendlichkeitsbegriff voraus und sind
daher als Modell fuer die Realitaet unbrauchbar.

Man koennte einwenden, dass auch in der klassichen Mathematik
unendliche Mengen vorkommen. Das gilt jedoch nur bedingt. Die
klassische Infinitesimalrechnung basiert auf der Epsilon-Delta-
Methode. Diese kommt grundsaetzlich mit endlichen Mengen aus.
Es genuegt, dass Mengen beliebig gross und Abstaende beliebig
klein aber doch immer noch endlich sein koennen. Das entspricht
dem induktiven Unendlichkeitsbegriff, bei dem unendliche Mengen
nur ein Sonderfall endlicher Mengen sind. Es bleiben daher alle
Eigenschaften endlicher Mengen erhalten. Dieses Konzept hat sich
in Uebereinstimmung mit der realen Erfahrung bestens bewaehrt.

Da nicht messbare Mengen _immer_ unendliche Mengen sind, haben
sie keinerlei Bezug zu den allein ueberpruefbaren endlichen
Mengen und sind daher reine Spekulationsobjekte.

> > >
> > Alle drei Aussagen sind eine Bestaetigung meiner Behauptung,
> > dass es fuer die irrationalen Zahlen keinen Existenzbeweis
> > gibt.
> >
>
> Ich habe versucht, mich deinem Sprachgebrauch anzupassen,
> hat wohl nicht ganz geklappt.
>
> Versuchen wir es nochmal zum Abhaken, irgendwann musst
> Du nein oder weiss nicht antworten, da koennen wir
> weitermachen:
>
> Glaubst Du an die Existenz von Folgen von
> rationalen Zahlen?
>

Selbstverstaendlich ja.

> Glaubst Du an die Existenz von Konvergenten Folgen
> von rationalen Zahlen?
>

Ja, konvergent im Sinne der Epsilon-Delta-Methode, die mit
endlichen Mengen auskommt.

> Glaubst Du an die Existenz von Nullfolgen rationaler
> Zahlen?
>

Wie vorstehend.

> Glaubst Du daran, dass Konvergente Folgen rationaler
> Zahlen, die sich nur um Nullfolgen unterscheiden,
> Zu Klassen zusammenfassen kann?
>

Warum nicht? Nur eine Frage der Definition. Man kann
beliebige Zusammenfassungen definieren.

> Glaubst Du daran, dass man fuer diese Klassen
> die elementaren Rechenoperationen definieren
> kann?
>

Ja, solange man die Rechenoperationen gliedweise auf die
Elemente der Folgen anwenden kann.

> Wenn ja, hast Du jetzt eine Skizze der Konstruktion der
> reellen Zahlen vor Dir, also einen Existenzbeweis.
>

???
Die Skizze einer Konstruktion ist noch kein Beweis, dass
die Konstruktion tatsaechlich zum gewuenschten Ziel fuehrt.

> ...

> Wenn ich den Umfang eines Kreises vom Radius 1
> betrachte, oder die Laenge der Diagonale eines
> Einheitsquadrates, so wird ein kleines Kind
> sicher weniger Probleme haben hier 2pi oder
> Wurzel aus 2 als gleichberechtigt zur Groesse
> 1 zu betrachten als so mancher verbildete
> Erwachsene.

Ein Kind hat es in der Tat leichter, weil ihm das noetige
Hintergrundwissen fehlt. Und vielen Erwachsenen faellt es
offensichtlich schwer, sich von ihren einfachen kindlichen
Vorstellungen zu befreien. Daher kommt es wohl auch, dass
es vielen so schwer faellt, die Tatsache zu akzeptieren,
dass sich nicht alles auf eine Handvoll idealisierter
abstrakter Begriffe zurueckfuehren laesst.

Fuer Wurzel aus 2 hast Du in Deinem ersten posting selbst den
Beweis gebracht, dass die Loesung nicht existiert. Ich zitiere:

> (p/q)^2=2, p,q Ganz, Teilerfremd (sonst kuerzen).
> => p^2 = 2 q^2 => 2 teilt p^2 => 2 teilt p =>
> 4 teilt p^2 (=2q^2) => 2 teilt q^2 => 2 teilt q,
> Widerspruch.
> Also gibt es keine p,q mit (p/q)=Wurzel 2,
> wohl aber eine Cauchyfolge, die gegen Wurzel
> 2 konvergiert, modulo Nullfolgen ist dies die
> exakt bestimmte reelle Zahl Wurzel aus 2.
> Diese ist also irrational.

Die Ausdrucksweise "Cauchyfolge, die gegen Wurzel 2 konvergiert,"
ist ungenau, weil sie von Wurzel 2 so spricht, als stuende bereits
fest, dass es sie gibt, obwohl ihre Existenz erst zu beweisen ist.

Tatsache ist: Die Folge oder der Algorithmus liefert sukzessive
rationale Zahlen, die mit sich selbst multipliziert dem Wert 2
immer naeher kommen, ihn aber nie exakt erreichen, sonst waere es
keine unendliche Folge. Die Definition des irrationalen Grenzwerts
setzt also seine Nichtexistenz voraus, denn im Gegensatz zu rationalen
Zahlen, die auch (nie exakt erreichbarer) Grenzwert einer unendlichen
Folge sein koennen, gibt es fuer die irrationalen Grenzwerte keine
andere Definition. Da sich alle rationalen Zahlen in der Form p/q
schreiben lassen, liefert der Algorithmus nie einen Wert, der nicht
zu obigem Widerspruch fuehrt. Der einzige Ausweg waere die Hoffnung,
dass er irgendwann doch einen Wert fuer p und/oder q liefert, fuer den
die Aussage, dass er gerade oder ungerade ist, gegenstandslos wird.
Damit ist man bei den strukturlosen Zahlen angekommen, die Du genau so
ablehnst wie ich.

Die Aussage, dass die Folge gegen Wurzel 2 konvergiert, ist im Sinne
der Epsilon-Delta-Methode richtig, weil hier ein endlicher, wenn auch
beliebig kleiner, Restfehler in Kauf genommen wird. Wenn man aber
behauptet, dass es einen _exakten_ Wert fuer Wurzel 2 gibt, muss man
voraussetzen, dass der Restfehler _exakt_ gleich null wird. Das fuehrt
aber zu dem logischen Zirkel, den ich meinem Artikel in Abschn. 4
Absatz 4 als Fussnote --(in Klammern)-- beschrieben habe.

In Deinem zweiten posting schriebst Du zu diesem Thema

> Es wird direkt mit den Vorschriften
> gerechnet und dabei kommen neue Vorschriften
> heraus.
>

> Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muus
> mehr "approximiert" werden.

Definitionen sind hilfreich aber auch verfuehrerisch. Die Definition
des neuen Begriffs aendert doch nichts an der Tatsache, dass er selbst
auf einer Approximation beruht!

>
> Mh, "die Anzahl der Dezimalstellen ist ueberabzaehlber".
>
> Naja, ich denke das klaert sich damit, ob jede Natuerliche
> Zahl endlich viele Dezimalstellen zur Darstellung benoetigt.
>
> Das habe ich aber weiter oben (skizzenhaft) gezeigt.
>

Warum zitierst Du nur die halbe Wahrheit? Ich habe geschrieben "..., _wenn_

man daran festhaelt, dass die Menge der irrationalen Zahlen ueberabzaehlbar

ist. Das setzt voraus, dass auch die Anzahl der Dezimalstellen der irra-
tionalen Zahlen ueberabzaehlbar ist. Ich gehe davon aus, dass dies keiner
weitern Begruendung bedarf, nachdem nachgewiesen wurde, dass es mit Potenz-

mengen nicht moeglich ist, aus einer abzaehlbaren eine ueberabzaehlbare

Menge zu erzeugen." Dem ist nichts hinzuzufuegen, insbesondere wenn Du
Dich an die Problematik des Diagonalbeweises erinnerst.

Gruss

Dieter

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Detlef,
>

Hallo Dieter,

> meine Antwort hat sich hinausgezoegert, ich hoffe aber, dass es
> dafuer jetzt etwas mehr Klarheit gibt.
>

nun ja, schauen wir mal. Ich bin zwar nicht Detlef, aber da ich auf mein
letztes Posting noch keine Antwort bekommen habe, wollte ich mich hier
noch einmal einhaengen mit dem Versuch, die ganze Diskussion auf kleine
und ueberschaubare Teile zu beschraenken.

Eben doch (s.u.)!

> Alle Primzahlen sind Elemente von N. Fuer alle Elemente von N gelten
> die gleichen Rechenregeln. Insbesondere gibt es keine obere Grenze fuer
> die Anzahl der Elemente, auf die eine Rechenoperation gleichzeitig
> anwendbar ist. Wenn Du an Deinem Argument festhaelst, musst Du neue
> Rechenregeln definieren.
>
> Im uebrigen sagt der mengentheoretische Abzaehlbarkeitsbegriff nichts
> ueber die Beschaffenheit der Elemente aus. Er verlangt nur, dass sich
> die Elemente einer abzaehlbaren Menge in der Form {n0, n1, n2, ...}
> schreiben lassen. Dabei muss eindeutig erkennbar sein, dass jedes
> Element der Menge seinen Platz in dieser abzaehlbaren Auflistung findet.
> Die Abbildung von Pot(P) auf N und noch deutlicher die Abbildung von
> Pot(D1) auf N erfuellt diese Bedingung wesentlich uebersichtlicher
> als beispielsweise Cantors Abbildung von Q auf N. Wenn Du bestreitest,
> dass Pot(P) und Pot(D1) abzaehlbar sind, musst Du zuerst eine von der
> heutigen Mengenlehre abweichende neue Definition der Abzaehlbarkeit
> einfuehren.
>

Du benoetigst fuer Deinen Beweis zunaechst eine Abbildung von Pot(P)
bzw. Pot(D1) nach N, von der Du dann zeigen musst, dass sie eine
Bijektion ist. Alle Kritik, die hier aufkommt, bezweifelt schon die
Aussage, dass Du ueberhaupt eine Abbildung nach N vorliegen hast. Hier
noch einmal, so klar wie moeglich, das Gegenargument, mit der Hoffnung,
dass Du den Fehler in meiner Argumentation aufzeigen kannst:
1) P ist die Menge aller Primzahlen.
2) Pot(P) ist die Menge aller Teilmengen von P.
3) Insbesondere ist P selbst ein Element von Pot(P).
4) Was ist nun das Bild von P unter Deiner Abbildung?
5) Es ist das Produkt aller Elemente von P, also das Produkt aller
Primzahlen.
[Einschub: Wie ist eigentlich ein unendliches Produkt definiert?]
6) Sei nun X dieses Produkt aller Primzahlen.
7) Dann ist X das Bild des Elements P von Pot(P) unter Deiner Abbildung.
8) Frage: Ist X eine natuerliche Zahl?
9) Wenn X eine natuerliche Zahl ist, dann gibt es eine Primzahl p, die
groesser als X ist. Dieses p ist aber einer der Faktoren im Produkt X,
also muss X groesser als p sein, was aber groesser als X ist. Ein
Widerspruch, da X und p insbesondere natuerliche Zahlen sind.
10) Also ist X keine natuerliche Zahl, also ist das Bild von P unter
Deiner Abbildung keine natuerliche Zahl, also bildet Deine Abbildung
nicht Pot(P) nach N ab.
11) Damit entfaellt die Grundlage fuer den Beweis der Gleichmaechtigkeit
von Pot(P) und N.

Analog kann man die Abbildung fuer den Fall Pot(D1) widerlegen, da auch
bei der dort gebildeten Summe eine 2er-Potenz existiert, die groesser
als die angenommene natuerlich Zahl ist und zu einem aehnlichen
Widerspruch fuehrt. Bei Fall der 2er-Potenzen wuerdest Du ausserdem ein
Problem mit der Surjektivitaet bekommen, wenn die unendliche Summe aller
2er-Potenzen wirklich eine natuerliche Zahl Y waere, da sich Y
andererseits als Summe von endlich vielen 2er-Potenzen schreiben laesst,
und somit auch Bild einer endlichen Teilmenge von D1 waere. Waere Deine
Abbildung also von Pot(D1) nach N (was sich nicht ist), dann waere sie
nicht surjektiv, und damit auch nicht fuer den Beweis der
Gleichmaechtigkeit geeignet.

> Damit eruebrigen sich eigentlich weitere Ausfuehrungen zur Abbildung
> von Pot(D1) auf N. Da Du Dich offensichtlich an einer bestimmten
> Vorstellung festgebissen hast, will ich Dir noch eine Hilfestellung
> geben.
>
> Du argumentierst so, als ob es um die Abbildung von Pot(N) auf N
> ginge. Dann waere Deine Argumentation nachvollziehbar, obwohl auch
> Pot(N) nach dem Abzaehlbarkeitskriterium der Mengenlehre abzaehlbar
> ist.
>
> Die Menge D1 der Zweierpotenzen {2^n | n el N} ist eine extrem
> "duenne" Teilmenge von N. Das wird erst bei groesseren Werten von n
> sichtbar. Die Differenz (2^(n+1) - 2^n) verdoppelt sich jedesmal,
> wenn n um 1 vergroessert wird. Andererseits verdoppelt sich auch die
> Anzahl der Elemente der Potenzmenge einer Menge mit n Elementen
> jedesmal, wenn n um 1 erhoeht wird. Die beiden Effekte kompensieren
> sich exakt. Das kommt auch in den Teilmengen Tm, auf die ich bereits
> mehrfach hingewiesen habe, deutlich zum Ausdruck. Deshalb ist die
> Anzahl der Elemente von Pot(D1) exakt identisch mit der Anzahl der
> Elemente von N.
>

Ob man mit solchen Betrachtungen die Abgruende unendlicher Mengen
untersuchen kann, wage ich doch zu bezweifeln.

> Vielleicht benoetigst Du noch eine grundsaetzlichere Ueberlegung,
> um Dich aus den Fallstricken der Mengenlehre befreien zu koennen.
> Du findest sie am Anfang von Abschn. 2 meines Artikels. Wenn die unsinnige
> Maechtigkeitsdefinition, wonach eine Menge gleichmaechtig
> sein kann wie eine ihrer echten Teilmengen, nicht zu Widerspruechen
> fuehren wuerde, waere die Logik ein Gluecksspiel und zur Gewinnung
> und Ueberpruefung von Erkenntnissen ungeeignet.
>

Nur zur Klarheit: Zwei Mengen heissen gleichmaechtig, wenn es eine
Bijektion zwischen ihnen gibt. Du behauptest also, dass z.B. die Menge
der geraden Zahlen und die Menge der natuerlichen Zahlen nicht
gleichmaechtig sind?

[Christian Semrau]

Hallo an alle Teilnehmer dieser - sich endlos hinziehenden - Diskussion.

Ich stehe schon eine Weile vor der ersten unbedingt zu klaerenden Frage:
Was sind natuerliche Zahlen?
Bitte im Sinne einer axiomatischen Definition.
Ich erinnere mich an das Axiomensystem von Peano. Kann das bitte jemand
posten, und Dieter, du moegest bitte schreiben, ob du mit diesem
Axiomensystem einverstanden bist.

Und anschliessend die Frage:
Gibt es natuerliche Zahlen, die unendlich viele Stellen haben?
Wobei allein um die Frage korrekt stellen zu koennen, geklaert sein
muss,
was "Stellen" und was "unendlich" heisst.

Christian

--
Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
Um auf die andere Seite - aehm...

[Holger Gollan]

Christian Semrau wrote:
>
> Hallo an alle Teilnehmer dieser - sich endlos hinziehenden - Diskussion.
>
> Ich stehe schon eine Weile vor der ersten unbedingt zu klaerenden Frage:
> Was sind natuerliche Zahlen?
> Bitte im Sinne einer axiomatischen Definition.
> Ich erinnere mich an das Axiomensystem von Peano. Kann das bitte jemand
> posten, und Dieter, du moegest bitte schreiben, ob du mit diesem
> Axiomensystem einverstanden bist.
>

1) 1 ist eine natuerliche Zahl.
2) Zu jeder natuerlichen Zahl n gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl
n*, den so genannten Nachfolger.
3) 1 ist nicht der Nachfolger einer natuerlichen Zahl.
4) Zwei natuerliche Zahlen m und n, deren Nachfolger gleich sind (m* =
n*), sind selbst schon gleich (m = n).
5) Sei T eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen mit folgenden
Eigenschaften:
a) 1 ist Element von T.
b) Ist n Element von T, dann auch der Nachfolger n*.
Dann ist T gleich der Menge der natuerlichen Zahlen.

Man kann nun z.B. darueber streiten, ob nicht 0 die kleinste natuerliche
Zahl ist, und man kann auch andere Formulierungen fuer das 5. Axiom
finden, oder sonstige Feinheiten aendern, aber ungefaehr so sollte die
axiomatische Definition der natuerlichen Zahlen aussehen.

> Und anschliessend die Frage:
> Gibt es natuerliche Zahlen, die unendlich viele Stellen haben?

Nein!

> Wobei allein um die Frage korrekt stellen zu koennen, geklaert sein
> muss,
> was "Stellen" und was "unendlich" heisst.
>

Du hast natuerlich Recht! Bevor man ueber den Wahrheitsgehalt einer
Aussage entscheidet, sollte man die Begriffe klaeren. Ich habe
allerdings keine Lust, eine formale Definition fuer den Stellen-Begriff
einzufuehren, und "unendlich" heisst einfach "nicht endlich".

> Christian
>
> --
> Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
> Um auf die andere Seite - aehm...

--

[Tilman Thiele]

Holger Gollan <hgo...@yahoo.com> wrote:
>Christian Semrau wrote:
>>
>> Hallo an alle Teilnehmer dieser - sich endlos hinziehenden - Diskussion.
>>
>> Ich stehe schon eine Weile vor der ersten unbedingt zu klaerenden Frage:
>> Was sind natuerliche Zahlen?
>> Bitte im Sinne einer axiomatischen Definition.
>> Ich erinnere mich an das Axiomensystem von Peano. Kann das bitte jemand
>> posten, und Dieter, du moegest bitte schreiben, ob du mit diesem
>> Axiomensystem einverstanden bist.
>>
>
>1) 1 ist eine natuerliche Zahl.
>2) Zu jeder natuerlichen Zahl n gibt es eine eindeutig bestimmte Zahl
>n*, den so genannten Nachfolger.
>3) 1 ist nicht der Nachfolger einer natuerlichen Zahl.
>4) Zwei natuerliche Zahlen m und n, deren Nachfolger gleich sind (m* =
>n*), sind selbst schon gleich (m = n).
>5) Sei T eine Teilmenge der natuerlichen Zahlen mit folgenden
>Eigenschaften:
> a) 1 ist Element von T.
> b) Ist n Element von T, dann auch der Nachfolger n*.
>Dann ist T gleich der Menge der natuerlichen Zahlen.
>
>Man kann nun z.B. darueber streiten, ob nicht 0 die kleinste natuerliche
>Zahl ist, und man kann auch andere Formulierungen fuer das 5. Axiom
>finden, oder sonstige Feinheiten aendern, aber ungefaehr so sollte die
>axiomatische Definition der natuerlichen Zahlen aussehen.
>

OBACHT! Im Zweifelsfalle gehört die 0 auch dazu!
(Ersetze in den Axiomen die "1" durch "0".) Das
formale System funktioniert zwar auch ohne Null,
aber die Arithmetik auf N ist dann nicht mehr so
schön. Jedenfalls wird PA (Die Theorie der Peano-Arithmetik)
kanonisch immer mit 0 definiert.

>> Und anschliessend die Frage:
>> Gibt es natuerliche Zahlen, die unendlich viele Stellen haben?
>
>Nein!
>
>> Wobei allein um die Frage korrekt stellen zu koennen, geklaert sein
>> muss,
>> was "Stellen" und was "unendlich" heisst.
>>
>
>Du hast natuerlich Recht! Bevor man ueber den Wahrheitsgehalt einer
>Aussage entscheidet, sollte man die Begriffe klaeren. Ich habe
>allerdings keine Lust, eine formale Definition fuer den Stellen-Begriff
>einzufuehren, und "unendlich" heisst einfach "nicht endlich".
>

Die korrekte Definition für " abzählbar unendlich" ist (und ich lasse
die Formalitäten mal beiseite):
"Bijektiv auf die Menge der Natürlichen Zahlen abbildbar"

("überabzählbar unendlich" entsprechend mit größeren Mengen)

Daran kannst du absehen, daß es kaum eine unendlich-stellige
natürliche Zahl geben kann (sonst könntest du die natürlichen
Zahlen bijektiv auf die einzelnen Ziffern abbilden!)

>> Christian
>>
>> --
>> Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
>> Um auf die andere Seite - aehm...
>
>--
>
>Gruesse, email: hgo...@yahoo.com
>Holger URL: http://www.geocities.com/Colosseum/Stadium/9099

--
_____________________________________________________________
NewsGroups Suchen, lesen, schreiben mit http://netnews.web.de

[Christian Schneider]

Tilman Thiele schrieb:

>
> Daran kannst du absehen, daß es kaum eine unendlich-stellige
> natürliche Zahl geben kann (sonst könntest du die natürlichen
> Zahlen bijektiv auf die einzelnen Ziffern abbilden!)
>

Was ist mit 0.999999...., 1.999999.... ?

[Dieter Jungmann]

Hallo Holger,

> > "Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
> > abzaehlbar." (Zitat aus H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengen-
> > lehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994, S. 139, 2.6 (c))
> >
>
> Ja, und? Das Problem ist doch, dass die Aussage beim Uebergang zur
> Vereinigung nicht unbedingt richtig bleiben muss (Sinn ergeben muss).

Meinst Du das ernst? Sind mathematische Mengen wie chemische Mengen,
die sich bei der Vereinigung veraendern? Welchen Sinn hat obiger Satz,
wenn Du schon im naechsten Satz sagst: "Aetsch, gilt doch nicht, weil
sich die Mengen bei der Vereinigung veraendern"?

Es gilt sogar der umgekehrte Satz: Es sei X eine ueberabzaehlbare Menge.
Zieht man eine abzaehlbare Menge abzaehlbarer Teilmengen T_n von X ab,
ist die Restmenge ueberabzaehlbar. (Korrekter: Es sei V die Vereinigung
einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Teilmengen T_n von X. Dann ist das
relative Komplement (X\V) von V bzgl. X ueberabzaehlbar.) Auf Pot(D1)
angewandt heisst das, dass es zur Feststellung der Maechtigkeit von
Pot(D1) gar nicht noetig ist, alle Teilmengen zu beruecksichtigen.
Wichtig ist nur, dass die nicht beruecksichtigten T_n abzaehlbar sind.
Anm.: Zu den abzaehlbaren Mengen gehoeren auch die abzaehlbar
unendlichen Mengen.

Auf den Kern des Problems komme ich am Ende nochmal zurueck.

>
> Nun, sieh es mal so. Du willst etwas beweisen, von dem ich ueberzeugt
> bin, dass es falsch ist. Ich zeige Dir einen Fehler ganz am Anfang
> Deines Beweises, auf den Du im Folgenden gar nicht mehr eingehst. Ich
> haette schon erwartet, dass Du dazu Stellung beziehst, da Deine ganzer
> Beweis darauf aufbaut.

Welchen Fehler meinst Du? Es geht hier um die Frage, ob sich Pot(D1) auf
N abbilden laesst. Dazu nehme ich doch dauernd Stellung. Du hast selbst
begruesst, dass wir die Diskussion vorerst auf diesen Punkt eingrenzen.

>
Du schriebst

> > > Nur zur Erlaeuterung: Natuerlich hat jede natuerliche Zahl nur endlich
> > > viele Binaerstellen, genau so, wie sie nur endlich viele Dezimalstellen
> > > hat. Trotzdem kann man auf diese Weise unendlich viele Zahlen
> > > darstellen. Oder ist die folgende Liste endlich? (Egal, ob im Dual- oder
> > > Dezimalsystem)
> > > 1, 10, 100, 1000, 10000, ...
> > > Jede diese Zahlen besitzt nur endlich viele Stellen, es sind aber
> > > unendlich viele Zahlen, oder?
> > >
> > Ich sehe nur 5 Zahlen und 3 Punkte, von unendlich keine Spur. Die
> > groesste der 5 Zahlen hat 5 Dezimalstellen (oder 5 Binaerstellen,
> > wenn man sie als Dualzahlen interpretiert). Dieses Beispiel zeigt
> > besonders deutlich den untrennbaren Zusammenhang zwischen der Anzahl
> > der Binaerstellen und der Anzahl der damit darstellbaren Zahlen. Die
> > Anzahl der Zahlen Deiner Zahlenfolge ist exakt gleich gross wie die
> > Anzahl der Binaer- (oder Dezimal-)stellen der groessten dieser
> > Zahlen. Wie kannst Du also behaupten, dass die Anzahl der Zahlen
> > unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
> > groessten dieser Zahlen aber endlich ist?
>
> Mir war schon klar, dass die 3 Punkte nicht gerade perfekter
> mathematischer Notation entsprachen, aber ich bin eigentlich davon
> ausgegangen, dass Du nicht auf solche Feinheiten abhebst, sondern Dich
> um die Inhalte bemuehst.

Mit der Bemerkung "Ich sehe nur 5 Zahlen ..." wollte ich nicht auf
eine vermeintlich nicht perfekte Notation hinweisen. Diese Schreibweise
ist ueblich, ich habe sie selbst mehrfach benutzt. Ich habe auf ein
fundamentaleres Problem angespielt, auf das ich nicht weiter eingehen
moechte. In erster Linie war sie scherzhaft gemeint. (Deine vorangehende
Argumentation kann ja auch nicht ernst gemeint gewesen sein, oder?)

> Prinzipiell erscheint in Deiner Argumentation wieder das gleiche
> Problem: Natuerlich hat jede einzelne Zahl in dieser Folge nur endlich
> viele Stellen, aber es gibt unendlich viele von diesen Zahlen. Oder
> willst Du behaupten, dass es nur endlich viele natuerliche Zahlen gibt?

Will ich nicht. Aber was willst Du mit Deinem Beispiel sagen? Ich
wiederhole meine Frage: Wie kannst Du behaupten, dass die Anzahl der

Zahlen unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der

groessten dieser Zahlen aber endlich ist? Merkst Du tatsaechlich nicht,
dass Du hier selbst einen zweiten Beweis dafuer erbracht hast, dass
Pot(D1) abzaehlbar ist?
Deine Zahlenmenge F = {1, 10, 100, 1000, 10000, ...} ist eine unendliche
Teilmenge von N und daher gleichmaechtig wie N. Wenn es nur um den
Vergleich von Maechtigkeiten geht, ist daher F eine vollwertige
Vertreterin von N. Es sei B die Menge der moeglichen Binaerstellen von
natuerlichen Zahlen. Das nte Element von F hat genau n Binaerstellen.
Das gilt fuer alle n. Daraus folgt, dass B und F und somit auch N und F
gleichmaechtig sind. N ist aber die Potenzmenge sowohl von B als auch von
F, wenn man die Elemente von F als Binaerzahlen interpretiert. Damit ist
bewiesen, dass Potenzmengen nicht maechtiger sind als ihre Grundmengen.

Zurueck zum Kern des Problems. Du schreibst
> Beispiel:
> ...
> ... Dies kannst Du nun fuer alle T_n machen, was aber sagt dass

> fuer die Vereinigung der T_n, also fuer N selbst aus? Kannst Du auf
> diese Art und Weise auch N eine natuerliche Zahl zuordnen? (Die Summe
> aller natuerlichen Zahlen?)
> Noch einmal wiederholt: Fuer jeden endlichen Teil hast Du eine konkrete
> Aussage, beim Uebergang zur Vereinigung, zum unendlichen Ganzen, muss
> diese Aussage aber nicht mehr Bestand haben.

Zunaechst einmal: Auf Pot(N) habe ich das Abzaehlbarkeitskriterium
angewandt, das ist der direkte und ueberzeugendste Weg. Hier werden
also die T_n, die als abzaehlbar _unendliche_ Teilmengen von Pot(D1)
definiert waren, nicht benoetigt. Das haette durch den Hinweis auf
die Analogie zur Abbildung von Q auf N klar sein duerfen.
Die direkte Anwendung des Abzaehlbarkeitskriteriums auf Pot(D1) durch
Abbildung auf N hast Du abgelehnt (weil offensichtlich nicht verstanden).
Deshalb habe ich zum alternativen Beweis die T_n eingefuehrt. Die
Menge der Zweierpotenzen enthaelt aber bei weitem nicht alle
natuerlichen Zahlen, so dass auch deren Summe nicht vorkommt.

Du machst einen entscheidenden Fehler: Du versuchst, _alle_ Elemente
einer unendlichen Menge aufzuschreiben. Das ist natuerlich nicht
moeglich, sonst waere es keine unendliche Menge.
Wenn ich Dich auffordern wuerde, die Elemente von N anzugeben, wuerdest
Du schreiben N = {0, 1, 2, 3, ...}. Wenn ich nach dem groessten Element
von N frage, musst Du passen. Du kannst nicht nur das groesste sondern
unendlich viele Elemente von N nicht angeben. Ist N deshalb nicht
abzaehlbar? Warum wendest Du auf Pot(D1) andere Kriterien an? Hier
versuchst Du offensichtlich rueckwaerts abzuzaehlen.

Da sich Pot(D1) auf N abbilden laesst, ist die Abzaehbarkeit bereits
bewiesen. Wenn Dich das noch nicht ueberzeugt, mache ich folgenden
Vorschlag:
Wir beschraenken uns auf diese eine Frage.
Ich werde Dir dann eine ausfuehrliche Definition der Begriffe abzaehlbar
und abzaehlbar unendlich geben. Du kannst diese Definitionen dann pruefen.
Sobald wir uns auf eine Definition geeinigt haben, versuchen wir, sie
direkt auf Pot(D1) anzuwenden. Damit muesste die Frage endgueltig geklaert
sein. Nachdem wir soviel Muehe auf das Problem verwandt haben, sollte
dieser letzte Schritt auch noch gelingen. Vorher warte ich aber Deine
Antwort ab, vielleicht kann ich mir ueberfluessige Arbeit sparen.

Gruss

Dieter

[Christian Semrau]

Was soll damit sein?
0.9999... ist eine andere Schreibweise der Zahl 1.

[Christian Semrau]

Dieter Jungmann wrote:

>
> Holger Gollan wrote:
>
> > Prinzipiell erscheint in Deiner Argumentation wieder das gleiche
> > Problem: Natuerlich hat jede einzelne Zahl in dieser Folge nur endlich
> > viele Stellen, aber es gibt unendlich viele von diesen Zahlen. Oder
> > willst Du behaupten, dass es nur endlich viele natuerliche Zahlen gibt?
>
> Will ich nicht. Aber was willst Du mit Deinem Beispiel sagen? Ich
> wiederhole meine Frage: Wie kannst Du behaupten, dass die Anzahl der
> Zahlen unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
> groessten dieser Zahlen aber endlich ist? Merkst Du tatsaechlich nicht,
> dass Du hier selbst einen zweiten Beweis dafuer erbracht hast, dass
> Pot(D1) abzaehlbar ist?
> Deine Zahlenmenge F = {1, 10, 100, 1000, 10000, ...} ist eine unendliche
> Teilmenge von N und daher gleichmaechtig wie N. Wenn es nur um den
> Vergleich von Maechtigkeiten geht, ist daher F eine vollwertige
> Vertreterin von N. Es sei B die Menge der moeglichen Binaerstellen von
> natuerlichen Zahlen. Das nte Element von F hat genau n Binaerstellen.
> Das gilt fuer alle n. Daraus folgt, dass B und F und somit auch N und F
> gleichmaechtig sind. N ist aber die Potenzmenge sowohl von B als auch von
> F, wenn man die Elemente von F als Binaerzahlen interpretiert. Damit ist
> bewiesen, dass Potenzmengen nicht maechtiger sind als ihre Grundmengen.

Ich wiederhole deine Aussage, um zu sehen, ob ich sie verstanden habe.
Sei F also die Menge der Zweierpotenzen {2^n mit n>=0 natuerlich}
F gleichmaechtig N ist klar (Bijektion n <-> 2^n).
B ist die Menge der Binaerstellen der natuerlichen Zahlen.
Die Anzahl der Binaerstellen einer natuerlichen Zahl ist eine
natuerliche Zahl, und zu jeder Anzahl von Binaerstellen gibt es eine
natuerliche Zahl, die diese Stellenzahl hat (Stellenzahl n, Zahl 10^n.
Gibt noch ein kleines Problem fuer n=0, aber das ist denke ich
unwesentlich)
Also ist B gleichmaechtig N.
Warum ist nun aber N die Potenzmenge von F?
Oh, das ist genau das Problem, auf das du hier speziell eingehen willst
(F = D1, oder?)
Du meinst, du kannst jeder Teilmenge von natuerlichen Zweierpotenzen
eine natuerliche Zahl zuordnen, indem du aufsummierst. Bilde also die
Summer aller Zweierpotenzen. Diese "Zahl" (es ist keine nat.Zahl in
meinem Sinne), nennen wir Z. Z ist nat.Zahl in deinem Sinne (mit
unendlich vielen Stellen). Also ist 2^Z Element von F.
Ach ja - hat jede nat.Zahl einen Nachfolger und kann ich von 1 startend
indem ich immer den Nachfolger bilde, zu jeder nat.Zahl kommen (von mir
aus auch unendlich oft)? Ausserdem: kann ich die Groesser zweier
nat.Zahlen stets vergleichen, d.h. kann ich von zwei nat.Zahlen stets
sagen, welche der beiden groesser ist?
Wenn ja, dann ist die Menge der Zweierpotenzen mit Exponent <= Z auch
eine Teilmenge von F. Sogar eine echte Teilmenge, weil es ja keine
groesste nat.Zahl gibt und daher auch nat.Zahlen groesser als Z.
Wenn du nun die nat.Zahl bildest, die zur Menge {2^n, n nat.Zahl, n<=Z}
bildest, liefert das eine Zahl Y, die groesser ist als Z.
Nun war Z aber bereits die Summe aller Zweierpotenzen. Wie kann die
Summe aller Zweierpotenzen kleiner sein als die Summe einer echten
Teilmenge von Zweierpotenzen?!

> Da sich Pot(D1) auf N abbilden laesst, ist die Abzaehbarkeit bereits
> bewiesen.

Fuer mich sind meine Ausfuehrungen mindestens ein Hinweis darauf, dass
bei deiner Bijektion etwas nicht stimmt.

> Nachdem wir soviel Muehe auf das Problem verwandt haben, sollte
> dieser letzte Schritt auch noch gelingen. Vorher warte ich aber Deine
> Antwort ab, vielleicht kann ich mir ueberfluessige Arbeit sparen.

Wesentlich zur Loesung des Problems, das ich mit deiner Bijektion D1<->N
habe, ist eine klare Definition von N und Klarstellung der oben
gefragten Eigenschaften.

Bis die Tage,
Christian

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

Hallo Dieter,
zunaechst etwas Allgemeines: Ich werde in einer zweiten Antwort einzig
und allein auf das Problem mit Pot(D1) eingehen und hoffe, dass wir uns
dann auf kleine und nachvollziehbare Postings beschraenken koennen. Ich
habe dies schon an anderer Stelle versucht, aber dort leider noch keine
Antwort von Dir bekommen.
In dieser Antwort daher nur einige kleinere Anmerkungen...

> > > "Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
> > > abzaehlbar." (Zitat aus H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengen-
> > > lehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994, S. 139, 2.6 (c))
> > >
> >
> > Ja, und? Das Problem ist doch, dass die Aussage beim Uebergang zur
> > Vereinigung nicht unbedingt richtig bleiben muss (Sinn ergeben muss).
>
> Meinst Du das ernst? Sind mathematische Mengen wie chemische Mengen,
> die sich bei der Vereinigung veraendern? Welchen Sinn hat obiger Satz,
> wenn Du schon im naechsten Satz sagst: "Aetsch, gilt doch nicht, weil
> sich die Mengen bei der Vereinigung veraendern"?
>

Ich meine eigentlich meistens die Sachen ernst, die ich in dieser
Newsgroup verbreite. An keiner Stelle habe ich gesagt, dass sich die
Mengen aendern. Es ging mir nur darum, dass eine Aussage fuer alle
endlichen Teilmengen eienr unendlichen Menge richtig sein kann, oder
dass daraus die Richtigkeit fuer die unendliche Menge selbst folgt.
(Beispiel: Jede endliche Teilmenge der natuerlichen Zahlen besitzt ein
groesstes Element, nicht aber die Menge der natuerlichen Zahlen.) Der
Grenzwertuebergang ist also meiner Meinung nach nicht so einfach, wie Du
ihn gerne haettest. Warum sollte sich also die Eigenschaft Deiner T_m
auf die Gesamtheit aller natuerlichen Zahlen uebertragen lassen?

>
> Auf den Kern des Problems komme ich am Ende nochmal zurueck.
>

Ich auch, wie gesagt in einem getrennten Posting.

> >
> > Nun, sieh es mal so. Du willst etwas beweisen, von dem ich ueberzeugt
> > bin, dass es falsch ist. Ich zeige Dir einen Fehler ganz am Anfang
> > Deines Beweises, auf den Du im Folgenden gar nicht mehr eingehst. Ich
> > haette schon erwartet, dass Du dazu Stellung beziehst, da Deine ganzer
> > Beweis darauf aufbaut.
>
> Welchen Fehler meinst Du? Es geht hier um die Frage, ob sich Pot(D1) auf
> N abbilden laesst. Dazu nehme ich doch dauernd Stellung. Du hast selbst
> begruesst, dass wir die Diskussion vorerst auf diesen Punkt eingrenzen.
>

Genau, und deswegen ein gesondertes Posting fuer diese Fragestellung.

>
> Will ich nicht. Aber was willst Du mit Deinem Beispiel sagen? Ich
> wiederhole meine Frage: Wie kannst Du behaupten, dass die Anzahl der
> Zahlen unendlich, die exakt gleichgrosse Anzahl der Binaerstellen der
> groessten dieser Zahlen aber endlich ist? Merkst Du tatsaechlich nicht,
> dass Du hier selbst einen zweiten Beweis dafuer erbracht hast, dass
> Pot(D1) abzaehlbar ist?

Nur eine Anmerkung: Es gibt keine "groesste dieser Zahlen"!

> Deine Zahlenmenge F = {1, 10, 100, 1000, 10000, ...} ist eine unendliche
> Teilmenge von N und daher gleichmaechtig wie N. Wenn es nur um den
> Vergleich von Maechtigkeiten geht, ist daher F eine vollwertige
> Vertreterin von N. Es sei B die Menge der moeglichen Binaerstellen von
> natuerlichen Zahlen. Das nte Element von F hat genau n Binaerstellen.
> Das gilt fuer alle n. Daraus folgt, dass B und F und somit auch N und F
> gleichmaechtig sind. N ist aber die Potenzmenge sowohl von B als auch von
> F, wenn man die Elemente von F als Binaerzahlen interpretiert. Damit ist
> bewiesen, dass Potenzmengen nicht maechtiger sind als ihre Grundmengen.
>

N ist nicht die Potenzmenge von B, aber darauf hat Dich ja auch schon
Christian hingewiesen und ausserdem fuehrt das zum eigentlichen Kern der
Problematik. Der Fehler in Deiner Argumentation ist naemlich immer
derselbe, und das soll in einem gesonderten Posting noch einmal geklaert
werden.

> Du machst einen entscheidenden Fehler: Du versuchst, _alle_ Elemente
> einer unendlichen Menge aufzuschreiben. Das ist natuerlich nicht
> moeglich, sonst waere es keine unendliche Menge.
> Wenn ich Dich auffordern wuerde, die Elemente von N anzugeben, wuerdest
> Du schreiben N = {0, 1, 2, 3, ...}. Wenn ich nach dem groessten Element
> von N frage, musst Du passen. Du kannst nicht nur das groesste sondern
> unendlich viele Elemente von N nicht angeben. Ist N deshalb nicht
> abzaehlbar? Warum wendest Du auf Pot(D1) andere Kriterien an? Hier
> versuchst Du offensichtlich rueckwaerts abzuzaehlen.
>

Ich habe beim besten Willen keine Ahnung, was Du mit "rueckwaerts
abzaehlen" meinst, aber das ist im Moment vielleicht nicht so wichtig.

> Da sich Pot(D1) auf N abbilden laesst, ist die Abzaehbarkeit bereits
> bewiesen. Wenn Dich das noch nicht ueberzeugt, mache ich folgenden
> Vorschlag:

Dir ist schon klar, dass mich das nicht ueberzeugt, oder?

> Wir beschraenken uns auf diese eine Frage.
> Ich werde Dir dann eine ausfuehrliche Definition der Begriffe abzaehlbar
> und abzaehlbar unendlich geben. Du kannst diese Definitionen dann pruefen.
> Sobald wir uns auf eine Definition geeinigt haben, versuchen wir, sie
> direkt auf Pot(D1) anzuwenden. Damit muesste die Frage endgueltig geklaert
> sein. Nachdem wir soviel Muehe auf das Problem verwandt haben, sollte
> dieser letzte Schritt auch noch gelingen. Vorher warte ich aber Deine
> Antwort ab, vielleicht kann ich mir ueberfluessige Arbeit sparen.
>

Ich versuche einfach mal einen Ansatz im versprochenen, gesonderten
Posting. Also nicht unbedingt auf dieses Posting hier antworten, aber
bitte auf das parallel dazu verfasste.

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

Hallo Dieter,

> Da sich Pot(D1) auf N abbilden laesst, ist die Abzaehbarkeit bereits
> bewiesen. Wenn Dich das noch nicht ueberzeugt, mache ich folgenden
> Vorschlag:
> Wir beschraenken uns auf diese eine Frage.
> Ich werde Dir dann eine ausfuehrliche Definition der Begriffe abzaehlbar
> und abzaehlbar unendlich geben. Du kannst diese Definitionen dann pruefen.
> Sobald wir uns auf eine Definition geeinigt haben, versuchen wir, sie
> direkt auf Pot(D1) anzuwenden. Damit muesste die Frage endgueltig geklaert
> sein. Nachdem wir soviel Muehe auf das Problem verwandt haben, sollte
> dieser letzte Schritt auch noch gelingen. Vorher warte ich aber Deine
> Antwort ab, vielleicht kann ich mir ueberfluessige Arbeit sparen.
>

Vielleicht fang ich einfach mal an:
1) Eine Menge M ist abzaehlbar unendlich, wenn es eine Bijektion von M
auf die Menge N der natuerlichen Zahlen gibt.
2) D1 = { 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , 32 , ... , 2^m , ... } sei die Menge
aller 2er-Potenzen.
3) D1 ist eine abzaehlbar unendliche Teilmenge der natuerlichen Zahlen.
4) Pot(D1) sei die Potenzmenge von D1, also die Menge aller Teilmengen
von D1.
5) Jedem Element von Pot(D1), also jeder Teilmenge von D1, ordnest Du
bei Deiner Abbildung die Summe ihrer Elemente zu. Sei f diese Abbildung.
6) Es gilt z.B. f({2,8}) = 2 + 8 = 10
f({1,4,16,32}) = 1 + 4 + 16 + 32 = 53
7) Deine Behauptung: f ist eine Abbildung von Pot(D1) nach N, ordnet
also jedem Element von Pot(D1), also jeder Teilmenge von D1, eine
natuerliche Zahl zu.
8) Unbestritten ist, dass Deine Abbildung eine Bijektion zwischen den
endlichen Teilmengen von D1 und N beschreibt. (Das Problem der leeren
Menge mal ausser Acht gelasssen.)
9) Aber: Was ist z.B. das Bild f(D1) von D1 unter Deiner Abbildung f?
10) Ang.: f(D1) = X ist eine natuerliche Zahl.
11) Dann ist auch 2^X eine natuerliche Zahl, also Element von D1. Also
taucht 2^X in der Summe f(D1) auf. Folglich: X = f(D1) > 2^X > X.
12) Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme unter 10) falsch ist.
Folglich ist f(D1) keine natuerliche Zahl, es liegt also keine Abbildung
von Pot(D1) nach N vor.
13) Selbst wenn f(D1) = X eine natuerliche Zahl waere, Du also eine
Abbildung von Pot(D1) nach N haettest, dann wuerdest Du an dieser
Probleme mit der Surjektivitaet Deiner Abbildung bekommen. Schliesslich
haette X als natuerliche Zahl eine endliche Binaerdarstellung, waere
also Summe von endlich vielen 2er-Potenzen. Fasst man diese 2er-Potenzen
zu einer Menge T zusammen, so waere T eine Teilmenge von D1, also waere
T ein Element von Pot(D1) mit der Eigenschaft, dass f(T) = X = f(D1). Da
T ungleich D1 ist, waere Deine Abbildung also nicht surjektiv, also auch
nicht bijektiv.

Es waere schoen, wenn Du in Deiner Antwort auf Fehler in obiger
Argumentationskette eingehen koenntest.

[Detlef Mueller]

Hallo,

Dieter Jungmann wrote:
>
...
> > Welcher Liste jetzt?
> > Natuerlich ist die (fiktive) Liste vollstaendig, sonst
> > waere sie keine Liste.
> > Verstehen wir etwas unterschiedliches darunter?
> > Ich habe eine Liste a1, a2, a3, ... an, a(n+1), ...
> > von Zahlen gegeben. Was wuerde fuer Dich bedeuten, dass
> > diese vollstaendig ist, oder unvollstaendig?
> >
> Es besteht die Absicht, alle {an} einer gegebenen Zahlenmenge in eine
> Liste aufzunehmen. Wenn alle an in der Liste enthalten sind, ist sie
> vollstaendig, wenn ein oder mehrere an fehlen, ist sie unvollstaendig.
>

{an}, wie Du schreibst, definiert fuer eine Menge von Zahlen.
Eine Solche Menge wird untersucht, und die Annahme widerlegt,
sie koenne alle reellen Zahlen enthalten.
Die Schreibweise {an} besagt, dass eben fuer jedes natuerliche
n eine genau definierte Zahl "an" in diese Menge liegt.
Und dass, weil jemand Cantor diese Menge, und zwar mit allen
"an" fix und fertig vorlegt, und dreisst behauptet, alle
reellen Zahlen wuerden in der Aufzaehlung a1, a2, a3, ...
frueher oder spaeter einmal auftauchen.
Dies wird voellig korrekt widerlegt, die urspruengliche
Aufzaehlung wird nicht veraendert, einzig die
Behauptung sie wuerde alle reellen Zahlen umfassen wird
ad absurdum gefuehrt.

...

>
> Die Idee mit der Diagonalen ist in der Tat raffiniert. Sie setzt aber
> voraus, dass die Anzahl der Zeilen und Spalten der Liste (also die
> Anzahl der zu beruecksichtigenden Zahlen und die Anzahl der zu ihrer
> Darstellung benoetigten Dezimalstellen) gleich ist.
>

Tut sie nicht. Sie setzt lediglich eine abzaehlbar
unendliche Zeilenzahl und eine ebensolche Spaltenzahl
voraus.
ersteres ist gegeben, da niemand bezweifeln kann, das
es nur endlich viele reelle Zahlen gibt, und die
Aufzaehlung per Annahme mit natuerlichen Zahlen
Indiziert ist (eben "an"), Zweiteres ergibt sich
durch geeignete konvention in der Darstellung der
reellen Zahlen "an".
...

> > >
> > Nochmal: erst schreibst Du
> > "Wenn man alle Ziffernkombinationen zulässt, enthält die Liste nicht nur
> > irrationale Zahlen sondern auch die periodischen Dezimalbrüche. Trotzdem
> > handelt es sich nicht um die Menge der reellen Zahlen des Einheitsinter-
> > valls, denn dazu gehören auch die endlichen Dezimalbrüche."
> >
> > Das ist natuerlich falsch, denn endliche Dezimalbrueche tauchen
> > sehr wohl auf, man muss sogar einschraenkungen machen, dass sie
> > nicht doppelt auftauchen:
> > 0,5 = 0,5000000... = 0,49999999...
> > Ein Fehler, ab da braucht man nicht weiterzulesen, wenn die
> > Argumentation aufeinander aufbauend ist (weshalb wohl auch
> > viele auf das folgende nicht eingehen). Der ist erstmal zu
> > beheben.
> >
> Richtig. Deshalb habe ich auch geschrieben "Werden sie beruecksichtigt
> und an den Anfang der Tabelle gesetzt, so dass sich die Zahl der
> Nachkommastellen kontinuierlich vergroessert, sind bereits alle
> endlichen natuerlichen Zahlen fuer ihre Abbildung verbraucht.
>

Die Konvention muss natuerlich dem bekannt sein,
der die reellen Zahlen abzaehlen will, _bevor_ er
seine Abzaehlung {an} ins Rennen schickt.
Und, wie Cantors Beweis zeigt, es kann ihm auch dann
nicht gelingen!
Wenn Dir noch weitere Gruende weisst, warum das nicht
moeglich ist, schoen und gut.
Dann sind die Reellen Zahlen erst recht nicht
abzaehlbar!
Dein Argument ist ja, als ob ein alternativer Beweis
den Cantorbeweis ungueltig machen wuerde!

...
>
> [ ... Scheitern der Auflistung ...]

>
> Da die Mengenlehre davon ausgeht, dass es mehr reelle als natuerliche
> Zahlen gibt, muss
> die maximale Stellenzahl der Brueche groesser
> sein als die der natuerlichen Zahlen.
>

Maximale Stellenzahl von Bruechen?
Was soll das sein? Wie folgerst Du hier,
findest Du das nicht selbst etwas wischi
waschi?

> Daraus wiederum folgt,
> dass die Stellenzahl der Brueche ueberabzaehlbar sein muss,
> denn waere sie wie die Stellenzahl der natuerlichen Zahlen
> abzaehlbar, liesse sich nicht mehr begruenden, warum sich die
> Anzahl der Stellen der natuerlichen Zahlen nicht auf dieselbe
> Anzahl wie die der Brueche sollte anheben lassen.
>

Die stellen eines Dezimalbruches stehen offenbar
schoen brav nebeneinander. Da ist doch schon an
der Definition eines Dezimalbruches zwischen 0 und 1 direkt
abzulesen, dass die Stellenzahl ganz klar abzaehlbar ist
(Als Summe von Produkten der Ziffern mit negativen Zehnerpotenzen
eben ueber die Natuerlichen Zahlen als Indexmenge).
Damit braucht man sich um den argumentativen
Eiertanz da oben ja wohl nicht mehr ernstlich
zu kuemmern.

...

>
> Zu den Primzahlen:
>
> Was Du mit den Primzahlen, die modulo 4 gleich -1 sind, meinst,
> ist jetzt klar. Das Beispiel zeigt, wie man aneinander vorbei
> reden kann, wenn man von unterschiedlichen Standpunkten aus an
> ein Problem herangeht.
>
> Trotz dieser Klarstellung kann ich mich allerdings Deiner
> Argumentation nicht anschliessen.
> >
> > Deine Abbildung wuerde hier zu einem unendlichen Produkt
> > fuehren, das ist aber keine Natuerliche Zahl, denn jede
> > natuerliche Zahl hat nur endlich viele Primfaktoren.
>
> Wenn Du eine solche Behauptung aufstellst, musst Du konsequenterweise
> sagen, wie viele Primfaktoren eine natuerliche Zahl maximal enthalten
> darf.
>

Wieso denn das?

Eine Natuerliche Zahl N bezeichnet ja immer auch die
Kardinalitaet der endlichen Menge {1,2,3,4, ... N-1, N},
einverstanden?

Gaebe es nun unendlich viele Primfaktoren von N, die logischerweise
kleiner als N sind, waeren die alle in der endlichen
Menge oben enthalten - Widerspruch zur Endlichkeit der Menge
{1,2,3,4, ... N-1, N}.
Daher gibt es stets nur endlich viele Primfaktoren.
Andererseits gibt es natuerlich zu jedem N etwa die
Zahl 2^(N+1), die mehr Primfaktoren hat, aber eben
immernoch endlich viele.

...

> Anzahl der Primfaktoren. Die Aussage, es muesste in meiner Abbildung
> auch natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Primfaktoren geben, ist
> daher unsinnig,
>

Dann gib bitte das Bild der Menge Aller Primzahlen unter
Deiner Abbildung an.

Das muesste das Produkt aller Primzahlen sein, oder?

Sind das nun unendlich viele Faktoren oder nicht?

Das ist doch ganz konkret, und ich verstehe dein herumphilosophieren
nicht.

>
> Alle Primzahlen sind Elemente von N. Fuer alle Elemente von N gelten
> die gleichen Rechenregeln. Insbesondere gibt es keine obere Grenze fuer
> die Anzahl der Elemente, auf die eine Rechenoperation gleichzeitig
> anwendbar ist. Wenn Du an Deinem Argument festhaelst, musst Du neue
> Rechenregeln definieren.
>

Produkte sind nur parweise definiert, induktiv lassen sie
sich ueber die Regel a*b*c := (a*b)*c auf endliche
Anzahlen erweitern.
Unendliche Produkte ergeben keine natuerlichen Zahlen mehr,
wie man mit meiner obigen Argumentation fuer die endlichkeit
der Anzahl der Faktoren sieht.

...

> Die Abbildung von Pot(P) auf N ...
>
Sorry, aber was Du beschrieben Hast ist eben keine
Abbildung, deine Weitere Argumentation versagt daher.

...

> > Dir ist aber klar, dass Natuerliche Zahlen immer nur
> > endlich viele Stellen in ihrer Binaerdarstellung
> > haben?
> > ...
> > Du behauptest also, die Menge der natuerlichen Zahlen,
> > die nur endlich viele binaerstellen haben, ist selbst
> > endlich.
> >
> > Nun, als endliche Menge muesste sie ja ein groesstes
> > Element haben.
> >
> > Bitte nenn mir dieses groesste Element.
> > Oder sage mir nur, wieviele Stellen es denn hat.
> >
> > Siehst Du, worauf ich hinaus will?
>
> Du behauptest also, die Menge B der Binaerstellen einer
> natuerlichen Zahl ist endlich.
>

Genau, und zwar fue rede Zahl individuell
verschieden, aber endlich, also eine Natuerliche
Zahl, mit anderen Worten.

> Nun, fuer eine endliche Menge muesste es ja eine groesste Zahl
> geben, die sagt, wieviel Binaerstellen es maximal sein duerfen.
>

Was aber nichts mit meiner Behauptung zu tun hat!
Beachte dass in meiner Aussage keinerlei Mengen
auftauchen.

> Bitte nenn mir diese Zahl.
>

Der Binaere Logharithmus der groessten Zahl aus
der Menge, nach oben gerundet.

> Siehst Du, worauf ich hinaus will?
>

Ja, Du willst Dich um die Antwort meiner
Frage druecken.

Waehrend Du aber behauptest _die Menge_
der Zahlen mit endlich Vielen Stellen sei
endlich, rede ich nicht von Mengen, sondern
von einzelnen Zahlen.
Und eine Natuerliche Zahl hat eben nur
endlich viele Stellen.
Also ist die Menge der Zahlen, die nur endlich
viele Stellen haben, gleich den Natuerlichen
Zahlen selbst, denn jede kommt drinn vor, und
es bleibt keine uebrig.

> Mit dieser Argumentation drehst Du Dich im Kreis herum.
>

imo nicht.

> Die Binaerstellen einer natuerlichen Zahl lassen sich
> nummerieren. Es gibt keine groesste zulaessige Nummer.
>

Du sprichst doch hoffentlich nicht von fuehrenden
Nullen? Die sind natuerlich auszuschliessen.

> D. h. sie lassen sich auf N abbilden.
>

Nur, wenn fuehrende Nullen akzeptiert werden.
Die tragen aber nichts zur Maechtigkeit bei,
schliesslich kann man sie ohne Informationsverlust
weglassen.

> Die Menge B der Binaerstellen ist also gleichmaechtig
> wie N.
>

Huch, waehle N=12, also ist {1,2} gleichmaechtig zur
menge der Natuerlichen Zahlen?

...

> >
> > Versuchen wir es nochmal zum Abhaken, irgendwann musst
> > Du nein oder weiss nicht antworten, da koennen wir
> > weitermachen:
> >
> > Glaubst Du an die Existenz von Folgen von
> > rationalen Zahlen?
> >
> Selbstverstaendlich ja.
>
> > Glaubst Du an die Existenz von Konvergenten Folgen
> > von rationalen Zahlen?
> >
> Ja, konvergent im Sinne der Epsilon-Delta-Methode, die mit
> endlichen Mengen auskommt.
>

mehr brauchen wir auch nicht.

> > Glaubst Du an die Existenz von Nullfolgen rationaler
> > Zahlen?
> >
> Wie vorstehend.
>
> > Glaubst Du daran, dass Konvergente Folgen rationaler
> > Zahlen, die sich nur um Nullfolgen unterscheiden,
> > Zu Klassen zusammenfassen kann?
> >
> Warum nicht? Nur eine Frage der Definition. Man kann
> beliebige Zusammenfassungen definieren.
>

Wobei diese ganz praktsch sind, denn wenn
man hier mit Stellvertretern Elementweise
Operationen durchfuehrt, kommt man unabhaengig
von der Vertreterwahl in die selben neuen
Klassen ...

> > Glaubst Du daran, dass man fuer diese Klassen
> > die elementaren Rechenoperationen definieren
> > kann?
> >
> Ja, solange man die Rechenoperationen gliedweise auf die
> Elemente der Folgen anwenden kann.
>

Kann man. Zu den Folgen <an>, <bn> kann man gliedweise
die Folge <an+bn> bilden.

> > Wenn ja, hast Du jetzt eine Skizze der Konstruktion der
> > reellen Zahlen vor Dir, also einen Existenzbeweis.
> >
> ???

!!!

> Die Skizze einer Konstruktion ist noch kein Beweis, dass
> die Konstruktion tatsaechlich zum gewuenschten Ziel fuehrt.
>

Uebungsaufgabe fuer Differentialrechnung.

Du kannst wirklich selbst mit der schoenen endlichen
epsilontik nachrechnen, dass etwa die Klasse a der
Folgen, die mit <an> zusammenliegen und die Klasse
b der Folgen, die mit <bn> zusammenliegen, die Klasse
a+b durch die Klasse, in der <an+bn> liegt eindeutig
definiert, und ueberhaupt alle elementaren
Rechenoperationen auf diese Weise wohldefiniert
sind.
Die Ganzen Zahlen, etwa 2, findet man in den Klassen
in der Folge <2> (die nur aus 2en besteht), wieder.

Und wenn Du nun mit irgendeinem Verfahren eine positive
Folge <wn> findest mit wn^2 -> 2, dann bestimmt auch
diese Folge eindeutig eine Klasse, die wir
Wurzel aus Zwei nennen, denn ihr Quadrat ist
gleich der klasse <2>.

Beachte, dass auf dieser Ebene keine Naeherung mehr
stattfindet, man kann mit diesen Klassen wirklich
rechnen.

Das Problem ist nur das finden der konvergenten
Folge, etwa durch Intervallschachtlung oder
dergleichen.
Insofern haben die Reellen Zahlen natuerlich ein
analytisches Element, das man auch nicht
wegdiskutieren sollte - aber dennoch sind es
praeziese definierbare Objekte, bei denen man
durchaus auf festem Grund steht.

Die Manie alles erst in Form von Stellen auf dem
Taschenrechnerdisplay als "real" zu betrachten,
ist ein anderes Problem, womoeglich gar kein
Mathematisches.

...

> Ein Kind hat es in der Tat leichter, weil ihm das noetige
> Hintergrundwissen fehlt. Und vielen Erwachsenen faellt es
> offensichtlich schwer, sich von ihren einfachen kindlichen
> Vorstellungen zu befreien. Daher kommt es wohl auch, dass
> es vielen so schwer faellt, die Tatsache zu akzeptieren,
> dass sich nicht alles auf eine Handvoll idealisierter
> abstrakter Begriffe zurueckfuehren laesst.
>

Aber zum Glueck vieles, etwa die reellen Zahlen.

