Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics

[Joao Marcos]

Acabou de ser divulgada:

Leiden Declaration on Artificial Intelligence and Mathematics
https://leidendeclaration.ai/

This declaration calls for action to address the challenges posed by
the use of artificial intelligence within mathematics research. It is
the result of a community initiative and is endorsed by the
International Mathematical Union (IMU).


JM

--
https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/

[Márcio Palmares]

Há alguns aspectos progressivos na declaração, mas é tarde.

Carl Sagan, refletindo sobre o desmoronamento do mundo antigo e analisando a destruição da Biblioteca de Alexandria:

"Aqui estavam, claramente, as sementes do mundo moderno. O que as impediu de criar raízes e florescer? Por que, em vez disso, o Ocidente adormeceu em mil anos de escuridão até que Colombo, Copérnico e seus contemporâneos redescobrissem o trabalho realizado em Alexandria? Não posso lhes dar uma resposta simples. Mas sei disto: não há registro, em toda a história da Biblioteca, de que qualquer um de seus ilustres cientistas e eruditos tenha jamais questionado seriamente as premissas políticas, econômicas e religiosas de sua sociedade.

A permanência das estrelas foi questionada; a da escravidão, não. A ciência e o aprendizado em geral eram o privilégio de poucos escolhidos. A vasta população da cidade não tinha a menor noção das grandes descobertas que ocorriam no interior da Biblioteca. As novas descobertas não eram explicadas ou popularizadas. A pesquisa os beneficiava muito pouco. As descobertas na mecânica e na tecnologia do vapor foram aplicadas principalmente no aperfeiçoamento de armas, no incentivo à superstição e no entretenimento de reis. Os cientistas nunca compreenderam o potencial das máquinas para libertar as pessoas. As grandes conquistas intelectuais da antiguidade tiveram poucas aplicações práticas imediatas. A ciência nunca capturou a imaginação da multidão. Não houve contrapeso para a estagnação, para o pessimismo, para as rendições mais abjetas ao misticismo. Quando, finalmente, a turba veio para incendiar a Biblioteca, não havia ninguém para detê-la."

De modo geral (claro que há muitas exceções), matemáticos sempre foram elitistas e individualistas. Isolados do mundo, satisfeitos com sua "posição", omissos, inertes, torciam o nariz para problemas políticos e sociais, como se estivessem acima do mundo material, exatamente como Platão, que precisava se refugiar num mundo ideal frente ao declínio do mundo antigo; esse matemático genérico, acomodado, que despreza o ensino da matemática, despreza o professor de matemática, esse que se orgulha de ser um péssimo professor na graduação; esse que acha bonito reprovar 35 numa turma de 40; que acha que é lindo ser pesquisador com muitos projetos, bolsas, e "não se dar bem com giz e quadro negro"; esse que sempre fez o possível para obscurecer a matemática de modo que ele permanecesse seguro numa redoma de cristal, visto como sobre-humano; esses individualistas que nunca fizeram parte de uma comunidade pois cada um estava preocupado só com o próprio "brilho", agora querem defender a matemática como compreensão humana, e que não deveria ser feita por máquinas...

A turba está vindo incendiar o lugar, mas o elitismo dessa não-comunidade não será capaz agora de explicar a importância da revisão por pares, a estrutura de produção e disseminação do conhecimento... A mecanização chegou. A grande indústria chegou. E eles não conseguirão defender o templo.

A declaração é essencialmente corporativista, infelizmente.

Poderia partir da premissa de que todo conhecimento científico é sempre coletivo, porque é resultado de saber acumulado historicamente. Nada surge do nada. A declaração poderia condenar a apropriação privada da produção social e clamar pela estatização ou expropriação da OpenAI ou qualquer outra medida que sinalizasse o rumo correto: socializar o conhecimento, acesso, produção, divulgação, ensino. Em vez disso, a declaração se preocupa com... autoria! "Quero ser adequadamente citado!" É uma reação corporativa que não está a altura da gravidade do momento histórico. 

Seria melhor "profanar o capitalismo" ingenuamente do que defender um status quo que já era elitista e excludente.

Mas vamos ver... Espero estar errado...

M.

--
LOGICA-L
Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logi...@dimap.ufrn.br>
---
Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscribe@dimap.ufrn.br.
Para ver esta conversa, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_LhAa0jyDeqOBgWjd6%2BVuy8-ypxSuKWLFJdy0LCSwvOaDw%40mail.gmail.com.

[Márcio Palmares]

Acho que estou com uma ulceração no estômago que está me deixando meio desequilibrado.

Uma máquina (Claude) me disse ontem que essa mensagem que enviei aqui está descalibrada: a Declaração de Leiden estaria correta no essencial e, embora possa haver certo resíduo de preocupações corporativas, tal coisa é perfeitamente normal na vida humana. Humanos precisam de seus empregos, do reconhecimento de autoria, revisão por pares, um sistema estável de financiamento da pesquisa básica. Não podem trabalhar com a faca no pescoço, e com seus pensamentos pressionados por startups de IA ou declarações bombásticas em blogs de celebridades...

(Brincadeira: esses comentários são meus, mas a máquina realmente me acusou de não ter lido a declaração corretamente!)

Voltei ao artigo do David Bessis que a Valéria compartilhou conosco um mês atrás. Empreguei uma hora e meia aqui para ler de novo, mastigando cuidadosamente cada parágrafo.

Esse autor já disse o essencial. O depoimento dele ainda é a melhor captura do zeitgeist.

Eu discordaria dele em apenas um ponto: ele insiste um pouco em que, mais importante do que a formulação do teorema, é a obtenção da definição adequada. Mas dependendo do modo como você estrutura uma teoria, definição e teorema são intercambiáveis. Logo, não são tão diferentes assim. Na verdade, ambos são pontos de chegada: estão na fase da síntese de um saber já obtido. Definir é delimitar. Dar um nome. Pressupõe que o trabalho árduo já ocorreu. Enunciar um teorema e demonstrá-lo é condensar --em forma comunicável a outra pessoa-- um processo de descoberta que também já aconteceu.

O fato de que superestimamos a importância das definições e teoremas ao tentarmos definir o que é a matemática se deve a um prejuízo contemporâneo: a identificação de parte da atividade matemática com linguagem, manipulação de símbolos, jogo formal, jogo simbólico. David Bessis quer condenar o formalismo e o platonismo, defender uma concepção conceitualista, mas em algum momento no texto ele escorrega e defende que matemática realmente consiste em manipular símbolos aos quais, posteriormente, nosso hardware mental atribui significado.

Essa ordem está errada.

Brouwer estava correto: primeiro vem o pensamento matemático. Secundariamente, como parte de nossa necessidade de comunicar os frutos desse pensamento, nos vemos obrigados a escrever. Mas a matemática não está na escrita: está antes dela.

Prova?

Vejamos o caso do cálculo diferencial e integral.

Você pode praticá-lo como Newton (fluxões, razões primeiras, razões últimas); como Leibniz (geometria da variação contínua: usando diferenciais e infinitesimais), pode praticar na forma atual (paradigma Weierstrass-Dedekind-Cantor); pode praticar como Bishop num panorama construtivo; pode escolher Abrahan Robinson, panorama clássico; e ainda pode escolher a Análise Infinitesimal Suave (Lawvere/Kock), onde desaparece a ideia de lógica subjacente, mas se quisermos, para confortar nossas mentes viciadas na ideia de lógica subjacente (isso realmente não existe para a topos theory), podemos dizer que a Análise Infinitesimal Suave exige uma lógica intuicionista (repito: não é filosoficamente certo dizer isso).

