Das Axiom der Aussonderung oder Untermenge

[WM]

Ist die Klassenaussage F(x) definit für alle Elemente einer Menge M, so besitzt M immer eine Untermenge M_F, welche alle diejenigen Elemente x von M, für welche F(x) wahr ist, und nur solche als Elemente enthält.

Beispiel: Die Menge M aller endlichen Anfangsabschnitte A_n = {1, 2, 3, ..., n} besitzt die Untermenge M_F aller endlichen Anfangsabschnitte, die in der Vereinigung

UA_n = ℕ

entfallen können, ohne das Ergebnis zu verändern.

M_F = M.

Während aber M seinen Bewunderern in voller Pracht und Schönheit erstrahlt und als geschlossenes Ganzes existiert, muss M_F sich verstecken und darf niemals gänzlich zum Vorschein kommen. Denn: nicht alle Elemente der Menge M_F dürfen gemeinsam posieren.

Manche Mengen sind besonders geartet. Hier: nicht alle weglassbaren Elemente sind gleichzeitig weglassbar.

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Tönt zunehmend nach Unsinn, spätestens nach dem Wort "entfallen".

[Me]

On Sunday, December 9, 2018 at 10:02:16 AM UTC+1, WM wrote:

> "Ist die Klassenaussage F(x) definit für alle Elemente einer Menge M, so
> besitzt M immer eine Untermenge M_F, welche alle diejenigen Elemente x
> von M, für welche F(x) wahr ist, und nur solche als Elemente enthält."

Auch wenn's Sie's offenbar noch nicht kapiert haben, Herr Mückenheim: Der Aufsatz von Zermelo von 1908 enthält noch nicht die "finale" Form der ZFC, wie wir sie heute in der Mathematik verwenden. Insbesondere spielt der Ausdruck "definit" heute keine Rolle mehr in diesem Zusammenhang. (Hier kommen Fraenkel und insbesondere auch Skolem ins Spiel. Die ZFC müsste eigentlich "Zermelo-Fraenkel-Skolemsche Mengenlehre mit Auswahlaxiom", also ZFSC, heißen.)

> Beispiel: Die Menge M aller endlichen Anfangsabschnitte

also M = {A_n : n e IN} mit

> A_n = {1, 2, 3, ..., n}

also A_n = {m e IN : m <= n} (n e IN)

> besitzt die Untermenge M_F aller endlichen Anfangsabschnitte, die in der
> Vereinigung
>
> UA_n = ℕ
>
> entfallen können, ohne das Ergebnis zu verändern.

Wie ein Kollege hier schon anmerkte: Das ist weitgehend sinnfreies Gefasel. Gefragt wäre hier die Angabe einer Formel F(x) mit

M_F = {x e M : F(x)} .

Wie lautet nun F(x)? Wenn man Ihr obiges Geschreibsel als Grundlage nimmt und es versucht, in MATHEMATISCHER Sprache auszudrücken, was Sie damit vermutlich meinen, dann ist das wohl so etwas wie:

F(x) :<-> U({A_n : n e IN} \ {x}) = ℕ (x e M) .

Ist A eine Menge aus M, also ein endlicher Anfangsabschnitt, dann bedeutet die Aussage F(A): U({A_n : n e IN} \ {A}) = ℕ. Mit anderen Worten, es wird ausgesagt, dass die Vereinigung der (endlichen) Anfangsabschnitte OHNE den (endlichen) Anfangsabschnitt A gleich ℕ ist. A kann also bei der Vereinigung "entfallen, ohne das Ergebnis zu verändern". (Da ja U{A_n : n e IN} = ℕ ist.)

Man kann dann leicht zeigen:

Ax(x e M -> F(x)).

Also gilt M c M_F. Und da selbstverständlich (aufgrund der Definition von M_F) auch M_F c F gilt, haben wir:

> M_F = M.

> Während [Unsinn gelöscht].

Und natürlich gilt:

> nicht alle [einzeln] weglassbaren Elemente sind gleichzeitig weglassbar.

Natürlich nicht.

Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von

U{A, B, C} = {1, 2, 3}

"bei der Vereinigung weggelassen werden" (WM), ohne dass sich bezüglich des "Ergebnisses" etwas ändert. Mit anderen Worten, es gilt:

U({A, B, C}\{A}) = {1, 2, 3}
U({A, B, C}\{B}) = {1, 2, 3}
U({A, B, C}\{C}) = {1, 2, 3}

Aber es gilt offenbar NICHT:

U({A, B, C}\{A, B, C}) = {1, 2, 3} ,

denn

U({A, B, C}\{A, B, C}) = U{} = {} =/= {1, 2, 3} .

=================================================

Ihr Problem scheint weiterhin zu sein, dass Sie nicht nur an Quantorenlegasthenie leiden, sondern offenbar auch den Unterschied zwischen den Aussagen der Form

AX e A: ... {X} ...

und

... A ...

nicht begreifen.

Etwas was bezüglich {X} für alle X in A (also jedes X in A) richtig ist, muss deshalb noch nicht für ALLE X in A ZUSAMMEN (also für die Menge A anstelle von {X} mit X e A) richtig sein.

Wir hatten etwas Ähnliches bei Ihnen schon beim Fehlschluss von

An e IN: ... {1, ..., n} ...

auf

... IN ...

gesehen.

Hinweis: Aus der Tatsache, dass für alle n e IN gilt, dass {1, ..., n} endlich ist, kann man z. B. NICHT schließen, dass IN endlich ist.

Und ja, in der Mathematik akzeptiert man, dass es unendlich viele "endliche" natürliche Zahlen gibt. Die Menge der natürlichen Zahlen, muss also keineswegs eine "unendliche" Zahl (als Element) enthalten, auch wenn sie selbst unendlich ist.

[WM]

Am Sonntag, 9. Dezember 2018 18:19:09 UTC+1 schrieb Me:


> Und natürlich gilt:
>
> > nicht alle [einzeln] weglassbaren Elemente sind gleichzeitig weglassbar.
>
> Natürlich nicht.

Es geht nicht um "einzeln", sondern um "kollektiv" weglassbar. Dass jeder Vorgänger eines wegmassbaren Anfangsabschnittes weglassbar ist, ist klar. Die Frage ist, ob es einen ersten nicht weglassbaren gibt. Denn jede nicht leere geordnete Menge besitzt ein erstes Element. Wenn Du also unendlich viele Elemente behauptest, so musst Du ein erstes angeben können. Anderenfalls ist Deine Behauptung mathematisch nicht zutreffend.

>
> Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von
>
> U{A, B, C} = {1, 2, 3}
>
> "bei der Vereinigung weggelassen werden"

Nein, das ist falsch. Wenn wir eine Ordnung einführen, zum Beispiel die angegebene A, B, C, dann kann nur A weggelassen werden. Wie ich schon sagte: Jede nicht leere geordnete Menge besitzt ein erstes Element. Wenn Du also nicht weglassbare Elemente behauptest, so musst Du ein erstes angeben können. Anderenfalls ist Deine Behauptung mathematisch nicht zutreffend. (Ich kann Dir helfen: Das erste hier nicht weglassbare ist B.)

Nun frage ich noch einmal: Welches ist das erste nicht weglassbare Element in der Menge der Anfangsabschnitte mit ihrer natürlichen Ordnung?

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Sie versuchen immer die ewig gleiche Fallacy:

"3. Every natural number n has a successor m = n + 1 , the smallest
of all natural numbers that are greater than n. Therefore, there
is a natural number m that is a successor to all natural numbers.

∀n∃m Snm therefore ∃m∀n Snm

It is fallacious to conclude that there is a single natural number
that is the successor of every natural number."
https://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier_shift

[WM]

> > Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von
> >
> > U{A, B, C} = {1, 2, 3}
> >
> > "bei der Vereinigung weggelassen werden"
>
> Nein, das ist falsch. Wenn wir eine Ordnung einführen, zum Beispiel die angegebene A, B, C, dann kann nur A weggelassen werden. Wie ich schon sagte: Jede nicht leere geordnete Menge besitzt ein erstes Element. Wenn Du also nicht weglassbare Elemente behauptest, so musst Du ein erstes angeben können. Anderenfalls ist Deine Behauptung mathematisch nicht zutreffend. (Ich kann Dir helfen: Das erste hier nicht weglassbare ist B.)
>
> Nun frage ich noch einmal: Welches ist das erste nicht weglassbare Element in der Menge der Anfangsabschnitte mit ihrer natürlichen Ordnung?

Am Montag, 10. Dezember 2018 14:19:02 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:
> Sie versuchen immer die ewig gleiche Fallacy:
>
> "3. Every natural number n has a successor m = n + 1 , the smallest
> of all natural numbers that are greater than n. Therefore, there
> is a natural number m that is a successor to all natural numbers.

Da hast Du wohl etwas falsch verstanden. Natürlich gibt es keine größte natürliche Zahl. Aber wenn die Menge der endlichen Anfangsabschnitte eine gewisse Untermenge enthält, dann gibt es einen ersten endlichen Anfangsabschnitt, der dazu gehört, also Element dieser Untermenge ist.

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Who cares?

[Me]

On Monday, December 10, 2018 at 2:15:49 PM UTC+1, WM wrote:
> Am Sonntag, 9. Dezember 2018 18:19:09 UTC+1 schrieb Me:
> >

> > Selbstverständlich gilt:

> > >
> > > nicht alle [einzeln] weglassbaren Elemente sind gleichzeitig weglassbar.
> > >
> > Natürlich nicht.
> >
> Es geht nicht um "einzeln", sondern um "kollektiv" weglassbar.

Das mag ja so sein, dann aber sollten sie das entsprechend formulieren, Ihr Gefasel im Zusammenhang mit dem Aussonderungsaxiom gibt das jedenfalls nicht her. :-)

Ich hatte Ihnen diese Frage aber schon vor Wochen dahingehend beantwortet, dass Sie beliebig viel Anfangsabschnitte "weglassen" können, solange die Restmenge nur unendlich ist, ohne dass sich das "Ergebnis" der Vereinigung ändert.

Hinweis: Sei X c {A_n : n e IN}, so dass {A_n : n e IN}\X unendlich ist, dann gilt:

U({A_n : n e IN}\X) = IN.

Aus nämlichen Grunde ist auch jeder EINZELNE Anfangsabschnitt für sich betrachtet "weglassbar" (ohne dass sich das Ergebnis ändert):

Ak e IN: U({A_n : n e IN}\{A_k}) = IN .

Allerdings folgt daraus NICHT, dass

U({A_n : n e IN}\{A_k : k e IN}) = IN

gilt. Hinweis: {A_n : n e IN}\{A_k : k e IN} = {}, also keine unendliche Menge.

Um diesen Sachverhalt zu begreifen, braucht man allerdings gar keine unendlichen Mengen zu betrachten. Das leistet auch schon das folgende endliche (Gegen-)Beispiel:

> > Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von
> >
> > U{A, B, C} = {1, 2, 3}
> >

> > "bei der Vereinigung [einzeln] weggelassen werden"
> >
> Nein, das ist falsch.

Nein, das ist richtig. Sind Sie zu blöde, die auf die Behauptung folgenden 3 elementaren Zeilen zu verstehen, oder was ist los mit Ihnen, Mückenheim?!

Nochmal:

Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von

U{A, B, C} = {1, 2, 3}

"bei der Vereinigung [einzeln] weggelassen werden" (WM), ohne dass sich bezüglich des "Ergebnisses" etwas ändert. Mit anderen Worten, es gilt:

U({A, B, C}\{A}) = {1, 2, 3}
U({A, B, C}\{B}) = {1, 2, 3}
U({A, B, C}\{C}) = {1, 2, 3}

Aber es gilt offenbar NICHT:

U({A, B, C}\{A, B, C}) = {1, 2, 3} ,

denn

U({A, B, C}\{A, B, C}) = U{} = {} =/= {1, 2, 3} .

Mit anderen Worten, es können nicht "alle gleichzeitig" (als Kollektiv) weggelassen werden.

> Wenn wir eine Ordnung einführen,

Der erklärte Sachverhalt ist UNABHÄNGIG von jeder Ordnung auf {A, B, C}. Hier eine "Ordnung einzuführen", ist irrelevanter Mumpitz.

> zum Beispiel die angegebene A, B, C,

Von mir aus, sei also auf {A, B, C} eine Ordnung < definiert mit A < B, B < C. Kurz: A < B < C.

> dann kann nur A weggelassen werden.

Äh, nö. Wie kommen Sie auf so einen Unsinn?

Hinweis: Unabhängig von jeder Ordnung auf {A, B, C} gilt:

U({A, B, C}\{A}) = {1, 2, 3}
U({A, B, C}\{B}) = {1, 2, 3}
U({A, B, C}\{C}) = {1, 2, 3}

> Wie ich schon sagte: Jede nicht leere geordnete Menge besitzt ein erstes
> Element.

Das mögen Sie gesagt haben, aber es ist falsch.

Z (die Menge er ganzen Zahlen) ist eine nicht leere geordnet Menge, besitzt aber kein erstes Element. (Wobei wir hier die übliche Ordnung auf Z voraussetzen.)

[WM]

Am Montag, 10. Dezember 2018 19:40:53 UTC+1 schrieb Me:
> On Monday, December 10, 2018 at 2:15:49 PM UTC+1, WM wrote:


> > Es geht nicht um "einzeln", sondern um "kollektiv" weglassbar.
>
> Das mag ja so sein, dann aber sollten sie das entsprechend formulieren,

Das ist im vorliegenden Falle zwar nicht nötig, weil Inklusionsmonotonie garantiert, dass alles einzeln Weglassbare auch kollektiv weglassbar ist. (Bekanntlich ist jeder endliche Anfangsabschnitt weglassbar. Und andere sind hier nicht gefragt.) Aber das Untermengenaxiom erlaubt auch die Bildung der Untermenge aller nicht kollektiv weglassbaren Anfangsabschnitte. Falls sie nict leer ist, besitzt sie ein erstes Element.