> Fuer Wurzel aus 2 hast Du in Deinem ersten posting selbst den
> Beweis gebracht, dass die Loesung nicht existiert. Ich zitiere:
>
> > (p/q)^2=2, p,q Ganz, Teilerfremd (sonst kuerzen).
> > => p^2 = 2 q^2 => 2 teilt p^2 => 2 teilt p =>
> > 4 teilt p^2 (=2q^2) => 2 teilt q^2 => 2 teilt q,
> > Widerspruch.
> > Also gibt es keine p,q mit (p/q)=Wurzel 2,
> > wohl aber eine Cauchyfolge, die gegen Wurzel
> > 2 konvergiert, modulo Nullfolgen ist dies die
> > exakt bestimmte reelle Zahl Wurzel aus 2.
> > Diese ist also irrational.
>
> Die Ausdrucksweise "Cauchyfolge, die gegen Wurzel 2 konvergiert,"
> ist ungenau, weil sie von Wurzel 2 so spricht, als stuende bereits
> fest, dass es sie gibt, obwohl ihre Existenz erst zu beweisen ist.
>

Natuerlich steht fest, dass es sie gibt, man kann ja eine solche
Folge einfach konstruieren, und die Zugehoerige Klasse bilden, all
das hast Du ja gutgeheissen.
Bitte, da ist die Wurzel aus zwei.
Uebrigens gibt es natuerlich auch Gleichungen, die nicht
derart loesbar sind, und die definieren dann natuerlich
auch keine reelle Zahl, etwa wurzel aus -1.

> Tatsache ist: Die Folge oder der Algorithmus liefert sukzessive
> rationale Zahlen, die mit sich selbst multipliziert dem Wert 2
> immer naeher kommen, ihn aber nie exakt erreichen, sonst waere es
> keine unendliche Folge.
>

Das erreichen ist nicht per se ausgeschlossen, die Folge
bleibt dann eben konstant.

> Die Definition des irrationalen Grenzwerts
> setzt also seine Nichtexistenz voraus,
>

Falsch.
Als reelle Zahl ist dieser Grenzwert die zugehoerige Klasse
der Cauchyfolge, als rationale Zahl existiert er logischerweise
nicht, sonst waere er nicht irrational.

...

> >
> > Das _sind_ schon reelle Zahlen! Nichts muus
> > mehr "approximiert" werden.
>
> Definitionen sind hilfreich aber auch verfuehrerisch. Die Definition
> des neuen Begriffs aendert doch nichts an der Tatsache, dass er selbst
> auf einer Approximation beruht!
>

Sagen wir sehr lax, was sich rational approximieren laesst, ist eine
reelle
Zahl.

Da sich auch Natuerliche und rationale Zahlen banalerweise rational
approximieren lassen, betten sie sich ganz zwanglos in obiges Konstrukt
ein, man braucht dann nicht einmal mehr "zwischen den Welte" zu
springen.

Will man aber den Wert auf einer Skala abtragen, da sind sich wohl
alle einig, muss man schliesslich doch wieder approximieren.

Gruss,
Detlef

[Dieter Jungmann]

Hallo zusammen,

einige von Euch sind sehr ungeduldig und haetten am liebsten die
Antwort noch bevor ihr posting abgeschickt ist. Verstaendlich,
bedenkt aber, dass nicht jeder so viel Zeit zur Verfuegung hat
wie Ihr anscheinend. Ausserdem sind Schnellschuesse bei diesem
komplexen Thema wenig hilfreich.

Da sich die Fragen teilweise ueberschneiden, antworte ich nicht mehr
auf einzelne postings sondern komme auf die Fragen im geeigneten
Zusammenhang zurueck.

Holger Gollan hat in seinem posting vom 24. Jan. 14:59 eine Liste mit
13 Punkten als Grundlage fuer die weitere Diskussion vorgeschlagen.
Diese nehme ich nachfolgend als Ausgangspunkt. Zuvor aber einige
Anmerkungen.

Es sei U = { 1^2, 2^2, 3^2, 4^2, ...} die Menge der Quadratzahlen.
U und N sind gleichmaechtig. U ist Teilmenge von N, aber N ist nicht
Teilmenge von U. Ganz gleich sind sie offensichtlich doch nicht.
Wenn man bedenkt, welche Bedeutung Symmetrien in anderen Theorien
haben, ist diese Unsymmetrie zumindest auffaellig. Zufolge der
Maechtigkeitsdefinition muesste N auch Teilmenge von U sein koennen.
Um dies zu ermoeglichen, werden die Symbole 1^2, 2^2, ... nicht mehr
als Zahlen interpretiert, sondern sie sollen eine beliebige andere
Bedeutung haben. Die Menge U veraendert sich dadurch nicht, sie ist
jetzt aber nicht mehr Teilmenge von N sondern eine von N voellig
unabhaengige eigenstaendige Menge. Man bildet jetzt von U durch
Aussonderung jedes zweiten Elementes die Teilmenge U1 und bildet
N bijektiv auf U1 ab. N ist also gleichmaechtig zu einer Teilmenge
von U und kann in diesem Sinne als eine Teilmenge von U betrachtet
werden. Wenn man die Bedeutung der Elemente von U und N entsprechend
neu interpretiert (notfalls neue Symbole draufschreiben), wird N
sogar zur echten Teilmenge von U.

Ein Widerspruch? Nein, sondern nur eine Konsequenz aus der Definition
der Begriffe Maechtigkeit und Unendlich. Eine Definition, die nur
_eine_ Aussage enthaelt, kann nicht widerspruechlich sein sondern
nur zweckmaessig oder unzweckmaessig. Eine unzweckmaessig gewaehlte
Definition mit unuebersichtlichen Konsequenzen birgt aber in erhoehtem
Masse die Gefahr in sich, in Kombination mit anderen Aussagen zu
Widerspruechen zu fuehren. Diese Situation ist in der Megnenlehre
gegeben. Wenn aber ein Widerspruch auftritt, interpretiert die Mengen-
lehre ihn immer in ihrem Sinne, es wird grundsaetzlich nicht nach der
Usache des Widerspruchs gesucht. Das ist einer der Prinzipfehler
dieser Theorie.

Abzaehlbar:
Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
{no, n1, n2, n3,...} schreiben lassen. Voraussetzung dafuer ist,
dass es ein Ordnungsprinzip gibt, das jedem Element der Menge einen
und nur einen genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist.
Weitere Bedingungen gibt es nicht.

Abzaehlbar unendlich:
Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine abzaehlbare Menge, in der
es zu jedem Element ein nachfolgendes Element, kurz Nachfolger, gibt.
Weitere Bedingungen gibt es nicht.

Eine unendliche Menge ist also eine unvollstaendige Menge. Die Aussage
"Alle Elemente" der Menge ist gegenstandslos, weil es "alle Elemente"
nicht gibt, denn man kann immer noch ein Element hinzufuegen.
Die Aussage, N ist die Menge DER natuerlichen Zahlen ist problematisch,
weil sie suggeriert, N sei die Menge aller natuerlichen Zahlen.
Endlichen Mengen natuerlicher Zahlen kann man eine reale Existenz in
dem Sinne zusprechen, dass sie auf reale Mengen abgebildet werden
koennen. Fuer N gilt das nicht, N existiert nicht in diesem Sinne.
N = Menge der natuerlichen Zahlen ist nur ein kurzer Ausdruck fuer
die Tatsache, dass man sich nicht auf eine bestimmte endliche Menge
von natuerlichen Zahlen bezieht, sondern dass beliebig grosse Mengen
zulaessig sind. Mehr ist mit der Aussage, N sei eine unendliche Menge,
nicht gemeint. Das gilt fuer alle unendlichen Mengen. Unendliche
Mengen sind also nur ein Sonderfall von endlichen Mengen, deren
Groesse unbestimmt ist.

Die Nichtexistenz von N laesst sich mengentheoretisch besonders einfach
beweisen. Gemaess dem mengentheoretischen Zahlenbegriff entspricht einer
natuerlichen Zahl m die Menge m mit m Elementen. m ist also eine Menge.
Das nachfolgende Element n = m + 1 ist die Vereinigungsmenge
n = m |_|{m}. Darin ist {m} eine Menge, die als einziges Element die
Menge m enthaelt. Falls N tatsaechlich existiert, kann man genauso die
Menge {N} bilden, die als einziges Element N enthaelt. Die Vereinigungs-
menge N |_| {N} ist eine abzaehlbare Menge, die ein Element mehr enthaelt
als N, folglich kann N nicht die Menge aller natuerlichen Zahlen sein.
Aus der mengentheoretischen Definition der Zahlen folgt der zwiespaeltige
Charakter von N. Man kann N wahlweise als Vereinigungsmenge aller Mengen n
oder als die groesste der n Mengen auffassen, beide haben die gleiche
Anzahl an Elementen. Da es aber keine groesste Menge n geben kann, zeigt
sich der Widerspruch der Definitionen.

Es sei T_n die Teilmenge von N, die alle Elemente von 0 bis n enthaelt.
T_n ist nicht gleichmaechtig zu einer ihrer echten Teilmengen. Das gilt
fuer alle T_n. Will man jedem Element von T_n umkehrbar eindeutig eine
Quadratzahl zuordnen, so reichen die in T_n enthaltenen Quadratzahlen
nicht aus, man benoetigt dazu eine groessere Teilmenge T_q. Diese wird
gerade so gross gewaehlt, dass die Abbildung moeglich ist. T_q enthaelt
alle Elemente von 0 bis q, fuer die Abbildung wird nur die Teilmenge
der Quadratzahlen ausgewaehlt.
Die Differenz zwischen der Anzahl der Elemente von T_q und T_n waechst
quadratisch mit n. T_q wird nie gleich gross wie T_n. Die Eigenschaft
einer unendlichen Menge, gleichmaechtig wie eine ihrer echten Teilmengen
zu sein, hat also nichts mit der "Maechtigkeit" dieser Mengen zu tun,
sondern ist ausschliesslich eine Folge der Beliebigkeit, mit der die
Teilmengen ausgewaehlt werden. Das bestaetigt obige Aussage, dass eine
unendliche Menge nur der Sonderfall einer endlichen Menge mit beliebig
waehlbarer Groesse ist.

In einem Eurer postings habe ich die Definition gelesen, eine unendliche
Menge sei eine nicht endliche Menge. Diese Definition ist natuerlich
sinnlos. Sie haette nur Sinn, wenn zuvor die Existenz von unendlichen
Mengen bewiesen worden waere. Dieser Existenzbeweis fehlt aber. Die
Mengenlehre versucht sich mit Hilfe der Kardinalzahlen aus der Affaere
zu ziehen. Unendliche Kardinalzahlen sind identisch mit den Alephs.
Diese setzen die Existenz von abzaehlbar und ueberabzaehlbar unendlichen
Mengen aber schon voraus. Auch die Ueberabzaehlbarkeit der unendlichen
Potenzmengen muss bereits bewiesen sein. Die Argumentation mit den
Kardinalzahlen ist also einer der zahlreichen logischen Zirkel der
Mengenlehre.

Nun zu Holgers 13 Punkte Plan:
Die Punkte 2) bis 8) sind problemlos und koennen abgehakt werden.

> 1) Eine Menge M ist abzaehlbar unendlich, wenn es eine Bijektion von M
> auf die Menge N der natuerlichen Zahlen gibt.

Wenn es um die Klaerung grundsaetzlicher Fragen geht, ist es sinnvoller,
die obige allgemeingueltige Definition der Abzaehlbarkeit zu verwenden.

Wenn man doch eine Vergleichsmenge, z.B. N, heranzieht, genuegt bei
unendlichen Mengen eine Injektion von M nach N. Grund: Da auch eine
unendliche Teilmenge V von N gleichmaechtig wie N ist, genuegt eine
Bijektion von M nach V. Das ist eine Injektion von M nach N. Da das
gleiche auch fuer V gilt, reicht bei unendlichen Mengen grundsaetzlich
eine Injektion.

Zu Punkt 9):

> 9) Aber: Was ist z.B. das Bild f(D1) von D1 unter Deiner Abbildung f?

D1 ist die unendliche "Menge aller Zweierpotenzen". Wenn Ihr mir sagt,
was in einer unendlichen Menge _alle_ Elemente sind, sage ich Euch, was
das Bild ihrer Abbildung ist.

Bei der gewaehlten Abbildungsvorschrift waere f(D1) die Abbildung des
letzten Elementes von Pot(D1). Da es in einer unendlichen Menge kein
letztes Element gibt, ist die Frage unsinnig. Die Abzaehlbarkeits-
Definition verlangt nicht, dass alle Elemente angegeben werden muessen,
das ist bei keiner unendlichen Menge moeglich. Sie verlangt nur den
Nachweis einer Rekursionsformel, mit der alle Elemente induktiv aus den
vorherigen bei Wahrung der Wohlordnung abgeleitet werden koennen. Diese
Bedingungen werden von meiner Abbildungsvorschrift erfuellt.

> 10) Ang.: f(D1) = X ist eine natuerliche Zahl.
> 11) Dann ist auch 2^X eine natuerliche Zahl, also Element von D1. Also
> taucht 2^X in der Summe f(D1) auf. Folglich: X = f(D1) > 2^X > X.
> 12) Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme unter 10) falsch ist.
> Folglich ist f(D1) keine natuerliche Zahl, es liegt also keine Abbildung
> von Pot(D1) nach N vor.

Nachdem ich bewiesen habe, dass Pot(D1) eine gemaess der Definition
abzaehlbare Menge ist, waere der Widerspruch nur ein weiterer Beweis
dafuer, dass die Mengenlehre nicht widerspruchsfrei ist. Ihr macht
immer wieder den Fehler, dass Ihr nicht nach der Ursache der Wider-
sprueche sucht sondern voreilige Schluesse zieht. Im vorliegenden
Fall liegt der Fehler darin, dass ihr eine Abbildung der Summe f(D1)
fordert ohne die Existenz von D1 bewiesen zu haben. Dieser Existenz-
beweis ist aber, wie ich oben gezeigt habe, nicht moeglich. Das ist
ein Problem von D1 und nicht von Pot(D1).

Noch ein Beispiel:
Mengentheoretisch sind alle Zahlen "n" Mengen mit n Elementen. N, die
Menge aller natuerlichen Zahlen, also aller n, ist die Vereinigungs-
menge aller n. Jede Menge n ist ein Element von N. Nun kann man auch
die Vereinigungsmenge V aller in den einzelnen n enthaltenen Elemente
bilden. Die Anzahl der Elemente von V ist 1 + 2 + 3 + 4 + ... , also
groesser als die Anzahl der Elemente von N. Die Anzahl der Elemente
jeder Menge n ist abzaehlbar. Die Menge aller n ist voraussetzungs-
gemaess ebenfalls abzaehlbar. V ist also die Vereinigungsmenge einer
abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen und daher ebenfalls abzaehlbar.
V kann also auf N abgebildet werden. Die Summe 1 + 2 + 3 + ... ist
aber groesser als jede in N enthaltene Zahl. Es ergibt sich also der
gleiche Widerspruch.

Zu Punkt 13 gilt das gleiche wie vorstehend.

Zum Schluss noch eine Frage. Holger Gollan hat in seinem posting vom
23. Jan. 12:26 als Antwort auf Christian Semrau's Frage nach dem
Axiomensystem von Peano unter Punkt 4 geschrieben:

> 4) Zwei natuerliche Zahlen m und n, deren Nachfogler gleich sind (m* =

> n*), sind selbst schon gleich (m = n).

Das ist in der Tat eines der 3 Axiome aus PEANOs Axiomensystem.
(m und n sind Elemente derselben Menge, es geht nicht um den
Vergleich verschiedener Mengen.)
Es seien m** und n** die Nachfolger von m* und n*. Um die Gleichheit
von m und n festzustellen, muss also zuerst die Gleichheit von m* und
n* bekannt sein. Da kein Element von N eine Vorzugsstellung hat
(m und n sind beliebig vorgegeben, es könnte sich also auch um m* und
n* handeln), muss auch zur Feststellung der Gleichheit von m* und n*
gelten, dass sie genau dann gleich sind, wenn ihre Nachfolger m** und
n** gleich sind, usw. Da jedes Element einer unendlichen Menge einen
Nachfolger hat, gelangt man an keine Ende, die Gleichheit von m und n
ist also nicht feststellbar. Falls sie doch in der beschriebenen Weise
feststellbar ist, bedeutet das entweder, dass m* und n* eine Sonder-
stellung einnehmen, oder dass die Gleichheit von m und n genau wie bei
m* und n* auch unmittelbar feststellbar ist. Kann jemand erklären,
worin die Besonderheit von m* und n* liegt? Habe ich etwas uebersehen
oder handelt es sich nur um ein weiteres Beispiel dafuer, wie in der
Mengenlehre mit Pseudogenauigkeit leeres Stroh gedroschen wird?
Wie stellt man die Gleichheit von m* und n* fest (im Unterschied
zu m und n)?

Dieses Vorgehen ist charakteristisch fuer die Mengenlehre. Direkte
Aussagen werden moeglichst vermieden und durch eine zweite Aussage
ersetzt, aus der die erste durch logischen Schluss folgt. Dahinter
steckt die Absicht, alle intuitiven Aussagen durch formale Aussagen
zu ersetzen. Damit wird das Problem aber nur verlagert, denn die
zweite Aussage enthaelt genau so viel Intuition wie die erste.
Haeufig kommt ein zweites Problem hinzu. Wenn der logische Schluss
sich auf allgemeine Mengen bezieht, kann man bei der Vielfalt
unterschiedlicher Mengen nicht sicher sein, dass er tatsaechlich
fuer alle Mengen gilt. Der Beweis, dass es tatsaechlich so ist,
wird nie geliefert. Statt dessen vertrauen die Theoretiker auf
die Intuition des Lesers und bringen damit neben der Unsicherheit
zusaetzliche Intuition ins Spiel. Der Versuch, Theorien frei von
Intuition zu halten, ist zum Scheitern verurteilt. Jede Theorie
enthaelt mehr Intuition als den meisten bewusst ist.

Hinzu kommt ein weiteres Problem. Jede Theorie enthaelt unvermeidbar
das Axiom, dass unser Denken korrekt ist. In Wahrheit wissen wir nicht
einmal, wie unser Denken funktioniert. Trotzdem ist jeder davon ueber-
zeugt, richtig zu denken, obwohl dieses Axiom millionenfach widerlegt
ist. Jede serioese Theorie muss deshalb durch die Realitaet ueberprueft
werden. Eine Theorie, die grundsaetzlich nicht in dieser Weise pruefbar
ist, ist nach meiner Auffassung Spekulation.

Gruss

Dieter

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo zusammen,
>

Hallo Dieter,

> einige von Euch sind sehr ungeduldig und haetten am liebsten die
> Antwort noch bevor ihr posting abgeschickt ist. Verstaendlich,
> bedenkt aber, dass nicht jeder so viel Zeit zur Verfuegung hat
> wie Ihr anscheinend. Ausserdem sind Schnellschuesse bei diesem
> komplexen Thema wenig hilfreich.
>

Na ja, so schnell muss die Antwort nun auch nicht da sein! Und mit den
Schnellschuessen hast Du Recht. Ich habe z.B. bei einigen meiner
Postings die Begriffe Surjektivitaet und Injektivitaet durcheinander
gewirbelt. (sorry!)

> Da sich die Fragen teilweise ueberschneiden, antworte ich nicht mehr
> auf einzelne postings sondern komme auf die Fragen im geeigneten
> Zusammenhang zurueck.
>

Was wieder einmal leider dazu fuehrt, dass lange Postings entstehen. Mir
waere es immer noch lieber, wir wuerden uns auf kurze beschraenken, da
man sich dann auf ein Problemfeld konzentrieren kann.

> Holger Gollan hat in seinem posting vom 24. Jan. 14:59 eine Liste mit
> 13 Punkten als Grundlage fuer die weitere Diskussion vorgeschlagen.
> Diese nehme ich nachfolgend als Ausgangspunkt. Zuvor aber einige
> Anmerkungen.
>

Danke fuer die Ehre; dazu unten mehr.

Ich sehe da nun wirklich keinen Widerspruch. Und das Ganze hat auch
ueberhaupt nichts mit dem Begriff der Maechtigkeit zu tun. Es gibt nun
mal injektive Abbildungen von U nach N und von N nach U, also kannst Du
(sozusagen) auch N als Teilmenge von U auffassen. Und zwar ohne
ueberhaupt ueber den Begriff der Maechtigkeit nachzudenken. Erst jetzt
musst Du Dich fragen, in was fuer eine Situation Du nun geraten bist. U
ist "kleiner" als N und N ist "kleiner" als U. Da bleibt doch nur
uebrig, dass U gleichmaechtig wie N ist, oder? Und deshalb wird
gleichmaechtig so definiert. Wenn es ueberhaupt einen Widerspruch gibt,
dann schon bei der Betrachtung der injektiven Abbildungen.
Unendliche Mengen verhalten sich nun einmal nicht genau so wie endliche
Mengen. Du kannst gerne Mengenlehre nur mit endlichen Mengen betrachten,
aber wenn Du Dich auf unendliche Mengen einlaesst, dann geschehen halt
seltsame Dinge.

> Abzaehlbar:
> Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
> {no, n1, n2, n3,...} schreiben lassen. Voraussetzung dafuer ist,
> dass es ein Ordnungsprinzip gibt, das jedem Element der Menge einen
> und nur einen genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist.
> Weitere Bedingungen gibt es nicht.
>
> Abzaehlbar unendlich:
> Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine abzaehlbare Menge, in der
> es zu jedem Element ein nachfolgendes Element, kurz Nachfolger, gibt.
> Weitere Bedingungen gibt es nicht.
>

Ich wuerde es zwar anders definieren (injektive Abbildungen auf N), aber
ich denke, dass aus meiner Sicht die Sachen aequivalent waeren.

> Eine unendliche Menge ist also eine unvollstaendige Menge. Die Aussage
> "Alle Elemente" der Menge ist gegenstandslos, weil es "alle Elemente"
> nicht gibt, denn man kann immer noch ein Element hinzufuegen.
> Die Aussage, N ist die Menge DER natuerlichen Zahlen ist problematisch,
> weil sie suggeriert, N sei die Menge aller natuerlichen Zahlen.
> Endlichen Mengen natuerlicher Zahlen kann man eine reale Existenz in
> dem Sinne zusprechen, dass sie auf reale Mengen abgebildet werden
> koennen. Fuer N gilt das nicht, N existiert nicht in diesem Sinne.
> N = Menge der natuerlichen Zahlen ist nur ein kurzer Ausdruck fuer
> die Tatsache, dass man sich nicht auf eine bestimmte endliche Menge
> von natuerlichen Zahlen bezieht, sondern dass beliebig grosse Mengen
> zulaessig sind. Mehr ist mit der Aussage, N sei eine unendliche Menge,
> nicht gemeint. Das gilt fuer alle unendlichen Mengen. Unendliche
> Mengen sind also nur ein Sonderfall von endlichen Mengen, deren
> Groesse unbestimmt ist.
>

Und hier fangen die Probleme an! Man kann zwar nicht alle Elemente einer
unendlichen Menge hinschreiben, aber trotzdem kann man Aussagen ueber
alle Elemente treffen, und sogar fuer alle Elemente beweisen. Genau fuer
diesen Zweck gibt es das Prinzip der vollstaendigen Induktion. Wird das
von Dir eigentlich akzeptiert (als Bestandteil der Peano-Axiome)?

> Die Nichtexistenz von N laesst sich mengentheoretisch besonders einfach
> beweisen. Gemaess dem mengentheoretischen Zahlenbegriff entspricht einer
> natuerlichen Zahl m die Menge m mit m Elementen. m ist also eine Menge.
> Das nachfolgende Element n = m + 1 ist die Vereinigungsmenge
> n = m |_|{m}. Darin ist {m} eine Menge, die als einziges Element die
> Menge m enthaelt. Falls N tatsaechlich existiert, kann man genauso die
> Menge {N} bilden, die als einziges Element N enthaelt. Die Vereinigungs-
> menge N |_| {N} ist eine abzaehlbare Menge, die ein Element mehr enthaelt
> als N, folglich kann N nicht die Menge aller natuerlichen Zahlen sein.
> Aus der mengentheoretischen Definition der Zahlen folgt der zwiespaeltige
> Charakter von N. Man kann N wahlweise als Vereinigungsmenge aller Mengen n
> oder als die groesste der n Mengen auffassen, beide haben die gleiche
> Anzahl an Elementen. Da es aber keine groesste Menge n geben kann, zeigt
> sich der Widerspruch der Definitionen.
>

Ist ja schoen, dass N nicht existiert. Worueber streiten wir dann
ueberhaupt? Aber Spass beiseite! Du begehst den Fehler, dass Du auf die
Menge N den gleichen Prozess anwenden willst wie auf die Mengen m. Das
fordert aber niemand, N ist keine natuerliche Zahl.

> Es sei T_n die Teilmenge von N, die alle Elemente von 0 bis n enthaelt.
> T_n ist nicht gleichmaechtig zu einer ihrer echten Teilmengen. Das gilt
> fuer alle T_n. Will man jedem Element von T_n umkehrbar eindeutig eine
> Quadratzahl zuordnen, so reichen die in T_n enthaltenen Quadratzahlen
> nicht aus, man benoetigt dazu eine groessere Teilmenge T_q. Diese wird
> gerade so gross gewaehlt, dass die Abbildung moeglich ist. T_q enthaelt
> alle Elemente von 0 bis q, fuer die Abbildung wird nur die Teilmenge
> der Quadratzahlen ausgewaehlt.
> Die Differenz zwischen der Anzahl der Elemente von T_q und T_n waechst
> quadratisch mit n. T_q wird nie gleich gross wie T_n. Die Eigenschaft
> einer unendlichen Menge, gleichmaechtig wie eine ihrer echten Teilmengen
> zu sein, hat also nichts mit der "Maechtigkeit" dieser Mengen zu tun,
> sondern ist ausschliesslich eine Folge der Beliebigkeit, mit der die
> Teilmengen ausgewaehlt werden. Das bestaetigt obige Aussage, dass eine
> unendliche Menge nur der Sonderfall einer endlichen Menge mit beliebig
> waehlbarer Groesse ist.
>

Wie ganz oben beschrieben, ist es nun mal moeglich, per injektiver
Abbildung eine abzaehlbar unendliche Menge auf eine echte Teilmenge
abzubilden. Und mit diesem Phaenomen muss man leben (umgehen). Der
allgemein gebraeuchliche Zugang ist mir da allerdings lieber als die
Vorstellung, eine Menge mit beliebig waehlbarer, also unbestimmter
Groesse zu besitzen.
Was machst Du denn mit der Menge der Quadratzahlen, der Menge der
Primzahlen, der Menge der natuerlichen Zahlen? Existieren diese
unendlichen Mengen? Sind sie gleich gross? Ist die Menge der
Quadratzahlen weniger maechtig als die Menge der natuerlichen Zahlen?
Wie gesagt, Du kannst die Menge der natuerlichen Zahlen per injektiver
Abbildung in die Menge der Quadratzahlen einbetten, sozusagen als
Teilmenge der Menge der Quadratzahlen auffassen.

> In einem Eurer postings habe ich die Definition gelesen, eine unendliche
> Menge sei eine nicht endliche Menge. Diese Definition ist natuerlich
> sinnlos. Sie haette nur Sinn, wenn zuvor die Existenz von unendlichen
> Mengen bewiesen worden waere. Dieser Existenzbeweis fehlt aber. Die
> Mengenlehre versucht sich mit Hilfe der Kardinalzahlen aus der Affaere
> zu ziehen. Unendliche Kardinalzahlen sind identisch mit den Alephs.
> Diese setzen die Existenz von abzaehlbar und ueberabzaehlbar unendlichen
> Mengen aber schon voraus. Auch die Ueberabzaehlbarkeit der unendlichen
> Potenzmengen muss bereits bewiesen sein. Die Argumentation mit den
> Kardinalzahlen ist also einer der zahlreichen logischen Zirkel der
> Mengenlehre.
>

Nun bin ich kein Axiomatiker der Mengenlehre und weiss nicht, welche
abstrusen Theorien man dort so alles betrachten kann. Wenn man aber
zulaesst, dass man die Menge der natuerlichen Zahlen bilden kann, dann
stellt sich die Frage nach der Existenz unendlicher Mengen nicht mehr.

> Nun zu Holgers 13 Punkte Plan:
> Die Punkte 2) bis 8) sind problemlos und koennen abgehakt werden.
>

Danke!

> > 1) Eine Menge M ist abzaehlbar unendlich, wenn es eine Bijektion von M
> > auf die Menge N der natuerlichen Zahlen gibt.
>
> Wenn es um die Klaerung grundsaetzlicher Fragen geht, ist es sinnvoller,
> die obige allgemeingueltige Definition der Abzaehlbarkeit zu verwenden.
>
> Wenn man doch eine Vergleichsmenge, z.B. N, heranzieht, genuegt bei
> unendlichen Mengen eine Injektion von M nach N. Grund: Da auch eine
> unendliche Teilmenge V von N gleichmaechtig wie N ist, genuegt eine
> Bijektion von M nach V. Das ist eine Injektion von M nach N. Da das
> gleiche auch fuer V gilt, reicht bei unendlichen Mengen grundsaetzlich
> eine Injektion.
>

Du hast natuerlich Recht mit der Injektion. Wie oben schon geschrieben,
halte ich die Definitionen fuer aequivalent, da man ueber die Bijektion
zu den natuerlichen Zahlen den Nachfolger geliefert bekommt.

> Zu Punkt 9):
>
> > 9) Aber: Was ist z.B. das Bild f(D1) von D1 unter Deiner Abbildung f?
>
> D1 ist die unendliche "Menge aller Zweierpotenzen". Wenn Ihr mir sagt,
> was in einer unendlichen Menge _alle_ Elemente sind, sage ich Euch, was
> das Bild ihrer Abbildung ist.
>

Das ist doch nicht Dein Ernst, oder? Du definierst eine "Abbildung",
weisst nicht, wie sie auf bestimmten Elementen des Ursprungsbereichs
aussieht, und fragst uns, was nun zu tun sei? Es ist Deine Abbildung,
also musst Du uns sagen, wie bestimmte Bilder aussehen.
Wenn ich die Gleichmaechtigkeit zweier Mengen per Bijektion beweise,
dann kann ich auch fuer jedes Element ein Bild angeben. Du kannst es
doch nicht der Mengenlehre anlasten, dass Du fuer manchen Elemente von
Pot(D1) nicht in der Lage bist, das Bild zu bestimmen.

> Bei der gewaehlten Abbildungsvorschrift waere f(D1) die Abbildung des
> letzten Elementes von Pot(D1). Da es in einer unendlichen Menge kein
> letztes Element gibt, ist die Frage unsinnig. Die Abzaehlbarkeits-
> Definition verlangt nicht, dass alle Elemente angegeben werden muessen,
> das ist bei keiner unendlichen Menge moeglich. Sie verlangt nur den
> Nachweis einer Rekursionsformel, mit der alle Elemente induktiv aus den
> vorherigen bei Wahrung der Wohlordnung abgeleitet werden koennen. Diese
> Bedingungen werden von meiner Abbildungsvorschrift erfuellt.
>

Hier befindest Du Dich aber im Zirkelschluss! Wo ist Deine
Rekursionsformel, die aus jedem Element von Pot(D1) das naechste Element
liefert. Bisher habe, wenn ueberhaupt, so etwas nur fuer endliche
Teilmengen von D1 gesehen. Was ist z.B. das naechste Element nach { 2^0
, 2^2 , 2^4 , 2^6 , 2^8 , ... }
(Entschuldige, dass ich wieder die "..."-Notation benutzt habe.)
Die Bemerkung mit dem letzten Element verstehe ich nicht. D1 ist ein
Element von Pot(D1) und sicherlich nicht das letzte, da es ein solches,
wie Du richtig bemerkst, nicht gibt. Wenn Deine Abbildungsvorschrift
aber so gebaut ist, dass daraus folgt, dass D1 das letzte Element von
Pot(D1) ist, dann muss doch mit Deiner Vorschrift etwas nicht stimmen,
oder?

> > 10) Ang.: f(D1) = X ist eine natuerliche Zahl.
> > 11) Dann ist auch 2^X eine natuerliche Zahl, also Element von D1. Also
> > taucht 2^X in der Summe f(D1) auf. Folglich: X = f(D1) > 2^X > X.
> > 12) Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme unter 10) falsch ist.
> > Folglich ist f(D1) keine natuerliche Zahl, es liegt also keine Abbildung
> > von Pot(D1) nach N vor.
>
> Nachdem ich bewiesen habe, dass Pot(D1) eine gemaess der Definition
> abzaehlbare Menge ist, waere der Widerspruch nur ein weiterer Beweis
> dafuer, dass die Mengenlehre nicht widerspruchsfrei ist. Ihr macht
> immer wieder den Fehler, dass Ihr nicht nach der Ursache der Wider-
> sprueche sucht sondern voreilige Schluesse zieht. Im vorliegenden
> Fall liegt der Fehler darin, dass ihr eine Abbildung der Summe f(D1)
> fordert ohne die Existenz von D1 bewiesen zu haben. Dieser Existenz-
> beweis ist aber, wie ich oben gezeigt habe, nicht moeglich. Das ist
> ein Problem von D1 und nicht von Pot(D1).
>

Du hast an dieser Stelle aber noch nicht bewiesen, dass Pot(D1)
abzaehlbar ist. Hier geht es immer noch darum, ob Deine Abbildung
ueberhaupt dazu geeignet ist, Pot(D1) injektiv auf N abzubilden. Und
dies ist nicht der Fall. Obiges Argument zeigt, dass f(D1) keine
natuerliche Zahl sein kann. Und wenn es eine waere, dann zeigt ein
Argument in einem meiner anderen Postings, auf das Du leider auch nicht
eingegangen bist, dass dann keine injektive Abbildung mehr vorliegt.

> Noch ein Beispiel:
> Mengentheoretisch sind alle Zahlen "n" Mengen mit n Elementen. N, die
> Menge aller natuerlichen Zahlen, also aller n, ist die Vereinigungs-
> menge aller n. Jede Menge n ist ein Element von N. Nun kann man auch
> die Vereinigungsmenge V aller in den einzelnen n enthaltenen Elemente
> bilden. Die Anzahl der Elemente von V ist 1 + 2 + 3 + 4 + ... , also
> groesser als die Anzahl der Elemente von N. Die Anzahl der Elemente
> jeder Menge n ist abzaehlbar. Die Menge aller n ist voraussetzungs-
> gemaess ebenfalls abzaehlbar. V ist also die Vereinigungsmenge einer
> abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen und daher ebenfalls abzaehlbar.
> V kann also auf N abgebildet werden. Die Summe 1 + 2 + 3 + ... ist
> aber groesser als jede in N enthaltene Zahl. Es ergibt sich also der
> gleiche Widerspruch.
>

Ich sehe da keinen Widerspruch. Mal ausser Acht gelassen, dass man die
Summe 1+2+3+4+... nicht so ohne Weiteres bilden kann: Die Maechtigkeit
von V ist groesser als jede natuerliche Zahl, aber nicht groesser als
die Maechtigkeit von N. Oder willst Du ernsthaft argumentieren, dass
1+2+3+4+... > 1+1+1+1+... ?

Hier geht es nicht darum, eine Vorschrift anzugeben, wie man denn nun
die Gleichheit zweier natuerlicher Zahlen dadurch beweist, dass man das
Problem per Nachfolger ins Unendliche verlagert, sondern dieses Axiom
soll nur sicher stellen, dass die Nachfolgerfunktion eine injektive
Abbildung ist.

> Dieses Vorgehen ist charakteristisch fuer die Mengenlehre. Direkte
> Aussagen werden moeglichst vermieden und durch eine zweite Aussage
> ersetzt, aus der die erste durch logischen Schluss folgt. Dahinter
> steckt die Absicht, alle intuitiven Aussagen durch formale Aussagen
> zu ersetzen. Damit wird das Problem aber nur verlagert, denn die
> zweite Aussage enthaelt genau so viel Intuition wie die erste.
> Haeufig kommt ein zweites Problem hinzu. Wenn der logische Schluss
> sich auf allgemeine Mengen bezieht, kann man bei der Vielfalt
> unterschiedlicher Mengen nicht sicher sein, dass er tatsaechlich
> fuer alle Mengen gilt. Der Beweis, dass es tatsaechlich so ist,
> wird nie geliefert. Statt dessen vertrauen die Theoretiker auf
> die Intuition des Lesers und bringen damit neben der Unsicherheit
> zusaetzliche Intuition ins Spiel. Der Versuch, Theorien frei von
> Intuition zu halten, ist zum Scheitern verurteilt. Jede Theorie
> enthaelt mehr Intuition als den meisten bewusst ist.
>

Deine Einwaende verstehe ich nicht! Wenn ich etwas fuer "alle" Mengen
beweise, dann gilt es auch fuer alle Mengen, auch wenn ich gar nicht
alle Mengen bis ins Detail kenne. Das ist gerade der Ansatz der
Mathematik. Ich bringe Ordnung und Strukturen in das Chaos, beschreibe
Dinge anhand von Gemeinsamkeiten, und beweise Saetze ueber Strukturen,
ohne jede einzelne Struktur genau zu kennen.

> Hinzu kommt ein weiteres Problem. Jede Theorie enthaelt unvermeidbar
> das Axiom, dass unser Denken korrekt ist. In Wahrheit wissen wir nicht
> einmal, wie unser Denken funktioniert. Trotzdem ist jeder davon ueber-
> zeugt, richtig zu denken, obwohl dieses Axiom millionenfach widerlegt
> ist. Jede serioese Theorie muss deshalb durch die Realitaet ueberprueft
> werden. Eine Theorie, die grundsaetzlich nicht in dieser Weise pruefbar
> ist, ist nach meiner Auffassung Spekulation.
>

Dieser Schlussabschnitt ist mir eigentlich zu philosphisch, daher nur
zwei Anmerkungen:
1) Wenn Du schon die Faehigkeit des Denkens anzweifelst, wieso glaubst
Du, dass wir bei der Ueberpruefung durch die Realitaet keine Fehler
machen? Wer sagt Dir denn, was ueberhaupt real an der Realitaet ist.
2) Du kannst gerne bei endlichen Mengen bleiben, da in unserer realen
Welt hoechstwahrscheinlich alles endlich ist. Wenn Du aber ueber
unendliche Mengen diskutieren moechtest, dann waere es gut, wenn wir uns
auf eine gemeinsame Grundlage einigen koennten. Daher noch einmal mein
Appell: Kleine Postings, am Besten ganz zu Beginn anfangen, und nicht
immer versuchen, die Abgruende unendlicher Menge mit der einfachen
Struktur endlicher Menge zu vergleichen. Manches mag verwirren, man kann
auch sagen, dass man unendliche Mengen ablehnt, weil sich ihr Verhalten
nicht mit den alltaeglichen Erfahrungen deckt, aber deswegen der Theorie
Inkonsistenz vorzuwerfen, funktioniert nicht. Dazu bedarf es schon eines
Beweises und nicht nur eines Verweises darauf, dass das Verhalten der
Mengen in der Theorie ungewoehnlich ist.

[Christian Semrau]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Abzaehlbar:
> Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
> {no, n1, n2, n3,...} schreiben lassen. Voraussetzung dafuer ist,
> dass es ein Ordnungsprinzip gibt, das jedem Element der Menge einen
> und nur einen genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist.
> Weitere Bedingungen gibt es nicht.
>

Ich vermisse die Definition einer endlichen Menge.
Fuer mich ist eine endliche Menge eine in deinem Sinne abzaehlbare
Menge, bei der die Liste der Elemente an einem bestimmten Index endet.
Es gibt also eine natuerliche Zahl n, so dass {a_0, a_1, ... a_n} die
ganze betrachtete Menge ist.

> Abzaehlbar unendlich:
> Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine abzaehlbare Menge, in der
> es zu jedem Element ein nachfolgendes Element, kurz Nachfolger, gibt.
> Weitere Bedingungen gibt es nicht.

Du betrachtest also eine "Abzaehlung" der Elemente der Menge, und wenn
nach jedem Element in der Liste noch eins steht, dann ist die Menge
abzaehlbar unendlich. Gut, soweit bin ich einverstanden.

> In einem Eurer postings habe ich die Definition gelesen, eine unendliche
> Menge sei eine nicht endliche Menge. Diese Definition ist natuerlich
> sinnlos. Sie haette nur Sinn, wenn zuvor die Existenz von unendlichen
> Mengen bewiesen worden waere. Dieser Existenzbeweis fehlt aber.

Da besteht noch das Problem, dass ich gerade keine Definition einer
endlichen Menge von dir habe. Wenn du die Definition einer endlichen
Menge akzeptierst, die ich oben gegeben habe, dann ist eine abzaehlbar
unendliche Menge nicht endlich, denn es gibt keine natuerliche Zahl n,
so dass {a_0, a_1, ... a_n} die ganze Menge ist, denn hinter a_n steht
ja a_(n+1) als Element der Menge in der Abzaehlung.
Oder willst du sagen, dass auch eine abzaehlbar unendliche Menge endlich
ist? Das ist dann in meinen Augen aber ein ziemlicher Missbrauch des
Begriffs "unendlich".

>
> > 1) Eine Menge M ist abzaehlbar unendlich, wenn es eine Bijektion von M
> > auf die Menge N der natuerlichen Zahlen gibt.
>
> Wenn es um die Klaerung grundsaetzlicher Fragen geht, ist es sinnvoller,
> die obige allgemeingueltige Definition der Abzaehlbarkeit zu verwenden.
>
> Wenn man doch eine Vergleichsmenge, z.B. N, heranzieht, genuegt bei
> unendlichen Mengen eine Injektion von M nach N. Grund: Da auch eine
> unendliche Teilmenge V von N gleichmaechtig wie N ist, genuegt eine
> Bijektion von M nach V. Das ist eine Injektion von M nach N. Da das
> gleiche auch fuer V gilt, reicht bei unendlichen Mengen grundsaetzlich
> eine Injektion.

Du bezweifelst die Existenz von unendlichen Menge, arbeitest aber
trotzdem mit dem Begriff "unendliche Menge" im Zusammenhang mit den
natuerlichen Zahlen. Sind die natuerlichen Zahlen nun eine endliche oder
eine unendliche Menge?

[Wolfgang Kirschenhofer]

Dieter Jungmann schrieb:
>
> Hallo zusammen,

>
> In einem Eurer postings habe ich die Definition gelesen, eine unendliche
> Menge sei eine nicht endliche Menge. Diese Definition ist natuerlich
> sinnlos. Sie haette nur Sinn, wenn zuvor die Existenz von unendlichen
> Mengen bewiesen worden waere. Dieser Existenzbeweis fehlt aber.
>

> Gruss
> Dieter

Hallo Dieter !

Das war in meinem Posting "Fragen an Dieter Jungmann",vom 23.1.01,19:38.
Obige Definition des Begriffes "unendliche Menge" ist allgemein üblich.

Die Existenz einer unendlichen Menge kann gar nicht bewiesen werden.

Sie muß durch ein eigenes Axiom gefordert werden.
z.B. in Zermelo-Fraenkel folgendermaßen:

Unendlichkeitsaxiom:Es gibt eine Menge A mit folgenden Eigenschaften: {}
Element von A und für alle a Element von A gilt auch (a v {a}) Element
von A. X v Y heißt X vereinigt mit Y .
a v {a} heißt auch Nachfolger von a

Jede derartige Menge heißt auch induktive Menge.
Der Durchschnitt aller induktiven Mengen ist dann die Menge N aller
natürlichen Zahlen,wobei 0:={},n:=n v {n}.
Siehe auch Induktionsaxiom in den Peano-Axiomen.

Wenn Du also das Unendlichkeitsaxiom im "Spiel Mathematik" nicht als
"Spielregel" akzeptieren kannst oder willst,dann existiert auch die
Menge N der natürlichen Zahlen in Form einer unendlichen Menge für Dich
nicht.
Man kann auch eine Mathematik betreiben, in der es nur "endliche" Mengen
gibt. Diese wäre meist sehr kompliziert,umständlich und schwer zu
handhaben.Die Physiker und viele andere Naturwissenschaftler und
Anwender wären mit so einer Mathematik nicht zufrieden und zwar gerade
deshalb,weil die derzeitige Mathematik ihnen nützliche Modelle zur
Beschreibung der von Dir so oft zitierten Realität liefert.
Stell' Dir z.B. eine Mathematik ohne Analysis oder
Differentialgleichungen vor.

Abschließend noch:ca.99% der derzeit lebenden Mathematiker wollen sich
aus dem "Paradies" welches Cantor uns geschaffen hat,nicht vertreiben
lassen (Frei zitiert nach David Hilbert).

Grüße,
Wolfgang

[Norbert Micheel]

Na da bin ich ja mal gespannt was du sagst, wenn du endlich eingesehen hast,
dass du falsch liegst !
Ist ja unglaublich wieviele Leute sich Muehe gegeben haben mit dir zu
"diskutieren" !

Mich erschreckt nur die Vehemenz mit der du dich wehrst, dein Verstaendnis
von Begriffen wie unendlich und der Menge N zu aendern.

Eins ist sicher - wenn du es mal einsiehst, dann hast du enorm viel gelernt.

Alles Gute !

N

[Dieter Jungmann]

Hallo zusammen,

nachfolgend die Aussagen, ueber die wir uns auf grund der bisherigen
Diskussion einig sein duerften:

1. Abzaehlbar:

Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form

{n_0, n_1, n_2, n_3, ...} schreiben lassen. Voraussetzung ist
eine Ordnungsrelation, die jedem Element einen und nur einen

genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist. Weitere

Bedingungen gibt es nicht. Es gilt: Folge = abzaehlbare Menge.

2. Eine endliche Menge ist eine Folge, die ein letztes Element
enthaehlt, also ein Element, das keinen Nachfolger hat. Alle
endlichen Mengen sind abzaehlbar, die Abzaehlbarkeit braucht
daher nicht ausdruecklich erwaehnt zu werden.

3. Abzaehlbar unendlich:

Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine abzaehlbare Menge, in
der es zu jedem Element ein nachfolgendes Element, kurz Nachfolger,
gibt. Weitere Bedingungen gibt es nicht.

Da es keine Ordnungsrelation gibt, mit der es moeglich waere, jedem
einzelnen Element mit einer individuellen Vorschrift einen Platz in
einer unendlichen Folge zuzuweisen, ist die Ordnungsrelation einer
abzaehlbar unendlichen Menge immer ein (beliebiger) Algorithmus,
der aus den bereits bekannten Elementen den oder die Nachfoger
definiert. Abzaehlbar unendliche Mengen sind daher immer induktive
Mengen. Es gilt
unendliche Folge = abzaehlbar unendliche Menge = induktive Menge.
Bei der Gleichsetzung (abzaehlbar unendlich = induktiv) wird
vorausgesetzt, dass die Induktion nicht abgebrochen wird.

4. Maechtigkeit:
Endliche Mengen sind gleichmaechtig, wenn sie die gleiche Anzahl
Elemente haben. Andernfalls ist die Menge mit der groesseren Zahl
von Elementen die maechtigere.
Alle abzaehlbar unendlichen Mengen sind definitionsgemaess
gleichmaechtig.

Anm.: Ueber die vorstehenden Definitionen sind wir uns, soweit ich sehe,
einig. Meinungsverschiedenheiten gibt es nur bezueglich ihrer Bedeutung.
Meine Interpretation war nur als erklaerender Hinweis gedacht. Fuer die
Eroerterung der Frage, ob Pot(D1) abzaehlbar ist, zaehlen nur die Defi-
nitionen. Auf weitere Erklaerungsversuche werde ich verzichten, da sie
offensichtlich nur zu Irritationen fuehren.

5. Vereinigungsmengen:
Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
abzaehlbar. Insbesondere gilt auch: Die Vereinigung einer abzaehlbar
unendlichen Menge abzaehlbar unendlicher Mengen ist abzaehlbar.

Es gilt auch die Umkehrung:
Es sei X eine unendliche Menge (abzaehlbar oder ueberabzaehlbar).
Es sei V die Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge
abzaehlbar unendlicher Teilmengen von X. Dann hat das relative
Komplement X\V von V bzgl. X (die Restmenge von X) die gleiche
Maechtigkeit wie X.

6. Natuerliche Zahlen:
Das mengentheoretische Aequivalent zur natuerlichen Zahl n ist
eine Menge n = {a_o, a_1, ..., a_(n-1)} mit n Elementen. Da es
zwischen beiden eine Bijektion gibt, wollen wir zur Vereinfachung
auf eine unterschiedliche Schreibweise verzichten. In mengen-
theoretischem Kontext gilt eben, dass n eine Menge mit n Elementen
ist. Fuer unsere Belange ist noch von Bedeutung, dass der Nachfogler
von n, also n + 1, die Vereinigungsmenge von n und {n} ist. {n} ist
eine Menge, die als einziges Element die Menge n enthaelt. n ist
also die Vereinigungsmenge aller vorangehenden Elemente von N (den
Mengen 0 bis n-1) mit der Menge {n-1}.

Anm.: Daraus ergibt sich die bereits gestellte Frage: Was bedeutet die
Aussage N = Menge der natuerlichen Zahlen? Die Formulierung suggeriert
die Annahme, N sei die Vereinigungsmenge aller n. Diese ist aber selbst
ein Element von N und hat daher Nachfolger. N kann daher nicht die Ver-
einigungsmenge aller n sein. Trotzdem wird N haeufig in diesem Sinne
verwendet. (Ihr habt das unbemerkt in Eurer Argumentation mehrfach
getan, ich werde darauf zurueckkommen.) Da die Mengenlehre keine klare
Auskunft ueber die Bedeutung von N gibt, muessen wir pragmatisch vor-
gehen und uns strikt an die Definition der abzaehlbar unendlichen
Mengen halten:

7. Es gelten folgende Definitionen:
N = Folge der natuerlichen Zahlen = {0, 1, 2, 3, ...}
D1 = Folge der Zweierpotenzen = {2^0, 2^1, 2^2, ...}
Allgemein: Abzaehlbar unendliche Menge = Folge von Elementen.

D. h. N ist kein einzelnes Element sondern eine unendliche Folge
von Elementen. Eine Funktion von N ist also nicht ein einzelner
Funktionswert sondern eine unendliche Folge von Funktionswerten,
die sich ergeben, indem die Funktion auf die Elemente von N
angewandt wird. Meistens wird dies auch richtig so gehandhabt,
z.B. ist die Bijektion von N auf die Menge der Quadratzahlen
die Folge der Zuordnungen n <--> n^2.

Fuer die weitere Diskussion ist es wichtig, dass wir ueber diese
7 Definitionen Einigkeit erzielen.

Ich moechte noch zwei Aussagen richtig stellen:
1) Die Behauptung, dass eine Mathematik, in der es nur endliche Mengen
gibt, sehr kompliziert sei, stimmt nicht. Die klassische Mathematik
kommt mit endlichen Mengen aus. Es genuegt, dass Zahlen oder Mengen
beliebig gross aber doch noch endlich und Zahlen, Abstaende oder
Differenzen beliebig klein werden koennen. Insbesondere waren die
von Wolfgang Kirschenhofer erwaehnten Bereiche Analysis und
Differentialgleichungen auf dieser Basis bereits voll entwickelt,
bevor die Mengenlehre das Licht der Welt erblickte. Der Vorrat an
endlichen Zahlen und Mengen ist so unvorstellbar gross, dass sich
damit alle praktischen und theoretischen Fragen loesen lassen.

2) Auf meine Frage "Wie stellt man die Gleichheit von m* und n* fest
(im Unterschied zu m und n)?" hat Hoger Gollan geantwortet
"... dieses Axiom soll nur sicherstellen, dass die Nachfolgerfunktion
eine injektive Abbildung ist." Das wird durch ein eigenes Axiom sicher-
gestellt. Die Frage ist also unbeantwortet. Ihre Beantwortung ist fuer
das weitere allerdings auch nicht noetig.

Ihr koennt die Definitionen 1 bis 7 bei Bedarf korrigieren. Sobald
wir uns geeinigt haben, wird die strittige Abbildung von Pot(D1)
auf N klar werden. Einen anderen Beweis fuer die Abzaehlbarkeit von
Pot(D1), der ohne Abbildung auskommt und direkt auf die Definition
der Potenzmenge zurueckgreift, werde ich in einem separaten Beitrag
beschreiben, um Eurem Wunsch nach kuerzeren postings nachzukommen.

Gruss

Dieter

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo zusammen,
>

Hallo Dieter,

> nachfolgend die Aussagen, ueber die wir uns auf grund der bisherigen
> Diskussion einig sein duerften:
>

Zu den Punkten 1. - 5. koennte ich jetzt noch etwas schreiben, will es
aber wegen der Hoffnung auf ein kurzes Posting lieber unterlassen.

>
> 6. Natuerliche Zahlen:
> Das mengentheoretische Aequivalent zur natuerlichen Zahl n ist
> eine Menge n = {a_o, a_1, ..., a_(n-1)} mit n Elementen. Da es
> zwischen beiden eine Bijektion gibt, wollen wir zur Vereinfachung
> auf eine unterschiedliche Schreibweise verzichten. In mengen-
> theoretischem Kontext gilt eben, dass n eine Menge mit n Elementen
> ist. Fuer unsere Belange ist noch von Bedeutung, dass der Nachfogler
> von n, also n + 1, die Vereinigungsmenge von n und {n} ist. {n} ist
> eine Menge, die als einziges Element die Menge n enthaelt. n ist
> also die Vereinigungsmenge aller vorangehenden Elemente von N (den
> Mengen 0 bis n-1) mit der Menge {n-1}.
>
> Anm.: Daraus ergibt sich die bereits gestellte Frage: Was bedeutet die
> Aussage N = Menge der natuerlichen Zahlen? Die Formulierung suggeriert
> die Annahme, N sei die Vereinigungsmenge aller n. Diese ist aber selbst
> ein Element von N und hat daher Nachfolger. N kann daher nicht die Ver-
> einigungsmenge aller n sein. Trotzdem wird N haeufig in diesem Sinne
> verwendet. (Ihr habt das unbemerkt in Eurer Argumentation mehrfach
> getan, ich werde darauf zurueckkommen.) Da die Mengenlehre keine klare
> Auskunft ueber die Bedeutung von N gibt, muessen wir pragmatisch vor-
> gehen und uns strikt an die Definition der abzaehlbar unendlichen
> Mengen halten:
>

Warum muss N als Vereinigungsmenge aller n wieder ein Element von N
sein?
Jeder einzelne Teil n, der zur Bildung der Menge N benoetigt wird, ist
endlich. Aber daraus allein folgt doch noch keine Aussage ueber die
Vereinigungsmenge N.
Mir scheint, dass dies immer noch das gleiche Problem ist, auf das ich
Dich schon mehrmals hingewiesen habe: Wenn eine Menge die Vereinigung
von unendlich vielen Mengen mit einer gewissen Eigenschaft ist, dann
muss die Vereinigung diese Eigenschaft noch lange nicht besitzen. Leider
hast Du auf meine Anmerkungen zu dieser Problematik bis heute nicht
geantwortet.

> 7. Es gelten folgende Definitionen:
> N = Folge der natuerlichen Zahlen = {0, 1, 2, 3, ...}
> D1 = Folge der Zweierpotenzen = {2^0, 2^1, 2^2, ...}
> Allgemein: Abzaehlbar unendliche Menge = Folge von Elementen.
>

> Fuer die weitere Diskussion ist es wichtig, dass wir ueber diese
> 7 Definitionen Einigkeit erzielen.
>

Im Prinzip sind wir uns relativ einig, mal abgesehen von obigen
Bemerkungen zur Menge N und einigen anderen Kleinigkeiten, die ich aber
fuer den Moment mal zurueck stelle.

> Ich moechte noch zwei Aussagen richtig stellen:
> 1) Die Behauptung, dass eine Mathematik, in der es nur endliche Mengen
> gibt, sehr kompliziert sei, stimmt nicht. Die klassische Mathematik
> kommt mit endlichen Mengen aus. Es genuegt, dass Zahlen oder Mengen
> beliebig gross aber doch noch endlich und Zahlen, Abstaende oder
> Differenzen beliebig klein werden koennen. Insbesondere waren die
> von Wolfgang Kirschenhofer erwaehnten Bereiche Analysis und
> Differentialgleichungen auf dieser Basis bereits voll entwickelt,
> bevor die Mengenlehre das Licht der Welt erblickte. Der Vorrat an
> endlichen Zahlen und Mengen ist so unvorstellbar gross, dass sich
> damit alle praktischen und theoretischen Fragen loesen lassen.
>

Auch wenn z.B. jede nateurliche Zahl fuer sich betrachtet eine endliche
Groesse ist, folgt schon die Frage, was denn nun mit der Menge der
natuerlichen Zahlen ist.
Akzeptierst Du, dass eine solche Menge existiert?
Ist diese Menge dann auch endlich?

> 2) Auf meine Frage "Wie stellt man die Gleichheit von m* und n* fest
> (im Unterschied zu m und n)?" hat Hoger Gollan geantwortet
> "... dieses Axiom soll nur sicherstellen, dass die Nachfolgerfunktion
> eine injektive Abbildung ist." Das wird durch ein eigenes Axiom sicher-
> gestellt. Die Frage ist also unbeantwortet. Ihre Beantwortung ist fuer
> das weitere allerdings auch nicht noetig.
>

Ich wuesste nicht, welches andere der Peano-Axiome sicher stellt, dass
die Nachfolgerfunktion injektiv ist.

> Ihr koennt die Definitionen 1 bis 7 bei Bedarf korrigieren. Sobald
> wir uns geeinigt haben, wird die strittige Abbildung von Pot(D1)
> auf N klar werden. Einen anderen Beweis fuer die Abzaehlbarkeit von
> Pot(D1), der ohne Abbildung auskommt und direkt auf die Definition
> der Potenzmenge zurueckgreift, werde ich in einem separaten Beitrag
> beschreiben, um Eurem Wunsch nach kuerzeren postings nachzukommen.
>

Schoen, dass Du Dich um kuerzere Postings bemuehst. Ich warte also auf
zwei weitere Postings von Dir: eines mit der Abbildung von Pot(D1) nach
N, und eines ohne Abbildung, hoechstwahrscheinlich ueber Vereinigung
abzaehlbarer Mengen.

[Boris 'pi' Piwinger]

Dieter Jungmann wrote:

> 1. Abzaehlbar:
> Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
> {n_0, n_1, n_2, n_3, ...} schreiben lassen. Voraussetzung ist
> eine Ordnungsrelation, die jedem Element einen und nur einen
> genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist. Weitere
> Bedingungen gibt es nicht. Es gilt: Folge = abzaehlbare Menge.

Falsch. Die "..." sind ueberhaupt nicht erklaert. Unter Auswahl kann
ich *jede* Menge in dieser Form schreiben, wobei die
Aufzaehlungungslaenge immer eine Ordinalzahl ist.

Die Ordnung ist unzureichend beschrieben. Oder soll "genau
definierbarer Platz" ein anderes Wort fuer fundiert sein?

Und es gibt eben schon weitere Bedinungen, eben die Laenge der Folge.

> 2. Eine endliche Menge ist eine Folge, die ein letztes Element
> enthaehlt, also ein Element, das keinen Nachfolger hat.

Was meinst Du mit Folge?

> Alle endlichen Mengen sind abzaehlbar,

Es gibt auch Leute, die hoechstens abzaehlbar sagen, wenn sie
abzahlbar oder endlich meinen.

> 3. Abzaehlbar unendlich:

AKA abzaehlbar.

> Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine abzaehlbare Menge, in
> der es zu jedem Element ein nachfolgendes Element, kurz Nachfolger,
> gibt. Weitere Bedingungen gibt es nicht.

<1,=> ist endlich und jedes Element hat einen Nachfolger.