Em resumo, pelo menos seis linguagens distintas ou --para imitar o desdém dos físicos-- seis formalismos distintos para o mesmo corpo de conhecimentos.

Há um invariante sob essas seis apresentações distintas: esse invariante é a matemática. Certamente a matemática se beneficia da linguagem: algumas coisas parece que brotam dos símbolos, mas são pequeninos afluentes. O rio verdadeiro independe da forma escolhida para comunicar resultados.

Abraços (e me desculpem o pessimismo da mensagem anterior).

M.

Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.

[Júlio Barczyszyn]

Caros e caras,

Faço uma pergunta ao Márcio meio off-topic: 

Quando você diz que há um invariante e que esse invariante é a Matemática, está pressupondo que todas as formas "de fazer matemático", na história, de maneira informal ou formal, estavam "rumando" para tentar exibir "uma mesma coisa" em apresentações diferentes, linguagens diferentes? Se sim, como você justifica que o Cálculo de Newton/Leibniz fala do mesmo que as 1-formas de Cartan?

Ou está pressupondo que o invariante é o fazer e florescer humano no que diz respeito ao que passamos a chamar de Matemática depois? Se for esse o caso, me parece petição de princípio.

Só para explicar o que tenho em mente com a pergunta: Bertrand Russell, em algum de seus trabalhos [acredito ser o Mathematical Philosophy], basicamente comenta que quando temos alguma coisa que consideramos mais rigorosa, tecnológica ou adequada, como uma formalização de algo, possivelmente não sabemos mais se o resultado se identifica suficientemente com o ponto de partida pra enunciar que são apresentações "da mesma coisa". Por isso, jogamos fora o que estava impreciso e ficamos com a novidade, segundo ele, se o trabalho for bem sucedido.

Nesse sentido, não acredito que se possa dizer tão claramente, além de sociologicamente, que certos empreendimentos matemáticos compartilham algo, a menos que se prove uma adjunção de categorias [e que se tome esse critério categórico como suficiente, e isso é do nosso tempo].

Acho que esse ponto pode ser relevante ao falar "da Matemática feita por nós" - nós quem e quando? Afinal, agora se fala que máquinas fazem (alguma) Matemática.

Grande abraço,

Júlio

obs: gosto muito do seu TCC sobre Categorias, Márcio. Serviu-me bem quando eu era bacharelando em Matemática na UFSC.

Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google.

Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.

Para ver esta conversa, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxV_zYD76Lk_Z5M4Bq5bksGnRguX%3DkVSexJ9V0F0PbccAw%40mail.gmail.com.

[Márcio Palmares]

Oi Júlio,

Muito obrigado pela pergunta e pela menção ao meu trabalho (aqui está a minha humanidade...). A propósito, naquele TCC sobre o Lema de Yoneda o que eu tentei fazer foi apresentar o lema que antecede o Lema de Yoneda como uma generalização brutal do teorema da recursão (que aparece na teoria dos conjuntos). Mas naquela época eu tinha apenas uma "sensação" de que esse caminho estava correto e seria promissor. Eu realmente não tinha feito as contas e verificado se daria certo. O Mayk Alves parece ter feito as contas num dos encontros recentes de teoria de categorias na USP... (Claro que eu pedi para o ChatGPT fazer as contas para mim e ele fez, e parece que a intuição estava correta. Mas eu não fui adiante para conferir). Atualmente, estou um pouco mais cético em relação à febre da "Yoneda Perspective", porque li em algum lugar o William Lawvere se retratando sobre o que ele escreveu em relação a essa ideia intuitiva de que a forma captura tudo, que a substância do objeto não importaria... Se isso fosse verdade, deveríamos jogar fora a disciplina dos espaços métricos e ficar só com a topologia geral.

Mas sobre a sua pergunta: acho que não sou capaz de responder...

Eu gosto e admiro o Russell como humanista, leio os livros dele sobre ciência, admiro o engajamento dele, o legado dele como pensador cético, mas acho que ele estava errado em quase tudo o que escreveu sobre filosofia da matemática... E ele deixou um prejuízo que entrou na matemática e na filosofia como uma forma exagerada de comparar matemática com linguagem...

Por acaso estou tentando defender uma dissertação sobre Leibniz no mestrado em filosofia aqui da UFPR... Sou apenas um filósofo amador e um licenciado em matemática amador... Mas não exerço nenhuma dessas profissões, sou funcionário público burocrático (como o Major Quaresma, mas sem a erudição dele), então para mim é fácil criticar o corporativismo dos matemáticos profissionais, porque não é o meu emprego que está ameaçado (por isso me retratei), embora, se a universidade cair, o meu emprego de funcionário burocrático cai junto...

Na minha dissertação estou analisando os infinitesimais do Leibniz e isso me obrigou a analisar a história do cálculo de forma mais pormenorizada do que é usual para nós matemáticos...

Por isso cheguei a essa visão de que há um corpo que é invariante: grande parte dos teoremas e quase toda a forma de aplicar essa disciplina à física. (Mas isso é uma conclusão incidental da minha pesquisa.)

Há um corpo de conhecimentos, que você pode exibir como uma coleção de teoremas, se quiser. Esses teoremas são praticamente os mesmos em qualquer uma das seis apresentações que eu mencionei (um ou outro não tem prova construtiva, mas é possível contornar isso). Quer você escolha Bishop, construtivo sem infinitésimos (até onde sei); Robinson, clássico com infinitésimos; Newton/Leibniz, clássicos com coisas esquisitas; Lawvere, topos-teórico, com infinitesimais nilpotentes, o cálculo diferencial e integral produz os mesmos resultados...

Isto é, se você escolher um problema específico de cálculo, sei lá, taxas de variação, volumes, áreas, comprimentos de arco, as seis versões darão o mesmo resultado.

Então, sou forçado a admitir que esse corpo de conhecimentos é independente da linguagem ou do framework em que ele é escrito. A conclusão contrária me diria que o conhecimento (neste caso, o cálculo) depende do framework, o que parece estranho...

Como explicar que Leibniz reaparece em Cartan? Justamente porque Leibniz se refere aos mesmos fenômenos (variação geométrica contínua) que podemos tratar em disciplinas modernas, com outra linguagem.

Euclides não muda embora eu possa escrevê-lo inteirinho na linguagem da geometria analítica contemporânea, usando um framework absurdamente pesado, com teoria dos conjuntos, sistema dos números reais, lógica clássica subjacente, coisas que para Euclides talvez parecessem linguagem alienígena. 

Agora, a parte difícil da sua pergunta: se ao fazermos matemática, o produto de nosso trabalho e sua apresentação se condensarem de algum modo, então não posso ver a mesma matemática em eras diferentes no tempo... Com essa concepção, evitaríamos teleologia, história whig, anacronismo... Sempre teríamos algo novo, melhor... Mas acho que perderíamos alguma coisa...

Enfim, não sei responder... Obrigado pela pergunta difícil!

Abraço!

M.

Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscribe@dimap.ufrn.br.

[Júlio Barczyszyn]

De fato, é uma pergunta difícil!

Faço mestrado na UFSC e investigo questões sobre equivalência teórica (no contexto da Lógica e da Física) e sua fala chamou minha atenção sobre esse assunto. Obrigado pela resposta atenciosa.