>

>
> Um diesen Sachverhalt zu begreifen, braucht man allerdings gar keine unendlichen Mengen zu betrachten. Das leistet auch schon das folgende endliche (Gegen-)Beispiel:
>
> > > Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von
> > >
> > > U{A, B, C} = {1, 2, 3}
> > >
> > > "bei der Vereinigung [einzeln] weggelassen werden"
> > >
> > Nein, das ist falsch.
>
> Nein, das ist richtig.

Welche Menge einzeln weggelassen werden kann, hängt von der Reihenfolge ab.

> Nochmal:
>
> Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von
>
> U{A, B, C} = {1, 2, 3}
>
> "bei der Vereinigung [einzeln] weggelassen werden"

Die kollektiv weglassbaren Mengen sind hier: A und weiter nichts.

> Aber es gilt offenbar NICHT:
>
> U({A, B, C}\{A, B, C}) = {1, 2, 3}

denn für das Ergebnis {1, 2, 3} werden nach dem Weglassen von A die Mengen B und C beweisbar gebraucht. So eine Beweisführung ist für jeden endlichen Anfangsabschnitt ausgeschlossen, denn jeder wird beweisbar nicht gebraucht. Das gilt sogar für jede Wohlordnung der Anfangsabschnitte.

Gruß, WM

[Me]

On Monday, December 10, 2018 at 10:45:13 PM UTC+1, WM wrote:
> Am Montag, 10. Dezember 2018 19:40:53 UTC+1 schrieb Me:
> > On Monday, December 10, 2018 at 2:15:49 PM UTC+1, WM wrote:
> > >
> > > Es geht nicht um "einzeln", sondern um "kollektiv" weglassbar.
> > >
> > Das mag ja so sein, dann aber sollten sie das entsprechend formulieren,
> >

> Das ist im vorliegenden Falle zwar nicht nötig [...]

Ja, sicher, hier zelebrieren Sie ja Mückenmatik: da muss man es nicht so genau nehmen mit den "Formulierungen", man behauptet einfach *irgendwas* (Definitionen oder gar Beweise stören dabei auch nur).

> [Unsinn gelöscht]

[Me]

On Monday, December 10, 2018 at 10:45:13 PM UTC+1, WM wrote:

> Am Montag, 10. Dezember 2018 19:40:53 UTC+1 schrieb Me:
> >
> > Um diesen Sachverhalt zu begreifen, braucht man allerdings gar keine
> > unendlichen Mengen zu betrachten. Das leistet auch schon das folgende
> > endliche (Gegen-)Beispiel:

Aber offenbar kapieren Sie selbst EINFACHSTE Beispiele nicht.

> > > > Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von
> > > >
> > > > U{A, B, C} = {1, 2, 3}
> > > >

> > > > "bei der Vereinigung _einzeln_ weggelassen werden"
> > > >
> > > Nein, das ist falsch.

Nein, das ist richtig. :-)

Dass Sie offenbar nicht in der Lage sind, das zu begreifen, selbst wenn man es Ihnen EXPLIZIT VOR AUGEN FÜHRT, ist zwar bedauerlich, ändert aber nichts an den Tatsachen als solchen.

Hier nochmal der Reihe nach:

Man kann A "weglassen": U({A, B, C}\{A}) = {1, 2, 3}

Man kann B "weglassen": U({A, B, C}\{B}) = {1, 2, 3}

Man kann C "weglassen": U({A, B, C}\{C}) = {1, 2, 3}

In allen 3 Fällen erhalten wir das Ergebnis {1, 2, 3}. qed.

Wir sehen:

> > das ist richtig.

Es ist schon erstaunlich: Praktisch immer wenn Sie IRGENDWAS "Mathematisches" Behaupten ist es entweder Unsinn, oder falsch.. So auch hier:

> Welche Menge einzeln weggelassen werden kann, hängt von der Reihenfolge ab.

Was für eine Reihenfolge?

> > Nochmal:
> >
> > Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von
> >
> > U{A, B, C} = {1, 2, 3}
> >

> > "bei der Vereinigung _einzeln_ weggelassen werden"

> >
> Die kollektiv weglassbaren Mengen sind hier: A und weiter nichts.

Es ging jetzt aber *erst mal* nur um das Weglassen jeweils EINER Menge, also jeweils EINER der Mengen A, B oder C und gerade NICHT um das "kollektive" Weglassen von Mengen.

Im übrigen entspricht das "kollektive" Weglassen der "Mengen"

A und nichts weiter

genau dem "singulären" Weglassen der Menge A. :-)

In beiden Fällen reden wir hier von:

{A, B, C}\{A} .

Wie dem auch sei, es

> > gilt offenbar NICHT:
> >
> > U({A, B, C}\{A, B, C}) = {1, 2, 3} ,
> >
> > denn {A, B, C}\{A, B, C} = {} und U{} = {} .

Man kann also nicht aus dem Umstand, dass jede der Mengen in {A, B, C} EINZELN weggelassen werden kann, darauf schließen, dass ALLE ZUSAMMEN -also kollektiv- weggelassen werden können.

Was das Gegen-Beispiel zeigt, ist also, dass der "Schluss"

(AX e M: U(M\X) = K) ==> U(M\M) = K

ein FEHLSCHLUSS ist.

[jvr]

On Sunday, December 9, 2018 at 10:02:16 AM UTC+1, WM wrote:

Vor Jahren bekam eine arme Frau in einem Kuhdorf im kalten, nassen Norden ein unerwünschtes und leicht geistig behindertes Kind. Sie nannte es Mücke und gab sich trotz allem große Mühe, auf dass aus ihm etwas gescheites werde, zum Beispiel ein Professor der Allgemeinwissenschaften an einer Fachhochschule.

Besonders schwer fiel es ihr, Kleinmücke das Rechnen beizubringen. Deshalb schickte sie ihn jeden Morgen zum Bäcker Klüütje um Semmeln zu kaufen und auch selber zu bezahlen. Als er das konnte kam er eines Tages zu ihr und fragte:

"In deinem Portmonnaie sind so viele Taler, dass ich jeden wegnehmen kann, und es bleiben trotzdem viele, viele Taler. Aber wenn ich alle wegnehme, dann bleiben garkeine. Wie kann das sein?"

Und seither war Mückes arme Mutter ganz sicher, dass ihr Sohn eines Tages ein großer Gelehrter werden würde. Denn hatte Gauß nicht gesagt, es käme auf die kluge Fragestellung an, nicht auf kluge Antwort?

Seither bemühte sie sich um so mehr, und erzog Mücke streng nach den Regeln des weisen Poeten aus den Schwarzen Wäldern, der gesagt hatte:

Der liebe Gott sieht alles.
Man spart für den Fall des Falles.
Die werden nichts, die nichts taugen.
Schmökern ist schlecht für die Augen.
Kohlentragen stärkt die Glieder.
Die schöne Kinderzeit, die kommt nicht wieder.
Man lacht nicht über ein Gebrechen.
Du sollst Erwachsenen nicht widersprechen.
Man greift nicht zuerst in die Schüssel bei Tisch.
Sonntagsspaziergang macht frisch.
Zum Alter ist man ehrerbötig.
Süßigkeiten sind für den Körper nicht nötig.
Kartoffeln sind gesund.
Ein Kind hält den Mund.

Und ihre Mühe war von Erfolg gekrönt.
Oder etwa nicht?

[WM]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 10:14:40 UTC+1 schrieb Me:
> On Monday, December 10, 2018 at 10:45:13 PM UTC+1, WM wrote:


> Hier nochmal der Reihe nach:

Ja, die Reihenfolge entscheidet.

>
> Man kann A "weglassen": U({A, B, C}\{A}) = {1, 2, 3}
>
> Man kann B "weglassen": U({A, B, C}\{B}) = {1, 2, 3}
>
> Man kann C "weglassen": U({A, B, C}\{C}) = {1, 2, 3}
>
> In allen 3 Fällen erhalten wir das Ergebnis {1, 2, 3}. qed.
>
> Wir sehen:

Erstens spielt die Reihenfolge eine Rolle und zweitens handelt es sich nicht um eine inklusionsmonotone Mengenfolge

ZU behaupten, dass unendlich viele Anfangsabschnitte erforderlich wären, um die Vereinigung |N zu erhalten, ist sehr einfach zu widerlegen. Wir gehen sie einfach durch und sondern aus, was nicht nötig ist. Also jeden. Denn zu jedem gibt es einen größeren.

> > Welche Menge einzeln weggelassen werden kann, hängt von der Reihenfolge ab.
>
> Was für eine Reihenfolge?

Reihenfolge der zu vereinigenden Mengen.

> Man kann also nicht aus dem Umstand, dass jede der Mengen in {A, B, C} EINZELN weggelassen werden kann, darauf schließen, dass ALLE ZUSAMMEN -also kollektiv- weggelassen werden können.

Hier kannst Du die Reihenfolge ändern womit sich die weglassbare Menge ändert. Außerdem liegt keine inklusionsmonotone Mengenfolge vor. Deswegen ist das Beispiel doppelt verfehlt.

>
> Was das Gegen-Beispiel zeigt, ist also, dass der "Schluss"
>
> (AX e M: U(M\X) = K) ==> U(M\M) = K
>
> ein FEHLSCHLUSS ist.

Unsinn. Es existiert bei festgelegter Ordnung genau eine Menge, die nicht weglassbar ist und ein erstes Element enthält. Es ist in der alphabetischen Ordnung die Menge {B, C} mit dem ersten Element B.

Im Falle der inklusionsmonotonen Folge von Anfangsabschnitten ist es, sogar bei jeder beliebigen Ordnung, die gesamte Menge.

Gruß, WM

[Andreas Leitgeb]

WM <wolfgang.mueckenheim "ät" hs-augsburg.de> wrote:
> und zweitens handelt es sich nicht um eine inklusionsmonotone
> Mengenfolge

Dass mit *jedem* weggelassenen Anfangsabschnitt hier auch alle *davor*
weggelassen werden könnten, ist immernoch kein Freibrief dafür, von
einzelnen (und deren Vorgängern) auf *alle* im Kollektiv zu schließen.

Aber WM's Verständnis davon liegt wohl mal wieder ein WM'sches
Privat-Axiom im Wege...

[Roland Franzius]

Das erstaunlichste an diesem Phänomen ist die Agression, die
Mückenheims tiefe Gedanken jeweils im Usenet hervorrufen.

Blumschein mitsamt Buridans Esel hingegen erfreut sich mit seiner
Gedankenwelt inzwischen höchster Anerkennung im zuständigen Forum FQXi

https://fqxi.org/community/forum/topic/2342

in dem auch einige andere Querdenker von einst hier glücklich und
unwidersprochen sanft gelandet zu sein scheinen.

Vermutlich geht eben doch nichts über eine zivilisierte Form der Zensur
zweck Herstellung eines emotionsfreien Dialogs und Aussperrung der
bezahlten und freiwilligen Desinformationsmafia.

--

Roland Franzius

[ich]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 17:06:01 UTC+1 schrieb WM:
> Am Dienstag, 11. Dezember 2018 10:14:40 UTC+1 schrieb Me:
> > On Monday, December 10, 2018 at 10:45:13 PM UTC+1, WM wrote:
> >
> > Hier nochmal der Reihe nach:
> >
> Ja, die Reihenfolge entscheidet.

*lol* Wie verblödet muss man sein, die Ebene des sprachlichen Ausdrucks mit der Sachebene zu verwechseln?

Nein, Mückenheim, die Reihenfolge "entscheidet" hier gar nichts.

Es ist lediglich so, dass die lineare -räumliche und oder zeitliche- Abfolge unserer sprachlichen Äußerungen zwangsweise eine Reihenfolge von Sätzen/Behauptungen "impliziert". Das eine sagt man früher (steht vorher im Text), das andere später.

In diesem Fall spielt aber diese Reihenfolge KEINE ROLLE. (Es g i b t dabei aber durchaus auch Ausnahmen, z. B. bei der bekannten -naja, *Ihnen* natürlich nicht bekannten- Abfolge von Definition, Satz, Beweis in mathematischen Lehrbüchern.)

Wie dem auch sei:

> > Man kann A "weglassen": U({A, B, C}\{A}) = {1, 2, 3}
> >
> > Man kann B "weglassen": U({A, B, C}\{B}) = {1, 2, 3}
> >
> > Man kann C "weglassen": U({A, B, C}\{C}) = {1, 2, 3}
> >
> > In allen 3 Fällen erhalten wir das Ergebnis {1, 2, 3}. qed.

Und Sie meinen, hier spielt die Reihenfolge eine Rolle? Wirklich? Ist das jetzt schon Demenz, oder was?

Hinweis:

Man kann B "weglassen": U({A, B, C}\{B}) = {1, 2, 3}

Man kann A "weglassen": U({A, B, C}\{A}) = {1, 2, 3}

Man kann C "weglassen": U({A, B, C}\{C}) = {1, 2, 3}

In allen 3 Fällen erhalten wir das Ergebnis {1, 2, 3}. qed.

Bzw. auch bezüglich des Mengensymbols spielt die Reihenfolge keine Rolle.

Hinweis: {A, B, C} = {B, A, C} = {C, B, A} = ...

> Erstens spielt die Reihenfolge eine Rolle

Offenbar nur im Rahmen eines persönlichen Wahns. In dem oben angegebenen Gegenbeispiel spielt jedenfalls die "Reihenfolge" (was immer Sie damit auch meinen mögen) KEINE Rolle.

MOMENT, warten Sie, doch ... damn, dass ich d a s übersehen habe: Die Reihenfolge der Zeichen in den Sätzen spielt eine Rolle!!! Man darf die nicht einfach umordnen!!!

1 + 2 = 3

gilt z. B. Aber

= 2 3 + 1

wohl eher nicht!!! Das haben Sie gut beobachtet, Herr Mückenheim!