> Da es keine Ordnungsrelation gibt, mit der es moeglich waere, jedem
> einzelnen Element mit einer individuellen Vorschrift einen Platz in
> einer unendlichen Folge zuzuweisen, ist die Ordnungsrelation einer
> abzaehlbar unendlichen Menge immer ein (beliebiger) Algorithmus,
> der aus den bereits bekannten Elementen den oder die Nachfoger
> definiert.

Verstehe ich nicht. Eine Ordnung ist eine Menge. Wo steht, dass die
endlich definierbar sein muss?

> 4. Maechtigkeit:
> Endliche Mengen sind gleichmaechtig, wenn sie die gleiche Anzahl
> Elemente haben. Andernfalls ist die Menge mit der groesseren Zahl
> von Elementen die maechtigere.
> Alle abzaehlbar unendlichen Mengen sind definitionsgemaess
> gleichmaechtig.

Wie sieht diese Definition aus? Eine Menge a hat kleinere oder gleiche
Kardinalitaet als die Menge b gdw. es eine Injektion von a nach b
gibt. Zwei Mengen sind gleichmaechtig, wenn es Injektionen in beide
Richtungen gibt. (Der Einfachheit halber nehmen wir mal Auswahl an,
dann sind je zwei Mengen bezueglich ihrer Kardinalitaet vergleichbar.)

> 5. Vereinigungsmengen:
> Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
> abzaehlbar. Insbesondere gilt auch: Die Vereinigung einer abzaehlbar
> unendlichen Menge abzaehlbar unendlicher Mengen ist abzaehlbar.
>
> Es gilt auch die Umkehrung:
> Es sei X eine unendliche Menge (abzaehlbar oder ueberabzaehlbar).
> Es sei V die Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge
> abzaehlbar unendlicher Teilmengen von X. Dann hat das relative
> Komplement X\V von V bzgl. X (die Restmenge von X) die gleiche
> Maechtigkeit wie X.

Vielleicht verstehe ich nur die Schreibweise nicht, aber V kann gleich
X sein.

> 6. Natuerliche Zahlen:
> Das mengentheoretische Aequivalent zur natuerlichen Zahl n ist

> Anm.: Daraus ergibt sich die bereits gestellte Frage: Was bedeutet die

> Aussage N = Menge der natuerlichen Zahlen? Die Formulierung suggeriert
> die Annahme, N sei die Vereinigungsmenge aller n. Diese ist aber selbst
> ein Element von N

Warum?

> und hat daher Nachfolger.

Natuerlich hat omega einen Nachfolger, jede Ordinalzahl hat einen
Nachfolger, aber das ist nun keine Konsequenz daraus, dass jede
Ordinalzahl eine natuerliche Zahl waere, was sie i.a. nicht ist.

> N kann daher nicht die Vereinigungsmenge aller n sein.

Sicher kann das. Man nennt es Standard-natuerliche-Zahlen.

> Trotzdem wird N haeufig in diesem Sinne
> verwendet. (Ihr habt das unbemerkt in Eurer Argumentation mehrfach
> getan, ich werde darauf zurueckkommen.) Da die Mengenlehre keine klare
> Auskunft ueber die Bedeutung von N gibt,

Sicher tut sie das.

> 7. Es gelten folgende Definitionen:
> N = Folge der natuerlichen Zahlen = {0, 1, 2, 3, ...}
> D1 = Folge der Zweierpotenzen = {2^0, 2^1, 2^2, ...}
> Allgemein: Abzaehlbar unendliche Menge = Folge von Elementen.
>
> D. h. N ist kein einzelnes Element sondern eine unendliche Folge
> von Elementen.

Was meinst Du mit den Begriffen Element und Folge?

> Eine Funktion von N ist also nicht ein einzelner
> Funktionswert sondern eine unendliche Folge von Funktionswerten,
> die sich ergeben, indem die Funktion auf die Elemente von N
> angewandt wird.

Willst Du jetzt erklaeren, was eine Funktion ist?

pi

[Roland Harnau]

Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> writes:

> Hallo zusammen,
>
> nachfolgend die Aussagen, ueber die wir uns auf grund der bisherigen
> Diskussion einig sein duerften:
>
> 1. Abzaehlbar:
> Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
> {n_0, n_1, n_2, n_3, ...} schreiben lassen. Voraussetzung ist
> eine Ordnungsrelation, die jedem Element einen und nur einen
> genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist. Weitere
> Bedingungen gibt es nicht. Es gilt: Folge = abzaehlbare Menge.

Nein, wie schon Boris Piwinger anmerkte, sind die drei Pünktchen
undefiniert. »Intuitiv« ist deine Idee sicher irgendwie zutreffend,
für math. Zwecke aber zu ungenau. Ich werde einfach 'mal versuchen,
die Menge der natürlichen Zahlen etwas präziser zu definieren (ohne
allerdings Ordinalzahlen in ihrer ganzen Pracht und Herrlichkeit
einzuführen) :

Als mengentheoretische Grundlage (Axiomensystem) nehme ich NBG, mit
"A u B" und alternativ mit "A\cup B" bezeichne ich die
Vereingungsklasse/menge von A und B und mit "\in" die
Elementrelation.

(übrigens ist die "Vereinigung" folgendermaßen definiert:
\cup A := {x | Es gibt ein y: x\in y und y\in A }
A u B := {x| x\in A oder x\in B}
)

Mit den Definitionen

x':=x u {x} ("Nachfolgeoperator")
0:={}

, der Definiton des Begriffs der "induktiven Menge" durch

Ind(a) := (0 in a) und (für alle x gilt: x in a -> x' in a)

und mit Hilfe des "Undendlichkeitsaxioms"

Ue : Es gibt ein a: Ind (a).

kann ich die "Menge der natürlichen Zahlen" N als

N:=\cup{a | Ind(a)} ("Schnitt aller induktiven Mengen")

definieren. Eine natürliche Zahl ist nun einfach ein Element der Menge
der natürlichen Zahlen, und praktischerweise gilt für alle n in N:
n'={0,1,2,...,n} . Falls dich hier die Pünktchen stören, kann ich
das auch präziser definieren ;-)

> 2. Eine endliche Menge ist eine Folge, die ein letztes Element
> enthaehlt, also ein Element, das keinen Nachfolger hat. Alle
> endlichen Mengen sind abzaehlbar, die Abzaehlbarkeit braucht
> daher nicht ausdruecklich erwaehnt zu werden.
>
> 3. Abzaehlbar unendlich:
> Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine abzaehlbare Menge, in
> der es zu jedem Element ein nachfolgendes Element, kurz Nachfolger,
> gibt. Weitere Bedingungen gibt es nicht.
> Da es keine Ordnungsrelation gibt, mit der es moeglich waere, jedem
> einzelnen Element mit einer individuellen Vorschrift einen Platz in
> einer unendlichen Folge zuzuweisen, ist die Ordnungsrelation einer
> abzaehlbar unendlichen Menge immer ein (beliebiger) Algorithmus,
> der aus den bereits bekannten Elementen den oder die Nachfoger
> definiert. Abzaehlbar unendliche Mengen sind daher immer induktive
> Mengen.

Das klingt alles arg »konstruktivistisch«. Ich denke nicht, dass der
Begriff des "Algorithmus" oder "Verfahrens" klar genug ist, um damit
nat. Zahlen definieren zu können. Man kann in der »klassischen«
Mathematik durchaus über aleph_0 (die kleinste unendliche
Kardinalzahl) hinaus zählen. »Konstruktivisten« lehnen tatsächlich die
Existenz überabzählbarer Entitäten ab, begründen das allerdings anders
als du.

> Es gilt
> unendliche Folge = abzaehlbar unendliche Menge = induktive Menge.
> Bei der Gleichsetzung (abzaehlbar unendlich = induktiv) wird
> vorausgesetzt, dass die Induktion nicht abgebrochen wird.
>
> 4. Maechtigkeit:
> Endliche Mengen sind gleichmaechtig, wenn sie die gleiche Anzahl
> Elemente haben.

Du musst "gleichmächtig" definieren, ohne schon auf den Begriff
der "Anzahl" zurückzugreifen:

*Def.* Seinen a und b Mengen. a und b sind _gleichmächtig_, wenn es eine
bijektive Abbildung f:a->b gibt. (das ist eine 1-1-Zuordung zwischen
den Elementen von a und b, d.h. jedem Element aus a ist auf diese weise
genau ein Element aus b zugeordnet und umgekehrt)

Jetzt kann man auch den Begriff der Anzahl (zumindes für für uns
interessanten Fälle) definieren:

Eine Menge a ist _abzählbar unendlich_, wenn a und N (die Menge
der nat. Zahlen) gleichmächtig sind.

Eine Menge a ist _endlich_ und hat n Elemente gdw. a und
n={0,1,...,n-1} sind gleichmächtig.

Eine Menge a ist _abzählbar_, wenn sie abzählbar unendlich oder
endlich ist.

Eine Menge ist a ist _überabzählbar_, wenn sie nicht abzählbar ist.

Auf dieser Basis läßt sich tatsächlich zeigen, dass es
überabzählbare Mengen gibt, einen etwas formaleren Beweis kann ich
dir, wenn du es wünscht, angeben. ;-)

> Es gilt auch die Umkehrung:
> Es sei X eine unendliche Menge (abzaehlbar oder ueberabzaehlbar).
> Es sei V die Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge
> abzaehlbar unendlicher Teilmengen von X. Dann hat das relative
> Komplement X\V von V bzgl. X (die Restmenge von X) die gleiche
> Maechtigkeit wie X.

wenn X=V ist, offenbar nicht.

[...]

> 7. Es gelten folgende Definitionen:
> N = Folge der natuerlichen Zahlen = {0, 1, 2, 3, ...}
> D1 = Folge der Zweierpotenzen = {2^0, 2^1, 2^2, ...}
> Allgemein: Abzaehlbar unendliche Menge = Folge von Elementen.
>
> D. h. N ist kein einzelnes Element sondern eine unendliche Folge
> von Elementen. Eine Funktion von N ist also nicht ein einzelner
> Funktionswert sondern eine unendliche Folge von Funktionswerten,
> die sich ergeben, indem die Funktion auf die Elemente von N
> angewandt wird. Meistens wird dies auch richtig so gehandhabt,
> z.B. ist die Bijektion von N auf die Menge der Quadratzahlen
> die Folge der Zuordnungen n <--> n^2.
>
> Fuer die weitere Diskussion ist es wichtig, dass wir ueber diese
> 7 Definitionen Einigkeit erzielen.

Das ist wohl der Knackpunkt: Die natürlichen Zahlen habe ich weiter
oben genauer definiert. Eine Funktion f:A->B von der Menge A nach B
ist mengentheoretisch eine Relation, eine Menge von Paaren (a,b)
mit a\in A und b\in B ( f ist Teilmenge von AxB:={(a,b) | a\in A
und b\in B}) , die zusätzlich "rechtseindeutig" ist, für die also für alle
x in A und y,z in B gilt:

( (x,y) in f und (x,z) in f ) -> y=z

und für die f^{-1}(B)=A gilt.

Die Forderung bringt zum Ausdruck, dass jedem Element der
Definitionsmenge von f genau ein Element der Wertemenge zugeordnet
ist.

> Ich moechte noch zwei Aussagen richtig stellen:
> 1) Die Behauptung, dass eine Mathematik, in der es nur endliche Mengen
> gibt, sehr kompliziert sei, stimmt nicht. Die klassische Mathematik
> kommt mit endlichen Mengen aus.

Die Mathematik kommt sicher *nicht* mit endlichen Mengen aus, das
behaupten nur Ultrafinitisten und Konstruktivisten. Ohne das
Unendlichkeitsaxiom besitzt ZF allerdings tatsächlich endliche Modelle.

> Es genuegt, dass Zahlen oder Mengen
> beliebig gross aber doch noch endlich und Zahlen, Abstaende oder
> Differenzen beliebig klein werden koennen. Insbesondere waren die
> von Wolfgang Kirschenhofer erwaehnten Bereiche Analysis und
> Differentialgleichungen auf dieser Basis bereits voll entwickelt,
> bevor die Mengenlehre das Licht der Welt erblickte.

ja, weil sich die Mathematiker dieser Zeit nicht über ihre Grundlagen
im klaren waren.

> Der Vorrat an
> endlichen Zahlen und Mengen ist so unvorstellbar gross, dass sich
> damit alle praktischen und theoretischen Fragen loesen lassen.

nein. Das Auswahlaxiom ist z.B. hochgradig nichtkontruktiv, und es
wird *dringend* in allen möglichen Bereichen der Mathematik gebraucht.

roland

[Dieter Jungmann]

Hallo Roland,

vorab zwei Anmerkungen:

Die 7 Definitionen, die ich angegeben habe, sind keine Einfuehrung in
die Mengenlehre, sondern sie fassen die Aussagen zusammen, die fuer
die Diskussion unseres speziellen Themas von Bedeutung sind.

Ich nehme das Buch "H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengenlehre,
B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994" als Grundlage fuer meine
Aussagen.

Zu meiner ersten Definition

> > 1. Abzaehlbar:
> > Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
> > {n_0, n_1, n_2, n_3, ...} schreiben lassen. Voraussetzung ist
> > eine Ordnungsrelation, die jedem Element einen und nur einen
> > genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist. Weitere
> > Bedingungen gibt es nicht. Es gilt: Folge = abzaehlbare Menge.

schreibst Du

> Nein, wie schon Boris Piwinger anmerkte, sind die drei Pünktchen
> undefiniert. »Intuitiv« ist deine Idee sicher irgendwie zutreffend,
> für math. Zwecke aber zu ungenau. Ich werde einfach 'mal versuchen,
> die Menge der natürlichen Zahlen etwas präziser zu definieren (ohne
> allerdings Ordinalzahlen in ihrer ganzen Pracht und Herrlichkeit
> einzuführen) :
>

Es geht in dieser Definition nicht um die natuerlichen Zahlen, sondern
um eine allgemeingueltige Definition der Abzaehlbarkeit. Die drei
Puenktchen deuten nur an, dass weitere Elemente (endlich oder unendlich
viele) folgen koennen. Da die Unterscheidung zwischen endlichen und
unendlichen Mengen an anderer Stelle erfolgt, ist Dein Einwand voreilig,
es laesst sich nicht alles in einem Satz zusammenfassen.

Deine Definition der natuerlichen Zahlen ist ueberfluessig. Wenn sich
die Mengentheoretiker nicht auf eine einheitliche Definition einigen
koennen, ist das ihr Problem. Ich stuetze mich auf die Definition, die
in oben genanntem Buch gegeben wird und die ich in der 6. Definition
zusammengefasst habe, soweit sie fuer unser Problem von Bedeutung ist.
Ueber diese Definition sind wir uns bereits einig, vgl. z.B. das
posting von Wolfgang Kirschenhofer vom 30. 1. :

> ... Es gibt eine Menge A mit folgenden Eigenschaften: {}

> Element von A und für alle a Element von A gilt auch (a v {a}) Element
> von A. X v Y heißt X vereinigt mit Y .
> a v {a} heißt auch Nachfolger von a
>
> Jede derartige Menge heißt auch induktive Menge.
> Der Durchschnitt aller induktiven Mengen ist dann die Menge N aller
> natürlichen Zahlen,wobei 0:={},n:=n v {n}.

Zu meinen Definitionen 2 und 3 sagst Du

> Das klingt alles arg »konstruktivistisch«. Ich denke nicht, dass der
> Begriff des "Algorithmus" oder "Verfahrens" klar genug ist, um damit

> nat. Zahlen definieren zu können. ...
>
Dasselbe Problem wie oben: Es geht nicht um natuerliche Zahlen,
sondern um Aussagen, die fuer alle abzaehlbaren Mengen gelten.
Das Wort "Verfahren" habe ich nirgendwo benutzt. Wenn Du an dem
Wort "Algorithmus" Anstoss nimmst, ersetze es durch das Wort
Funktion. Auf die Frage, wie mehrdeutige Funktionen zu behandeln
sind, gehe ich an geeigneter Stelle ein.

> > 4. Maechtigkeit:
> > Endliche Mengen sind gleichmaechtig, wenn sie die gleiche Anzahl
> > Elemente haben.
>
> Du musst "gleichmächtig" definieren, ohne schon auf den Begriff
> der "Anzahl" zurückzugreifen:
>

Die Maechtigkeit endlicher Mengen spielt in unserem Zusammenhang keine
Rolle. Ich habe sie nur vorsorglich erwaehnt (und deshalb auf eine aus-
schweifende Definition verzichtet), um der Gefahr vorzubeugen, dass
jemand, wie in anderem Zusammenhang geschehen, mit einer Bemerkung
Stoerfeuer gibt, wie "Ich vermisse eine Definition der Maechtigkeit
endlicher Mengen". Einerseits wollt Ihr kurze uebersichtliche postings,
die sich auf das wesentliche konzentrieren, andererseits tut Ihr alles,
um dies zu verhindern. Wie soll ich es Euch recht machen?

>
> Eine Menge a ist _abzählbar unendlich_, wenn a und N (die Menge
> der nat. Zahlen) gleichmächtig sind.
>

Das ist eine hinreichende Bedingung, welche die Existenz einer
Vergleichsmenge (naemlich N) voraussetzt, von der man bereits
weiss, dass sie abzaehlbar ist. Die notwendige Bedingung habe
ich in Definition 1 und 3 genannt.

In meiner Aussage in Definition 4

>> Alle abzaehlbar unendlichen Mengen sind definitionsgemaess
>> gleichmaechtig.

kann das Wort definitionsgemaess entfallen. Die Aussage folgt
unmittelbar aus den Definitionen der Begriffe Maechtigkeit und
Abzaehlbarkeit fuer unendliche Mengen.

> > Es gilt auch die Umkehrung:
> > Es sei X eine unendliche Menge (abzaehlbar oder ueberabzaehlbar).
> > Es sei V die Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge
> > abzaehlbar unendlicher Teilmengen von X. Dann hat das relative
> > Komplement X\V von V bzgl. X (die Restmenge von X) die gleiche
> > Maechtigkeit wie X.
>
> wenn X=V ist, offenbar nicht.
>

Dieser Trivialfall ist fuer unsere Belange ohne Bedeutung. Er gilt
ausserdem nur, wenn X abzaehlbar unendlich ist. Dieser Umkehrsatz
ist von Bedeutung zur Pruefung der Frage, ob die Potenzmenge einer
abzaehlbar unendlichen Menge ueberabzaehlbar ist. In diesem Fall
muesste die Restmenge von X auch dann noch ueberabzaehlbar sein,
wenn abzaehlbar unendlich viele abzaehlbar unendliche Teilmengen
von X unberuecksichtigt bleiben. Umgekehrt folgt daraus: Wenn sich
X als Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge von
Teilmengen darstellen laesst, muss wenigstens eine dieser Teilmengen
ueberabzaehlbar sein.

Gruss

Dieter

[Thomas Haunhorst]

On Sat, 03 Feb 2001 20:48:01 +0100,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>Ich nehme das Buch "H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengenlehre,
>B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994" als Grundlage fuer meine
>Aussagen.
>
>Zu meiner ersten Definition
>> > 1. Abzaehlbar:
>> > Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
>> > {n_0, n_1, n_2, n_3, ...} schreiben lassen. Voraussetzung ist
>> > eine Ordnungsrelation, die jedem Element einen und nur einen
>> > genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist. Weitere
>> > Bedingungen gibt es nicht. Es gilt: Folge = abzaehlbare Menge.

Im Ebbinghaus steht, dass die zu Aleph_0, also die Menge der nat. Zahlen,
gleichmaechtigen Ordinalzahlen, die sog. "abzaehlbar unendlichen" Ordinal-
zahlen, die sog. zweite Zahlklasse bilden. In Definition 2.8, IX (Das Kapitel
ueber Maechtigkeiten) steht, dass x "abzaehlbar unendlich" heisse, wenn
|x|=Aleph_0, also gleich N (N fuer die Menge der natuerlichen Zahlen).
Dann ist also x gleichmaechtig zu N. (Allerdings habe ich nur die 2. Auflage.
Womoeglich hat er in der 3. Auflage tiefgreifende Aenderungen vorgenommen. ;-))

Da Du Dich ja auf den Ebbinghaus berufst, erkenne an, dass eine Menge abzaehl-
bar unendlich ist, wenn es eine Bijektion von N auf diese Menge gibt.
Ausserdem machst Du mit Deiner Art der Indizierung, n_0, n_1 usw. schon eine
(intuitiv richtige) Nummerierung ueber die natuerlichen Zahlen; Du ziehst
also schon die Zahlen 0,1,2 usw. heran. Und richtig, eine Folge ist eine
Abbildung, die als Argumente die natuerlichen Zahlen hat. n_0 ist also zu
lesen als n(0). Nun koenntest Du vielleicht einwenden, dass Du die obige
Menge {n_0,n_1,...} auch anders haettest schreiben koennen, aber das hast
Du nicht; Du hast es so definiert. Und Deine Definition der Abzaehlbarkeit
ist sicher nicht die aus dem Ebbinghaus.

>Es geht in dieser Definition nicht um die natuerlichen Zahlen, sondern
>um eine allgemeingueltige Definition der Abzaehlbarkeit.

Der Begriff der Abzaehlbarkeit wird im Ebbinghaus ueber die Kardinalzahl
Aleph_0 definiert, und das ist N.

>Die Maechtigkeit endlicher Mengen spielt in unserem Zusammenhang keine
>Rolle.

Unsinn. Im Ebbinghaus steht: x heisse hoechstens abzaehlbar unendlich, wenn
|x| kleiner oder gleich Aleph_0 ist. Hier wird schon ueber Kardinalzahlen,
also ueber die Maechtigkeit von Mengen geredet. Du musst Dich schon
entscheiden, ob Du nun beim Ebbinghaus bleiben willst oder nicht.
Im Ebinghaus wird der Begriff der endlichen Menge ueber die Bijektion zu
einer natuerlichen Zahl angegeben:

x heisse endlich, wenn es eine Bijektion von i auf x gibt.

Und er schreibt Seiten zuvor: "Wenn wir im folgenden Mengenvariablen i,j,...
verwenden, sollen sich diese stillschweigend auf Elemente von N (also dort
steht \omega, aber ich habe keine Lust immer \omega zu schreiben; bezeichne
also \omega mit N.) beziehen."

>> Eine Menge a ist _abzählbar unendlich_, wenn a und N (die Menge
>> der nat. Zahlen) gleichmächtig sind.
>>
>Das ist eine hinreichende Bedingung, welche die Existenz einer
>Vergleichsmenge (naemlich N) voraussetzt, von der man bereits
>weiss, dass sie abzaehlbar ist.

Das ist keine hinreichende Bedingung, sondern eine Definition, die im
Ebbinghaus steht.

Gruss

Thomas.
--

[Thomas Haunhorst]

On Sat, 03 Feb 2001 20:48:01 +0100,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:

>Ich nehme das Buch "H.-D. Ebbinghaus, Einfuehrung in die Mengenlehre,
>B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage, 1994" als Grundlage fuer meine
>Aussagen.
>
>Zu meiner ersten Definition
>> > 1. Abzaehlbar:
>> > Eine Menge ist abzaehlbar, wenn sich ihre Elemente in der Form
>> > {n_0, n_1, n_2, n_3, ...} schreiben lassen. Voraussetzung ist
>> > eine Ordnungsrelation, die jedem Element einen und nur einen
>> > genau definierbaren Platz in dieser Folge zuweist. Weitere
>> > Bedingungen gibt es nicht. Es gilt: Folge = abzaehlbare Menge.

Im Ebbinghaus steht, dass die zu Aleph_0, also die Menge der nat. Zahlen,

gleichmaechtigen Ordinalzahlen, die sog. "abzaehlbar unendlichen" Ordinal-
zahlen, die sog. zweite Zahlklasse bilden. In Definition 2.8, IX (Das Kapitel
ueber Maechtigkeiten) steht, dass x "abzaehlbar unendlich" heisse, wenn
|x|=Aleph_0, also gleich N (N fuer die Menge der natuerlichen Zahlen).
Dann ist also x gleichmaechtig zu N. (Allerdings habe ich nur die 2. Auflage.
Womoeglich hat er in der 3. Auflage tiefgreifende Aenderungen vorgenommen. ;-))

Da Du Dich ja auf den Ebbinghaus berufst, erkenne an, dass eine Menge abzaehl-
bar unendlich ist, wenn es eine Bijektion von N auf diese Menge gibt.
Ausserdem machst Du mit Deiner Art der Indizierung, n_0, n_1 usw. schon eine
(intuitiv richtige) Nummerierung ueber die natuerlichen Zahlen; Du ziehst
also schon die Zahlen 0,1,2 usw. heran. Und richtig, eine Folge ist eine
Abbildung, die als Argumente die natuerlichen Zahlen hat. n_0 ist also zu
lesen als n(0). Nun koenntest Du vielleicht einwenden, dass Du die obige
Menge {n_0,n_1,...} auch anders haettest schreiben koennen, aber das hast
Du nicht; Du hast es so definiert. Und Deine Definition der Abzaehlbarkeit
ist sicher nicht die aus dem Ebbinghaus.

>Es geht in dieser Definition nicht um die natuerlichen Zahlen, sondern

>um eine allgemeingueltige Definition der Abzaehlbarkeit.

Der Begriff der Abzaehlbarkeit wird im Ebbinghaus ueber die Kardinalzahl

Aleph_0 definiert, und das ist N.

>Die Maechtigkeit endlicher Mengen spielt in unserem Zusammenhang keine
>Rolle.

Unsinn. Im Ebbinghaus steht: x heisse hoechstens abzaehlbar unendlich, wenn

|x| kleiner oder gleich Aleph_0 ist. Hier wird schon ueber Kardinalzahlen,
also ueber die Maechtigkeit von Mengen geredet. Du musst Dich schon
entscheiden, ob Du nun beim Ebbinghaus bleiben willst oder nicht.
Im Ebinghaus wird der Begriff der endlichen Menge ueber die Bijektion zu
einer natuerlichen Zahl angegeben:

x heisse endlich, wenn es eine Bijektion von i auf x gibt.

Und er schreibt Seiten zuvor: "Wenn wir im folgenden Mengenvariablen i,j,...
verwenden, sollen sich diese stillschweigend auf Elemente von N (also dort
steht \omega, aber ich habe keine Lust immer \omega zu schreiben; bezeichne
also \omega mit N.) beziehen."

>> Eine Menge a ist _abzählbar unendlich_, wenn a und N (die Menge

>> der nat. Zahlen) gleichmächtig sind.
>>
>Das ist eine hinreichende Bedingung, welche die Existenz einer
>Vergleichsmenge (naemlich N) voraussetzt, von der man bereits
>weiss, dass sie abzaehlbar ist.

Das ist keine hinreichende Bedingung, sondern eine Definition, die im
Ebbinghaus steht.

Also: Bei der Definition der Abzaehlbarkeit wird die Menge der natuerlichen
Zahlen herangezogen, und bei der Definition der Endlichkeit zieht man
natuerliche Zahlen heran.

Gruss

Thomas.
--

[Dieter Jungmann]

Hallo zusammen,

ich denke, dass wir jetzt bald an ein Ende gelangen. Ich gehe
zunaechst noch auf die Einwaende von Holger Gollan in seinem
posting vom 2. 2. ein.

Hallo Holger,

> > 6. Natuerliche Zahlen:
> > Das mengentheoretische Aequivalent zur natuerlichen Zahl n ist

> > eine Menge n = {a_o, a_1, ..., a_(n-1)} mit n Elementen. Da es
> > zwischen beiden eine Bijektion gibt, wollen wir zur Vereinfachung
> > auf eine unterschiedliche Schreibweise verzichten. In mengen-
> > theoretischem Kontext gilt eben, dass n eine Menge mit n Elementen
> > ist. Fuer unsere Belange ist noch von Bedeutung, dass der Nachfogler
> > von n, also n + 1, die Vereinigungsmenge von n und {n} ist. {n} ist
> > eine Menge, die als einziges Element die Menge n enthaelt. n ist
> > also die Vereinigungsmenge aller vorangehenden Elemente von N (den
> > Mengen 0 bis n-1) mit der Menge {n-1}.
> >

> > Anm.: Daraus ergibt sich die bereits gestellte Frage: Was bedeutet die
> > Aussage N = Menge der natuerlichen Zahlen? Die Formulierung suggeriert
> > die Annahme, N sei die Vereinigungsmenge aller n. Diese ist aber selbst

> > ein Element von N und hat daher Nachfolger. N kann daher nicht die Ver-

> > einigungsmenge aller n sein. Trotzdem wird N haeufig in diesem Sinne

> > verwendet. (Ihr habt das unbemerkt in Eurer Argumentation mehrfach
> > getan, ich werde darauf zurueckkommen.) Da die Mengenlehre keine klare

> > Auskunft ueber die Bedeutung von N gibt, muessen wir pragmatisch vor-
> > gehen und uns strikt an die Definition der abzaehlbar unendlichen
> > Mengen halten:
> >
>
> Warum muss N als Vereinigungsmenge aller n wieder ein Element von N
> sein?

Das folgt unmittelbar aus der mengentheoretischen Definition der
natuerlichen Zahlen. Man kann die vorstehende Definition sogar noch
einen Schritt weiter fuehren. Es sei M1 eine Teilmenge von M. Dann
ist M1 v M = M. v ist das Symbol fuer die Bildung der Vereinigungsmenge.
Wendet man dies auf die Definition der natuerlichen Zahlen an, dann gilt

n = 0 v 1 v 2 v ... v n.

Darin sind die natuerlichen Zahlen 0, 1, 2, ..., n wie oben vereinbart
nur eine andere Schreibweise fuer die Mengen a_0, a_1, a_2, ..., a_n.
Die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen von 0 bis n ergibt
gerade das mengentheoretische Aequivalent der natuerlichen Zahl n.
Damit ist die Frage beantwortet.

Was sind in einer unendlichen Menge "alle Elemente", wenn man doch
immer noch ein Element hinzufuegen kann? Einen Sinn ergibt das Wort
"alle" nur, wenn man es so versteht, dass eine Aussage fuer
"jedes Element" der Menge gilt. Eine zusammenfassende Bedeutung
im Sinne einer Vereinigungsmenge hat das Wort "alle" bei unendlichen
Mengen nicht. N ist daher keine Vereinigungsmenge sondern die
unbegrenzte Folge der Zahlen 0, 1, 2, ... und sonst nichts. Wenn Du
anderer Meinung bist und glaubst, dass N auch noch etwas anderes ist,
musst Du genau erklaeren, was dies ist.

In der Definition 7 habe ich zum Ausdruck gebracht, dass das fuer
alle abzaehlbar unendlichen Mengen gilt:

7. Es gelten folgende Definitionen:
N = Folge der natuerlichen Zahlen = {0, 1, 2, 3, ...}
D1 = Folge der Zweierpotenzen = {2^0, 2^1, 2^2, ...}

Allgemein: Abzaehlbar unendliche Menge = unendliche Folge von
Elementen.

Damit ist auch Deine weiter unten gestellte Frage beantwortet:

>
> Auch wenn z.B. jede nateurliche Zahl fuer sich betrachtet eine endliche
> Groesse ist, folgt schon die Frage, was denn nun mit der Menge der
> natuerlichen Zahlen ist.
> Akzeptierst Du, dass eine solche Menge existiert?
> Ist diese Menge dann auch endlich?

Diese Menge ist eine unendliche Folge von Elementen (die ihrerseits
auch wieder Mengen sein koennen). Unendlich ist ein anderer Ausdruck
fuer unbestimmt, aber nicht unbestimmt durch einen Zufall, sondern
weil auf die Folge die Methode Unendlich angewandt wird. Diese besteht
darin, dass es eine Vorschrift gibt, mit der es moeglich ist, den
bereits vorhandenen Elementen stets noch weitere hinzuzufuegen, so
dass man an kein Ende kommt.
Unbestimmt bedeutet hier: Es ist nicht moeglich, eine Zahl anzugeben,
die aussagt, wieviele Elemente die Folge enthaelt. In diesem Sinne
ist auch eine abzaehlbar unendliche Menge nicht abzaehlbar. Diese
beiden Begriffe bringt Ihr in Eurer Argumentation gegen die Abzaehl-
barkeit von Potenzmengen durcheinander. Ihr verlangt zwar nicht
direkt die Angabe dieser Zahl, sie ist aber in den Vorstellungen
Eurer Argumentation enthalten.

Ich betone deshalb nochmal:
Abzaehlbar unendlich bedeutet nur, dass sich die Elemente der Menge
in einer geordneten Reihe, genannt Folge, anordnen lassen und dass es
kein letztes Element in dieser Folge gibt.
Die Funktion einer abzaehlbar unendlichen Menge (Definitionsbereich)
ist ebenfalls eine unendliche Menge (Bildbereich), naemlich die Folge
der Funktionswerte der einzelnen Elemente des Definitionsbereichs.
Bei eindeutigen Funktionen, also Funktionen, bei denen es fuer jedes
Element des Definitionsbereichs nur einen Funktionswert gibt, ist
unmittelbar einsichtig, dass die Folge des Bildbereichs ebenfalls
eine abzaehlbar unendliche Menge ist.
Bei mehrdeutigen Funktionen, also Funktionen, die jedem Element des
Definitionsbereichs mehrere Funktionswerte zuordnen, ist zu
unterscheiden:
Ordnet die Funktion den Elementen des Definitionsbereichs ueberab-
zaehlbar viele Funktionswerte zu, erhaelt man eine Folge (= abzaehlbare
Menge) von ueberabzaehlbaren Mengen. Die Menge der Funktionswerte ist
daher ebenfalls ueberabzaehlbar. Das gilt bereits dann, wenn die
Funktion nur einem Element des Definitionsbereichs ueberabzaehlbar
viele Funktionswerte zuordnet.
Ordnet die Funktion den Elementen des Definitionsbereichs nur
abzaehlbar viele Funktionswerte zu, ist die Menge der Funktionswerte
die Vereinigungsmenge von abzaehlbar vielen abzaehlbaren Mengen und
daher ebenfalls abzaehlbar.
Da die Potenzmengenfunktion allen Elementen eines abzaehlbar unendlichen
Definitionsbereichs nur endlich viele Funktionswerte zuordnet, ist
Pot(M) mit M = abzaehlbare Menge ebenfalls abzaehlbar.

Damit ist der einfachste Beweis fuer die Abzaehlbarkeit aller in
unserer Diskussion vorkommenden Potenzmengen erbracht.

> Jeder einzelne Teil n, der zur Bildung der Menge N benoetigt wird, ist
> endlich. Aber daraus allein folgt doch noch keine Aussage ueber die
> Vereinigungsmenge N.
> Mir scheint, dass dies immer noch das gleiche Problem ist, auf das ich
> Dich schon mehrmals hingewiesen habe: Wenn eine Menge die Vereinigung
> von unendlich vielen Mengen mit einer gewissen Eigenschaft ist, dann
> muss die Vereinigung diese Eigenschaft noch lange nicht besitzen. Leider
> hast Du auf meine Anmerkungen zu dieser Problematik bis heute nicht
> geantwortet.

Ich nehme an, Du meinst den Satz aus meiner 5. Definition:

> Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist

> abzaehlbar. Insbesondere gilt auch: Die Vereinigung einer abzaehlbar
> unendlichen Menge abzaehlbar unendlicher Mengen ist abzaehlbar.

Diesen Satz hast Du bereits in einem frueheren posting angezweifelt.
Hier ist von einer einzigen Eigenschaft, naemlich der Abzaehlbarkeit
die Rede. Wenn Du nun behauptest, diese Eigenschaft koenne sich bei
der Vereinigung doch aendern, wird der Satz gegenstandslos. Es ist
aber ein anerkannter Satz der Mengenlehre.

Du verdrehst auch sonst alle Aussagen der Mengenlehre, wie es Dir
passt. Z.B. haelst Du immer noch an der Behauptung fest, die Menge
B der Binaerstellen der natuerlichen Zahlen sei endlich, obwohl
Christin Semrau das laengst richtig gestellt hat. Wenn B endlich
waere, muesste es eine groesste Anzahl von Binaerstellen geben,
Du weigerst Dich aber, sie zu nennen. Vielleicht koenntest Du uns
einmal sagen, auf welche Variante der Mengenlehre sich Deine
Aussagen stuetzen?

Alle abzaehlbar unendlichen Mengen sind die Vereinigungsmenge einer
abzaehlbar unendlichen Menge abzaehlbar unendlicher Mengen. Am
Beispiel von N ist das besonders einfach einzusehen.
Die Menge P der Primzahlen ist eine unendliche Teilmenge von N.
Die Menge T_2, die alle Produkte von 2 Primzahlen enthaelt, ist
ebenfalls eine unendliche Teilmenge von N. Das gleiche gilt fuer
alle Mengen T_n, die alle Produkte von n Primzahlen enthalten. Es
gibt unendlich viele Teilmengen T_n. Die Vereinigungsmenge V aller
T_n ist also die Vereinigung einer abzaehlbar unendlichen Menge
abzaehlbar unendlicher Mengen. Trotzdem ist V erst eine verschwindent
kleine Teilmenge von N.
Ersetzt man in allen T_n eine Primzahl (immer dieselbe) durch ihr
Quadrat, erhaelt man eine zweite Vereinigungsmenge V1 mit genau so
vielen Elementen wie V. Indem man das gleiche mit allen anderen
Primzahlen durchfuehrt, erhaelt man eine unendliche Menge von
Vereinigungsmengen V_n. Die Vereinigungsmenge U dieser V_n ist
bereits die Vereinigung einer abzahlbar unendlichen Menge abzaehlbar
unendlicher Mengen abzaehlbar unendlicher Mengen.
Jetzt kommen die Kombinationsmoeglichkeiten hinzu, wenn zwei Primzahlen
gleichzeitig durch ihr Quadrat ersetzt werden. Da es nicht gleich-
gueltig ist, welche Primzahlen das sind, erhaelt man bereits eine
unendliche Folge von unendlichen Vereinigungsmengen. Hinzu kommen
dann noch die Kombinationsmoeglichkeiten, bei denen 3, 4, ...
Primzahlen gleichzeitig durch ihr Quadrat ersetzt werden.
Das ganze wiederholt sich, wenn die Primzahlen durch eine ihrer
Potenzen ersetzt werden. Dann kommen noch die Kombinationsmoeglich-
keiten mit unterschiedlichen Potenzen hinzu. N, die Menge der natuer-
lichen Zahlen, ist also die Vereinigungsmenge einer unendlichen Menge
unendlicher Mengen unendlicher Mengen ... unendlicher Mengen (alle
natuerlich abzaehlbar).
Jetzt stell Dir in einem Gedankenexperiment vor, es sei nicht bekannt,
ob N abzaehlbar ist, und Du sollst auf grund der Tatsache, dass P
abzaehlbar ist, beweisen, dass auch N abzaehlbar ist. Du kaemst
sicher schnell ins Schleudern und ich koennte Dir mit Euren eigenen
Argumenten "beweisen", dass bereits die Teilmengen ueberabzaehlbar sind.

Ich hoffe, es ist Dir klar geworden, dass Du den Satz, dass die Ver-
einigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge abzaehbar unendlicher
Mengen ebenfalls abzaehlbar ist, nicht bestreiten kannst ohne Dich in
Widersprueche zu verwickeln.

Ausserdem sollte Dir klar geworden sein, dass bei komplizierteren
Mengen das einzig brauchbare Abzaehlbarkeitskriterim das Kriterium
ist, das nach der 1. Definition, auf die wir uns geeinigt haben, von
einer Ordnungsrelation Gebrauch macht. Wenn die Ordnungsrelation
bekannt ist, ergibt sich die Abbildung auf N von selbst. Von diesem
Kriterium hat auch Cantor bei seiner Abbildung der komplizierten Menge
Q der rationalen Zahlen auf N Gebrauch gemacht. Ich habe schon mehrfach
darauf hingewiesen, dass die Ordnungsrelation der Potenzmengen
wesentlich einfacher ist als die von Q. Ich hoffe, dass ich diesen
Beweis nicht mehr in allen Einzelheiten vorfuehren muss.

Der Beweis der Abzaehlbarkeit von Pot(P), der Potenzmenge
der Primzahlen, ist wesentlich einfacher als der Beweis der
Abzaehlbarkeit von N in obigem Gedankenexperiment, weil Pot(P)
nur eine kleine Teilmenge von N ist. Nachfolgend wird angenommen,
dass den Teilmengen von P, die n Primzahlen enthalten und die
jeweils ein Element von Pot(P) ergeben, das Produkt dieser
Primzahlen als Bild in N zugeordnet wird. Diese Abbildung wird
fuer den Beweis eigentlich nicht gebraucht, sie vereinfacht aber
die Ausdrucksweise. Der Beweis ist allgemeingueltig, weil man die
Primzahlen durch beliebige Elemente ersetzen kann.
Pot(P) ist die Vereinigungsmenge von P und abzaehlbar unendlich
vielen Teilmengen T_n. Die T_n sind die Mengen, die alle Produkte
von n Primzahlen enthalten. Es muss also bewiesen werden, dass
alle T_n abzaehlbar unendlich sind.
T_2 laesst sich darstellen als Vereinigung einer abzaehlbar unendlichen
Menge von Teilmengen T_2k. Die T_2k enthalten alle Produkte der
Primzahlen mit der k-ten Primzahl ohne das Quadrat der k-ten Primzahl.
Die T_2k sind also abzaehlbar und somit auch T_2.
T_3 laesst sich darstellen als Vereinigung einer abzaehlbar unendlichen
Menge von Teilmengen T_3k. Die T_3k enthalten alle Produkte der Elemente
von T_2 mit der k-ten Primzahl, wobei Produkte, die ein Quadrat der
k-ten Primzahl enthalten unberuecksichtigt bleiben. Die T_3k und somit
auch T_3 sind also ebenfalls abzaehlbar.
Entsprechend lassen sich alle T_n als Vereinigung einer abzaehlbar
unendlichen Menge von Teilmengen T_nk darstellen, wobei die T_nk die
Produkte der Elemente von T_(n-1) mit der k-ten Primzahl als Elemente
enthalten. Alle T_n sind also abzaehlbare Mengen.

Zum Gegenbeweis, dass Pot(P) ueberabzaehlbar ist, muesstet Ihr beweisen,
dass wenigstens eine der Teilmengen T_n ueberabzaehlbar ist. Welche ist
das?

Zurueck zu Deinem 13 Punkte Plan (posting vom 24. 1. 14:59).

Es geht um die Abbildung von Pot(D1) auf N mit D1 = {2^n | n el N}.
Die Punkte 1 bis 8 sind unstrittig.
Punkt 9:

> 9) Aber: Was ist z.B. das Bild f(D1) von D1 unter Deiner Abbildung f?

Das duerfte jetzt klar sein. D1 ist eine unendliche Folge. Die Funktion
einer unendlichen Folge ist eine unendliche Folge der Funktionswerte der
einzelnen Elemente des Definitionsbereichs (das sind hier die 2^n). Die
Funktionswerte der 2^n und ihre Abbildung auf N habe ich bereits ange-
geben, es ist also Unsinn, sie hier noch ein zweites mal zu fordern.
Wir sind uns auch darin einig geworden, dass es bei unendlichen Folgen
ausreicht, wenn an jeder Stelle der Folge das Nachfolgeelement angegeben
werden kann. Diese Bedingung ist erfuellt.
Anm.: Die Bedingung, dass der Nachfolger aus dem unmittelbar voraus-
gehenden Element folgen muss, gilt nur bei Peano-Strukturen. Bei
Fibonacci-Folgen z.B. wird er aus den beiden vorausgehenden Elementen
gebildet. Im allgemeinen Fall koennen beliebige vorausgehende Elemente
verwendet werden.

Um Euren Fehler anschaulich zu machen, noch ein Beispiel. Es sei
A = {a_0, a_1, a_2, ...,a_n, ...} eine abzaehlbar unendliche Menge.
Wir nehmen wieder an, es sei nicht bekannt, ob N abzaehlbar ist, und
wollen dies durch Verglelich mit A feststellen. Wir bilden also N
mit einer Funktion f(N) auf A ab, indem jedem n das Element a_n
zugeordnet wird. Was ist, analog zu Eurer Frage unter 9), _das_ Bild
von f(N)? Ihr koennt es nicht angeben, also ist N nicht abzaehlbar?

Schreibt man in der vorstehenden Abbildung die natuerlichen Zahlen,
wie oben erlaeutert, in der Form n = 0 v 1 v 2 v ... v n, so kann man
auch die Frage stellen, welches Bild hat die Zahl 0 v 1 v 2 v ... ?
Die entsprechende Frage habt Ihr frueher fuer die Summe der Zweier-
potenzen 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... und das Produkt von unendlich vielen
Primzahlen gestellt. Zu _jeder_ Primzahl p_k laesst sich auch das
Produkt p_1 * p_2 * ... * p_k angeben. Die Frage nach dem Produkt
von unendlich vielen Primzahlen ist identisch mit der Frage, welches
die unendlichste Primzahl ist. Diese Fragen sind unsinnig. Bei
unendlichen Mengen muss nur sicher gestellt sein, dass zu jedem
Element der Nachfolger angegeben werden kann, mehr nicht!

> 10) Ang.: f(D1) = X ist eine natuerliche Zahl.
> 11) Dann ist auch 2^X eine natuerliche Zahl, also Element von D1. Also
> taucht 2^X in der Summe f(D1) auf. Folglich: X = f(D1) > 2^X > X.
> 12) Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme unter 10) falsch ist.
> Folglich ist f(D1) keine natuerliche Zahl, es liegt also keine Abbildung
> von Pot(D1) nach N vor.

Duerfte jetzt klar sein.
Selbstverstaendlich ist f(D1) keine natuerliche Zahl sondern eine
unendliche Folge von Funktionswerten, die dann in einem zweiten
Schritt auf N abgebildet werden. Im Falle von Pot(D1) ist dieser
Vorgang so uebersichtlich, dass man beide Schritte zusammenfassen
kann.

> 13) Selbst wenn f(D1) = X eine natuerliche Zahl waere, Du also eine
> Abbildung von Pot(D1) nach N haettest, dann wuerdest Du an dieser
> Probleme mit der Surjektivitaet Deiner Abbildung bekommen. Schliesslich
> haette X als natuerliche Zahl eine endliche Binaerdarstellung, waere
> also Summe von endlich vielen 2er-Potenzen. Fasst man diese 2er-Potenzen
> zu einer Menge T zusammen, so waere T eine Teilmenge von D1, also waere
> T ein Element von Pot(D1) mit der Eigenschaft, dass f(T) = X = f(D1). Da
> T ungleich D1 ist, waere Deine Abbildung also nicht surjektiv, also auch
> nicht bijektiv.

Hier taucht zusaetzlich zu den vorhergehenden Fehlern wieder der Fehler
mit den endlichen Binaerstellen auf. Das ist inzwischen auch geklaert.

Zum Schluss komme ich noch einmal auf den vermeintlichen Beweis von
Wolfgang Kirschenhofer zurueck, dass Pot(M), M = abzaehlbar unendliche
Menge, ueberabzaehlbar sei.

Hallo Wolfgang,

Du hast Dich beklagt, weil ich auf Deinen zweiten Anlauf zum Beweis
dieser Behauptung nicht ausfuehrlich geantwortet habe. Dein zweiter
Versuch enthaelt einen neuen Fehler, naemlich die Behauptung, kein
Element von M sei in Pot(M) enthalten. Im uebrigen enthaelt Dein
Beweis dieselben Fehler wie Cantors Beweis. Ich gehe daher lieber
gleich auf diesen Beweis ein. Ich zitiere aus H.-D. Ebbinghaus,

Einfuehrung in die Mengenlehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage,

1994, S.133/134. Es bedeutet
el = Element von
/el = nicht Element von
/ex = es existiert nicht
glm = gleichmaechtig
-< = weniger maechtig als

Zitat:
1.6 Satz von Cantor. x -< Pot(x)

Beweis. Die auf x definierte Funktion g mit g(u) = {u} fuer u el x
ist eine Injektion von x in Pot(x). Wir zeigen, dass es keine Funktion
von x auf Pot(x) geben kann. Dann ist /ex x glm Pot(x), und wir sind
fertig. Waere f eine Funktion von x auf Pot(x), so waere die Menge
z := {u el x | u /el f(u)} Element von Bild(f). Also gaelte fuer ein
geeignetes v el x, dass z = f(v). Nach Definition von z ergaebe sich
v el z <--> v /el z, also ein Widerspruch. (Es war dieser Beweis Cantors,
der Russel die Idee zu seiner Antinomie lieferte: Man ersetze x durch
das Universum und f durch die Identitaetsoperation.)
Ende des Zitats.

In den Beweis gehen die Eigenschaften der Potenzmengenfunktion mit
keinem Wort ein. Er ist also fuer beliebige Funktionen F(x) gueltig.
x ist also weniger maechtig als alle Funktionen von x. Da es sich
bei den Funktionen auch um die Umkehrfunktionen handeln kann, gilt
auch, dass x maechtiger als alle Funktionen von x ist. Trefflicher
kann sich eine Theorie nicht selbst widerlegen.
Im uebrigen folgt aus der Definition von z, dass es sich nur um die
leere Menge handeln kann, der Beweis enthaelt also denselben Fehler
wie Dein erster Beweis.

Gruss

Dieter

[Boris 'pi' Piwinger]

Dieter Jungmann wrote:

> ich denke, dass wir jetzt bald an ein Ende gelangen. Ich gehe
> zunaechst noch auf die Einwaende von Holger Gollan in seinem
> posting vom 2. 2. ein.

Schade, dass Du meines ignorierst
(<3A7AA953...@logic.univie.ac.at>).

> > Warum muss N als Vereinigungsmenge aller n wieder ein Element von N
> > sein?
>
> Das folgt unmittelbar aus der mengentheoretischen Definition der
> natuerlichen Zahlen.

Eben nicht. Vielleicht liest Du die Definition einfach mal nach. Oder
was soll die Definition sei, aus der das folgt. Und bitte auch gleich
den entsprechenden Beweis beilegen.

> Man kann die vorstehende Definition sogar noch
> einen Schritt weiter fuehren. Es sei M1 eine Teilmenge von M. Dann
> ist M1 v M = M. v ist das Symbol fuer die Bildung der Vereinigungsmenge.
> Wendet man dies auf die Definition der natuerlichen Zahlen an, dann gilt
>
> n = 0 v 1 v 2 v ... v n.

Mit Sicherheit nicht. Wie willst Du so bitte n definieren?

> Darin sind die natuerlichen Zahlen 0, 1, 2, ..., n wie oben vereinbart

Widerspruch.

Bevor wir so elementare Sachen nicht klar haben, bruacht man wohl erst
gar nicht weiter zu lesen.

pi

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo zusammen,
>
> ich denke, dass wir jetzt bald an ein Ende gelangen. Ich gehe
> zunaechst noch auf die Einwaende von Holger Gollan in seinem
> posting vom 2. 2. ein.
>
> Hallo Holger,
>

Hallo Dieter,
leider hast Du in dieses Posting wieder so viele Aussagen gepackt (von
denen ich vielen widersprechen muss), dass ich befuerchte, dass wir noch
lange nicht am Ende sind.

> > > 6. Natuerliche Zahlen:

> >
> > Warum muss N als Vereinigungsmenge aller n wieder ein Element von N
> > sein?
>
> Das folgt unmittelbar aus der mengentheoretischen Definition der
> natuerlichen Zahlen. Man kann die vorstehende Definition sogar noch
> einen Schritt weiter fuehren. Es sei M1 eine Teilmenge von M. Dann
> ist M1 v M = M. v ist das Symbol fuer die Bildung der Vereinigungsmenge.
> Wendet man dies auf die Definition der natuerlichen Zahlen an, dann gilt
>
> n = 0 v 1 v 2 v ... v n.
>
> Darin sind die natuerlichen Zahlen 0, 1, 2, ..., n wie oben vereinbart
> nur eine andere Schreibweise fuer die Mengen a_0, a_1, a_2, ..., a_n.
> Die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen von 0 bis n ergibt
> gerade das mengentheoretische Aequivalent der natuerlichen Zahl n.
> Damit ist die Frage beantwortet.
>

Nein! Die Vereinigungsmenge von "endlich" vielen (den bisher
definierten) natuerlichen Zahlen liefert eine weitere natuerliche Zahl.
Niemand verlangt dies aber fuer die Vereinigung aller natuerlichen
Zahlen, also fuer die Menge der natuerlichen Zahlen selbst.
Wie Du selbst festgestellt hast, wuerde eine solche Forderung natuerlich
einen Widerspruch erzeugen. Es geht bei der induktiven Definition der
natuerlichen Zahlen immer nur darum, dass man aus endlich vielen eine
weitere erzeugt. Getrennt davon musst Du die Bildung der Menge aller
natuerlichen Zahlen betrachten.
Eigentlich koennte ich an dieser Stelle erst einmal wieder aufhoeren,
denn ich befuerchte, dass wir so lange aneinander vorbei reden, so lange
wir hier keine Einigkeit erzielen. Ich will aber zu einigen anderen
Punkten doch noch Stellung beziehen.

> Was sind in einer unendlichen Menge "alle Elemente", wenn man doch
> immer noch ein Element hinzufuegen kann? Einen Sinn ergibt das Wort
> "alle" nur, wenn man es so versteht, dass eine Aussage fuer
> "jedes Element" der Menge gilt. Eine zusammenfassende Bedeutung
> im Sinne einer Vereinigungsmenge hat das Wort "alle" bei unendlichen
> Mengen nicht. N ist daher keine Vereinigungsmenge sondern die
> unbegrenzte Folge der Zahlen 0, 1, 2, ... und sonst nichts. Wenn Du
> anderer Meinung bist und glaubst, dass N auch noch etwas anderes ist,
> musst Du genau erklaeren, was dies ist.
>

Ich sehe eigentlich in den beiden Beschreibungen fuer N keinen
Widerspruch, aber ich befuerchte wirklich, dass wir hier nicht zusammen
kommen werden.

Verstehe ich das jetzt richtig? Ab sofort betrachtest Du eine Funktion,
die jedem Element von M endlich viele Bilder in Pot(M) zuordnet? Wie
sieht diese so genannte Potenzmengenfunktion aus?

> Damit ist der einfachste Beweis fuer die Abzaehlbarkeit aller in
> unserer Diskussion vorkommenden Potenzmengen erbracht.
>

Das wage ich zu bezweifeln, so lange ich die Potenzmengenfunktion nicht
verstanden habe.

> > Jeder einzelne Teil n, der zur Bildung der Menge N benoetigt wird, ist
> > endlich. Aber daraus allein folgt doch noch keine Aussage ueber die
> > Vereinigungsmenge N.
> > Mir scheint, dass dies immer noch das gleiche Problem ist, auf das ich
> > Dich schon mehrmals hingewiesen habe: Wenn eine Menge die Vereinigung
> > von unendlich vielen Mengen mit einer gewissen Eigenschaft ist, dann
> > muss die Vereinigung diese Eigenschaft noch lange nicht besitzen. Leider
> > hast Du auf meine Anmerkungen zu dieser Problematik bis heute nicht
> > geantwortet.
>
> Ich nehme an, Du meinst den Satz aus meiner 5. Definition:
> > Die Vereinigung einer abzaehlbaren Menge abzaehlbarer Mengen ist
> > abzaehlbar. Insbesondere gilt auch: Die Vereinigung einer abzaehlbar
> > unendlichen Menge abzaehlbar unendlicher Mengen ist abzaehlbar.
>
> Diesen Satz hast Du bereits in einem frueheren posting angezweifelt.
> Hier ist von einer einzigen Eigenschaft, naemlich der Abzaehlbarkeit
> die Rede. Wenn Du nun behauptest, diese Eigenschaft koenne sich bei
> der Vereinigung doch aendern, wird der Satz gegenstandslos. Es ist
> aber ein anerkannter Satz der Mengenlehre.
>

Nein, ich meine nicht diesen Satz! Ich meine z.B.:
Sei T_n = { 1 , 2 , ... , n } die Menge der ersten n natuerlichen
Zahlen. Dann besitzt T_n fuer jedes n ein groesstes Element. Die
Vereinigung aller T_n ist die Menge der natuerlichen Zahlen N. Diese
Menge besitzt kein groesstes Element. Zur Wiederholung: Wenn eine Menge
die Vereinigung von abzaehlbar vielen endlichen Mengen mit einer
gewissen Eigenschaft ist, dann muss diese Vereinigung nicht zwingend
ebenfalls diese Eigenschaft haben.
Und um es klar zu stellen: Ich sage "nicht", dass sich keine Eigenschaft
uebertragen laesst. Ich sage nur, dass sich nicht unbedingt jede
Eigenschaft uebertragen laesst.

> Du verdrehst auch sonst alle Aussagen der Mengenlehre, wie es Dir
> passt. Z.B. haelst Du immer noch an der Behauptung fest, die Menge
> B der Binaerstellen der natuerlichen Zahlen sei endlich, obwohl
> Christin Semrau das laengst richtig gestellt hat. Wenn B endlich
> waere, muesste es eine groesste Anzahl von Binaerstellen geben,
> Du weigerst Dich aber, sie zu nennen. Vielleicht koenntest Du uns
> einmal sagen, auf welche Variante der Mengenlehre sich Deine
> Aussagen stuetzen?
>

Um Dich zu beruhigen: Das lag mehr an einem Lesefehler meinerseits. Jede
natuerliche Zahl ist endlich, hat daher nur endlich viele Binaerstellen.
Aber natuerlich gibt es keine maximale Anzahl von Binaerstellen, wenn
man alle natuerlichen Zahlen darstellen will.

Ich muss gestehen, dass ich Dir bei diesem Gedankenexperiment nicht
richtig folgen konnte. Aber es wuerde mich sehr interessieren, wie Du
beweist, dass eine der benutzten Teilmengen ueberabzaehlbar ist.

> Ich hoffe, es ist Dir klar geworden, dass Du den Satz, dass die Ver-
> einigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge abzaehbar unendlicher
> Mengen ebenfalls abzaehlbar ist, nicht bestreiten kannst ohne Dich in
> Widersprueche zu verwickeln.
>

Wie oben schon gesagt: Diesen Satz bestreite ich auch gar nicht.

> Ausserdem sollte Dir klar geworden sein, dass bei komplizierteren
> Mengen das einzig brauchbare Abzaehlbarkeitskriterim das Kriterium
> ist, das nach der 1. Definition, auf die wir uns geeinigt haben, von
> einer Ordnungsrelation Gebrauch macht. Wenn die Ordnungsrelation
> bekannt ist, ergibt sich die Abbildung auf N von selbst. Von diesem
> Kriterium hat auch Cantor bei seiner Abbildung der komplizierten Menge
> Q der rationalen Zahlen auf N Gebrauch gemacht. Ich habe schon mehrfach
> darauf hingewiesen, dass die Ordnungsrelation der Potenzmengen
> wesentlich einfacher ist als die von Q. Ich hoffe, dass ich diesen
> Beweis nicht mehr in allen Einzelheiten vorfuehren muss.
>

Doch! Die Ordnungsrelation auf den Potenzmengen wuerde mich sehr
interessieren. Das waere schliesslich einer der Wege, die Abzaehlbarkeit
der Potenzmenge zu beweisen.

> Der Beweis der Abzaehlbarkeit von Pot(P), der Potenzmenge
> der Primzahlen, ist wesentlich einfacher als der Beweis der
> Abzaehlbarkeit von N in obigem Gedankenexperiment, weil Pot(P)
> nur eine kleine Teilmenge von N ist. Nachfolgend wird angenommen,
> dass den Teilmengen von P, die n Primzahlen enthalten und die
> jeweils ein Element von Pot(P) ergeben, das Produkt dieser
> Primzahlen als Bild in N zugeordnet wird. Diese Abbildung wird
> fuer den Beweis eigentlich nicht gebraucht, sie vereinfacht aber
> die Ausdrucksweise. Der Beweis ist allgemeingueltig, weil man die
> Primzahlen durch beliebige Elemente ersetzen kann.
> Pot(P) ist die Vereinigungsmenge von P und abzaehlbar unendlich
> vielen Teilmengen T_n. Die T_n sind die Mengen, die alle Produkte
> von n Primzahlen enthalten. Es muss also bewiesen werden, dass
> alle T_n abzaehlbar unendlich sind.