Se tiver mais referências sobre esse debate a respeito da "Yoneda Perspective", principalmente o que mencionou sobre o Lawvere, eu agradeceria.

Grande abraço,
Júlio

 

 

"Logic is the beginning of wisdom, 

not the end." ― Mr. Spock

[Márcio Palmares]

Esse lance da Yoneda Perspective foi uma febre que surgiu alguns anos atrás (eu também contraí, na época) a partir de um artigo curiosíssimo do Barry Mazur, chamado "When is one thing equal to some other thing?".

Ele começa falando sobre a igualdade... E vai generalizando gradativamente a ideia de igualdade, passado pela primeira generalização, que todos conhecemos, a ideia de isomorfismo, depois generalizando mais uma vez, na ideia de equivalência entre categorias, e a generalização final, acho que seria a adjunção entre funtores.

No meio disso tudo aparece algo como uma consagração do programa de dessubstancialização dos objetos matemáticos que era a base do estruturalismo contemporâneos, esse primeiro estruturalismo, que estaria presente já em Hilbert (troque pontos, retas e planos por mesa, cadeira e cerveja, se quiser, não importa; só o que importa é estrutura e relação. A substância ou natureza dos objetos é irrelevante para a matemática). Isso vira um grande avanço científico quando se consolida no método axiomático moderno. Por exemplo, posso abrir mão de dizer o que são, em sua natureza íntima, as funções seno e cosseno e dar cinco axiomas que caracterizam totalmente o seu comportamento, e isso basta para a matemática (o problema da substância é deslocado para o campo da filosofia). Essa descrição está feita pelo Richard Courant na Introdução do clássico "What is Mathematics". São passagens memoráveis porque ele escreve em 1941, antes do advento da teoria das categorias...

Bom, o Barry Mazur então afirma que a teoria de categorias, por meio do teorema de imersão lá que usa o funtor Yoneda, teria consagrado ou confirmado essa visão que no estruturalismo pré-categorial era uma declaração de intenções, uma declaração programática, não um resultado matemático.

Ou seja, para o Barry Mazur teria ocorrido, por meio do funtor Yoneda, uma espécie de captura por meios estritamente matemáticos da intuição filosófica que norteou o método axiomático moderno.

Podemos parafrasear a conclusão que chegamos usando o Lema de Yoneda e depois o Teorema de Imersão assim:

"Um objeto matemático A é isomorfo à rede de relações que ele estabelece com os demais objetos na categoria (universo de discurso) em que ele vive."

Ou seja, o objeto pode ser substituído pela sua rede de relações; logo, sua substância, natureza íntima, coisa em si, ontologia, etc., é irrelevante. Hilbert tinha razão. Use um copo de cerveja, dá no mesmo.

Isso se chama "Yoneda Perspective" e uma matemática muito perspicaz e talentosa chamada Tai-Danae Bradley expôs essa filosofia ou rudimentos de filosofia aparentemente originados com o Barry Mazur no blog dela, Mathema, e isso parece que causou a febre na época.

(Aliás, acho que lembrei agora que é nesse artigo do Barry Mazur que o livrinho do Tim Gowers, Mathematics: a very short inteoduction, é citado nesse contexto...)

Bem. Isso virou uma febre pois dá a impressão de que um ponto culminante em epistemologia da matemática foi atingido: "Agora posso dizer que os objetos não importam, só o que importa são as relações entre eles".

É a ilusão do ponto culminante, da perenidade.

Mas quando olhamos para trás, vemos uma sucessão desses picos culturais (Bronowski). Nenhum é definitivo. Então, temos que tomar vacina contra essas febres passageiras.

Veio o estruturalismo moderno, o categorial, agora tem a HoTT, amanhã ou depois aparece outra coisa... Nada é defjnitivo.

E o problema com essa Yoneda Perspective é que este isomorfismo entre o objeto e a rede de relações (o funtor hom em que ele se transforma) é um isomorfismo... categorial, isto é, preserva propriedades detectáveis no nível da estratosfera, com as lentes da teoria de categorias. Pode ser muito informativo para o olhar categorial (bird's eye view), mas não substitui de modo algum o estudo desse objeto no nível do solo. É errado dizer que ele não tem substância. Isso é uma ideologia, um misticismo nascente. Estamos pegando uma coisa bacana, legal, e transformando em ideologia...

É isso que o Lawvere denuncia acho que num artigo sobre o futuro da teoria de categorias, onde ele reflete não sobre lema de Yoneda, nada disso, mas sobre o que ele próprio havia dito acho que na introdução da tese dele de doutoramento, "Semântica Funtorial...". Ele diz que o estudo da substância dos objetos permanece absolutamente essencial. Acho que ele dá esse exemplo dos espaços métricos versus topologia geral (ou eu que inventei esse exemplo, não lembro).

Então é isso. Temos que cuidar com a ilusão do ponto culminante. 

Abraço,

M.

Para ver esta conversa, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxV_zYD76Lk_Z5M4Bq5bksGnRguX%3DkVSexJ9V0F0PbccAw%40mail.gmail.com.

[Júlio Barczyszyn]

Obrigado pelo relato!

Fiz meu TCC sobre Dualidade de Stone e passei um tempo apaixonado por teoremas de preresentação como de Cayley, Gelfand, etc. e foi assim que cheguei em Yoneda e no seu TCC (mas, como você deve saber, às vezes é difícil saber exatamente como e quando chegou em algo).

Na minha concepção, esses teoremas [de representação] ajudam a dar alguma objetividade na escolha dos axiomas das teorias matemáticas, pois [em contextos apropriados] afirmam que os axiomas escolhidos para uma teoria T são suficientes pra capturar nem muito nem pouco demais das estruturas que são modelo de T. E a teoria de categorias geberalizaria esse ponto de vista. Inclusive já dei alguns seminários sobre isso intitulado (mais ou menos) "de onde vem os axiomas das teorias matemáticas?".

De certo modo, eu sofro e sofri dessa influencia da Bradley e do Lema de Yoneda (talvez por sua culpa também?!), mas não interpretava as coisas da forma que você colocou, pois realmente fica bem mais forte metafisicamente. Eu via mais como ajudando metodologicamente o matemático com seus objetivos mais gerais (talvez não os EDPistas, rs).

Obrigado de novo.

Grande abraço,

Júlio

Para ver esta conversa, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxVsQejyrODLjEnMj-VgXnhNEPS4-HP-mkRqUAXo1p2SFQ%40mail.gmail.com.

[Júlio Barczyszyn]

Corrigindo, quando falei

Na minha concepção, esses teoremas [de representação] ajudam a dar alguma objetividade na escolha dos axiomas das teorias matemáticas, pois [em contextos apropriados] afirmam que os axiomas escolhidos para uma teoria T são suficientes pra capturar nem muito nem pouco demais das estruturas que são modelo de T. E a teoria de categorias geberalizaria esse ponto de vista. Inclusive já dei alguns seminários sobre isso intitulado (mais ou menos) "de onde vem os axiomas das teorias matemáticas?"

deveria ter dito

Na minha concepção, esses teoremas [de representação] ajudam a dar alguma objetividade na escolha dos axiomas das teorias matemáticas, pois [em contextos apropriados] afirmam que os axiomas escolhidos para uma teoria T são suficientes pra capturar nem muito além nem menos do que as estruturas pretendidas inicialmente, que seriam os modelos "concretos" de T (exemplo: grupos e permutações; álg. de Boole e álgebra potência; etc.). E a teoria de categorias generalizaria esse ponto de vista. Inclusive já dei alguns seminários sobre isso intitulado (mais ou menos) "de onde vem os axiomas das teorias matemáticas?".