> und zweitens handelt es sich nicht um eine inklusionsmonotone Mengenfolge

Nö. In meinem Gegenbeispiel spielt eine "inklusionsmonotone Mengenfolge" keine Rolle. Sie bringen da wohl etwas durcheinander.

Oder Sie reden einfach mal wieder non was anderem, wie es Ihre Art ist, wenn Sie merken, dass sie Unsinn verzapft haben.

Ich denke, man muss so jemanden wohl einen Schwätzer nennen.

> Zu behaupten, dass unendlich viele Anfangsabschnitte erforderlich wären, um

> die Vereinigung |N zu erhalten, ist sehr einfach zu widerlegen.

Nö.

> Wir gehen sie einfach durch und ...

Nein, Herr Mückenheim, wir reden hier nicht von Supertasks, es geht hier um mengentheoretische Sacherhalte. Sind Sie schon wieder auf einem anderen Tripp, oder was?

> > > Welche Menge einzeln weggelassen werden kann, hängt von der Reihenfolge
> > > ab.
> > >
> > Was für eine Reihenfolge?
> >
> Reihenfolge der zu vereinigenden Mengen.

Äh, nö.

Die REIHENFOLGE spielt bei einer Vereinigung KEINE Rolle. Denn die Vereinigung operiert auf einer MENGE. Und bei MENGEN spielt bekanntlich eine "Reihenfolge" der Elemente (was immer das auch sein soll) KEINE ROLLE. :-)

Hinweis: U{A, B, C} = U{C, B, A} = ... usw.

WEIL {A, B, C} = {C, B, A} = ...

Hinweis: Sei k eine beliebige bijektive Abbildung von IN auf IN, dann gilt:

{A_k(n) : n e IN} = {A_n : n e IN}

also auch

U{A_k(n) : n e IN} = U{A_n : n e IN}.

Bei dem in Rede stehenden Gegenbeispiel ging es aber um folgendes:

> > Man kann also nicht aus dem Umstand, dass jede der Mengen in {A, B, C}
> > EINZELN weggelassen werden kann, darauf schließen, dass ALLE ZUSAMMEN
> > -also kollektiv- weggelassen werden können.
> >
> Hier kannst Du die Reihenfolge ändern

Ach, jetzt PLÖTZLICH doch? Die gegenteiligen Behauptungen oben schon vergessen?

> womit sich die weglassbare Menge ändert.

Wie, was? Was faseln Sie da zusammen?

> Außerdem liegt keine inklusionsmonotone Mengenfolge vor.

Niemand hat behaupte, dass dem so wäre. Keine Ahnung warum Sie immer mit Dingen kommen, die für das GESAGTE völlig IRRELEVANT sind.

Hinweis: Außerdem ist der Himmel blau.

Well, kann schon sein, aber...

> > Was das Gegen-Beispiel zeigt, ist also, dass der "Schluss"
> >
> > (AX e M: U(M\X) = K) ==> U(M\M) = K
> >
> > ein FEHLSCHLUSS ist.
> >
> Unsinn.

Mückenheim, Sie sollten Sich wirklich mal von einem Spezialisten durchchecken lassen. Fragen Sie doch mal Sponsel, ob er eine Diagnose stellen mag.

> Es existiert bei festgelegter Ordnung genau eine Menge, die nicht weglassbar
> ist und ein erstes Element enthält. Es ist in der alphabetischen Ordnung die
> Menge {B, C} mit dem ersten Element B.

Keine Ahnung, was Sie das zusammenfaseln, Mückenheim. Hört sich wahnhaft an. Wir reden hier nicht über Buchstaben "A", "B", "C", sondern einfach über 3 Mengen die zufällig "A", "B", "C" heißen.

Hinweis: Jede der 3 Mengen kann -einzeln- "weggelassen" werden:

Man kann A "weglassen": U({A, B, C}\{A}) = {1, 2, 3}

Man kann B "weglassen": U({A, B, C}\{B}) = {1, 2, 3}

Man kann C "weglassen": U({A, B, C}\{C}) = {1, 2, 3}

Mit anderen Worten: Für alle X e {A, B, C} gilt: U({A, B, C}\{X}) = {1, 2, 3}.

Mit M = {A, B, C} und K = {1, 2, 3} haben wir also eine Instanz des Prämisse des FEHLSCHLUSSES:

(AX e M: U(M\X) = K) ==> U(M\M) = K ,

die gilt. Mit anderen Worte, es gilt also: AX e M: U(M\X) = K.

Wegen

U({1, 2, 3}\{1, 2, 3}) = U{} = {}

gilt aber die "Konklusion" des FEHLSCHLUSSES nicht; es gilt also NICHT

U(M\M) = K .

Damit ist NACHGEWIESEN, dass

(AX e M: U(M\X) = K) ==> U(M\M) = K

ein FEHLSCHLUSS ist.

> Im Falle der inklusionsmonotonen Folge von Anfangsabschnitten <bla>

Darüber reden wir her erst mal nicht, Mückenheim. Bleiben Sie gefälligst mal bei EINEM Thema.

[WM]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 17:32:30 UTC+1 schrieb Andreas Leitgeb:
> WM <wolfgang.mueckenheim "ät" hs-augsburg.de> wrote:
> > und zweitens handelt es sich nicht um eine inklusionsmonotone
> > Mengenfolge
>
> Dass mit *jedem* weggelassenen Anfangsabschnitt hier auch alle *davor*
> weggelassen werden könnten, ist immernoch kein Freibrief dafür, von
> einzelnen (und deren Vorgängern) auf *alle* im Kollektiv zu schließen.

Der mengentheoretische Beweis wird dadurch geliefert, dass jede Untermenge einer wohlgeordneten Menge ein erstes Element besitzt. Da gibt es keinen Zweifel.

>
> Aber WM's Verständnis davon liegt wohl mal wieder ein WM'sches
> Privat-Axiom im Wege...

Der mathematische Beweis erfolgt induktiv. Kein Anfangsabschnitt wird für die Vereinigung gebraucht, die |N ergeben soll - weil ohnehin alle versagen. Die Behauptung, dass unendlich viele benötigt werden, soll nur Letzteres verschleiern, weil naive Geister geneigt sind, zu glauben, dass im Unendlichen Mathematik und Logik versagen.

Gruß, WM

[WM]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 20:33:24 UTC+1 schrieb ich:
> Am Dienstag, 11. Dezember 2018 17:06:01 UTC+1 schrieb WM:
> > Am Dienstag, 11. Dezember 2018 10:14:40 UTC+1 schrieb Me:
> > > On Monday, December 10, 2018 at 10:45:13 PM UTC+1, WM wrote:
> > >
> > > Hier nochmal der Reihe nach:
> > >
> > Ja, die Reihenfolge entscheidet.

> Nein, Mückenheim, die Reihenfolge "entscheidet" hier gar nichts.

Du kannst Dich blind stellen. Das ändert aber nichts an den Tatsachen.

>
> Nö. In meinem Gegenbeispiel spielt eine "inklusionsmonotone Mengenfolge" keine Rolle.

Ich weiß. Deswegen ist es kein Gegenbeispiel.

> > Wir gehen sie einfach durch und ...
>
> Nein, Herr Mückenheim, wir reden hier nicht von Supertasks,

Das tut man auch in der Mathematik. Deswegen werden die natürlichen Zahlen als abzählbar bezeichnet.

> > > Man kann also nicht aus dem Umstand, dass jede der Mengen in {A, B, C}
> > > EINZELN weggelassen werden kann, darauf schließen, dass ALLE ZUSAMMEN
> > > -also kollektiv- weggelassen werden können.
> > >
> > Hier kannst Du die Reihenfolge ändern
>
> Ach, jetzt PLÖTZLICH doch?

Ja, wegen der Inklusionsmonotonie. Deswegen ist Dein Beispiel eben kein Beispiel.

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Sie versuchen wiedereinmal:

forall n in N P(n) => P(N)

Das ist aber nicht Induktion. Das gibts gar nicht.

[WM]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 20:23:27 UTC+1 schrieb Roland Franzius:

> Das erstaunlichste an diesem Phänomen ist die Agression, die
> Mückenheims tiefe Gedanken jeweils im Usenet hervorrufen.

Die wohl ist darauf zurückzuführen, dass das Völkchen doch dumpf ahnt, auf dem Holzwege zu sein. Jedem Menschen mit gesundem Gehirn ist klar, dass eine Vereinigung von Anfangsabschnitten unverändert bleibt, wenn alle, die nicht die größten sind, vorher entfernt werden. Und da es keinen größten gibt, gibt es keine Vereinigung, die mehr erbringt, als die potentiell unendliche Folge von Anfangsabschnitten ohne nochmalige Vereinigung. Zu einem omega, größer als alle, von dem aus man weiterzählen kaönnte, gelangt man nicht.

Da nun die widersinnige Behauptung, es müssten nur unendlich viele Anfangsabschnitte vereinigt werden, sogar der Mengenlehre widerspricht, ist die Ursache für Aggression doch leicht zu lokalisieren.

Gruß, WM

[WM]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 21:55:25 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:
> Sie versuchen wiedereinmal:
>
> forall n in N P(n) => P(N)

Du irrst. Da kein Anfangsabschnitt |N ist, sage ich nichts über |N aus, wenn ich alle Anfangsabschnitte entferne. Ich verneine nicht, dass die Vereinigung des Restes |N ergibt.

|N oder omega, von dem aus man weiterzählen kann, ist eine Schimäre. Deswegen dürft Ihr ruhig weiterhin glauben, dass es existiert, und |N aus der Vereinigung aller Anfangsabschnitte erblühen sehen. Aber der mathematische Beweis zeigt für jeden Anfangsabschnitt, dass er weder notwendig noch hinreichend ist, um dieses |N zu erzeugen.

Und die Behauptung, dass eine Untermenge von unendlich vielen Anfangsabschnitten dazu hinreichend und notwendig wäre, diese aber kein erstes Element besitzt, widerspricht sogar den Prinzipien der Mengenlehre. Jede nl Untermenge der wohlgeordneten Menge der Anfangsabschnitte, die zu irgendetwas gut ist, besitzt ein erstes Element.

Gruß, WM

[ich]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 22:41:45 UTC+1 schrieb WM:

> wenn ich alle Anfangsabschnitte entferne

ergibt sich bekanntlich die leere Menge.

Hint: {A_n : n e IN} \ {A_k : k e IN} = {} .

> Ich verneine nicht, dass die Vereinigung des Restes |N ergibt.

Ja, das ist bekannt. JEDEM ANDEREN ist aber klar, dass die Vereinigung der leeren Menge, also U{}, gleich der leeren Menge {} ist. (Und bekanntlich ist {} =/= IN.)

> [Unsinn gelöscht]

[WM]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 21:55:25 UTC+1 schrieb burs...@gmail.com:

> Sie versuchen wiedereinmal:
>
> forall n in N P(n) => P(N)
>
> Das ist aber nicht Induktion. Das gibts gar nicht.

Mit Induktion zeigt man zum Beispiel, dass jede natürliche Zahl positiv ist oder dass jede natürliche Zahl sich als Bruch mit Nenner 1 darstellen lässt oder dass die Summe jedes Anfangsabschnittes A_n n(n+1)/2 ist oder dass jeder Anfangsabschnitt bei der Vereinigung zu |N fortgelassen werden kann.

Das gilt für alle natürlichen Zahlen. Das bedeutet nicht, dass man |N als Bruch darstellen oder die Summe aller natürlichen Zahlen berechnen kann.

Aber Du wirst zugeben, dass nicht unendlich viele Zahlen oder Anfangsabschnitte von diesen Ergebnissen ausgenommen bleiben müssen.

Gruß, WM

[WM]

Irrtum. Die Folge der Anfangsabschnitte enthält |N nicht. Alle versagen. Wenn wir aber vor der Vereinigung alle Versager entfernen, so ist offenbar nichts Wesentliches entfernt. Es stellt sich dann nur klarer heraus, was ohnehin nicht mehr zu verbergen ist: ES gibt überhaupt kein |N, das größer als alle Anfangsabschnitte ist. Und wenn ES doch ein |N gäbe, so hätte dies nichts mit der Vereinigung von Anfangsabschnitten zu tun, sondern allein mit dem Glauben an seine Existenz.

Gruß, WM

[ich]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 22:59:53 UTC+1 schrieb WM:

> Mit Induktion zeigt man [...]

Dazu braucht's keine Induktion. :-)

> dass jeder Anfangsabschnitt bei der Vereinigung zu |N fortgelassen werden
> kann.

JEDER EINZELNE - für sich betrachtet.

Was also allenfalls gezeigt werden kann, ist:

Ak e IN: U({A_n : n e IN} \ {A_k}) = IN .

> Das gilt für alle natürlichen Zahlen.

Wirr. Richtig ist:

Für alle natürlichen Zahlen k gilt:

U({A_n : n e IN} \ {A_k}) = IN .

Was damit aber NICHT gezeigt ist, ist:

U({A_n : n e IN} \ {A_k : k e IN}) = IN .

Letzteres KANN auch NICHT gezeigt werden, sofern die Mengenlehre widerspruchsfrei ist. DENN es gilt im Kontext der Mengenlehre wegen

{A_n : n e IN} = {A_k : k e IN}

trivialerweise

{A_n : n e IN} \ {A_k : k e IN} = {}

und daher

U({A_n : n e IN} \ {A_k : k e IN}) = U{} = {} =/= IN ,

wegen U{} = {} und {} =/= IN.

[ich]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 22:59:53 UTC+1 schrieb WM:

> ...dass nicht unendlich viele [...] Anfangsabschnitte [...] ausgenommen
> bleiben müssen.

Nicht notwendigerweise. So gilt z. B. auch

U({A_n : n e IN} \ {A_k : Em(m e IN & k = 2m)}) = IN .