NEIN! Entschuldige, dass ich schreie, aber genau hier liegt einer der
Fehlerpunkte Deiner Argumentation. Was ist mit den Teilmengen von P, die
unendlich viele Primzahlen enthalten? Die sind doch auch in Pot(P)
enthalten! In Deiner Vereinigungsmenge kann ich sie aber nicht finden!

> T_2 laesst sich darstellen als Vereinigung einer abzaehlbar unendlichen
> Menge von Teilmengen T_2k. Die T_2k enthalten alle Produkte der
> Primzahlen mit der k-ten Primzahl ohne das Quadrat der k-ten Primzahl.
> Die T_2k sind also abzaehlbar und somit auch T_2.
> T_3 laesst sich darstellen als Vereinigung einer abzaehlbar unendlichen
> Menge von Teilmengen T_3k. Die T_3k enthalten alle Produkte der Elemente
> von T_2 mit der k-ten Primzahl, wobei Produkte, die ein Quadrat der
> k-ten Primzahl enthalten unberuecksichtigt bleiben. Die T_3k und somit
> auch T_3 sind also ebenfalls abzaehlbar.
> Entsprechend lassen sich alle T_n als Vereinigung einer abzaehlbar
> unendlichen Menge von Teilmengen T_nk darstellen, wobei die T_nk die
> Produkte der Elemente von T_(n-1) mit der k-ten Primzahl als Elemente
> enthalten. Alle T_n sind also abzaehlbare Mengen.
>
> Zum Gegenbeweis, dass Pot(P) ueberabzaehlbar ist, muesstet Ihr beweisen,
> dass wenigstens eine der Teilmengen T_n ueberabzaehlbar ist. Welche ist
> das?
>

Muessen wir nicht, da Deine Teilmengen nicht die gesamte Menge Pot(P)
ueberdecken.

> Zurueck zu Deinem 13 Punkte Plan (posting vom 24. 1. 14:59).
>
> Es geht um die Abbildung von Pot(D1) auf N mit D1 = {2^n | n el N}.
> Die Punkte 1 bis 8 sind unstrittig.
> Punkt 9:
>
> > 9) Aber: Was ist z.B. das Bild f(D1) von D1 unter Deiner Abbildung f?
>
> Das duerfte jetzt klar sein. D1 ist eine unendliche Folge. Die Funktion
> einer unendlichen Folge ist eine unendliche Folge der Funktionswerte der
> einzelnen Elemente des Definitionsbereichs (das sind hier die 2^n). Die
> Funktionswerte der 2^n und ihre Abbildung auf N habe ich bereits ange-
> geben, es ist also Unsinn, sie hier noch ein zweites mal zu fordern.
> Wir sind uns auch darin einig geworden, dass es bei unendlichen Folgen
> ausreicht, wenn an jeder Stelle der Folge das Nachfolgeelement angegeben
> werden kann. Diese Bedingung ist erfuellt.
> Anm.: Die Bedingung, dass der Nachfolger aus dem unmittelbar voraus-
> gehenden Element folgen muss, gilt nur bei Peano-Strukturen. Bei
> Fibonacci-Folgen z.B. wird er aus den beiden vorausgehenden Elementen
> gebildet. Im allgemeinen Fall koennen beliebige vorausgehende Elemente
> verwendet werden.
>

Sorry, aber hier hast Du mich voellig verloren. Ich sehe auch weiterhin
nicht, was f(D1) sein soll. Ich sehe vor allem immer noch nicht, dass es
sich bei f(D1) um eine natuerliche Zahl handelt.

> Um Euren Fehler anschaulich zu machen, noch ein Beispiel. Es sei
> A = {a_0, a_1, a_2, ...,a_n, ...} eine abzaehlbar unendliche Menge.
> Wir nehmen wieder an, es sei nicht bekannt, ob N abzaehlbar ist, und
> wollen dies durch Verglelich mit A feststellen. Wir bilden also N
> mit einer Funktion f(N) auf A ab, indem jedem n das Element a_n
> zugeordnet wird. Was ist, analog zu Eurer Frage unter 9), _das_ Bild
> von f(N)? Ihr koennt es nicht angeben, also ist N nicht abzaehlbar?
>

Wir muessen es auch nicht angeben, da N selbst keine natuerliche Zahl
ist. Die Funktion f in diesem Fall bildet N auf A ab und ordnet jedem
Element von N ein Bild in A zu. Niemand verlangt aber, dass auch die
Menge N selbst ein Bild besitzen muss.
Im Gegensatz dazu ist D1 ein Element von Pot(D1) und muss daher ein Bild
unter Deiner Abbildung besitzen. Und ich vermisse immer noch eine
Antwort darauf, wie dieses Bild (wohlgemerkt eine natuerliche Zahl) denn
nun aussieht.

> Schreibt man in der vorstehenden Abbildung die natuerlichen Zahlen,
> wie oben erlaeutert, in der Form n = 0 v 1 v 2 v ... v n, so kann man
> auch die Frage stellen, welches Bild hat die Zahl 0 v 1 v 2 v ... ?
> Die entsprechende Frage habt Ihr frueher fuer die Summe der Zweier-
> potenzen 2^0 + 2^1 + 2^2 + ... und das Produkt von unendlich vielen
> Primzahlen gestellt. Zu _jeder_ Primzahl p_k laesst sich auch das
> Produkt p_1 * p_2 * ... * p_k angeben. Die Frage nach dem Produkt
> von unendlich vielen Primzahlen ist identisch mit der Frage, welches
> die unendlichste Primzahl ist. Diese Fragen sind unsinnig. Bei
> unendlichen Mengen muss nur sicher gestellt sein, dass zu jedem
> Element der Nachfolger angegeben werden kann, mehr nicht!
>

Noch einmal der Unterschied: Wenn Du eine Abbildung auf den natuerlichen
Zahlen verlangst, dann musst Du jeder natuerlichen Zahl ein Bild
zuordnen koennen. Das bedeutet aber, dass obige Vereinigung immer eine
endliche Vereinigung bleibt, da jede natuerliche Zahl nur die
Vereinigung ihrer Vorgaenger ist.
In Deinen Faellen gibt es aber "unendliche" Summen und Produkte, da
Deine Vorschrift auch auf unendliche Mengen angewendet werden muss.

> > 10) Ang.: f(D1) = X ist eine natuerliche Zahl.
> > 11) Dann ist auch 2^X eine natuerliche Zahl, also Element von D1. Also
> > taucht 2^X in der Summe f(D1) auf. Folglich: X = f(D1) > 2^X > X.
> > 12) Dieser Widerspruch zeigt, dass die Annahme unter 10) falsch ist.
> > Folglich ist f(D1) keine natuerliche Zahl, es liegt also keine Abbildung
> > von Pot(D1) nach N vor.
>
> Duerfte jetzt klar sein.
> Selbstverstaendlich ist f(D1) keine natuerliche Zahl sondern eine
> unendliche Folge von Funktionswerten, die dann in einem zweiten
> Schritt auf N abgebildet werden. Im Falle von Pot(D1) ist dieser
> Vorgang so uebersichtlich, dass man beide Schritte zusammenfassen
> kann.
>

Mir ist ueberhaupt nichts klar. Ist f(D1) jetzt eine natuerliche Zahl
oder nicht? Entweder nein, dann ist Deine Abbildung nicht zu benutzen,
da sie nicht jedem Element von Pot(D1) eine natuerliche Zahl zuordnet.
Oder ja, dann zeige mir doch bitte den Fehler in obiger Argumentation
(10 - 12).
Zusatzfrage: Wie ordnest Du einer unendlichen Folge von Funktionswerten
eine natuerliche Zahl zu?

> > 13) Selbst wenn f(D1) = X eine natuerliche Zahl waere, Du also eine
> > Abbildung von Pot(D1) nach N haettest, dann wuerdest Du an dieser
> > Probleme mit der Surjektivitaet Deiner Abbildung bekommen. Schliesslich
> > haette X als natuerliche Zahl eine endliche Binaerdarstellung, waere
> > also Summe von endlich vielen 2er-Potenzen. Fasst man diese 2er-Potenzen
> > zu einer Menge T zusammen, so waere T eine Teilmenge von D1, also waere
> > T ein Element von Pot(D1) mit der Eigenschaft, dass f(T) = X = f(D1). Da
> > T ungleich D1 ist, waere Deine Abbildung also nicht surjektiv, also auch
> > nicht bijektiv.
>

Sorry, hier meinte ich natuerlich Injektivitaet!

> Hier taucht zusaetzlich zu den vorhergehenden Fehlern wieder der Fehler
> mit den endlichen Binaerstellen auf. Das ist inzwischen auch geklaert.
>

Welcher Fehler? Wenn X eine natuerliche Zahl ist, dann hat X eine
endliche Binaerdarstellung. Und dann stimmt die obige Argumentation.
Oder gibt es eine natuerliche Zahl, die keine endliche Binaerdarstellung
hat?

Und hier taucht wieder diese ominoese Potenzmengenfunktion auf. Es waere
schoen, wenn Du das mal naeher erklaeren koenntest.
Und was heisst ueberhaupt, dass als Folge dieses Beweises x weniger
maechtig ist als alle Funktionen von x? Natuerlich gilt die
Argumentation aus dem Beweis nicht fuer beliebige Funktionen. Es wird
explizit verlangt, dass f eine Funktion von f "auf" Pot(x) ist. Nur
deswegen weiss man, dass z ein Element von Bild(f) ist.

> Im uebrigen folgt aus der Definition von z, dass es sich nur um die
> leere Menge handeln kann, der Beweis enthaelt also denselben Fehler
> wie Dein erster Beweis.
>

Den Einwand habe ich auch noch nie verstanden. z ist auch nicht die
leere Menge, z kann nicht existieren! Denn auch die leere Menge ist
Element von Pot(x), haette also wegen der Bedingungen an die Funktion f
ein Urbild in x, und wuerde ebenso zu dem gezeigten Widerspruch fuehren.

[Horst Kraemer]

On Mon, 05 Feb 2001 05:46:21 +0100, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

> > Warum muss N als Vereinigungsmenge aller n wieder ein Element von N
> > sein?
>
> Das folgt unmittelbar aus der mengentheoretischen Definition der
> natuerlichen Zahlen. Man kann die vorstehende Definition sogar noch
> einen Schritt weiter fuehren. Es sei M1 eine Teilmenge von M. Dann
> ist M1 v M = M. v ist das Symbol fuer die Bildung der Vereinigungsmenge.
> Wendet man dies auf die Definition der natuerlichen Zahlen an, dann gilt
>
> n = 0 v 1 v 2 v ... v n.
>
> Darin sind die natuerlichen Zahlen 0, 1, 2, ..., n wie oben vereinbart
> nur eine andere Schreibweise fuer die Mengen a_0, a_1, a_2, ..., a_n.
> Die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen von 0 bis n ergibt
> gerade das mengentheoretische Aequivalent der natuerlichen Zahl n.
> Damit ist die Frage beantwortet.

Ich sehe keinerlei Antwort auf die Frage, warum N _Element_ von N ist.
Daraus, dass der Nachfolger (n v {n}) von n jenes n als Teilmenge (und
auch als Element) enthaelt, ist nicht mathematisch nicht ableitbar,
dass die Vereinigungsmenge "aller dieser n" Element von sich selbst
ist.

N ist definiert als "die kleinste Menge", die die 0 als Element
enthaelt und zu jedem Element x auch dessen Nachfolger. Dieses
"kleinste" wird in die Formulierung "Durchschnitt aller Mengen, die 0
und mit jedem x auch dessen Nachfolger enthalten" gegossen. Damit
enthaelt N die 0 und Nachf(0) und Nachf(Nachf(0)) und insbesondere
alle x, die sich durch _endlich_ viele Nachfolgerbildungen als
Nach-Nachfolger von 0 darstellen lassen. Offensichtlich (?) hat die
Menge der "endlichen" Nachfolger von 0 die geforderte Eigenschaft, die
0 und zu jedem x auch dessen Nachfolger zu enthalten. Andererseits
muss auch jede Menge, die die 0 und mit jedem x auch dessen Nachfolger
enthaelt, alle "endlichen" Nachfolger von 0 enthalten. Diese naive
Ueberlegung zeigt, dass die Menge der "endlichen" Nachfolger von 0
eben diese "kleinste Menge" mit den geforderten Eigenschaften ist.

Die Menge N selbst laesst sich nicht durch eine endliche Anzahl von
Nachfolgerbildungen aus 0 herstellen. Also ist N kein Element von N.

> Da die Potenzmengenfunktion allen Elementen eines abzaehlbar unendlichen
> Definitionsbereichs nur endlich viele Funktionswerte zuordnet, ist
> Pot(M) mit M = abzaehlbare Menge ebenfalls abzaehlbar.
>
> Damit ist der einfachste Beweis fuer die Abzaehlbarkeit aller in
> unserer Diskussion vorkommenden Potenzmengen erbracht.

Pardon ? Wenn die "Potenzmengenfunktion", wie immer sie aussehen mag,
den Elementen eines unendlichen Definitionsbereich nur insgesamt
endlich viele Funktionswerte zuordnet, ist diese Funktion zum
Maechtigkeitsvergleich ungeeignet.

> Pot(P) ist die Vereinigungsmenge von P und abzaehlbar unendlich
> vielen Teilmengen T_n.

Nein.

> Die T_n sind die Mengen, die alle Produkte
> von n Primzahlen enthalten. Es muss also bewiesen werden, dass
> alle T_n abzaehlbar unendlich sind.
> T_2 laesst sich darstellen als Vereinigung einer abzaehlbar unendlichen
> Menge von Teilmengen T_2k. Die T_2k enthalten alle Produkte der
> Primzahlen mit der k-ten Primzahl ohne das Quadrat der k-ten Primzahl.
> Die T_2k sind also abzaehlbar und somit auch T_2.
> T_3 laesst sich darstellen als Vereinigung einer abzaehlbar unendlichen
> Menge von Teilmengen T_3k. Die T_3k enthalten alle Produkte der Elemente
> von T_2 mit der k-ten Primzahl, wobei Produkte, die ein Quadrat der
> k-ten Primzahl enthalten unberuecksichtigt bleiben. Die T_3k und somit
> auch T_3 sind also ebenfalls abzaehlbar.
> Entsprechend lassen sich alle T_n als Vereinigung einer abzaehlbar
> unendlichen Menge von Teilmengen T_nk darstellen, wobei die T_nk die
> Produkte der Elemente von T_(n-1) mit der k-ten Primzahl als Elemente
> enthalten. Alle T_n sind also abzaehlbare Mengen.
>
> Zum Gegenbeweis, dass Pot(P) ueberabzaehlbar ist, muesstet Ihr beweisen,
> dass wenigstens eine der Teilmengen T_n ueberabzaehlbar ist. Welche ist
> das?

Dies muessen wir nicht beweisen. da die Vereinigungsmenge dieser T_n
zuzueglich P (die Menge aller Mengen, die aus je n paarweise
verschiedenen Primzahlen bestehen) nicht gleich Pot(P) ist. Die
Vereinigungsmenge aller diese T_n zuzueglich P ist die Menge aller
_endlichen_ Teilmengen von P. Niemand bestreitet, dass P nur
abzaehlbar viele _endliche_ Teilmengen hat, von denen jede umkehrbar
eindeutig auf einen natuerliche Zahl (das Produkt) abbildbar ist.

Aber wie kommst Du zu dem Schluss, dass eine Vereinigung von Mengen
(T_n), deren _Elemente_ die Eigenschaft "endliche Menge" haben,
ploetzlich Elemente besitzt, die diese Eigenschaft nicht mehr haben ?

Wenn Pot(P) die Vereinigungsmenge aller T_n zuzueglich P ist, muesste
die unendliche Menge P, die ja bekanntlich ein Element von Pot(P) ist,
Element eines der T_n oder von P sein (Denn per Definitionem des
Begriffs "Vereinigung" ist x dann und nur dann Element der Veinigung
gewisser Mengen T_n, wenn x Element mindestens eines der T_n
persoenlich ist. Die Vereinigung erfindet keine Elemente hinzu, die
nicht bereits in einer der zu vereinigenden Mengen als Element
enthalten sind)

MfG
Horst

[Dieter Jungmann]

Hallo zusammen,

ich antworte auf das posting von Holger Gollan vom 5. 2.
stellvertretend fuer Alle, weil die Fragen sich wiederholen.

> > Pot(P) ist die Vereinigungsmenge von P und abzaehlbar unendlich

> > vielen Teilmengen T_n. Die T_n sind die Mengen, die alle Produkte

> > von n Primzahlen enthalten. Es muss also bewiesen werden, dass
> > alle T_n abzaehlbar unendlich sind.
>

> NEIN! Entschuldige, dass ich schreie, aber genau hier liegt einer der
> Fehlerpunkte Deiner Argumentation. Was ist mit den Teilmengen von P, die
> unendlich viele Primzahlen enthalten? Die sind doch auch in Pot(P)
> enthalten! In Deiner Vereinigungsmenge kann ich sie aber nicht finden!
>

Sie sind in den T_n enthalten, allerdings am "oberen" Ende. Hier taucht
wieder das Kernproblem der unendlichen Mengen auf, das ich schon mehr-
fach vergeblich zu erlaeutern versucht habe. Um eine neue endlose
Diskussion zu vermeiden, waehle ich einen anderen Weg.

Man bildet eine zusaetzliche Teilmenge T_1 als Vereinigungsmenge aller
T_1n. Laesst man in P nacheinander die 1., 2., 3., ... Primzahl weg,
erhaelt man eine abzaehlbar unendliche Menge von abzaehlbar unendlichen
Teilmengen. Ihre Vereinigungsmenge sei T_11. Entsprechend ist T_12 bzw.
T_1n die Vereinigungsmenge aller Teilmengen, in denen 2 bzw. n ver-
schiedene Primzahlen ausgelassen (aber alle anderen unendlich vielen
Primzahlen beruecksichtigt) werden. Die T_1n sind analog zu den
T_n die Vereinigungsmengen der T_1nk.
Die Elemente von T_1 sind identisch mit denen der Vereinigungsmenge
der T_n. Das wirst Du nicht einsehen, weil Du den Zusammenhang noch
nicht verstanden hast. Macht aber nichts! Die Maechtigkeit von Pot(P)
aendert sich nicht, wenn man die Elemente verdoppelt. Betrachte also
Pot(P) als Vereinigungsmenge von P, T_1 und allen T_n. Jetzt solltest
Du keine Teilmenge mehr vermissen. Falls doch, laesst sie sich analog
ergaenzen. Da man es immer mit abzaehlbar unendlichen Teilmengen zu
tun hat, besteht keine Chance, aus ihnen eine ueberabzaehlbare Menge
zusammenzusetzen. Es waere auch nicht schlimm, wenn eine abzaehlbar
unendliche Menge abzaehlbar unendlicher Mengen vergessen worden waere,
weil die Maechtigkeit der dann entstehenden Teilmenge von Pot(P) die
gleiche waere wie die von Pot(P). Ihr muesstet also nachweisen, dass
eine ueberabzaehlbare Teilmenge nicht beruecksichtigt wurde.

> > Ausserdem sollte Dir klar geworden sein, dass bei komplizierteren
> > Mengen das einzig brauchbare Abzaehlbarkeitskriterim das Kriterium
> > ist, das nach der 1. Definition, auf die wir uns geeinigt haben, von
> > einer Ordnungsrelation Gebrauch macht. Wenn die Ordnungsrelation
> > bekannt ist, ergibt sich die Abbildung auf N von selbst. Von diesem
> > Kriterium hat auch Cantor bei seiner Abbildung der komplizierten Menge
> > Q der rationalen Zahlen auf N Gebrauch gemacht. Ich habe schon mehrfach
> > darauf hingewiesen, dass die Ordnungsrelation der Potenzmengen
> > wesentlich einfacher ist als die von Q. Ich hoffe, dass ich diesen
> > Beweis nicht mehr in allen Einzelheiten vorfuehren muss.
> >
>
> Doch! Die Ordnungsrelation auf den Potenzmengen wuerde mich sehr
> interessieren. Das waere schliesslich einer der Wege, die Abzaehlbarkeit
> der Potenzmenge zu beweisen.

Es sei A = {a_1, a_2, a_3, ...} eine beliebige abzaehlbar unendliche
Menge. Die Elemente von Pot(A) werden folgendermassen geordnet
(hinter --> sind die natuerlichen Zahlen angegeben, auf die man die
Elemente von Pot(A) abbilden kann):
{}, leere Menge, die definitionsgemaess zugefuegt wird --> 0
{a_1} --> 1
{a_2}, {a_2, a_1} --> 2, 3
{a_3}, {a_3, a_1}, {a_3, a_2}, {a_3, a_2, a_1} --> 4, 5, 6, 7
{a_4}, {a_4, a_1}, {a_4, a_2}, {a_4, a_2, a_1}, {a_4, a_3},
{a_4, a_3, a_1}, {a_4, a_3, a_2}, {a_4, a_3, a_2, a_1}
--> 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
...

Die Ordnungsrelation ist leicht erkennbar. Die nullte Zeile enthaelt
nur die leere Menge. Die n-te Zeile beginnt mit der Teilmenge {a_n},
gefolgt von allen Teilmengen, die sich aus der Kombination von a_n mit
allen Teilmengen aller vorangehendnen Zeilen ergeben, wobei die Reihen-
folge der Teilmengen (jetzt erweitert um a_n) unveraendert bleibt.
Dadurch ist es moeglich, unmittelbar die natuerliche Zahl anzugeben,
die jedem Element von Pot(A) zugeordnet ist. Beispiel: dem Element
{a_m, a_n, a_r} ist die Zahl 2^(m-1) + 2^(n-1) + 2^(r-1) zugeordnet.

Es ist auch erkennbar, dass jedes Element von Pot(A) einen Platz in
dieser Folge hat, wenn man sie nur lange genug fortsetzt. Mehr verlangt
das Abzaehlbarkeitskriterium nicht.

Trotzdem wirst Du wahrscheinlich wieder die unendlichen Teilmengen
vermissen. Wir bilden deshalb eine zweite Menge, die in der Zeile 0
nur die Menge A enthaelt. In Zeile 1 befindet sich die Menge A ohne
{a_1}, also A\{a_1}, usw. . Es ergibt sich die Menge
A --> 0
A\{a_1} --> 1
A\{a_2}, A\{a_2, a_1} --> 2, 3
A\{a_3}, A\{a_3, a_1}, A\{a_3, a_2}, A\{a_3, a_2, a_1} --> 4, 5, 6, 7
...

Auch diese Menge ist abzaehlbar unendlich. Man kann jetzt Pot(A) als
Vereinigungsmenge dieser beiden Mengen auffassen. Das bringt aber
nichts neues, weil die beiden Mengen identisch sind, sie unterscheiden
sich nur in der Reihenfolge ihrer Elemente. Die Vereinigung einer Menge
mit sich selbst ergibt wieder dieselbe Menge.

Tatsaechlich sind auch die unendlichen Teilmengen in der ersten
Aufzaelung enthalten. Beispiel Teilmenge {a_1, a_3, a_5, ...}:
Die Teilmenge {a_1} ist in Zeile 1 enthalten,
die Teilmenge {a_1, a_3} in Zeile 3,
...
die Teilmenge {a_1, a_3, ..., a_n} in Zeile n,
...

Da es keine letzte Zeile gibt (jede Zeile hat eine Nachfolgerin),
gibt es auch Teilmengen, die kein letztes a_n enthalten. Folglich
sind auch die unendlichen Teilmengen in der Aufzaehlung enthalten.
Wenn Du das bestreitest, musst Du den groessten Wert fuer a_n angeben.

Du wirst dieses Ergebnis natuerlich wieder als paradox empfinden.
Aber das ist Dein Problem. Du musst Dich streng an die Definitionen
halten. Welche Konsequenzen zu ziehen sind, wenn die Anwendung der
Definitionen zu einem paradoxen Ergebnis fuehrt, musst Du selbst
entscheiden.

Einen Hinweis fuer ein besseres Verstaendnis erhaeltst Du
vielleicht, wenn Du Deine Aussage zu den natuerlichen Zahlen
noch einmal ueberdenkst:

>
> Nein, ich meine nicht diesen Satz! Ich meine z.B.:
> Sei T_n = { 1 , 2 , ... , n } die Menge der ersten n natuerlichen
> Zahlen. Dann besitzt T_n fuer jedes n ein groesstes Element. Die

> Vereinigung aller T_n ist die Menge der natuerlichen Zahlen N. ...

Das ist Dein Irrtum. Die Teilmenge mit dem Index n enthaelt auch
alle Elemente der Teilmengen mit kleinerem Index als n (wenn man
davon ausgeht, dass T_n alle Elemente von 0 bis n enthaelt). Die
Vereinigungsmenge aller T_n ist daher gleich T_n. Du darfst die
Vereinigungsmengen von T_n nicht mit der Bildung der Potenzmenge
von N verwechseln, dort werden die T_n als neue Elemente {T_n}
betrachtet.
(Diesen Fehler habe ich in meinem letzten posting bei der Abbildung
f(D1) auch gemacht. Wenn man D1 durch {D1} ersetzt, vernachlaeesigt
man allerdings nur _ein_ Element, wenn man die Abbildung nicht
beruecksichtigt. Dadurch aendert sich die Maechtigkeit der
Potenzmenge nicht. Ich gehe hier nicht naeher darauf ein, weil das
Problem identisch ist mit der oben beschriebenen Ordnungsrelation.)

N ist keine Vereinigungsmenge sondern definitionsgemaess eine
unendliche Folge, sonst nichts! Dagegen ist jede mengentheoretisch
definierte natuerliche Zahl n die Vereinigungsmenge aller Zahlen
von 0 bis einschliesslich n. Das folgt unmittelbar aus der Definition,
auf die wir uns geeinigt haben. Ausserdem ist die mengentheoretische
Zahl n eine Menge mit n Elementen. Wenn es unendlich viele natuerliche
Zahlen gibt, gibt es auch Zahlen (= Mengen) mit unendlich vielen
Elementen.
Zu ihrer Darstellung im Dualsystem benoetigt man Folgen von unendlich
vielen Zweierpotenzen, die als Summanden einer endlosen Reihe zu
einer Zahl zusammengefasst werden. Fasst man in obiger Ordnungs-
relation A als Menge D1 der Zweierpotenzen auf, so folgt, dass auch
die unendlichen Teilmengen von D1 eine Abbildung auf N haben, sonst
muesste man die Existenz von natuerlichen Zahlen mit unendlich vielen
Binaerstellen leugnen, woraus aus dem untrennbaren Zusammenhang mit
der Anzahl der natuerlichen Zahlen folgen wuerde, dass N endlich ist.
In diesem Fall muesstet Ihr angeben, wie gross die maximale Zahl von
Elementen der Menge B der Binaerstellen (entspricht Anzahl der Zweier-
potenzen) ist. Wenn Ihr das nicht koennt, weil es zu jedem Element
von B einen Nachfolger gibt, ist bewiesen, dass die unendlichen
Teilmengen von A eine Abbildung auf N haben.

Ich komme nochmal auf den unverstandenen Beweis des Satzes von Cantor
zurueck.

> ... Ich zitiere aus H.-D. Ebbinghaus,

> Einfuehrung in die Mengenlehre, B. I. Wissenschaftsverlag, 3. Auflage,
> 1994, S.133/134. Es bedeutet
> el = Element von
> /el = nicht Element von
> /ex = es existiert nicht
> glm = gleichmaechtig
> -< = weniger maechtig als
>
> Zitat:
> 1.6 Satz von Cantor. x -< Pot(x)
>
> Beweis. Die auf x definierte Funktion g mit g(u) = {u} fuer u el x
> ist eine Injektion von x in Pot(x). Wir zeigen, dass es keine Funktion
> von x auf Pot(x) geben kann. Dann ist /ex x glm Pot(x), und wir sind
> fertig. Waere f eine Funktion von x auf Pot(x), so waere die Menge
> z := {u el x | u /el f(u)} Element von Bild(f). Also gaelte fuer ein
> geeignetes v el x, dass z = f(v). Nach Definition von z ergaebe sich
> v el z <--> v /el z, also ein Widerspruch. (Es war dieser Beweis Cantors,
> der Russel die Idee zu seiner Antinomie lieferte: Man ersetze x durch
> das Universum und f durch die Identitaetsoperation.)
> Ende des Zitats.
>

Zur Erlaeuterung: x ist eine abzaehlbar unendliche Menge. Sie ist der
Definitionsbereich der Funktion f. Pot(x) ist der Zielbereich von f.
Mit der Aussage, f ist eine Funktion von x "auf" Pot(x), ist gemeint,
dass der Bildbereich von f identisch ist mit dem Zielbereich und nicht
nur eine Teilmenge davon.
Die Elemente u von x sind Teilmengen {u} von Pot(x). Deshalb existiert
die im ersten Satz des Beweises definierte Injektion von x in Pot(x).
Weitere Bedingungen werden nicht an den Zielbereich von f(x) gestellt.
Auf jeden anderen Zielbereich, der die Mengen {u} als Elemente enthaelt,
ist der Beweis daher ebenfalls anwendbar.
Es sei x = N und Q die Menge der positiven rationalen Zahlen. N ist
Teilmenge von Q. V sei die Menge aller {u} und {a, b}, mit u, a, b el N,
a, b teilerfremd und a /= b. Q laesst sich bijektiv auf V abbilden.
Ersetzt man in obigem Beweis x durch N und Pot(x) durch V, so folgt,
dass N weniger maechtig ist als Q!

Entsprechend kann man fuer alle abzaehlbar unendlichen Mengen beweisen,
dass sie maechtiger sind als N. Es sei U die Menge aller {u} mit u el N
und M die Menge der Quadratzahlen mit n^2 el M und n el N. S sei die
Menge aller {{n^2}} und V die Vereinigungsmenge von U und S.
Da sich M bijektiv auf S abbilden laesst, sind M und V gleichmaechtig.
Ersetzt man in obigem Beweis wieder x durch N und Pot(x) durch V,
dann folgt, dass V und damit auch M maechtiger ist als N.

Gruss

Dieter

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo zusammen,
>

Hallo Dieter,

> ich antworte auf das posting von Holger Gollan vom 5. 2.
> stellvertretend fuer Alle, weil die Fragen sich wiederholen.
>

ich glaube, dass wir uns so langsam einer Entscheidung naehern, auch
wenn ich befuerchte, dass wir nicht wirklich zusammen kommen.

Dazu einige Anmerkungen:
1) Du glaubst uns ja nicht, dass es ueberabzaehlbare Mengen gibt. Wie
sollen wir dann beweisen, dass eine solche in Deiner Liste fehlt?
2) Es ist schon so, dass Du beweisen musst, dass Deine Liste
vollstaendig ist. Nur als Hinweis aber die folgende Betrachtung:
3) Wenn ich Dich richtig verstehe, dann nimmst Du zu den Teilmengen, die
endlich viele Primzahlen enthalten, jetzt noch solche hinzu, bei denen
endlich viele fehlen. Auch diese Mengen sind alle abzaehlbar, kein
Widerspruch.
Aber! Was ist mit solchen Teilmengen, bei denen unendlich viele
Primzahlen fehlen? Wo finden sich diese in Deiner Liste? Das Problem ist
naemlich, dass DU darauf keine so schoene Ordnung definieren kannst.

Wie Du selbst im naechsten Satz feststellst, fehlen natuerlich bei
dieser Anordnung die unendlichen Teilmengen!

> Trotzdem wirst Du wahrscheinlich wieder die unendlichen Teilmengen
> vermissen. Wir bilden deshalb eine zweite Menge, die in der Zeile 0
> nur die Menge A enthaelt. In Zeile 1 befindet sich die Menge A ohne
> {a_1}, also A\{a_1}, usw. . Es ergibt sich die Menge
> A --> 0
> A\{a_1} --> 1
> A\{a_2}, A\{a_2, a_1} --> 2, 3
> A\{a_3}, A\{a_3, a_1}, A\{a_3, a_2}, A\{a_3, a_2, a_1} --> 4, 5, 6, 7
> ...
>
> Auch diese Menge ist abzaehlbar unendlich. Man kann jetzt Pot(A) als
> Vereinigungsmenge dieser beiden Mengen auffassen. Das bringt aber
> nichts neues, weil die beiden Mengen identisch sind, sie unterscheiden
> sich nur in der Reihenfolge ihrer Elemente. Die Vereinigung einer Menge
> mit sich selbst ergibt wieder dieselbe Menge.
>

Ich bezweifle einfach mal, dass diese beiden Mengen identisch sind, da
es sich in der ersten Aufstellung immer um endliche und in der zweiten
immer um unendliche Teilmengen handelt. Aber das ist gar nicht allein
das Problem.

> Tatsaechlich sind auch die unendlichen Teilmengen in der ersten
> Aufzaelung enthalten. Beispiel Teilmenge {a_1, a_3, a_5, ...}:
> Die Teilmenge {a_1} ist in Zeile 1 enthalten,
> die Teilmenge {a_1, a_3} in Zeile 3,
> ...
> die Teilmenge {a_1, a_3, ..., a_n} in Zeile n,
> ...
>

Das ist das eigentliche Verstaendnisproblem, was auch noch einmal weiter
unten deutlich wird. Die erste Auflistung enthaelt unendlich viele
Mengen, aber jede einzelne von ihnen ist endlich. Daher kannst Du auch
an keiner Stelle in dieser Liste eine unendliche Menge wiederfinden.
Natuerlich sind unendliche Teilmengen in der zweiten Auflistung
enthalten, schliesslich sind alle Teilmengen dort unendlich. Es lassen
sich aber nicht alle unendlichen Teilmengen dort finden. Wie weiter oben
mit den T_? hast Du wieder das Problem, dass Du nur solche Teilmengen
betrachtest, bei denen endlich viele Elemente fehlen. Die Teilmengen,
denen unendlich viele Elemente fehlen finden sich in keiner Deiner
Auflistungen. Somit kann auch keine Rede davon sein, dass Du die
Potenzmenge vollstaendig geordnet haettest.

> Da es keine letzte Zeile gibt (jede Zeile hat eine Nachfolgerin),
> gibt es auch Teilmengen, die kein letztes a_n enthalten. Folglich
> sind auch die unendlichen Teilmengen in der Aufzaehlung enthalten.
> Wenn Du das bestreitest, musst Du den groessten Wert fuer a_n angeben.
>

Eben nicht! Jede Teilmenge, die Du per Konstruktion in Deine
Ordnungsrelation einfuegst, ist endlich, besitzt also ein "letztes a_n".
Betrachten wir noch einmal Deine Konstruktion.
Wenn nur a_1 auftaucht, dann ist die max. Position in der Liste 1 = 2^1
- 1.
Wenn maximal a_2 auftaucht, dann ist die max. Position 3 = 2^2 - 1.
Wenn maximal a_3 auftaucht, dann ist die max. Position 7 = 2^3 - 1.
Wenn also eine unendliche Menge in dieser Liste auftauchen wuerde,
haette sie eine Position m. Sei 2^n die kleinste 2er-Potenz, die
groesser als m ist. Dann folgt aus obiger Argumentation, dass maximal
a_1 , ... , a_n in der Menge auftauchen koennen. Die Menge kann also
nicht unendlich sein, Widerspruch!

> Du wirst dieses Ergebnis natuerlich wieder als paradox empfinden.
> Aber das ist Dein Problem. Du musst Dich streng an die Definitionen
> halten. Welche Konsequenzen zu ziehen sind, wenn die Anwendung der
> Definitionen zu einem paradoxen Ergebnis fuehrt, musst Du selbst
> entscheiden.
>

Die Frage ist doch, wie wir mit Deiner Definition N = {1,2,3,...}
umgehen. Nach meinem Verstaendnis ist damit gemeint, dass jede
natuerliche Zahl ihren festen Platz in der Menge (Folge, Liste) der
natuerlichen Zahlen hat. Es bedeutet aber auch, dass jede natuerliche
Zahl fuer sich betrachtet endlich ist, was Du nach Deinen Aussagen
weiter unten allerdings bestreitest. Ich sehe aber nicht, wie aus dieser
Definition die Existenz unendlicher natuerlicher Zahlen folgt.
Ausserdem bezweifle ich, dass die Problematik obiger Aufzaehlungen mit
der Definition der natuerlichen Zahlen zu tun hat. Du musst zunaechst
einmal beweisen, dass Deine Aufzaehlung vollstaendig ist, jedes
vorgesehene Element erfasst und diesem eine eindeutige Position in
dieser Liste zuordnet. Erst dann kannst Du aus Deiner Definition
schliessen, dass Deine Menge abzaehlbar ist.
(PS: Wenn Du jedem Element eine eindeutige Position in der Liste
zuordnest, dann definierst Du genau eine solche Abbildung, wie sie
normalerweise zum Beweis der Gleichmaechtigkeit benutzt wird. Daher sehe
ich bis heute nicht, warum Du unbedingt mit Deinen eigenen Definitionen
arbeiten willst.)

> Einen Hinweis fuer ein besseres Verstaendnis erhaeltst Du
> vielleicht, wenn Du Deine Aussage zu den natuerlichen Zahlen
> noch einmal ueberdenkst:
> >
> > Nein, ich meine nicht diesen Satz! Ich meine z.B.:
> > Sei T_n = { 1 , 2 , ... , n } die Menge der ersten n natuerlichen
> > Zahlen. Dann besitzt T_n fuer jedes n ein groesstes Element. Die
> > Vereinigung aller T_n ist die Menge der natuerlichen Zahlen N. ...
>
> Das ist Dein Irrtum. Die Teilmenge mit dem Index n enthaelt auch
> alle Elemente der Teilmengen mit kleinerem Index als n (wenn man
> davon ausgeht, dass T_n alle Elemente von 0 bis n enthaelt). Die
> Vereinigungsmenge aller T_n ist daher gleich T_n. Du darfst die
> Vereinigungsmengen von T_n nicht mit der Bildung der Potenzmenge
> von N verwechseln, dort werden die T_n als neue Elemente {T_n}
> betrachtet.

Dann war das vielleicht etwas missverstaendlich ausgedrueckt. Gemeint
ist das Folgende: Fuer jede einzelne natuerliche Zahl n, die uebrigens
per Definition endlich ist, weil ich sie in endlich vielen
Iterationsschritten erreichen kann, ist T_n natuerlich die
Vereinigungsmenge alle T_i mit i <= n. Insbesondere besitzt dann T_n ein
groesstes Element, naemlich n. Die Vereinigung aller, unendlich vielen,
T_n ist die Menge der natuerlichen Zahlen. Sie ist selbst keine
natuerliche Zahl, da ich sie nicht in endlich vielen Iterationsschritten
erreichen kann, und sie besitzt auch kein groesstes Element.
Das meine ich damit, wenn ich sage, dass die abzaehlbare Vereinigung von
endlichen Menge mit einer bestimmten Eigenschaft diese Eigenschaft nicht
mehr unbedingt besitzen muss.

> (Diesen Fehler habe ich in meinem letzten posting bei der Abbildung
> f(D1) auch gemacht. Wenn man D1 durch {D1} ersetzt, vernachlaeesigt
> man allerdings nur _ein_ Element, wenn man die Abbildung nicht
> beruecksichtigt. Dadurch aendert sich die Maechtigkeit der
> Potenzmenge nicht. Ich gehe hier nicht naeher darauf ein, weil das
> Problem identisch ist mit der oben beschriebenen Ordnungsrelation.)
>

Ich sehe nicht, dass ich einen Fehler begangen habe, und schon gar nicht
den selben wie Du. Zur weiteren Argumentation folgende Anmerkungen:
1) Natuerlich steht und faellt die Frage der Abzaehlbarkeit nicht damit,
dass man ueber das Bild eines einzigen Elements vielleicht keine Aussage
machen kann. Die Frage nach f(D1) war aber nur ein Beispiel, um Dir zu
zeigen, dass Deine Vorschrift keine wirkliche Abbildung von Pot(D1)
beschreibt. Du kannst D1 gerne durch jede andere unendliche Teilmenge M
von D1 ersetzen. Jedes Mal wird es Dir nicht gelingen, f(M) anzugeben.
Ich hatte allerdings Probleme, all diese unendlichen Teilmengen M in
meinem Posting anzugeben, da es sich meiner Meinung nach dabei um
ueberabzaehlbat viele handelt.
2) Was soll {D1} in diesem Zusammenhang bedeuten? Pot(D1) ist die Menge
aller Teilmengen von D1. Fuer jedes Element x von D1 ist {x} eine
Teilmenge von D1, also ein Element von Pot(D1). Ausserdem ist D1 selbst
eine Teilmenge von D1, also ist D1 selbst ein Element von Pot(D1). Es
gibt aber kein Element {D1} von Pot(D1).

> N ist keine Vereinigungsmenge sondern definitionsgemaess eine
> unendliche Folge, sonst nichts! Dagegen ist jede mengentheoretisch
> definierte natuerliche Zahl n die Vereinigungsmenge aller Zahlen
> von 0 bis einschliesslich n. Das folgt unmittelbar aus der Definition,
> auf die wir uns geeinigt haben. Ausserdem ist die mengentheoretische
> Zahl n eine Menge mit n Elementen. Wenn es unendlich viele natuerliche
> Zahlen gibt, gibt es auch Zahlen (= Mengen) mit unendlich vielen
> Elementen.

Ob ich N nun als Vereinigungsmenge oder ueber eine unendliche Folge
definiere, ist mir persoenlich ziemlich egal. Die Folgendefinition ist
zwar nicht ganz sauber, wie von anderen hier schon gepostet wurde, und
ich glaube auch, dass man die Folgendefinition erst dann wirklich
korrekt hinschreiben kann, wenn man sich vorher schon Gedanken darueber
gemacht hat, was eine natuerliche Zahl ueberhaupt ist. Aber ich hatte
immer das Gefuehl, dass ich mit dieser Vereinfachung leben koennte.
Entscheidend ist aber Dein letzte obiger Satz, der meiner Meinung nach
das ganze Problem unserer Diskussion zusammen fasst. Warum muss es
natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Elementen geben? Jede einzelne
natuerliche Zahl entsteht aus einem endlichen Iterationsprozess und
besitzt daher nur endlich viele Elemente. Es gibt zwar unendlich viele
solcher Zahlen, aber jede einzelne fuer sich ist endlich.
Ich glaube, dass das der entscheidende Fehler in Deinen
Argumentationsketten ist und Du solltest versuchen, dieses
Verstaendnisproblem zu loesen. Die Menge der natuerlichen Zahlen ist
unendlich, aber jede einzelne natuerliche Zahl besteht, als Menge
betrachtet, aus endlich vielen Elementen, und hat daher, egal ob in
Binaer- oder Dezimaldarstellung, nur endlich viele Stellen.

> Zu ihrer Darstellung im Dualsystem benoetigt man Folgen von unendlich
> vielen Zweierpotenzen, die als Summanden einer endlosen Reihe zu
> einer Zahl zusammengefasst werden. Fasst man in obiger Ordnungs-
> relation A als Menge D1 der Zweierpotenzen auf, so folgt, dass auch
> die unendlichen Teilmengen von D1 eine Abbildung auf N haben, sonst
> muesste man die Existenz von natuerlichen Zahlen mit unendlich vielen
> Binaerstellen leugnen, woraus aus dem untrennbaren Zusammenhang mit
> der Anzahl der natuerlichen Zahlen folgen wuerde, dass N endlich ist.
> In diesem Fall muesstet Ihr angeben, wie gross die maximale Zahl von
> Elementen der Menge B der Binaerstellen (entspricht Anzahl der Zweier-
> potenzen) ist. Wenn Ihr das nicht koennt, weil es zu jedem Element
> von B einen Nachfolger gibt, ist bewiesen, dass die unendlichen
> Teilmengen von A eine Abbildung auf N haben.
>

Dieser Abschnitt und seine Argumentation machen nur Sinn, wenn man
natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen anerkennt. Du wirst in
dieser Newsgroup aber kaum jemanden finden, der Dir da zustimmt. Und wie
oben dargelegt sehe ich auch nicht, wie das aus einer der Definitionen
folgt, die im Laufe dieses Threads ausgetauscht wurden.
(PS: Haettest Du von Beginn an geschrieben, dass Du natuerliche Zahlen
mit unendlich vielen Stellen zulaesst, dann haaetten wir uns viele
Postings ersparen koennen.)
Uebrigens hat die obige Schlussargumentation mit der Menge der
Binaerstellen wieder die gleiche Problematik. Fuer jede einzelne
natuerliche Zahl benoetigt man nur endlich viele Binaerstellen, es gibt
aber keine obere Schranke fuer die Anzahl der Binaerstellen natuerlicher
Zahlen allgemein. Natuerlich kann man zu jeder Stellenzahl eine
endliche, natuerliche Zahl angeben, die mehr Binaerstellen benoetigt.
Das bedeutet aber nicht, dass es auch natuerliche Zahlen mit unendlich
vielen Binaerstellen gibt.

Nun ja, die Bedingung, dass f eine Funktion auf Pot(x) sein soll, Pot(x)
also der Bildbereich von f sein soll, ist schon eine recht starke
Bedingung, und wird eben nicht von allen moeglichen Funktionen von x
erfuellt.
Nach Definition von z kann man naemlich nur sagen, dass z eine Teilmenge
von x, also ein Element von Pot(x) ist. Und weil f surjektiv ist, weiss
man, dass ein Urbild zu z existiert. Wenn der Ziel- und Bildbereich von
f nicht Pot(x) waere, dann koennte man auch nicht auf die Existenz eines
Urbilds zu z schliessen.
Ich verstehe daher nicht ganz Deine Argumentation, dass an den
Zielbereich von f keine weitere Bedingung gestellt wird. Mehr als das,
was oben steht, kann nun wirklich nicht verlangt werden.

> Es sei x = N und Q die Menge der positiven rationalen Zahlen. N ist
> Teilmenge von Q. V sei die Menge aller {u} und {a, b}, mit u, a, b el N,
> a, b teilerfremd und a /= b. Q laesst sich bijektiv auf V abbilden.
> Ersetzt man in obigem Beweis x durch N und Pot(x) durch V, so folgt,
> dass N weniger maechtig ist als Q!
>

Sorry, aber ich verstehe Deinen Schluss nicht!
Wir setzen mal voraus, dass es eine Funktion f von x (N) auf V (Q) gibt.
Bilde nun analog zu obigem Beweis die Menge z = { u /el x | u /el f(u)
}. Was nun?
Das Einzige, was man weiss, ist die Tatsache, dass z eine Teilmenge von
x (N) ist. Und weiter? Wieso muss z ein Urbild besitzen? Ist z
ueberhaupt ein Element des Bildbereichs? z ist Teilmenge von x (N), und
daher mit Hilfe der Bijektion Teilmenge von V (Q), aber es ist kein
Element von V (Q). Deswegen braucht man die Potenzmenge in obigem
Beweis, da man sonst kein Urbild zu z findet und daher auch nicht zum
Widerspruch kommt.
Oder habe ich etwas uebersehen?

> Entsprechend kann man fuer alle abzaehlbar unendlichen Mengen beweisen,
> dass sie maechtiger sind als N. Es sei U die Menge aller {u} mit u el N
> und M die Menge der Quadratzahlen mit n^2 el M und n el N. S sei die
> Menge aller {{n^2}} und V die Vereinigungsmenge von U und S.
> Da sich M bijektiv auf S abbilden laesst, sind M und V gleichmaechtig.
> Ersetzt man in obigem Beweis wieder x durch N und Pot(x) durch V,
> dann folgt, dass V und damit auch M maechtiger ist als N.
>

Das funktioniert natuerlich aus dem selben Grund ebenfalls nicht, da die
Teilmenge z von N auch in diesem Fall kein Element von V ist, und daher
wiederum nicht auf die Existenz eines Urbilds von z geschlossen werden
kann, was fuer den Widerspruch aber notwendig ist.

> Gruss
>
> Dieter

Wie ganz zu Beginn geschrieben, hat Dein letztes Posting einiges klarer
werden lassen. Mir fallen da ganz konkret zwei Dinge ein, die Du Dir
wirklich noch einmal ganz in Ruhe ansehen solltest:
1) Die Definition der natuerlichen Zahlen (welche auch immer). Versuche,
Dir klar darueber zu werden, ob und warum es natuerliche Zahlen mit
unendlich vielen Stellen gibt oder nicht. Wenn Du auch weiterhin der
Ueberzeugung bist, dass es solche unendlichen Zahlen gibt, dann solltest
Du aber auch ein Argument liefern, was die Existenz solcher Zahlen aus
den Definitionen (Axiomen) folgert.
2) Das Ueberdecken der Potenzmengen durch abzaehlbar viele abzaehlbare
Teilmengen. Versuche Dir klar darueber zu werden, dass Deine Versuche zu
Beginn des Postings entweder nur die endlichen Teilmengen, oder nur die
Teilmengen mit endlichen Luecken beinhalteten, und dass es noch andere
Teilmengen gibt, die von Dir nicht erfasst wurden.

Und melde Dich ruhig noch einmal. Vielleicht haben die ganzen
Diskussionen ja doch etwas gebracht.

[Thomas Haunhorst]

On Thu, 08 Feb 2001 02:59:23 +0100,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>
>ich antworte auf das posting von Holger Gollan vom 5. 2.
>stellvertretend fuer Alle, weil die Fragen sich wiederholen.

In meinem letzten Posting habe ich keine Frage gestellt, sondern gezeigt,
dass Deine Behauptung, dass N ein Element von N sei, falsch ist.

>> > Pot(P) ist die Vereinigungsmenge von P und abzaehlbar unendlich
>> > vielen Teilmengen T_n. Die T_n sind die Mengen, die alle Produkte
>> > von n Primzahlen enthalten. Es muss also bewiesen werden, dass
>> > alle T_n abzaehlbar unendlich sind.
>>

>> Was ist mit den Teilmengen von P, die
>> unendlich viele Primzahlen enthalten? Die sind doch auch in Pot(P)
>> enthalten! In Deiner Vereinigungsmenge kann ich sie aber nicht finden!
>>
>Sie sind in den T_n enthalten, allerdings am "oberen" Ende.

T_n ist aber nach Deiner Definition die Menge {k aus N| k kleiner oder
gleich n} und diese ist endlich und ebenso sind alle Elemente von T_n
endlich. Also sind dort keine unendlichen Teilmengen der Primzahlen enthalten.
Hier nochmal Deine Definition von T_n:

DJ>Es sei T_n die Teilmenge von N, die alle Elemente von 0 bis n enthaelt.

>Es sei A = {a_1, a_2, a_3, ...} eine beliebige abzaehlbar unendliche
>Menge. Die Elemente von Pot(A) werden folgendermassen geordnet
>(hinter --> sind die natuerlichen Zahlen angegeben, auf die man die
>Elemente von Pot(A) abbilden kann):
>{}, leere Menge, die definitionsgemaess zugefuegt wird --> 0
>{a_1} --> 1
>{a_2}, {a_2, a_1} --> 2, 3
>{a_3}, {a_3, a_1}, {a_3, a_2}, {a_3, a_2, a_1} --> 4, 5, 6, 7
>{a_4}, {a_4, a_1}, {a_4, a_2}, {a_4, a_2, a_1}, {a_4, a_3},
> {a_4, a_3, a_1}, {a_4, a_3, a_2}, {a_4, a_3, a_2, a_1}
> --> 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15
>...
>

Ich sehe hier nur, dass endlichen Mengen eine natuerliche Zahl zugeordnet
wird (und 3 Punkte).

>Trotzdem wirst Du wahrscheinlich wieder die unendlichen Teilmengen
>vermissen. Wir bilden deshalb eine zweite Menge, die in der Zeile 0
>nur die Menge A enthaelt. In Zeile 1 befindet sich die Menge A ohne
>{a_1}, also A\{a_1}, usw. . Es ergibt sich die Menge
>A --> 0
>A\{a_1} --> 1
>A\{a_2}, A\{a_2, a_1} --> 2, 3
>A\{a_3}, A\{a_3, a_1}, A\{a_3, a_2}, A\{a_3, a_2, a_1} --> 4, 5, 6, 7
>...
>

>Man kann jetzt Pot(A) als
>Vereinigungsmenge dieser beiden Mengen auffassen.

Nein, die Menge C:=A\{a_n|n ist gerade} ist nicht in dieser Liste enthalten.
Waere sie dort enthalten, so gaebe es eine endliche Menge B, bestehend
aus irgendwelchen a_k (s.o. - Du entfernst immer nur endlich viele Elemente
aus A) mit C=A\B. Wir finden, da B endlich ist, ein gerades n, so dass a_n
nicht in B ist. Also ist a_n in A\B, aber nicht in C, somit C ungleich A\B -
Widerspruch. Also gibt es kein endliches B mit C=A\B.

Die Vereinigung der Menge der endlichen Mengen von A mit der Menge
{A\B|B ist endlich} enthaelt also nicht die Menge C. C ist aber auch nicht
in der Menge der endlichen Mengen.

>Das bringt aber
>nichts neues, weil die beiden Mengen identisch sind,

Eben nicht. Sie sind sogar disjunkt (bei unendichem A).

>N ist keine Vereinigungsmenge sondern definitionsgemaess eine
>unendliche Folge, sonst nichts!

N ist definiert als die kleinste induktive Menge.

>Entsprechend kann man fuer alle abzaehlbar unendlichen Mengen beweisen,
>dass sie maechtiger sind als N.

Unsinn. N ist abzaehlbar unendlich. Nach Deinem Satz waere dann N maechtiger
als N.

Im Ebbinghaus ist definiert: Eine Menge heisse abzaehlbar unendlich, wenn
ihre Kardinalitaet Aleph_0 ist. Das heisst also, wenn sie gleichmaechtig
mit N ist.

Gruss

Thomas.
--

[Franz Prilmeier]

Hi, blöde Frage,

aber

> 3) Wenn ich Dich richtig verstehe, dann nimmst Du zu den Teilmengen, die
> endlich viele Primzahlen enthalten, jetzt noch solche hinzu, bei denen
> endlich viele fehlen. Auch diese Mengen sind alle abzaehlbar, kein
> Widerspruch.
> Aber! Was ist mit solchen Teilmengen, bei denen unendlich viele
> Primzahlen fehlen? Wo finden sich diese in Deiner Liste? Das Problem ist
> naemlich, dass DU darauf keine so schoene Ordnung definieren kannst.

Sind Mengen mit endlich vielen Primzahlen und Mengen, denen unendliche
viele Primzahlen fehlen nicht irgendwie dasselbe? Oder sind damit Mengen
von unendlich vielen Primzahlen gemeint, denen noch unendlich viele
Primzahlen fehlen (Anschaulich z.B. wir ordnen die Primzahlen der Grösse
nach, dann wäre z.B. die eine Menge der unendlich vielen Primzahlen jede
zweite Primzahl, die andere Menge enthält den Rest)? Gibt's da
Unterschiede zwischen den beiden Mengen?

Im Übrigen verstehe ich von dieser Diskussion kein Wort (vor allem nicht
das, was Dieter sagt). Kann man nicht irgendwie das Niveau absenken,
ohne dass dadurch die Qualität der Diskussion leidet? - Interessieren
würde mich das ganze schon, bin aber nicht gewillt dafür erst dicke
Wälzer über Mengenlehre zu lesen.

Grüsse,
Franz Prilmeier

[Thomas Haunhorst]

On Thu, 08 Feb 2001 13:02:07 +0100,
Franz Prilmeier <franz.p...@stud.tu-muenchen.de> wrote:

>Sind Mengen mit endlich vielen Primzahlen und Mengen, denen unendliche
>viele Primzahlen fehlen nicht irgendwie dasselbe? Oder sind damit Mengen
>von unendlich vielen Primzahlen gemeint, denen noch unendlich viele
>Primzahlen fehlen (Anschaulich z.B. wir ordnen die Primzahlen der Grösse
>nach, dann wäre z.B. die eine Menge der unendlich vielen Primzahlen jede
>zweite Primzahl, die andere Menge enthält den Rest)? Gibt's da
>Unterschiede zwischen den beiden Mengen?

Du sagst den Unterschied selbst. Entferne aus der Menge der nat. Zahlen die
gerade Zahlen und Du hast wieder eine unendliche Menge, naemlich die Menge
der ungeraden Zahlen.

Gruss

Thomas.
--

[Dietmar Trummer]

Franz Prilmeier wrote:
>
> Im Übrigen verstehe ich von dieser Diskussion kein Wort (vor allem nicht
> das, was Dieter sagt). Kann man nicht irgendwie das Niveau absenken,
> ohne dass dadurch die Qualität der Diskussion leidet? - Interessieren
> würde mich das ganze schon, bin aber nicht gewillt dafür erst dicke
> Wälzer über Mengenlehre zu lesen.

Hallo Franz!
Blöde Fragen gibts in der Mathematik nicht, das muss man sich
immer merken! Es gibt nur definierte Begriffe, die man, wenn man
ihre Bedeutung nicht kennt, aber jederzeit erfragen koennen muss.
Dass Du die Deiskussion nicht leicht nachvollziehen kannst, liegt
zu einem grossen Teil an der unklaren Ausdrucksweise von Dieter,
womit auch die anderen kaempfen, die sinnvolle Beitraege dazu
liefern wollen.

Schoene Gruesse,
Dietmar

[Horst Kraemer]

On Fri, 02 Feb 2001 02:51:00 +0100, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

> Hallo zusammen,

Gestatte, dass ich versuche, den Punkt herauszuoperieren, der nach
nach meiner Meinung zu den Folgerungen fuehrt, denen die Leserschaft
energisch widerspricht, u.a. dass Du beweisen zu koennen glaubst, dass
Pot(N)~N und aehnliches.

Du schreibst:

> Da es keine Ordnungsrelation gibt, mit der es moeglich waere, jedem
> einzelnen Element mit einer individuellen Vorschrift einen Platz in
> einer unendlichen Folge zuzuweisen, ist die Ordnungsrelation einer
> abzaehlbar unendlichen Menge immer ein (beliebiger) Algorithmus,
> der aus den bereits bekannten Elementen den oder die Nachfoger
> definiert. Abzaehlbar unendliche Mengen sind daher immer induktive
> Mengen. Es gilt
> unendliche Folge = abzaehlbar unendliche Menge = induktive Menge.
> Bei der Gleichsetzung (abzaehlbar unendlich = induktiv) wird
> vorausgesetzt, dass die Induktion nicht abgebrochen wird.

Wenn ich Dich richtig verstehe, willst Du damit sagen, dass eine Menge
abzaehlbar genannt werden soll, wenn sie induktiv ist. Fuer mich
bedeutet dies.

1) Es gibt ein Element in M, das wir der Einfachheit halber 0 nennen
wollen (Ein "Anfangselement")

2) Es gibt ein Dingen, das wir Vorschrift, Algorithmus, Funktion oder
wie auch immer nennen koennen, das zu jedem Element x von M ein von x
verschiedenes Element x+ von M liefert, das wir als "Nachfolger"
nennen wollen. Diese "Nachfolgerfunktion" soll gewisse
"selbstverstaendliche" Eigenschaften haben:

3) Verschiedene Elemente von M haben verschiedene Nachfolger (sonst
koennte man in der "Folge" Elemente ueberspringen und es waere keine
Folge)

4) 0 ist nicht Nachfolger irgendeines x in M (sonst wuerde man im
Kreis herumrennen)

Dies scheint mir halbwegs korrekt das zu beschreiben, was Du
vielleicht meinen koenntest. Falls dies bereits der gesamte
Forderungskatalog ist, mit dem Du "abzaehlbar" unendliche gegenueber
beliebigen unendlichen Mengen auszeichnest, dann hast Du leider (fast)
nichts gefordert, denn man kann _jede_ unendliche Menge auf diese
Weise als "Folge" darstellen.