[Márcio Palmares]

Que bacana, Júlio!

Valeu pela conversa!

Espero não ter colaborado com a difusão do misticismo nascente, e sim apenas com a parte bacana, hahaha...

Outro uso para esses resultados de imersão/representação é o transporte dos problemas de um universo em que você tem poucos recursos técnicos para outro em que mais recursos técnicos estão disponiveis. Por exemplo, ao transportar um objeto A de uma categoria meio chata de trabalhar para uma categoria de funtores, talvez essa categoria de funtores possa ser um topos ou uma categoria abeliana, algo assim, e aí você tem mais recursos para resolver o problema. Você resolve na categoria de funtores e depois traduz a resolução para a categoria intratável onde você estava antes e onde o problema começou... Mas isso eu só sei por teoria. Nunca me deparei com nenhum problema que realmente exigisse fazer isso (acho que aparecem num nível de matemática onde eu nunca cheguei).

O Teorema de Cayley para grupos é uma instância legal desse problema... Vários autores de livros básicos de teoria de grupos dizem:

--- Esse resultado aqui é muito bacana, mas é decepcionante, não serve para nada, não ajuda a resolver nenhum problema...

Sabemos graças ao Teorema de Cayley que todo grupo é isomorfo a um grupo de permutações. OK. E daí?

Depois de algum tempo cheguei à seguinte conclusão: esse resultado não nos dá informação positiva, ele só nos dá informação negativa:

Se você estiver lidando com um grupo feito de criaturas esquisitas, quando essas criaturas estiverem na estrutura de grupo, elas perderão seus atributos pessoais e serão apenas marcadores de posição (pois o que puder ser dito sobre elas na estrutura de grupo poderá ser dito do grupo isomorfo formado com letras sem significado).

Em outras palavras: uma vez que o seu objeto tenha sido abduzido pela estrutura de grupo, ele terá propriedades que pertencem a ele como membro da estrutura de grupo apenas (e não como membro do lugar de onde ele veio: ele pode continuar sendo um número, uma figura geométrica, uma função bijetora. Mas na estrutura de grupo ele é um mero marcador de posição).

Mas seria incorreto dizer que a natureza do objeto, sua substância, não existe. Claro que existe. Bata na sua cabeça com um número ou com uma figura geométrica pra você ver. A dor é diferente. 

Uma coisa parecida ocorre no misticismo que brota da Yoneda Perspective...

Mas já que falamos nisso tudo, eu acho que essa era que está se abrindo é muito favorável para a Matemática Conceitual (Lawvere) e para a Matemática Humanista (Reuben Hersh), pois cada vez mais será importante o esclarecimento, a contextualização, os exemplos, a explicação... Tudo aquilo que o Hardy parecia achar meio desprezível, lembrando o artigo do David Bessis.

Aliás, o Hardy saiu mais uma vez da tumba e fez outra aparição fantasmagórica aqui...

Bronowski foi aluno do Hardy, e no ensaio "The Creative Mind" que abre o "Ciência e Valores Humanos", Bronowski afirma que Hardy teria dito em sua autobiografia que se sentia feliz por suas teorias não servirem para nada, e que, exatamente por isso, não poderiam igualmente servir para matar pessoas (o contexto é o início da Segunda Guerra).

Bronowski critica essa tentativa de isenção. Afirma que todos os aspectos da atividade científica e artística estão relacionados e que mesmo a matemática pura está implicada, de um modo ou de outro, nos acontecimentos do presente (ele diz isso em Nagasaki, confrontando a destruição causada pela bomba atômica, e atribuindo a cada usuário ou criador da ciência não a culpa, mas uma implicação naquele acontecimento).

Estamos todos implicados no que vai acontecer daqui pra frente com a ciência, a partir do surgimento desse outro "eu" epistêmico, a inteligência artificial.

Abraços,

M.

Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscribe@dimap.ufrn.br.

[Márcio Palmares]

Vinícius de Moraes:

DIALÉTICA

É claro que a vida é boa

E a alegria, a única indizível emoção

É claro que te acho linda

E em ti bendigo o amor das coisas simples

É claro que te amo

E tenho tudo para ser feliz

Mas acontece que eu sou triste...

(Montevidéu, 1960)

Acho que talvez eu não tenha sido inteiramente justo com a Yoneda Perspective.

Uma vez mandei um e-mail para o William Lawvere, em 2017. Ele respondeu depois de uns três meses. Mas a resposta veio muito cuidadosa, atenciosa e bastante comprida. Era uma proposta de entrevista sobre epistemologia da matemática e teoria de categorias. Fiz 10 perguntas. Ele respondeu todas com bastante paciência.

Que coisa... Um gigante do pensamento científico olhando para baixo, para um anãozinho que estava jogando pedrinhas nele para chamar atenção... As pedrinhas não passavam da altura do tornozelo. Era o mais alto que eu conseguia atirar...

Mas a resposta é comovente pelo zelo. Um "undergraduate" perdido no cone sul da América Latina... Puxa vida... Quem se daria ao trabalho de responder?

Logo que o Danilo Lawvere criou a página com o memorial que agora está no ar eu enviei um e-mail para eles, dizendo que a entrevista não fora publicada em lugar algum e que estava disponível... Acho que ninguém esbarrou nessa mensagem.

Mas meses depois o Danilo escreveu pra mim: ele achou a entrevista no e-mail do pai dele, e disse que tanto ele como a mãe dele (Fatima, recentemente falecida) haviam gostado muito e que gostariam de publicar no memorial.

O que chama a atenção não são as perguntas, muitas delas são bastante ingênuas. Mas as respostas são muito profundas.

Numa das repostas, ele escreve:

"Temos que evitar a tentação das respostas fáceis."

Eu tinha perguntado se a teoria de categorias fornece instrumentos para uma epistemologia da matemática, como se a própria epistemológica da matemática fosse, então, uma disciplina técnica, objetiva, não especulativa. Perguntei porque em muito artigos antigos dele ele diz que a teoria de categorias é uma espécie de dialética do conhecimento.

Achei que ele iria se alongar neste ponto. Ele respondeu de forma cética. 

Aí está a marca da grandeza. A crueza dos fatos e das evidências, que se impõe muitas vezes sobre a nossa imaginação. Não significa, de modo algum, que ele tenha abandonado a orientação filosófica que o guiou ao longo da vida. Mas que as respostas não são fáceis. 

Então, eu descartei o Barry Mazur muito ligeiramente... As coisas não são assim tão simples.

Há de fato algo profundo naquele artigo, na Yoneda Perspective.

E também há algum exagero e uma tendência para a mistificação.

Mas extrair a parte filosófica profunda permanece necessário. 

Eu acho, apenas acho, que a parte profunda poderia nos levar a uma interpretação do que é a verdade.

Acho agora, lendo aqui o "The Habit of Truth" do Bronowski, que verdade talvez seja uma construção conceitual que permanece invariante sob experiências (que são também construções conceituais). 

Isso está meio ligado ao problema dessa Perspectiva Yoneda, na parte em que ela diz que o objeto é determinado pela totalidade de suas relações e não exatamente por sua substância.

