Prinzessin im See

[andreas.e...@gmail.com]

Hallo zusammen,

das Rätsel der Woche auf spiegel.de hat mich neugierig gemacht.
Aufgabe:
Eine Prinzessin schwimmt in der Mitte eines kreisförmigen Sees. Am Ufer läuft eine Hexe, die x mal so schnell laufen kann wie die Prinzessin schwimmen.
Die Prinzessin muss nun schwimmend das Ufer erreichen, bevor die Hexe diese Stelle erreicht. Da die Prinzessin etwas schneller laufen kann als die Hexe, entkommt sie dann.

Welches ist das höchste x, für das die Prinzessin noch eine sichere Fluchtstrategie hat?

Schummeleien gibt es natürlich nicht. Die Hexe kann nicht fliegen, sie kann nicht schwimmen, sie ertrinkt im See sofort.

Grüße (nach einigen Jahren Pause hier)
Andreas

[Marco Bakera]

andreas.e...@gmail.com schrieb am 28.09.2015 um 07:59:
>
> Welches ist das höchste x, für das die Prinzessin noch eine sichere Fluchtstrategie hat?

2π müssten reichen, oder?



Beste Grüße,
der Marco.

[andreas.e...@gmail.com]

Am Montag, 28. September 2015 12:48:47 UTC+2 schrieb Marco Bakera:
> 2π müssten reichen, oder?

Das finde ich überraschend hoch. Bei 2π umrundet die Hexe den See einmal komplett, während die Prinzessin vom Mittelpunkt zum Rand schwimmt.

Oder anders gerechnet: Sobald die Prinzessin den Mittelpunkt weiter als r/2π oder 16% des Radius verlässt, hat die Hexe die höhere Winkelgeschwindigkeit als die Prinzessin. Ab dem Zeitpunkt legt die Hexe noch mindestens gut 300° zurück, bevor die Prinzessin das Ufer erreicht.

Mit welcher Schwimmrichtung kann die Prinzessin dabei ihre sichere Ankunft garantieren?

[Rainer Rosenthal]

Am 28.09.2015 um 07:59 schrieb andreas.e...@gmail.com:

> Eine Prinzessin schwimmt in der Mitte eines kreisförmigen Sees.
> Am Ufer läuft eine Hexe, die x mal so schnell laufen kann wie die Prinzessin schwimmen.
> Die Prinzessin muss nun schwimmend das Ufer erreichen, bevor die Hexe diese Stelle erreicht.
> Da die Prinzessin etwas schneller laufen kann als die Hexe, entkommt sie dann.
>
> Welches ist das höchste x, für das die Prinzessin noch eine sichere Fluchtstrategie hat?
>

Wahrscheinlich möchtest Du erst selber noch etwas grübeln und tüfteln
und bittest darum um einen Gedanken-Anstoß.

Es gibt zwei Tipps, und die Unterscheidung selbst ist eigentlich noch
ein weiterer :-)

Stell Dir die Szene so plastisch vor, wie es geht (zum Aufgabenlösen nie
verkehrt, finde ich) und stell Dir vor, wie die Prinzessin langsam das
Ufer von der Mitte aus ansteuern wird. Sie wird sinnvollerweise NICHT
direkt dorthin schwimmen, wo die Hexe gerade steht. Aha, also schwimmt
sie ... gerade in die entgegengesetzte Richtung.
Das heißt, sie wird immer so zu schwimmen versuchen, dass der
Mittelpunkt des Sees zwischen ihr und der Hexe liegt. Einverstanden?

Mit diesem ersten Tipp solltest Du experimentieren und dabei
herausbekommen, wie lange dieser so einfach anmutende Tipp wirklich
funktioniert.

Und dann brauchst Du eine gute Idee, wie das Schwimmen fortzusetzen ist,
wenn dies simple Konzept nicht mehr funktioniert. Dafür kann ich auf
Anfrage den nächsten Tipp bereitstellen, der - soviel sei verraten - mit
der ebenfalls nicht ganz unbekannten Tatsache zu tun hat, dass der
kürzeste Weg zwischen zwei Punkten die Gerade ist.

Die Aufgabe ist schön und wird auch noch in 10 Jahren schön sein.
In der Verkleidung ist sie mir neu, aber sie ist auch viel netter als
wenn draußen ein "Unhold" herumrennt, wie ich es einst kennenlernte.
Man muss allerdings unterstellen, dass Hexenkraft keine Fernkraft ist.
Die Hexen, die ich früher kennengelernt hatte in sogenannten Märchen-
büchern, waren sogar in der Lage, aus geschlossenen Räume und über lange
Zeiträume hinweg ihre Hexenkraft wirken zu lassen.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Robin Koch]

Am 28.09.2015 um 07:59 schrieb andreas.e...@gmail.com:

> Eine Prinzessin schwimmt in der Mitte eines kreisförmigen
> Sees. Am Ufer läuft eine Hexe, die x mal so schnell laufen kann wie
> die Prinzessin schwimmen. Die Prinzessin muss nun schwimmend das Ufer
> erreichen, bevor die Hexe diese Stelle erreicht. Da die Prinzessin
> etwas schneller laufen kann als die Hexe, entkommt sie dann.
>
> Welches ist das höchste x, für das die Prinzessin noch eine sichere
> Fluchtstrategie hat?

Mal keinen Spoilerspace, weil keine Lösung folgt, sondern nur ein, zwei
Ansätze.

Der naive Ansatz wäre ja zu sagen: Wenn ich in der Mitte bin und zu dem
Punkt schwimmen möchte der der Hexe gerade gegenüberliegt, dann darf die
Hexe keine PI mal schneller sein als ich.

Ich würde mir jetzt aber folgendes vorstellen:
Sobald die Hexe anfängt den See zu umrunden könnte es vorteilhafter sein
nicht zum nächstliegenden Punkt des Ufers zu schwimmen (also der das
ursprüngliche Ziel), sondern den Kurs ein wenig zu korrigieren, von der
Hexe weg.
Die gilt nun (möglicherweise) zu jedem Zeitpunkt der Fluch.
Es steht also die Vermutung im Raum, dass eine geeignete Spirale die
Chancen erhöht.
Nur wie sieht die genau aus..?

Vielleicht lässt sich das Problem vom Kreis auf ein Dreieck
"abwickeln"!? Hm...