Nimm einfach die Menge der rellen Zahlen >=0 mit 0 als Anfangselement
und definiere fuer alle r: r+ := r+1

Offsichtlich erfuellt diese Definition die obigen Forderungen 1-4. R
ist damit "abzaehlbar", oder ? Richtig. 1/2 hat z.B. keinen
"Vorgaenger". Damit stellt sich heraus, das dies doch keine so
richtige "Folge" ist, sondern ein Sammelsurium von unabhaengigen
nebeneinanderliegenenden Folgen und es ist hier ganz offensichtlich,
dass Du von 0 aus durch Anwendung der Nachfolgerfunktion nie 1/2
erreichen kannst.

Genau das hast Du gemacht, als Du versuchtest zu beweisen, dass Pot(P)
abzaehlbar ist. Du hast versucht, fuer jede Teilmenge, auch fuer
unendliche, einen Nachfolger anzugeben. Selbst wenn Dir dies gelingt,
hast Du nicht gezeigt, dass es sich um eine zusammenhaengende Folge
handelt, die Dir theoretisch erlaubt, von der Menge {2} zur Menge P zu
wandern.

Du hast das entscheidende Detail uebersehen, das den ganzen
Unterschied zwischen Deinen "Folgen", und dem, was man in Mathematik
mit Folge (alias Aequivalent zur Menge der natuerlichen Zahlen)
bezeichnet, ausmacht:

Zuzueglich zu 1-4 verlangt man von einer den Namen "Folge"
verdienenden Menge, dass sie so "klein" ist, dass sie _nicht_ mehr
saemtliche Eigenschaften 1-4 hat, wenn auch nur ein einziges Element
aus der Menge entfernt. Dies ist eine etwas versteckte Formulierung
des PEANOschen Axioms ueber die vollstaendige Inkuktion. Mit anderen
Worten: Man fordert nicht nur, dass die Menge induktiv ist, sondern
dass sie noch zusaetzlich "minimal" ist.

Damit bricht auch Dein Beweisversuch zusammen, denn selbst wenn Du
Pot(P) induktiv dargestellt haettest, sind die endlichen Mengen fuer
sich allein nach Deiner Nachfolgerdefinition bereits in sich induktiv.
also ist Pot(P) bezueglich dieser Nachfolgerfunktion nicht "minimal
induktiv" und damit auch nicht abzaehlbar.

[Nebenbei bemerkt kann man voellig elementar mittels naiver
Mengenlehre ohne Verwendung von "Folgen" oder "natuerlichen Zahlen"
beweisen, dass es keine Bijektion zwischen einer nichtleeren Menge M
und ihrer Potenzmenge geben _kann_. Aber dies ist eine andere
Geschichte. Dieser Beweis ist ein Widerspruchsbeweise und setzt
voraus, dass man an TERTIUM NON DATUR glaubt. Da ich fuerchte, dass Du
dies nicht akzeptiertst, lass ich den Beweis aussen vor... ]

MfG
Horst

[Dieter Jungmann]

Hallo Holger,

auf die Frage nach der Abzaehlbarkeit von Potenzmengen antworte
ich separat, ich beschraenke mich daher hier auf die uebrigen
Aussagen in Deinem posting.

> 1) Du glaubst uns ja nicht, dass es ueberabzaehlbare Mengen gibt. Wie
> sollen wir dann beweisen, dass eine solche in Deiner Liste fehlt?

Seit wann ist Mathematik Glaubenssache? Wenn ich vorab schon alles
glauben soll, sind Beweise ueberfluessig. Aber wer bestimmt dann,
was zu glauben ist?

> 2) Es ist schon so, dass Du beweisen musst, dass Deine Liste
> vollstaendig ist. Nur als Hinweis aber die folgende Betrachtung:

Du versuchst wieder einmal, die Beweislast umzukehren. Auf diesen
Trick falle ich nicht mehr herein. Deine Argumentation erinnert mich
an die Argumentation von religioesen Sekten. Sie definieren z.B.,
dass es Geister gibt. Das laesst sich nicht hundertprozentig sicher
widerlegen. Also haben sie recht?
Ihr stellt die Behauptung auf, dass es ueberabzaehlbare Mengen gibt,
also habt Ihr die Beweislast. Das gilt um so mehr, als sich Cantors
Diagonalbeweis, der Ausloeser der heutigen Mengenlehre, und sein
Beweis dafuer, das Pot(x) maechtiger sei als x, als falsch erwiesen
haben.

> 3) Wenn ich Dich richtig verstehe, dann nimmst Du zu den Teilmengen, die
> endlich viele Primzahlen enthalten, jetzt noch solche hinzu, bei denen
> endlich viele fehlen. Auch diese Mengen sind alle abzaehlbar, kein
> Widerspruch.
> Aber! Was ist mit solchen Teilmengen, bei denen unendlich viele
> Primzahlen fehlen? Wo finden sich diese in Deiner Liste? Das Problem ist
> naemlich, dass DU darauf keine so schoene Ordnung definieren kannst.

Wieso redest Du schon wieder von Teilmengen, die endlich viele Primzahlen
enthalten? Diese sind zwar auch in den T_n enthalten. Fuer den Index n
gibt es aber keinen groessten Wert. In der Vereinigungsmenge der T_n
sind daher auch alle Teilmengen mit unendlich vielen Primzahlen enthalten.
Oder kannst Du eine obere Grenze fuer die Anzahl der Primzahlen angeben?

> (PS: Wenn Du jedem Element eine eindeutige Position in der Liste
> zuordnest, dann definierst Du genau eine solche Abbildung, wie sie
> normalerweise zum Beweis der Gleichmaechtigkeit benutzt wird. Daher sehe
> ich bis heute nicht, warum Du unbedingt mit Deinen eigenen Definitionen
> arbeiten willst.)

Ich verwende keine eigenen Definitionen. Wahrscheinlich meinst Du hier
die Definition 1 fuer das Abzaehlbarkeitskriterium. Du kannst sie,
anders formuliert, z.B. auf S. 8 in dem bereits mehrfach erwaehnten
Buch von Ebbinghaus nachlesen. Wie Du richtig sagst, unterscheidet
sich diese Methode in der praktischen Anwendung nicht von der Methode
der Abbildung auf N. Die grundlegene Definition 1 ist noetig, um den
Begriff "Abzaehlbar" definieren zu koennen noch bevor die erste
abzaehlbare Menge definiert wurde.

> Dann war das vielleicht etwas missverstaendlich ausgedrueckt. Gemeint
> ist das Folgende: Fuer jede einzelne natuerliche Zahl n, die uebrigens
> per Definition endlich ist, weil ich sie in endlich vielen
> Iterationsschritten erreichen kann, ist T_n natuerlich die
> Vereinigungsmenge alle T_i mit i <= n. Insbesondere besitzt dann T_n ein
> groesstes Element, naemlich n. Die Vereinigung aller, unendlich vielen,
> T_n ist die Menge der natuerlichen Zahlen. Sie ist selbst keine
> natuerliche Zahl, da ich sie nicht in endlich vielen Iterationsschritten

> erreichen kann, ...

wie kannst Du dann die Vereinigungsmenge bilden, wenn nicht alle Elemente
erreichbar sind?

> ... und sie besitzt auch kein groesstes Element.

> Das meine ich damit, wenn ich sage, dass die abzaehlbare Vereinigung von
> endlichen Menge mit einer bestimmten Eigenschaft diese Eigenschaft nicht
> mehr unbedingt besitzen muss.

Das heisst also: Es gibt eine endliche Anzahl natuerliche Zahlen, die
durch Iterationsschritte definiert sind (welches ist die groesste?),
und eine unendliche Anzahl von nicht durch Iterationsschritte definierten
natuerlichen Zahlen. N ist die Vereinigungsmenge der endlichen Menge
definierter mit der unendlichen Menge undefinierter natuerlicher Zahlen.
Ist das die "sichere" Grundlage der Mengenlehre? Dann braucht man sich
ueber nichts mehr zu wundern.

> Ich sehe nicht, dass ich einen Fehler begangen habe, und schon gar nicht
> den selben wie Du. Zur weiteren Argumentation folgende Anmerkungen:
> 1) Natuerlich steht und faellt die Frage der Abzaehlbarkeit nicht damit,
> dass man ueber das Bild eines einzigen Elements vielleicht keine Aussage
> machen kann. Die Frage nach f(D1) war aber nur ein Beispiel, um Dir zu
> zeigen, dass Deine Vorschrift keine wirkliche Abbildung von Pot(D1)
> beschreibt. Du kannst D1 gerne durch jede andere unendliche Teilmenge M
> von D1 ersetzen. Jedes Mal wird es Dir nicht gelingen, f(M) anzugeben.
> Ich hatte allerdings Probleme, all diese unendlichen Teilmengen M in
> meinem Posting anzugeben, da es sich meiner Meinung nach dabei um
> ueberabzaehlbat viele handelt.

Und mit der Meinung Seiner Majestaet soll ich mich gefaelligst zufrieden
geben! In der Mathematik zaehlen Beweise, nicht Meinungen. Es waere
hoechst aufschlussreich, zu erfahren, wie Du aus einer abzaehlbar
unendlichen Menge ueberabzaehlbar viele Teilmengen ableiten willst.

> Entscheidend ist aber Dein letzte obiger Satz, der meiner Meinung nach
> das ganze Problem unserer Diskussion zusammen fasst. Warum muss es
> natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Elementen geben? Jede einzelne
> natuerliche Zahl entsteht aus einem endlichen Iterationsprozess und
> besitzt daher nur endlich viele Elemente. Es gibt zwar unendlich viele
> solcher Zahlen, aber jede einzelne fuer sich ist endlich.
> Ich glaube, dass das der entscheidende Fehler in Deinen
> Argumentationsketten ist und Du solltest versuchen, dieses
> Verstaendnisproblem zu loesen. Die Menge der natuerlichen Zahlen ist
> unendlich, aber jede einzelne natuerliche Zahl besteht, als Menge
> betrachtet, aus endlich vielen Elementen, und hat daher, egal ob in
> Binaer- oder Dezimaldarstellung, nur endlich viele Stellen.

Damit stehst Du im Widerspruch zu Christian Semrau. Er hat in seinem
posting vom 24. 1. 10:57 bestaetigt, dass die Menge B der Binaerstellen
der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig N ist. Wenn Ihr Euch als
Vertreter der Mengenlehre untereinander nicht einigen koennt, wie soll
ich dann vernuenftig mit Euch diskutieren? Einer sagt rechts, der
andere links, ich versuche so gut wie moeglich, auf Eure Argumente zu
antworten und bin dadurch natuerlich gezwungen selbst unterschiedlich
zu argumentieren. Als Folge davon werft Ihr mir fehlende Geradlienig-
keit vor. Ich habe dieses unfaire Spiel langsam satt.
Du wiederholst gebetsmuehlenartig nun schon zum x-ten mal dieselbe
unsinnige Behauptung und weigerst Dich anzugeben, wie gross denn wohl
die endliche Menge B ist. Du bleibst auch die Erklaerung schuldig, wie
Du mit endlich vielen Binaerstellen, Zeichen oder Symbolen eine
unendliche Menge Zahlen darstellen willst.

> Dieser Abschnitt und seine Argumentation machen nur Sinn, wenn man
> natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen anerkennt. Du wirst in
> dieser Newsgroup aber kaum jemanden finden, der Dir da zustimmt. Und wie
> oben dargelegt sehe ich auch nicht, wie das aus einer der Definitionen
> folgt, die im Laufe dieses Threads ausgetauscht wurden.
> (PS: Haettest Du von Beginn an geschrieben, dass Du natuerliche Zahlen
> mit unendlich vielen Stellen zulaesst, dann haaetten wir uns viele
> Postings ersparen koennen.)

Ich habe bereits in meinem Anfangsbeitrag "Widersprueche der
Mengenlehre" klar gesagt, dass ich Zahlen mit unendlich vielen
Stellen als Spekulation ansehe und ablehne. Konsequenterweise
betrachte ich auch unendliche Mengen als Spekulation. Ich habe
auch gezeigt, dass es fuer beides keinen Existenzbeweis gibt.

Die Art, wie in der Mengenlehre argumentiert wird und wie auch
Ihr es immer wieder tut, zwingt mich aber, die Moeglichkeit
der Existenz von Zahlen mit unendlich vielen Stellen mit ein-
zubeziehen. Waehrend ich eine klare Position zu dieser Frage
vertrete, versucht Ihr die Quadratur des Kreises. Die Behauptung,
dass es nur natuerliche Zahlen mit endlich vielen Stellen aber
trotzdem unendlich viele natuerliche Zahlen gibt, ist ein klarer
Widerspruch. Er laesst sich nur aufheben, wenn man die Menge der
natuerlichen Zahlen unterteilt in eine endliche Menge von nat. Zahlen
mit endlich vielen Stellen, das waeren die definierten Zahlen,
und eine unendliche Menge von undefinierten nat. Zahlen, deren
Stellenzahl offen ist. N ist dann die Vereinigungsmenge dieser beiden
Mengen und besteht somit ueberwiegend aus undefinierten nat. Zahlen.
Das ist aber keine serioese Grundlage fuer eine exakte Theorie.
Die andere Alternative waere, N nicht als Vereinigungsmenge
aufzufassen, wogegen Du Dich aber heftig straeubst, sondern
einfach nur als induktive Menge = unendliche Folge, deren Ende
allerdings auch unbestimmt ist.

Zu meiner Kritik am Beweis des Satzes von Cantor schreibst Du:

> Nun ja, die Bedingung, dass f eine Funktion auf Pot(x) sein soll, Pot(x)
> also der Bildbereich von f sein soll, ist schon eine recht starke
> Bedingung, und wird eben nicht von allen moeglichen Funktionen von x
> erfuellt.
> Nach Definition von z kann man naemlich nur sagen, dass z eine Teilmenge
> von x, also ein Element von Pot(x) ist. Und weil f surjektiv ist, weiss
> man, dass ein Urbild zu z existiert. Wenn der Ziel- und Bildbereich von
> f nicht Pot(x) waere, dann koennte man auch nicht auf die Existenz eines
> Urbilds zu z schliessen.
> Ich verstehe daher nicht ganz Deine Argumentation, dass an den
> Zielbereich von f keine weitere Bedingung gestellt wird. Mehr als das,
> was oben steht, kann nun wirklich nicht verlangt werden.

Mehr wird auch nicht verlangt, aber diese Bedingungen werden auch von
allen genannten Vereinigungsmengen V erfuellt. Es ist allerdings eine
Unklarheit zu beheben. Im ersten Satz des Beweises heisst es:

"Die auf x definierte Funktion g mit g(u) = {u} fuer u el x ist eine
Injektion von x in Pot(x)."

Da alle Elemente von x auch Elemente von Pot(x) sind, muesste es
eigentlich heissen g(u) = u. In diesem Fall waere z die leere Menge
und die von mir eingefuehrten Mengen V die Vereinigunsmenge von N
(N enthaelt die leere Menge) und einer beliebigen anderen Menge.

Falls durch {u} angedeutet werden soll, dass die entsprechenden
Elemente von Pot(x) nicht identisch sind mit den Elementen u von x,
muss in den V anstelle von N wie beschrieben die Menge aller {u}
als Teilmenge enthalten sein. In diesem Fall ist z = {x}. In diesem
Fall muss der Vereinigungsmenge V das Element {x} ebenfalls zugefuegt
werden. Dann erfuellt V die gleichen Bedingungen wie Pot(x), soweit
sie in diesem Beweis gebraucht werden.

Gruss

Dieter

[Thomas Haunhorst]

Kann es sein, dass Du den Ebbinghaus zwar in Deinem Schrank stehen hast, aber
stattdessen einen Fantasy-Roman gelesen hast? Schau doch noch mal vorsichts-
halber auf das Cover.

SCNR

Thomas.
--

[Thomas Haunhorst]

On Sun, 11 Feb 2001 01:37:58 +0100,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:

>Es waere hoechst aufschlussreich, zu erfahren, wie Du aus einer abzaehlbar
>unendlichen Menge ueberabzaehlbar viele Teilmengen ableiten willst.

Hm, dieser Beweis ist in der Form |x|<|Pot(x)| hier schon gefuehrt worden.
Liest Du die Postings hier so wie Du den Ebbinghaus liest?

>Ich habe bereits in meinem Anfangsbeitrag "Widersprueche der
>Mengenlehre" klar gesagt, dass ich Zahlen mit unendlich vielen
>Stellen als Spekulation ansehe und ablehne. Konsequenterweise
>betrachte ich auch unendliche Mengen als Spekulation.

Wenn Du unendliche Mengen "konsequenterweise" ablehnst, dann
gibt es auch nicht die

>induktive Menge = unendliche Folge

Aber dann gibt es auch keine kleinste induktive Menge. Konsequenterweise
darfst Du dann auch nicht Pot(N) bilden und Deine "Beweise" werden saemtlich
hinfaellig. Die Frage ist in welchem Axiomensystem man arbeitet. In einem
Axiomensystem, welches "Infinity" ablehnt, gibt es nicht die Menge der nat.
Zahlen. Aber dann versuchst Du in Deinen "Beweisen" aus etwas abzuleiten,
was ueberhaupt nicht zu den Voraussetzungen gehoert und bringst anschliessend
selbst "Infinty" wieder rein. Du kannst ohne "Infinity" ueberhaupt nicht
die Behauptung aufstellen, dass N glm. Pot(N) sei. Durch die Schreibweise
Pot(N) setzt Du schon die Existenz von N voraus und damit das "Unendlich-
keitsaxiom". Wie kannst Du also von etwas die Potenzmenge bilden, wenn
Du die Existenz des "etwas" ablehnst? Schau Dir doch mal das Kapitel zum
Unendlichkeitsaxiom im Ebbinghaus an, dann wird Dir vielleicht einiges klar.

Wenn Du Dich aber auf "Infinity" einlaesst, dann spekulierst Du darauf, dass
es eine unendliche Menge gibt. Dann ist von Dir ein Beweis fuer Deine
Behauptung, dass N glm. Pot(N) sei, zu erbringen. Bis heute konntest
Du noch keine Bijektion angeben.

>Er laesst sich nur aufheben, wenn man die Menge der
>natuerlichen Zahlen unterteilt in eine endliche Menge von nat. Zahlen
>mit endlich vielen Stellen, das waeren die definierten Zahlen,
>und eine unendliche Menge

Lehnst Du nun "Infinity" ab oder nicht, oder machst Du das so nach gutduenken?

>Mehr wird auch nicht verlangt, aber diese Bedingungen werden auch von
>allen genannten Vereinigungsmengen V erfuellt. Es ist allerdings eine
>Unklarheit zu beheben. Im ersten Satz des Beweises heisst es:
>"Die auf x definierte Funktion g mit g(u) = {u} fuer u el x ist eine
>Injektion von x in Pot(x)."
>Da alle Elemente von x auch Elemente von Pot(x) sind, muesste es
>eigentlich heissen g(u) = u.

Wieso? {u} ist im Bild von g. Und ist u ungleich v, so ist {u} ungleich {v}.
Also ist g eine Injektion von x in Pot(x). (*)

Lies einfach nur den Satz

"Die auf x definierte Funktion g mit g(u) = {u} fuer u el x ist eine
Injektion von x in Pot(x)."

und entscheide, ob er erfuellt ist. Das ist er aber (vgl. (*))

>Falls durch {u} angedeutet werden soll, dass die entsprechenden
>Elemente von Pot(x) nicht identisch sind mit den Elementen u von x,

Andeuten? {u} ist im Bild von g. Mehr steht da nicht.

Gruss

Thomas.
--

[Thomas Haunhorst]

On 11 Feb 2001 12:33:43 GMT,
Thomas Haunhorst <Thomas.H...@HEH.Uni-Oldenburg.DE> wrote:

>Wieso? {u} ist im Bild von g.

und {u} ist Element von Pot(x).
--

[Dieter Jungmann]

Hallo zusammen,

offensichtlich muss ich nochmals auf die Abzaehlbarkeit der
Potenzmengen eingehen.

A = {a_1, a_2, a_3, ...} ist eine abzaehlbar unendliche Menge.

Die Elemente von Pot(A) werden folgendermassen geordnet
(hinter --> sind die natuerlichen Zahlen angegeben, auf die man die
Elemente von Pot(A) abbilden kann):

z_0 := {{}}, {leere Menge}, wird definitionsgemaess zugefuegt --> {0}
z_1 := {{a_1}} --> {1}
z_2 := {{a_2}, {a_2, a_1}} --> {2, 3}
z_3 := {{a_3}, {a_3, a_1}, {a_3, a_2}, {a_3, a_2, a_1}} --> {4, 5, 6, 7}
z_4 := {{a_4}, {a_4, a_1}, {a_4, a_2}, {a_4, a_2, a_1}, {a_4, a_3},

{a_4, a_3, a_1}, {a_4, a_3, a_2}, {a_4, a_3, a_2, a_1}}
--> {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
...

Die Ordnungsrelation ist leicht erkennbar. Die nullte Zeile enthaelt

nur die leere Menge. Die n-te Zeile beginnt mit der Teilmenge {a_n},
gefolgt von allen Teilmengen, die sich aus der Kombination von a_n mit

allen Teilmengen aller vorangehendnen Zeilen ab der ersten Zeile
ergeben, wobei die Reihenfolge der Teilmengen (jetzt erweitert um a_n)

unveraendert bleibt. Dadurch ist es moeglich, unmittelbar die
natuerliche Zahl anzugeben, die jedem Element von Pot(A) zugeordnet
ist. Beispiel: dem Element {a_m, a_n, a_r} ist die Zahl
2^(m-1) + 2^(n-1) + 2^(r-1) zugeordnet.

Es ist auch erkennbar, dass jedes Element von Pot(A) einen Platz in
dieser Folge hat, wenn man sie nur lange genug fortsetzt. Mehr verlangt
das Abzaehlbarkeitskriterium nicht.

Zur Erhoehung der Uebersicht sind die Elemente jeder Zeile zu einer
Menge z_n zusammengefasst. Die Menge Z = {z_0, z_1, z_2, ...} ist
eine abzaehlbar _unendliche_ Menge. G ist die Menge, die alle
Elemente der Elemente von Z enthaelt ("grosse" Vereinigungsmenge).
Nach meiner Behauptung ist Pot(A) = G.

Ihr behauptet dagegen, die unendlichen Teilmengen von A seien
nicht in G enthalten. Die Behauptung waere richtig, wenn Z eine
endliche Menge waere und ein groesstes Element z_max enthielte.
Jedes z_n enthaelt alle Teilmengen von A, die sich aus den Elementen
a_1 bis a_n bilden lassen und das Element a_n enthalten.

Da Z kein groesstes Element enthaelt, gibt es auch keine Begrenzung
der a_n, aus denen die Teilmengen zu bilden sind. Folglich sind auch
die unendlichen Teilmengen von A in G enthalten. Wenn Ihr das
bestreitet, muesst Ihr den groessten Wert von a_n und gleichbedeutend
damit von z_n angeben. Es ist zu billig, immer wieder unbewiesene
Behauptungen aufzustellen, nur weil das Resultat nicht zur
vorgefassten Meinung passt.

Natuerlich erscheinen die Teilmengen, die viele Elemente enthalten,
erst weit hinten in der Folge. Das liegt in der Natur der Sache.
Bei einer unendlichen Menge koennen nicht alle Elemente auf den
vorderen Raengen erscheinen. Das ist auch bei der Menge der
natuerlichen Zahlen nicht anders. Die Mengen n, die den natuerlichen
Zahlen n entsprechen, erscheinen auch um so weiter hinten, je mehr
Elemente sie enthalten. Warum sollte das bei den geordneten Teilmengen
einer Potenzmenge anders sein?

Es sei B = {a_1, a_3, a_5, ...} eine unendliche Teilmenge von A.
B steht stellvertretend fuer eine beliebige unendliche Teilmenge
von A, in der auch unendlich viele Elemente von A fehlen koennen.
Alle Elemente von B sind auch Elemente von A. A ist eine induktive
Menge, d. h. jedes Element von A wird aus den vorhergehenden
Elementen erzeugt. Zu jedem auf diese Weise definierten a_n existiert
das zugehoerige z_n. Die Mengen z_1 bis z_n enthalten alle Teilmengen
aller bereits definierten a_n. Eure Behauptung, dass Z nicht alle
Teilmengen von A enthaelt, obwohl es kein groesstes z_n gibt, bedeutet,
dass A auch undefinierte Elemente enthalten muss.

Hier zeigt sich das Kernproblem der Mengenlehre. Ich habe bereits
frueher darauf hingewiesen, dass keine unendliche Menge vollstaendig
abzaehlbar ist. Denn es gibt keine Zahl, die aussagt, wieviele Elemente
die unendliche Menge enthaelt. Zaehlen bedeutet, wie gesagt, ein
Element an das andere anfuegen. Solange dieser Zaehlvorgang auch dauert,
man hat immer nur eine endliche Teilmenge abgezaehlt und schiebt einen
unendlichen Berg von noch nicht abgezaehlten Elementen vor sich her.
Dieser Berg bleibt immer unendlich gross, die nicht abgezaehlten
Elemente sind das wirklich unendliche an einer abzaehlbar unendlichen
Menge. Die Mengenlehre beachtet (vernuenftigerweise) nur die
abgezaehlten und damit definierten Elemente, waehrend die unendlich
vielen nicht abgezaehlten Elemente unberuecksichtigt bleiben. Das muss
dann aber konsequenterweise immer gelten.

Den Mengentheoretikern ist das Problem bekannt, sie bestreiten nicht,
dass die Mengenvorstellung unvollstaendig ist. Sie weigern sich aber,
die Konsequenz daraus zu ziehen, die waere naemlich, dass nur
Aussagen ueber endliche Mengen moeglich sind.

Das Problem wird in der Mengenlehre hartnaeckig verdraengt. Solange
man sich konsequent an das fuer induktive Mengen gueltige Kriterium
fuer Abzaehlbarkeit haelt, faellt die Verdraengung auch bei Potenz-
mengen nicht auf, dann sind auch sie abzaehlbar. Bei Potenzmengen
verlangt Ihr aber, dass auch die nicht definierten Elemente der
Grundmenge A beruecksichtigt werden sollen. Wenn diese berueck-
sichtigt werden, ist aber auch A nicht abzaehlbar. Solange Ihr an
dieser willkuerlich unterschiedlichen Behandlung von A und Pot(A)
festhaltet, werden wir uns nicht einigen koennen. In diesem Fall
ist es sinnvoller, wenn wir die Diskussion beenden. Dann habe ich
aber wenigstens verstanden, warum sich die Mathematik immer mehr
in Richtung Metamatik entwickelt.

Mein zweiter Beweis fuer die Abzaehlbarkeit von Potenzmengen kam ohne
Abbildung aus. Obwohl ich ausdruecklich erwaehnt hatte, dass die dort
auftauchenden T_n abzaehlbar _unendlich_ sind und es kein groesstes n
gibt, habt Ihr wieder mit endlichen n und T_n argumentiert. Da es
keinen grossten Wert fuer n gibt, enthaelt die Vereinigungsmenge T
aller T_n auch alle Teilmengen mit unendlich vielen Primzahlen.

Die T_n sind definiert als Menge aller Produkte von n verschiedenen
Primzahlen. Da die Abbildung auf N nicht benoetigt wird, kann man
die T_n auch als Menge aller Teilmengen mit n verschiedenen Primzahlen
betrachten oder im allgemeinen Fall als Menge aller Teilmengen mit n
verschiedenen Elementen von A, A = abzaehlbar unendliche Menge. Um die
Abzaehlbarkeit der T_n nachzuweisen, wurden sie als Vereinigungsmenge
der T_nk beschrieben, wobei der Index k ebenfalls keinen groessten
Wert hat.

Zu jeder natuerlichen Zahl n laesst sich die entsprechende Teilmenge
T_n bilden. Wenn Ihr die Existenz der Vereinigungsmenge T bezweifelt,
stellt Ihr auch die Existenz von N in Frage. Ihr beharrt allerdings
darauf, dass N die Vereinigungsmenge aller n ist. Folglich existiert
auch T und somit enthaelt T auch alle Teilmengen mit unendlich vielen
Primzahlen.

Gruss

Dieter

[Andreas Riedl]

>Natuerlich erscheinen die Teilmengen, die viele Elemente enthalten,
>erst weit hinten in der Folge. Das liegt in der Natur der Sache.
>Bei einer unendlichen Menge koennen nicht alle Elemente auf den
>vorderen Raengen erscheinen. Das ist auch bei der Menge der
>natuerlichen Zahlen nicht anders. Die Mengen n, die den natuerlichen
>Zahlen n entsprechen, erscheinen auch um so weiter hinten, je mehr
>Elemente sie enthalten. Warum sollte das bei den geordneten Teilmengen
>einer Potenzmenge anders sein?

'weit hinten' ist aber ein *etwas* euphemistischer ausdruck für
all die mengen, die in dieser aufzählung gar nicht vorkommen,
etwa A (A ist offenbar nicht element einer der teilmengen Z_n)

cu, andi

[Dieter Jungmann]

Franz Prilmeier schrieb

> Im Übrigen verstehe ich von dieser Diskussion kein Wort (vor allem nicht
> das, was Dieter sagt). Kann man nicht irgendwie das Niveau absenken,
> ohne dass dadurch die Qualität der Diskussion leidet? - Interessieren
> würde mich das ganze schon, bin aber nicht gewillt dafür erst dicke
> Wälzer über Mengenlehre zu lesen.

Hallo Franz,

noch weiter kann man das Niveau nicht absenken, aber ich kann Dir
am Beispiel von Hilberts Hotel die Denkweise der Mengenlehre
veranschaulichen.

Dies ist ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern, die alle belegt sind.
Ein neuer Gast moechte ein Zimmer. Der Hotelier verlegt daraufhin den
Gast aus Zimmer 1 in Zimmer 2, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 3 usw.
Der neue Gast erhaelt Zimmer 1 und das Problem scheint geloest.

Eine Momentaufnahme von diesem Hotel zeigt aber, dass staendig ein
Gast unterwegs ist zum naechsten Zimmer. Zu keinem Zeitpunkt werden
tatsaechlich alle Gaeste ein eigenes Zimmer haben, sondern der
unendlich lange Gang des Hotels wird stillschweigend als zusaetzliches
Zimmer benutzt. Deshalb ist dieses umstaendliche Manoever ueberhaupt
noetig. Waere naemlich ein Zimmer frei, koennte man den neuen Gast
gleich dort einquartieren.

Man kann mit allerlei Tricks versuchen, die Offensichtlichkeit dieses
Sophismus zu vertuschen, es laeuft aber immer darauf hinaus, dass die
unendliche Menge nicht definierter Elemente von unendlichen Mengen
als Spekulationsmasse verwendet wird.

Gruss

Dieter

[Thomas Haunhorst]

On Sun, 11 Feb 2001 18:24:45 +0100,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>Franz Prilmeier schrieb
>
>> Im Übrigen verstehe ich von dieser Diskussion kein Wort (vor allem nicht
>> das, was Dieter sagt). Kann man nicht irgendwie das Niveau absenken,
>> ohne dass dadurch die Qualität der Diskussion leidet? - Interessieren
>> würde mich das ganze schon, bin aber nicht gewillt dafür erst dicke
>> Wälzer über Mengenlehre zu lesen.
>
>Hallo Franz,
>
>noch weiter kann man das Niveau nicht absenken,

Leider scheitern Versuche, dass Niveau anzuheben daran, dass Du anscheinend
nicht faehig bist, den mathematischen Methoden und Argumentationen hier zu
folgen. Du scheinst nicht zu begreifen, worum es in der Mengenlehre ueberhaupt
geht. Weder kennst Du Dich mit den Termini aus noch mit mathematischer Argu-
mentationsweise. Du verwendest Begriffe wie "hinten", "am oberen Ende" und
wirfst alles durcheinander; Deine Widersprueche sind schon so eklatant, dass
man noch nichtmal mehr darueber lachen kann.

Gruss

Thomas.
--

[Franz Prilmeier]

Hallo,

[hübsches Beispiel]

Erst mal Danke für das erklärende Beispiel.

Noch zwei kleine Zusatzfragen hätte ich allerdings dazu:
Hat das damit was zu tun, dass es diese ominöse "Menge aller Mengen"
nicht gibt (Das haben wir mal in Höherer Mathematik oder Diskrete
Strukturen bewiesen)? - Der Beweis läuft ja darauf hinaus, dass das
keine Menge, sondern eine Unmenge (= kann nicht Element einer neuen
Gesamtheit sein) ist.

> Dies ist ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern, die alle belegt sind.
> Ein neuer Gast moechte ein Zimmer. Der Hotelier verlegt daraufhin den
> Gast aus Zimmer 1 in Zimmer 2, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 3 usw.
> Der neue Gast erhaelt Zimmer 1 und das Problem scheint geloest.

Es wird also versucht einer unendlichen Menge eine andere unendliche
Menge zuzuordnen, die irgendwie (sozusagen per Konstruktion) ein Element
mehr hat als die andere (obwohl man das ja auch nicht sagen kann, da
beide Mengen unendliche viele Elemente haben). Man sucht nach einer
Abbildung, die die natürlichen Zahlen mit der Null auf die natürlichen
Zahlen ohne diese abbildet, Deiner Beschreibung nach findet man diese
nicht, da man dazu die ganze Menge quasi um eins nach rechts verschieben
müsste, also

f: x \in N \cup {0} -> x + 1

Wenn man sich diese Operation nun zeitlich vorstellt, so dauert dies
unendlich lange, da man ja nie aufhört zu permutieren, dies ist also
kein Algorithmus dafür diese Person einzuquartieren, da dieser niemals
endet. Es ist mir schon klar, dass sowas Probleme bereitet. Denn nach
Definition von gleichmächtigen Mengen sind diese Mengen gleichgross
(wenn man überhaupt von so etwas sprechen kann), ich habe ja gerade eine
Bijektion angegeben.

Da kommt mir auch schon die Frage nach dem Warum in den Sinn:

Warum kann man sagen, dass, falls es eine Bijektion zwischen einer Menge
und den Natürlichen Zahlen gibt, diese Menge dann abzählbar ist? Was
steckt da dahinter? Eine Art Induktion (Diese Peano Axiome)?

Wer kann mir diesen scheinbaren Widerspruch in Wohlgefallen auflösen
(Ich denke jetzt, das ist es, um was es die ganze Zeit geht)?

Einerseits kann man durch die Bijektion diese Person einquartieren,
andererseits nicht, denn es ist ja gar kein Zimmer frei... Die
Unendlichkeit erschafft uns also wundersame Dinge, die es eigentlich gar
nicht geben kann.

Solange man sich in wohldefinierten, diskreten Mengen bewegt scheint man
aber noch sicher zu sein, dass einem plötzlich irgendetwas undefiniertes
zustösst.

Grüsse,
Franz Prilmeier

[Horst Kraemer]

Gibt dann bitte freundlicherweise unmittelbar die natuerliche Zahl an,
die der Menge A zugeordnet ist, sowie die natuerlichen Zahlen, die den
Mengen A\{a_0},A\{a_1},A\{a_2},... etc. zugeordnet sind.

Wenn Du dies nicht koennen solltest, was bedeutet dann "moeglich" und
"angeben" ?

MfG
Horst

[Holger Gollan]

Franz Prilmeier wrote:
>
> Hallo,

Hallo Franz,

>
> [hübsches Beispiel]
>
> Erst mal Danke für das erklärende Beispiel.
>
> Noch zwei kleine Zusatzfragen hätte ich allerdings dazu:
> Hat das damit was zu tun, dass es diese ominöse "Menge aller Mengen"
> nicht gibt (Das haben wir mal in Höherer Mathematik oder Diskrete
> Strukturen bewiesen)? - Der Beweis läuft ja darauf hinaus, dass das
> keine Menge, sondern eine Unmenge (= kann nicht Element einer neuen
> Gesamtheit sein) ist.
>

Nein, hat es nicht! Wie Du weiter unten selbst feststellst, geht es nur
darum, ob das Hinzufuegen eines einzelnen Elements zu einer abzaehlbar
unendlichen Menge eine groessere Menge (im Sinne von Maechtigkeiten)
produziert.

> > Dies ist ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern, die alle belegt sind.
> > Ein neuer Gast moechte ein Zimmer. Der Hotelier verlegt daraufhin den
> > Gast aus Zimmer 1 in Zimmer 2, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 3 usw.
> > Der neue Gast erhaelt Zimmer 1 und das Problem scheint geloest.
>
> Es wird also versucht einer unendlichen Menge eine andere unendliche
> Menge zuzuordnen, die irgendwie (sozusagen per Konstruktion) ein Element
> mehr hat als die andere (obwohl man das ja auch nicht sagen kann, da
> beide Mengen unendliche viele Elemente haben). Man sucht nach einer
> Abbildung, die die natürlichen Zahlen mit der Null auf die natürlichen
> Zahlen ohne diese abbildet, Deiner Beschreibung nach findet man diese
> nicht, da man dazu die ganze Menge quasi um eins nach rechts verschieben
> müsste, also
>
> f: x \in N \cup {0} -> x + 1
>
> Wenn man sich diese Operation nun zeitlich vorstellt, so dauert dies
> unendlich lange, da man ja nie aufhört zu permutieren, dies ist also
> kein Algorithmus dafür diese Person einzuquartieren, da dieser niemals
> endet. Es ist mir schon klar, dass sowas Probleme bereitet. Denn nach
> Definition von gleichmächtigen Mengen sind diese Mengen gleichgross
> (wenn man überhaupt von so etwas sprechen kann), ich habe ja gerade eine
> Bijektion angegeben.
>

Zwei Anmerkungen:
1) Warum soll die ganze Aktion unendlich lange dauern. Sieh es doch mal
so: Alle schon einquartierten Gaeste verlassen gleichzeitig ihr Zimmer,
wandern gelichzeitig ein Zimmer weiter, betreten gleichzeitig ihr neuer
Zimmer. Und schon ist nach endlicher Zeit ein Zimmer fuer den neuen Gast
frei. Das Argument mit der unendlichen Zeit wuerde hoechstens dann
gelten, wenn die Abbildung rekursiv definiert worden waere, aber
2) Du musst nicht unendlich lange permutieren! Und Du kannst auch jedem
Gast sofort sagen, welches seine neue Zimmernummer ist. Obige Abbildung
ist eindeutig und direkt definiert und ordnet jedem Element aus dem
Definitionsbereich ein Bild zu.

> Da kommt mir auch schon die Frage nach dem Warum in den Sinn:
>
> Warum kann man sagen, dass, falls es eine Bijektion zwischen einer Menge
> und den Natürlichen Zahlen gibt, diese Menge dann abzählbar ist? Was
> steckt da dahinter? Eine Art Induktion (Diese Peano Axiome)?
>

Das ist gerade der Witz von Bijektion, oder im Allgemeinen von
strukturerhaltenden Abbildungen (Homomorphismen) in der Mathematik. Du
kannst per Bijektion das eigentliche Problem zunaechst in eine andere,
besser bekannte Menge mit gleicher Struktur uebertragen, dort das
Problem loesen, und dann per Bijektion wieder zurueck zur Ursprungsmenge
gelangen.
Konkret: Warum ist eine Menge M abzaehlbar, wenn sie gleichmaechtig zur
Menge der natuerlichen Zahlen ist, wenn es also eine Bijektion auf die
Menge N gibt?
Sei f eine solche Bijektion von M auf N. Wann ist M abzahelbar? Wenn es
eine Folge (Liste) der Elemente von M gibt, in der jedes Element seinen
eindeutigen Platz hat. Sei m ein beliebiges Element von M. Was ist der
Platz von m in der Liste? f(m) ist eine natuerliche Zahl, hat also in
der Liste der natuerlichen Zahlen einen eindeutigen Platz, und den
gleichen Platz nimmt m in der Liste der Elemente von M ein. Mathematisch
formuliert kannst Du M schreiben als
M = { f^-1(1) , f^-1(2) , f^-1(3) , ... }
Du benutzt also die Bijektion dazu, die Abzaehlbarkeit von N auf M zu
uebertragen. Wobei prinzipiell auch eine Injektion von M nach N
ausreicht, da auch jede Teilmenge von N abzaehlbar ist.

> Wer kann mir diesen scheinbaren Widerspruch in Wohlgefallen auflösen
> (Ich denke jetzt, das ist es, um was es die ganze Zeit geht)?
>
> Einerseits kann man durch die Bijektion diese Person einquartieren,
> andererseits nicht, denn es ist ja gar kein Zimmer frei... Die
> Unendlichkeit erschafft uns also wundersame Dinge, die es eigentlich gar
> nicht geben kann.
>

Das Problem ruehrt daher, dass eine Menge zwar eine echte Teilmenge
einer anderen Menge sein kann (offensichtlich also "weniger" Elemente
besitzt) trotzdem aber gleichmaechtig ist.
Man kann sich natuerlich zunaechst einmal auf die reine
Teilmengenrelation beschraenken (z.B. sind die gerade Zahlen eine echte
Teilmenge der natuerlichen Zahlen), hat dann aber Probleme, wenn man
Mengen miteinander vergleichen will, die nicht ineinander enthalten
sind, muss man aber Abbildungen zu Hilfe nehmen. Betrachte z.B. die
Mengen {1,2,3} und {4,5}. Ist eine der beiden groesser, und wenn ja,
welche? Natuerlich kannst Du bei endlichen Mengen abzaehlen, aber das
fuehrt zu Problemen bei unendlichen Mengen. Oder Du definierst eine
injektive Abbildung der zweiten Menge in die erste. Kannst Du nun noch
zeigen, dass es keine injektive Abbildung von der ersten in die zweite
Menge gibt, hast Du bewiesen, dass die erste Menge maechtiger als die
zweite Menge ist. Du brauchst aber Abbildungen, um Dir ueber die
Maechtigkeiten klar zu werden, da Du sonst keine Teilmengenbeziehung
zwischen den beiden Mengen herstellen kannst.
Beim Uebergang auf unendliche Mengen musste man sich halt ueberlegen,
wie man vorgeht. Da das Abzaehlen ausscheidet, entschied man sich fuer
den Weg ueber die Abbildungen. Du musst Dir nur klar darueber werden,
dass eine echte Teilmenge (im Sinne von Abbildungen) genau so maechtig
sein kann wie die echte Obermenge. Das ist im ersten Moment vielleicht
etwas gewoehnungsbeduerftig, fuehrt aber eben nicht zu Widerspruechen,
wie auch eine genaue Analyse des Hilbertschen Hotels zeigt.
Und wenn Dich der Begriff der Gleichmaechtigkeit wirklich stoert, dann
benutze halt die folgende Formulierung: Eine unendliche Menge ist genau
dann abzaehlbar, wenn es eine injektive Abbildung in die Menge der
natuerlichen Zahlen gibt.

> Solange man sich in wohldefinierten, diskreten Mengen bewegt scheint man
> aber noch sicher zu sein, dass einem plötzlich irgendetwas undefiniertes
> zustösst.
>

Diskrete, endliche Mengen sind sicherlich etwas einfacher zu handhaben,
aber es geht nun mal leider nicht ohne unendliche Mengen, wenn man nur
die Menge aller natuerlichen Zahlen betrachtet.

> Grüsse,
> Franz Prilmeier

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

Hallo Dieter,
ich bin es ehrlich gesagt leid, mich von dir beleidigen zu lassen. Weder
sehe ich mich als religioesen Verfechter einer wirren Idee, noch als
Majestaet der Mathematik. Mir ging es immer nur darum, dich auf Fehler
in deiner Argumentation hinzuweisen, da ich vermutete, dass du
vernuenftigen Argumententen gegenueber aufgeschlossen bist. Leider hat
das Schreiben endloser Postings dazu gefuehrt, dass eben nicht sauber
argumentiert wurde, sondern immer wieder neue Argumente eingebracht
wurden ohne auf die alten einzugehen. Ich werde daher auf dieses Posting
noch zwei Mal antworten. Einmal auf fast jeden Punkt, um dich noch
einmal auf Fehler aufmerksam zu machen (auch wenn das schon andere
wiederholt getan haben) und in einer zweiten Antwort werde ich nur einen
einzigen Punkt aufgreifen. Entweder wir diskutieren zunaechst einmal
ueber diesen und nur ueber diesen Punkt oder die ganze Sache ist fuer
mich aller Wahrscheinlichkeit nach erledigt.
(Du wirst mir jetzt sicher vorwerfen, dass ich beleidigt von dannen
ziehe und keine Argumente mehr habe. Aber Argumente machen nur Sinn,
wenn sich die Gegenseite Muehe gibt, sie zu verstehen und auf sie
einzugehen. Ich habe immer wieder versucht, deine Argumentationsketten
zu verstehen und Fehler deutlich herauszustellen. Leider kamen nie
direkte Antworten auf diese Kritiken, sondern neue Argumente, oder die
alten wurden unkommentiert wiederholt. Das erinnert mich zu sehr an
andere Diskussionen, die vor allem in sci.math ablaufen, und dazu ist
mir meine Zeit nun wirklich zu schade. Ich bin gerne bereit, jemanden zu
helfen, der sich in die Mathematik einarbeiten moechte. Ich bin auch
gerne bereit, mit jemandem ueber unklare oder vielleicht auch falsche
Aussagen zu diskutieren. Aber es muss ein Austausch von Argumenten
stattfinden, und man muss gegenseitig auf die Argumente des Anderen
eingehen. Dieses findet hier im Moment nicht statt, und wenn wir das
nicht mit Hilfe der zweiten Antwort auf ein Thema und ein Argument
beschraenken koennen, dann sehe ich im Moment keine Sinn fuer eine
Fortsetzung meinerseits.
Das mag jetzt als Einleitung etwas lang geworden sein, da ich ja immer
fuer kurze Postings plaediere, aber es musste einfach mal sein.
Ausserdem fand hier ja auch noch keine Mathematik statt.)
Jetzt aber zu den einzelnen Punkten:

> auf die Frage nach der Abzaehlbarkeit von Potenzmengen antworte
> ich separat, ich beschraenke mich daher hier auf die uebrigen
> Aussagen in Deinem posting.
>
> > 1) Du glaubst uns ja nicht, dass es ueberabzaehlbare Mengen gibt. Wie
> > sollen wir dann beweisen, dass eine solche in Deiner Liste fehlt?
>
> Seit wann ist Mathematik Glaubenssache? Wenn ich vorab schon alles
> glauben soll, sind Beweise ueberfluessig. Aber wer bestimmt dann,
> was zu glauben ist?
>

Polemik? Du behauptest, wir sollen beweisen, dass in deiner Liste
ueberabzaehlbare Mengen fehlen. Ich habe dir Mengen genannt, die in
deiner Liste fehlen. Ob es sich dabei um ueberabzaehlbar viele handelt,
spielt zunaechst einmal keine Rolle. Solange deine Liste nicht
vollstaendig ist, hast du keinen Beweis! Ausserdem haben wir einen
Beweis fuer die Existenz ueberabzaehlbarer Mengen. Du willst uns doch
vom Gegenteil ueberzeugen.

> > 2) Es ist schon so, dass Du beweisen musst, dass Deine Liste
> > vollstaendig ist. Nur als Hinweis aber die folgende Betrachtung:
>
> Du versuchst wieder einmal, die Beweislast umzukehren. Auf diesen
> Trick falle ich nicht mehr herein. Deine Argumentation erinnert mich
> an die Argumentation von religioesen Sekten. Sie definieren z.B.,
> dass es Geister gibt. Das laesst sich nicht hundertprozentig sicher
> widerlegen. Also haben sie recht?
> Ihr stellt die Behauptung auf, dass es ueberabzaehlbare Mengen gibt,
> also habt Ihr die Beweislast. Das gilt um so mehr, als sich Cantors
> Diagonalbeweis, der Ausloeser der heutigen Mengenlehre, und sein
> Beweis dafuer, das Pot(x) maechtiger sei als x, als falsch erwiesen
> haben.

Falsch! Ich habe mich bis heute nicht mit deiner Behauptung
beschaeftigt, dass der Cantorsche Beweis falsch sei. Mir geht es
momentan nur darum, dass du behauptest, dass z.B. Pot(P) oder Pot(D1)
abzaehlbar sind. Und fuer diese Behauptung hast du einen "Beweis"
geliefert. Und diesen Beweis zweifle ich an. Und das ist zunaechst
einmal unabhaengig davon, ob es ueberabzaehlbare Mengen gibt oder nicht.
Es geht naemlich momentan nur darum, ob deine Liste ueberhaupt ganz
Pot(P) oder Pot(D1) ueberdeckt.

>
> > 3) Wenn ich Dich richtig verstehe, dann nimmst Du zu den Teilmengen, die
> > endlich viele Primzahlen enthalten, jetzt noch solche hinzu, bei denen
> > endlich viele fehlen. Auch diese Mengen sind alle abzaehlbar, kein
> > Widerspruch.
> > Aber! Was ist mit solchen Teilmengen, bei denen unendlich viele
> > Primzahlen fehlen? Wo finden sich diese in Deiner Liste? Das Problem ist
> > naemlich, dass DU darauf keine so schoene Ordnung definieren kannst.
>
> Wieso redest Du schon wieder von Teilmengen, die endlich viele Primzahlen
> enthalten? Diese sind zwar auch in den T_n enthalten. Fuer den Index n
> gibt es aber keinen groessten Wert. In der Vereinigungsmenge der T_n
> sind daher auch alle Teilmengen mit unendlich vielen Primzahlen enthalten.
> Oder kannst Du eine obere Grenze fuer die Anzahl der Primzahlen angeben?
>

Hier ist einer dieser Punkte, an denen wir wohl endlos aneinander
vorbeireden koennen. Und es ist und bleibt meiner Meinung nach das
Verstaendnisproblem, das an mehreren Stellen auftaucht.
Jedes einzelne T_n umfasst Teilmengen mit n Primzahlen. Das n ist zwar
beliebig gross, aber immer endlich, so dass T_n fuer jedes n nur
endliche Teilmengen umfasst. Auch wenn du die Vereinigung dieser
unendlich vielen T_n betrachtest, dann gibt es dort keine unendlichen
Teilmengen, denn dann muessten diese ja in einem der T_n enthalten sein
(Definition der Vereinigungsmenge), also eben endlich sein.
Noch mal zur Klarheit: Es gibt keine obere Grenze fuer die Groesse der
Teilmengen, aber jede einzelne ist und bleibt endlich!

> > (PS: Wenn Du jedem Element eine eindeutige Position in der Liste
> > zuordnest, dann definierst Du genau eine solche Abbildung, wie sie
> > normalerweise zum Beweis der Gleichmaechtigkeit benutzt wird. Daher sehe
> > ich bis heute nicht, warum Du unbedingt mit Deinen eigenen Definitionen
> > arbeiten willst.)
>
> Ich verwende keine eigenen Definitionen. Wahrscheinlich meinst Du hier
> die Definition 1 fuer das Abzaehlbarkeitskriterium. Du kannst sie,
> anders formuliert, z.B. auf S. 8 in dem bereits mehrfach erwaehnten
> Buch von Ebbinghaus nachlesen. Wie Du richtig sagst, unterscheidet
> sich diese Methode in der praktischen Anwendung nicht von der Methode
> der Abbildung auf N. Die grundlegene Definition 1 ist noetig, um den
> Begriff "Abzaehlbar" definieren zu koennen noch bevor die erste
> abzaehlbare Menge definiert wurde.
>
> > Dann war das vielleicht etwas missverstaendlich ausgedrueckt. Gemeint
> > ist das Folgende: Fuer jede einzelne natuerliche Zahl n, die uebrigens
> > per Definition endlich ist, weil ich sie in endlich vielen
> > Iterationsschritten erreichen kann, ist T_n natuerlich die
> > Vereinigungsmenge alle T_i mit i <= n. Insbesondere besitzt dann T_n ein
> > groesstes Element, naemlich n. Die Vereinigung aller, unendlich vielen,
> > T_n ist die Menge der natuerlichen Zahlen. Sie ist selbst keine
> > natuerliche Zahl, da ich sie nicht in endlich vielen Iterationsschritten
> > erreichen kann, ...
>
> wie kannst Du dann die Vereinigungsmenge bilden, wenn nicht alle Elemente
> erreichbar sind?
>

Gleiches Problem wie oben: Jedes einzelne Element ist erreichbar, weil
es in endlich vielen Iterationsschritten gebildet werden kann. Daraus
folgt aber keine Aussage fuer die Vereinigungsmenge. Vielleicht solltest
du dir die Definition der Vereinigungsmenge noch einmal genau ansehen.
Ansonsten will ich diese Frage ueber die Definition der natuerlichen
Zahlen und die Konsequenzen daraus gerne in einer gesonderten Antwort
behandeln.

> > ... und sie besitzt auch kein groesstes Element.
> > Das meine ich damit, wenn ich sage, dass die abzaehlbare Vereinigung von
> > endlichen Menge mit einer bestimmten Eigenschaft diese Eigenschaft nicht
> > mehr unbedingt besitzen muss.
>
> Das heisst also: Es gibt eine endliche Anzahl natuerliche Zahlen, die
> durch Iterationsschritte definiert sind (welches ist die groesste?),
> und eine unendliche Anzahl von nicht durch Iterationsschritte definierten
> natuerlichen Zahlen. N ist die Vereinigungsmenge der endlichen Menge
> definierter mit der unendlichen Menge undefinierter natuerlicher Zahlen.
> Ist das die "sichere" Grundlage der Mengenlehre? Dann braucht man sich
> ueber nichts mehr zu wundern.
>

Das habe ich nie behauptet! Wo findet sich bei mir der Satz, dass es nur
endlich viele natuerliche Zahlen gibt, die durch Iterationsschritte
definiert sind? Wo spreche ich von natuerlichen Zahlen, die nicht durch
Iterationsschritte definiert sind? Jede natuerliche Zahl ist durch
endlich viele Schritte erreichbar und die Menge der natuerlichen Zahlen
ist die Vereinigung dieser natuerlichen Zahlen, aber eben selbst keine
nnatuerliche Zahl. Ansonsten -> siehe andere Antwort.

> > Ich sehe nicht, dass ich einen Fehler begangen habe, und schon gar nicht
> > den selben wie Du. Zur weiteren Argumentation folgende Anmerkungen:
> > 1) Natuerlich steht und faellt die Frage der Abzaehlbarkeit nicht damit,
> > dass man ueber das Bild eines einzigen Elements vielleicht keine Aussage
> > machen kann. Die Frage nach f(D1) war aber nur ein Beispiel, um Dir zu
> > zeigen, dass Deine Vorschrift keine wirkliche Abbildung von Pot(D1)
> > beschreibt. Du kannst D1 gerne durch jede andere unendliche Teilmenge M
> > von D1 ersetzen. Jedes Mal wird es Dir nicht gelingen, f(M) anzugeben.
> > Ich hatte allerdings Probleme, all diese unendlichen Teilmengen M in
> > meinem Posting anzugeben, da es sich meiner Meinung nach dabei um
> > ueberabzaehlbat viele handelt.
>
> Und mit der Meinung Seiner Majestaet soll ich mich gefaelligst zufrieden
> geben! In der Mathematik zaehlen Beweise, nicht Meinungen. Es waere
> hoechst aufschlussreich, zu erfahren, wie Du aus einer abzaehlbar
> unendlichen Menge ueberabzaehlbar viele Teilmengen ableiten willst.
>

Moment! Und wieder Polemik? Du behauptest, dass Pot(D1) abzaehlbar ist.
Das musst du aber erst beweisen. Meinetwegen schwaeche ich obige Aussage
ab und behaupte nur noch, dass es bis jetzt auf jeden Fall eine Menge
von Elemente von Pot(D1) gibt, fuer die du noch kein Bild angeben
konntest. Und solange du das nicht kannst, hast du noch keine Abbildung
von Pot(D1) nach N definiert. Und damit auch noch keine Grundlage fuer
einen Beweis ueber die angebliche Abzaehlbarkeit.

Du kannst oder willst meine Zeilen nicht richtig lesen. Und ich glaube
auch nicht, dass ich in dieser Frage im Widerspruch zu Christian stehe.
Ich behaupte doch gar nicht, dass es nur endlich viele Binaerstellen
oder auch Dezimalstellen gibt. Ich behaupte nur, dass man fuer jede
einzelne natuerliche Zahl, da sie endlich ist, nur endlich viele solcher
Stellen braucht. Natuerlich braucht man fuer die Gesamtheit aller Zahlen
unendlich viele Stellen, weil es eben unendlich viele solcher Zahlen
gibt. Aber fuer die Darstellung jeder einzelnen Zahl sind nur endlich
viele Stellen noetig. Und ich glaube nicht, dass Christian das anders
sieht und eine natuerliche Zahl kennt, die unendlich viele Stellen
besitzt.

> > Dieser Abschnitt und seine Argumentation machen nur Sinn, wenn man
> > natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen anerkennt. Du wirst in
> > dieser Newsgroup aber kaum jemanden finden, der Dir da zustimmt. Und wie
> > oben dargelegt sehe ich auch nicht, wie das aus einer der Definitionen
> > folgt, die im Laufe dieses Threads ausgetauscht wurden.
> > (PS: Haettest Du von Beginn an geschrieben, dass Du natuerliche Zahlen
> > mit unendlich vielen Stellen zulaesst, dann haaetten wir uns viele
> > Postings ersparen koennen.)
>
> Ich habe bereits in meinem Anfangsbeitrag "Widersprueche der
> Mengenlehre" klar gesagt, dass ich Zahlen mit unendlich vielen
> Stellen als Spekulation ansehe und ablehne. Konsequenterweise
> betrachte ich auch unendliche Mengen als Spekulation. Ich habe
> auch gezeigt, dass es fuer beides keinen Existenzbeweis gibt.
>
> Die Art, wie in der Mengenlehre argumentiert wird und wie auch
> Ihr es immer wieder tut, zwingt mich aber, die Moeglichkeit
> der Existenz von Zahlen mit unendlich vielen Stellen mit ein-
> zubeziehen. Waehrend ich eine klare Position zu dieser Frage
> vertrete, versucht Ihr die Quadratur des Kreises. Die Behauptung,
> dass es nur natuerliche Zahlen mit endlich vielen Stellen aber
> trotzdem unendlich viele natuerliche Zahlen gibt, ist ein klarer
> Widerspruch.

Wenn du hier einen Widerspruch siehst, dann zeige ihn doch bitte auf.
Aber genau diesen Punkt will ich gesondert beantworten; in der letzten
Hoffnung, einen neuen Thread mit einem einzigen Problem, einer einzigen
Argumentation und daher mit Uebersicht und Kuerze beginnen zu koennen.

> ...Er laesst sich nur aufheben, wenn man die Menge der

> natuerlichen Zahlen unterteilt in eine endliche Menge von nat. Zahlen
> mit endlich vielen Stellen, das waeren die definierten Zahlen,
> und eine unendliche Menge von undefinierten nat. Zahlen, deren
> Stellenzahl offen ist. N ist dann die Vereinigungsmenge dieser beiden
> Mengen und besteht somit ueberwiegend aus undefinierten nat. Zahlen.
> Das ist aber keine serioese Grundlage fuer eine exakte Theorie.
> Die andere Alternative waere, N nicht als Vereinigungsmenge
> aufzufassen, wogegen Du Dich aber heftig straeubst, sondern
> einfach nur als induktive Menge = unendliche Folge, deren Ende
> allerdings auch unbestimmt ist.
>

Warum sollte eine unendliche Folge ein Ende haben? Ansonsten nichts
weiter zu obigen Satzen und noch einmal der Verweis auf die zweite,
kuerzere Antwort.