Não precisamos descartar a existência da substância, mas não devemos recusar o ganho que esse insight do Barry Mazur nos dá.

Nem um extremo, nem outro. Não existem respostas fáceis. 

Abraços!

M.

Para ver esta conversa, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxVsQejyrODLjEnMj-VgXnhNEPS4-HP-mkRqUAXo1p2SFQ%40mail.gmail.com.

[Valeria de Paiva]

Alo Marcio,

Que legal saber que você escreveu esse email pro Bill e que ele respondeu!

Muito LEGAL mesmo! 10 perguntas é coisa à beça, não?

Você já devia ter colocado isso online pra gente ler,  

E aliás devia colocar em inglês e em português.

Os jovens doutorandos, mestrandos da USP e outros lugares criaram um site novo e

https://categorias-brasil.github.io/

onde tem uma seção pra acervos.

eles tambem ja' tinham um outro site que eu tb nao sabia

https://cat.ime.usp.br/p%C3%A1gina-inicial

Eu fiquei sabendo desse site na semana passada em Juiz de Fora no 3o encontro brasileiro de Teoria de Categorias e estava esperando os organizadores se manifestarem aqui na lista.

Afinal e' um esforco danado deles de organizarem essas coisas tao legais e elas precisam ser divulgadas da maneira que eles acharem melhor. Mas enfim coloque por favor em algum lugar que a gente possa ler e mande o link.

abracos,

Valeria

ps: sim, nao vou falar nada de IA. estou tentando pensar.

Para ver esta conversa, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAA_hCxUy1KBzWV9eVVXv701qL8e%3D25pXAyd59WjW1TzairAPqw%40mail.gmail.com.

[Eduardo Ochs]

Oi Márcio!

> Eu tinha perguntado se a teoria de categorias fornece instrumentos
> para uma epistemologia da matemática, como se a própria
> epistemológica da matemática fosse, então, uma disciplina técnica,
> objetiva, não especulativa. Perguntei porque em muito artigos
> antigos dele ele diz que a teoria de categorias é uma espécie de
> dialética do conhecimento.

Acho que a apresentação que eu fiz no EBTC agora em 27/maio/2026 tem
um slide que vai te interessar, que é o do elefante... links:

  https://anggtwu.net/LATEX/2026what-is-yoneda.pdf#page=9
  https://www.youtube.com/live/o27HRiEaKSY?si=bFcDO1XjN0R-EvYG&t=31485
  https://anggtwu.net/math-b.html#2026-ebtc

Eu acabei mudando os meus planos e fazendo a apresentação
principalmente sobre uma técnica que eu tinha descoberto poucos dias
antes... então a apresentação foi meio bagunçada, e aí agora eu tou
testando essa técnica em partes do Categories for the Working
Mathematician do Mac Lane que eu nunca tinha entendido antes. Mas a
idéia básica é simples: que tal ao invés da gente pensar "o que é o
Lema de Yoneda?" a gente tentar pensar em termos de "o que é o Lema de
Yoneda PRA MIM?" - e acho que essa pergunta vai fazer sentido pra todo
mundo que já tentou "entender" o Lema de Yoneda de vários jeitos
diferentes e viu que alguns jeitos funcionam melhor do que os
outros...

  [[]],
   Eduardo...


P.S.: eu também quero ler a sua entrevista com o Lawvere!!! =)

Para ver esta conversa, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAESt%3DXtCQaurtJh3qcPX9r_P28RLPRYGs_7kVh3rhWZiKdQixA%40mail.gmail.com.

[Márcio Palmares]

Oi Valéria, oi Eduardo!

Muito obrigado por mostrarem interesse na entrevista...

O Danilo Lawvere me disse que assim que puder, vai trabalhar na edição do texto (inserir referências para as obras citadas, corrigir uma ou outra imprecisão).

Mas talvez ele demore um pouco agora, porque já estava assoberbado de trabalho e mãe dele, Fatima Fenaroli, faleceu há poucas semanas... Ele ficou sozinho com a tarefa de administrar a página, presumo:

https://lawverearchives.com/

Em 2017 eu era bem mais ignorante do que sou hoje, então, peço alguma condescendência.

Preciso apenas dizer algumas palavras como preâmbulo, para que as perguntas tenham sentido.

1. Lógica

A teoria de categorias tem uma relação muito sofisticada com a lógica... Fiz uma pergunta sobre essa relação, mas, surpreendentemente, o Lawvere desviou dela e disse que gostaria de ter tido a oportunidade de estudar mais o Aristóteles...

Qual o problema aqui e por que ele desviou do assunto?

Minha opinião: Goldblatt.

Goldblatt é um escritor e expositor muito talentoso. Ele escreveu uma obra chamada Topoi: A Categorial Analysis of Logic.

Neste livro, na opinião de Lawvere, aconteceu uma séria distorção do que seria de fato a topos theory. Essa distorção poderia levar um leitor desprevenido a não pegar o ponto, a se desviar do alvo, a sair com uma visão errada do que é a topos theory e de quais são as relações entre lógica e teoria de categorias.

Parte das reações do Lawvere a esse livro estão nos e-mails que ele enviou para a lista de categorias (análoga dessa nossa lista de lógica, mas de âmbito internacional e que está no ar desde o final da década de 1990).

Uma forma meio grosseira de tentar expor o nó é dizer, como o Peter Freyd, que "teoria de categorias é teoria de funtores". Ou seja, precisamos de funtores para trabalhar. Onde não existem funtores e transformações naturais, não existe teoria de categorias. O objeto básico são os funtores. As relações visadas são as transformações naturais, que são relações entre funtores.

Um funtor é um processo de interpretação, que transporta problemas de uma área para outra. Uma transformação natural é algo como um dicionário que me permite relacionar processos de interpretação. 

Teoria de categorias é uma disciplina que estuda um tipo especial de relação entre processos de interpretação, relações que nos parecem naturais ou canônicas...

Se você escreve um livro sobre teoria de categorias onde os processos de interpretação e as traduções entre eles não são o objeto fundamental do estudo, então você não está fazendo teoria de categorias.

Então, Lawvere e seus seguidores mais próximos opinavam que o livro do Goldblatt é na verdade lógica e teoria de modelos clássicas com roupagem categorial, vocabulário categorial. A propósito, os funtores só aparecem na segunda metade do livro.

Só que essa abordagem do Goldblatt fez um enorme sucesso, pois de fato o livro é muito bem escrito. Por exemplo, ela influencia claramente o Peter Smith, cujo livro introdutório de teoria de categorias também só apresenta os funtores no final.

Perde-se algo com essa distorção. 

Outra coisa: a teoria dos topos originalmente surge em estudos sobre física: "da física para a física", diz o Lawvere num ensaio sobre a origem da teoria dos topos. Ela não é a análise da lógica...

Mas a parte realmente técnica da crítica ao Goldblatt ficou a cargo do Philip J. Scott, coautor ao lado do Joachim Lambek daquele livro clássico "Introduction to Higher Order Categorical Logic". Este Philip Scott escreveu uma resenha do livro do Goldblatt apontando exatamente onde o enfoque enviesado leva a problemas. É uma resenha bem técnica.

Mas, então, afinal, onde entra a lógica?

Isto era o que eu gostaria que o Lawvere respondesse, mas ele evitou entrar no assunto.