--
Robin Koch

[andreas.e...@gmail.com]

Am Dienstag, 29. September 2015 12:54:55 UTC+2 schrieb Rainer Rosenthal:
> Wahrscheinlich möchtest Du erst selber noch etwas grübeln und tüfteln
> und bittest darum um einen Gedanken-Anstoß.

S
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C
E

Eigentlich bin ich schon auf der Suche nach einer fertigen Lösung. Es hat nicht lange gedauert, um auf das Konzept des "kritischen Kreises" zu kommen. Der kritische Kreis liegt konzentrisch im See und ist genau der Kreis, an dem die Hexe am Ufer die gleiche Winkelgeschwindigkeit hat wie die Prinzessin im Wasser. Die Prinzessin kann auf der Innenseite des Kreises somit einen Vorsprung von 180° erzwingen. Schwimmt sie außerhalb, verliert sie Vorsprung. Aber auf welchem Pfad schwimmt sie dann am besten?
Ab dem kritischen Kreis schnurgerade zum Ufer gibt eine Untergrenze für die maximal mögliche Geschwindigkeit der Hexe.
Allerdings habe ich mal für die letzten Schwimmzüge nachgerechnet und bemerkt, dass sich ein gewisser Winkel weg von der Hexe doch lohnt.
Dieser Winkel müsste nach innen hin größer werden, da die Prinzessin dort noch eine höhere Winkelgeschwindigkeit hat.

Also folgende Definitionen:
x: Die Hexe hat eine Geschwindigkeit von x mal der Prinzessin
alpha: Der Winkel, den die Prinzessin zum Radius schwimmt
delta_gamma: "Winkelvorsprung" der Prinzessin.
r_p: Aktueller Abstand der Prinzessin vom Mittelpunkt.
verlust_pro_radius: Der Verlust an delta_gamma pro geschwommener Strecke Radius.

verlust_pro_radius ist zu minimieren. Die Funktion dafür bekomme ich in Abhängigkeit von x, alpha und r_p noch hingeschrieben, sie sieht aber schon nicht mehr schön aus.
Die müsste ich jetzt nach alpha differenzieren, um eine Formel für den optimalen Winkel in Abhängigkeit von x und r_p zu bekommen. Dann hätte ich schonmal die Form der zu schwimmenden Spirale in Abhängigkeit von x. Nun müsste man noch das maximal mögliche x finden, bei dem der gesamte verlorene Vorsprung der Prinzessin unter 180° bleibt.

Der ganze letzte Absatz liegt aber außerhalb meiner Möglichkeiten. Und genau da gebe ich auf und hoffe, dass jemand mit einer eleganteren Lösung um die Ecke kommt :-)

[Marco Bakera]

Robin Koch schrieb am 29.09.2015 um 23:57:
>
> Sobald die Hexe anfängt den See zu umrunden könnte es vorteilhafter sein
> nicht zum nächstliegenden Punkt des Ufers zu schwimmen (also der das
> ursprüngliche Ziel), sondern den Kurs ein wenig zu korrigieren, von der
> Hexe weg.
> Die gilt nun (möglicherweise) zu jedem Zeitpunkt der Fluch.
> Es steht also die Vermutung im Raum, dass eine geeignete Spirale die
> Chancen erhöht.

Das habe ich auch überlegt. Es gilt jedoch nur, wenn die Hexe ihrerseits
die Richtung nicht ändert.


Beste Grüße,
der Marco.

[andreas.e...@gmail.com]

Am Mittwoch, 30. September 2015 16:43:23 UTC+2 schrieb Marco Bakera:
> Das habe ich auch überlegt. Es gilt jedoch nur, wenn die Hexe ihrerseits
> die Richtung nicht ändert.

Warum gilt das nur für den Fall, dass die Hexe die Richtung nicht ändert?

Nimm mal die folgende Situation an, in der die Hexe ihre Richtung nicht ändert: Die Hexe sei 4 mal so schnell wie die Prinzessin, die Prinzessin schon sehr dicht am Ufer und nur noch Strecke a davon entfernt. Die Hexe sei noch 3,9a vom Landepunkt der Prinzessin entfernt.
Für die folgende Rechnung nehme ich der Einfachheit halber an, dass das Ufer aus dieser kurzen Entfernung schon als Gerade angesehen werden kann. Bei einem Kreis sähe die Situation für die Prinzessing noch besser aus.

Wenn die Prinzessin nun direkt zum Ufer schwimmt, wird sie schon von der Hexe erwartet, die in der Zeit maximal 4a hätte laufen können.
Wenn die Prinzessin aber nicht direkt zum Ufer, sondern zu einem Punkt 0,25a davon entfernt schwimmt, muss sie eine Distanz von sqrt(a^2+0,25a^2) = 1,031a zurück legen. Die Hexe läuft in dieser Zeit 4,12a. Die Prinzessin hat also bei ihrer Ankunft am Ufer nun 0,03a Vorsprung. Die Abweichung vom Schwimmen entlang des Radius hat sich also gelohnt, ohne dass die Hexe die Richtung ändern musste.

[Marco Bakera]

andreas.e...@gmail.com schrieb am 30.09.2015 um 18:02:
> Am Mittwoch, 30. September 2015 16:43:23 UTC+2 schrieb Marco Bakera:
>> Das habe ich auch überlegt. Es gilt jedoch nur, wenn die Hexe ihrerseits
>> die Richtung nicht ändert.
>
> Warum gilt das nur für den Fall, dass die Hexe die Richtung nicht ändert?

Ich hatte mich lediglich auf die Spiralform bezogen, die Robin erwähnte.
Wenn die Hexe immer wieder die Richtung wechselt, wird die Prinzessin
auch ihre Schwimmrichtung auf dem See ändern. Und dann hat ihr Weg nicht
mehr die Form einer Spirale.


Beste Grüße,
der Marco.

[Robin Koch]

Interessant. Ich wäre jetzt davon ausgegangen, dass die Hexe auf die
Prinzessin reagiert. Und dann halt versucht auf kürzestem Weg zum der
Prinzessin nächsten Uferpunkt zu kommen.
Wenn sie das nicht tut scheint(?) sie der Prinzessin ja zu helfen, weil
sie sich entfernt.

Es fehlt eine Bedingung, dass die Prinzessin früher oder später ertrinkt
wenn sie im Wasser bleibt. Sonst hat die Hexe keinen taktischen Vorteil.
Die Prinzessin würde einfach abwarten.