{A_k : Em(m e IN & k = 2m)} = {A_2, A_4. A_6, ...}, enthält also unendlich viele Anfangsabschnitte. Mit anderen Worten es KÖNNEN auch unendlich viele Anfangsabschnitte weggelassen werden.

ALLERDINGS müssen in der "Restmenge" immer unendlich viele Anfangsabschnitte "erhalten bleiben". Andernfalls kann die Vereinigung der Restmenge nicht mehr IN sein.

Ich glaube, ich hatte einen entsprechenden Satz hier schon einmal zitiert.

Insbesondere kann man nicht ALLE Anfangsabschnitte in {A_1, A_2, A_3, ...} oder in {A_2, A_3, A_4, ...} etc. "kollektiv" weglassen ("ohne dass sich das Ergebnis ändert"), denn es gilt:

U({A_n : n e IN} \ {A_1, A_2, A_3, ...}) = {} ,

U({A_n : n e IN} \ {A_2, A_3, A_4, ...}) = {A_1} ,

usw.

[ich]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 23:07:26 UTC+1 schrieb WM:
> Am Dienstag, 11. Dezember 2018 22:57:50 UTC+1 schrieb ich:
> >

> > JEDEM ANDEREN [außer Ihnen] ist aber klar, dass die Vereinigung der leeren

> > Menge, also U{}, gleich der leeren Menge {} ist. (Und bekanntlich ist {}
> > =/= IN.)
> >
> Irrtum.

Huh?! Wie, was?! {} = IN in der Mückenmatik? Aber in Ihrem "Lehrbuch für die ersten Semester" behaupten Sie noch dass, IN = {1, 2, 3, ...} sei. Mithin muss also gelten: 1 e IN; IN kann also nicht leer sein, also: IN =/= {}.

Oder bezweifeln Sie, dass U{} = {} ist? Können Sie das näher erläutern?

> Die Folge der Anfangsabschnitte enthält |N nicht.

Sie meinen nicht als Term/Glied? Ja. Vielleicht versuchen Sie mal zur Abwechslung etwas weniger zu schwurbeln, Herr Mückenheim?

In der Tat, da wir uns ja darauf geeinigt hatten unter der "Folge der Anfangsabschnitte" in dem gegenwärtigen Kontext die Folge der "endlichen Anfangsabschnitte von IN" zu verstehen, wird IN also (in diesem Kontext) nicht als "Anfangsabschnitt" betrachtet, damit ist IN also auch kein Glied der "Folge der Anfangsabschnitte".

Man kann das aber auch andersrum aufziehen und einfach von vornherein "die Folge der Anfangsabschnitte" (A_n)_(n e IN) entsprechend definieren, also die Glieder dieser Folge A_n (n e IN) so, dass für kein n e IN A_n = IN gilt.

Das ist sehr einfach. Wir definieren die A_n dazu wie folgt:

A_n = {m e IN: m <= n} (n e IN) .

Daraus folgt (wie man leicht zeigen kann):

An e IN: A_n =/= IN .

Anschaulich ist das sofort klar: Für jedes n e IN ist A_n eine endliche Menge (bestehend aus genau n Elementen), IN ist aber eine unendliche Menge, daher kann A_n für kein n e IN gleich IN sein.

> [...] IN [...] Vereinigung von Anfangsabschnitten

Ja. Trivialerweise gilt:

U{A_n : n e IN} = IN .

Und zwar ganz einfach deshalb, weil für JEDE natürliche Zahl n der Anfangsabschnitt A_n die Zahl n als Element enthält, und damit n auch in der Vereinigung (der Menge) _aller_ Anfangsabschnitte als Element enthalten ist (zudem kann natürlich die Vereinigung (der Menge) aller Anfangsabschnitte nicht "über IN hinausführen").

Es FEHLT also keine natürliche Zahl in der Vereinigung (der Menge) aller Anfangsabschnitte, und es sind darin auch NUR natürliche Zahlen enthalten. :-)

Vielleicht können Sie ja mal versuchen zu erklären, wie eine natürliche Zahl in der Vereinigung (der Menge) aller Anfangsabschnitte "fehlen" kann, wo es doch für JEDE natürliche Zahl einen Anfangsabschnitt gibt, der sie als Element enthält.

Wie soll ich es sagen... Gilt in der Mückenmatik der SATZ "Es sind NICHT alle drin, obwohl alle drin sind"?

[ich]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 23:10:34 UTC+1 schrieb ich:
> Am Dienstag, 11. Dezember 2018 22:59:53 UTC+1 schrieb WM:
> >
> > Mit Induktion zeigt man [...]
> >
> Dazu braucht's keine Induktion. :-)
> >
> > dass jeder Anfangsabschnitt bei der Vereinigung zu |N fortgelassen werden
> > kann.
> >
> JEDER EINZELNE - für sich betrachtet.
> >
> Was also allenfalls gezeigt werden kann, ist:
>
> Ak e IN: U({A_n : n e IN} \ {A_k}) = IN .

Sie können "mit Induktion" vielleicht sogar zeigen:

Ak e IN: U({A_n : n e IN} \ {A_1, ..., A_k}) = IN,

also

Ak e IN: U({A_n : n e IN} \ {A_i : i e {1, ..., k}) = IN,

> Was damit aber [weiterhin] NICHT gezeigt ist, ist:
>
> U({A_n : n e IN} \ {A_i : i e IN}) = IN .

Nach wie vor scheinen Sie auf Ihrem FEHLSCHLUSS

[Ak e IN: E({1, ..., k})] ==> E(IN)

zu beharren.

Dieser gilt aber bekanntlich nicht. Hier ein einfaches Gegenbeispiel:

Sei E(X) :<-> X ist endlich.

Dann gilt Ak e IN: E({1, ..., k}), denn für jedes k e IN ist der Anfangsabschnitt {1, ..., k} endlich. ABER IN ist NICHT endlich also: ~E(IN).

[burs...@gmail.com]

"nicht unendlich" = "endlich", oder was?
Wieso immer diese doppelte Verneinung ausdrucksweise?

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 22:59:53 UTC+1 schrieb WM:

[Andreas Leitgeb]

WM <wolfgang.mueckenheim "ät" hs-augsburg.de> wrote:

> Am Dienstag, 11. Dezember 2018 20:23:27 UTC+1 schrieb Roland Franzius:
>> Das erstaunlichste an diesem Phänomen ist die Agression, die
>> Mückenheims tiefe Gedanken jeweils im Usenet hervorrufen.
> Die wohl ist darauf zurückzuführen, dass das Völkchen doch dumpf ahnt,
> auf dem Holzwege zu sein.

Da bin ich aber froh, dass sich WM mit seiner Ansicht (dass die Vereinigung
aller Anfangsabschnitte etwas "kleineres" ist, als die Vereinigung der
jeweils nur ein-elementigen Mengen {n}, wobei {n} c A_n für alle n in |N)
nicht als Teil dieses Völkchens wähnt. Wer auf einer blanken Eisfläche
steht, kann sich halt auf die Schulter klopfen, nicht "auf dem Holzweg"
zu sein.

> Da nun die widersinnige Behauptung, es müssten nur unendlich viele
> Anfangsabschnitte vereinigt werden, sogar der Mengenlehre widerspricht,

Hier will er wohl wieder seinen Satz vom kleinsten Element in einer
nicht-leeren, wohlgeordneten Menge ins Feld führen. "Schade" nur, dass
der Satz nicht greift, da er es bei seinem Ansatz mit einer leeren Menge
zu tun hat.

[Ich]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 12:23:00 UTC+1 schrieb Andreas Leitgeb:

> Da bin ich aber froh, dass sich WM mit seiner Ansicht (dass die Vereinigung
> aller Anfangsabschnitte etwas "kleineres" ist, als die Vereinigung der
> jeweils nur ein-elementigen Mengen {n}, wobei {n} c A_n für alle n in |N)
> nicht als Teil dieses Völkchens wähnt.

Aber nicht doch. Herr Mückenheim bestreitet doch

{1} u {2} u {3} u ... = {1, 2, 3, ...}

bzw.

U{{n} : n e IN} = IN

ebenfalls. Nur ist das, laut WM "nicht so offensichtlich" wie bei der Vereinigung der Anfangsabschnitte! :-)

Eine schlüssige ERKLÄRUNG dafür, warum die Vereinigung der Singleton-Mengen _der natürlichen Zahlen_ NICHT wieder die Menge der natürlichen Zahlen ist, hat er zwar bislang nicht liefern können, aber das ist bekanntlich für Mückenheim kein Grund, etwas nicht weiterhin zu behaupten; auch wenn es falsch und/oder unsinnig ist.

[jvr]

And, as in uffish thought he stood,
The Jabberwock, with eyes of flame,
Came whiffling through the tulgey wood,
And burbled as it came!

One, two! One, two! And through and through
The vorpal blade went snicker-snack!
He left it dead, and with its head
He went galumphing back.

“And hast thou slain the Jabberwock?
Come to my arms, my beamish boy!
O frabjous day! Callooh! Callay!”
He chortled in his joy.

’Twas brillig, and the slithy toves
Did gyre and gimble in the wabe:
All mimsy were the borogoves,
And the mome raths outgrabe.

[WM]

Am Dienstag, 11. Dezember 2018 23:10:34 UTC+1 schrieb Ich:
> Am Dienstag, 11. Dezember 2018 22:59:53 UTC+1 schrieb WM:
>
> > Mit Induktion zeigt man [...]
>
> Dazu braucht's keine Induktion. :-)

Viele Wege führen nach Rom. Induktion erlaubt, eine Eigenschaft für alle natürlichen Zahlen nachzuweisen.

Aber das Wohlordnungsprinzip tut es hier auch.

Die Vereinigung aller Anfangsabschnitte U(F) sei X.
Die Vereinigung vieler Anfangsabschnitte ist dasselbe X.
Wieviele werden gebraucht?
Man sucht aus der Menge alle F_k, die die Vereinigung nicht verändern, und entfernt sie gemeinsam aus der Menge. Der Rest ist eine Untermenge, deren Elemente nicht entfernt werden können, ohne das Ergebnis der Vereinigung zu verändern.
Diese Untermenge ist entweder leer, oder sie besitzt ein erstes Element.

>
> > dass jeder Anfangsabschnitt bei der Vereinigung zu |N fortgelassen werden
> > kann.
>
> JEDER EINZELNE - für sich betrachtet.

Nein, siehe oben. Alle werden gleichzeitig und vor der Vereinigung entfernt.

> Was damit aber NICHT gezeigt ist, ist:
>
> U({A_n : n e IN} \ {A_k : k e IN}) = IN .
>
> Letzteres KANN auch NICHT gezeigt werden, sofern die Mengenlehre widerspruchsfrei ist.

Das ist der Punkt!

> DENN es gilt im Kontext der Mengenlehre

sofern die Mengenlehre widerspruchsfrei ist, muss die verbleibende Untermenge ein erstes Element besitzen. Wischiwaschi über eine unendliche Menge genügt da nicht.

Gruß, WM

[WM]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 14:52:06 UTC+1 schrieb Ich:
> Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 12:23:00 UTC+1 schrieb Andreas Leitgeb:
>
> > Da bin ich aber froh, dass sich WM mit seiner Ansicht (dass die Vereinigung
> > aller Anfangsabschnitte etwas "kleineres" ist, als die Vereinigung der
> > jeweils nur ein-elementigen Mengen {n}, wobei {n} c A_n für alle n in |N)
> > nicht als Teil dieses Völkchens wähnt.
>
> Aber nicht doch. Herr Mückenheim bestreitet doch
>
> {1} u {2} u {3} u ... = {1, 2, 3, ...}
>
> bzw.
>
> U{{n} : n e IN} = IN
>
> ebenfalls. Nur ist das, laut WM "nicht so offensichtlich" wie bei der Vereinigung der Anfangsabschnitte! :-)
>
> Eine schlüssige ERKLÄRUNG dafür, warum die Vereinigung der Singleton-Mengen _der natürlichen Zahlen_ NICHT wieder die Menge der natürlichen Zahlen ist, hat er zwar bislang nicht liefern können,

Sie liegt doch auf der Hand. omega hat keinen direkten Vorgänger. Es fehlen genaugenommen unendlich viele. Man kann also gar nicht alle Vorgänger vereinigen.

Gruß, WM

[WM]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 12:23:00 UTC+1 schrieb Andreas Leitgeb:

> WM <wolfgang.mueckenheim "ät" hs-augsburg.de> wrote:
> > Am Dienstag, 11. Dezember 2018 20:23:27 UTC+1 schrieb Roland Franzius:
> >> Das erstaunlichste an diesem Phänomen ist die Agression, die
> >> Mückenheims tiefe Gedanken jeweils im Usenet hervorrufen.
> > Die wohl ist darauf zurückzuführen, dass das Völkchen doch dumpf ahnt,
> > auf dem Holzwege zu sein.
>
> Da bin ich aber froh, dass sich WM mit seiner Ansicht (dass die Vereinigung
> aller Anfangsabschnitte etwas "kleineres" ist, als die Vereinigung der
> jeweils nur ein-elementigen Mengen {n}

Beide Vereinigungen sind gleich U(F) = U({n}) --> |N.

Die Schnapsidee, dass die Vereinigung |N sei, geht gewiss auf schlampige Behauptungen wie 0,999... = 1 zurück. Bei genauerer Betrachtung findet sich, dass die Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... = 0,999... zwar gegen 1 konvergiert, aber nicht 1 ist. Denn eine strikt monotone Folge nimmt ihren Grenzwert nicht an.

Es gibt sogar Mathematiker, die das verstehen: https://www.quora.com/Why-is-0-9999999-not-equal-to-1

> Hier will er wohl wieder seinen Satz vom kleinsten Element in einer
> nicht-leeren, wohlgeordneten Menge ins Feld führen. "Schade" nur, dass
> der Satz nicht greift, da er es bei seinem Ansatz mit einer leeren Menge
> zu tun hat.