Me parece que ele se sentia bastante incomodado com as confusões que existem sobre essa questão no senso comum...

Eu tenho uma opinião, que eu achei no Francisco Miró Quesada. Ele achava que a teoria dos topos, ao mostrar que em cada universo aparece uma lógica diferente ---isto é, clássica quando o topos é booleano; não clássica caso contrário (em geral multivalorada, sem terceiro excluído)--- teria confirmado a intuição de Hegel de que a lógica é conteúdo-dependente. Ao meu ver, confirma a opinião de Brouwer segundo a qual a matemática não depende da lógica; a lógica é que depende da matemática.

Miró Quesada opinava que a topos theory teria inaugurado uma grande revolução no âmbito da lógica e da filosofia da matemática. Ela nos levaria, por exemplo, a abandonar a ideia de "lógica subjacente". Isso estaria meio inadequado. O que realmente existe é matemática subjacente com lógicas adaptadas ao conteúdo, mas jamais uma lógica pairando acima dos conteúdos.

(O Miró Quesada diz tudo isso num artigo que saiu numa revista onde o Lawvere também publicou um artigo... Então, ele conhecia a discussão, mas não quis entrar nela...)

2. Teoria do Conhecimento 

Filosofia da Matemática não é Matemática. História da Matemática não é Matemática. Crítica literária não é literatura. 

Haveria alguma chance de epistemologia da matemática ser uma disciplina matemática e não apenas filosófica?

A ideia não é minha, é do próprio Lawvere e ele escreveu sobre isso várias vezes em diferentes momentos de sua vida.

O ponto alto dessas investigações parece ter ocorrido num momento em que havia um grupo de trabalho coordenado no Canadá por John Macnamara, mas ele faleceu em 1996, pouco depois de os primeiros frutos terem sido publicados... Aqui Lawvere mostra o quanto ele apreciava esse trabalho interdisciplinar e o quanto acreditava no trabalho em equipe. Na entrevista ele apenas diz: "me dediquei durante algum tempo sobre isso". Acho que sem o Macnamara ele desistiu de continuar.

3. A Matemática Conceitual

O livro "Conceptual Mathematics" é o registro de um experimento didático e também é o lançamento de um programa: ele contém um esboço de uma filosofia da matemática e o ensino é o laboratório. Várias perguntas giram em torno desse livro.

Bem, era isso.

Aí vão as perguntas e as respostas (desculpem o meu inglês do Google Tradutor):

-×-×-×-

--

 

Interview with F. William Lawvere. Conceptual Mathematics: Theory of Knowledge and Category Theory

 

1. There seems to be a fundamental idea underlying the structure of the book "Conceptual Mathematics": revealing or exploring the connection between teaching (in particular, teaching at a fundamental level or at the most elementary level possible) and the development of knowledge and scientific research...

What are, in general lines, the epistemological or philosophical ideas that guided the realization of this project?

 

LAWVERE:  My late friend and collaborator Stephen Schanuel shared with me a belief that in the modern world, there needs to be a broader and deeper knowledge of mathematics. Both clarifications and mystifications are often accompanied by a mathematical background, but only with some knowledge of mathematics can someone begin to distinguish between the two. Our passion for teaching became known and a representative of a publishing company invited us to write a book on ‘Discrete Mathematics’. Steve replied ‘No, we will explain methods that apply to both, continuous and discrete mathematics’.

Important for us was the realization that new scientific developments are often responses to questions of students.

 

2. In what circumstances were the sessions (the classes) held? The classes took place in what year? For how long? In which school or institution? How were  students selected?

 

Lawvere: THE STATE UNIVERSITY OF NEW YORK at Buffalo agreed to the unusual arrangement whereby two professors collaborated in teaching one course. The course was designed as a beginners’ course for second year undergraduates. The students were nurses, physicists, engineers, and psychologists, et cetera (who had no idea what they were getting into when they chose this course). My wife Fatima and my son Danilo also participated in it and contributed to the discussion, parts of which are recorded in the book. My former student Emilio Faro took accurate notes that became part of the basis for the book. My collaborator and I did not always discuss what we were going to say in the next lecture before delivering it, so there were some surprises, for example when Steve devised the intuitive account of Brower’s fixed point theorem and immediately presented it in his lecture. 

The first publication of the record of the course was published by our own Buffalo Workshop Press in 1991, and an Italian translation, and improvement based on 

Aurelio Carboni’s Milano elaboration, was published by Franco Muzzio in 1994.

 

3. The examples that appear in the book are very impressive, because they revalue how mathematical thinking materializes, that is, how mathematical thinking interprets real-world events. In particular, we would like to know how the ideas present in the example of lunch in the Chinese restaurant appeared: did a restaurant really exist or did it not exist? And the example of the museum director? How did these amazing ideas happen to you?

 

LAWVERE: We were coming up the stairs to go to the class and at the landing I said to my wife ‘I have nothing to say’. But then I thought of the Chinese Restaurant, where we used to go after the seminars in New York City, and of the mathematical use of stacks and fibers of maps to represent families. From these thoughts I produced the lecture for the day. (I later learned that this particular style of Chinese Restaurant is well known.)

The example of the Museum director was encouraged by the late John Macnamara, a psychologist whose later work explicitly took up the application of category theory. 

(I published some papers in books dedicated to him.)

 

4. What part did each author have in the preparation of the book and in the execution of the classes? Or rather: what was the role of your friend Stephen Schanuel in this venture?

 LAWVERE: The preparation of the book: I wrote a draft of a small part, Steve put in his ideas; Steve wrote a part, I put in my ideas. Fatima corrected and simplified. In the end you cannot always tell which parts where written by whom.

 

5. One aspect of this work that has gradually awakened the attention of philosophers is the connection with certain ideas of Hegel, such as the relation between the "subjective" and the "objective." What studies or what problems of science have led you to discover in these ideas a guide for the construction of research instruments?

 

LAWVERE: All problems of science that I have had the strength to study seem to lead me to these ideas. The works of Marx and Lenin made unique contributions to the on-going development of dialectical materialism. I still need to study more the work of Hegel, as well as its clarification by Lenin. Looking back I realize that I often worked in a dialectical manner, but the specific mathematical connection with ‘Aufhebung’ et cetera in the lattice of subtoposes of a topos came later. 

Probably the Mathematician most interesting as a self-confessed dialectician is Hermann Grassmann, whom I began to analyze in the book by Gerd Schubring, published by the late Robert S. Cohen, recording a meeting on Insel Ruegen, in Germany in honor of the 150th anniversary of the work of Grassmann.

 

6. Does category theory provide any new light for the interpretation of non-classical logics in the context of the theory of knowledge? Should the connstruction of a theory of knowledge necessarily be based on non-classical logics?

 

LAWVERE: I am not sure what you mean by non-classical logic. I would very much like to learn more of Aristotle’s logic, wherein some scholars claim that already both Heyting and co-Heyting logic are considered, with Boolean logic being offered as a first level of study. The modern interpretation, made more explicit with the help of category theory, is that there is an important contrast between variable and constant, between cohesive and discrete. Of course, these aspects were long known, but we can now create more precise models of them, bringing new light.

 

7. There is an emphasis in the book "Conceptual Mathematics" in the construction of small subjective categories, which, once dominated, become operative as research instruments of the larger objective categories. How can this notion be generalized?