--
Robin Koch

[Rainer Rosenthal]

Am 29.09.2015 um 12:54 schrieb Rainer Rosenthal:
> Am 28.09.2015 um 07:59 schrieb andreas.e...@gmail.com:
>
>> Eine Prinzessin schwimmt in der Mitte eines kreisförmigen Sees.
>> Am Ufer läuft eine Hexe, die x mal so schnell laufen kann wie die
>> Prinzessin schwimmen.
>> Die Prinzessin muss nun schwimmend das Ufer erreichen, bevor die Hexe
>> diese Stelle erreicht.
>> Da die Prinzessin etwas schneller laufen kann als die Hexe, entkommt
>> sie dann.
>>
>> Welches ist das höchste x, für das die Prinzessin noch eine sichere
>> Fluchtstrategie hat?
>>

> Es gibt zwei Tipps, ...

Der erste Tipp führte Dich zum kritischen Kreis. Gut.

> Und dann brauchst Du eine gute Idee, wie das Schwimmen fortzusetzen ist,
> wenn dies simple Konzept nicht mehr funktioniert. Dafür kann ich auf
> Anfrage den nächsten Tipp bereitstellen, der - soviel sei verraten - mit
> der ebenfalls nicht ganz unbekannten Tatsache zu tun hat, dass der
> kürzeste Weg zwischen zwei Punkten die Gerade ist.

Du hast zwar nicht nach dem zweiten Tipp gefragt, aber aus den
bisherigen Diskussionen schließe ich, dass niemand böse sein wird, wenn
ich ihn bringe.

Der zweite Tipp lautet: Bringt es der Hexe etwas, wenn sie die Richtung
wechselt?

Sobald man sich im Klaren ist, dass Richtungswechsel ihr nichts bringt,
kann man sie geradewegs losflitzen lassen in einer Richtung. Dann weiß
man, wann sie wo sein wird, und dann kann man der Prinzessin gut helfen.

Gruß,
Rainer

[David Seppi]

andreas.e...@gmail.com schrieb:

> Allerdings habe ich mal für die letzten Schwimmzüge nachgerechnet und bemerkt, dass sich ein gewisser Winkel weg von der Hexe doch lohnt.
> Dieser Winkel müsste nach innen hin größer werden, da die Prinzessin dort noch eine höhere Winkelgeschwindigkeit hat.

Am kritischen Kreis ist der Winkel aber offenbar 0, da sonst die Hexe
umdreht und Du den Weg dadurch verkürzt.

--
David Seppi
1220 Wien

[Diedrich Ehlerding]

andreas.e...@gmail.com meinte:

> Eine Prinzessin schwimmt in der Mitte eines kreisförmigen Sees. Am Ufer
> läuft eine Hexe, die x mal so schnell laufen kann wie die Prinzessin
> schwimmen. Die Prinzessin muss nun schwimmend das Ufer erreichen, bevor
> die Hexe diese Stelle erreicht. Da die Prinzessin etwas schneller laufen
> kann als die Hexe, entkommt sie dann.
>
> Welches ist das höchste x, für das die Prinzessin noch eine sichere
> Fluchtstrategie hat?

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Sie hat auf jeden Fall für x<1+π eine Strategie.

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Die Strategie der Prinzession ist: möglichst weit von der Hexe entfernt
sein und dann zum, Rand schwimmen. Wenn sie von einer anderen Position zum
Rand schwimmt, hats die Hexe näher.

Der See habe den Radius R, die Hexe laufe mit der Geschwindigkeit h und
die Prinzessin schwimmt mit Geschwindigkeit s.

Ist die Schwimmerin näher als r=R*s/h am Mittelpunktkann die Schwimmerin
erreichen, dass die sie selber, der Mittelpunkt und die Hexe auf einer
Geraden liegen (ihre Winkelgeschwindigkeit ist dann höher als die der
Hexe). Sie muss dann noch den Weg R-r=R*(1-s/h) zurücklegen, um den Rand
zu erreichen, und erreicht ihn nach der Zeit R*(1-s/h)/s. Sie gewinnt,
wenn sie das schneller erledigen kann als die Hexe um den Teich
herumläuft. Die Hexe muss den Weg R*π zurücklegen und braucht dafür die
Zeit R*π/h.

Also gewinnt die Prinzessin, wenn

R*(1-s/h)/s < R*π/h oder
(1-s/h)/s < π/h oder (alle Größen positiv)
h*(1-s/h) < π*s oder
h-s < π*s oder

s > h/(1+π)

Was mir noch nicht ganz klar ist, ist, ob man ein höheres x mit der
Strategie erreichen kann (und wenn, wie man es ausrechnen kann), immer
möglichst von der Hexe weg zu schwimmen. Das führt zu einer spiralförmigen
Bahn außerhalb des inneren Kreises Das verlängert zwar den Weg der
Schwimmerin, aber auch den der Hexe.

Diedrich

--
pgp-Key (RSA) 1024/09B8C0BD
fingerprint = 2C 49 FF B2 C4 66 2D 93 6F A1 FF 10 16 59 96 F3
HTML-Mail wird ungeleſen entſorgt.

[andreas.e...@gmail.com]

Am Donnerstag, 1. Oktober 2015 05:09:36 UTC+2 schrieb David Seppi:
> Am kritischen Kreis ist der Winkel aber offenbar 0, da sonst die Hexe
> umdreht und Du den Weg dadurch verkürzt.

Nein.
Die Hexe wird vernünftigerweise immer in Richtung Prinzessin laufen - egal, in welche Richtung die Prinzesin gerade schwimmt. Sie wird also keine Bewegungen antizipieren.
Sobald die Prinzessin den kritischen Kreis verlässt, gibt es zwei Möglichkeiten: Die Prinzessin befindet sich zwischen Hexe und Mittelpunkt. Dann ist eh alles vorbei.
In allen anderen Fällen hat die H keinen Anlass mehr, die Richtung zu ändern, weil die Hexe ständig aufholt.
Ganz im Gegenteil wird der Winkel beim Verlassen des kritischen Kreises vermutlich am größten sein.

[andreas.e...@gmail.com]

> Was mir noch nicht ganz klar ist, ist, ob man ein höheres x mit der
> Strategie erreichen kann (und wenn, wie man es ausrechnen kann), immer
> möglichst von der Hexe weg zu schwimmen.

Ja, ein gewisser Winkel weg von der Hexe ist sinnvoll. Siehe mein Post vom 30.09, 18:00 Uhr.