> Zu meiner Kritik am Beweis des Satzes von Cantor schreibst Du:
>
> > Nun ja, die Bedingung, dass f eine Funktion auf Pot(x) sein soll, Pot(x)
> > also der Bildbereich von f sein soll, ist schon eine recht starke
> > Bedingung, und wird eben nicht von allen moeglichen Funktionen von x
> > erfuellt.
> > Nach Definition von z kann man naemlich nur sagen, dass z eine Teilmenge
> > von x, also ein Element von Pot(x) ist. Und weil f surjektiv ist, weiss
> > man, dass ein Urbild zu z existiert. Wenn der Ziel- und Bildbereich von
> > f nicht Pot(x) waere, dann koennte man auch nicht auf die Existenz eines
> > Urbilds zu z schliessen.
> > Ich verstehe daher nicht ganz Deine Argumentation, dass an den
> > Zielbereich von f keine weitere Bedingung gestellt wird. Mehr als das,
> > was oben steht, kann nun wirklich nicht verlangt werden.
>
> Mehr wird auch nicht verlangt, aber diese Bedingungen werden auch von
> allen genannten Vereinigungsmengen V erfuellt. Es ist allerdings eine
> Unklarheit zu beheben. Im ersten Satz des Beweises heisst es:
> "Die auf x definierte Funktion g mit g(u) = {u} fuer u el x ist eine
> Injektion von x in Pot(x)."

Sorry, aber es heisst eindeutig: Der Zielbereich von f ist Pot(x). Wie
das von irgendwelchen, beliebigen Mengen erfuellt werden kann, ist mir
ein Raetsel.

> Da alle Elemente von x auch Elemente von Pot(x) sind, muesste es
> eigentlich heissen g(u) = u. In diesem Fall waere z die leere Menge
> und die von mir eingefuehrten Mengen V die Vereinigunsmenge von N
> (N enthaelt die leere Menge) und einer beliebigen anderen Menge.
>

Die Elemente von x sind nicht Elemente von Pot(x). Man kann sie
vielleicht ueber die Abbildung u -> {u} einbetten, und in diesem Sinne
ist die Injektion g zu verstehen, aber g(u) = {u} ist absolut korrekt.
Und warum waere z die leere Menge? Du kennst doch f gar nicht, und
niemand behauptet, dass f etwas mit g zu tun haben muss. f ist eine
beliebige Abbildung auf Pot(x), die existieren muss, wenn Pot(x) und x
gleichmaechtig sind. Und dann kannst du die Menge z bilden. Aber das
einzige, was du an dieser Stelle weisst, ist die Aussage, dass z eine
Teilmenge von x ist (per Konstruktion) und daher ein Element von Pot(x),
und deswegen ein Urbild unter f besitzen muss, da f surjektiv ist.

> Falls durch {u} angedeutet werden soll, dass die entsprechenden
> Elemente von Pot(x) nicht identisch sind mit den Elementen u von x,
> muss in den V anstelle von N wie beschrieben die Menge aller {u}
> als Teilmenge enthalten sein. In diesem Fall ist z = {x}. In diesem
> Fall muss der Vereinigungsmenge V das Element {x} ebenfalls zugefuegt
> werden. Dann erfuellt V die gleichen Bedingungen wie Pot(x), soweit
> sie in diesem Beweis gebraucht werden.
>

Wie kommst du auf z = {x}? z ist eine Teilmenge von x, also wenn
ueberhaupt, dann z = x, wenn du meinst, dass alle Elemente von x die
Definition fuer z erfuellen. Aber wie oben gilt, dass du die Surjektion
f gar nicht explizit kennst, daher auch nicht genau sagen kannst, wie z
konkret aussieht. Du weisst nur, dass z eine Teilmenge von x ist, daher
ein Element von Pot(x), und deswegen ist es fuer den Beweis auch
zwingend erforderlich, dass Pot(x) der Bildbereich von f ist, und nicht
irgendeine irgendwie konstruierte Menge.

> Gruss
>
> Dieter

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo zusammen,
>

Hallo Dieter,
doch noch eine weitere Antwort auf ein Posting von Dir, mit der Bitte,
doch einfach mal auf Argumente einzugehen. Deswegen verkneife ich mir
auch weitere Kommentare zu philosophischen Abhandlungen weiter unten.

> offensichtlich muss ich nochmals auf die Abzaehlbarkeit der
> Potenzmengen eingehen.
>
> A = {a_1, a_2, a_3, ...} ist eine abzaehlbar unendliche Menge.
> Die Elemente von Pot(A) werden folgendermassen geordnet
> (hinter --> sind die natuerlichen Zahlen angegeben, auf die man die
> Elemente von Pot(A) abbilden kann):
> z_0 := {{}}, {leere Menge}, wird definitionsgemaess zugefuegt --> {0}
> z_1 := {{a_1}} --> {1}
> z_2 := {{a_2}, {a_2, a_1}} --> {2, 3}
> z_3 := {{a_3}, {a_3, a_1}, {a_3, a_2}, {a_3, a_2, a_1}} --> {4, 5, 6, 7}
> z_4 := {{a_4}, {a_4, a_1}, {a_4, a_2}, {a_4, a_2, a_1}, {a_4, a_3},
> {a_4, a_3, a_1}, {a_4, a_3, a_2}, {a_4, a_3, a_2, a_1}}
> --> {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
> ...
>
> Die Ordnungsrelation ist leicht erkennbar. Die nullte Zeile enthaelt
> nur die leere Menge. Die n-te Zeile beginnt mit der Teilmenge {a_n},
> gefolgt von allen Teilmengen, die sich aus der Kombination von a_n mit
> allen Teilmengen aller vorangehendnen Zeilen ab der ersten Zeile
> ergeben, wobei die Reihenfolge der Teilmengen (jetzt erweitert um a_n)
> unveraendert bleibt. Dadurch ist es moeglich, unmittelbar die
> natuerliche Zahl anzugeben, die jedem Element von Pot(A) zugeordnet
> ist. Beispiel: dem Element {a_m, a_n, a_r} ist die Zahl
> 2^(m-1) + 2^(n-1) + 2^(r-1) zugeordnet.
>

War schon mal in einem anderen Posting, leider ohne Antwort von dir
geblieben. Deine obige Liste hat folgende Struktur:
Jede oben aufgefuehrte Teilmenge besitzt einen maximalen Index n unter
den a_i. Dies fuehrt dazu, dass eine solche Teilmenge in der Aufzaehlung
auf einem Platz zwischen 2^(n-1) und 2^n-1 landet.
Sei nun umgekehrt M eine unendliche Teilmenge von A. Wenn M in obiger
Liste auftaucht, dann hat M eine Position m. Sei 2^n die kleinste
2er-Potenz, die groesser als m ist. Nach Konstruktion obiger Liste waere
dann n der groesste Index, der bei den Elementen von M auftauchen kann.
Also muss M endlich sein, da maximal die Elemente a_1,...a_n in M
enthalten sein koennen.
Klaere doch bitte einfach mal diesen Widerspruch auf oder zeige mir, wo
der Fehler in der Argumentation liegt.
(Ich tippe aber mal, dass jetzt wieder natuerliche Zahlen mit unendlich
vielen Stellen kommen, oder allgemeine philosophische Betrachtungen
darueber, dass die unendlichen Teilmengen halt erst nach den endlichen
Teilmengen kommen, und da wir die schon nicht alle hinschreiben koennen,
kann man halt keine genaue Position angeben.)

> Es ist auch erkennbar, dass jedes Element von Pot(A) einen Platz in
> dieser Folge hat, wenn man sie nur lange genug fortsetzt. Mehr verlangt
> das Abzaehlbarkeitskriterium nicht.
>

Ich kann zumindest nicht erkennen, dass jedes Element von Pot(A) in
obiger Liste auftaucht. Und ich denke, dass obige Argumentation beweist,
dass es fuer unendliche Teilmengen von A keinen Platz in obiger Liste
geben kann.

Weil man bei den natuerlichen Zahlen trotzdem fuer jede ganz konkret und
exakt ihren Platz angeben kann! Und das kannst Du bei der Potenzmenge
eben nicht.

> Es sei B = {a_1, a_3, a_5, ...} eine unendliche Teilmenge von A.
> B steht stellvertretend fuer eine beliebige unendliche Teilmenge
> von A, in der auch unendlich viele Elemente von A fehlen koennen.
> Alle Elemente von B sind auch Elemente von A. A ist eine induktive
> Menge, d. h. jedes Element von A wird aus den vorhergehenden
> Elementen erzeugt. Zu jedem auf diese Weise definierten a_n existiert
> das zugehoerige z_n. Die Mengen z_1 bis z_n enthalten alle Teilmengen
> aller bereits definierten a_n. Eure Behauptung, dass Z nicht alle
> Teilmengen von A enthaelt, obwohl es kein groesstes z_n gibt, bedeutet,
> dass A auch undefinierte Elemente enthalten muss.
>

Und noch einmal: Z enthaelt nur endliche Teilmenge von A! Und das hat
ueberhaupt nichts damit zu tun, dass es kein groesstes z_n gibt. Immer
wieder das gleiche Problem: Es gibt unendlich viele z_n, aber jedes
einzelne enthaelt nur endliche Teilmengen, und damit enthaelt auch die
Vereinigung der z_n nur endliche Teilmengen.

> Hier zeigt sich das Kernproblem der Mengenlehre. Ich habe bereits
> frueher darauf hingewiesen, dass keine unendliche Menge vollstaendig
> abzaehlbar ist. Denn es gibt keine Zahl, die aussagt, wieviele Elemente
> die unendliche Menge enthaelt. Zaehlen bedeutet, wie gesagt, ein
> Element an das andere anfuegen. Solange dieser Zaehlvorgang auch dauert,
> man hat immer nur eine endliche Teilmenge abgezaehlt und schiebt einen
> unendlichen Berg von noch nicht abgezaehlten Elementen vor sich her.
> Dieser Berg bleibt immer unendlich gross, die nicht abgezaehlten
> Elemente sind das wirklich unendliche an einer abzaehlbar unendlichen
> Menge. Die Mengenlehre beachtet (vernuenftigerweise) nur die
> abgezaehlten und damit definierten Elemente, waehrend die unendlich
> vielen nicht abgezaehlten Elemente unberuecksichtigt bleiben. Das muss
> dann aber konsequenterweise immer gelten.
>
> Den Mengentheoretikern ist das Problem bekannt, sie bestreiten nicht,
> dass die Mengenvorstellung unvollstaendig ist. Sie weigern sich aber,
> die Konsequenz daraus zu ziehen, die waere naemlich, dass nur
> Aussagen ueber endliche Mengen moeglich sind.
>

Stimmt ja nicht. Es gibt auch eine Mengenlehre, die unendliche Menge
verneint. Nur muss man sich dann auch konsequent daran halten und nicht
auf einmal versuchen, Aussagen ueber Dinge zu machen, die es gar nicht
gibt. Das so etwas nicht gut gehen kann, ist wohl offensichtlich.
Du solltest dir dazu noch einmal die Antworten von Thomas ansehen.

> Das Problem wird in der Mengenlehre hartnaeckig verdraengt. Solange
> man sich konsequent an das fuer induktive Mengen gueltige Kriterium
> fuer Abzaehlbarkeit haelt, faellt die Verdraengung auch bei Potenz-
> mengen nicht auf, dann sind auch sie abzaehlbar. Bei Potenzmengen
> verlangt Ihr aber, dass auch die nicht definierten Elemente der
> Grundmenge A beruecksichtigt werden sollen. Wenn diese berueck-
> sichtigt werden, ist aber auch A nicht abzaehlbar. Solange Ihr an
> dieser willkuerlich unterschiedlichen Behandlung von A und Pot(A)
> festhaltet, werden wir uns nicht einigen koennen. In diesem Fall
> ist es sinnvoller, wenn wir die Diskussion beenden. Dann habe ich
> aber wenigstens verstanden, warum sich die Mathematik immer mehr
> in Richtung Metamatik entwickelt.
>

Abzaehlbar heisst, dass es eine Bijektion auf N gibt. Und wenn es diese
Bijektion gibt, dann kann ich auch abzaehlen. Und es gibt halt Mengen
(z.B. die Menge der geraden Zahlen, die Menge der Qaudratzahlen,...) wo
man diese Bijektion explizit angeben kann und fuer jedes Element die
Position in der Aufzaehlung eindeutig kennt. Es gibt aber auch Mengen,
wo man beweisen kann, dass eine solche Bijektion nicht existiert. Und
diese Mengen betrachte zumindest ich als ueberabzaehlbar.

> Mein zweiter Beweis fuer die Abzaehlbarkeit von Potenzmengen kam ohne
> Abbildung aus. Obwohl ich ausdruecklich erwaehnt hatte, dass die dort
> auftauchenden T_n abzaehlbar _unendlich_ sind und es kein groesstes n
> gibt, habt Ihr wieder mit endlichen n und T_n argumentiert. Da es
> keinen grossten Wert fuer n gibt, enthaelt die Vereinigungsmenge T
> aller T_n auch alle Teilmengen mit unendlich vielen Primzahlen.
>
> Die T_n sind definiert als Menge aller Produkte von n verschiedenen
> Primzahlen. Da die Abbildung auf N nicht benoetigt wird, kann man
> die T_n auch als Menge aller Teilmengen mit n verschiedenen Primzahlen
> betrachten oder im allgemeinen Fall als Menge aller Teilmengen mit n
> verschiedenen Elementen von A, A = abzaehlbar unendliche Menge. Um die
> Abzaehlbarkeit der T_n nachzuweisen, wurden sie als Vereinigungsmenge
> der T_nk beschrieben, wobei der Index k ebenfalls keinen groessten
> Wert hat.
>
> Zu jeder natuerlichen Zahl n laesst sich die entsprechende Teilmenge
> T_n bilden. Wenn Ihr die Existenz der Vereinigungsmenge T bezweifelt,
> stellt Ihr auch die Existenz von N in Frage. Ihr beharrt allerdings
> darauf, dass N die Vereinigungsmenge aller n ist. Folglich existiert
> auch T und somit enthaelt T auch alle Teilmengen mit unendlich vielen
> Primzahlen.
>

Nun habe ich schon wieder ausfuehrlicher geantwortet, aber es juckt halt
in den Fingern. Vielleicht waere es doch gut, wenn wenigstens du es
schaffen wuerdest, nur auf mein kleines Posting mit den natuerlichen
Zahlen zu reagieren.
(Obwohl ich dich gut verstehen kann, wenn auch du zumindest auf dieses
Posting auch wieder ausfuehrlich antwortest.)

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

Hallo Dieter,
und nun der Versuch, ein kleines Problem zu extrahieren und sich darauf
zu beschraenken.

>
> Die Art, wie in der Mengenlehre argumentiert wird und wie auch
> Ihr es immer wieder tut, zwingt mich aber, die Moeglichkeit
> der Existenz von Zahlen mit unendlich vielen Stellen mit ein-
> zubeziehen. Waehrend ich eine klare Position zu dieser Frage
> vertrete, versucht Ihr die Quadratur des Kreises. Die Behauptung,
> dass es nur natuerliche Zahlen mit endlich vielen Stellen aber
> trotzdem unendlich viele natuerliche Zahlen gibt, ist ein klarer
> Widerspruch. Er laesst sich nur aufheben, wenn man die Menge der
> natuerlichen Zahlen unterteilt in eine endliche Menge von nat. Zahlen
> mit endlich vielen Stellen, das waeren die definierten Zahlen,
> und eine unendliche Menge von undefinierten nat. Zahlen, deren
> Stellenzahl offen ist. N ist dann die Vereinigungsmenge dieser beiden
> Mengen und besteht somit ueberwiegend aus undefinierten nat. Zahlen.
> Das ist aber keine serioese Grundlage fuer eine exakte Theorie.
> Die andere Alternative waere, N nicht als Vereinigungsmenge
> aufzufassen, wogegen Du Dich aber heftig straeubst, sondern
> einfach nur als induktive Menge = unendliche Folge, deren Ende
> allerdings auch unbestimmt ist.
>

Sehen wir uns die Definitionen im Zusammenhang mit den natuerlichen
Zahlen noch einmal genauer an:
1) Es gibt eine leere Menge {}.
2) Es gibt eine Menge { {} }. Diese Menge sei mit 1 bezeichnet.
3) Es gibt eine Menge { {} , 1 }. Diese Menge sei mit 2 bezeichnet.
4) Es gibt eine Menge { {} , 1 , 2 }. Diese Menge sein mit 3 bezeichnet.
5) Es gilt: 2 = { {} , 1 } = 1 \union {1}.
6) Es gilt: 3 = 2 \union {2}.
7) Induktiv definiert man: n + 1 = n \union {n}.
8) Jede natuerliche Zahl ist in endlich vielen Schritten konstruiert,
hat daher also nur endlich viele Stellen (egal ob Binaer oder Dezimal).
9) N sei die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen.
10) Frage: Gibt es nur endlich viele natuerliche Zahlen?
11) Antwort: Nein, denn wenn es nur endlich viele gaebe, dann gaebe es
eine groesste, was aber der induktiven Definition unter 7) widerspricht.
12) Wo also ist der von dir oben beschriebene Widerspruch? Aber bitte
keine Polemik, keine Philosophie, sondern der mathematische Fehler in
obiger Argumentation.
13) Zusatz: Es gibt keine unendliche natuerliche Zahl, auch nicht in der
unendlichen Vereinigung.
14) Sei n eine beliebige natuerliche Zahl, endlich oder unendlich. Dann
ist n ein Element der Vereinigung N aller natuerlicher Zahlen. Also ist
n in mindestens einer der Mengen enthalten, die zur Vereinigung benutzt
wurden.
15) Sei m eine solche Menge. Nach Konstruktion ist m endlich, und daher
auch n.
16) Es gibt keine obere Schranke fuer natuerliche Zahlen, aber jede
einzelne ist endlich.
17) Es gibt keine obere Schranke fuer die Stellenzahl natuerlicher
Zahlen, aber jede einzelne natuerliche Zahl besitzt nur endlich viele
Stellen.
18) Niemand behauptet, dass N selbst wieder eine natuerliche Zahl ist,
und das folgt auch nicht aus einer der obigen Definitionen.

In der Hoffung, auf ein relativ kurzes Posting eine relativ kurze
Antwort zu bekommen, in der nur auf die eigentliche Thematik eingegangen
wird. Mathematik, bitte!

> Gruss
>
> Dieter

[Norbert Micheel]

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3A86BB60...@t-online.de...

> Hallo zusammen,
>
> offensichtlich muss ich nochmals auf die Abzaehlbarkeit der
> Potenzmengen eingehen.

kannst du nicht, da es die nicht gibt ;-)

Bitte gib dir noch mal Muehe wirklich nur das zu lesen, was ich schreibe.
Und nicht nur, dass ich dir widersprechen will.

> A = {a_1, a_2, a_3, ...} ist eine abzaehlbar unendliche Menge.
> Die Elemente von Pot(A) werden folgendermassen geordnet
> (hinter --> sind die natuerlichen Zahlen angegeben, auf die man die
> Elemente von Pot(A) abbilden kann):
> z_0 := {{}}, {leere Menge}, wird definitionsgemaess zugefuegt --> {0}
> z_1 := {{a_1}} --> {1}
> z_2 := {{a_2}, {a_2, a_1}} --> {2, 3}
> z_3 := {{a_3}, {a_3, a_1}, {a_3, a_2}, {a_3, a_2, a_1}} --> {4, 5, 6, 7}
> z_4 := {{a_4}, {a_4, a_1}, {a_4, a_2}, {a_4, a_2, a_1}, {a_4, a_3},
> {a_4, a_3, a_1}, {a_4, a_3, a_2}, {a_4, a_3, a_2, a_1}}
> --> {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
> ...

> .... Dadurch ist es moeglich, unmittelbar die

> natuerliche Zahl anzugeben, die jedem Element von Pot(A) zugeordnet
> ist. Beispiel: dem Element {a_m, a_n, a_r} ist die Zahl
> 2^(m-1) + 2^(n-1) + 2^(r-1) zugeordnet.

Welche natuerliche Zahl waere das fuer A ?
Du schreibst es ja: sie kann unmittelbar angegeben werden.

> Es ist auch erkennbar, dass jedes Element von Pot(A) einen Platz in
> dieser Folge hat, wenn man sie nur lange genug fortsetzt. Mehr verlangt
> das Abzaehlbarkeitskriterium nicht.

siehe oben. Aber es verlangt eben das.

> Zur Erhoehung der Uebersicht sind die Elemente jeder Zeile zu einer
> Menge z_n zusammengefasst. Die Menge Z = {z_0, z_1, z_2, ...} ist
> eine abzaehlbar _unendliche_ Menge. G ist die Menge, die alle
> Elemente der Elemente von Z enthaelt ("grosse" Vereinigungsmenge).
> Nach meiner Behauptung ist Pot(A) = G.

> Jedes z_n enthaelt alle Teilmengen von A, die sich aus den Elementen

> a_1 bis a_n bilden lassen und das Element a_n enthalten.

JA ! Genau! Aber eben nur diese ! Und A gehoert zu keinem z_n !

> Da Z kein groesstes Element enthaelt, gibt es auch keine Begrenzung
> der a_n, aus denen die Teilmengen zu bilden sind.

Daraus folgt nur, dass ich eine Teilmenge finde die eine beliebig grosse
ENDLICHE
Maechtigkeit hat.
und nicht...

> Folglich sind auch
> die unendlichen Teilmengen von A in G enthalten. Wenn Ihr das
> bestreitet, muesst Ihr den groessten Wert von a_n und gleichbedeutend
> damit von z_n angeben.

Nein, muss ich nicht. Ich muss nur daraufhinweisen, dass z.B. A in
deiner "Abzaehlung" fehlt. Das allein genuegt eben schon.

> Es ist zu billig, immer wieder unbewiesene
> Behauptungen aufzustellen, nur weil das Resultat nicht zur
> vorgefassten Meinung passt.

Dazu sage ich nur: Du hast deine Behauptung nicht bewiesen, weil sie die von
mir beschriebenen "Luecken" enthaelt. Ist das jetzt "billig" von Dir ? Ich
finde nicht !

Noch mal konkret:
In deiner Argumentation oben (der Definition der z_n), zaehlst du perfekt
alle endlichen Teilmengen von A ab. KEINES der z_n enthaelt eine unendliche
Teilmenge. Und wenn ich deinen "Puenktchen" fuer die Konstruktion folge,
dann entsteht auch keine ! Schau es dir bitte noch mal an !! Bitte !!
Du gibst doch sogar selber an, dass die Mengen von z_n alle aus elementen
BIS zu einem gewissen a_n bestehen ! Aber das sind eben nur endlich viele !!
Erst durch die Zusammenfassung zu einer "Menge von Mengen von Mengen" (Z)
und anschliessendem Uebergang zu G schaffst du eine Argumentation, warum
unendliche Mengen drin sein muessten (Konjunktiv).
Wenn die z_n POT(A) abzaehlen sollen, dann muessen diese allein es tun - und
das tun sie nicht. Du hast KEIN z_n, dass A enthaelt.
Oder irgendeine andere unendliche Teilmenge von A.

Gruss

N

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

Hallo Dieter,
und dann noch eine neue Antwort, wieder nur ein Thema herausgepickt,
dieses Mal der Beweis dafuer, dass es keine Bijektion zwischen x und
Pot(x) gibt.

1) Sei x eine beliebige Menge, Pot(x) die Potenzmenge, also die Menge
aller Teilmengen von x.
2) Sei f : x -> Pot(x) eine Bijektion von x nach Pot(x).
3) Keine weitere Bedingung an f, nur die reine Existenz wird gefordert.
4) Bilde die Menge z = { u \el x | u \nel f(u) }.
5) Nach Konstruktion ist z eine Teilmenge von x, also ein Element von
Pot(x).
6) Da f Bijektion auf Pot(x) ist, gibt es ein eindeutig bestimmtes
Urbild y in x mit der Eigenschaft, dass f(y) = z.
7) Ang: y \el z. Dann gilt nach Definition von z, dass y \nel f(y), also
y \nel z. Widerspruch!
8) Also: y \nel z. Dann gilt aber y \el f(y) = z. Ebenfalls Widerspruch!
9) Also kann f keine Bijektion von x nach Pot(x) sein.
10) Wo ist der mathematische Fehler in obigem Beweis? Keine Polemik,
keine Philosophie, nur Mathematik bitte.

>
> Gruss
>
> Dieter

[Christian Semrau]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

> > Entscheidend ist aber Dein letzte obiger Satz, der meiner Meinung nach
> > das ganze Problem unserer Diskussion zusammen fasst. Warum muss es
> > natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Elementen geben? Jede einzelne
> > natuerliche Zahl entsteht aus einem endlichen Iterationsprozess und
> > besitzt daher nur endlich viele Elemente. Es gibt zwar unendlich viele
> > solcher Zahlen, aber jede einzelne fuer sich ist endlich.
> > Ich glaube, dass das der entscheidende Fehler in Deinen
> > Argumentationsketten ist und Du solltest versuchen, dieses
> > Verstaendnisproblem zu loesen. Die Menge der natuerlichen Zahlen ist
> > unendlich, aber jede einzelne natuerliche Zahl besteht, als Menge
> > betrachtet, aus endlich vielen Elementen, und hat daher, egal ob in
> > Binaer- oder Dezimaldarstellung, nur endlich viele Stellen.
>
> Damit stehst Du im Widerspruch zu Christian Semrau. Er hat in seinem
> posting vom 24. 1. 10:57 bestaetigt, dass die Menge B der Binaerstellen
> der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig N ist.

Ich habe erklaert, dass die Menge B aller Binaerstellen natuerlicher
Zahlen gleichmaechtig N ist. Aber was hat das damit zu tun, wieviele
Binaerstellen eine einzelne natuerliche Zahl hat?
Die Menge der natuerlichen Zahlen ist unendlich, aber jede natuerliche
Zahl ist endlich. Die Menge der Binaerstellen natuerlicher Zahlen ist
unendlich, aber jede natuerliche Zahl hat nur endlich viele
Binaerstellen. Da besteht kein Widerspruch.

Jede Zahl hat nur endlich viele Stellen, aber die Stellenzahl ist
unbegrenzt. Das heisst, du kannst zu jeder Stellenzahl b eine
natuerliche Zahl n angeben, die mehr Stellen hat. Aber diese Zahl n hat
wieder nur endlich viele Stellen. Bloss eben mehr als das gegebene b.

> Ich habe dieses unfaire Spiel langsam satt.

Niemand spielt mit dir. Wir liefern Aussagen, die fuer uns keinen
Widerspruch enthalten, aber du siehst darin Widersprueche. Umgekehrt
sehen wir Widersprueche in Aussagen, die dir klar sind.
Alles was ich persoenlich versuche, ist zu einer gemeinsamen Meinung zu
gelangen. Wer von uns dabei von seiner urspruenglichen abweichen muss,
ist dabei erstmal egal.

Nebenbei:
In diesem Posting vom 24.1. habe ich - fuer mich offensichtlich -
gezeigt, dass die von dir gegebene Abbildung von N nach Pot(N) keine
Bijektion ist, und zwar unabhaengig davon, ob du natuerliche Zahlen mit
unendlich vielen Stellen zulaesst oder nicht. Leider hast du auf das
Posting nicht geantwortet, ich hatte darin ein paar Fragen gestellt,
deren Klaerung mir noetig scheint, um meine Aussagen zu erhaerten.

Christian

--
Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
Um auf die andere Seite - aehm...

[Detlef Müller]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo zusammen,
>
> offensichtlich muss ich nochmals auf die Abzaehlbarkeit der
> Potenzmengen eingehen.
>
> A = {a_1, a_2, a_3, ...} ist eine abzaehlbar unendliche Menge.
> Die Elemente von Pot(A) werden folgendermassen geordnet
> (hinter --> sind die natuerlichen Zahlen angegeben, auf die man die
> Elemente von Pot(A) abbilden kann):
> z_0 := {{}}, {leere Menge}, wird definitionsgemaess zugefuegt --> {0}
> z_1 := {{a_1}} --> {1}
> z_2 := {{a_2}, {a_2, a_1}} --> {2, 3}
> z_3 := {{a_3}, {a_3, a_1}, {a_3, a_2}, {a_3, a_2, a_1}} --> {4, 5, 6, 7}
> z_4 := {{a_4}, {a_4, a_1}, {a_4, a_2}, {a_4, a_2, a_1}, {a_4, a_3},
> {a_4, a_3, a_1}, {a_4, a_3, a_2}, {a_4, a_3, a_2, a_1}}
> --> {8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}
> ...
>
> Die Ordnungsrelation ist leicht erkennbar.
>

Du hast eine Aufzaehlung der endlichen Teilmengen
angegeben, nach der Anzahl der Elemente sortiert (falls
die a_i paarweise verschieden sind).

>
> Es ist auch erkennbar, dass jedes Element von Pot(A) einen Platz in
> dieser Folge hat, wenn man sie nur lange genug fortsetzt. Mehr verlangt
> das Abzaehlbarkeitskriterium nicht.
>

Nein, es ist fuer mich nicht erkennbar.
Waer auch verwunderlich, da ein Standardelement von Pot(N),
naemlich N selbst, nicht auftaucht ...

> Zur Erhoehung der Uebersicht sind die Elemente jeder Zeile zu einer
> Menge z_n zusammengefasst. Die Menge Z = {z_0, z_1, z_2, ...} ist
> eine abzaehlbar _unendliche_ Menge. G ist die Menge, die alle
> Elemente der Elemente von Z enthaelt ("grosse" Vereinigungsmenge).
> Nach meiner Behauptung ist Pot(A) = G.
>

welches z_i ist dann bitte A?
Zwei Mengen sind gleich, wenn jedes Element der einen
auch in der jeweils anderen vorkommt.
A kommt in Pot(A) vor.
Dann muss A in G liegen.
Nach Definition von G muss A daher in einem
der z_i liegen.
Was ist dieses i?

> Ihr behauptet dagegen, die unendlichen Teilmengen von A seien
> nicht in G enthalten. Die Behauptung waere richtig, wenn Z eine
> endliche Menge waere und ein groesstes Element z_max enthielte.
> Jedes z_n enthaelt alle Teilmengen von A, die sich aus den Elementen
> a_1 bis a_n bilden lassen und das Element a_n enthalten.
>

Richtig. Und jedes z_n enthaelt a_(n+1) nicht.
Also enthaelt kein z_n ganz A.

> Da Z kein groesstes Element enthaelt, gibt es auch keine Begrenzung
> der a_n, aus denen die Teilmengen zu bilden sind. Folglich sind auch
> die unendlichen Teilmengen von A in G enthalten.

Bestreite ich. :)

> Wenn Ihr das
> bestreitet, muesst Ihr den groessten Wert von a_n und gleichbedeutend
> damit von z_n angeben.
>

Wieso muss ich das bitte?

Wenn A in keinem der z_n als Element enthalten ist,
ist es auch in deren Vereinigung nicht enthalten.

Die Vereinigung enthaelt alle Elemente, die
in einer der zu vereinigenden Mengen vorkommen,
und keins mehr.

A ist in keinem z_n enthalten, also kommt es in
der Vereinigung nicht vor.

So einfach ist die Mengenlehre!

> Es ist zu billig, immer wieder unbewiesene
> Behauptungen aufzustellen, nur weil das Resultat nicht zur
> vorgefassten Meinung passt.
>

In obigem Beweis greife ich ausschliesslich auf die
Definitionen zurueck.
Und in denen taucht nichts von wegen "groesstes Element"
auf!

> Natuerlich erscheinen die Teilmengen, die viele Elemente enthalten,
> erst weit hinten in der Folge. Das liegt in der Natur der Sache.
>

Und Teilmengen mit unendlich vielen Elementen tauchen ueberhaupt
nirgends auf.
Das liegt auch in der Natur der Sache. :)

> Bei einer unendlichen Menge koennen nicht alle Elemente auf den
> vorderen Raengen erscheinen. Das ist auch bei der Menge der
> natuerlichen Zahlen nicht anders. Die Mengen n, die den natuerlichen
> Zahlen n entsprechen, erscheinen auch um so weiter hinten, je mehr
> Elemente sie enthalten. Warum sollte das bei den geordneten Teilmengen
> einer Potenzmenge anders sein?
>

Noe, ist da genauso.
Es ist nur ein Unterschied zwischen "weiter hinten erscheinen"
und "gar nicht erscheinen".
Sehr grosse Mengen erscheinen weiter hinten, solange sie noch
endlich sind, aber unendliche Mengen erscheinen, so leid es
mir tut (nicht wirklich :) ) nie.

> Es sei B = {a_1, a_3, a_5, ...} eine unendliche Teilmenge von A.
> B steht stellvertretend fuer eine beliebige unendliche Teilmenge
> von A, in der auch unendlich viele Elemente von A fehlen koennen.
> Alle Elemente von B sind auch Elemente von A. A ist eine induktive
> Menge, d. h. jedes Element von A wird aus den vorhergehenden
> Elementen erzeugt. Zu jedem auf diese Weise definierten a_n existiert
> das zugehoerige z_n. Die Mengen z_1 bis z_n enthalten alle Teilmengen
> aller bereits definierten a_n.
>

Nur suchen wir leider ein Element eines z_i, derart, dass
zu jedem "n" aus {1,3,5,...} , dass mir ein boeswilliger
Mensch nennt, nachweisbar ist, dass a_n Element von z_i ist,
und zwar ohne nachtraeglich zu sagen "ach, herje, das war just
das falsche i, ich nehm jetzt doch ein anderes".
Das gelingt nicht, denn der Boesewicht kennt ja das
i, und weist keck darauf hin dass a_(i+2) nicht in einem
der Elemente von z_i liegt.
Damit ist A aber in keinem der Elemente von z_i auch nur
enthalten, also erstrecht nicht gleich einem solchen.
Daher ist A fuer kein einziges der z_i ein Element von
z_i.
Daher ist A nicht in der Vereinigung der z_i enthalten.

> Eure Behauptung, dass Z nicht alle
> Teilmengen von A enthaelt, obwohl es kein groesstes z_n gibt, bedeutet,
> dass A auch undefinierte Elemente enthalten muss.
>

Sehe ich nicht.

> Hier zeigt sich das Kernproblem der Mengenlehre. Ich habe bereits
> frueher darauf hingewiesen, dass keine unendliche Menge vollstaendig
> abzaehlbar ist. Denn es gibt keine Zahl, die aussagt, wieviele Elemente
> die unendliche Menge enthaelt.
>

Deshalb redet man da auch von "Kardinalitaeten", das
sind im Fall unendlicher Mengen natuerlich keine Zahlen
im herkoemmlichen Sinne mehr!

> Zaehlen bedeutet, wie gesagt, ein
> Element an das andere anfuegen. Solange dieser Zaehlvorgang auch dauert,
> man hat immer nur eine endliche Teilmenge abgezaehlt und schiebt einen
> unendlichen Berg von noch nicht abgezaehlten Elementen vor sich her.
>

Wenn man das induktionsaxiom nicht akzeptiert,
ist da was drann.

Siehe "Hilberts Hotell":

Was ist aber, wenn alle Gaeste gleichzeitig auf den Gang
und eine Tuer weiter gehen?

Warum sollte man alles prozedural betrachten?

Meinst Du, Die Welt ist ein Grosser Computer
mit einem Zentralprozessor, der immer schoen
eins nach dem Anderen ausfuehrt?
Und das umfasst nicht nur die Physikalische
Welt, sondern insbesondere auch die Welt der
abstrakten Zusammenhaege in irgendwelchen
Modellen!
Glaubst Du ernsthaft, wenn ich eine Aussage
fuer Natuerliche Zahlen per Induktion gezeigt
habe, gilt sie "in echt" erst, wenn ich es
wirklich durchiteriert habe?

...

> Menge. Die Mengenlehre beachtet (vernuenftigerweise) nur die
> abgezaehlten und damit definierten Elemente, waehrend die unendlich
> vielen nicht abgezaehlten Elemente unberuecksichtigt bleiben. Das muss
> dann aber konsequenterweise immer gelten.
>

Wenn ich das recht verstanden habe, betrachtet die
Mengenlehre Mengen.
Auf Elemente wird zurueckgegriffen, um Relationen
zwischen den Mengen zu definieren, und um neue Mengen
zu Definieren.

...

> mengen nicht auf, dann sind auch sie abzaehlbar. Bei Potenzmengen
> verlangt Ihr aber, dass auch die nicht definierten Elemente der
> Grundmenge A beruecksichtigt werden sollen.

Es geht um Mengen.
Und bei allen Argumenten braucht man nur "definierte
Elemente".

Etwa Oben konnte ich zeigen, dass es eben kein "definiertes"
Element aus einem z_i gibt, dass A enthaelt.
Dazu brauche ich nichtmal mengentheoretiker sein.
Eher ins schwimmen koenntest Du mich uebrigens bringen, wenn
Du darauf hinweist, das zu Pot(A) keine rechte Grundmenge
existiert, in der Pot(A) enthalten ist - aber das ist ja
ein anderes Thema ...
...

>
> Mein zweiter Beweis fuer die Abzaehlbarkeit von Potenzmengen kam ohne
> Abbildung aus. Obwohl ich ausdruecklich erwaehnt hatte, dass die dort

> auftauchenden T_n abzaehlbar _unendlich_ ...
>
Die T_n sind unendliche Mengen, waren das die, wo endlich viele
Primzahlen fehlten?

> sind und es kein groesstes n
> gibt, habt Ihr wieder mit endlichen n und T_n argumentiert. Da es
> keinen grossten Wert fuer n gibt, enthaelt die Vereinigungsmenge T
> aller T_n auch alle Teilmengen mit unendlich vielen Primzahlen.
>

Dann also doch endliche? Zieh einfach dein Ding durch und
bestimme was die T_n sind!

> Die T_n sind definiert als Menge aller Produkte von n verschiedenen
> Primzahlen.
>

Produkte, also sind die T_n jetzt natuerliche Zahlen.

> Da die Abbildung auf N nicht benoetigt wird, kann man
> die T_n auch als Menge aller Teilmengen mit n verschiedenen Primzahlen

> betrachten ...
>
Nun sind die T_n auf einmal wieder Mengen.
wundersam. (insbes. ohne eine Abbildung)

> oder im allgemeinen Fall als Menge aller Teilmengen mit n
> verschiedenen Elementen von A, A = abzaehlbar unendliche Menge. Um die
> Abzaehlbarkeit der T_n nachzuweisen, wurden sie als Vereinigungsmenge
> der T_nk beschrieben, wobei der Index k ebenfalls keinen groessten
> Wert hat.
>

Aha. (?)
T_n Scheint ein sehr flexibles Objekt zu sein.

> Zu jeder natuerlichen Zahl n laesst sich die entsprechende Teilmenge
> T_n bilden. Wenn Ihr die Existenz der Vereinigungsmenge T bezweifelt,
>

Hallo!
Bezweifelt wird, dass T auch eine natuerliche zahl zuzuordnen ist,
wie es bei den einzelnen endlichen T_n geht.
Irgendwie werden ja auch alle Zahlen n aus N verbraucht
fuer je ein T_n,
Der Vereinigung T kann dann keine einzige Zahl k
zugehoeren, denn zu der gehoert ja T_k schon, und
Das ist ja eine endliche Menge, mithin ungleich
T, oder?

> stellt Ihr auch die Existenz von N in Frage. Ihr beharrt allerdings
> darauf, dass N die Vereinigungsmenge aller n ist. Folglich existiert
> auch T und somit enthaelt T auch alle Teilmengen mit unendlich vielen
> Primzahlen.
>

Klar existiert T. Aber jedes Element t von T kommen stets
in einem (von t abhaengigen) T_n vor, das ist eben die Definition
der Vereinigungsmenge.
Damit ist jedes t aus T eine endliche Menge, da es eine Natuerliche
Zahl n zu t gibt, die die Anzahl der Elemente von t begrenzt.
Deshalb kann kein einziges t unendlich viele Elemente haben.

Gruss,
Detlef

[Detlef Müller]

Dieter Jungmann wrote:
>
...

>
> Wieso redest Du schon wieder von Teilmengen, die endlich viele Primzahlen
> enthalten? Diese sind zwar auch in den T_n enthalten. Fuer den Index n
> gibt es aber keinen groessten Wert. In der Vereinigungsmenge der T_n
> sind daher auch alle Teilmengen mit unendlich vielen Primzahlen enthalten.
>

Leider ist die Vereinigungsmenge der T_n selbst
kein T_n, ganz offenbar, wenn die T_n alle endlich
sind.
Aber auch wenn Du die Mengen T1_n, in denen endlich
viele Primzahlen fehlen, hinzunimmst,
erfasst Du nicht unendliche Primzahlmengen, in denen
unendlich viele Primzahlen fehlen.
Denn eine Solche Menge ist weder von der Form
T_n (dann waere sie endlich) noch der Gestalt
T2_n (denn es fehlen ja nicht nur endlich viele).
Ob sie eine Vereinigung solcher Mengen ist, ist
nicht relevant, denn das von Dir gegebene Mengensystem
ist nicht gegen beliebige Vereinigungen abgeschlossen.

...

> > Dann war das vielleicht etwas missverstaendlich ausgedrueckt. Gemeint
> > ist das Folgende: Fuer jede einzelne natuerliche Zahl n, die uebrigens
> > per Definition endlich ist, weil ich sie in endlich vielen
> > Iterationsschritten erreichen kann, ist T_n natuerlich die
> > Vereinigungsmenge alle T_i mit i <= n. Insbesondere besitzt dann T_n ein
> > groesstes Element, naemlich n. Die Vereinigung aller, unendlich vielen,
> > T_n ist die Menge der natuerlichen Zahlen. Sie ist selbst keine
> > natuerliche Zahl, da ich sie nicht in endlich vielen Iterationsschritten
> > erreichen kann, ...
>
> wie kannst Du dann die Vereinigungsmenge bilden, wenn nicht alle Elemente
> erreichbar sind?
>

Durch simples Argumentieren:

Sei n aus N gegeben.

Zunaechst sind alle T_n Teilmengen von N.

Zu jedem n aus N gilt dann dass es ein
T_i gibt, so das n in T_i liegt oder nicht.

Ob ich das in endlich langer Zeit herausfinden
kann oder nicht, ist wurscht, es reicht, zu
wissen, dass nur des eine oder das andere
der Fall sein kann. Oben steht eine
Eigenschaft, und die definiert eine Teilmenge
von N allein Kraft ihrer Beschreibung -
ob mir das wenig hilft, weil ich diese
Teilmenge eventuell nicht auflisten kann,
steht auf einem anderen Blatt.
Die Mengenlehre nennt ebendiese Menge
die Vereinigung der Teilmengen T_i.

Du siehst: Die Mengenlehre kommt hier
ohne jegliches "bilden" aus!

Es reicht eine Grundmenge und ein System
aus Teilmengen zu kennen, dann
_existiert_ die Vereinigungsmenge
durch Angeben einer Eigenschaft -
Diese _existierende_ Menge kann man
dann untersuchen, und versuchen, ihre
_existierenden_ Elemente explizit
anzugeben.

Genauer kenne ich das so, dass zu jeder
Menge X und jeder auf X definierten
Eigenschaft E(x) von Objekten x aus X

Die Menge {x aus X | E(x)} durch diese
Eigenschaft definiert ist.

Das kannst Du kritisieren und fuer
unpraktisch halten - aber ein Widerspruch
ergibt sich deswegen noch nicht.

> > ... und sie besitzt auch kein groesstes Element.
> > Das meine ich damit, wenn ich sage, dass die abzaehlbare Vereinigung von
> > endlichen Menge mit einer bestimmten Eigenschaft diese Eigenschaft nicht
> > mehr unbedingt besitzen muss.
>
> Das heisst also: Es gibt eine endliche Anzahl natuerliche Zahlen, die
> durch Iterationsschritte definiert sind (welches ist die groesste?),
> und eine unendliche Anzahl von nicht durch Iterationsschritte definierten

> natuerlichen Zahlen. ...
>
Wo liest Du denn das heraus? Das steht ja wohl nirgends.

> N ist die Vereinigungsmenge der endlichen Menge
> definierter mit der unendlichen Menge undefinierter natuerlicher Zahlen.
>

Quatsch.
N ist die Vereinigungsmenge der unendlich vielen
definierten natuerlichen Zahlen.
Damit ist N selbst keine Natuerliche Zahl, da diese
selbst per Definition stets nur endliche Vereinigungen
sind.

> Ist das die "sichere" Grundlage der Mengenlehre? Dann braucht man sich
> ueber nichts mehr zu wundern.
>

Selbsterzaehlten Unfug einer Theorie anzulasten ist
schon eine interessante Art sich auf die Schulter
zu klopfen. Ich hoffe, Du fuehlst Dich gut dabei.

> > Ich sehe nicht, dass ich einen Fehler begangen habe, und schon gar nicht
> > den selben wie Du. Zur weiteren Argumentation folgende Anmerkungen:
> > 1) Natuerlich steht und faellt die Frage der Abzaehlbarkeit nicht damit,
> > dass man ueber das Bild eines einzigen Elements vielleicht keine Aussage
> > machen kann. Die Frage nach f(D1) war aber nur ein Beispiel, um Dir zu
> > zeigen, dass Deine Vorschrift keine wirkliche Abbildung von Pot(D1)
> > beschreibt. Du kannst D1 gerne durch jede andere unendliche Teilmenge M
> > von D1 ersetzen. Jedes Mal wird es Dir nicht gelingen, f(M) anzugeben.
> > Ich hatte allerdings Probleme, all diese unendlichen Teilmengen M in
> > meinem Posting anzugeben, da es sich meiner Meinung nach dabei um
> > ueberabzaehlbat viele handelt.
>
> Und mit der Meinung Seiner Majestaet soll ich mich gefaelligst zufrieden
> geben! In der Mathematik zaehlen Beweise, nicht Meinungen.
>

Tja, und so einen Beweis bist Du schuldig. Denn dein f von
oben ist keine vernuenftig definierte Abbildung.
Und dank des hier oefter gebrachten Beweises der
Ueberabzaehlbarkeit von P(N) wird zu jedem
anderen f, dass Du angibst - wenn Du es je bis zu einer vernuenftig
definierten Abbildung bringst, nachweisbar sein, dass es nicht
alle Teilmengen umfasst, oder sonst etwas falsch ist.

Dir sollte klar sein, dass es ein f geben muss,
dass wirklich bijektiv ist, und nicht "nach Menschlichem
ermessen, wenn man es ein wenig korrigiert und die eine
oder andere Menge weglaesst"...

> Es waere
> hoechst aufschlussreich, zu erfahren, wie Du aus einer abzaehlbar
> unendlichen Menge ueberabzaehlbar viele Teilmengen ableiten willst.
>

Durch bilden der Potenzmenge :)
Uebrigens stimme ich mit Dir ueberein, dass sich im vorliegenden
Fall P(n) quasi lexikografisch ordnen laesst.

...

> > Verstaendnisproblem zu loesen. Die Menge der natuerlichen Zahlen ist
> > unendlich, aber jede einzelne natuerliche Zahl besteht, als Menge
> > betrachtet, aus endlich vielen Elementen, und hat daher, egal ob in
> > Binaer- oder Dezimaldarstellung, nur endlich viele Stellen.
>
> Damit stehst Du im Widerspruch zu Christian Semrau. Er hat in seinem
> posting vom 24. 1. 10:57 bestaetigt, dass die Menge B der Binaerstellen
> der natuerlichen Zahlen gleichmaechtig N ist. Wenn Ihr Euch als
> Vertreter der Mengenlehre untereinander nicht einigen koennt, wie soll
> ich dann vernuenftig mit Euch diskutieren?

Bla bla bla ...

So bloed kannst Du ja wohl nicht sein, den Unterschied
zwischen _Anzahl der Binaerstellen einer einzigen Zahl_
und _Der menge der Anzahlen der Binaerstellen aller Zahlen_
nicht zu verstehen!
Wenn Dir also zur Sache nichts mehr einfaellt, und Du
nun die laecherliche Idee hast, in eine sci-usegroup
mit rhetorischen Spielchen anzufangen: Geh weg.

> Einer sagt rechts, der
> andere links, ich versuche so gut wie moeglich, auf Eure Argumente zu
> antworten und bin dadurch natuerlich gezwungen selbst unterschiedlich
> zu argumentieren. Als Folge davon werft Ihr mir fehlende Geradlienig-
> keit vor. Ich habe dieses unfaire Spiel langsam satt.
>

Vielleicht verstehst Du obigen Unterschied wirklich
nicht.
Dann empfehle ich, entweder noch einmal von Grund auf
zu lernen, oder ein anderes Betaetigungsfeld.
Sorry, aber der Unterschied zwischen _einer_ beliebigen
Zahl und _der Menge aller_ Zahlen ist ja wohl nicht so
feinsinnig, dass er Deine intellektuellen Faehigkeiten
ueberfordern kann.

> Du wiederholst gebetsmuehlenartig nun schon zum x-ten mal dieselbe
> unsinnige Behauptung und weigerst Dich anzugeben, wie gross denn wohl
> die endliche Menge B ist. Du bleibst auch die Erklaerung schuldig, wie
> Du mit endlich vielen Binaerstellen, Zeichen oder Symbolen eine
> unendliche Menge Zahlen darstellen willst.
>

Vielleicht kann ich das Ganze fuer Dich zusammenkitten:

B ist die Menge der Stellenzahlen _aller_ natuerlichen
Zahlen.
Diese ist, wie schon erwaehnt wurde, gleich den Natuerlichen
Zahlen selbst, da jede Stellenzahl auch auftritt.
Hat man nun aber _eine_ beliebige Zahl n gegeben, so
ist deren Stellenzahl b(n) ein Element der unendlichen
Menge B.
Aber b(n) ist eine endliche Zahl, naemlich gerade der
nach oben gerundete Logarithmus zur jeweiligen Basis.
Klar?
Kein Widerspruch: Jede Stellenzahl taucht auf, also
unendlich viele Stellenzahlen, und jede dieser Stellenzahlen
ist endlich.

...

> vertrete, versucht Ihr die Quadratur des Kreises. Die Behauptung,
> dass es nur natuerliche Zahlen mit endlich vielen Stellen aber
> trotzdem unendlich viele natuerliche Zahlen gibt, ist ein klarer
> Widerspruch. Er laesst sich nur aufheben, wenn man die Menge der
> natuerlichen Zahlen unterteilt in eine endliche Menge von nat. Zahlen
> mit endlich vielen Stellen, das waeren die definierten Zahlen,
> und eine unendliche Menge von undefinierten nat. Zahlen, deren

> Stellenzahl offen ist. ...
>
Du hast ja die natuerlichen Zahlen ueber Kardinalitaeten
definiert - da taucht erstmal nichts von Stellen
auf.

Die tauchen erst auf, wenn man Stellen zuordnet, indem man
(zum einfacheren Rechnen) Zahlensysteme einfuehrt.
Tut man das, kann man jeder Zahl eine Zeichenkette zuordnen,
und erhaelt eine Folge von Zeichenketten, etwa binaer

(1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, ...) <- Ketten
(1, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, ...) <- Stellenzahl

So erhaelt man eine bijektive Abbildung der Natuerlichen
Zahlen in die Menge der _endlichen_ Zeichenketten aus {0,1},
die mit 1 anfangen.

Was ist denn nun das Problem?

Dass jede der Zeichenketten endlich ist, ist ja wohl klar,
die Stellenzahl nimmt ja langsamer zu als die Numerierung,
und jede natuerliche Zahl ist ja selbst schon endlich.
Dass die Ketten aber beliebig lang werden koennen ist auch
klar, denn es kann keine Grenzlaenge N geben, da 2^N ja
eine Zahl n ist, die N+1 Stellen hat.

Was soll der Widerspruch dabei sein, dass die Zeichenketten
jede feste Laenge ueberschreiten koennen, aber immer
endlich lang sind?

Natuerliche Zahlen werden ja auch immer groesser,
obwohl jede einzelne nur endlich gross ist.

Gruss,
Detlef

[Christian Semrau]

Dieter Jungmann wrote:
>
> [...] Ausserdem ist die mengentheoretische

> Zahl n eine Menge mit n Elementen. Wenn es unendlich viele natuerliche
> Zahlen gibt, gibt es auch Zahlen (= Mengen) mit unendlich vielen
> Elementen.

Jede natuerliche Zahl ist (mengentheoretisch) eine Menge. Aber warum
sollte jede Menge einer Zahl entsprechen? Die Vereinigung ALLER
natuerlicher Zahlen ist eine Menge, aber sie ist nicht selbst eine
natuerliche Zahl, denn natuerliche Zahlen sind stets nur Vereinigung der
endlich vielen natuerlichen Vorgaenger.
Niemand ausser dir sieht einen Widerspruch darin, dass es unendlich
viele natuerliche Zahlen gibt, die alle endlich sind.

> Zu ihrer Darstellung im Dualsystem benoetigt man Folgen von unendlich
> vielen Zweierpotenzen, die als Summanden einer endlosen Reihe zu
> einer Zahl zusammengefasst werden. Fasst man in obiger Ordnungs-
> relation A als Menge D1 der Zweierpotenzen auf, so folgt, dass auch
> die unendlichen Teilmengen von D1 eine Abbildung auf N haben, sonst
> muesste man die Existenz von natuerlichen Zahlen mit unendlich vielen
> Binaerstellen leugnen, woraus aus dem untrennbaren Zusammenhang mit
> der Anzahl der natuerlichen Zahlen folgen wuerde, dass N endlich ist.

Ja wir leugnen die Existenz von natuerlichen Zahlen, und behaupten
gleichzeitig die Existenz von unendlich vielen natuerlichen Zahlen.
Antworte nicht hier, sondern antworte bitte auf Holger Gollans Posting
vom 12.2. um 11:28, in dem er genau diese Frage aufwirft.

[Detlef Müller]

Franz Prilmeier wrote:
>
> Hallo,
>
> [hübsches Beispiel]
>
> Erst mal Danke für das erklärende Beispiel.
>

...

>
> > Dies ist ein Hotel mit unendlich vielen Zimmern, die alle belegt sind.
> > Ein neuer Gast moechte ein Zimmer. Der Hotelier verlegt daraufhin den
> > Gast aus Zimmer 1 in Zimmer 2, den Gast aus Zimmer 2 in Zimmer 3 usw.
> > Der neue Gast erhaelt Zimmer 1 und das Problem scheint geloest.
>
> Es wird also versucht einer unendlichen Menge eine andere unendliche
> Menge zuzuordnen, die irgendwie (sozusagen per Konstruktion) ein Element
> mehr hat als die andere (obwohl man das ja auch nicht sagen kann, da
> beide Mengen unendliche viele Elemente haben). Man sucht nach einer
> Abbildung, die die natürlichen Zahlen mit der Null auf die natürlichen
> Zahlen ohne diese abbildet, Deiner Beschreibung nach findet man diese
> nicht, da man dazu die ganze Menge quasi um eins nach rechts verschieben
> müsste, also
>
> f: x \in N \cup {0} -> x + 1
>
> Wenn man sich diese Operation nun zeitlich vorstellt, so dauert dies
> unendlich lange, da man ja nie aufhört zu permutieren, dies ist also
> kein Algorithmus dafür diese Person einzuquartieren, da dieser niemals
> endet.
>

Was aber nur an der eingeengten Sichtweise liegt.

Ich meine: wer sich ein Hotell mit unendlich vielen
Zimmern vorstellt, sollte nicht daran scheitern,
es fuer unmoeglich zu halten, dass alle Gaeste
_gleichzeitig_ auf den Flur treten, und ins
Nachbarzimmer eintreten, oder?

Die Aktion ist dann in 30 Sekunden ueber die
Buehne gegangen!

Fehlt jetzt bloss noch der Einwand, die Nachricht
von der Neuankunft koenne sich ja bloss mit
Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, und somit
koennten nicht alle Einwohner gleichzeitig
instruiert werden ...

> Es ist mir schon klar, dass sowas Probleme bereitet. Denn nach
> Definition von gleichmächtigen Mengen sind diese Mengen gleichgross
> (wenn man überhaupt von so etwas sprechen kann), ich habe ja gerade eine
> Bijektion angegeben.
>
> Da kommt mir auch schon die Frage nach dem Warum in den Sinn:
>
> Warum kann man sagen, dass, falls es eine Bijektion zwischen einer Menge
> und den Natürlichen Zahlen gibt, diese Menge dann abzählbar ist? Was
> steckt da dahinter? Eine Art Induktion (Diese Peano Axiome)?
>

Dahinter steckt genau das, was der Ausdruck suggeriert:
Hast Du ein Element a der Menge gegeben, so ist sicher,
dass es das Bild genau einer natuerlichen Zahl n ist.
Ueber die bijektive Abbildung kann man also alle Elemente
durchnumerieren, also "abzaehlen".

Das erwaehnte Induktionsaxiom behauptet, dass, wenn ich
0 ein Element f(0) kenne, und wenn ich zu einem
natuerlichen n ein f(n) kenne und aus diesem f(n) ein
f(n+1) konstruieren kann, dass damit f fuer alle natuerlichen
n festgelegt ist.

Man braucht es hier nicht unbedingt, da ja f gar nicht
induktiv definiert wird, sondern bereits fuer n angegeben
ist, ohne dass man die vorherigen Werte brauche wuerde.
Ich weiss als f(10000)=10001, ohne vorher alles durchrechnen
zu müssen.
Genau das ist auch der Grund, warum das Argument, dass immer
einer auf dem Gang stehen muss, hier Unsinn ist.

> Wer kann mir diesen scheinbaren Widerspruch in Wohlgefallen auflösen
> (Ich denke jetzt, das ist es, um was es die ganze Zeit geht)?
>

Hoffe geholfen zu haben.

> Einerseits kann man durch die Bijektion diese Person einquartieren,
> andererseits nicht, denn es ist ja gar kein Zimmer frei... Die
> Unendlichkeit erschafft uns also wundersame Dinge, die es eigentlich gar
> nicht geben kann.
>

Wieso "eigentlich gar nicht geben kann"?
Das Beispiel zeigt nur, dass Unendlich eben anders behandelt
werden muss wie Endlich.
Wenn man es sich mal in Ruhe ueberlegt, ist doch eigentlich
klar, dass es geradezu komisch waere, wenn etwa eine derart
Weltfremde Konstruktion wie ein Hotell mit unendlich vielen
Zimmern nicht zu Moeglichkeiten fuehren wuerde, die ueber
die herkoemmlicher Hotells hinausgehen.

> Solange man sich in wohldefinierten, diskreten Mengen bewegt scheint man
> aber noch sicher zu sein, dass einem plötzlich irgendetwas undefiniertes
> zustösst.
>

Hierzu sei bemerkt, dass alles sehr schoen definiert ist.
Zumindest an der hier vermuteten Stelle sehe ich keinerlei
Widerspruch oder undefiniertheit.
Und das seltsame Sachen bei unendlichen Mengen passieren
koennen, und man mit seiner Argumentation aufpassen muss,
duerfte klar sein.
Klassisches Beispiel, wie man hereinfallen kann, ist die
"unfehlbare" Methode, beim Roulett zu gewinnen, indem man
immerwieder das doppelte auf die selbe Farbe setzt.
Das klappt tatsaechlich - vorausgesetzt man hat unendlich
viel Einsatz ...

Gruss,
Detlef

[Dieter Jungmann]

Hallo Horst,

Es ist nicht leicht, mit der Fuelle der postings mitzuhalten.
Was Deine Ausfuehrungen zur Abzaehlbarkeit von unendlichen Mengen
betrifft, verwechselst Du das Abzaehlbarkeitskriterium mit den
wesentlich schaerferen Bedingungen fuer eine Peano-Struktur.

> Nimm einfach die Menge der rellen Zahlen >=0 mit 0 als Anfangselement
> und definiere fuer alle r: r+ := r+1
>
> Offsichtlich erfuellt diese Definition die obigen Forderungen 1-4. R
> ist damit "abzaehlbar", oder ? Richtig. 1/2 hat z.B. keinen
> "Vorgaenger". Damit stellt sich heraus, das dies doch keine so
> richtige "Folge" ist, sondern ein Sammelsurium von unabhaengigen
> nebeneinanderliegenenden Folgen und es ist hier ganz offensichtlich,
> dass Du von 0 aus durch Anwendung der Nachfolgerfunktion nie 1/2
> erreichen kannst.