In der Tat. Was verbleiben muss, ist die leere Menge. Darin sind wir einig.

Gruß, WM

[Ich]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 19:45:09 UTC+1 schrieb WM:
> Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 14:52:06 UTC+1 schrieb Ich:
> > Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 12:23:00 UTC+1 schrieb Andreas Leitgeb:
> >
> > > Da bin ich aber froh, dass sich WM mit seiner Ansicht (dass die Vereinigung
> > > aller Anfangsabschnitte etwas "kleineres" ist, als die Vereinigung der
> > > jeweils nur ein-elementigen Mengen {n}, wobei {n} c A_n für alle n in |N)
> > > nicht als Teil dieses Völkchens wähnt.
> >
> > Aber nicht doch. Herr Mückenheim bestreitet doch
> >
> > {1} u {2} u {3} u ... = {1, 2, 3, ...}
> >
> > bzw.
> >
> > U{{n} : n e IN} = IN
> >
> > ebenfalls. Nur ist das, laut WM "nicht so offensichtlich" wie bei der Vereinigung der Anfangsabschnitte! :-)
> >
> > Eine schlüssige ERKLÄRUNG dafür, warum die Vereinigung der Singleton-Mengen
> > _der natürlichen Zahlen_ NICHT wieder die Menge der natürlichen Zahlen ist,
> > hat er zwar bislang nicht liefern können,
> >
> Sie liegt doch auf der Hand.

Ah?

> omega hat keinen direkten Vorgänger.

Das stimmt, aber was hat das mit

{1} u {2} u {3} u ... = {1, 2, 3, ...}

zu tun?

> Es fehlen genaugenommen unendlich viele. Man kann also gar nicht alle
> Vorgänger vereinigen.

Nein, Herr Mückenheim, dieses wirre Gestammel ist leider keine "Schlüssige Erklärung".

Will sagen: Da fehlt auch viel. :-)

[Ich]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 19:55:45 UTC+1 schrieb WM:

> dass die Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... = 0,999... <brabbel>

Man hat Ihnen schon mehrfach gesagt, dass man hier Klammern setzen muss, Mückenheim.

Die betrachtete Folge ist (0,9, 0,99, 0,999, ...). Und "0,999..." bezeichnet den LIMES dieser Folge und (üblicherweise) _nicht die Folge selbst_:

0,999... = lim_(n->oo) SUM(k=1..n) 9/10^k .

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6#Analytischer_Beweis

[ich]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 19:44:50 UTC+1 schrieb WM:

> Alle werden gleichzeitig und vor der Vereinigung entfernt.

Dann erhält man U(A\A) = U{} = {}.

Wenn man NICHT ALLE ZUSAMMEN entfernt, dann kommt es darauf an, WELCHE man entfernt (und welche nicht).

Hinweis: Für X c A gilt

U(A\X) = IN
gdw.
A\X unendlich .

Ein paar Beispiel:

X = {{1}} => A\X unendlich => U(A\X) = IN

X = {{1}, {1, 2}} => A\X unendlich => U(A\X) = IN

usw.

X = {{1}, {1, 2}, ...} => A\X nicht unendlich => U(A\X) =/= IN

X = {{1, 2}, {1, 2, 3}, ...} => A\X nicht unendlich => U(A\X) =/= IN

usw.

[WM]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 20:28:18 UTC+1 schrieb Ich:
> Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 19:45:09 UTC+1 schrieb WM:


> > omega hat keinen direkten Vorgänger.
>
> Das stimmt, aber was hat das mit
>
> {1} u {2} u {3} u ... = {1, 2, 3, ...}
>
> zu tun?

Nichts. Es hat etwas mit

{1} u {2} u {3} u ... = {1, 2, 3, ...} --> |N zu tun.

Gruß, WM

[WM]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 20:30:32 UTC+1 schrieb Ich:
> Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 19:55:45 UTC+1 schrieb WM:
>
> > dass die Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... = 0,999... <brabbel>
>
> Man hat Ihnen schon mehrfach gesagt, dass man hier Klammern setzen muss,

Wenn ein Narr kräht auf dem Mist, bedeutet das keine zu beachtende Maßgabe.

>
> Die betrachtete Folge ist (0,9, 0,99, 0,999, ...).

Die betrachtete ist ohne Klammer zu schreiben. Siehe z.B.
Grauert, Lieb: "Differential- und Integralrechnung" (3. Aufl.), Springer, Berlin (1973) p. 34
oder
Mückenheim: "Mathematik für die ersten Semester" (4. Aufl.), De Gruyter, Berlin (2015), p. 183.

> Und "0,999..." bezeichnet den LIMES dieser Folge und (üblicherweise) _nicht die Folge selbst_:

Tja, auf Nachfrage wissen das die meisten zu wiederholen, aber offensichtlich ohne wirkliches Verständnis, denn die Limesordinalzahl (Nomen est omen) omega ist ebenfalls nur ein Grenzwert.

Gruß, WM

[ich]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 21:53:02 UTC+1 schrieb WM:
> Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 20:28:18 UTC+1 schrieb Ich:
> > Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 19:45:09 UTC+1 schrieb WM:
> > >
> > > omega hat keinen direkten Vorgänger.
> > >
> > Das stimmt, aber was hat das mit
> >
> > {1} u {2} u {3} u ... = {1, 2, 3, ...}
> >
> > zu tun?
> >
> Nichts.

Ja, das war schon klar. Deine "Entgegnungen" haben nur in seltenen Fällen etwas mit der Sache zu tun, um die es geht.

> Es hat etwas mit
>
> {1} u {2} u {3} u ... = {1, 2, 3, ...} --> |N zu tun.
>

Huh?!

Ich muss sagen, dass Deine Beiträge wieder zunehmend wirrer werden. :-)

Hinweis: "{1} u {2} u {3} u ..." ist nur ein "alternativer -die intuition ansprechender- Ausdruck" für U{{n} : n e IN}. Ebenso ist "{1, 2, 3, ...}" jnur ein "alternativer -die intuition ansprechender- Ausdruck" für IN.

Die Aussage oben ist also:

U{{n} : n e IN} = IN .

[WM]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 21:46:07 UTC+1 schrieb ich:


> Hinweis: Für X c A gilt
>
> U(A\X) = IN
> gdw.
> A\X unendlich .

Dieses Wischiwaschi hat nichts mit Mathematik zu tun und ist nicht mal anständige Matheologie. Wenn Du glaubst, durch die Unendlichkeitsbehauptung das logische Schließen außer Kraft zu setzen, so irrst Du.

Gruß, WM

[ich]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 21:59:44 UTC+1 schrieb WM:
> Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 21:46:07 UTC+1 schrieb ich:
> >
> > Hinweis: Für X c A gilt
> >
> > U(A\X) = IN
> > gdw.
> > A\X unendlich .
> >

> [Ein Stück] Mathematik

Genau. Ein einfacher, trivialer Satz. Beweis? Als Übung dem Leser überlassen.

[ich]

Ja, was offenbar in deinem Fall voll zutrifft. Denn *DU* behauptest ja, dass 0.999.. eine _Folge_ sei und =/= 1:

"Bei genauerer Betrachtung findet sich, dass die Folge (0,9; 0,99; 0,999; ...) = 0,999... zwar gegen 1 konvergiert, aber nicht 1 ist."

Das findet sich aber weder bei genauerer noch bei weniger genauer Betrachtung. Es ist absoluter Unsinn.

Dass die Folge (0,9; 0,99; 0,999; ...) gegen 1 konvergiert dürfte wohl den allermeisten klar sein. Die Behauptung, dass (0,9; 0,99; 0,999; ...) = 0.999... und 0.999... =/= 1 sei, stimmt aber wohl nur in Deiner privaten Mückenmatik.

Im Rahmen der Mathematik jedenfalls gilt: 0,999... = 1. :-)

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/0,999%E2%80%A6#Analytischer_Beweis

[burs...@gmail.com]

Sehr schön und einleuchtend.

[WM]

Am Mittwoch, 12. Dezember 2018 22:11:46 UTC+1 schrieb ich:

> Mathematik

folgt hier:

Wieviele Terme einer Folge müssen existieren, damit der Grenzwert existiert? Unten stehen verschiedene Beispiele. Angegeben ist jeweils das allgemeine Glied der *Folge'.

1/n

1/1^2 + 1/2^2 + ...+ 1/2^n

(1 + 1/n)^n

1 + 1/1! +1/2! + ... + 1/n!

1/1^2 + 1/2^2 + ... + 1/n^2

{1, 2, ..., n}

{1} U {2} U ... U {1, 2, ..., n}

Gruß, WM

[burs...@gmail.com]

Was ist ein Term? Das gleiche wie ein Glied?

[WM]

Am Donnerstag, 13. Dezember 2018 10:35:15 UTC+1 schrieb j4n bur53:
> Was ist ein Term? Das gleiche wie ein Glied?

Ja.

Gruß, WM

[Ich]

Am Donnerstag, 13. Dezember 2018 06:03:33 UTC+1 schrieb WM:

> Wieviele Terme einer Folge müssen existieren, damit der Grenzwert existiert?

Eine damit verwandte Frage ist: "Vieviele Engel können auf einer Nadelspitze tanzen?"

[j4n bur53]

Und was soll der Tipp Fehler hier:

1/1^2 + 1/2^2 + ...+ 1/2^n

Wahrscheinlich meinen Sie:

1/2^1 + 1/2^2 + ...+ 1/2^n

[j4n bur53]

Ansonsten können Sie "Grenzwerte" sicher selber berechnen,
dort wo sie existieren, Sie haben ja Authorship auf einem

Mathe Buch. Sonst lautet nach wievor die Regel das man posten
muss falls man eine Antwort haben will: Was haben Sie

bis jetzt versucht, und wo hat es geklemmt?

[WM]

Am Donnerstag, 13. Dezember 2018 19:58:27 UTC+1 schrieb j4n bur53:
> Ansonsten können Sie "Grenzwerte" sicher selber berechnen,
> dort wo sie existieren, Sie haben ja Authorship auf einem
> Mathe Buch.

Die Frage war nicht nach den Grenzwerten, sondern zum grundsätzlichen Verständnis der Mathematik.

> Sonst lautet nach wievor die Regel das man posten
> muss falls man eine Antwort haben will: Was haben Sie
> bis jetzt versucht, und wo hat es geklemmt?

Manche Leser sind einfach nicht in der Lage zu begreifen, dass Grenzwerte strikt monoton wachsender Folgen nicht Summen oder Vereinigungen sein können.

Gruß, WM

[j4n bur53]

Wo klemmts?

[Me]

On Thursday, December 13, 2018 at 10:40:29 PM UTC+1, WM wrote:

> Manche Leser sind einfach nicht in der Lage zu begreifen, dass Grenzwerte

> strikt monoton wachsender Folgen nicht [...] Vereinigungen sein können.

Das ist verständlich, da Ihre Behauptung falsch ist.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergente_Mengenfolge#Konvergenz_monotoner_Mengenfolgen

[WM]

Am Donnerstag, 13. Dezember 2018 19:55:40 UTC+1 schrieb j4n bur53:

> Und was soll der Tipp Fehler hier:
>
> 1/1^2 + 1/2^2 + ...+ 1/2^n
>
> Wahrscheinlich meinen Sie:
>
> 1/2^1 + 1/2^2 + ...+ 1/2^n

Ist doch längst korrigiert.

Gruß, WM

[WM]

Ja. Zumindest ist die Antwort in beiden Fällen 0. Denn diese Grenzwerte sind keine Summen oder Vereinigungen, und Engel tanzen nicht.

Gruß, WM

[j4n bur53]

Aber in der Schule krigt man Punkteabzug wenn man einfach
nur ein Ergebnis hinschreibt, ohne den Rechenweg.
Ausserdem sind wir sehr gespannt, ob Sie endlich mal

Licht in die Nichtexistenz des aktuell Unendlichen bringen
können. Andere sind da schneller und schreiben richtige
Bücher darüber (nicht wie Ihr Transfinite.PDF was wenig

originelles hat, und vieles einfach nur rezipiert, und
auch noch falsch, wie z.B. das Unendlichkeits Axiom
auf Seite 45, was immernoch falsch ist):

"The Kalām cosmological argument is a modern
formulation of the cosmological argument for
the existence of God; named for the kalam (medieval
Islamic scholasticism), it was popularized by William
Lane Craig in his The Kalām Cosmological Argument
(1979). The argument is a variant of the unmoved
mover in Aristotelianism; it is named for medieval
Islamic scholasticism because Craig, arguing against
the possibility of the existence of actual infinities,
traced the idea to 11th-century philosopher Al-Ghazali."
https://en.wikipedia.org/wiki/Kalam_cosmological_argument

[Me]

On Wednesday, December 12, 2018 at 9:53:02 PM UTC+1, WM wrote:

> {1} u {2} u {3} u ... = {1, 2, 3, ...} --> |N

Ziemlich seinfreies Geschwurbel, Mückenheim.

Warten Sie, ich hab da so was _Ähnliches_:

0,5 + 0,25 + 0,125 + ... = 1 --> 1

Echte Mückenmatik! *lol*

Eventuell betrachten Sie ja das allgemeine Glied a_n = IN einer _konstanten_ Folge (a_n)_(n e IN), dann wäre Ihr (Teil-)Ausdruck

{1, 2, 3, ...} --> IN
bzw.
IN --> IN

wohl als

a_n --> IN (für n --> oo)

aufzufassen. :-)

Vielleicht meinten Sie ja aber auch eigentlich:

{1} u ... u {n} = {1, ..., n} --> |N (für n --> oo).

Das wäre sogar korrekt!

Analog:

0,5 + ... + 1/2^n = 1 - 1/2^n --> 1 (für n --> oo).