LAWVERE: One relevant tool is the notion of natural transformation, specifically between functors that naturally arise in the investigation. An important case of this is called ‘algebraic structure’ in my thesis which can be read in TAC Reprints, a part of the on-line journal ‘Theory and Application of Categories’. The concept had been explicit earlier in the special case of ‘cohomology operations’.

 

8. Session 6 of the book seems to contain the practically finished program of a theory of knowledge, in particular a theory of logical-mathematical knowledge. In what way, in your opinion, does Category Theory relate to General Theory of Knowledge? Is the Category Theory the Knowledge Theory itself of our time?

 

LAWVERE: These questions should be the focus of ongoing research, avoiding the temptation of facile answers. I have been thinking of these matters for some years but still the program is not nearly finished, needing contributions from other researchers.

 

9. In your opinion, should there be a reformulation of the curriculum of the higher courses of mathematics putting the theory of categories as a compulsory subject? Should it be taught before or after traditional courses in abstract algebra?

 

LAWVERE: This problem requires serious consideration. Abstract algebra and general topology can be seen to arise naturally in the dialectic of category theory, (see Appendix 1 of Conceptual Mathematics) and many find that such an ordering is congenial and effective.

It is difficult to make such a program ‘compulsory’, because many mathematicians believe that the way they first learned functional analysis, algebraic geometry, set theory, or logic, is the only way.

According to the late Pierre Gabriel, a mathematician from whom I learned much, it was the specialists in various branches of abstract algebra that most eagerly took up the categorical method. In my case, it was the 1959 actual working out of some results in the study of functional analysis that called for the more explicit use of categories (which I had seen before, but dismissed as too abstract).

10. What advice would you give to young math students who have just come into contact with the Theory of Categories?

 

LAWVERE:  They should peruse such works as my thesis, Mac Lane and Moerdijk’s book on sheaves in geometry and logic, 

Anders Kock’s book on Synthetic Differential Geometry, 

Adamek, Rosicky, and Vitale on Algebra, et cetera,

in order to determine which of these works they would like to first study more systematically.

 

11. What projects are you currently working on?

 

LAWVERE:  The consolidation of my several works on proof theory, which are still not properly integrated by theoretical computer scientists; the further refinement of my unified theory of finite and infinite-dimensional smooth dynamical systems, including a new realization of Newton’s definition of force as used in principle by mechanical engineers.

The End.

-x-x-x-

[Valeria de Paiva]

Super obrigada, Marcio!

Os temas são super atuais, parabéns pela ideia brilhante de fazer essas perguntas!

Valeria

[Márcio Palmares]

Obrigado, Valéria! :-)

Bem, agora sabemos que pelo menos duas daquelas aulas geniais foram improvisadas... Foi como o Miles David entrando no estúdio praticamente sem nada e saindo de lá com o Kind of Blue.

Quando eu perguntei sobre o ensino estava com aquele problema do Feynman em mente: explicar algo muito complexo para um principiante como um teste para sabermos se realmente entendemos a coisa. E também tinha em mente a relação muitas vezes produtiva entre pesquisa e ensino.

Este livro, "Conceptual Mathematics", costuma ser meio desprezado. Por exemplo, o Peter Smith se queixa da longa discussão que aparece em dado momento sobre provar uma afirmação usando a contrapositiva. É tediosa para ele. Outras pessoas se queixam da profusão de exemplos: supermercados (esse eu ainda não entendi); restaurante chinês (fibras que particionam o domínio?); clãs Urso e Lobo (genealogia como pré-ordem?); diretor do museu e a criança que nomeia todos os cães com "au-au" (fatoração de idempotentes), etc.

Esses exemplos cansam o especialista, mas são conteúdo que segura as formas. Do contrário, se tais formas fossem apresentadas sem conteúdo, não seriam compreendidas.

Forma e conteúdo são conceitos relativos. Uma forma abstraída de um conteúdo em determinado nível se transforma ela mesma em conteúdo num nível superior. O matemático profissional transita com naturalidade por esses níveis de abstração: a estrutura de grupo, uma forma, pode ser abstraída do estudo de conteúdos (composição de simetrias de figuras geométricas, por exemplo); essa forma, a estrutura de grupo, será depois ela mesma um objeto, um conteúdo, em categorias de grupos...

Mas a pessoa que está aprendendo não pode fazer isso. Pois nem conteúdo e nem forma existem para ele.

O pecado original da matemática, que a transforma de "arte do inteligível" em "arte do ininteligível" na esfera do ensino, justamente o meio por onde ela penetra na cultura, está nessa violação do processo de aprendizado, que requer conteúdo primeiro, forma depois.

Voltando ao Lema de Yoneda. Não há barulho algum sobre isso nem no Conceptual Mathematics, nem no The Joy of Cats (Adamek e outros), nem no Category Theory for Computing Science (Barr/Wells).

Aliás, no The Joy of Cats o lema de Yoneda e o teorema de imersão são enunciados e demonstrados em meia página, sem qualquer comentário. Isso é um antídoto contra mistificação, embora possa dificultar para um iniciante...

Encontrei meu próprio meio de entender isso, dialogando agora com o Eduardo, que também desenvolveu um processo para entender a coisa e usá-la.

Eu vejo assim:

Novamente lembrando do Peter Freyd:

Você pode definir a topologia como o estudo de certos conjuntos que satisfazem certas condições para uniões e intersecções (definição de espaços topológicos). Mas quem faz isso presta um desserviço para a topologia. Ela é o estudo das funções contínuas.

Analogamente, álgebra linear não é o estudo de espaços vetoriais. Espaços vetoriais são apenas um palco. Os verdadeiros atores são as transformações lineares. Algebra linear é o estudo das transformações lineares. 

Teoria de categorias não é o estudo de categorias. Categorias são apenas o palco. Os verdadeiros atores são os funtores e as relações entre eles. Teoria de categorias é, na verdade, a teoria dos funtores.

Na álgebra linear podemos construir espaços vetoriais formados com transformações lineares, aí sim a coisa começa a ficar bacana.

Em teoria dos funtores, fabricamos espaços (categorias) de funtores. E é aqui que a brincadeira começa.

Para isso, precisamos converter todas as coisas que encontramos em nosso caminho em ouro, como Midas. Precisamos tocar num objeto matemático e transformá-lo num funtor. Por exemplo, uma função f de A em A ( f: A --> A), um dos objetos matemáticos mais simples que existe, pode ser visto como um funtor (identificado com a imagem de um funtor). A saber: uma função f : A --> A é uma interpretação do grafo que contém um único vértice e um laço na categoria dos conjuntos e funções.

Então, precisamos de uma coisa que converta criaturas familiares em funtores. Essa coisa, o toque de Midas, é o funtor Yoneda. Ele transforma coisas em funtores. Depois disso formamos um espaço (uma categoria) onde esses objetos transformados posssam viver: uma categoria de funtores. E aí a diversão começa. 

Como?

Acontece que entre os funtores surgem relações que nos parecem naturais, canônicas, são fáceis de produzir/identificar. Como o funtor Yoneda é um caminho de ida e volta, um objeto A transformado em funtor exibirá uma relação meio trivial, natural, canônica, com um objeto B convertido em funtor. Mas quando eu volto para o lugar de onde esses objetos vieram, a transformação natural vira um morfismo não trivial entre eles que era desconhecido.