[andreas.e...@gmail.com]

Am Donnerstag, 1. Oktober 2015 00:23:57 UTC+2 schrieb Rainer Rosenthal:
>
> Sobald man sich im Klaren ist, dass Richtungswechsel ihr nichts bringt,
> kann man sie geradewegs losflitzen lassen in einer Richtung. Dann weiß
> man, wann sie wo sein wird, und dann kann man der Prinzessin gut helfen.

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Ich bin mir noch nicht sicher, wo Deine Tipps hinführen.
Bei der Lösung "kritischer Kreis + geradeaus" bin ich ja schon.

Eine bessere Lösung lässt sich wohl mit einer gekrümmten Bahn erreichen. Ich weiß zwar, wo die Hexe zu jedem Zeitpunkt ist. Eine eleganter Ansatz zur Herleitung der optimalen Form des Weges der Prinzessin will mir aber nicht einfallen.
Hast Du in die Richtung einen Tipp?

[Robin Koch]

Am 01.10.2015 um 17:24 schrieb andreas.e...@gmail.com:

> Eine bessere Lösung lässt sich wohl mit einer gekrümmten Bahn
> erreichen. Ich weiß zwar, wo die Hexe zu jedem Zeitpunkt ist. Eine
> eleganter Ansatz zur Herleitung der optimalen Form des Weges der
> Prinzessin will mir aber nicht einfallen. Hast Du in die Richtung
> einen Tipp?

Ohne bisher irgendetwas zur Aufgabe gerechnet zu haben wäre mein
Bauchgefühl, dass es vielleicht so ähnlich sein könnte wie die "Hund am
Strand" Aufgabe.

Wie wäre es, wenn die Prinzessin einfach immer geradeaus von der Hexe
wegschwimmt? Damit schwimmt sie schonmal radial aus dem kritischen Kreis
und tangential ans Ufer. Und zwischendurch verringert sie streng monoton
ihren Abstand zum Ufer.

--
Robin Koch

[Diedrich Ehlerding]

andreas.e...@gmail.com meinte:

> Ja, ein gewisser Winkel weg von der Hexe ist sinnvoll. Siehe mein Post
> vom 30.09, 18:00 Uhr.

Den hatte ich schon gelesen, hätte aber lieber eine quantitative Lösun.
Das Problem, das ich sehe, ist: wenn die Prinzessin nicht geradlinig zum
Ufer schwimmt, sondern zum Beispiel immer vond er Hexe weg, dann
verlängert sich ihre Schwimmstrecke (die Spirale ist länger als der gerade
Weg). Die Frage ist, ob sich das lohnt. Man müsste ausrechnen, wie lang
diese Spirale wirklich wird, und dann nachrechnen, ob es für Faktoren >
1+π eine Gewinnstrategie gibt.

Ich habe allerdings keinen Erfolg gehabt, die Gleichung der Spirale
aufzuschreiben :-( und kann um so weniger nachrechnen.

[Rainer Rosenthal]

Am 01.10.2015 um 17:24 schrieb andreas.e...@gmail.com:

> Eine bessere Lösung lässt sich wohl mit einer gekrümmten Bahn erreichen.

Nein.

[andreas.e...@gmail.com]

Am Donnerstag, 1. Oktober 2015 18:36:23 UTC+2 schrieb Rainer Rosenthal:

> Am 01.10.2015 um 17:24 schrieb Andreas Hoffmann:
>
> > Eine bessere Lösung lässt sich wohl mit einer gekrümmten Bahn erreichen.
>
> Nein.

Warum nicht?
Ich verweise auf meine Rechnung im Post vom 30.09. 18:00 Uhr. Zumindest auf dem letzten Stückchen lohnt sich eine gekrümmte Bahn danach ganz sicher. Warum soll das vorher nicht genauso sein?

[andreas.e...@gmail.com]

Am Donnerstag, 1. Oktober 2015 17:31:24 UTC+2 schrieb Robin Koch:
> Damit schwimmt sie schonmal radial aus dem kritischen Kreis
> und tangential ans Ufer. Und zwischendurch verringert sie streng monoton
> ihren Abstand zum Ufer.

Wenn sie tangential ans Ufer schwimmt, schwimmt sie zu lange im äußeren Bereich des Sees herum.
Ich denke, in der optimalen Lösung verlässt sie den kritischen Kreis in einem recht "tangentialen" Winkel (sie verliert ja dort noch nicht so viel Vorsprung, da sie noch eine recht hohe Winkelgeschwindigkeit hat) und schwimmt dann immer direkter auf das Ufer zu.

[Uwe Weiss]

Am 01.10.2015 um 17:39 schrieb Diedrich Ehlerding:
> andreas.e...@gmail.com meinte:
>
>> Ja, ein gewisser Winkel weg von der Hexe ist sinnvoll. Siehe mein Post
>> vom 30.09, 18:00 Uhr.
>
> Den hatte ich schon gelesen, hätte aber lieber eine quantitative Lösun.
> Das Problem, das ich sehe, ist: wenn die Prinzessin nicht geradlinig zum
> Ufer schwimmt, sondern zum Beispiel immer vond er Hexe weg, dann
> verlängert sich ihre Schwimmstrecke (die Spirale ist länger als der gerade
> Weg). Die Frage ist, ob sich das lohnt. Man müsste ausrechnen, wie lang
> diese Spirale wirklich wird, und dann nachrechnen, ob es für Faktoren >
> 1+π eine Gewinnstrategie gibt.
>
> Ich habe allerdings keinen Erfolg gehabt, die Gleichung der Spirale
> aufzuschreiben :-( und kann um so weniger nachrechnen.
>
> Diedrich
>
>
>>

Ich schwätz mal drauf los... So eine ähnliche Aufgabe hat uns mal unser
Mathe-Prof am "letzten Schultag" gestellt. Es wurde eine Flasche Sekt
ausgelobt.

Da ich keinen Alkohol vertrage, habe ich mich gedanklich weg geduckt.
Aber so weit ich mich erinnere: die Lösung hatte was mit der
logarithmischen Spirale zu tun.

Gruß

-Uwe-

[Andreas Hoffmann]

Am Donnerstag, 1. Oktober 2015 21:49:20 UTC+2 schrieb Uwe Weiss:
> Aber so weit ich mich erinnere: die Lösung hatte was mit der
> logarithmischen Spirale zu tun.