[j4n bur53]

Das gibt doch ein tolles Weihnachtsgeschenk, hier
noch ein Anti-Lane Craig Buch:

Did God Create the Universe from Nothing?:
Countering William Lane Craig's Kalam Cosmological Argument
https://www.amazon.co.uk/Did-God-Create-Universe-Nothing/dp/099260009X

[Me]

On Thursday, December 13, 2018 at 11:27:31 PM UTC+1, j4n bur53 wrote:

> Das gibt doch ein tolles Weihnachtsgeschenk, hier
> noch ein Anti-Lane Craig Buch:
>
> Did God Create the Universe from Nothing?:
> Countering William Lane Craig's Kalam Cosmological Argument
> https://www.amazon.co.uk/Did-God-Create-Universe-Nothing/dp/099260009X

Vielleicht wäre das NOCH besser geeignet für Wolfgang:

Dot, Dot, Dot: Infinity Plus God Equals Folly
by James a. Lindsay
https://www.amazon.co.uk/Dot-Infinity-Plus-Equals-Folly/dp/0956694896/

"Infinity and God have been close bedfellows over the recent millennia of human thought. But this is James A. Lindsay's point. These two ideas are thought, mere concepts. Lindsay shows in a concise and readable manner that infinity is an abstraction, and shows that, in all likelihood, so is God, particularly if he has infinite properties.

This book is about math. It is about God. It is about stressing the importance of not confusing these two ideas with reality. Never the twain shall meet."

[WM]

Am Donnerstag, 13. Dezember 2018 22:45:51 UTC+1 schrieb Me:
> On Thursday, December 13, 2018 at 10:40:29 PM UTC+1, WM wrote:
>
> > Manche Leser sind einfach nicht in der Lage zu begreifen, dass Grenzwerte
> > strikt monoton wachsender Folgen nicht [...] Vereinigungen sein können.
>
> Das ist verständlich, da Ihre Behauptung falsch ist.

Im Rahmen der Mathematik ist die Behauptung unzweifelhaft richtig.
>
> Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergente_Mengenfolge#Konvergenz_monotoner_Mengenfolgen

Dort wird der Limes explizit vermerkt.

Dass der Limes als unendliche Summe oder Vereinigung von n = 1 bis oo abgekürzt geschrieben werden kann, berechtigt nicht zum der naiven Behauptung, dass die Summe oder Vereinigung aller endlichen Endlichen Element diesen Grenzwert ergibt.

Die Tatsache, dass

(1 + 1/1! +1/2! + ... + 1/n!) --> e

oder

Lim_{n-->oo} (1 + 1/1! +1/2! + ... + 1/n!) = e

berechtigt nicht zu der naiven Behauptung, dass

1 + 1/1! +1/2! + ... + 1/n! + ... = e.

Der Grenzwert wird durch Summation nicht erreicht. Denn alle zu summierenden Beiträge sind bereits in der Folge enthalten. Die unendliche Summe kann nicht darüber hinauswachsen, denn es kommt nicht mehr hinzu.

Die Tatsache, dass

({1} U {1, 2} U ... U {1, 2, 3, ..., n}) --> ℕ

oder

Lim_{n-->oo} ({1} U {1, 2} U ... U {1, 2, 3, ..., n}) = ℕ

berechtigt nicht zu der naiven Behauptung, dass

{1} U {1, 2} U ... U {1, 2, 3, ..., n} U ... = ℕ

Der Grenzwert wird durch Vereinigung nicht erreicht. Denn alle zu vereinigenden Anfangsabschnitte sind bereits in der Folge vereinigt worden. Die unendliche Vereinigung kann nicht darüber hinauswachsen, denn es kommt nicht mehr hinzu.

Es geht also nur um den nicht erreichbaren Grenzwert. Deswegen geht Dagobert Duck niemals Pleite, und der Schnitt der Endabschnitte wird niemals leer.

Gruß, WM

[WM]

Am Donnerstag, 13. Dezember 2018 23:15:46 UTC+1 schrieb j4n bur53:

> Ausserdem sind wir sehr gespannt, ob Sie endlich mal
> Licht in die Nichtexistenz des aktuell Unendlichen bringen
> können. Andere sind da schneller und schreiben richtige
> Bücher darüber

Das habe ich schon 2006 getan: "Die Mathematik des Unendlichen", Shaker-Verlag, Aachen 2006. http://www.shaker.de/de/content/catalogue/index.asp?lang=de&ID=8&ISBN=978-3-8322-5587-9

> (nicht wie Ihr Transfinite.PDF was wenig
> originelles hat

Da bist Du wohl noch nicht zum Kapitel VI vorgedrungen.

>, und vieles einfach nur rezipiert,

um dem Leser die Grundlagen zu vermitteln

> und
> auch noch falsch, wie z.B. das Unendlichkeits Axiom
> auf Seite 45, was immernoch falsch ist):

Nein. Falsch ist lediglich Dein Verständnis der Implikation. Deswegen wird da auch nichts verändert.

Gruß, WM

[j4n bur53]

Das hier:

exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))

/* wird gelesen als, falls Axiom:

forall x exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))

Ist nicht das gleiche wie:

exists S (0 in S /\ forall x (x in S => {x} in S))

Was ist daran so schwierig zu verstehen?

[j4n bur53]

WM fantasiert:

"berechtigt nicht zu der naiven Behauptung, dass 1 + 1/1!

+ 1/2! + ... + 1/n! + ... = e."

Doch schon, weil das hier:

a1 + a2 + .. + an + ... = a

Eine Abkürzung für:

lim n->oo sum_i=1^n an = a

https://en.wikipedia.org/wiki/Series_%28mathematics%29

ist. Oder we Sie es geschrieben haben
Lim_{n-->oo} (1 + 1/1! +1/2! + ... + 1/n!) = e,
kann man natürlich auch benutzen, wenn man das

Summenzeichen nicht mag...

[j4n bur53]

Dieser Unsinn mit einem neuen Zeichen "-->"
ist ein bischen dünn für eine Theorie des
aktual Unendlichen, finden Sie nicht auch?

[WM]

Am Freitag, 14. Dezember 2018 11:19:30 UTC+1 schrieb j4n bur53:
> Das hier:
>
> exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))
>
> /* wird gelesen als, falls Axiom:
>
> forall x exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))
>
> Ist nicht das gleiche wie:
>
> exists S (0 in S /\ forall x (x in S => {x} in S))
>
> Was ist daran so schwierig zu verstehen?

Wie liest man es, falls Bxiom?

Gruß, WM

[j4n bur53]

Falls Axiom so:

exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))

/* wird gelesen als, falls Axiom: */

forall x exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))

Das hat aber nicht die gleiche Bedeutung wie:

exists S (0 in S /\ forall x (x in S => {x} in S))

Im ersten Fall ist die Quantorenreihenfolge:

forall exists

Im zweiten Fall ist die Quantorenreihenfolge

exists forall

Hausaufgabe: Wieso funktioniert der erste Fall nicht
als unendlichkeits Axiom?

https://en.wikipedia.org/wiki/Quantifier_shift

[WM]

> Wie liest man es, falls Bxiom?

Am Freitag, 14. Dezember 2018 11:32:42 UTC+1 schrieb j4n bur53:
> Falls Axiom so:

Das war nicht die Frage.

Gruß, WM

[Me]

On Friday, December 14, 2018 at 11:27:28 AM UTC+1, WM wrote:

Schön, dass Sie (noch) zu Scherzen aufgelegt sind, Herr Mückenheim.

Dennoch hat Jan natürlich Recht.

Was Sie da als "Unendlichkeitsaxiom" propagieren, hat mit dem Unendlichkeitsaxiom NICHTS zu tun.

Wie dumm muss man eigentlich sein, um das trotz mehrfacher detaillierter Erklärungen nicht zu verstehen?

[Me]

On Friday, December 14, 2018 at 12:46:28 PM UTC+1, WM wrote:

> Das war nicht die Frage.

Das mag sein. Das THEMA jedoch ist, dass Sie in Ihrem Manuskript etwas FALSCHES bzw. UNSINNIGES behaupten.

Hinweis:

Die Formel (Aussageform)

exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))

wird -falls es ein Axiom ist/sein soll- so gelesen:

forall x exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S)) .

Das ist aber nicht das Gleiche wie das sog. Unendlichkeitsaxiom (nach Zermelo):

exists S (0 in S /\ forall x (x in S => {x} in S)) .

Wir wissen, dass Sie so gut wie NICHTS von Logik, Mengenlehre oder ganz allgemein der Mathematik verstehen. Aber wenigstens die GRUNDLAGEN dieer Wissensgebiete sollten bekannt sein.

[Tom Bola]

WM faselt:

> der mathematische Beweis zeigt für jeden Anfangsabschnitt, dass
> er weder notwendig noch hinreichend ist, um dieses |N zu erzeugen

In der Mathematik der gesunden Bewohner dieses Planeten muss aber eine
Menge N nicht erzeugt werden, genauso wenig wie alle Schachstellungen.

[Me]

On Friday, December 14, 2018 at 10:33:14 AM UTC+1, WM wrote:
> Am Donnerstag, 13. Dezember 2018 22:45:51 UTC+1 schrieb Me:
> > On Thursday, December 13, 2018 at 10:40:29 PM UTC+1, WM wrote:
> > >
> > > Manche Leser sind einfach nicht in der Lage zu begreifen, dass Grenzwerte
> > > strikt monoton wachsender Folgen nicht [...] Vereinigungen sein können.
> > >
> > Das ist verständlich, da Ihre Behauptung falsch ist.
> >
> Im Rahmen der Mathematik ist die Behauptung unzweifelhaft

falsch. Wie ich schon sagte. Siehe hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Konvergente_Mengenfolge#Konvergenz_monotoner_Mengenfolgen

> Dort wird der Limes explizit vermerkt.

Äh ja, und?

Dort steht:

lim A_n = U_(n=1..oo) A_n ,
n->oo

was Ihre dümmliche Behauptung

dass Grenzwerte strikt monoton wachsender Folgen
nicht [...] Vereinigungen sein können

WIDERLEGT. (Die Mengenfolge (A_n) wird dabei als monoton wachsend vorausgesetzt.)

> Dass der Limes als [...] Vereinigung von n = 1 bis oo abgekürzt
> geschrieben werden kann,

Nein, er wird nicht "abgekürzt" so geschrieben.

"U_(n=1..oo) A_n" in der Mengenlehre DEFINIERT als U{A_n : n e IN}.

Siehe: https://de.wikipedia.org/wiki/Menge_(Mathematik)#Vereinigung_(Vereinigungsmenge)

> berechtigt nicht zum der naiven Behauptung, dass die [...] Vereinigung aller
> [Glieder] diesen Grenzwert ergibt.

Sie reden wirres Zeug, Herr Mückenheim.

Die Gleichung lautet:

lim A_n = U{A_n : n e IN} .
n->oo

Dabei haben die Terme rechts und links vom Gleichheitszeichen eine jeweils eigene (vom anderen Term unanbhängige "Bedeutung"); es wird hier also nichts definiert.

Es gibt hier auch keinen "impliziten" Limes (rechter Hand), oder was auch immer.

Hinweis:

UM =df {x | Ea e M: x e a} .

Nun aber zu etwas anderem:

> ({1} U {1, 2} U ... U {1, 2, 3, ..., n}) --> ℕ [für n --> oo]

Das kann man kürzer so schreiben:

{1, 2, 3, ..., n} --> ℕ

bzw. wie oben schon gesehen:

lim {1, 2, 3, ..., n} = ℕ .
n->oo

> Lim_{n-->oo} ({1} U {1, 2} U ... U {1, 2, 3, ..., n}) = ℕ

Kürzer:

lim {1, 2, 3, ..., n} = ℕ .
n->oo

> berechtigt nicht zu der naiven Behauptung, dass
>
> {1} U {1, 2} U ... U {1, 2, 3, ..., n} U ... = ℕ

Sie gehen ja auch "den falschen Weg", Mückenheim.

Frage: Wie kommen *SIE* denn darauf, dass

lim {1, 2, 3, ..., n} = ℕ
n->oo

gilt? Welchen Limes-Begriff verwenden Sie dazu und können *SIE* das beweisen?

In der Mathematik/Mengenlehre ist es so, dass für eine monoton wachsende Folge (A_n) gilt:

lim A_n = U{A_n : n e IN} .
n->oo

Wegen (leicht)

U{A_n : n e IN} = IN

für A_n = {1, ..., n} (n e IN) ergibt sich dann

lim A_n = IN
n->oo

bzw.

lim {1, ..., n} = IN .
n->oo

> Der Grenzwert wird durch Vereinigung nicht erreicht.

Der Grenzwert *ist* die Vereinigung (im Falle von monoton wachsenden Folgen).

[WM]

Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:06:17 UTC+1 schrieb Me:


> Die Formel (Aussageform)
>
> exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))
>
> wird -falls es ein Axiom ist/sein soll- so gelesen:

Es ist gleichgültig, was ES sein soll. Dort steht ein Satz, der so zu lesen ist, wie er dort steht. Es gibt eine Menge S, die 0 enthält und wenn sie x enthält, dann auch {x}. Wie dumm muss man eigentlich sein, um das nicht lesen zu können?

Gruß, WM

[Me]

On Friday, December 14, 2018 at 1:31:08 PM UTC+1, WM wrote:
> Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:06:17 UTC+1 schrieb Me:
> >
> > Die Formel (Aussageform)
> >
> > exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))
> >
> > wird -falls es ein Axiom ist/sein soll- so gelesen:
> >
> Es ist gleichgültig, was ES sein soll. Dort steht ein Satz, der

Nein, da steht eben gerade KEIN "Satz", sondern eine /offene Formel/ bzw. eine /Aussageform/.

Zu blöd, um selbst die EINFACHSTEN Dinge zu verstehen?