Então, o lema de Yoneda serve para extrairmos informação relevante, desconhecida, de objetos num nível dado, onde o problema existe, ao transportá-los para uma categoria de funtores onde a informação saltará aos olhos. 

Neste sentido, o lema de Yoneda e o funtor Yoneda são (deveriam ser) a porta de entrada da teoria de categorias, pois é onde ela verdadeiramente começa. 

(De fado, no livro do Francis Borceux, Handbook of Categorical Algebra, volume 1, o lema de Yoneda é apresentado na página 11, é o primeiro resultado apresentado, além das definições básicas).

Bem. Pra quê tudo isso?

Eu acho que a matemática secreta do David Bessis, a matemática conceitual do Lawvere, a matemática humanista do Reubem Hersh, entrarão forçosamente em cena agora. Não mais por opção, gosto. Agora é por necessidade. Pois a matemática voltada para a produção de resultados foi mecanizada.

Os últimos serão os primeiros...

Abraços!

M.

Quando uma pessoa comum improvisa uma aula ne

[Márcio Palmares]

Miles Davis, pela mor de deus...

(Parei de revisar meus textos antes de enviar pois agora os errinhos são marcas de humanidade...)

M.

[Márcio Palmares]

Para quem tiver interesse em seguir as concepções que o Lawvere tinha sobre 'dialética do conhecimento' (*) (digamos assim), isto é, como ele entendia esse processo entre a mente, o pensamento e os mundos interior e exterior, e como a teoria de categorias forneceria os instrumentos para a nossa compreensão desse processo,

há essa série aqui de três palestras:

Category Theory and the Foundation

of Mathematics

https://lawverearchives.com/wp-content/uploads/2025/07/1989.cambridgetalks.pdf

de 1989, publicação póstuma. Nessas palestras estão as pedras preciosas...

Destaquei 'dialética do conhecimento' porque curiosamente é o título de uma obra em dois volumes do Caio Prado Júnior, já bastante antiga e esquecida.

Caio Prado Júnior é singular, pois, embora fosse um comunista de carteirinha, não tinha nada em comum com a subserviência ideológica aos aparatos dos partidos comunistas stalinizados, isto é, era um pensador independente de fato. Ele se dedicou em particular a combater a ideia de que o conhecimento fosse um 'reflexo' da realidade. Essa visão distorcida, pobre, era uma espécie de dogma patrocinado pela burocracia stalinista: quanto menos profundo fosse o pensamento filosófico sob Stalin, melhor, os privilégios e a ditadura de Stalin estariam em segurança.

Lawvere tem também essa qualidade... Seu pensamento matemática é tão elevado que nenhuma camisa de força ideológica consegue prendê-lo.

Ele é um marxista, mas não do tipo que o stalinismo produziu. A rigor, o stalinismo é uma deturpação global do marxismo. Uma deturpação que derrubou muitas mentes brilhantes, como Bernal, que aderiu ao lisenkoísmo por fidelidade partidária...

Em Marx não há uma teoria do conhecimento acabada.

Existem rudimentos dela espalhados por suas obras.

Lawvere conhecia, por exemplo, o capítulo sobre "O Método da Economia Política" que aparece na "Contribuição à Crítica da Economia Política".

Eu reconheci essas ideias no Matemática Conceitual, antes de saber que o Lawvere tinha essa particular inclinação filosófica...

Conversando com o Danilo alguns meses atrás, ele me mostrou um artigo do Lawvere onde ele explicitamente se refere ao método da economia política!

A ideia é a seguinte: contra o materialismo vulgar, Marx afirma que o real é o que resulta de uma construção conceitual de nosso pensamento! Ele chama de "concreto" não a primeira impressão que temos de uma categoria econômica, mas o resultado de um processo de construção. Isso está em contradição com a ideia de conhecimento com reflexo puro de uma realidade externa a nós. Sem dúvida essa realidade externa está lá, independente de nós. Mas o que conhecemos dela é uma construção nossa. Caio Prado Júnior defendeu essa concepção até o fim, e perdeu muitos pontos com seus companheiros de partido que defendiam o dogma stalinista (a teoria do reflexo).

Lawvere neste sentido se parece muito com Newton da Costa.

Ambos conheciam Hegel, Marx, foram de certo modo marxistas no o sentido filosófico, mas nunca se deixaram prender por ideologias partidárias. Ciência em primeiro lugar.

Abraços,

[Márcio Palmares]

A calmaria que precede a tempestade...

É difícil dormir em meio a uma revolução... Há uma angústia... Parece que algo vai explodir a qualquer momento...

Eu sigo um cara no Facebook chamado Alexander Kruel. Ele está por dentro de tudo o que acontece no arXiv e divulga sempre muito rápido as notícias mais relevantes...

Dessa vez ele identificou que um tal Giorgio Parisi, Nobel de Física de 2021, encontrou uma prova analítica para um resultado interagindo com o Claude (curioso isso, pois o ChatGPT 5.x Pro é mais caro porém seria muito mais forte em matemática).

A colaboração homem-máquina é declarada pelos autores de forma lacônica no abstract:

"The proof was obtained through interaction with Claude (Sonnet 4.6 and Opus 4.7) and verified by us."

https://arxiv.org/abs/2606.03300

Nenhuma hesitação ou surpresa ou deferência ao espelho de silício, nada. A era do transcognitivismo chegou. Fato consumado.

Há um outro sujeito epistêmico, além do homem, sentado à mesa conosco.

O homem deixou de ser o único Criador. Agora ele tem um parceiro cognitivo.

Bom sábado de insônia pra todos...

[Márcio Palmares]

Pessoal, esqueci de dar referências...

Sobre a relação sofisticada da lógica com a teoria de categorias (em particular a topos theory), eu tendo a acreditar que o Miró Quesada estava certo.

Bem. Ele era um humanista e hegeliano no bom sentido. Talvez estivesse vendo o que queria ver no Lawvere, que também era hegeliano no bom sentido. Mas eu não acho isso. A mesma visão aparece também no William Hatcher (The Foundations of Mathematics).

Vejam:

In Miró Quesada’s article entitled, ‘Logic, mathematics, ontology’ (1997), which was published well into his seventies, he concludes, among other things, that logic can be “content-dependent”, which means that we can no longer consider it “ontologically (or objectually)

aseptic” [24, p. 27]. Seven years later, already in his eighties, he published an article entitled, ‘Does metaphysics need a non-classical logic?’, where, after showing examples of application much in the way he does in these fragments, he concludes by answering: “Yes, it does!” [25, p. 37]. In these articles, especially in the first, the arguments presented by Miró Quesada in

this reply to da Costa find their most accomplished form. (*)

Essa pergunta que o Miró Quesada faz sobre se a metafísica requer uma lógica não-clássica era o que eu estava perguntando ao Lawvere, mas troquei metafísica por teoria do conhecimento...

(*) Essa é a nota de rodapé 26 desse artigo aqui:

https://www.sa-logic.org/sajl-v6-i2/03-daCosta.pdf

(The Philosophy of Logic of Francisco Miró Quesada Cantuarias. Autor: Newton Carneiro Affonso da Costa.

Annotated and translated by José Carlos Cifuentes and Luis Felipe Bartolo Alegre)

O texto mais denso do Miró Quesada, de 1997, aparece no livro "Philosophy of Mathematics Today", volume 22 da Série Episteme, Springer Organizador: Evandro Agazzi. Neste mesmo livro há um artigo importante do Lawvere.

Abraços!

M.