Hmm...
Das ist zumindest mal ein Ansatz. Die logarithmische Spirale zeichnet sich ja dadurch aus, dass ihre Arme immer den gleichen Winkel zum Radius aufweisen.
Ich will natürlich einem Prof nicht widersprechen. Allerdings beschleicht mich das Gefühl, dass das nicht die Lösung sein kann. Denn um so weiter die Prinzessin vom Ufer entfernt ist, um so größer müsste der Winkel sein. Also gerade keine logarithmische Spirale...

[Rainer Rosenthal]

Nein, das ist unlogisch. Der Punkt P, bei dem sie an Land krabbelt, um
dann der Hexe hurtig zu enteilen, würde von ihr auf einem krummen Weg
angesteuert, wenn sie Deinem Vorschlag folgt.

Das kann unmöglich besser sein, als wenn sie diesen Punkt gleich ins
Visier genommen hätte und geradlinig darauf zu geschwommen wäre.
Richtig, nicht wahr?

Krumme Linien scheiden wirklich aus, wie Du siehst.
Und damit kann ich Tipp 2 nun aussprechen: Die Prinzessin schwimmt
von Grenzkreis aus geradlinig zu einem Punkt P des Ufers.
Die beste gerade Linie erweist sich als tangential zum Grenzkreis.

Es ist schon eineige Jahre her, dass ich die Rechnung durchgeführt
hatte, aber ich glaube, es führt kein Weg daran vorbei, weil mir kein
simples Argument einfallen will, warum die Tangente optimal sein soll.
Rechnerisch sollte es aber nicht zu kompliziert werden, weil man sich ja
nur für alle Uferpunkte P ausrechnen muss, wie lange die Hexe und die
Prinzessin dorthin unterwegs sind. (Die Hexe rennt natürlich am Ufer,
und die Prinzessin schwimmt geradlinig zu P.) Diese Minimax-Aufgabe
würde ich auch heute noch in unter einer Woche rauskriegen, wenn mich
jemand dazu zwingt oder überredet :-)

Ich weiß, dass ich damals sehr fröhlich war, als die Tangente als Lösung
heraus kam.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Rainer Rosenthal]

Am 01.10.2015 um 19:04 schrieb andreas.e...@gmail.com:
> Zumindest auf dem letzten Stückchen lohnt sich eine
> gekrümmte Bahn danach ganz sicher.

Ich hoffe, ich konnte Dich überzeugen, dass gekrümmte Bahnen vollkommen
ausscheiden.

Das einzig komplizierte Schwimm-Bahn kommt dann zustande, wenn die
Hexe am Anfang nicht einsieht, dass sie ruhig am Ufer stehen bleiben
kann, bis die Prinzessin den Grenzkreis erreicht hat.

Wenn sie das nicht einsieht, dann wird ihr Hin- und Her-Rennen am Ufer
dazu führen, dass die Prinzessin einen Zickzack-Kurs schwimmt. Sie hat
ja einen Rückspiegel in ihre Badekappe eingebaut und schwimmt bis zum
Grenzkreis stets so, dass der Mittelpunkt des Sees zwischen ihr und der
Hexe liegt. Sobald sie den Grenzkreis erreicht, stellt sich eine
Situation ein, die genau gleich der Situation ist, die entsteht, wenn
die Hexe geduldig abwartet, dass die Prinzessin den Grenzkreis verlässt.

Gruß,
Rainer

P.S. Ich kann nachvollziehen, dass es dem Gefühl widerstrebt, die
Prinzessin so lange tangential durchs Wasser zu jagen. Mir geht es
ebenso, aber ich habe dann das klare Argument, dass sie durch die krumme
Bahn Zeit verschwendet hat, wenn sie bei Punkt P aus dem Wasser
krabbelt. Wenn das der beste Punkt wäre, dann hätte sie ihn ja gleich
geradlinig ansteuern können. Oder anders: wenn sie sich die Zeit für die
krumme Bahn nimmt, dann sollte sie die lieber nutzen, um einen Punkt Q
am Ufer geradlinig anzusteuern, der noch etwas später von der Hexe
erreicht wird. Der Punkt P war also nicht optimal, und krumme Bahn
dorthin ebenfalls nicht.

[Rainer Rosenthal]

Wenn die Prinzessin zuviel Sekt trinkt, wird sie auf den Gedanken
kommen, Spiralen zu schwimmen. Professoren sind sich im Allgemeinen
einig, dass der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten die Gerade ist.

Gruß,
Rainer

[David Seppi]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Die beste gerade Linie erweist sich als tangential zum Grenzkreis.

Was ich dabei noch nicht verstehe:
Wenn die Prinzessin vom Grenzkreis losschwimmt, dann befindet sie sich
ja genau gegenüber der Hexe. Was hindert nun die Hexe daran, der
tangential losschwimmenden Prinzessin entgegenzulaufen?

[Rainer Rosenthal]

Gute Frage.

Die tangential losschwimmende Prinzessin hatt allerdings nur darauf
gewartet, dass die Hexe sich für eine Richtung entscheidet.
Und da sie sich noch (fast) auf dem Fluchtkreis befindet, kann sie sich
blitzschnell für die entgegengesetzte Richtung entscheiden, also auch
wieder tangential zum Fluchtkreis.
Da Umkehren keine gescheite Option ist, muss die Hexe fluchend weiter
den langen Weg rennen.

Gruß,
Rainer

[Alfred Flaßhaar]

Rainer Rosenthal schrieb am 02.10.2015 um 00:45:
> Am 01.10.2015 um 22:30 schrieb Andreas Hoffmann:
>> Am Donnerstag, 1. Oktober 2015 21:49:20 UTC+2 schrieb Uwe Weiss:

(...)

> Wenn die Prinzessin zuviel Sekt trinkt, wird sie auf den Gedanken
> kommen, Spiralen zu schwimmen. Professoren sind sich im Allgemeinen
> einig, dass der kürzeste Weg zwischen zwei Punkten die Gerade ist.
>

Diese schöne altbekannte Knobelaufgabe setzt Idealisierung realer
Verhältnisse voraus. Um als H oder P zu erkennen, wer wohin
läuft/schwimmt, muß die Absicht der Bewegungsrichtung erkennbar sein.
Dies ist erst nach kurzer Beobachtung der ersten Schritte bzw,
Schwimmbewegungen feststellbar und erfordert zudem Reaktionszeit.

Wie ändert sich die Lösung, wenn dies berücksichtigt wird? Wer bewegt
sich zuerst - wer reagiert? Verliert/gewinnt, wer zuerst zuckt?