Wenn das eine Bedingung fuer Abzaehlbarkeit waere, waeren die meisten
Mengen, darunter auch die Menge der rationalen Zahlen, nicht abzaehlbar.
Nimm z.B. die Menge A = {0,2; 1,2; 2,2; ...}. Die Vereinigungsmenge
B = {0; 0,2; 1; 1,2; 2; 2,2; ...} von N und A ist zweifellos abzaehlbar,
obwohl sie dein Kriterium nicht erfuellt. Dazu ist nicht mehr zu sagen.

Interessant ist Deine Schlussbemerkung:

> [Nebenbei bemerkt kann man voellig elementar mittels naiver
> Mengenlehre ohne Verwendung von "Folgen" oder "natuerlichen Zahlen"
> beweisen, dass es keine Bijektion zwischen einer nichtleeren Menge M
> und ihrer Potenzmenge geben _kann_. Aber dies ist eine andere
> Geschichte. Dieser Beweis ist ein Widerspruchsbeweise und setzt
> voraus, dass man an TERTIUM NON DATUR glaubt. Da ich fuerchte, dass Du
> dies nicht akzeptiertst, lass ich den Beweis aussen vor... ]

Woraus schliesst Du, dass ich den Grundsatz TERTIUM NON DATUR nicht
akzeptiere? Es ist doch gerade umgekehrt so, dass ich mich streng an
diesen Grundsatz halte. Daher kommen doch meine Schwierigkeiten mit
dieser Theorie, weil sie sich nicht an diesen Grundsatz haelt.

Nimm das Beispiel Hilberts Hotel (das Beispiel stammt uebrigens nicht
von mir sondern von dem Mathematiker David Hilbert, was einige von Euch
nicht zu wissen scheinen). Die Antwort auf die Frage "Sind alle Zimmer
belegt" kann nur ja oder nein lauten. Im Beispiel muss sie ja lauten,
d. h. eine Kontrolle muss fuer jedes Zimmer ergeben, dass es belegt
ist, sonst eruebrigt sich die Frage, ob ein neuer Gast untergebracht
werden kann. Wenn man den Grundsatz TERTIUM NON DATUR bedingungslos
akzeptiert, ist klar, dass kein weiterer Gast untergebracht werden
kann. Nicht so die Mengenlehre, sie ermoeglicht ein sowohl als auch,
je nach Betrachtungsweise.

Das gilt fuer alle Abbildungen von unendlichen Mengen. Es sei M die
Menge der Quadratzahlen. Die Frage lautet: Haben M und N gleich viel
Elemente? Die Tatsache, dass M eine echte Teilmenge von N ist, legt
die Abbildung n^2 aus M <--> n^2 aus N nahe. Daraus wuerde folgen,
dass N mehr Elemente als M enthaelt. Der Grundsatz TERTIUM NON DATUR
laesst dann keine andere Moeglichkeit mehr zu. In der Mengenlehre gibt
es aber weitere Moeglichkeiten. Wenn die Abbildung n^2 <--> n fuer
ausnahmslos jedes n gilt, kann man mit gleichem Recht behaupten, dass
M und N gleichviel Elemente enthalten. Da aber auch die Abbildung
(2n)^2 <--> n fuer alle n gilt, kann man sogar behaupten, M enthalte
mehr Elemente als N. Der Grundsatz TERTIUM NON DATUR ist also nicht
mehr gueltig.

Angesichts dieser Tatsache stellt sich die Frage, die sich aus Deiner
Vermutung ergibt, genau umgekehrt: Wie gross ist in der Mengenlehre
die Beweiskraft eines Widerspruchsbeweises bei unendlichen Mengen,
wenn es ausser einem klaren ja oder nein immer noch mindestens eine
dritte Moeglichkeit gibt? (Oder ist die Frage schon wieder zu
"philosophisch"?)

Gruss

Dieter

[Wolfram Hinderer]

In article <3A89AF3A...@t-online.de>,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> writes:

> Es ist nicht leicht, mit der Fuelle der postings mitzuhalten.
> Was Deine Ausfuehrungen zur Abzaehlbarkeit von unendlichen Mengen
> betrifft, verwechselst Du das Abzaehlbarkeitskriterium mit den
> wesentlich schaerferen Bedingungen fuer eine Peano-Struktur.

Nein, du verwechselst etwas.

>> Nimm einfach die Menge der rellen Zahlen >=0 mit 0 als Anfangselement
>> und definiere fuer alle r: r+ := r+1
>>
>> Offsichtlich erfuellt diese Definition die obigen Forderungen 1-4. R
>> ist damit "abzaehlbar", oder ? Richtig. 1/2 hat z.B. keinen
>> "Vorgaenger". Damit stellt sich heraus, das dies doch keine so
>> richtige "Folge" ist, sondern ein Sammelsurium von unabhaengigen
>> nebeneinanderliegenenden Folgen und es ist hier ganz offensichtlich,
>> dass Du von 0 aus durch Anwendung der Nachfolgerfunktion nie 1/2
>> erreichen kannst.
>
> Wenn das eine Bedingung fuer Abzaehlbarkeit waere, waeren die meisten
> Mengen, darunter auch die Menge der rationalen Zahlen, nicht abzaehlbar.
> Nimm z.B. die Menge A = {0,2; 1,2; 2,2; ...}. Die Vereinigungsmenge
> B = {0; 0,2; 1; 1,2; 2; 2,2; ...} von N und A ist zweifellos abzaehlbar,
> obwohl sie dein Kriterium nicht erfuellt. Dazu ist nicht mehr zu sagen.

Welches "sein" Kriterium? Er hat nur gezeigt, dass das, was er glaubt,
dein Kriterium sei, keines ist. Nirgends hat er daraus ein eigenes
Kriterium gebastelt.
Das scheinst du uebrigens sehr gerne zu machen: Implizite Annahmen
treffen, so zu tun, als ob andere sie auch machten, und dann
vermeintliche Widersprueche herleiten.

> Woraus schliesst Du, dass ich den Grundsatz TERTIUM NON DATUR nicht
> akzeptiere? Es ist doch gerade umgekehrt so, dass ich mich streng an
> diesen Grundsatz halte. Daher kommen doch meine Schwierigkeiten mit
> dieser Theorie, weil sie sich nicht an diesen Grundsatz haelt.
>
> Nimm das Beispiel Hilberts Hotel (das Beispiel stammt uebrigens nicht
> von mir sondern von dem Mathematiker David Hilbert, was einige von Euch
> nicht zu wissen scheinen). Die Antwort auf die Frage "Sind alle Zimmer
> belegt" kann nur ja oder nein lauten. Im Beispiel muss sie ja lauten,

Das ist richtig.

> d. h. eine Kontrolle muss fuer jedes Zimmer ergeben, dass es belegt
> ist, sonst eruebrigt sich die Frage, ob ein neuer Gast untergebracht
> werden kann.

Es ist nicht klar, was du mit "Kontrolle" meinst. Es geht darum, ob
ein Gast in dem Zimmer ist, nicht ob eine irgendwie geartete Kontrolle
das feststellt oder nicht.

> Wenn man den Grundsatz TERTIUM NON DATUR bedingungslos
> akzeptiert, ist klar, dass kein weiterer Gast untergebracht werden
> kann.

Nein. Warum sollte das klar sein? Es ist klar, dass keine Zimmer frei
ist. Aber warum sollte klar sein, dass man nicht eins frei machen kann?
Da fehlt doch jede Begruendung fuer das, was dir angeblich klar ist.
(Das ist wieder so eine implizite Annahme.)

> Nicht so die Mengenlehre, sie ermoeglicht ein sowohl als auch,
> je nach Betrachtungsweise.

Nein. Ich moechte jetzt nicht naeher darauf eingehen, was du unter
"die Mengenlehre" verstehst (offensichtlich wieder eine implizite
Annahme). Eine weitere implizite Annahme ist, dass "belegt" (also:
in jedem Zimmer ist ein Gast) und "keiner passt mehr rein"
gleichbedeutend sind. Das weiss man aber nicht im vorhinein - du
scheinst es aber zu verwenden. Hilberts Hotel macht klar, dass es im
unendlichen Fall nicht das gleiche ist.

> Das gilt fuer alle Abbildungen von unendlichen Mengen. Es sei M die
> Menge der Quadratzahlen. Die Frage lautet: Haben M und N gleich viel
> Elemente? Die Tatsache, dass M eine echte Teilmenge von N ist, legt
> die Abbildung n^2 aus M <--> n^2 aus N nahe.

Mag sein.

> Daraus wuerde folgen,
> dass N mehr Elemente als M enthaelt.

Nein. Wieso sollte das daraus folgen? Das ist wieder so eine implizite
Annahme. Wie definierst du "hat mehr Elemente als"?

> Der Grundsatz TERTIUM NON DATUR
> laesst dann keine andere Moeglichkeit mehr zu. In der Mengenlehre gibt
> es aber weitere Moeglichkeiten. Wenn die Abbildung n^2 <--> n fuer
> ausnahmslos jedes n gilt,

Abbildungen gelten nicht. Wie soll man diesen Satz verstehen?

> kann man mit gleichem Recht behaupten, dass
> M und N gleichviel Elemente enthalten. Da aber auch die Abbildung
> (2n)^2 <--> n fuer alle n gilt, kann man sogar behaupten, M enthalte
> mehr Elemente als N.

Das ist alles eine Frage der Definition von "hat gleichviele Elemente"
und "hat mehr/weniger Elemente". Das ist in "der Mengenlehre" anders
definiert, als du es implizit annimmst. Und zwar sinnvollerweise
tatsaechlich so, dass eine Menge A entweder mehr oder weniger oder
gleichviele ELemente wie eine Vergleichsmenge B hat.

> Der Grundsatz TERTIUM NON DATUR ist also nicht
> mehr gueltig.

Doch.
Gib doch mal deine Definition von "hat weniger Elemente als" an.
Dann wirst du merken, dass du ueber andere Sachen sprichst, als
alle anderen. Kein Wunder, dass du dich dann in Widersprueche
verstrickst.

> Angesichts dieser Tatsache stellt sich die Frage, die sich aus Deiner
> Vermutung ergibt, genau umgekehrt: Wie gross ist in der Mengenlehre
> die Beweiskraft eines Widerspruchsbeweises bei unendlichen Mengen,
> wenn es ausser einem klaren ja oder nein immer noch mindestens eine
> dritte Moeglichkeit gibt? (Oder ist die Frage schon wieder zu
> "philosophisch"?)

Der wenn-Teil ist ja nicht erfuellt, daher ist die Frage sinnlos.

Gruesse
Wolfram

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Horst,
>

Hallo Dieter,
eigentlich hat ja Wolfram schon auf alle Punkte geantwortet. Ich wollte
daher nur auf eine Kleinigkeit hinweisen:

>
> Das gilt fuer alle Abbildungen von unendlichen Mengen. Es sei M die
> Menge der Quadratzahlen. Die Frage lautet: Haben M und N gleich viel
> Elemente? Die Tatsache, dass M eine echte Teilmenge von N ist, legt
> die Abbildung n^2 aus M <--> n^2 aus N nahe. Daraus wuerde folgen,
> dass N mehr Elemente als M enthaelt. Der Grundsatz TERTIUM NON DATUR
> laesst dann keine andere Moeglichkeit mehr zu. In der Mengenlehre gibt
> es aber weitere Moeglichkeiten. Wenn die Abbildung n^2 <--> n fuer
> ausnahmslos jedes n gilt, kann man mit gleichem Recht behaupten, dass
> M und N gleichviel Elemente enthalten. Da aber auch die Abbildung
> (2n)^2 <--> n fuer alle n gilt, kann man sogar behaupten, M enthalte
> mehr Elemente als N. Der Grundsatz TERTIUM NON DATUR ist also nicht
> mehr gueltig.
>

Es gibt eigentlich nur zwei Begriffe, die in diesem Zusammenhang eine
Rolle spielen: (echte) Teilmenge und Maechtigkeiten.
Wenn du ueber echte Teilmengen sprichst, und im Zusammenhang damit ueber
mehr und weniger Elemente, dann wirst Du kein Beispiel konstruieren
koennen, bei dem zwei Mengen jeweils echte Teilmengen voneinander sind.
In mindestens einer Richtung benoetigst du naemlich eine Abbildung, um
eine der Mengen in die andere einzubetten.
Sprichst du aber von Maechtigkeiten, dann sind alle oben genannten
Mengen gleichmaechtig, naemlich abzaehlbar unendlich, und niemand ausser
dir hat ein Problem damit.
In keinem der beiden Faelle wird es dir gelingen, auf dem Fundament der
hier von den meisten anerkannten Mengenlehre zwei sich widerspruchende
Aussagen als wahr zu beweisen.

> Angesichts dieser Tatsache stellt sich die Frage, die sich aus Deiner
> Vermutung ergibt, genau umgekehrt: Wie gross ist in der Mengenlehre
> die Beweiskraft eines Widerspruchsbeweises bei unendlichen Mengen,
> wenn es ausser einem klaren ja oder nein immer noch mindestens eine
> dritte Moeglichkeit gibt? (Oder ist die Frage schon wieder zu
> "philosophisch"?)
>

Wie gesagt, und von Wolfram auch geschrieben: Es gibt keine drei
moeglichen Antworten, immer nur zwei: Ja oder Nein.
Zu Hilberts Hotel: Glaubst du wirklich, dass die meisten hier das
Beispiel noch nicht kannten? Und um dir Wolframs Argumentation noch
einmal zu verdeutlichen:
1) Ist jedes Zimmer belegt? JA!
2) Kann man dafuer sorgen, dass noch ein Zimmer frei wird? JA!
Nirgends wird behauptet, dass zu Beginn im Widerspruch zu 1) doch noch
ein Zimmer frei ist. Es wird nur festgestellt, dass man durch Umordnen
der Bewohner ein Zimmer frei machen kann. Das das nur im unendlichen
Fall funktioniert, duerfte klar sein, und zeigt die Besonderheiten, die
man im Umgang mit Unendlichkeiten beachten muss (und dass Begriffe wie
mehr oder weniger mit Vorsicht zu geniessen sind). Niemals aber gibt es
auf eine konkrete Frage aber zwei sich widersprechende, korrekte
Antworten.

> Gruss
>
> Dieter

PS: Ich will dich nicht draengeln, beim besten Willen nicht. Lass dir
ruhig Zeit. Aber ich wuerde mich vor allem ueber Antworten auf meine
kleinen Postings voller Mathematik freuen.

[Dieter Jungmann]

Hallo Holger,

Ihr habt Euch auf Dein posting vom 12. 2. 11:28, auf das ich hier
antworte, als Grundlage fuer die weitere Diskussion geeinigt.
Ich habe aber noch Klaerungsbedarf zur zentralen Frage: Was ist N?
Eure Aussage:
N ist die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen.
Jede einzelne natuerliche Zahl ist endlich, d. h. sie hat endlich
viele Stellen in binaerer Schreibweise oder endlich viele Elemente,
wenn man sie mengentheoretisch als Menge auffasst.
Es gibt unendlich viele natuerliche Zahlen.

> 8) Jede natuerliche Zahl ist in endlich vielen Schritten konstruiert,
> hat daher also nur endlich viele Stellen (egal ob Binaer oder Dezimal).

Wie kann man in endlich vielen Schritten unendlich viele Zahlen
konstruieren? Welche Aussage ist richtig?

Es gelten folgende Voraussetzungen:
Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine Folge, in der _alle_
Elemente in einer kontinuierlichen Folge erreichbar sind. Zwischen
zwei beliebigen Elementen a und b kann man sich in Einzelschritten
hin und her bewegen, es gibt keinen Bruch in dieser Kette.
Als Gesamtmenge bezeichne ich die Vereinigung aller betrachteten
Elemente. Nach ueblichem Sprachgebrauch ist die Gesamtmenge eine
(unechte) Teilmenge von sich selbst. Bei endlichen Mengen ist
die Gesamtmenge die groesste Teilmenge.
Fuer N gilt:
Die Zahl n ist eine Menge mit n Elementen.
Als Teilmenge Y_n von N werde die Menge aller Zahlen von 0 bis
einschliesslich n bezeichnet. Y_n hat n + 1 Elemente. Die Y_n
lassen sich wie die n in einer unendlichen Folge anordnen.
Die Vereinigungsmenge von Y_m und Y_n mit m <= n ist Y_n.

Die Vereinigungsmenge aller Y_n ist nach Eurer Interpretation
gleich N. Also muss N einen Vorgaenger haben. Dieser ist eine
echte Teilmenge von N. Nach Eurer Aussage sind aber alle Y_n
endlich. Der unmittelbare Nachfolger einer endlichen Teilmenge
kann aber auch nur eine endliche Menge sein. Das ergibt einen
Widerspruch in Euren Aussagen. Ausserdem waere N die groesste
Teilmenge Y_n.

Nach meinem Verstaendnis habt Ihr nur die Wahl zwischen drei
Moeglichkeiten.
1. Es gibt beim Uebergang nach N doch einen Sprung in der
kontinuierlichen Folge der Y_n. Wo tritt er auf und warum?
2. Es gibt auch Teilmengen Y_n (und folglich auch Zahlen n) mit
unendlich vielen Elementen.
3. N ist endlich. Denn wenn die Y_n endlich sind, ist auch ihre
Anzahl endlich. Das folgt aus dem untrennbaren Zusammenhang des
Index n (Anzahl der Y_n) mit der Zahl der Elemente von Y_n und von
n. Solange die Y_n endlich sind, ist auch ihre Vereinigungsmenge
endlich, naemlich gleich der groessten Y_n.

In meiner Interpretation treten diese Probleme nicht auf. Ich
halte mich genau an die Definition, dass eine abzaehlbar unendliche
Menge eine abzaehlbare Menge ist, die sich von einer endlichen Menge
nur dadurch unterscheidet, dass sie kein letztes Element hat. Mehr
sagt diese Definition nicht aus. N ist daher keine Vereinigungsmenge
sondern eine Folge von Mengen, die Schritt fuer Schritt mehr Elemente
enthalten. Eine Vereinigungsmenge _aller_ Elemente kann es nicht geben,
weil es nicht _alle_ Elemente gibt, denn man kann immer noch ein
Element anfuegen. Deshalb kann es auch nicht DIE eine Funktion von N
geben sondern immer nur eine endlose Folge von Funktionen.

Ich verlange nicht, dass Ihr Euch meiner Interpretation anschliesst.
Ich bin auch bereit, Eure Sicht der Dinge zu uebernehmen, wenn Ihr
die offenen Fragen beantwortet. Aber bitte keine neuen Behauptungen,
die einfach nur geglaubt werden mussen, sondern eine praezise
mathematische Erklaerung.

Da ich befuerchte, dass wir uns in dieser Frage nicht einigen
koennen, werde ich versuchen, die Abzaehlbarkeit von Potenzmengen
unter Vermeidung dieses Problems zu beweisen. Wir muessen uns aber
auf ein Kriterium einigen, wann der Beweis als erbracht gilt.
Ist dies der Fall, wenn ich eine abzaehlbar unendliche
Vereinigungsmenge angebe, in der kein Element der Potenzmenge fehlt?
Kann ich davon ausgehen, dass Ihr als Minimalkonsens alle Folgerungen
aus der Kontinuitaet von Folgen akzeptiert?

Unabhaengig davon werde ich auf Dein posting vom 12. 2. 11:41
baldmoeglichst antworten.

Gruss

Dieter

[Norbert Micheel]

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag

news:3A8C9196...@t-online.de...

> Hallo Holger,
>
> Ihr habt Euch auf Dein posting vom 12. 2. 11:28, auf das ich hier
> antworte, als Grundlage fuer die weitere Diskussion geeinigt.
> Ich habe aber noch Klaerungsbedarf zur zentralen Frage: Was ist N?
> Eure Aussage:
> N ist die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen.
> Jede einzelne natuerliche Zahl ist endlich, d. h. sie hat endlich
> viele Stellen in binaerer Schreibweise oder endlich viele Elemente,
> wenn man sie mengentheoretisch als Menge auffasst.
> Es gibt unendlich viele natuerliche Zahlen.

Ist mir ziemlich egal, wer sich hier angeblich auf was geeinigt hat:
N ist keine Vereinigungsmenge von irgendwas !
Lest die Definition in irgendeinem Buch nach, aber so lange bis ihr es
verstanden habt. Und nicht vergessen: Alles was daraus folgt, ist die
Bedeutung der Definition. Da ist es *sorry* scheiss egal, ob euch das passt
oder nicht.

>
> > 8) Jede natuerliche Zahl ist in endlich vielen Schritten konstruiert,
> > hat daher also nur endlich viele Stellen (egal ob Binaer oder Dezimal).
>
> Wie kann man in endlich vielen Schritten unendlich viele Zahlen
> konstruieren? Welche Aussage ist richtig?

Da haben wir doch schon wieder den Knackpunkt. Natuerlich kann man jede
natuerliche Zahl in endlich vielen Schritten "konstruieren". Aus jedem
weiterem Schritt eine Neue. Das sind also beliebig viele. D.h. die Anzahl
der Zahlen die ich konstruieren KANN, ist unendlich. Wenn ich alle
konstruieren wollte - braeuchte ich natuerlich ewig. N ist in diesem deinem
Sinne die Menge aller Zahlen die ich "Konstruieren" koennte. Kein Mensch
verlangt sie alle aufzuzaehlen.

>
> Es gelten folgende Voraussetzungen:
> Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine Folge, in der _alle_
> Elemente in einer kontinuierlichen Folge erreichbar sind. Zwischen
> zwei beliebigen Elementen a und b kann man sich in Einzelschritten
> hin und her bewegen, es gibt keinen Bruch in dieser Kette.
> Als Gesamtmenge bezeichne ich die Vereinigung aller betrachteten
> Elemente. Nach ueblichem Sprachgebrauch ist die Gesamtmenge eine
> (unechte) Teilmenge von sich selbst. Bei endlichen Mengen ist
> die Gesamtmenge die groesste Teilmenge.

Wenn du schreibst "abzaehlbare Menge", dann gilt die Definition dafuer. Es
muss eine injektive Abbildung auf N geben. Nicht mehr und nicht weniger !
"Gesamtmenge" ist kein mathematischer Begriff.

> Fuer N gilt:
> Die Zahl n ist eine Menge mit n Elementen.
> Als Teilmenge Y_n von N werde die Menge aller Zahlen von 0 bis
> einschliesslich n bezeichnet. Y_n hat n + 1 Elemente. Die Y_n
> lassen sich wie die n in einer unendlichen Folge anordnen.
> Die Vereinigungsmenge von Y_m und Y_n mit m <= n ist Y_n.

Wenn ich das schon lese ! Die natuerliche Zahl n ist keine Menge !!!! Sie
ist Element der kleinsten Induktiven Menge, oder der Menge N, die den
Peano-Axiomen genuegt.
Natuerlich kann ueber Kardinalzahlen sprechen, aber dann unterschlaegst du
hier einige Details, Abbildungen und Identifizierungen.

>
> Die Vereinigungsmenge aller Y_n ist nach Eurer Interpretation
> gleich N. Also muss N einen Vorgaenger haben.

Wie kommst du denn darauf ?
1) ist N kein Element von N (das kommt nur durch deine Anschaung n=Menge)
2) Nur weil alle Elemente einer Menge eine gewisse Eigenschaft haben, muss
doch diese Eigenschaft nicht fuer die Menge selbst gelten ! In der Regel ist
sie gar nicht auf Mengen definiert !

> Dieser ist eine
> echte Teilmenge von N. Nach Eurer Aussage sind aber alle Y_n
> endlich. Der unmittelbare Nachfolger einer endlichen Teilmenge
> kann aber auch nur eine endliche Menge sein. Das ergibt einen
> Widerspruch in Euren Aussagen. Ausserdem waere N die groesste
> Teilmenge Y_n.

Durch falsches logisches Ableiten, mit undefinierten Begriffen, aus
"unseren" Aussagen ergeben sich also Widersprueche ? Das wundert mich nicht
!

> Ich verlange nicht, dass Ihr Euch meiner Interpretation anschliesst.
> Ich bin auch bereit, Eure Sicht der Dinge zu uebernehmen, wenn Ihr
> die offenen Fragen beantwortet. Aber bitte keine neuen Behauptungen,
> die einfach nur geglaubt werden mussen, sondern eine praezise
> mathematische Erklaerung.

Das ist der Hohn an sich ! DU tust geanu das !

Du musst hier nichts uebernehmen. Du musst die Definitionen lesen und aus
ihnen Aussagen logisch korrekt ableiten. Deine Widersprueche entstehen IMMER
an deinen anschaulichen Folgerungen, die du aus deinem Verstaendnis der
Begriffe ziehst. Aber ein mathematischer Widerspruch entsteht an bewiesenen
Aussagen.
Und in denen von denen wir hier sprechen, gibt es kein Nachfolger von
Mengen, keine Mengen die sich selbst enthalten, keine "undefinierten"
Zahlen, keine Zahlen mit unendlich vielen Stellen, oder anderes Blabla was
hier immer wieder faellt.

> Da ich befuerchte, dass wir uns in dieser Frage nicht einigen
> koennen, werde ich versuchen, die Abzaehlbarkeit von Potenzmengen
> unter Vermeidung dieses Problems zu beweisen. Wir muessen uns aber
> auf ein Kriterium einigen, wann der Beweis als erbracht gilt.
> Ist dies der Fall, wenn ich eine abzaehlbar unendliche
> Vereinigungsmenge angebe, in der kein Element der Potenzmenge fehlt?
> Kann ich davon ausgehen, dass Ihr als Minimalkonsens alle Folgerungen
> aus der Kontinuitaet von Folgen akzeptiert?

Fuer "uns" ist automatisch alles "Konsens" was in einem mathematischen
Lehrbuch steht und DU "fuer richtig haelst".
Wenn du wirklich das beweisen wolltest, muessest du eine injektive Abbildung
von POT(N) nach N angeben. Aber ich glaube, dass haben sie dir hier schon
oefters erklaert.
Dann und nur dann, waere (wie von dir gefordert) mathematisch exakt der
Beweis erbracht.
Und nochmal zur Vorbeugung:
das bedeutet eine Abbildung anzugeben die JEDER Teilmenge von N eine
natuerliche Zahl zuordnet. Und dann zu zeigen, dass diese injektiv ist.

Und jeder der Mathematik betreibt kommt irgendwann mal an den Punkt, wo er
sich fragt ob er nicht vielleicht irrt. Aber davon scheinst du ausgenommen.

Such dir ein anderes Hobby.

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

Hallo Dieter,
Norbert hat dir ja schon vehement die Kritikpunkte aufgezaehlt, die es
zu diesem Posting zu nennen gibt. Ich will jetzt mal nicht auf die
Diskussion eingehen, ob es Sinn macht, natuerliche Zahlen als Mengen
aufzufassen und welche Identifikationen dafuer erforderlich sind. Ich
glaube naemlich nicht, dass das unser groesstes Problem ist.

>
> > 8) Jede natuerliche Zahl ist in endlich vielen Schritten konstruiert,
> > hat daher also nur endlich viele Stellen (egal ob Binaer oder Dezimal).
>
> Wie kann man in endlich vielen Schritten unendlich viele Zahlen
> konstruieren? Welche Aussage ist richtig?
>

Niemand sagt, dass man alle natuerlichen Zahlen gemeinsam in endlich
vielen Schritten konstruieren kann. Du bringst wieder einmal eine
Interpretation ins Spiel, die durch die Aussagen selbst nicht gedeckt
ist.
Jede einzelne natuerliche Zahl kann in endlich vielen Schritten
konstruiert werden. Zu jeder gegebenen Zahl kann ich eine neue
konstruieren, daher gibt es unendlich viele. Ist das so schwer zu
verstehen?

> Fuer N gilt:
> Die Zahl n ist eine Menge mit n Elementen.
> Als Teilmenge Y_n von N werde die Menge aller Zahlen von 0 bis
> einschliesslich n bezeichnet. Y_n hat n + 1 Elemente. Die Y_n
> lassen sich wie die n in einer unendlichen Folge anordnen.
> Die Vereinigungsmenge von Y_m und Y_n mit m <= n ist Y_n.
>
> Die Vereinigungsmenge aller Y_n ist nach Eurer Interpretation
> gleich N. Also muss N einen Vorgaenger haben. Dieser ist eine
> echte Teilmenge von N. Nach Eurer Aussage sind aber alle Y_n
> endlich. Der unmittelbare Nachfolger einer endlichen Teilmenge
> kann aber auch nur eine endliche Menge sein. Das ergibt einen
> Widerspruch in Euren Aussagen. Ausserdem waere N die groesste
> Teilmenge Y_n.
>

Du uebersiehst, dass es zwischen der Vereinigung von endlich vielen und
der Vereinigung von unendlich vielen Mengen einen Unterschied geben
kann. Auf die natuerlichen Zahlen bezogen: Wenn ich endlich viele
natuerliche Zahlen habe, dann gibt es unter diesen eine groesste; habe
ich unendlich viele, dann kann ich keine groesste finden. Daher ist N
nicht identisch mit irgend einem Y_n und dem Schluss, dass N einen
Vorgaenger haben muss, kann ich nicht folgen.

> Nach meinem Verstaendnis habt Ihr nur die Wahl zwischen drei
> Moeglichkeiten.
> 1. Es gibt beim Uebergang nach N doch einen Sprung in der
> kontinuierlichen Folge der Y_n. Wo tritt er auf und warum?

Warum sollte es diesen Sprung geben? Das Tolle an einem Grenzwert ist ja
gerade, dass man ihn normalerweise nie erreicht.

> 2. Es gibt auch Teilmengen Y_n (und folglich auch Zahlen n) mit
> unendlich vielen Elementen.

Das gibt es mit Sicherheit nicht, und wuerde auch der Definition der Y_n
widersprechen.

> 3. N ist endlich. Denn wenn die Y_n endlich sind, ist auch ihre
> Anzahl endlich. Das folgt aus dem untrennbaren Zusammenhang des
> Index n (Anzahl der Y_n) mit der Zahl der Elemente von Y_n und von
> n. Solange die Y_n endlich sind, ist auch ihre Vereinigungsmenge
> endlich, naemlich gleich der groessten Y_n.

Es gibt aber kein groesstes Y_n! Das muesstest doch auch du eigentlich
einsehen. Nenne mir das groesste n und zaehle eins dazu. Was ist denn an
diesem Beweis falsch.
Warum kann es nicht unendlich viele endliche Zahlen geben? Es gibt
garantiert nicht nur endlich viele, oder?

>
> In meiner Interpretation treten diese Probleme nicht auf. Ich
> halte mich genau an die Definition, dass eine abzaehlbar unendliche
> Menge eine abzaehlbare Menge ist, die sich von einer endlichen Menge
> nur dadurch unterscheidet, dass sie kein letztes Element hat. Mehr
> sagt diese Definition nicht aus. N ist daher keine Vereinigungsmenge
> sondern eine Folge von Mengen, die Schritt fuer Schritt mehr Elemente
> enthalten. Eine Vereinigungsmenge _aller_ Elemente kann es nicht geben,
> weil es nicht _alle_ Elemente gibt, denn man kann immer noch ein
> Element anfuegen. Deshalb kann es auch nicht DIE eine Funktion von N
> geben sondern immer nur eine endlose Folge von Funktionen.
>

Verstehe ich nicht! Was ist so kompliziert an der Funktion n -> n^2? Ich
brauche keine Folge von Funktionen, sondern nur eine einzige Vorschrift,
um jeder natuerlichen Zahl ein eindeutig definiertes Bild zuzuordnen.
Ist in deiner Interpretation N als Folge von Mengen wieder eine Menge?
Wenn ja, ist sie endlich oder unendlich und warum treten die angeblichen
Probleme unserer Interpretation bei dir nicht auf? Wenn nein, dann
verneinst du die Existenz von Vereinigungsmengen unendlich vieler
Mengen, und vor allem macht dann der Begriff Pot(N) eigentlich keinen
Sinn mehr, oder?

> Ich verlange nicht, dass Ihr Euch meiner Interpretation anschliesst.
> Ich bin auch bereit, Eure Sicht der Dinge zu uebernehmen, wenn Ihr
> die offenen Fragen beantwortet. Aber bitte keine neuen Behauptungen,
> die einfach nur geglaubt werden mussen, sondern eine praezise
> mathematische Erklaerung.
>

Ich fand meine Erklaerungen eigentlich recht praezise, obwohl man
natuerlich immer noch was verbessern kann. Vor allem aber habe ich noch
immer keine Fehler entdecken koennen.

> Da ich befuerchte, dass wir uns in dieser Frage nicht einigen
> koennen, werde ich versuchen, die Abzaehlbarkeit von Potenzmengen
> unter Vermeidung dieses Problems zu beweisen. Wir muessen uns aber
> auf ein Kriterium einigen, wann der Beweis als erbracht gilt.
> Ist dies der Fall, wenn ich eine abzaehlbar unendliche
> Vereinigungsmenge angebe, in der kein Element der Potenzmenge fehlt?
> Kann ich davon ausgehen, dass Ihr als Minimalkonsens alle Folgerungen
> aus der Kontinuitaet von Folgen akzeptiert?
>

Das koennte dann funktionieren, wenn wirklich kein Element der
Potenzmenge fehlt. Aber bitte nicht wieder das Argument mit den
endlichen Teilmengen und den Teilmengen, denen endlich viele Elemente
fehlen. Bevor wir dort weiter machen, sollten wir erst einmal das
Problem fuer N klaeren.

> Unabhaengig davon werde ich auf Dein posting vom 12. 2. 11:41
> baldmoeglichst antworten.
>

Das waere schoen, aber ich befuerchte, dass sich die Argumente nur
wiederholen.

[Lukas-Fabian Moser]

On Fri, 16 Feb 2001 03:33:58 +0100, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

>N ist die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen.

Nein. N ist die Schnittmenge aller Mengen, die Null und zu jedem
Element genau einen eindeutigen Nachfolger enthalten.

Der Satz "N ist die Vereinigungsmenge aller natürlichen Zahlen" klingt
für mich sehr verdächtig nach einer Tautologie.

>> 8) Jede natuerliche Zahl ist in endlich vielen Schritten konstruiert,
>> hat daher also nur endlich viele Stellen (egal ob Binaer oder Dezimal).

>Wie kann man in endlich vielen Schritten unendlich viele Zahlen
>konstruieren? Welche Aussage ist richtig?

Das hat keiner Behauptet. Jede *einzelne* natürliche Zahl ist "in
endlich vielen Schritten konstruiert" (was auch immer das exakt
bedeuten mag).

Lukas

[Detlef Müller]

Norbert Micheel wrote:
>
...

>
> > Fuer N gilt:
> > Die Zahl n ist eine Menge mit n Elementen.
> > Als Teilmenge Y_n von N werde die Menge aller Zahlen von 0 bis
> > einschliesslich n bezeichnet. Y_n hat n + 1 Elemente. Die Y_n
> > lassen sich wie die n in einer unendlichen Folge anordnen.
> > Die Vereinigungsmenge von Y_m und Y_n mit m <= n ist Y_n.
>
> Wenn ich das schon lese ! Die natuerliche Zahl n ist keine Menge !!!! Sie
> ist Element der kleinsten Induktiven Menge, oder der Menge N, die den
> Peano-Axiomen genuegt.
>

Sorry, aber der Nachweis, dass es so eine Menge ueberhaupt
gibt, wird i.A. dadurch erbracht, dass man eine solche
Menge konstruiert.

Und Das Konstrukt:
0 := {}; 1:= {{}};
zu n konstruiert sei der Nachfolger s(n) := n vereinigt mit {n}
leistet dabei gute Dienste.

Hier ist jede Natuerliche Zahl tatsaechlich eine Menge,
leider scheint Dieter nicht zu verstehen, dass nicht
umgekehrt jede Menge von Zahlen selbst in dem Sinne eine
natuerliche Zahl ist.

Etwa {1,3} ist so nicht konstruierbar.

Und eben auch die Menge der Natuerlichen Zahlen
selbst nicht.

Fuer Mengen, die keine Natuerliche Zahl darstellen
ist es aber unsinn, von "Vorgaegner" zu reden,
Genauso, wie ich den "Vorgaenger" von Dieters
Schnuersenkel vom linken Schuh nicht angeben kann,
muss ich auf seine Frage nach dem Vorgaenger von
N passen.

Gruss,
Detlef

[Norbert Micheel]

"Detlef Müller" <s19...@stud.uni-goettingen.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3A8D22DA...@stud.uni-goettingen.de...

Ich weiss dieser Thread ist weiss-Gott schon lange genug...
und eigentlich geht es mir genau darum ihn kurz zu halten...

> Norbert Micheel wrote:
> >
> > Wenn ich das schon lese ! Die natuerliche Zahl n ist keine Menge !!!!
Sie
> > ist Element der kleinsten Induktiven Menge, oder der Menge N, die den
> > Peano-Axiomen genuegt.
> >

> Sorry, aber der Nachweis, dass es so eine Menge ueberhaupt
> gibt, wird i.A. dadurch erbracht, dass man eine solche
> Menge konstruiert.

Ich weiss, dass klingt pedantisch, aber ob die Menge N existiert, war
hoffentlich in meinem Posting nicht implizit gefordert. Das war nicht meine
Absicht.
In diesem ganzen Thread geht es doch gerade darum klar zu machen, dass
Aussagen mit Hilfe von Definitionen logisch abgeleitet werden muessen. Ob
eine Definition, das widerspiegelt was sich die Leute allgemeinsprachlich
unter dem definierten Begriff vorstellen, ist fuer einen Beweis irrelevant.
Und deshalb wollte ich gerade die Diskussion ueber die "Sinnhaftigkeit"
einer Definition, zu der auch die Existenz definierter Objekte gehoert,
weglassen.

> Und Das Konstrukt:
> 0 := {}; 1:= {{}};
> zu n konstruiert sei der Nachfolger s(n) := n vereinigt mit {n}
> leistet dabei gute Dienste.

Nur hier leistet es meiner Meinung nach einen schlechten Dienst !
Denn genau das scheint doch Dieters Problem zu sein, dass er nicht trennen
kann zwischen dem "Konstrukt", das du oben schilderst und einer Definition
wie den natuerlichen Zahlen.

Wenn ich die Ausdruecke, die du oben definierst als Elemente einer Menge
auffasse, so ist diese induktiv.
Und sie lassen sich bestimmt mit N identifizieren - aber es sind andere
Objekte !

Die Mengenklammern in diesen Ausdruecken und die, die ich benutzen wuerde um
sie zu einer Menge zusammenzufassen, legen einen Zusammenhang nahe, der
unnoetig ist. Und bei Dieter eben scheinbar auch zur Verwirrung fuehrt.
Denn das genau passiert doch bei ihm: N ist die Menge aller dieser
Ausdruecke - aha, eine Menge, also schnell gedanklich hinschreiben als
Menge - dann ist doch auch das, was ich hingeschrieben habe ein solcher
Ausdruck ? Also ist N eine natuerliche Zahl !

Ausserdem wird mir sofort "mulmig", wenn man Mengen hat, die beliebige
andere Mengen enthalten. Denn dann kommt man dem "Russelschen Paradoxon"
ziemlich nahe. (bilde die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst
enthalten - diese Menge enthaelt sich nicht selbst, wenn sie sich selbst
enthaelt und umgekehrt)

Sorry, wenn ich mich im Ton vergriffen hatte.

Gruss Norbert

[Thomas Haunhorst]

On Sat, 17 Feb 2001 04:32:04 +0100, Norbert Micheel <N.mi...@gmx.de> wrote:
>> Und Das Konstrukt:
>> 0 := {}; 1:= {{}};
>> zu n konstruiert sei der Nachfolger s(n) := n vereinigt mit {n}
>> leistet dabei gute Dienste.
>
>Nur hier leistet es meiner Meinung nach einen schlechten Dienst !
>Denn genau das scheint doch Dieters Problem zu sein, dass er nicht trennen
>kann zwischen dem "Konstrukt", das du oben schilderst und einer Definition
>wie den natuerlichen Zahlen.
>
>Wenn ich die Ausdruecke, die du oben definierst als Elemente einer Menge
>auffasse, so ist diese induktiv.
>Und sie lassen sich bestimmt mit N identifizieren - aber es sind andere
>Objekte !

Es sind in der Mengentheorie die natuerlichen Zahlen.

>
>Die Mengenklammern in diesen Ausdruecken und die, die ich benutzen wuerde um
>sie zu einer Menge zusammenzufassen, legen einen Zusammenhang nahe, der
>unnoetig ist.

Bleib in der Mengentheorie und sehe die natuerlichen Zahlen als die kleinste
induktive Menge (zumal Dieter sich ja selber auf den Ebbinghaus beruft, die
dort so definiert ist).

>Ausserdem wird mir sofort "mulmig", wenn man Mengen hat, die beliebige
>andere Mengen enthalten. Denn dann kommt man dem "Russelschen Paradoxon"
>ziemlich nahe. (bilde die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst
>enthalten - diese Menge enthaelt sich nicht selbst, wenn sie sich selbst
>enthaelt und umgekehrt)

Das ist andere Baustelle.

Gruss

Thomas.
--

[Thomas Haunhorst]

On Fri, 16 Feb 2001 03:33:58 +0100,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:

>Was ist N?

Die kleinste induktive Menge. (Das ist hier schon mehrmals geschrieben worden.)

>Jede einzelne natuerliche Zahl ist endlich,

Ja, denn eine Menge ist endlich, wenn es eine Bijektion auf eine nat. Zahl
gibt. Das ist also per Definition so.

>Es gibt unendlich viele natuerliche Zahlen.

Ja.

>Es gelten folgende Voraussetzungen:
>Eine abzaehlbar unendliche Menge ist eine Folge, in der _alle_
>Elemente in einer kontinuierlichen Folge erreichbar sind.

Eine Menge X heisst abzaehlbar unendlich, wenn sie sich bijektiv auf N ab-
bilden laesst.

>Als Teilmenge Y_n von N werde die Menge aller Zahlen von 0 bis
>einschliesslich n bezeichnet. Y_n hat n + 1 Elemente. Die Y_n
>lassen sich wie die n in einer unendlichen Folge anordnen.

Es ist eine Folge, naemliche Y(n).

>Die Vereinigungsmenge von Y_m und Y_n mit m <= n ist Y_n.

Ja.

>Dieser ist eine
>echte Teilmenge von N. Nach Eurer Aussage sind aber alle Y_n
>endlich. Der unmittelbare Nachfolger einer endlichen Teilmenge
>kann aber auch nur eine endliche Menge sein.
>Das ergibt einen
>Widerspruch in Euren Aussagen. Ausserdem waere N die groesste
>Teilmenge Y_n.

?

>Nach meinem Verstaendnis habt Ihr nur die Wahl zwischen drei
>Moeglichkeiten.
>1. Es gibt beim Uebergang nach N doch einen Sprung in der
>kontinuierlichen Folge der Y_n.

Ich verstehe das nicht.
"Uebergang"? "Sprung"? "kontinuierliche Folge"? Bitte mengentheoretisch, also
etwa in der Sprache ZFC oder NBG definieren.

N=\bigcup_{n\in N} Y_n.

>2. Es gibt auch Teilmengen Y_n (und folglich auch Zahlen n) mit
>unendlich vielen Elementen.

Nein, Y_n ist endlich. Du schreibst selbst

>Y_n hat n + 1 Elemente.

>3. N ist endlich. Denn wenn die Y_n endlich sind, ist auch ihre

>Anzahl endlich. Das folgt aus dem untrennbaren Zusammenhang des
>Index n (Anzahl der Y_n) mit der Zahl der Elemente von Y_n und von
>n. Solange die Y_n endlich sind, ist auch ihre Vereinigungsmenge
>endlich, naemlich gleich der groessten Y_n.

Eine Menge ist endlich, wenn sie sich bijektiv auf eine natuerliche Zahl
abbilden laesst.

>In meiner Interpretation treten diese Probleme nicht auf. Ich
>halte mich genau an die Definition, dass eine abzaehlbar unendliche
>Menge eine abzaehlbare Menge ist, die sich von einer endlichen Menge
>nur dadurch unterscheidet, dass sie kein letztes Element hat.

Und nochmal: Eine Menge heisst abzaehlbar unendlich, wenn es eine Bijektion
auf N gibt.

>Ich verlange nicht, dass Ihr Euch meiner Interpretation anschliesst.
>Ich bin auch bereit, Eure Sicht der Dinge zu uebernehmen, wenn Ihr
>die offenen Fragen beantwortet.

Die sind hier zigmal beantwortet worden.

>Aber bitte keine neuen Behauptungen,
>die einfach nur geglaubt werden mussen, sondern eine praezise
>mathematische Erklaerung.

Auch sind alle Behauptungen hier bewiesen worden. Lies Dir die Beweise einfach
durch. Im Gegensatz zu Deinen Argumentationen sind die von anderen Teilnehmern
angegebenen Argumentationen mathematischer Natur. Man haelt sich an Definitio-
nen und redet nicht in "intuitiven" Kategorien wie "Sprung", "kontinuierlich"
etc. Vielleicht solltest Du versuchen, nur auf das syntaktische Material zu
achten.

>Da ich befuerchte, dass wir uns in dieser Frage nicht einigen
>koennen, werde ich versuchen, die Abzaehlbarkeit von Potenzmengen
>unter Vermeidung dieses Problems zu beweisen.

Welches Problem?

>Wir muessen uns aber
>auf ein Kriterium einigen,

Nun, man kommt Dir doch insofern entgegen, dass man sich, wie Du moechtest,
auf den Ebbinghaus bezieht. Damit sind die Kriterien gegeben.

>wann der Beweis als erbracht gilt.

Es gibt keinen Beweis dafuer.

>Ist dies der Fall, wenn ich eine abzaehlbar unendliche
>Vereinigungsmenge angebe, in der kein Element der Potenzmenge fehlt?

Um zu zeigen, dass eine Menge abzaehlbar unendlich ist, muss gezeigt werden,

dass es eine Bijektion auf N gibt.

>Kann ich davon ausgehen, dass Ihr als Minimalkonsens alle Folgerungen
>aus der Kontinuitaet von Folgen akzeptiert?

"Kontinuitaet"? Ich verstehe das nicht. Bitte mengentheoretisch definieren.

Gruss

Thomas.
--

[Dieter Jungmann]

Hallo Detlef,

>
> Hier ist jede Natuerliche Zahl tatsaechlich eine Menge,
> leider scheint Dieter nicht zu verstehen, dass nicht
> umgekehrt jede Menge von Zahlen selbst in dem Sinne eine
> natuerliche Zahl ist.

Wie kommst Du darauf? Ich bestaetige Dir ausdruecklich, dass
selbstverstaendlich nicht jede Menge von Zahlen eine natuerliche

Zahl ist.
>
> Etwa {1,3} ist so nicht konstruierbar.

Hat das jemand behauptet? {1, 3} ist eine Teilmenge von N.
Aber die Vereinigungsmenge von
1 = {{}} und 3 = { {}; {{}}; {{}, {{}}, {{}, {{}}} }
ist wieder gleich 3, weil 1 eine Teilmenge von 3 ist.

>
> Und eben auch die Menge der Natuerlichen Zahlen
> selbst nicht.

Das sollte jetzt klar sein. Die Teilmengen Y_n sind nur eine
andere Sichtweise der natuerlichen Zahlen. Ich habe sie nur
eingefuehrt, um Euch verstaendlich zu machen, dass N nicht
die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen, wie Ihr
staendig behauptet, sondern eine induktive Menge, also
ein Sonderfall von unendlichen Folgen ist, bei denen der
Begriff "alle Elemente" im Sinne der Vereinigungsmenge
aller Elemente keinen Sinn ergibt.

>
> Fuer Mengen, die keine Natuerliche Zahl darstellen
> ist es aber unsinn, von "Vorgaegner" zu reden,
> Genauso, wie ich den "Vorgaenger" von Dieters
> Schnuersenkel vom linken Schuh nicht angeben kann,
> muss ich auf seine Frage nach dem Vorgaenger von
> N passen.

Eine Menge von Schnuersenkeln hat natuerlich per se keine
bestimmte Ordnung. Ich kann sie aber (mehr oder weniger
willkuerlich) in einer Reihe anordnen, so dass jeder ausser
dem ersten einen Vorgaenger hat. Das ist Voraussetzung fuer
ihre Abzaehlbarkeit. Wenn dies nicht moeglich ist, ist die
Menge ueberabzaehlbar.

Gruss

Dieter

[Dieter Jungmann]

Holger Gollan schrieb:

>
> Hallo Dieter,
> und dann noch eine neue Antwort, wieder nur ein Thema herausgepickt,
> dieses Mal der Beweis dafuer, dass es keine Bijektion zwischen x und
> Pot(x) gibt.
>
> 1) Sei x eine beliebige Menge, Pot(x) die Potenzmenge, also die Menge
> aller Teilmengen von x.
> 2) Sei f : x -> Pot(x) eine Bijektion von x nach Pot(x).
> 3) Keine weitere Bedingung an f, nur die reine Existenz wird gefordert.
> 4) Bilde die Menge z = { u \el x | u \nel f(u) }.
> 5) Nach Konstruktion ist z eine Teilmenge von x, also ein Element von
> Pot(x).
> 6) Da f Bijektion auf Pot(x) ist, gibt es ein eindeutig bestimmtes
> Urbild y in x mit der Eigenschaft, dass f(y) = z.
> 7) Ang: y \el z. Dann gilt nach Definition von z, dass y \nel f(y), also
> y \nel z. Widerspruch!
> 8) Also: y \nel z. Dann gilt aber y \el f(y) = z. Ebenfalls Widerspruch!
> 9) Also kann f keine Bijektion von x nach Pot(x) sein.
> 10) Wo ist der mathematische Fehler in obigem Beweis? Keine Polemik,
> keine Philosophie, nur Mathematik bitte.

Hallo Holger,

ich gehe von folgenden Annahmen aus:
x ist eine beliebige abzaehlbar unendliche Menge, das grenzt das
Problem auf unser Thema ein.
Mit Ur"bild" in Satz 6) ist Element von x gemeint (x ist der
Definitionsbereich)
Mit u \el x ist gemeint, u ist Element von x und
mit u \nel f(u) ist gemeint, u ist kein Element von f(u),
d. h. die Teilmenge von x, die der Bildpunkt f(u) von u ist,
enthaelt beliebige Elemente von x ausser u.
(Anm.: Diesen Punkt hatte ich in frueheren postings falsch
interpretiert und folglich falsche Schluesse daraus gezogen.
Betroffen davon ist auch meine Antwort auf "Fragen an Dieter
Jungmann" von Wolfgang Kirschenhofer. Hier muss ich mich
korrigieren. Die Einwaende gegen die Schlussfolgerung bleiben
allerdings bestehen. Darauf gehe ich nachfolgend ein.)

Der Widerspruch 7) + 8) ist unvermeidbar. Die Schlussfolgerung in
Satz 9) ist aber nicht vollstaendig. Fest steht nur, dass es keine
Bijektion von x nach Pot(x) gibt. Das koennte auch ein Hinweis sein,
dass in der Definition der Maechtigkeit ein Widerspruch steckt.

Wenn x eine endliche Menge ist, ist ohnehin klar, dass es keine
Bijektion von x nach Pot(x) gibt. Das gaelte auch fuer unendliche
Mengen, wenn ihre Maechtigkeit wie die von endlichen Mengen
definiert waere. Der Widerspruch ist ein Hinweis, dass nur diese
Definition brauchbar ist.
Die Gleichmaechtigkeit von x und Pot(x) laesst sich aber nach der
fuer abzaehlbar unendliche Mengen gueltigen Definition auch durch
eine Bijektion einer beliebigen anderen abzaehlbar unendlichen
Menge nach Pot(x) pruefen. Dann tritt der Widerspruch nicht auf.
Sollte das moeglich sein, waere der Widerspruch ein Beweis fuer
die Unhaltbarkeit der Maechtigkeitsdefinition. Dafuer spricht die
Tatsache, dass alle Teilmengen von Pot(x) abzaehlbar sind. Warum
sollte ihre Vereinigungsmenge nicht abzaehlbar sein?

Es haengt also alles davon ab, ob dieser Beweis mit einer beliebigen
abzaehlbar unendlichen Menge gelingt. Darum geht es in den anderen
postings.

Eine dritte Moeglichkeit waere, dass die Potenzmenge einer abzaehlbar
unendlichen Menge nicht existiert. Man hat dann aber keinen Beweis
fuer die Existenz von ueberabzaehlbaren Mengen.
Fuer diese Moeglichkeit spricht, dass im Begriff der Potenzmenge die
Vorstellung von der Existenz eines letzten Elementes steckt, sonst
ist die Aussage, Menge "aller" Teilmengen, inhaltslos. Das steht im
Widerspruch zur Definition von abzaehlbar unendlichen Mengen, die
kein letztes Element haben.

Gruss

Dieter

[Dieter Jungmann]

Hallo Holger,

> Niemand sagt, dass man alle natuerlichen Zahlen gemeinsam in endlich
> vielen Schritten konstruieren kann. Du bringst wieder einmal eine
> Interpretation ins Spiel, die durch die Aussagen selbst nicht gedeckt
> ist.
> Jede einzelne natuerliche Zahl kann in endlich vielen Schritten
> konstruiert werden. Zu jeder gegebenen Zahl kann ich eine neue
> konstruieren, daher gibt es unendlich viele. Ist das so schwer zu
> verstehen?

Wenn Du geschrieben haettest

"Jede einzelne natuerliche Zahl kann in endlich vielen Schritten
konstruiert werden. Zu jeder gegebenen Zahl kann ich eine neue

konstruieren, das ist die Definition einer abzaehlbar unendlichen
Menge von Zahlen."
gaebe es keine Probleme. Wenn Du aber an der Behauptung festhaelst,
dass N die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen ist, treten
die beschriebenen Widersprueche auf. Wenn Du auf diese Aussage
verzichtest, sind wir uns einig und einige meiner postings werden
ueberfluessig. Jede Vereinigungsmenge (nicht verwechseln mit
Teilmengen!) von natuerlichen Zahlen ergibt wieder eine natuerliche
Zahl. (Das folgt aus ihrer Definition, probier's an einigen
Beispielen aus.)
Jede Zusammenfassung von natuerlichen Zahlen in einer Teilmenge
ergibt eine endliche Teilmenge von N. Das folgt aus der Tatsache,
dass die Anzahl der Elemente einer Teilmenge von N nicht groesser
sein kann als die Anzahl der Elemente der Menge n, welche die
groesste Zahl n der Teilmenge repraesentiert. Da aber jede Zahl n
nur endlich viele Elemente enthaelt, wie Du immer wieder betonst,
kann es auch nur endliche Teilmengen von N geben. "Ist das so
schwer zu verstehen?"

So wie Du sagst, dass jede einzelne natuerliche Zahl endlich viele
Elemente hat, dass es aber doch unendlich viele Zahlen gibt, kann
man auch sagen, dass jede Teilmenge von N endlich viele Elemente hat,
dass es aber unendlich viele Teilmengen gibt. Das ist zwar unsauber
ausgedrueckt, gibt den Sachverhalt aber richtig wieder, wenn man mit
unendlich meint, dass die Anzahl der Zahlen bzw. Teilmengen nicht
fest vorgegeben sondern unbestimmt ist, weil ja immer noch Elemente
hinzugefuegt werden koennen. Eine abzaehlbar unendliche Menge
unterscheidet sich von einer endlichen Menge nicht durch die Anzahl
der Elemente sondern nur dadurch, dass sie kein Ende, kein letztes
Element hat.

Daraus folgt, dass es DIE Potenzmenge von N nicht geben kann, denn
um alle Teilmengen ermitteln zu koennen, muessen alle Elemente
gegeben sein. Wenn deren Anzahl unbestimmt ist, ist auch die Menge
der Teilmengen unbestimmt. Man erhaelt also nur eine Folge von
Potenzmengen.

Die Mengen Z_n, die ich in meinem posting vom 11. 2. 17:18 eingefuehrt
habe, sind genauso endlich oder unendlich wie die Teilmengen von A oder
von N. Zwischen den Elementen a_n von A und den Mengen Z_n besteht ein
unaufloesbarer Zusammenhang. Die "unendlichen" Teilmengen von A, die Ihr
vermisst, koennen nicht mehr Elemente haben als der groesste Index n der
a_n, wenn er als mengentheoretische Zahl interpretiert wird. Genau so viel
Elemente haben aber auch die groessten Teilmengen von Z_n mit dem gleichen
Index n.

> > In meiner Interpretation treten diese Probleme nicht auf. Ich
> > halte mich genau an die Definition, dass eine abzaehlbar unendliche
> > Menge eine abzaehlbare Menge ist, die sich von einer endlichen Menge
> > nur dadurch unterscheidet, dass sie kein letztes Element hat. Mehr
> > sagt diese Definition nicht aus. N ist daher keine Vereinigungsmenge
> > sondern eine Folge von Mengen, die Schritt fuer Schritt mehr Elemente
> > enthalten. Eine Vereinigungsmenge _aller_ Elemente kann es nicht geben,
> > weil es nicht _alle_ Elemente gibt, denn man kann immer noch ein
> > Element anfuegen. Deshalb kann es auch nicht DIE eine Funktion von N
> > geben sondern immer nur eine endlose Folge von Funktionen.
> >
>
> Verstehe ich nicht! Was ist so kompliziert an der Funktion n -> n^2? Ich
> brauche keine Folge von Funktionen, sondern nur eine einzige Vorschrift,
> um jeder natuerlichen Zahl ein eindeutig definiertes Bild zuzuordnen.

Sorry, statt Funktion muss es natuerlich Funktionswert heissen.
Der letzte Satz lautet also richtig

> > ... Deshalb kann es auch nicht DEN einen Funktionswert von N geben
> > sondern immer nur eine endlose Folge von Funktionswerten.

Fuer die Potenzmenge von N heisst das, dass es nur eine endlose Folge
von Potenzmengen der Teilmengen mit den Elementen von 0 bis n geben
kann.

> Ist in deiner Interpretation N als Folge von Mengen wieder eine Menge?

Ja, eine Menge mit einer unbestimmten Anzahl von Elementen. Die
Unbestimmtheit hat ihre Ursache in der Tatsache, dass es kein letztes
Element gibt. Das Fehlen des letzten Elementes definiert die Menge als
abzaehlbar unendlich. Das ist alles. Mehr "Unendlichkeit" gibt es bei
abzaehlbaren Mengen nicht.

> Wenn ja, ist sie endlich oder unendlich und warum treten die angeblichen
> Probleme unserer Interpretation bei dir nicht auf? Wenn nein, dann
> verneinst du die Existenz von Vereinigungsmengen unendlich vieler
> Mengen, und vor allem macht dann der Begriff Pot(N) eigentlich keinen
> Sinn mehr, oder?

Du bist auf der richtigen Spur. Es gibt nur Potenzmengen von
Teilmengen von N. Potenzmengen von Mengen mit unbestimmter
Anzahl von Elementen haben in der Tat keinen Sinn. Oder siehst
Du einen?
In dem Begriff Potenzmenge steckt die Vorstellung von einer
abgeschlossenen Menge, die ein letztes Element enthaelt.
Das widerspricht der Definition der abzaehlbar unendlichen Menge.
Bei unendlichen Mengen kann man immer nur beliebig grosse Teilmengen
herausgreifen und davon die Potenzmengen bilden. Ob sich die
Potenzmengen auch bei stetiger Vergroesserung der Teilmengen
noch auf eine andere Menge abbilden lassen, kann nur durch eine
Grenzwertbetrachtung entschieden werden. Fuer die Potenzmenge
der Menge der Zweierpotenzen habe ich gezeigt, dass die Potenzmengen
beliebig grosser Teilmengen von Zweierpotenzen auf N abgebildet
werden koennen. Man kann keine Teilmenge angeben, die sich nicht
auf N abbilden laesst. Das Bild der Menge aller Zweierpotenzen
waere die Zahl oo in N. Diese Aussage ist genauso "sinnvoll" wie
die Vorstellung von der Menge "aller" Zweierpotenzen.

