[Off-topic] Lógica e superestrutura

[Márcio Palmares]

Pessoal,

Estou com uma dúvida aqui e agradeceria qualquer palpite, dica, correção, crítica ou ajuda...

A Margareth E. Baron, matemática e historiadora, escreveu um livro sobre as origens e a história do cálculo diferencial e integral. Foi publicado em 1969. É uma referência meio canônica, ao lado do livro do Boyer sobre o mesmo tema, publicado vinte anos antes (de fato, o D.J. Struik afirma em uma resenha que os dois livros formam um todo, são complementares).

Ao analisar a contribuição de Arquimedes, Baron recorreu a uma interpretação interessante dos Bourbakis, segundo a qual, às vezes, na história da matemática, ocorre uma separação, uma fenda, um distanciamento entre a prática matemática real, os métodos efetivos de descoberta, heurística, invenção, e a superestrutura conceitual, lógica e dedutiva usada para demonstrar, encadear teoremas e expor resultados. Quanto maior essa fenda, esse gap, mais problemática e sujeita a crises (progressivas ou regressivas) está a matemática em questão.

O caso de Arquimedes é emblemático porque ele expunha suas descobertas sobre quadraturas, cálculo de volumes, etc., segundo o cânone da época, usando o método de exaustão, para se adaptar à superestrutura intelectual aceita na época. Mas o método de exaustão não é um método de cálculo: é um método de demonstração. Ele não serve para calcular. Serve para demonstrar resultados já obtidos.

Sabemos hoje, graças à descoberta do palimpsesto que continha "o método mecânico" de descoberta, que o cálculo efetivo de Arquimedes envolvia os indivisíveis de Demócrito e, portanto, recorria ao infinito atual, recusado no método de exaustão. A superestrutura lógica e dedutiva estava divorciada da infraestrutura técnica (o laboratório) e da estrutura (a matemática real, o cálculo real que conduz às descobertas). [A analogia com conceitos de Marx está por minha conta, não está na Baron ou nos Bourbakis.]

Vejamos agora nossa situação presente.

Eu fui um estudante de matemática muito cabeça dura: levava muito a sério tudo o que eu lia nos livros...

No meu livro favorito de cálculo, a segunda edição do "Calculus" do Tom M. Apostol (considero este livro uma obra de arte), há uma passagem em que o autor diz que o dx que aparece no integrando de uma integral indefinida típica, não devemos considerar que a partícula dx tenha qualquer significado próprio. Em "integral de f(x)dx" a expressão f(x)dx deve ser vista como um todo

do mesmo modo como o dicionário dá o significado da palavra 'Marte' sem fazer menção ao significado de 'Mar' e de 'te'.

Ou seja, toda ocorrência de termos como dx ou dy nos cálculos seria destituída de sentido. Seriam meros resíduos sintáticos, ou meras notações, meros marcadores de posição...

Eu acreditei nisso e me agarrei nisso com toda a força.

Mas então eu saía da aula de cálculo, caminhava até o prédio ao lado, e entrava na aula de física. 

E então os dx e os dy estavam plenos de vida e de significado, carregados de sentido, de interpretação.

E era lícito calcular com eles: dx/dy é efetivamente uma razão entre quantidades infinitamente pequenas!

E as regras de cálculo dadas, por exemplo, por Leibniz, são no curso de física regras de cálculo mesmo, onde dx pode ser um "elemento infinitesimal de área", um comprimento infinitesimal de um arco de uma curva, etc. E a regra da cadeia ou a da derivada da função inversa são quocientes efetivos, e não meros símbolos vazios usados no lugar de f'(x)...

Em outras palavras: parece que o gap, a fenda, segue existindo.

Temos uma infraestrutura computacional, a matemática real, efetiva, usada para calcular, que emprega o infinitamente pequeno, e uma superestrutura lógica e dedutiva usada para dar definições e provas de teoremas: o aparato epsilon-delta, os quantificadores, o contínuo discretizado da reta real...

Como eu era fanático, eu sabia dar demonstrações precisas usando a técnica epsilon-delta para diversos casos (simples) de funções mais ou menos típicas... Mas essas demonstrações não tem nada a ver com o cálculo como a matemática que usamos para estudar a variação contínua na natureza, na mecânica, no eletromagnetismo...

Essa superestrutura conceitual da análise moderna é tão divorciada da base real sobre a qual o verdadeiro drama se desenrola quanto a monarquia britânica é divorciada da base econômica atual: o capitalismo monopolista e imperialista britânico. A superestrura paira no ar.