Viele Grüße, Alfred

[David Seppi]

Rainer Rosenthal schrieb:

> Die tangential losschwimmende Prinzessin hatt allerdings nur darauf
> gewartet, dass die Hexe sich für eine Richtung entscheidet.

Die Hexe kann genauso auf die Prinzessin warten.

> Und da sie sich noch (fast) auf dem Fluchtkreis befindet, kann sie sich
> blitzschnell für die entgegengesetzte Richtung entscheiden, also auch
> wieder tangential zum Fluchtkreis.

Kann sie. Da sie zu diesem Zeitpunkt aber schon eine minimal schlechtere
Winkelgeschwindigkeit als die Hexe hat, hat sie durch einen
Richtungswechsel einen größeren Nachteil als die Hexe.

[Rainer Rosenthal]

Am 02.10.2015 um 18:14 schrieb David Seppi:
> Rainer Rosenthal schrieb:
>
>> Die tangential losschwimmende Prinzessin hatt allerdings nur darauf
>> gewartet, dass die Hexe sich für eine Richtung entscheidet.
>
> Die Hexe kann genauso auf die Prinzessin warten.
>

Nee, glaube ich nicht. Denn wenn die Hexe nicht sofort losflitzt, dann
kann die Prinzessin auch geradeaus weiter schwimmen. Irgendwann wird der
Hexe bestimmt einfallen, dass sie ohen Rennen niemals die Prinzessin
fangen kann. Die Prinzessin schwimmt also einen Schlag geradeaus und
schon muss die Hexe zu rennen anfangen. Dann wird der entsprechend
entgegengesetzte Tangentialpunkt angesteuert.

Wie bereits gesagt: für den Tangentialpunkt habe ich keine logisch
hübsche Begründung, sondern muss da rechnen. Das Ergebnis kenne ich aber
noch.

Gruß,
RR

[Rainer Rosenthal]

Am 02.10.2015 um 17:08 schrieb Alfred Flaßhaar:

> Wie ändert sich die Lösung, wenn dies berücksichtigt wird? Wer bewegt
> sich zuerst - wer reagiert? Verliert/gewinnt, wer zuerst zuckt?

Hallo Alfred,

vermutlich ist die Frage für den Fall gemeint, dass das Geschwindkeits-
Verhältnis gerade so ist, dass Hexe und Prinzessin sich am Ufer treffen
bei dem genannten Schwimm-Weg aus zwei zueinander senkrechten geraden
Strecken.

Die Prinzessin scheint mir in der besseren Situation zu sein, denn sie
kann notfalls immer wieder zum Fluchtkreis zurück. Wenn sie sich nur
ganz langsam vom Fluchtkreis tangential wegbewegt, muss die Hexe nicht
nur blitzschnell die Richtung erkennen, sondern auch die Geschwindigkeit
der Prinzessin. Rennt sie zu schnell, dann wird sie "auf dem falschen
Fuß erwischt". Naja, hier wird es wohl schwierig, quantitative Aussagen
zu treffen.

Ist das Geschwindigkeitsverhältnis um ein Epsilon neben dem kritischen
Verhältnis, dann ist das Fangergebnis bei optimalem Verhalten klar, wenn
sich Zucken und Zögern in einem genügend kleinen Bereich Delta abspielen.

Herzliche Grüße,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Am 28.09.2015 um 07:59 schrieb andreas.e...@gmail.com:

> Eine Prinzessin schwimmt in der Mitte eines kreisförmigen Sees. Am Ufer
> läuft eine Hexe, die x mal so schnell laufen kann wie die Prinzessin schwimmen.
> Die Prinzessin muss nun schwimmend das Ufer erreichen, bevor die Hexe
> diese Stelle erreicht. Da die Prinzessin etwas schneller laufen kann
> als die Hexe, entkommt sie dann.
>
> Welches ist das höchste x, für das die Prinzessin noch eine sichere Fluchtstrategie hat?

Wir haben ja jetzt schon ein Weilchen diskutiert.
Jetzt hat es mich gejuckt, mit Papier und Bleistift nachzurechnen.
So bin ich bis zur Formel

(Pi + arccos(1/x))/x = sqrt(1-1/x^2) (*)

gelangt und habe mit Maple-Unterstützung die Zahl x = 4.60334
herausbekommen. Das ist schon beachtlich mehr, als wenn die
Prinzessin vom Fluchtkreis (Radius 1/x, wenn See-Radius gleich 1 ist)
geradeaus zum Ufer schwimmt. Da ist x = 4.14159, wie ich gleich
zeigen möchte.

Hier ist meine Skizze dazu.
P ist der Punkt der Prinzessin auf dem Fluchtkreis, H der Punkt
am Ufer, an dem die Hexe gleich losrennen wird. Der Mittelpunkt M
des Sees ist zwischen P und H.

Wenn die Prinzessin von P aus auf der Linie HM gerade zum Ufer
schwimmt, landet sie beim Punkt U(0) und braucht dafür die Zeit
1 - 1/x (wenn ihre Geschwindigkeit 1 ist, die der Hexe also x).
Die Hexe hat einen Halbkreis zu laufen von H zu U(0), wofür sie
die Zeit Pi/x braucht. Zur gleichen Zeit ankommen bedeutet
1 - 1/x = Pi/x, d.h. x = Pi + 1 = 4.14159.

Lustig und hilfreich für die Prinzessin ist es, von P aus nicht
geradeaus auf U(0) zuzuschwimmen, sondern im Winkel alpha dazu.
Dann kommt sie am Ufer bei U(alpha) an, und die Hexe hat zusätzlich
zum Weg Pi auch noch den Winkel beta weiter zu laufen von U(0) zu
U(alpha), wobei beta etwas kleiner ist als alpha. Die Abhängigkeit
von beta von alpha und x ist verflixt kompliziert, und die habe ich
nicht wirklich durchgerechnet.

Ich habe mir stattdessen gleich den Fall alpha = Pi/2 durchgerechnet,
wo cos(beta) = 1/x ist. Damit ist der Hexenweg klar, und sie benötigt
die Zeit Pi + arccos(1/x))/x bis zum Punkt U(Pi/2).
Der Prinzessinnenweg P zu U(Pi/2) ist nach Pythagoras sqrt(1-1/x^2).
Das ist auch die benötigte Zeit, weil sie mit Geschwindigkeit 1
schwimmt. Damit landen wir bei Gleichung (*) mit dem sensationellen
Wert x = 4.60334.