Hinweis:

"In der Prädikatenlogik ist eine Individuenvariable in einer prädikatenlogischen Formel frei, wenn sie in dieser Formel an wenigstens einer Stelle unquantifiziert (also nicht im Bereich eines Quantors zu dieser Variable) vorkommt. Eine mit einem Quantor (A oder E)
und nur innerhalb seines Bindungsbereichs verwendete Variable heißt gebunden. In der Prädikatenlogik wird eine geschlossene Formel, das heißt eine Formel ohne freie Variablen, auch Aussage oder Satz genannt; eine offene Formel, das heißt eine Formel mit freien Variablen, wird auch Aussageform genannt."

> [die] so zu lesen ist, wie er dort steht.

Eine Aussageform "als solche" besagt aber nichts, da sie KEINE _Aussage_ kein _Satz_ ist.

Üblicherweise greift dann die KONVENTION das als

forall x exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))

aufzufassen / zu lesen. Aber das nur am Rande.

> Es gibt eine Menge S, die 0 enthält und wenn sie x enthält, dann auch {x}.

Merken Sie wirklich nicht, dass hier ein Quantor FEHLT, Mückenheim? - Selbst in der "umgagssprachlichen" Formulierung -- DIE HIER ABER NICHT ZUR DISKUSSION STEHT!

Hinweis:

"Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x in A auch die Menge x u {x} enthält."

https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom

Es geht hier aber nicht um irgendwelche umgangssprachlichen Formulierungen (obwohl Ihre, ebenso wie Ihre 'Formalisierung', UNSINNG ist), sondern um die Formel:

exists S (0 in S /\ forall x (x in S => {x} in S)) .

Also die KORREKTE Wiedergabe des sogenannten _Unendlichkeitsaxioms_ im Kontext der der Mengenlehre (nach Zermelo).

Die Behauptung, die Aussageform

exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))

sei das Unendlichkeitsaxiom, ist entweder UNSINNIG (falls man die oben erklärte Konvention nicht berücksichtigt), oder aber FALSCH.

[j4n bur53]

Ja genau, weil da "jedem" steht:

"Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und
mit jedem Element x in A auch die Menge x u {x} enthält."
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom

Ergibt das dann simpel und einfach:

exists S (0 in S /\ forall x (x in S => x u {x} in S))

Oder sie können es auch weiter abkürzen, das habe ich
auch schon gesehen, dass das beliebt ist in
der Mückenmathematik:

exists S (0 in S /\ forall x in S : x u {x} in S)

https://en.wikipedia.org/wiki/Bounded_quantifier#Bounded_quantifiers_in_set_theory

[Tom Bola]

Me schrieb:
> WM

>> Es ist gleichgültig, was ES sein soll. Dort steht ein Satz, der
>
> Nein, da steht eben gerade KEIN "Satz", sondern eine /offene Formel/ bzw. eine /Aussageform/.
>
> Zu blöd, um selbst die EINFACHSTEN Dinge zu verstehen?
>
> Hinweis:

Dass das (schwer psychotische) WM einfach nur blöde ist, das hätte
es bei der Möglichkeit eines einfachen inneren Dialogs schon ewig
früher herausbekommen können, zBl dadurch, dass es nach dem Re-Start
im 2. Bildungsweg sich mal einem Standard-IQ-Test stellt, aber auch
das war für das WM eben alles nur dummes Teufelszeug vom pösen Rest
der Welt...

[WM]

Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:47:58 UTC+1 schrieb Me:

> On Friday, December 14, 2018 at 1:31:08 PM UTC+1, WM wrote:
> > Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:06:17 UTC+1 schrieb Me:
> > >
> > > Die Formel (Aussageform)
> > >
> > > exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))
> > >
> > > wird -falls es ein Axiom ist/sein soll- so gelesen:
> > >
> > Es ist gleichgültig, was ES sein soll. Dort steht ein Satz, der
>
> Nein, da steht eben gerade KEIN "Satz", sondern eine /offene Formel/ bzw. eine /Aussageform/.

Was dort steht, ist ein Satz, den ich Dir sogar übersetzt habe: "Es gibt eine Menge S, die 0 enthält und wenn sie x enthält, dann auch {x}."

>
>
> Üblicherweise greift dann die KONVENTION das als
>
> forall x exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S))
>
> aufzufassen / zu lesen. Aber das nur am Rande.

Diese Konvention ist hier überflüssig, denn die Prämisse x in S impliziert den Allquantor: Sie unterteilt die Menge aller x in zwei Untermengen, nämlich die x in S und die x nicht in S. Für alle ersteren garantiert sie {x} in S und für alle letzteren ist die Aussage ebenfalls richtig. Deswegen besteht hier eine Aussage, deren Wahrheitswert ohne sinnlose Zusatzkonventionen festgelegt ist.

>
> > Es gibt eine Menge S, die 0 enthält und wenn sie x enthält, dann auch {x}.
>

> Merken Sie wirklich nicht, dass hier ein Quantor FEHLT?

Es fehlt nichts.

- Selbst in der "umgagssprachlichen" Formulierung -- DIE HIER ABER NICHT ZUR DISKUSSION STEHT!
>
> Hinweis:
>
> "Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x in A auch die Menge x u {x} enthält."

Dass die leere Menge { } vorhanden ist, wird klar gesagt. Damit ist {{ }} in S und auch jeder weitere Nachfolger in S garantiert.

Niemand kann diesen Satz missverstehen. Sinnlose oder widersinnige Konventionen sind abzuschaffen, insbesondere, wenn sie von Leuten aufgestellt werden, deren Logik offensichtlich schon in den simpelsten Fällen versagt wie im Falle von

{1} U {1} U {1, 2} U {1} U {1, 2} U {1, 2, 3} U ...

ist umfassender als

{1}, ({1} U {1, 2}), ({1} U {1, 2} U {1, 2, 3}), ... .

Gruß, WM

[Tom Bola]

WM:

> und für alle letzteren ist die Aussage ebenfalls richtig

Haha, Depp...

[ich]

Am Freitag, 14. Dezember 2018 15:24:00 UTC+1 schrieb WM:
> Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:47:58 UTC+1 schrieb Me:
> > On Friday, December 14, 2018 at 1:31:08 PM UTC+1, WM wrote:
> > > Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:06:17 UTC+1 schrieb Me:
> > > >

> > > > Die (offene) Formel (Aussageform)
> > > >
> > > > exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S)) (*)

> > > >
> > > > wird -falls es ein Axiom ist/sein soll- so gelesen:
> > > >
> > > Es ist gleichgültig, was ES sein soll. Dort steht ein Satz, der
> > >
> > Nein, da steht eben gerade KEIN "Satz", sondern eine /offene Formel/ bzw.
> > eine /Aussageform/.
> >
> Was dort steht, ist ein Satz

Nein, ist es nicht.

Hinweis:

"In der Prädikatenlogik ist eine Individuenvariable in einer prädikatenlogischen Formel frei, wenn sie in dieser Formel an wenigstens einer Stelle unquantifiziert (also nicht im Bereich eines Quantors zu dieser Variable) vorkommt. Eine mit einem Quantor (A oder E) und nur innerhalb seines Bindungsbereichs verwendete Variable heißt gebunden.

In der Prädikatenlogik wird eine geschlossene Formel, das heißt eine Formel ohne freie Variablen, auch /Aussage/ oder /Satz/ genannt; eine offene Formel, das heißt eine Formel mit freien Variablen, wird auch /Aussageform genannt/." (Wikipedia)

Könne Sie nicht lesen, Mückenheim, oder verstehen Sie das Gelesene nur nicht?

> > Üblicherweise greift dann die KONVENTION, (*) als
> >
> > forall x exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S)) (**)
> >
> > aufzufassen / zu lesen. (**) ist dann ein Satz bzw. eine Aussage.
> >
> Diese Konvention ist hier überflüssig, ...

Nein, sie WÄRE "überflüssig", wenn (*) keine "offene Formel" bzw. keine Aussageform wäre.

> ... x in S impliziert den Allquantor ...

Die faseln ziemlich wirres Zeug, Herr Mückenheim.

> > Hinweis:
> >
> > "Es gibt eine Menge A, die die leere Menge und mit jedem Element x in A

> > auch die Menge x u {x} enthält." (Wikipedia)

> >
> Dass die leere Menge { } vorhanden ist,

Mückensprech: "vorhanden ist" ... Ja, ja, Herr Mückenheim, die leere Menge ist in der Tat "vorhanden", und zwar in dem Sinne, dass sie im Kontext der Mengenlehre _existiert_. Hier geht es jedoch darum, dass die Existenz einer Menge behauptet wird, die die leere Menge als Element _enthält_ -Sie wissen schon: "{} e ..."- und mit _jedem_ Element x auch die Menge x u {x}.

Über andere Dinge braucht man dann mit Ihnen gar nicht erst reden zu wollen, wenn Ihnen nicht einmal die GRUNDLEGENDSTEN Dinge -den logisch-formalen Rahmen der Mengenlehre betreffend- klar sind.

Offenbar haben Sie nie gelernt, was Quantoren sind und wozu sie gut sind; geschweige denn, wie man sie korrekt verwendet. (Im Zusammenhang damit ist Ihnen offenbar auch der Unterschied zwischen einer "offenen Formel" bzw. einer "Aussageform" und einem "Satz" bzw. einer "Aussage" nicht klar.)

[WM]

Am Freitag, 14. Dezember 2018 16:11:48 UTC+1 schrieb ich:
> Am Freitag, 14. Dezember 2018 15:24:00 UTC+1 schrieb WM:
> > Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:47:58 UTC+1 schrieb Me:
> > > On Friday, December 14, 2018 at 1:31:08 PM UTC+1, WM wrote:
> > > > Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:06:17 UTC+1 schrieb Me:
> > > > >
> > > > > Die (offene) Formel (Aussageform)
> > > > >
> > > > > exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S)) (*)
> > > > >
> > > > > wird -falls es ein Axiom ist/sein soll- so gelesen:
> > > > >
> > > > Es ist gleichgültig, was ES sein soll. Dort steht ein Satz, der
> > > >
> > > Nein, da steht eben gerade KEIN "Satz", sondern eine /offene Formel/ bzw.
> > > eine /Aussageform/.
> > >
> > Was dort steht, ist ein Satz
>
> Nein, ist es nicht.
>
> Hinweis:

Jeder kundige Leser erkennt, dass hier eine und nur eine Menge definiert wird, die Zermelosche Menge Z_0, der Durchschnit aller Z-Mengen, denn einmal ist { } gemeinsames Element, und wenn x Element gemeinsames ist, dann auch {x}. Es handelt sich also um einen Satz, der eine Menge eindeutig definiert. Und wenn Dir jemand irgendwelche quantörichten Konventionen beigebracht hat, die diesen Satz in Frage stellen, dann tust Du mir leid. Anstatt diesen Unsinn zu lernen, hättest Du lieber auf eine Erklärung bestehen sollen, dann wäre den lehrenden QuanToren vielleicht selbst ein Licht aufgegangen, obwohl die Wahrscheinlichkeit nicht groß ist.

Gruß, WM

[j4n bur53]

Z_0 ist wieder etwas anderes, ist nicht das unendlichkeits
Axiom. Das unendlichkeits Axiom postuliert nur die
Existenz zumindest einer induktiven Menge.

Es definitiert aber selber nicht Z_0. Z_0 müsste man
erst noch definieren, und das unendlichkeits Axiom hilft
zu sehen dass es Z_0 gibt.

z.B. so ähnlich:

"Durch die Existenz mindestens einer induktiven
Menge I {\displaystyle I} I wird zusammen mit dem
Aussonderungsaxiom auch die Existenz der natürlichen
Zahlen als Menge sichergestellt:"
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom#Nat%C3%BCrliche_Zahlen

das findet man auch schon alles im Zermelo 1908 Paper.

[Me]

On Friday, December 14, 2018 at 8:37:31 PM UTC+1, WM wrote:
> Am Freitag, 14. Dezember 2018 16:11:48 UTC+1 schrieb ich:
> > Am Freitag, 14. Dezember 2018 15:24:00 UTC+1 schrieb WM:
> > > Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:47:58 UTC+1 schrieb Me:
> > > > On Friday, December 14, 2018 at 1:31:08 PM UTC+1, WM wrote:
> > > > > Am Freitag, 14. Dezember 2018 13:06:17 UTC+1 schrieb Me:
> > > > > >
> > > > > > Die (offene) Formel (Aussageform)
> > > > > >
> > > > > > exists S (0 in S /\ (x in S => {x} in S)) (*)
> > > > > >
> > > > > > wird -falls es ein Axiom ist/sein soll- so gelesen:
> > > > > >
> > > > > Es ist gleichgültig, was ES sein soll. Dort steht ein Satz, der
> > > > >
> > > > Nein, da steht eben gerade KEIN "Satz", sondern eine /offene Formel/ bzw.
> > > > eine /Aussageform/.
> > > >
> > > Was dort steht, ist ein Satz
> > >
> > Nein, ist es nicht.
> >
> > Hinweis:
> >

> Jeder kundige Leser erkennt, dass [...]

Wir halten also fest: Offenbar haben Sie nie gelernt, was Quantoren sind und wozu sie gut sind; geschweige denn, wie man sie korrekt verwendet.

Im Zusammenhang damit ist Ihnen offenbar auch der Unterschied zwischen einer "offenen Formel" bzw. einer "Aussageform" und einem "Satz" bzw. einer "Aussage" nicht klar.

Von dem her muss man sich nicht darüber wundern, dass sie offenbar auch das "Unendlichkeitsaxiom" nicht verstanden haben:

"Jeder kundige Leser erkennt, dass hier eine und nur eine Menge definiert wird, ..."

Das Unendlichkeitsaxiom "definiert" gar nichts. Es besagt lediglich, dass (mindestens) eine Menge existiert, die {} (als Element) enthält und mit jedem Element x auch die Menge {x} (Zermelo) bzw. x u {x} (von Neumann).

Insbesondere geht es dabei nicht um EINDEUTIGKEIT, sondern lediglich um EXISTENZ.