Surgem então dois problemas:

1) É estritamente correto ou justo do ponto de vista historiográfico falarmos em "notação de Leibniz"?

Em Newton existe uma notação: pontinhos para denotar a derivada.

Em Leibniz, não é notação: é cálculo efetivo.

Não faço contas com pontinhos, são meros símbolos: não multiplico um pontinho por outro, não calculo quocientes de pontinhos... Mas faço cálculos com diferenciais.

Uma notação, um símbolo que denota algo, como f'(x), é diferente de uma variável geométrica como dx.

Minha hipótese aqui: o que nossos livros atuais de cálculo fazem (mesmo as obras primas), ao reproduzir a ideologia da "notação de Leibniz", é reproduzir sem querer, de forma inconsciente, o núcleo da acusação de plágio que Leibniz sofreu: o núcleo da acusação era o de que em Leibniz não havia um cálculo real, apenas uma notória habilidade para construir notações favoráveis. Essa noção contudo é falsa: Leibniz foi absolvido da acusação de plágio pelo Tribunal da História, mas o prejuízo contra a inteligibilidade de sua obra matemática permaneceu. A propósito, o livro da Margareth Baron contém um ataque brutal contra Leibniz e que reproduz integralmente o conteúdo da acusação de plágio. É um marco historiográfico: prova que o dano foi permanente.

2) Na prática efetiva do cálculo diferencial e integral, o aparato epsilon-delta é alguma vez usado de forma produtiva, isto é, para gerar resultados novos, ou ele intervém apenas na fase da organização dedutiva de um saber já obtido por outros meios?

Eu já tenho a minha tese. Essas perguntas são subprodutos dela. Embora eu esteja já quase totalmente convencido, gostaria muito de ouvir as opiniões de vocês, se possível. 

Obrigado!

Abraços,

M.

[Júlio Barczyszyn]

Oi, Márcio!

Sobre sua pergunta dois, acho que dá para ver a coisa por essa perspectiva (para além da justificação rigorosa de teoremas):

No formalismo da Relatividade Especial, recuperamos resultados que já sabemos que devem ocorrer na Mecânica Clássica, talvez com alguma pequena novidade, diferença, generalização. Mas, além disso, temos algumas novidades ou restrições.

Sobre epsilon-delta, talvez no caso da reta a gente prove coisas intuitivas já conhecidas a partir desse formalismo (Teorema do Valor Médio, por exemplo), mas eu não consigo imaginar um estudo de Análise Funcional ou Teoria da Medida que não precise de tal "tecnologia".

De todo modo, parte do seu espanto está relacionado com o que eu já havia mencionado num outro e-mail: em que medida esses cálculos são "o" Cálculo, de forma equivalente? Acredito que tudo que você menciona, para além da história e sociologia, nos faz acreditar que há motivos para suspeitar que há de fato cálculos, no plural.

Grande abraço,

Júlio

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[Eduardo Ochs]

Oi Márcio!

Eu fiz graduação, mestrado e uma parte do doutorado na PUC-Rio, num
departamento de Matemática em que todos os professores consideravam
variáveis dependentes e "dx"s sem o sinal de integral (obs: esqueça
formas diferenciais por enquanto!) como abusos de linguagem
impossíveis de formalizar, e que tinham tantos casos ambíguos que era
melhor evitar usá-los...

Há uns anos atrás eu comecei a tentar entender como essas notações
eram usadas pelas pessoas que sabiam usá-las bem, e fiz um monte de
perguntas sobre isso na mailing list do Maxima. Os dinossauros da
lista me mostraram que o Maxima implementa algumas operações com
variáveis dependentes e com diferenciais, mas não conseguiram apontar
pros artigos - que eu desconfiei que existissem, mas até agora não
tenho certeza - das pessoas que implementaram essas operações no
Maxima nas décadas de 70 e 80...

Eles também me recomendaram o "Structure and Interpretation of
Classical Mechanics". Começa por essa resenha daqui,

https://www.ias.edu/piet/publ/other/sicm

e pelo prefácio do SICM - desconfio que você vai encontrar muitas
idéias úteis lá.

[[]],
Eduardo

[Márcio Palmares]

Oi Júlio,

Obrigado pela mensagem!

Pois é... depois daquele dia fiquei pensando na nossa conversa e acho que você tinha razão. Eu disse uma coisa errada.