Gruss

Dieter

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>

> Der Widerspruch 7) + 8) ist unvermeidbar. Die Schlussfolgerung in
> Satz 9) ist aber nicht vollstaendig. Fest steht nur, dass es keine
> Bijektion von x nach Pot(x) gibt. Das koennte auch ein Hinweis sein,
> dass in der Definition der Maechtigkeit ein Widerspruch steckt.
>

Nur um es festzuhalten: Wir sind uns also einig, dass es keine Bijektion
von x nach Pot(x) gibt?

> Wenn x eine endliche Menge ist, ist ohnehin klar, dass es keine
> Bijektion von x nach Pot(x) gibt. Das gaelte auch fuer unendliche
> Mengen, wenn ihre Maechtigkeit wie die von endlichen Mengen
> definiert waere. Der Widerspruch ist ein Hinweis, dass nur diese
> Definition brauchbar ist.

Verstehe ich nicht! Ich dachte, wir waeren uns einig, dass es keine
Bijektion zwischen x und Pot(x) gibt, egal ob endlich oder unendlich.
Und nach der allgemeinen Definition von Maechtigkeit heisst das, dass x
und Pot(x) nicht gleichmaechtig sind, egal ob endlich oder unendlich.
Und warum sollte jetzt eine der Definitionen unbrauchbar sein?

> Die Gleichmaechtigkeit von x und Pot(x) laesst sich aber nach der
> fuer abzaehlbar unendliche Mengen gueltigen Definition auch durch
> eine Bijektion einer beliebigen anderen abzaehlbar unendlichen
> Menge nach Pot(x) pruefen. Dann tritt der Widerspruch nicht auf.

Mal vorausgesetzt, du meinst das Folgende: x ist abzaehlbar unendlich
und wir wollen beweisen, dass auch Pot(x) abzaehlbar unendlich ist. Dann
reicht es natuerlich voellig aus, wenn du eine Bijektion von einer
beliebigen abzaehlbar unendlichen Menge nach Pot(x) angeben kannst. Nur,
warum tritt der Widerspruch dann nicht auf? Kennst du eine solche
weitere abzaehlbar unendliche Menge udn kannst du die Bijektion nach
Pot(x) angeben?

> Sollte das moeglich sein, waere der Widerspruch ein Beweis fuer
> die Unhaltbarkeit der Maechtigkeitsdefinition. Dafuer spricht die
> Tatsache, dass alle Teilmengen von Pot(x) abzaehlbar sind. Warum
> sollte ihre Vereinigungsmenge nicht abzaehlbar sein?
>

Wieso sind alle Teilmengen von Pot(x) abzaehlbar?
Dann waere auch Pot(x) abzaehlbar, oder etwa nicht?
Alle Teilmengen von x sind abzaehlbar, aber was soll daraus fuer die
Teilmengen von Pot(x) folgen?

> Es haengt also alles davon ab, ob dieser Beweis mit einer beliebigen
> abzaehlbar unendlichen Menge gelingt. Darum geht es in den anderen
> postings.
>

Nein, darum ging es in den anderen Postings nicht! Du hast immer
behauptet, dass man Pot(x) durch eine beliebige andere Menge ersetzen
kann. Davon ist hier aber nirgends die Rede.
Wie oben schon geschrieben: Um die Abzaehlbarkeit von Pot(x) bei
abzaehlbarem x zu beweisen, kannst du natuerlich eine Bijektion von
irgend einer abzaeahlbaren Menge nach Pot(x) benutzen, nur frage ich
mich, wie du diese Abbildung ohne Bezug zur Menge x definieren willst.

> Eine dritte Moeglichkeit waere, dass die Potenzmenge einer abzaehlbar
> unendlichen Menge nicht existiert. Man hat dann aber keinen Beweis
> fuer die Existenz von ueberabzaehlbaren Mengen.
> Fuer diese Moeglichkeit spricht, dass im Begriff der Potenzmenge die
> Vorstellung von der Existenz eines letzten Elementes steckt, sonst
> ist die Aussage, Menge "aller" Teilmengen, inhaltslos. Das steht im
> Widerspruch zur Definition von abzaehlbar unendlichen Mengen, die
> kein letztes Element haben.
>

Wieso braucht man ein letztes Element, wenn man von der Menge aller
Teilmengen spricht? Man braucht auch kein letztes Element, wenn man von
der Menge aller natuerlichen Zahlen spricht. Hier steckt meiner Meinung
nach immer noch das Hauptproblem der ganzen Diskussion und ich
befuerchte, dass es keinen Sinn macht, weitergehende Aussagen zu
betrachten, so lange wir hier nicht Einigkeit erzielt haben. (Siehe dazu
auch meine andere Antwort von heute.)

[Holger Gollan]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Holger,
>
> > Niemand sagt, dass man alle natuerlichen Zahlen gemeinsam in endlich
> > vielen Schritten konstruieren kann. Du bringst wieder einmal eine
> > Interpretation ins Spiel, die durch die Aussagen selbst nicht gedeckt
> > ist.
> > Jede einzelne natuerliche Zahl kann in endlich vielen Schritten
> > konstruiert werden. Zu jeder gegebenen Zahl kann ich eine neue
> > konstruieren, daher gibt es unendlich viele. Ist das so schwer zu
> > verstehen?
>
> Wenn Du geschrieben haettest
> "Jede einzelne natuerliche Zahl kann in endlich vielen Schritten
> konstruiert werden. Zu jeder gegebenen Zahl kann ich eine neue
> konstruieren, das ist die Definition einer abzaehlbar unendlichen
> Menge von Zahlen."
> gaebe es keine Probleme. Wenn Du aber an der Behauptung festhaelst,
> dass N die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen ist, treten
> die beschriebenen Widersprueche auf. Wenn Du auf diese Aussage
> verzichtest, sind wir uns einig und einige meiner postings werden
> ueberfluessig. Jede Vereinigungsmenge (nicht verwechseln mit
> Teilmengen!) von natuerlichen Zahlen ergibt wieder eine natuerliche
> Zahl. (Das folgt aus ihrer Definition, probier's an einigen
> Beispielen aus.)

Das klappt nur, so lange du die Vereinigung von endlich vielen
natuerlichen Zahlen betrachtest. Was aber ist mit der Vereinigung von
unendlich vielen natuerlichen Zahlen? Oder mit der Vereinigung aller
natuerlichen Zahlen?
(Das alte Problem: Was bei der Vereinigung endlich vieler Mengen gilt,
muss noch lange nicht bei der Vereinigung unendlicher vieler Mengen
Bestand haben.)
Und wenn deine Behauptung wirklich aus der Definition folgt, dann
muesstest du doch einen mathematischen Beweis fuer diese Aussage
praesentieren koennen.

> Jede Zusammenfassung von natuerlichen Zahlen in einer Teilmenge
> ergibt eine endliche Teilmenge von N. Das folgt aus der Tatsache,
> dass die Anzahl der Elemente einer Teilmenge von N nicht groesser
> sein kann als die Anzahl der Elemente der Menge n, welche die
> groesste Zahl n der Teilmenge repraesentiert. Da aber jede Zahl n
> nur endlich viele Elemente enthaelt, wie Du immer wieder betonst,
> kann es auch nur endliche Teilmengen von N geben. "Ist das so
> schwer zu verstehen?"
>

Wenn schon der erste Satz dieses Abschnitts falsch ist, dann habe ich
natuerlich Probleme, die Schlussfolgerung zu verstehen. Gibt es denn
keine unendlichen Mengen von natuerlichen Zahlen? Was ist mit der Menge
der natuerlichen Zahlen?

> So wie Du sagst, dass jede einzelne natuerliche Zahl endlich viele
> Elemente hat, dass es aber doch unendlich viele Zahlen gibt, kann
> man auch sagen, dass jede Teilmenge von N endlich viele Elemente hat,
> dass es aber unendlich viele Teilmengen gibt. Das ist zwar unsauber
> ausgedrueckt, gibt den Sachverhalt aber richtig wieder, wenn man mit
> unendlich meint, dass die Anzahl der Zahlen bzw. Teilmengen nicht
> fest vorgegeben sondern unbestimmt ist, weil ja immer noch Elemente
> hinzugefuegt werden koennen. Eine abzaehlbar unendliche Menge
> unterscheidet sich von einer endlichen Menge nicht durch die Anzahl
> der Elemente sondern nur dadurch, dass sie kein Ende, kein letztes
> Element hat.
>

Nun ja, ich wuerde schon sagen, dass eine Folge mit Ende halt nur
endlich viele Elemente hat, eine Folge ohne Ende halt unendlich viele.
Im ersten Fall ist die Anzahl eine natuerliche Zahl, im zweiten Fall
nicht. Meiner Meinung nach unterscheiden sich endliche und unendliche
Mengen daher sehr wohl durch die Anzahl der Elemente.
Aber viel Wichtiger: Wieso hat jede Teilmenge von N nur endlich viele
Elemente? Wie folgt das aus der Definition der natuerlichen Zahlen?
Es gibt unendlich viele Teilmengen mit endlich vielen Elementen, die man
uebrigens abzaehlen kann, aber es gibt auch jede Menge Teilmengen mit
unendlich vielen Elemente.

> Daraus folgt, dass es DIE Potenzmenge von N nicht geben kann, denn
> um alle Teilmengen ermitteln zu koennen, muessen alle Elemente
> gegeben sein. Wenn deren Anzahl unbestimmt ist, ist auch die Menge
> der Teilmengen unbestimmt. Man erhaelt also nur eine Folge von
> Potenzmengen.
>

Aus dieser Argumentation wuerde auch folgen, dass es N gar nicht geben
kann. Mit diesen Begriffen kannst du eigentlich nur ueber endliche
Mengen reden.

> Die Mengen Z_n, die ich in meinem posting vom 11. 2. 17:18 eingefuehrt
> habe, sind genauso endlich oder unendlich wie die Teilmengen von A oder
> von N. Zwischen den Elementen a_n von A und den Mengen Z_n besteht ein
> unaufloesbarer Zusammenhang. Die "unendlichen" Teilmengen von A, die Ihr
> vermisst, koennen nicht mehr Elemente haben als der groesste Index n der
> a_n, wenn er als mengentheoretische Zahl interpretiert wird. Genau so viel
> Elemente haben aber auch die groessten Teilmengen von Z_n mit dem gleichen
> Index n.
>

Du bestreitest also die Existenz unendlicher (Teil)mengen, da man halt
nicht alle Elemente hinschreiben kann?
Warum beantwortest du nicht einfach mal die Frage, die in mehreren
Postings gestellt wurde, wo den der Fehler in den Gegenbeweisen zu
deiner These steckt? Noch einmal zur Verdeutlichung: Sei A die Menge der
natuerlichen Zahlen. Dan nhast du zwei Folgen von Teilmengen von A
gebildet; einmal solche mit endlich vielen Elementen und einmal solche,
bei denen endlich viele Elemente fehlten. Gib doch einfach z.B. den
Index an, wo in dieser Folge die Menge der geraden natuerlichen Zahlen
zu finden ist! Einen solchen Index kann es nicht geben, da dann die
Menge der geraden Zahlen beschraenkt waere, oder aber nur endlich viele
natuerliche Zahlen darin fehlen wuerden. Beides ist nicht richtig.
Bliebe als Ausweg hoechstens, dass es die Menge der geraden Zahlen nicht
gibt, weil man sie nicht alle hinschreiben kann. Nur befuerchte ich,
dass wir dann wirklich nie mehr zusammen kommen werden.

> > > In meiner Interpretation treten diese Probleme nicht auf. Ich
> > > halte mich genau an die Definition, dass eine abzaehlbar unendliche
> > > Menge eine abzaehlbare Menge ist, die sich von einer endlichen Menge
> > > nur dadurch unterscheidet, dass sie kein letztes Element hat. Mehr
> > > sagt diese Definition nicht aus. N ist daher keine Vereinigungsmenge
> > > sondern eine Folge von Mengen, die Schritt fuer Schritt mehr Elemente
> > > enthalten. Eine Vereinigungsmenge _aller_ Elemente kann es nicht geben,
> > > weil es nicht _alle_ Elemente gibt, denn man kann immer noch ein
> > > Element anfuegen. Deshalb kann es auch nicht DIE eine Funktion von N
> > > geben sondern immer nur eine endlose Folge von Funktionen.
> > >
> >
> > Verstehe ich nicht! Was ist so kompliziert an der Funktion n -> n^2? Ich
> > brauche keine Folge von Funktionen, sondern nur eine einzige Vorschrift,
> > um jeder natuerlichen Zahl ein eindeutig definiertes Bild zuzuordnen.
>
> Sorry, statt Funktion muss es natuerlich Funktionswert heissen.
> Der letzte Satz lautet also richtig
>
> > > ... Deshalb kann es auch nicht DEN einen Funktionswert von N geben
> > > sondern immer nur eine endlose Folge von Funktionswerten.
>
> Fuer die Potenzmenge von N heisst das, dass es nur eine endlose Folge
> von Potenzmengen der Teilmengen mit den Elementen von 0 bis n geben
> kann.
>

Aber dann wirst du niemals unendliche Teilmengen betrachten. Du wirst
die endlichen Teilmengen abzaehlen, sie wunderbar in eine Folge packen,
jeweils Vorgaenger und Nachfolger bestimmen, beweisen, dass die Menge
der endlichen Teilmengen abzaehlbar ist, aber du wirst keine Aussage
ueber die Potenzmenge, die Menge aller Teilmengen treffen koennen. Und
nochmals wiederholt: Wenn du meinst, dass es diese Menge auch gar nicht
gibt, dann solltest du auch nicht versuchen, Aussagen ueber diese Menge
zu beweisen.

> > Ist in deiner Interpretation N als Folge von Mengen wieder eine Menge?
>
> Ja, eine Menge mit einer unbestimmten Anzahl von Elementen. Die
> Unbestimmtheit hat ihre Ursache in der Tatsache, dass es kein letztes
> Element gibt. Das Fehlen des letzten Elementes definiert die Menge als
> abzaehlbar unendlich. Das ist alles. Mehr "Unendlichkeit" gibt es bei
> abzaehlbaren Mengen nicht.
>

Unbestimmt macht sich aber nicht so gut als Maechtigkeit, oder?

> > Wenn ja, ist sie endlich oder unendlich und warum treten die angeblichen
> > Probleme unserer Interpretation bei dir nicht auf? Wenn nein, dann
> > verneinst du die Existenz von Vereinigungsmengen unendlich vieler
> > Mengen, und vor allem macht dann der Begriff Pot(N) eigentlich keinen
> > Sinn mehr, oder?
>
> Du bist auf der richtigen Spur. Es gibt nur Potenzmengen von
> Teilmengen von N. Potenzmengen von Mengen mit unbestimmter
> Anzahl von Elementen haben in der Tat keinen Sinn. Oder siehst
> Du einen?

1) Warum willst du dann beweisen, dass N und Pot(N) gleichmaechtig sind?
Ueber Dinge, die nicht existieren, sollte man auch keine Aussagen
machen.
2) N ist die Menge aller natuerlichen Zahlen.
Pot(N) ist die Menge aller Teilmengen von N.
Wo ist da ein Problem? Ausser, dass es kein letztes Element gibt und
die Maechtigkeit keine natuerliche Zahl ist?

> In dem Begriff Potenzmenge steckt die Vorstellung von einer
> abgeschlossenen Menge, die ein letztes Element enthaelt.

Nein! Bei der Menge der natuerlichen Zahlen ist mir auch bewusst, dass
es kein letztes Element gibt. Trotzdem kann man mit dieser Menge
arbeiten. Warum braucht man fuer die Potenzmenge ein letztes Element?

> Das widerspricht der Definition der abzaehlbar unendlichen Menge.
> Bei unendlichen Mengen kann man immer nur beliebig grosse Teilmengen
> herausgreifen und davon die Potenzmengen bilden. Ob sich die
> Potenzmengen auch bei stetiger Vergroesserung der Teilmengen
> noch auf eine andere Menge abbilden lassen, kann nur durch eine
> Grenzwertbetrachtung entschieden werden. Fuer die Potenzmenge
> der Menge der Zweierpotenzen habe ich gezeigt, dass die Potenzmengen
> beliebig grosser Teilmengen von Zweierpotenzen auf N abgebildet
> werden koennen. Man kann keine Teilmenge angeben, die sich nicht
> auf N abbilden laesst. Das Bild der Menge aller Zweierpotenzen
> waere die Zahl oo in N. Diese Aussage ist genauso "sinnvoll" wie
> die Vorstellung von der Menge "aller" Zweierpotenzen.
>

Wie schon oben geschrieben: Du zeigst, dass es eine Teilmenge von Pot(N)
gibt, die abzaehlbar ist, naemlich die Menge aller endlichen Teilmengen
von N. Das wird auch niemand bezweifeln. Nur sagt das leider nichts
ueber die Abzaehlbarkeit von Pot(N) aus, da deine Grenzwertbetrachtung
nicht funktioniert. Du wirst naemlich bei deiner Konstruktion niemals
eine unendliche Teilmenge erreichen, da immer noch unendlich viele
Elemente fehlen werden.

Ich denke, dass zwei Dinge dringend geklaert werden muessen:
1) Ist N nun die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen oder nicht?
Und wenn ja, ist sie endlich oder unendlich. Wenn du der Meinung bist,
dass aus der Tatsache der unendlichen Vereinigungsmenge ein Widerspruch
resultiert, dann zeige diesen doch bitte mit mathematischen Folgerungen
auf. Und beachte dabei bitte, dass es auch Vereinigungen von unendlich
vielen Mengen geben kann.
2) Gibt es unendliche Teilmengen von N und daher Elemente von Pot(N),
also Mengen, mit unendlich vielen Elementen? Wenn ja, wo tauchen diese
in deiner Aufzaehlung, Folge auf? Und bitte nicht einfach mit weiter
hinten argumentieren. Mit dem Argument kannst du jede unendliche Menge
abzaehlen.

[Horst Kraemer]

On Mon, 19 Feb 2001 04:45:05 +0100, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

> Hallo Holger,
>
> > Niemand sagt, dass man alle natuerlichen Zahlen gemeinsam in endlich
> > vielen Schritten konstruieren kann. Du bringst wieder einmal eine
> > Interpretation ins Spiel, die durch die Aussagen selbst nicht gedeckt
> > ist.
> > Jede einzelne natuerliche Zahl kann in endlich vielen Schritten
> > konstruiert werden. Zu jeder gegebenen Zahl kann ich eine neue
> > konstruieren, daher gibt es unendlich viele. Ist das so schwer zu
> > verstehen?
>
> Wenn Du geschrieben haettest
> "Jede einzelne natuerliche Zahl kann in endlich vielen Schritten
> konstruiert werden. Zu jeder gegebenen Zahl kann ich eine neue
> konstruieren, das ist die Definition einer abzaehlbar unendlichen
> Menge von Zahlen."

> gaebe es keine Probleme. Wenn Du aber an der Behauptung festhaelst,
> dass N die Vereinigungsmenge aller natuerlichen Zahlen ist, treten
> die beschriebenen Widersprueche auf.

Ich nehme an, Du beziehst Dich hier wieder auf die Konstruktion von N
mittels der Definition:

N ist die Durchschnitt aller Mengen, die die leere Menge {} als
Element enthalten, und zu jeder Menge n, die sie als Element
enthalten, auch die Menge n v {n} als Element enthalten.

Es treten nirgends mathematische Widersprueche auf. Diese Menge hat
dank ihrer Konstruktion die bemerkenswerte Eigenschaft, dass sie
sowohl die Menge ihrer Elemente ist (dies gilt per Definitionem fuer
jede Menge ;-) als auch die Vereinigungsmenge ihrer Elemente. Dies
erzeugt keinerlei mathematischen Widerspruch _innerhalb_ der
Mengenlehre und daraus folgt auch nicht mathematisch, dass diese Menge
Element von sich selbst ist.

> Wenn Du auf diese Aussage
> verzichtest, sind wir uns einig und einige meiner postings werden
> ueberfluessig. Jede Vereinigungsmenge (nicht verwechseln mit
> Teilmengen!) von natuerlichen Zahlen ergibt wieder eine natuerliche
> Zahl. (Das folgt aus ihrer Definition, probier's an einigen
> Beispielen aus.)

> Jede Zusammenfassung von natuerlichen Zahlen in einer Teilmenge
> ergibt eine endliche Teilmenge von N.

Die Menge aller geraden natuerlichen Zahlen ist eine endliche
Teilmenge von N ? Du fuehrst hier einen Begriff "Zusammenfassung" ein,
der in der Mengenlehre nicht verwendet wird.

> Das folgt aus der Tatsache,
> dass die Anzahl der Elemente einer Teilmenge von N nicht groesser
> sein kann als die Anzahl der Elemente der Menge n, welche die
> groesste Zahl n der Teilmenge repraesentiert.

Wieso unterstellst Du, dass eine Teilmenge von N eine groesste Zahl
enthalten muss ? Enthaelt die Menge aller geraden Zahlen eine groesste
Zahl ? Oder gibt es "die Menge der geraden natuerlichen Zahlen" in
Deiner Mengenlehre nicht ?

Von dieser Vorstellung habe ich noch nie etwas gehoert.

> Das widerspricht der Definition der abzaehlbar unendlichen Menge.

Sic. Es gibt ja auch keine unendliche Menge, deren Potenzmenge
abzaehlbar ist - obwohl ich nicht den geringsten Zusammenhang zwischen
dem Begriff "abzaehlbar" und moeglichen Vorstellungen ueber den
Begriff "Potenzmenge" sehe

Wie kann einer Vorstellung einer Definition widersprechen ? Das
einzige, was sich Mathematiker unter einer Potenzmenge "vorstellt",
ist das, was die Definition woertlich beinhaltet. Die Potenzmenge ist
die Menge _aller_ Teilmengen.

> Bei unendlichen Mengen kann man immer nur beliebig grosse Teilmengen
> herausgreifen und davon die Potenzmengen bilden.

In der Mengenlehre ist "die Potenzmenge" also die Menge aller
Teilmengen von M definiert. Es gibt keine Begriffe wie
"herausgreifen". Die Potenzmenge ist das Ding, als das sie definiert
ist, sie existiert per Axiom, sie wird nicht gegriffen.

Wenn Du das Axiom der Mengenlehre:

Zu jeder Menge M existiert die Menge aller ihrer Teilmengen.
Diese wird "Potenzmenge von M" genannt

in Deiner Mengenlehre nicht akzeptierst, so ist dies Dein gutes Recht.
Dann ist Deine "DJ-Potenzmenge" eben das, was in der Mengenlehre des
Rests der Welt die "Menge der endlichen Teilmengen von M" ist. Die
Menge der endlichen Teilmengen einer unendlichen Menge M ist immer
gleichmaechtig zu M, also ist die Menge der endlichen Teilmengen von N
auch abzaehlbar. Alles soweit OK.

Nur muss man dann das Subject "Widersprueche der Mengenlehre" voellig
anderes interpretieren, als es die Leser bisher getan haben. Wir
glaubten, dass Du damit _mathematische_ Widersprueche in "unserer"
Mengenlehre (der Mengenlehre, in der eine Potenzmenge einer
unendlichen Menge auch alle unendlichen Teilmengen enthaelt) meinst.
Es stellt sich heraus, dass Du eigentlich nur sagen willst, dass die
allgemein akzeptierte Mengenlehre Deinen philosophischen Vorstellungen
ueber Mengen widerspricht. Dies ist dann Dein hoechst persoenliches
Problem, fuer das es bisher keine mathematische Loesung gibt. Wenn
Deine "DJ-Potenzmengen" aus aussermathematischen philosophischen
Gruenden nur endliche Teilengen enthalten "koennen", ist Deine Ausage
ueber diese "DJ-Potenzmengen" natuerlich richtig. Aber damit ist diese
ganze Diskussion gegenstandslos geworden und kann wohl nun ad acta
gelegt werden, da die anderen Diskussionsteilnehmer immer glaubten,
dass Du mit "Potenzmenge" dasselbe meinst wie wir.

Niemand hat seit 1908 (Zermelos erste axiomatisch aufgebaute
Mengenlehre) eine innere mathematische Widerspruechlichkeit der
Mengenlehre nachweisen koennen und auch Du wirst nicht nachweisen
koennen, dass das Axiom "die Menge aller Teilmengen einer beliebigen
Mengen existiert" innerhalb "unserer" Mengenlehre zu einem
mathematischen Widerspruch fuehrt. Das Problem, ob "unsere"
Mengenlehre philosophisch vertretbar ist, wurde einmal vor 100 Jahren
gefuehrt und ist laengst ausdiskutiert, und zwar bis auf weiteres
durch "Aussitzen". Es wurden bisher keine mathematischen Widerspueche
entdeckt. Punkt. Es konnte zwar bisher auch nicht bewiesen werden,
dass es keine gibt, aber so lange der Fall nicht in negativer Richtung
entschieden ist, arbeitet die mathematische Welt damit erfolgreich -
und bisher widerspruchsfrei...

MfG
Horst

[Horst Kraemer]

Hurra !

> Das koennte auch ein Hinweis sein,
> dass in der Definition der Maechtigkeit ein Widerspruch steckt.

Das kann man nur dann als Hinweis auf einen Widerspruch empfinden,
wenn man persoenlich davon ueberzeugt ist, ein Gegenbeispiel gefunden
zu haben - was bei Dir offensichtlich der Fall ist. Wenn wirklich ein
Gegenbeispiel existiert, dann steckt in der Definition der
Maechtigkeit definitiv ein Widerspruch.

> Wenn x eine endliche Menge ist, ist ohnehin klar, dass es keine
> Bijektion von x nach Pot(x) gibt. Das gaelte auch fuer unendliche
> Mengen, wenn ihre Maechtigkeit wie die von endlichen Mengen
> definiert waere. Der Widerspruch ist ein Hinweis, dass nur diese
> Definition brauchbar ist.

> Die Gleichmaechtigkeit von x und Pot(x) laesst sich aber nach der
> fuer abzaehlbar unendliche Mengen gueltigen Definition auch durch
> eine Bijektion einer beliebigen anderen abzaehlbar unendlichen
> Menge nach Pot(x) pruefen. Dann tritt der Widerspruch nicht auf.
> Sollte das moeglich sein, waere der Widerspruch ein Beweis fuer
> die Unhaltbarkeit der Maechtigkeitsdefinition. Dafuer spricht die
> Tatsache, dass alle Teilmengen von Pot(x) abzaehlbar sind.

Dies ist keine Tatsache, sondern eine freie Erfindung.

> Es haengt also alles davon ab, ob dieser Beweis mit einer beliebigen
> abzaehlbar unendlichen Menge gelingt. Darum geht es in den anderen
> postings.

Solange Du behauptest, dass Pot(N) nur endliche Mengen als Elemente
hat, wird dieser Beweis wie immer gelingen. Nur dieses Pot(N) ist
nicht das, was wir und (mit mindestens einer Ausnahme) der Rest der
Welt unter Pot(N) verstehen.

Da nach Deiner Auffassung die Menge der geraden natuerlichen Zahlen
eine Teilmenge der Menge der natuerlichen Zahlen ist, aber _kein_
Element von Pot(N), eruebrigt sich jede Diskussion und jeder
Beweisversuch. Dass die Menge der endlichen Teilmengen von N
abzaehlbar ist, hat nie jemand bestritten und es gibt keinerlei
Widerspruch, da wir nicht von denselben Objekten sprechen.

> Eine dritte Moeglichkeit waere, dass die Potenzmenge einer abzaehlbar
> unendlichen Menge nicht existiert. Man hat dann aber keinen Beweis
> fuer die Existenz von ueberabzaehlbaren Mengen.

Man hat auch keinen Beweis fuer die Existenz von abzaehlbar
unendlichen Mengen. Man hat nicht einmal einen Beweis dafuer, dass
eine leere Menge existiert. Man behauptet per Dekret, dass sie
existieren. Und man behauptet auch per Dekret, dass zu jeder Menge x
deren Potenzmenge alias "Menge _aller_ Teilmengen von x existiert".

Das, was Du als "Beweis fuer die Nichtexistenz" ansiehst, muss Du
angesichts dieser Tatsachen umformulieren in: "Diese
Existenzformerungen fuehren zu Widerspruechen".

> Fuer diese Moeglichkeit spricht, dass im Begriff der Potenzmenge die
> Vorstellung von der Existenz eines letzten Elementes steckt, sonst
> ist die Aussage, Menge "aller" Teilmengen, inhaltslos. Das steht im
> Widerspruch zur Definition von abzaehlbar unendlichen Mengen, die
> kein letztes Element haben.

Ich sehe immer nur das Wort "Widerspruch", aber keinen mathematisch
fassbaren Widerspruch. Eine Potenzmenge ist nicht das, was man sich
darunter vorstellt, sondern das, als das sie definiert ist. die Menge
_aller_ Teilmengen. Dieser Begriff ist ohne jede Vorstellung
inhaltsvoll. In der Mengenlehre geht es nicht um Interpretationen und
Vorstellungen, sondern um nackte Formeln, Axiome und Definitionen.

MfG
Horst

[Dieter Jungmann]

Hallo zusammen,

ich antworte hier auf die postings von Holger Gollan vom 19. 2. 11:51
und 12:32 und von Horst Kraemer vom 19. 2. 14:59 und 21:57 gemeinsam.
Es waere nutzlos, nochmals auf alle Aussagen einzugehen, weil sich die
Argumente wiederholen. Ich greife daher exemplarisch als Beispiel eine
Stelle aus dem posting von Horst Kraemer vom 19. 2. 14:59 heraus:

> > Jede Zusammenfassung von natuerlichen Zahlen in einer Teilmenge
> > ergibt eine endliche Teilmenge von N.
>
> Die Menge aller geraden natuerlichen Zahlen ist eine endliche
> Teilmenge von N ? Du fuehrst hier einen Begriff "Zusammenfassung" ein,
> der in der Mengenlehre nicht verwendet wird.

Es ist bewundernswert, mit welchem Geschick Ihr immer wieder Aussagen
aus dem Zusammenhang herausreisst und dadurch ihren Sinn entstellt.
Meine von Dir zitierte Aussage bezieht sich auf Holger Gollans Aussage,
dass es nur natuerliche Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt. Die
Zahl n ist eine Menge mit n Elementen. Die Menge der geraden Zahlen
{2, 4, 6} enthaelt 3 Elemente, die groesste natuerliche Zahl 6 dieser
Teilmenge hat 6 Elemente. Im Falle von Mengen von geraden Zahlen ist
die Anzahl der Elemente dieser Menge nur hoechstens halb so gross wie
die Anzahl der Elemente der groessten darin vorkommenden natuerlichen
Zahl. Wenn es nur Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt, kann es
auch nur endliche Teilmengen von natuerlichen Zahlen geben.
Solange Ihr also an der Aussage festhaltet, dass es nur natuerliche
Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt, kann auch jede Teilmenge
von natuerlichen Zahlen nur endlich viele Elemente haben.

Ich gehe auf dieses Thema nicht weiter ein, weil Ihr den Zusammenhang
offensichtlich gar nicht verstehen wollt. Aber vielleicht versucht Ihr
wenigstens einmal fuer die nachfolgend definierte abzaehlbar unendliche
Menge eine Bijektion anzugeben.

Es sei M_0 die Menge {1, 2, 3, 4, 5, ...} die Menge der natuerlichen
Zahlen ohne die leere Menge und
M_1 = { {1}, {2}, {3}, ...}.

Die Vereinigungsmenge {1, {1}, 2, {2} ...}, von M_0 und M_1 ist
ebenfalls abzaehlbar unendlich.
Entsprechend laesst sich auch die Menge M_2 = { {{1}}, {{2}}, ...}
bilden. Auf gleiche Weise lassen sich abzaehlbar unendlich viele
Mengen M_n mit n el N definieren.
Die Vereinigungsmenge M = {1, {1}, {{1}}, {{{1}}}, ..., 2, {2}, ...}
ist voraussetzungsgemaess ebenfalls abzaehlbar unendlich. Es muss also
eine Bijektion von M nach N geben. Koennt Ihr sie angeben?

Nach dieser Voruebung geht's erst richtig los. Auch die Mengen
{ {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, ...},
{ {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, ...},
...,
{ {{1, 2}}, {{1, 3}}, {{1, 4}}, ...},
...
...
sind abzaehlbar unendlich. Das gleiche gilt fuer die entsprechenden
Mengen der Teilmengen mit 3, 4, 5, ... natuerlichen Zahlen. Die
Vereinigungsmenge V all dieser Mengen ist abzaehlbar unendlich. Es
muss also eine Bijektion von V nach N geben. Wenn Ihr sie angeben
koennt, gebe ich Euch auch die Bijektion von N nach Pot(N) an.

Gruss

Dieter

[Horst Kraemer]

On Tue, 20 Feb 2001 03:19:05 +0100, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

> Hallo zusammen,
>
> ich antworte hier auf die postings von Holger Gollan vom 19. 2. 11:51
> und 12:32 und von Horst Kraemer vom 19. 2. 14:59 und 21:57 gemeinsam.
> Es waere nutzlos, nochmals auf alle Aussagen einzugehen, weil sich die
> Argumente wiederholen. Ich greife daher exemplarisch als Beispiel eine
> Stelle aus dem posting von Horst Kraemer vom 19. 2. 14:59 heraus:
>
> > > Jede Zusammenfassung von natuerlichen Zahlen in einer Teilmenge
> > > ergibt eine endliche Teilmenge von N.
> >
> > Die Menge aller geraden natuerlichen Zahlen ist eine endliche
> > Teilmenge von N ? Du fuehrst hier einen Begriff "Zusammenfassung" ein,
> > der in der Mengenlehre nicht verwendet wird.
>
> Es ist bewundernswert, mit welchem Geschick Ihr immer wieder Aussagen
> aus dem Zusammenhang herausreisst und dadurch ihren Sinn entstellt.

Dies lag wohl daran liegen, dass wir den von Dir eben diesen Sinn
nicht begreifen. Wessen Schuld dies ist, will ich noch nicht
entscheiden.

> Meine von Dir zitierte Aussage bezieht sich auf Holger Gollans Aussage,
> dass es nur natuerliche Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt. Die
> Zahl n ist eine Menge mit n Elementen. Die Menge der geraden Zahlen
> {2, 4, 6} enthaelt 3 Elemente, die groesste natuerliche Zahl 6 dieser
> Teilmenge hat 6 Elemente. Im Falle von Mengen von geraden Zahlen ist
> die Anzahl der Elemente dieser Menge nur hoechstens halb so gross wie
> die Anzahl der Elemente der groessten darin vorkommenden natuerlichen
> Zahl. Wenn es nur Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt, kann es
> auch nur endliche Teilmengen von natuerlichen Zahlen geben.
> Solange Ihr also an der Aussage festhaltet, dass es nur natuerliche
> Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt, kann auch jede Teilmenge
> von natuerlichen Zahlen nur endlich viele Elemente haben.

Warum "kann" eine Teilmenge von natuerlichen Zahlen nur endlich viele
Elemnte haben ? Woraus _folgt_ dies ?

> Meine von Dir zitierte Aussage bezieht sich auf Holger Gollans Aussage,
> dass es nur natuerliche Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt.

Ja, das wusste ich wohl. Nach der diskutierten Konstruktion stellen
sich die natuerlichen Zahlen als Mengen mit diesem Konstruktionsschema
dar:

0 := {}
1 := {0}
2 := {0,1}
3 := {0,1,2}

Die Menge N der natuerlichen Zahlen hat also diese Form

N = { 0, {0},{0,1}, {0,1,2}, {0,1,2,3},..... }

Die Elemente von N sind Mengen, jede dieser Mengen ist endlich. N
enthaelt unendlich viele Elemente. Per Definition der Begriffs
"abzaehlbar unendlich" enthaelt N "abzaehlbar unendlich viele"
Elemente.

> Die
> Zahl n ist eine Menge mit n Elementen. Die Menge der geraden Zahlen
> {2, 4, 6} enthaelt 3 Elemente, die groesste natuerliche Zahl 6 dieser
> Teilmenge hat 6 Elemente. Im Falle von Mengen von geraden Zahlen ist
> die Anzahl der Elemente dieser Menge nur hoechstens halb so gross wie
> die Anzahl der Elemente der groessten darin vorkommenden natuerlichen
> Zahl.

Richtig. Eine endliche Mengen gerader natuerlicher Zahlen.enthaelt
hoechstens halb so viel Elemente wie die groesste in der Menge
vorkommende natuerliche Zahl. Dies ist unbestritten.

> Wenn es nur Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt, kann es
> auch nur endliche Teilmengen von natuerlichen Zahlen geben.
> Solange Ihr also an der Aussage festhaltet, dass es nur natuerliche
> Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt, kann auch jede Teilmenge
> von na

Auch die Menge _aller_ natuerlichen Zahlen, also die Menge N
persoenlich, enthaelt nur endlich viele Elemente ? Ist diese keine
Teilmente der Menge der natuerlichen Zahlen ? Ebenso die Menge _aller_
geraden natuerlichen Zahlen ?

Die Tatsache, dass Du dieses "aller", das Du oben hoechstpersoenlich
zitiert hast, unter den Tisch fallen laesst und statt von der Menge
_aller_ geraden natuerlichen Zahlen von der Menge {2,4,6} sprichst,
laesst mehrere Schluesse zu.

1) Du hast das Wort _alle_ nicht gelesen, obwohl du es zitiert hast.
2) Du weisst nicht, was das Wort _alle_ bedeutet.
3) Du hast das Wort _alle_ absichtlich ignoriert, weil in Deiner
"Mengenlehre" die Begriffe "Menge aller natuerlicher Zahlen" oder
"Menge aller geraden natuerlichen Zahlen" sinnlos sind.

1 und 2 waeren entschuldbar. 3 waere eine grobe Unhoeflichkeit.

Da ich Dich nicht fuer unhoeflich halte, gehe ich von 1 oder 2 aus und
bitte Dich, Deine Antwort in einer Form zu revidieren, aus der
erkennbar wird, warum bei Dir das Wort "alle" nicht vorkommt.

> Ich gehe auf dieses Thema nicht weiter ein, weil Ihr den Zusammenhang
> offensichtlich gar nicht verstehen wollt.

Nein, Wir koennen ihn nicht verstehen, weil Du nur behauptest, aber
nicht _beweist_. Wir verstehen ohne Beweis nicht, warum einen Menge,
deren _Elemente_ saemtlichst endliche Mengen sind, keine Teilmengen
mit unendlich vielen Elementen besitzen kann. Da N eine Teilmengen von
N ist (ist dies so?) wuerde dies bedeuten, dass N nur endlich viele
Elemente enthaelt. Ist dies so ? Ist dieser Schluss falsch ?

[...]

> Nach dieser Voruebung geht's erst richtig los. Auch die Mengen

Danke fuer die Voruebung.

> { {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, ...},
> { {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, ...},
> ...,
> { {{1, 2}}, {{1, 3}}, {{1, 4}}, ...},
> ...
> ...
> sind abzaehlbar unendlich. Das gleiche gilt fuer die entsprechenden
> Mengen der Teilmengen mit 3, 4, 5, ... natuerlichen Zahlen. Die
> Vereinigungsmenge V all dieser Mengen ist abzaehlbar unendlich. Es
> muss also eine Bijektion von V nach N geben. Wenn Ihr sie angeben
> koennt, gebe ich Euch auch die Bijektion von N nach Pot(N) an.

Wir geben sie nicht an, aber wir wissen, dass es eine solche gibt.
Nimm also an, dass wir sie angegeben haetten. Sie heisse 'f'.

Koenntest Du eine Vorabinformation geben: Welche natuerliche Zahl
bildest Du auf die Menge N ab ?

MfG
Horst

[Wolfram Hinderer]

Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> writes:

> Es waere nutzlos, nochmals auf alle Aussagen einzugehen, weil sich die
> Argumente wiederholen.

Was heisst nochmals? Einmal wuerde ja reichen.

>> > Jede Zusammenfassung von natuerlichen Zahlen in einer Teilmenge
>> > ergibt eine endliche Teilmenge von N.
>>
>> Die Menge aller geraden natuerlichen Zahlen ist eine endliche
>> Teilmenge von N ? Du fuehrst hier einen Begriff "Zusammenfassung" ein,
>> der in der Mengenlehre nicht verwendet wird.

> Meine von Dir zitierte Aussage bezieht sich auf Holger Gollans Aussage,

> dass es nur natuerliche Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt. Die
> Zahl n ist eine Menge mit n Elementen. Die Menge der geraden Zahlen
> {2, 4, 6} enthaelt 3 Elemente, die groesste natuerliche Zahl 6 dieser
> Teilmenge hat 6 Elemente.

Warum einmal Menge, einmal Teilmenge? Soll das was bedeuten? Ich
befuerchte, dass es das soll, sonst wuerde ich nichts dazu schreiben.

> Im Falle von Mengen von geraden Zahlen ist
> die Anzahl der Elemente dieser Menge nur hoechstens halb so gross wie
> die Anzahl der Elemente der groessten darin vorkommenden natuerlichen
> Zahl.

Kommt darauf an, ob 0 eine natuerliche Zahl ist.
Ist aber sowieso egal, da deine Aussage nur ein Fuellsatz zu sein
scheint.

> Wenn es nur Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt, kann es
> auch nur endliche Teilmengen von natuerlichen Zahlen geben.

Um mit Horsts Worten zu sprechen: "Freie Erfindung". Wieso sollte das
so sein? Was genau meinst du denn mit Teilmengen? Ich vermute, dass
da vielleicht ein Problem besteht.

> Solange Ihr also an der Aussage festhaltet, dass es nur natuerliche
> Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt, kann auch jede Teilmenge
> von natuerlichen Zahlen nur endlich viele Elemente haben.

Freie Erfindung. Wieso sollte das so sein?

> Ich gehe auf dieses Thema nicht weiter ein, weil Ihr den Zusammenhang
> offensichtlich gar nicht verstehen wollt.

Das ist eine boesartige Unterstellung. Du brauchst dich nicht zu
wundern, wenn einige dann die Lust verlieren, mit dir zu diskutieren.
Das schoenste ist natuerlich, dass du dir dann einbilden kannst, die
anderen haetten "aufgegeben". (Das sagt die Erfahrung. Vielleicht ist
es bei dir ja anders.)

> Aber vielleicht versucht Ihr
> wenigstens einmal fuer die nachfolgend definierte abzaehlbar unendliche
> Menge eine Bijektion anzugeben.

Was soll denn "wenigstens" heissen?

> Es sei M_0 die Menge {1, 2, 3, 4, 5, ...} die Menge der natuerlichen
> Zahlen ohne die leere Menge und
> M_1 = { {1}, {2}, {3}, ...}.
>
> Die Vereinigungsmenge {1, {1}, 2, {2} ...}, von M_0 und M_1 ist
> ebenfalls abzaehlbar unendlich.
> Entsprechend laesst sich auch die Menge M_2 = { {{1}}, {{2}}, ...}
> bilden. Auf gleiche Weise lassen sich abzaehlbar unendlich viele
> Mengen M_n mit n el N definieren.

> Die Vereinigungsmenge M = {1, {1}, {{1}}, {{{1}}}, ..., 2, {2}, ...}
> ist voraussetzungsgemaess ebenfalls abzaehlbar unendlich. Es muss also
> eine Bijektion von M nach N geben. Koennt Ihr sie angeben?

Ich bin mir zwar nicht so sicher, was voraussetzungsgemaess heisst,
aber so eine Bijektion ist natuerlich sehr leicht anzugeben.

Sei a[i,j] := {{{...{{j}}...}}} (i oeffnende und i schliessende Klammern)
Zu x=a[i,j] aus M definieren wir f(x) = (i+j)*(i+j+1)/2-j+1.
f ist eine Bijektion von M nach N. (Falls 0 keine natuerliche Zahl
ist.)

Eine Injektion waere sogar einfacher: a[i,j] |-> 2^i*3^j.

> Nach dieser Voruebung geht's erst richtig los. Auch die Mengen
> { {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, ...},
> { {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, ...},
> ...,
> { {{1, 2}}, {{1, 3}}, {{1, 4}}, ...},
> ...
> ...
> sind abzaehlbar unendlich. Das gleiche gilt fuer die entsprechenden
> Mengen der Teilmengen mit 3, 4, 5, ... natuerlichen Zahlen. Die
> Vereinigungsmenge V all dieser Mengen ist abzaehlbar unendlich. Es
> muss also eine Bijektion von V nach N geben.

Das wird ja immer einfacher.
{a_1,a_2,...,a_n} |-> Produkt (p_i)^(a_i)
Produkt von i=1 bis i=n, p_i = i-te Primzahl, a_i aufsteigend geordnet.
Zum Glueck stehen nur immer endlich viele viele Zahlen in der Menge.
Sonst gaebe es ein Problem, da das Produkt dann nicht definiert waere.

> Wenn Ihr sie angeben
> koennt, gebe ich Euch auch die Bijektion von N nach Pot(N) an.

Jetzt bin ich aber gespannt. Es gibt drei Moeglichkeiten:

1. Du gibst wirklich eine solche Bijektion an. Dann wechsle ich den
Beruf.
2. Du siehst ein, dass du nicht Recht hast. Halte ich fuer beinahe
ausgeschlossen.
3. Du behauptest, eine Bijektion zu haben, die aber keine ist. Oder du
windest dich anders raus. Darauf wuerde ich mein Geld setzen.

Gruss
Wolfram

[Holger Gollan]

Wolfram Hinderer wrote:
>
> Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> writes:
>

Hallo Wolfram, hallo Dieter, hallo Horst!

> > Es waere nutzlos, nochmals auf alle Aussagen einzugehen, weil sich die
> > Argumente wiederholen.
>
> Was heisst nochmals? Einmal wuerde ja reichen.
>

Dem kann ich nur zustimmen. Ich habe mich nun wirklich mehrmals bemueht,
mathematische Folgerungen aufzuzeigen und nach den angeblich existenten
Widerspruechen darin zu fragen. Bisher gab es nur eine einzige Reaktion,
naemlich auf den Beweis, dass x und Pot(x) nicht gleichmaechtig sind.
Darin hat Dieter zugegeben, dass es keine Bijektion zwischen x und
Pot(x) gibt. Allerdings hat er dann versucht, einen nicht existenten
Widerspruch daraus abzuleiten, den ich zugegebenermassen nicht voellig
verstanden habe.
Ausserdem verspricht er uns weiter unten dann doch wieder eine Bijektion
von N nach Pot(N), wenn wir nur unsere Hausaufgaben machen, was Wolfram
freundlicherweise uebernommen hat.

> > Solange Ihr also an der Aussage festhaltet, dass es nur natuerliche
> > Zahlen mit endlich vielen Elementen gibt, kann auch jede Teilmenge
> > von natuerlichen Zahlen nur endlich viele Elemente haben.
>
> Freie Erfindung. Wieso sollte das so sein?
>

Noch einmal eine Liste von Aussagen, mit der Bitte an Dieter, doch mal
herauszustreichen, welchen dieser Aussagen er widerspricht:
1) Die Menge aller natuerlichen Zahlen ist eine unendliche Menge.
(Beweis: Waere sie endlich, dann gaebe es eine groesste natuerliche
Zahl, was wegen der Nachfolgerfunktion aber nicht sein kann.)
2) Die Menge aller geraden Zahlen ist eine Teilmenge der Menge aller
natuerlichen Zahlen.
3) Die Menge aller geraden Zahlen ist ebenfalls unendlich.
(Beweise: a) Waere sie endlich, dann gaebe es eine groesste gerade Zahl.
Zweimaliges Anwenden der Nachfolgerfunktion liefert aber eine groessere.
b) n -> 2*n liefert eine injektive (bijektive) Abbildung von der Menge
der natuerlichen in die Menge der geraden Zahlen. Da die Menge der
natuerlichen Zahlen unendlich ist, muss dies auch fuer die Menge der
geraden Zahlen der Fall sein.)
4) Es gibt Teilmengen von natuerlichen Zahlen, die unendlich viele
Elemente besitzen.
Anmerkung: Ich bleibe auch weiterhin bei der schon vor Wochen
geaeusserten Vermutung, dass das Hauptproblem der Versuch ist, von
Aussagen ueber endliche Mengen auf Aussagen ueber die Vereinigung dieser
endlichen Mengen zu schliessen. Insbesondere scheint dabei die
Vorstellung einer Grenzwertbildung zu existieren (N wird durch die Folge
der natuerlichen Zahlen, als Mengen betrachtet, approximiert.). Mal ganz
abgesehen davon, dass wir in diesem Falle erst einmal ueber die Theorie
solcher Grenzwerte bei Mengen diskutieren muessten, bleibe ich bei
meiner vor Wochen gemachten Aussage, dass eine Eigenschaft, die bei
unendlich vielen endlichen Mengen Gueltigkeit hat, nicht unbedingt fuer
die Vereinigung dieser endlichen Mengen gelten muss. Und ich bleibe bei
dem Beispiel, dass jede natuerliche Zahl, als Menge betrachtet, ein
groesstes Element besitzt, dies aber nicht fuer N, die Vereinigung der
natuerlichen Zahlen, gilt. Wenn ich es richtig verstehe, dann zieht
Dieter daraus den Schluss, dass die Definition von N als
Vereinigungsmenge falsch ist; ich ziehe daraus, den Schluss, dass man
die Grenzwertbetrachtung halt nicht so machen kann, wie Dieter es sich
vorstellt.

> > Ich gehe auf dieses Thema nicht weiter ein, weil Ihr den Zusammenhang
> > offensichtlich gar nicht verstehen wollt.
>
> Das ist eine boesartige Unterstellung. Du brauchst dich nicht zu
> wundern, wenn einige dann die Lust verlieren, mit dir zu diskutieren.
> Das schoenste ist natuerlich, dass du dir dann einbilden kannst, die
> anderen haetten "aufgegeben". (Das sagt die Erfahrung. Vielleicht ist
> es bei dir ja anders.)
>

Auch hier kann ich Wolfram nur zustimmen. Ich gebe mir nun wirklich jede
Muehe, Dieters Argumente zu verstehen, aber wir haben es leider bisher
noch nicht geschafft, ueber mehrere Postings hinweg wirklich
mathematisch zu diskutieren.
(Wie von Horst mehrmals ausgefuehrt: Manche Dinge musst du ja nicht
akzeptieren, manche Dinge sind Axiome, mit denen wir gut leben koennen,
du vielleicht nicht. Aber wenn wir von verschiedenen Axiomensystemen
ausgehen, dann ist es kein Wunder, dass wir uns nicht einigen koennen.
Wenn du allerdings in unserem Axiomensystem lebst, dann zeige doch bitte
mit mathematischen Argumenten, warum unsere Definition der natuerlichen
Zahlen zu einem Widerspruch fuehrt.)

> > Aber vielleicht versucht Ihr
> > wenigstens einmal fuer die nachfolgend definierte abzaehlbar unendliche
> > Menge eine Bijektion anzugeben.
>
> Was soll denn "wenigstens" heissen?
>
> > Es sei M_0 die Menge {1, 2, 3, 4, 5, ...} die Menge der natuerlichen
> > Zahlen ohne die leere Menge und
> > M_1 = { {1}, {2}, {3}, ...}.
> >
> > Die Vereinigungsmenge {1, {1}, 2, {2} ...}, von M_0 und M_1 ist
> > ebenfalls abzaehlbar unendlich.
> > Entsprechend laesst sich auch die Menge M_2 = { {{1}}, {{2}}, ...}
> > bilden. Auf gleiche Weise lassen sich abzaehlbar unendlich viele
> > Mengen M_n mit n el N definieren.
>
> > Die Vereinigungsmenge M = {1, {1}, {{1}}, {{{1}}}, ..., 2, {2}, ...}
> > ist voraussetzungsgemaess ebenfalls abzaehlbar unendlich. Es muss also
> > eine Bijektion von M nach N geben. Koennt Ihr sie angeben?
>
> Ich bin mir zwar nicht so sicher, was voraussetzungsgemaess heisst,
> aber so eine Bijektion ist natuerlich sehr leicht anzugeben.
>

Ich verstehe an dieser Stelle zwar nicht so ganz, was z.B. die Menge
{{{1}}} mit Pot(N) zu tun hat, aber das mag ja auch an meiner Ignoranz
liegen.

> Sei a[i,j] := {{{...{{j}}...}}} (i oeffnende und i schliessende Klammern)
> Zu x=a[i,j] aus M definieren wir f(x) = (i+j)*(i+j+1)/2-j+1.
> f ist eine Bijektion von M nach N. (Falls 0 keine natuerliche Zahl
> ist.)
>
> Eine Injektion waere sogar einfacher: a[i,j] |-> 2^i*3^j.
>
> > Nach dieser Voruebung geht's erst richtig los. Auch die Mengen
> > { {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, ...},
> > { {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, ...},
> > ...,
> > { {{1, 2}}, {{1, 3}}, {{1, 4}}, ...},
> > ...
> > ...
> > sind abzaehlbar unendlich. Das gleiche gilt fuer die entsprechenden
> > Mengen der Teilmengen mit 3, 4, 5, ... natuerlichen Zahlen. Die
> > Vereinigungsmenge V all dieser Mengen ist abzaehlbar unendlich. Es
> > muss also eine Bijektion von V nach N geben.
>

Wiederum ist mir nicht ganz klar, wozu du {{1,2}} benoetigen wirst.

> Das wird ja immer einfacher.
> {a_1,a_2,...,a_n} |-> Produkt (p_i)^(a_i)
> Produkt von i=1 bis i=n, p_i = i-te Primzahl, a_i aufsteigend geordnet.
> Zum Glueck stehen nur immer endlich viele viele Zahlen in der Menge.
> Sonst gaebe es ein Problem, da das Produkt dann nicht definiert waere.
>

Ich bin mir nicht ganz sicher, ob du nicht z.B. {{1,2}} vergessen hast!

> > Wenn Ihr sie angeben
> > koennt, gebe ich Euch auch die Bijektion von N nach Pot(N) an.
>

Ich denke mal, dass Dieter eigentlich weiterhin seine schon in anderen
Postings benutzte Idee verfolgt, die endlichen Teilmengen von N
abzuzaehlen. Dazu sind aber weder {{{1}}} noch {{1,2}} noetig; diese
Mengen tauchen gar nicht als Elemente von Pot(N) auf. Dazu ist nur
festzuhalten, dass niemand jemals bestritten hat, dass es natuerlich
moeglich (und auch gar nicht so schwierig) ist, die endlichen Teilmengen
einer abzaehlbar unendlichen Menge abzuzaehlen.
(PS: Ich dachte, wir haetten uns darauf geeinigt, dass es keine
Bijektion von N nach Pot(N) gibt! Ob die Definition der Maechtigkeit
ueber Abbildungen einen Sinn macht, kann man ja noch diskutieren, aber
dass es keine solche Bijektion geben kann, war doch eigentlich klar,
oder?)

> Jetzt bin ich aber gespannt. Es gibt drei Moeglichkeiten:
>
> 1. Du gibst wirklich eine solche Bijektion an. Dann wechsle ich den
> Beruf.
> 2. Du siehst ein, dass du nicht Recht hast. Halte ich fuer beinahe
> ausgeschlossen.
> 3. Du behauptest, eine Bijektion zu haben, die aber keine ist. Oder du
> windest dich anders raus. Darauf wuerde ich mein Geld setzen.

Ich tippe ebenfalls auf Variante 3. Das Argument:
Entweder: Unendliche Teilmengen kann man sowieso nicht betrachten, weil
man ja nicht alle Elemente hinschreiben kann.
Oder: Die unendlichen Teilmengen werden irgendwann einmal durch eine
Folge von endlichen Teilmengen approximiert und tauchen deshalb,
sozusagen als Grenzwert, auch irgendwann einmal in der Abzaehlung auf.
Oder: Eine Abbildung von einer unendlichen Menge kann nicht direkt
angegeben werden, da man nicht unendlich viele Bilder hinschreiben kann.
Sie muss daher durch eine Folge von Funktionswerten approximiert werden,
die aber per Konstruktion schon existieren. Also existiert der
Grenzwert, also ist die Funktion auch fuer die unendliche Menge
definiert.

>
> Gruss
> Wolfram

PS: Mir waere eigentlich immer noch ganz lieb, wir wuerden uns zunaechst
auf das Problem mit der Definition von N beschraenken. Denn so lange wir
dort nicht einer Meinung sind, sind die weiteren Probleme
vorprogrammiert.
Daher noch einmal die Frage: Warum kann, mathematisch geschlossen, N
nicht als Vereinigungsmenge definiert sein? Oder auch: Warum kann es,
mathematisch geschlossen, keine unendlichen Teilmengen in der Menge der
natuerlichen Zahlen geben?

[Wolfram Hinderer]

Holger Gollan <hgo...@yahoo.com> writes:

>> Das wird ja immer einfacher.
>> {a_1,a_2,...,a_n} |-> Produkt (p_i)^(a_i)
>> Produkt von i=1 bis i=n, p_i = i-te Primzahl, a_i aufsteigend geordnet.
>> Zum Glueck stehen nur immer endlich viele viele Zahlen in der Menge.
>> Sonst gaebe es ein Problem, da das Produkt dann nicht definiert waere.
>>
>
> Ich bin mir nicht ganz sicher, ob du nicht z.B. {{1,2}} vergessen hast!

"Uebersehen" trifft es etwas besser, aber im Prinzip ja. Dann bildet
man halt
{{{...{{a_1,...,a_n}}...}}} auf f({{{...{Produkt (p_i)^(a_i)}...}}})
ab.
Ausserdem ist es "nur" eine Injektion und keine Bijektion. Aber das
sollte nun wirklich kein Problem sein.

Gruss
Wolfram

[Wolfgang Kirschenhofer]

Holger Gollan schrieb:

> Gruesse, email: hgo...@yahoo.com
> Holger URL: http://www.geocities.com/Colosseum/Stadium/9099

Hallo an alle Diskussionsteilnehmer !

Leider habe ich im Rahmen dieser Diskussion den Fehler gemacht, einen
eigenen Thread mit dem Titel "Fragen an Dieter Jungmann" zu eröffnen,der
möglicherweise kaum zur Kenntnis genommen worden ist.
Da ich glaube,daß zumindestens einige meiner Postings zusammen mit
Dieter Jungmanns Antworten ein Licht auf Dieters Reaktionen,sein
widersprüchliches Verhalten und den Diskussionsverlauf werfen,weise ich
nun auf diese hin:
1.Beitrag:23.01.,19:38 .Antwort von Dieter darauf: 26.01.,03:11.
Dann noch: 30.01.,16:03 und 01.02.,11:59 .
Zu einer klaren und verständlichen Darlegung seiner mathematischen
Position konnte Dieter bis jetzt anscheinend noch niemand
bewegen.Höchstwahrscheinlich ist dies gar nicht möglich(siehe auch das
bereits mehrfach zitierte Buch von Underwood Dudley).

Grüße,
Wolfgang K.

[Norbert Micheel]

"Holger Gollan" <hgo...@yahoo.com> schrieb im Newsbeitrag
news:3A92387B...@yahoo.com...
>
>.... Warum kann es,

> mathematisch geschlossen, keine unendlichen Teilmengen in der Menge der
> natuerlichen Zahlen geben?

Nur um Missverstaendnissen vorzubeugen:
Du meinst bestimmt nicht
"keine unendlichen Teilmengen in der Menge der natuerlichen Zahlen", sondern
"keine unendlichen Teilmengen DER Menge der natuerlichen Zahlen"

DJs Theorem (falsch):
Sei A \subset IN ==> A endlich .

Richtig ist nur:
a \in IN ==> a endlich

Gruss
Norbert