> die Zermelosche Menge Z_0, der Durchschnitt aller Z-Mengen,

Diese kann man DANN in der Tat definieren; da das Unendlichkeitsaxiom die EXISTENZ mindestens einer "Z-Menge" (vermutlich meinen Sie "induktive Menge") garantiert.

> Es handelt sich also um einen Satz, der eine Menge eindeutig definiert.

Keine Ahnung worüber Sie hier reden, jedenfalls nicht über das Unendlichkeitsaxiom.

Hier finden Sie das oben gesagte nochmal zusammengefasst:
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom#Formulierung
https://de.wikipedia.org/wiki/Unendlichkeitsaxiom#Nat%C3%BCrliche_Zahlen

Siehe auch:
https://de.wikipedia.org/wiki/Induktive_Menge

Wir sehen auch, dass natürlich schon ZERMELO selbst -im Gegensatz zu Ihnen- den All-Quantor nicht weggelassen hat:

"VII. Axiom des Unendlichen:

Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthält und [...] mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als Element enthält."

(Zermelo, Ernst: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, 1907, in: Mathematische Annalen 65 (1908), S. 261–281)

[j4n bur53]

z.B. die Menge Z=omega+omega in den von Neumann
Ordinalzahlen ist auch induktiv erfüllt auch

0 in Z /\ forall x(x in Z => x u {x} in Z)

aber omega+omega ist nicht das gleiche wie omega.

[Me]

On Friday, December 14, 2018 at 9:05:50 PM UTC+1, j4n bur53 wrote:

> Z_0 ist wieder etwas anderes, ist nicht das unendlichkeits
> Axiom. Das unendlichkeits Axiom postuliert nur die
> Existenz zumindest einer induktiven Menge.

Es ist schon erstaunlich, dass ein "bekennender Kritiker" der "transfiniten Mengenlehre" das sog. "Unendlchkeitsaxiom" weder korrekt formuliere kann, noch versteht, was es eigentlich "besagt".

Mückenheim scheitert hier ähnlich spektakulär wie bei der Angabe eines offenbar selbst zurammen gezimmerten "Axiomensystems für die Menge der natürlichen Zahlen" (in seinem Buch).

Zermelo hat seinerzeit schon das Unendlichkeitsaxiom sauber/korrekt formuliert:

"VII. Axiom des Unendlichen:

Der Bereich enthält mindestens eine Menge Z, welche die Nullmenge als Element enthält und [...] mit jedem ihrer Elemente a auch die entsprechende Menge {a} als Element enthält."

Herr Mückenheim kann noch nicht einmal die heutige formale (FOPL) Version davon korrekt wiedergeben. Schon bemerkenswert.

Dabei findet man DIESE wirklich *überall*. WMs inkorrekte "Version" hingegen gibt's gar nicht. (Aber das ficht unseren selbsternannten Retter der Mathematik natürlich nicht an.)

[j4n bur53]

Nö, Z=N u {N} ist nicht inductive, ist ja das
gleiche we omega+1. Das Z=N u {N} nicht inductiv
ist, sieht man folgt:

Damit Z=N u {N} inductiv ist muss 0 in Z
und forall x(x in Z => x u {x} in Z).
Also auch für x=N.

Nun es gilt N in N u {N}, aber es gilt
nicht N u {N} in N u {N}. Folglich ist
dieses Z nicht inductiv.

omega+1 ist eine Nachfolger Ordinalzahl.
Nachfolger Ordinalzahlen sind nicht inductiv.
Nur Limit Ordinalzahlen sind inductiv.

Am Freitag, 14. Dezember 2018 21:27:14 UTC+1 schrieb Me:

> On Friday, December 14, 2018 at 9:10:05 PM UTC+1, j4n bur53 wrote:
>
> > z.B. die Menge Z=omega+omega in den von Neumann
> > Ordinalzahlen ist auch induktiv erfüllt auch
> >
> > 0 in Z /\ forall x(x in Z => x u {x} in Z)
> >
> > aber omega+omega ist nicht das gleiche wie omega.
>

> Die Menge Z = IN u {IN} tut's auch schon. :-P
>
> Oder bei Zermelos Variante ist auch Z = Z_0 u {Z_0} so eine Menge, wie man leicht zeigen kann.

[j4n bur53]

inductiv ist stärker als unendlich. Sagt ja
mehr aus. Sagt ja auch aus dass die Menge

gewissermassen kein grösstes Element hat.
Aber omega+1 hat ein grösstes Element, nämlich

omega. Aber omega+omega hat kein grösstes Element.

[Me]

On Friday, December 14, 2018 at 11:54:34 PM UTC+1, j4n bur53 wrote:

> Nö, Z=N u {N} ist nicht inductiv

Ja, danke, Du hast Recht. War wohl nicht ganz bei Sinnen, als ich da geschrieben habe. Thanx for the correction, buddy!

[Marcus Gloeder]

Am 10.12.18 14:15, schrieb WM:
>> Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von
>>
>> U{A, B, C} = {1, 2, 3}
>>
>> "bei der Vereinigung weggelassen werden"
>
>Nein, das ist falsch.

Und warum? Zunächst einmal lese ich da nichts davon, dass die Mengen
geordnet sein sollen. 1, 2 und 3 als Elemente müssen nicht in einer
bestimmten Reihenfolge interpretiert werden, wie 1<2<3. Es kann sich auch
um einfache Kodierungen handeln, zum Beispiel 1 für Peter, 2 für Max und 3
für Anna.

Wenn sich Peter, Max und Anna nebeneinander aufstellen, dann können sie das
auf sechs verschiedene Weisen zun:

1, 2, 3 (Peter, Max, Anna)
1, 3, 2 (Peter, Anna, Max)
2, 1, 3 (Max, Peter, Anna)
2, 3, 1 (Max, Anna, Peter)
3, 1, 2 (Anna, Peter, Max)
3, 2, 1 (Anna, Max, Peter)

Allgemein lässt sich die Anzahl verschiedener Reihenfolgen (Permutationen)
durch n! ausrechnen, wenn n die Anzahl der Elemente ist, die in eine
Reihenfolge gebracht werden sollen. An sich sind alle angegebenen
Permutationen gleichrangig. Nur der Einfachheit halber schreibe ich im
Folgenden immer numerisch aufsteigend (also 1, 2, 3).

Angenommen, Peter (1) und Max (2) sind Geschwister (Menge A), Max (2) und
Anna (3) sind ein Ehepaar (Menge B) und Peter (1) und Anna (3) sind ein
Liebespaar (Menge C). Anna hat also mit dem Bruder ihres Ehemannes eine
Affäre (sowas soll ja gelegentlich vorkommen).

Dann beinhalten

die Mengen Geschwister (A) und Ehepaar (B) zusammen die Elemente Peter (1),
Max (2) und Anna (3),
die Mengen Geschwister (A) und Liebespaar (C) zusammen die Elemente Peter
(1), Max (2) und Anna (3) und
die Mengen Ehepaar (B) und Liebespaar (C) zusammen die Elemente Peter (1),
Max (2) und Anna (3).

Das heißt:

A∪B = {1, 2, 3}
A∪C = {1, 2, 3}
B∪C = {1, 2, 3}

Die Vereinigungsmengen aus jeweils zwei der drei Mengen A, B und C enthalten
jeweils alle drei Elemente, also genau die Elemente, die auch die
Vereinigungsmenge aus allen drei Mengen enthält:

A∪B∪C = {1, 2, 3}

Auf der anderen Seite enthält die Schnittmenge aus allen drei Mengen nichts:

A∩B∩C = {}

Zur Veranschaulichung ist hier noch ein Venn-Diagramm (als PDF-Datei) dazu:

https://1drv.ms/b/s!AhSmXwQDkCvagdAI4S2Cjn4VqGRiKA

Me hat also völlig recht. Soweit an dieser Stelle.

>Gruß, WM

Viele Grüße
Marcus

PMs an: m.gl...@gmx.de

[Marcus Gloeder]

Am 11.12.18 20:47, schrieb WM:

--- Anfang Zitat WM ---
Der mengentheoretische Beweis wird dadurch geliefert, dass jede Untermenge
einer wohlgeordneten Menge ein erstes Element besitzt. Da gibt es keinen
Zweifel.
--- Ende Zitat WM ---


Echt nicht? Hm. Nehmen wir mal die Menge der reellen Zahlen. Diese Menge ist
wohlgeordnet. Die Menge der ganzen Zahlen ist eine Untermenge der Menge der
reellen Zahlen. Auch die Menge der ganzen Zahlen ist wohlgeordnet. Nun
haben aber weder die Menge der reelen Zahlen noch die Menge der ganzen
Zahlen ein erstes Element.

Allaussagen wie Ihre (»Jede Untermenge einer wohlgeordneten Menge besitzt
ein erstes Element«) sind durch ein einziges Gegenbeispiel widerlegt.

[Marcus Gloeder]

Am 12.12.18 19:55, schrieb WM:

--- Anfang Zitat Mückenheim ---
Die Schnapsidee, dass die Vereinigung |N sei, geht gewiss auf schlampige
Behauptungen wie 0,999... = 1 zurück. Bei genauerer Betrachtung findet
sich, dass die Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... = 0,999... zwar gegen 1
konvergiert, aber nicht 1 ist. Denn eine strikt monotone Folge nimmt ihren
Grenzwert nicht an.
--- Ende Zitat Mückenheim ---

Was soll 0,999... denn sein? Entweder es handelt sich um eine zwar
unbestimmte, aber endliche Anzahl an Neunen hinter dem Komma. Dann gilt: je
mehr Neunen sich hinter dem Komma befinden, desto kleiner wird der
Unterschied zu 1, ohne dass er ganz verschwindet. Solange die Anzahl der
Neunen hinter dem Komma endlich ist, wird das auch niemand bestreiten.

Oder es handelt sich um eine sehr unorthodoxe Schreibweise von
$0,\overline{9}$ (Null Komma Periode Neun). Dann befinden sich hinter dem
Komma *unendlich* viele Neunen. Das bedeutet: der Unterschied zu 1 wird
unendlich klein. Mit anderen Worten: er verschwindet. Daher gilt:

$$0,\overline{9}=1$$

Etwas anderes hat nie jemand behauptet.

[WM]

Am Samstag, 15. Dezember 2018 05:28:06 UTC+1 schrieb Marcus Gloeder:
> Am 10.12.18 14:15, schrieb WM:
> >> Jede der Mengen A = {1, 2}, B = {2, 3}, C = {1, 3} kann ausgehend von
> >>
> >> U{A, B, C} = {1, 2, 3}
> >>
> >> "bei der Vereinigung weggelassen werden"
> >
> >Nein, das ist falsch.
>
> Und warum? Zunächst einmal lese ich da nichts davon, dass die Mengen
> geordnet sein sollen.

Sie können aber geordnet werden. In der gewählten Ordnung ist dann die erste nicht weglassbare Menge eindeutig definiert.

Diese Betrachtung ist aber irrelevant, da es beim Kernproblem um die endlichen Anfangsabschnitte {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, ... der natürlichen Zahlen geht, die inklusionsmonoton sind. Bei ihnen spielt die Ordnung keine Rolle. Mit jedem Anfangsabschnitt können alle kleineren weggelassen werden.

Gruß, WM

[Me]

On Saturday, December 15, 2018 at 8:08:24 AM UTC+1, Marcus Gloeder wrote:

> Was soll 0,999... denn sein? Entweder

Du musst hier unterscheiden zwischen dem Symbol "0,999..." dieses besteht genau aus 8 Zeichen (-es gibt da keine "unendliche Anzahl von Neuen hinter dem Komma"; das ist nur eine (leider falsche) Vorstellung, die man vielleicht als Schüler im Mathematikunterricht vermittelt bekommt - in der üblichen Mathematik gibt es keine "unendlich langen" Namen/Ausdrücke-) und der reellen Zahl, die dieses Symbol bezeichnet.

Letzteres ist der Grenzwert der Folge (0,9, 0,99, 0,999, ...), also, genauer, die Zahl lim_(n->oo) SUM_(k=1..n) 9/10^k. Und dieser Limes ist = 1. Mit anderen Worten, es gilt:

0,999... = 1 .

Herr Mückenheim labert diesbezüglich einfach wieder mal Unsinn. Man darf das nicht zu ernst nehmen. Er hat halt von Mathematik keine Ahnung.

[WM]

Am Samstag, 15. Dezember 2018 08:08:24 UTC+1 schrieb Marcus Gloeder:
> Am 12.12.18 19:55, schrieb WM:
>
> --- Anfang Zitat Mückenheim ---
> Die Schnapsidee, dass die Vereinigung |N sei, geht gewiss auf schlampige
> Behauptungen wie 0,999... = 1 zurück. Bei genauerer Betrachtung findet
> sich, dass die Folge 0,9; 0,99; 0,999; ... = 0,999... zwar gegen 1
> konvergiert, aber nicht 1 ist. Denn eine strikt monotone Folge nimmt ihren
> Grenzwert nicht an.
> --- Ende Zitat Mückenheim ---
>
> Was soll 0,999... denn sein?

Es ist die abkürzende Schreibweise für eine unendliche Folge 0,9; 0,99; 0,999; ..., die gegen 1 konvergiert, aber mit keiner endlich indizierten Ziffer die 1 erreicht - und unendlich indizierte Ziffern gibt es nicht.

> Oder es handelt sich um eine sehr unorthodoxe Schreibweise von
> $0,\overline{9}$ (Null Komma Periode Neun). Dann befinden sich hinter dem
> Komma *unendlich* viele Neunen.

Auch unter unendlich vielen Neunen ist keine mit unendlichem Index. Jede hat einen eindlichen Index .

> Das bedeutet: der Unterschied zu 1 wird
> unendlich klein.

Ja.

> Mit anderen Worten: er verschwindet

Nein. Jedes der unendlich vielen Glieder der Folge ist von 1 unterscheidbar.

Gruß, WM