Imitando o desdém dos físicos, temos vários "formalismos" que resolvem a mesma classe de problemas:

1) Newton e Leibniz (cálculo com infinitesimais ou quantidades evanescentes);

2) Análise clássica, forma predominante hoje, que é o paradigma Weierstrass-Dedekind-Cantor;

3) Análise não-standard, do Abraham Robinson (com infinitesimais e lógica clássica);

4) Análise Infinitesimal suave, Lawvere-Kock (com infinitesimais e "lógica intuicionista", topos logic, mais precisamente);

5) Análise construtiva, do Bishop (sobre essa não sei nada exceto que é construtiva).

Então, são pelo menos cinco formas distintas de atacar a mesma classe de problemas...

Eu supus que houvesse algo invariante sob essas distintas "linguagens", e que esse algo invariante fosse o pensamento matemático, um tipo de racionalidade...

E aí você observou que talvez houvesse círculo vicioso ou petição de princípios no que eu estava sugerindo.

Então pensei bem e acho que você estava certo... o que é invariante aí são os problemas.

Se o conhecimento é um tipo de criação da mente, e essas criações são claramente distintas, a invariancia está nos problemas e nas repostas finais... mas o modo de obter as repostas depende de criações distintas e são, portanto, produtos de conhecimentos distintos...

Então, concordo com você: temos vários cálculos, mas só uma natureza lá fora. É o exterior que é invariante, não o nosso modo de atacá-lo.

Estou tentando chegar numa formulação em que a matemática é histórica sem ser relativista, e em um pluralismo pragmático. Vamos ver se consigo.

Quanto às formas superiores do conhecimento que derivam da análise moderna, acho que talvez existam modos alternativos de chegar a esses pontos, talvez essa geometria diferencial sintética da teoria dos topos... Mas acho que você está certo no fundamental: existe progresso feito a partir da análise moderna. Não posso desprezá-la em favor de um historicismo que ignore o progresso. Quero manter o progresso...

A formulação tem que ser mais ou menos: matemática histórica sem ser relativista, com reconhecimento de que existe progresso, pluralismo de frameworks e critério pragmático de escolha entre frameworks.

Acho que é isso.

Obrigado mais uma vez! 

Abração!

M.

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[Márcio Palmares]

Valeu, Eduardo!

Super obrigado!

Vou olhar a referência.

Depois que eu vi como os físicos praticavam o cálculo, me senti enganado pelos meus livros de cálculo...

De uns tempos para cá é que caiu a ficha pra mim. 

Isso que você disse sobre variáveis dependentes, dx e ambiguidades é justamente o núcleo, o cerne da questão.

Eu sou um admirador do Richard Courant...

Mas ele escreveu três páginas sobre o infinitamente pequeno no clássico "O que é matemática?" em que praticamente não há nenhuma frase inteiramente correta.

Claro, ele escreveu em 1941, antes de Robinson, antes de Lawvere, numa época em que ainda se acreditava que os infinitesimais são "errôneos, desnecessários e autocontraditórios" (Russell).

Em relação ao Leibniz, a coisa só começou a mudar pra valer depois que o Hendrik J. M Bos publicou em 1974 um estudo sobre o cálculo de Leibniz tal como o próprio Leibniz o praticava. Acho que foi o primeiro trabalho amplo e preciso o bastante dessa natureza. 

O que sabemos agora graças ao Henk Bos?

1) Não existe o conceito de função em Leibniz, embora Leibniz tenha introduzido a palavra "função" para se referir a componentes de uma curva que estão em relação uns com os outros;

2) Não existe o conceito de variável dependente ou independente em Leibniz e ele não teria nenhum motivo para escolher dy/dx ou dx/dy num problema específico: a escolha era mais ou menos arbitrária;

3) Não existe o conceito de derivada em Leibniz (pois derivada é função e não existe função). O conceito que Leibniz usa é o de diferencial: dx é um diferencial, uma diferença infinitamente pequena entre dois valores sucessivos de uma variável geométrica, não numérica;

4) O cálculo em Leibniz é geométrico, não é numérico-analítico. O contínuo em Leibniz é sintético, e o contínuo geométrico de Aristoteles: não é formado por pontos;

5) Os infinitesimos são grandezas não-arquimedianas: menores do que qualquer grandeza dada porém não nulas;

6) Leibniz introduz uma hierarquia, ordens do infinitamente pequeno, e regula a absorção de termos de ordens diferentes não por nulidade, mas recorrendo a uma aritmética do infinitamente pequeno:

Se x é uma quantidade ordinária e dx um diferencial de x, infinitamente pequeno, então x + dx = x.