Gruß,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

P.S. Vor Jahren hatte ich irgendwas Pfiffiges gefunden, indem ich mir
den Winkel angeschaut hatte, unter dem die Prinzessin das Ufer erreicht.
Ich konnte diesen Gedanken aber nicht mehr rekonstruieren. Vielleicht
kommt er wieder, und dann werde ich noch berichten :-)

[Andreas Hoffmann]

Am Freitag, 2. Oktober 2015 00:18:12 UTC+2 schrieb Rainer Rosenthal:
> Nein, das ist unlogisch. Der Punkt P, bei dem sie an Land krabbelt, um
> dann der Hexe hurtig zu enteilen, würde von ihr auf einem krummen Weg
> angesteuert, wenn sie Deinem Vorschlag folgt.
>
> Das kann unmöglich besser sein, als wenn sie diesen Punkt gleich ins
> Visier genommen hätte und geradlinig darauf zu geschwommen wäre.
> Richtig, nicht wahr?

Das war der für mich wesentliche Tipp! Danach wurde mir alles klar. Die Tangente zum kritischen Kreis erfüllt ja auch meine Gedanken zum zu schwimmenden Winkel: Am Anfang mit recht großem Winkel zum Radius und hinten raus immer mehr dem Radius folgend. Ich bin aber nicht darauf gekommen, dass eine Gerade diese Anforderungen erfüllen kann.
Dass die Tangente die optimale Lösung ist (im Gegensatz zu allen anderen Schwimmrichtungen), finde anschaulich recht logisch: Die Prinzessin muss nur recht wenig Strecke zusätzlich schwimmen (Radius des kritischen Kreises), dafür muss die Hexe fast einen Viertelkreis zusätzlich laufen. Für sehr kleine Geschwindigkeiten der Hexe ist das nicht ganz so anschaulich klar, da der kritische Kreis dann sehr groß wird. Zum Glück ist ja klar, dass die Hexe mindestens 4 mal so schnell wie die Prinzessin sein kann.
Schreibt man die Formel auf, sieht man auch sofort, dass ein möglichst großer Winkel zum Radius optimal ist - eigentlich sogar > 90°. Aber 90° ist nunmal das Maximum, bei dem die Hexe ihre Richtung nicht mehr ändert. Bei über 90° würde die Prinzessin ja nochmal durch den kritischen Kreis schwimmen.
Am Freitag saß ich zwei Stunden im Zug und bin zu genau den gleichen Ergebnissen gekommen, die Du auch vorgestellt hast. Die meiste Zeit habe ich damit verbracht, nach einer eleganten Lösung zu suchen. Schließlich spielt das alles im Einheitskreis und die wesentlichen Strecken tauchen als Sinus und Cosinus auf. Mir ist aber auch nichts eingefallen und am Ende musste die numerische Lösung her. Ich habe es dann noch "rückwärts" versucht und im Ergebnis Potenzen von Pi oder e gesucht. Hat leider auch keine heiße Spur zu einer eleganten Lösung gebracht.
Vielleicht fällt mir in den nächsten Tagen noch etwas ein. Das lässt mir doch irgendwie keine Ruhe.

[Rainer Rosenthal]

Am 04.10.2015 um 00:22 schrieb Andreas Hoffmann:

> Vielleicht fällt mir in den nächsten Tagen noch etwas ein. Das lässt mir doch irgendwie keine Ruhe.

Schön, happy End :-)

Und in meinem Hinterkopf rumort noch diese schöne Lösung auf die ich
anno Schnee gekommen war. Wie ich schon andeutete, und was Dir eventuell
bei der nächsten Bahnfahrt hilft: der Trick hatte damit zu tun, dass ich
mir die letzten Sekunden vor dem Zusammenprall angeschaut hatte.

Da kommt die Hexe am Rand lang gespurtet, und die Prinzessin landet
unter einem gewissen Winkel am Ufer an dem Punkt, den ich U(Pi/2)
genannt hatte. Irgendwie war es mir gelungen, diesen Winkel zu
berechnen. ... oder so ... ich sage ja: dunkle Erinnerungen ...

Es war echt elegant und hatte mich tierisch gefreut.

Noch was zu "Tangente aber nicht noch mehr": wenn die Prinzessin in
den Fluchtkreis zurückschwimmt, ist nichts gewonnen. Irgendwann soll
sie ja mal raus und ans Ufer. Alles Zick-Zack-Zuck davor ist pupsegal.

Gruß,
Rainer

[Ignatios Souvatzis]

On 2015-09-28, andreas.e...@gmail.com <andreas.e...@gmail.com>
wrote:

> Schummeleien gibt es natürlich nicht. Die Hexe kann nicht fliegen,
> sie kann nicht schwimmen, sie ertrinkt im See sofort.

Schon falsch. Hexenprozess liefen so: die arme Frau wurde gefesselt
in einen See geworfen. Wenn sie ertrank, war sie keine Hexe und kam
in den Himmel. Wenn sie nicht ertrank, war das der Beweis, dass sie
eine Hexe war, und wurde auf dem Scheiterhaufen verbrannt.

-is

[Thomas]

Ja, aber nur gefesselt ertranken Hexen nicht. Das unterschied sie gerade
von Nicht-Hexen. Hätte man sie nicht gefesselt, wären sie ertrunken und
in den Himmel gekommen. Das musste natürlich verhindert werden!

Eine mögliche Strategie der Hexe wäre es also, sich selbst zu fesseln
und dann ins Wasser zu springen um die Verfolgung aufzunehmen.
Allerdings wäre die Bewegungsfreiheit wohl zu sehr eingeschränkt gewesen.

Stimmt also alles! ;)

--
Thomas

[siegfried....@gmail.com]

Am Montag, 28. September 2015 07:59:20 UTC+2 schrieb Andreas Hoffmann:
> Hallo zusammen,
>
> das Rätsel der Woche auf spiegel.de hat mich neugierig gemacht.
> Aufgabe:

> Eine Prinzessin schwimmt in der Mitte eines kreisförmigen Sees. Am Ufer läuft eine Hexe, die x mal so schnell laufen kann wie die Prinzessin schwimmen.
> Die Prinzessin muss nun schwimmend das Ufer erreichen, bevor die Hexe diese Stelle erreicht. Da die Prinzessin etwas schneller laufen kann als die Hexe, entkommt sie dann.
>
> Welches ist das höchste x, für das die Prinzessin noch eine sichere Fluchtstrategie hat?
>

> Schummeleien gibt es natürlich nicht. Die Hexe kann nicht fliegen, sie kann nicht schwimmen, sie ertrinkt im See sofort.
>

> Grüße (nach einigen Jahren Pause hier)
> Andreas


Moin moin - ich bin wieder da ;-),
leider verrechne ich mich (schon mal) immer noch!
Und dann bin ich auch noch ein Wechselstabenverbuxler.
Pardon!