Leibniz introduz aqui uma Lei Transcendental de Homogeneidadenpara regular essa absorção. É parecido com a aritmética transfinita do Cantor, só que na direção contrária, do infinitamente pequeno, não do infinitamente grande.

5) Infinitesimais de ordem superior geram ambiguidades e dificuldades técnicas;

Aqui entramos no que você disse. De fato, como não existiam ainda as noções de variável dependente e variável independente, tanto fazia expressar y por meio de x ou x por meio de y, e isso levava a ambiguidades no tratamento de diferenciais de ordem superior.

Bos sugere que o programa de Euler de eliminar completamente os infinitesimais de ordem superior levou ao estabelecimento da ideia de variável dependente e assim nasceu o conceito de função.

O trabalho dele é simultaneamente um estudo do pensamento matemático do Leibniz e uma explicação da gênese do conceito de função. 

Houve progresso nisso.

Mas ao reconhecer o progresso, não precisamos dizer que Leibniz era obscuro ou confuso. Não era.

E a fecundidade daquele cálculo, sua correção e consistência explicam que ele esteja na sala de aula de física ainda hoje, embora tenha sido banido dos cursos de matemática, tristemente, aliás. 

Vou olhar a referência. 

Obrigado novamente!

Abraço!

M.

> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscribe@dimap.ufrn.br.

[Cloves Paiva]

Olá, Márcio!

Achei muito interessantes suas perguntas. Eu tenho me perguntado coisas parecidas.

Me aproximei da matemática em busca de um conhecimento imutável e da "verdade" (a noção ingênua de verdade), para ver como os matemáticos "descobrem" a matemática que está "por aí".

Aos pouquinhos vou lendo e percebendo que a matemática está mais para uma implementação de ideias abstratas, projeções da razão humana, para lidar com padrões que nossos sentidos percebem do que há "lá fora" (digo "lá fora" para me referir ao que existe fora do nosso "aparelho" sensitivo, o cérebro; eu acredito que não é exagerada a premissa de que existe uma realidade que independe do pensamento humano).

No início da história da matemática, projeções úteis da razão humana (abstrações) andavam muito próximas da discussão do que há "lá fora". Mais recentemente, os matemáticos vão se emancipando dessa relação entre nossas projeções abstratas da razão humana e o que há "lá fora", e a matemática vai virando algo mais introspectivo, voltado ao que há "aqui dentro" (nossa forma de raciocinar), nos perdendo cada vez mais nos labirintos do método axiomático e procurando implementar uma construção mental coerente. Daí a diversidade de implementações das ideias originais do cálculo, cada uma com seus prós e contras, sobre uma suposta bandeira do "rigor". Mas me parece que essas tentativas de implementar rigorosamente tais ideias abstratas em um determinado framework teórico podem acabar alienando toda uma comunidade de matemáticos que só conversa entre si, virando um clube exclusivo de uma "construçãozinha mental" bonita para colocar na prateleira. E me pergunto o quanto realmente isso tem a dizer sobre o problema original que originou as ideias, como no cálculo, onde os físicos já estavam usando e abusando sem se preocupar com os diversos "sabores" de implementações que os matemáticos vieram a criar.

Não quero dizer que todas as implementações rigorosas das ideias abstratas do cálculo (ou qualquer outro domínio matemático) sejam apenas pedantismo exagerado dos matemáticos, mas podemos facilmente nos perder nessas implementações abstratas e levá-las muito a sério, como você mesmo disse ter levado em sua iniciação na matemática.

Isso me faz lembrar do seguinte:

Problemas fundamentais e basilares nunca desaparecem. Cada geração formula suas próprias respostas, personalidades fortes impõem suas concepções... alguns ignoram aspectos específicos do problema para chegar a algum lugar, mas eles nunca somem por completo: esperam, pacientemente, do lado de fora da sua confortável construçãozinha mental.

— Gregory Chaitin, MetaMath: The Quest for Omega

Por exemplo, a ideia do contínuo, que para mim é uma projeção da razão humana, e que ainda estamos perdidos tentando justificar tal ideia abstrata. Segue um trecho de uma entrevista do Prof. Chico Miraglia:

https://www.youtube.com/clip/UgkxX6p5jra15Pf49Aa2kUz3HcIRFlOSdHkT

Onde ele fala que ZFC, apesar do esforço descomunal para desenvolver esta "construçãozinha mental", ainda diz pouco sobre a ideia do contínuo. Mas o desenvolvimento dessa "construçãozinha mental" criou um clube exclusivo de matemáticos que se apavonam entre si, e nos cursos de matemática mundo afora menciona-se "ZFC" quase como um ponto final, os nove mandamentos que salvaram a matemática de uma suposta crise sobre seus fundamentos. É normal que se confie nessas coisas e sigamos em frente como se não houvesse nada de errado com nosso modo de trabalhar.