Es scheint mir eine gute Strategie für die Prinzessin zu sein, genau in eine Richtung zu schwimmen die sie maximal weg bringt von der Hexe! In diesem Fall heißt das, daß sie genau "entgegen dem Winkel" läuft, den die Hexe am Rand des Kreise zurückgelegt hat (auch wenn die Hexe die Richtung ändern würde, was aber keine gute Strategie für sie wäre!).

Annahmen: Die Prinzessin schwimmt maximal konstant mit der Geschwindigkeit |Vp| und die Hexe läuft maximal konstant mit der Geschwindigkeit |Vh|. Der Teich ist Kreisrund mit Radius R. Die Winkelgeschwindigkeit der Hexe ist damit Wh= |Vh|/R und damit gilt:

Vp= |Vp|*[-cos(Wh*t), -sin(Wh*t)] ist ja ein Vektor. Und der von der Prinzessin zurückgelegte Weg Lp ergibt sich als das Integral über Vp:

Lp= Int[0,t] Vp dt= |Vp|*Int[0,t] (sqrt( sin²(Wh*t) + cos²(Wh*t))/Wh dt= ...
... = |Vp|/Wh Int[0,t] 1*dt= |Vp|*t/Wh= R*t*|Vp|/|Vh|

Grenzwertig soll die Hexe die Prinzessin erreichen, wenn diese gerade das Land erreicht. Dafür gilt:

R*t*|Vp|/|Vh|= R*Wh*t oder |Vp|/|Vh|= Wh= |Vh|/R oder:

Gesucht: |Vh|/|Vp|= R/|Vh| QED. (Modulo Rechenfehler!)

P.S.: Leider kann ich in spiegel.de
diese Aufgabe (und Lösung) nicht mehr finden.

[siegfried....@gmail.com]

Am Freitag, 28. Oktober 2016 17:22:06 UTC+2 schrieb siegfried....@gmail.com:

> Sorry - Es scheint, ich habe vergessen zu erwähnen, daß die Prinzessin in meiner Lösung im Mittelpunkt des Kreises los schwimmt.


Nochmal sorry. Ich habe die original Aufgabe und deren _Lösung_ (auf der Spiegel-Seite) doch noch gefunden, die lautet aber anders:

Die Heldin des neuen Rätsels, eine junge Prinzessin, wäre gern in einer solch komfortablen Lage. Aber sie badet genau in der Mitte eines kreisrunden Sees, als am Ufer eine böse Hexe auftaucht.

Die Prinzessin ist ratlos: Wie soll sie ans Ufer kommen, ohne dass die Hexe sie zu fassen kriegt? Die Hexe rennt viermal schneller als die junge Frau schwimmen kann.

Gerettet ist die Prinzessin nur, wenn sie das Ufer betritt und die Hexe in diesem Moment noch nicht an dieser Stelle ist. Dann kann die junge Frau einfach wegrennen, ohne dass ihr etwas geschieht. Denn sie flitzt ein klein wenig schneller als die böse Hexe.

Wie schafft es die Prinzessin, an Land zu kommen, ohne dass die Hexe sie kriegt?

[Siegfried Neubert]

Am Samstag, 29. Oktober 2016 10:01:09 UTC+2 schrieb Siegfried Neubert:

> Pardon: Ich nehme mal meine Lösung zurück
> - und denke nach!
>
> VG Siggi N.

Ja, ja, meine Beiträge sind wiedermal inflatorisch!

Ich habe _nicht_ alle eure Beiträge zuvor gelesen (also nicht abgeschrieben), aber ...

Bis zu einem "kritischem" Radius r, schaft die Prinzessin es immer sich genau "gegenüber" der Hexe zu positionieren!
Dafür gilt: Wh= Vh/R= xVp/R= Wp= Vp/r oder r= R/x.
Wenn dann die "Restwege" in gleichen Zeiten zurückgelegt werden, gilt dafür:
Vp*t= R-R/x oder t= (R-R/x)/Vp
Vh*t= Vp*x*t= Pi*R oder t= Pi*R/Vp*x
Also: R(1-1/x)/Vp= Pi/x * R/Vp oder:

1-1/x= Pi/x d.h.: x= Pi+1= ~4,1415...

Mit der Idee vom kritischen Kreis findet man also für x= Pi+1.


P.S.: Bleibt die Frage nach der Weglänge.

Angenommen Beide, Prinzessin wie Hexe, können etwas Mathematik:
Dann weis die Hexe, daß sie ggf. ruhig stehen bleiben kann, bis die Prinzessin am kritischen Kreis angekommen ist.
Also kann die Prinzessin auch "gerade" zu diesem Radius schwimmen und damit gerade weiter zum Rand des Sees.
Also durchschwimmt sie (minimal) den Radius R des Sees.

Aber da eben Beide etwas Mathe können, geht die Hexe entweder einfach Weg und die Prinzessin planscht in Ruhe, bis sie keine Lust mehr hat. Oder, die Prinzessin ertrinkt einfach "ohne Mühe" am Seemittelpunkt. Dann kann die Hexe aber auch gehen.

Also geht die Hexe auch gleich und führt das Rätsel so ad absurdum. ;-)


P.P.S.: Und, es bleibt die Frage nach der Kurve die die Prinzessin zum kritischen Kreis führt, wenn die Hexe sich bewegt.
Dabei wollen wir annehmen, daß die Hexe (immer maximal) in eine Richtung läuft, weil sie "ahnt", daß zurücklaufen keinen Sinn macht. Wobei wir wieder bei meinen ersten Ausführungen (oben) landen:

Wh= Vh/R= Vp*x/R
und der Vektor X ergibt sich durch Integration des Vektor V:
X= Int[0,t] V dt= Vp* Int[0,t] (-cos(Wh*t), -sin(Wh*t)) dt= ...
... Vp/(Vp*x/R) (-sin(Wht), cos(Wh*t))= R/x * ...

Eine Kreiskurve mit dem Radius R/x.

VG Siggi N.

[Siegfried Neubert]

Hallo Ihr, ich bitte um Kommentare (was ist ggf. falsch?).
Danke.

VG Siggi N.