A matemática ainda é, e deve continuar servindo, como uma espécie de aparato conceitual e linguístico que nos permite jogar uma espécie de "luminou" para fazer aparecer o que há "lá fora", mas parte da comunidade matemática acaba se distanciando muitas vezes desse propósito e vivendo no mundo abstrato. É claro que, eventualmente, como me disse certa vez o Prof. Carnielli, brincando, "a física encontra aplicação" nessa alienação dos matemáticos do mundo "aqui dentro". Mas, ainda assim, me parece que muitas vezes viramos técnicos desses labirintos mentais que talvez nada mais tenham a acrescentar sobre problemas basilares que, como disse Chaitin, nos aguardam pacientemente do lado de fora de nossas construções mentais.

Se animar, gostaria poder conversar mais contigo sobre este assunto para trocarmos "figurinhas", me passar suas leituras e pensamentos. 

Forte abraço!

--
LOGICA-L
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[Márcio Palmares]

Oi, Cloves!

Que bacana!

Obrigado pela mensagem e pelas referências! Fiquei especialmente interessado nessa entrevista com o Prof. Chico Miraglia. Quero ver a discussão.

Gostei da sua formulação: "implementação de ideias abstratas, projeções da razão humana."

Isso está bastante bom para mim, é quase exatamente o que eu penso.

Vou passar vergonha agora e confessar onde estão as âncoras do meu pensamento sobre epistemologia da matemática: estão na epistemologia genética, do Jean Piaget.

Eu já estudava a epistemologia genética (como autodidata) antes de entrar na faculdade de matemática, porque ela se relaciona intimamente com o materialismo filosófico.

Nós brasileiros estivemos muito desfavorecidos em relação à epistemologia genética: o volume 1 da obra "Introdução à Epistemologia Genética", acho que é de 1953, nunca foi traduzido para o português, nem para o inglês. Mas foi traduzido para o espanhol, na Argentina. Alguns filósofos e matemáticos que estão fora do circuito EUA/Inglaterra, e que circulam de algum modo pelo mundo francófono, levaram o Piaget a sério, posso citar, por exemplo, Alberto Peruzzi (italiano), Leo Corry (israelense), Evert W. Beth (holandês)...

Claro que está bem fora de moda evocar esse trabalho, não tanto pela idade da obra, cerca de 75 anos, mas especialmente porque o Piaget permaneceu preso ao paradigma bourbakista até o final. Ele sabia da existência da teoria de categorias, alguns de seus colaboradores chegaram a tentar estudar o assunto, mas o impacto de Dieudonné, em particular, sobre o Piaget foi meio grande demais... Fora que eram vários medalhistas Fields mesmo, eram uma potência matemática... E não é estranho que o Piaget se mantivesse tanto quanto possível de olho nos bourbakistas e seguindo as ideias matemáticas deles. Ele sabia que a teoria de categorias mudaria as coisas, mudaria o paradigma, mas não chegou (até onde pude ler) a assimilar de fato o tamanho da revolução que se avizinhava.

Mesmo assim, o volume 1 da "Introdução à Epistemologia Genética", que é consagrado ao conhecimento lógico-matemático, ainda é, ao meu ver, a resposta mais abrangente e sólida aos problemas fundamentais da epistemologia da matemática. 

O que eu tento fazer a partir desse reconhecimento é tentar uma fusão entre as ideias do Piaget e as ideias do Reuben Hersh.

Não é uma fusão impossível, mas até agora ainda não consegui apertar todos os parafusos e fazer veículo resultante da fusão andar: sempre solta uma roda, cai o motor no chão, uma porta não abre... Mas ainda não perdi a esperança.

O Reuben Hersh escreveu um manifesto, uma declaração programática, uma plataforma: o livro "What is Mathematics, Really?". Quando li este livro, pensei:

--- Puxa vida, este era o livro que eu gostaria de ter escrito... Agora não sobrou nada pra eu fazer...

Mas ainda tem coisa, sim.

O Hersh queria fundar o que ele chamou de "matemática humanista", na ausência de nome melhor.

Ela ganha urgência agora, diante da IA e de seus aspectos negativos...

Bem, esse é o meu referencial, grosso modo.

Vamos continuar a conversa e trocar as figurinhas.

Abração e até breve!

M.