Matemática e IA. Carl Sagan

[Márcio Palmares]

Olá, pessoal!

Parece que as escavadeiras encontraram mais coisas até então inacessíveis ao nosso trabalho manual com pás e picaretas... (Isso não significa, obrigatoriamente, que um matemático suficientemente talentoso e imaginativo não pudesse obter tais resultados sem usar escavadeiras. Mas parece fora de dúvida que o uso de escavadeiras pode acelerar bastante a obtenção de contraexemplos, ao menos em áreas onde há certa prevalência de métodos meio combinatórios... Em todo caso, estou fazendo a comparação com escavadeiras para ressaltar que, até o momento, as evidências mostram uma revolução por mecanização, isto é, aceleração brutal do trabalho que, em princípio, poderíamos fazer sem as máquinas. Até o momento, não parece tratar-se de uma revolução de tipo "mudança de paradigma").

Não sei quem é Jared Duker Litchtman, mas ele disse ontem, no X (parece que o resultado foi obtido durante a final da Copa do Mundo):

"This is quite a remarkable result:

Posed in 1939, the Jacobian conjecture is one of the central open problems in algebraic geometry, but was just disproved by Alpoge, Matthew, and Claude Fable 5.

The Jacobian conjecture roughly says that a multivariable polynomial F has an inverse function (made out of polynomials) provided the Jacobian is non-singular (i.e. matrix of partial derivatives has non-zero determinant). This condition is neccessary by the Inverse Function Theorem from multivariable calculus. The hard question is whether it is also sufficient.

Evidently, Fable found that

F(x,y,z) = ((1+xy)^3 z + y^2 (1+xy) (4+3xy), y + 3 x (1+xy)^2  z + 3 x y^2 (4+3xy), 2 x - 3 x^2 y - x^3 z)

has det(J_F) = -2 non-zero. However F is not invertible, since F sends three different pts (0, 0, -1/4), (1, -3/2, 13/2), and (-1, 3/2, 13/2) to the same image (-1/4, 0, 0).

Beyond the disproof itself, it would be value to know if a suitably refined conjecture is recoverable. Per @Acer, GPT5.6 has proposed:

"A constant-Jacobian polynomial local biholomorphism with no loss of sheets at infinity—e.g. a proper Keller map—is an automorphism."

I would be interested to know if any algebraists (e.g. @levent @littmath) have a reaction to this...

A further twist to the story: 

Not only was the Jacobian conjecture one of the central open problems in algebraic geometry, it was (a special case of) Yitang Zhang's PhD problem!

The catch was that Zhang's advisor had him solve it, assuming a lemma of his advisor. But that lemma turned out to be false! As a result, Zhang's thesis crumbled and he then struggled to get recommendation letters and a permanent academic position. Despite all this, Zhang went on to prove bounded gaps between primes!

This is one of the most inspiring stories in modern mathematics, and was a motivation for me to work in the same area for my doctorate."

Mais uma evidência de que criamos máquinas que produzem conhecimento. Mesmo que seja um tipo de escavação, é um conhecimento (supondo que não se trate de algum mal entendido).

Agora, a questão verdadeiramente interessante.

Há um par de capítulos no "Pálido Ponto Azul" (1994), "As grandes humilhações" seguido de "Um universo que não foi feito para nós", em que Sagan descreve o processo de queda do homem, metaforicamente falando: sua expulsão do paraíso, a perda de sua centralidade. De uma criatura feita à imagem e semelhança de Deus, convivendo com Deus no paraíso, para um ser vivo entre os demais, perdido num canto remoto de uma galáxia comum, vagando sem destino em um universo essencialmente vazio, escuro, frio e indiferente ou diretamente hostil à vida.

Se encontrássemos vida extraterrestre, a centralidade humana, nosso antropocentrismo, sofreria mais uma dentre a série implacável de humilhações.

E então Sagan prevê com grande exatidão o ponto em que estamos agora (p. 42-43, Companhia das Letras, tradução de Rosaura Eichenberg):

"E o que dizer da questão correlata de sermos capazes de criar inteligências mais sagazes que a nossa? Os computadores realizam rotineiramente operações matemáticas que nenhum der humano poderia fazer sem ajuda, superam campeões mundiais de damas e xadrez, falam e entendem inglês e outras línguas, escrevem contos e composições musicais razoáveis, aprendem com seus erros, e pilotam navios, aviões e naves espaciais. Sua capacitação aumenta continuamente. Estão ficando menores, mais rápidos e baratos. A cada ano, a maré do progresso científico avança um pouco sobre a ilha da singularidade intelectual do ser humano com seus náufragos em posição de batalha. Se nessa fase primitiva de nossa evolução tecnológica conseguimos criar inteligência com silício e metal, o que não faremos nas próximas décadas e séculos? O que acontece quando máquinas inteligentes fabricam máquinas mais inteligentes?".

Que imagens!

Náufragos em disposição de batalha... Matemáticos e programadores, na ceia de Natal com a família, vendo seus sobrinhos de 12 anos exibindo programas feitos com IA, algo que antes era exclusividade do tio programador, que ocupava o posto de inteligência singular da família... O professor de matemática que vê uma máquina sendo capaz de dar a seus alunos explicações melhores do que as que ele possui... Essas duas criaturas humilhadas representam todos nós, mas esse processo de humilhação é necessário, pois corresponde à perda de nosso egocentrismo radical, não somos o centro do universo.

A imagem da ilha da exclusividade humana sendo tomada pela maré do progresso científico é a imagem dual de uma célebre sentença de não lembro quem, citada por Sagan na abertura do Cosmos, em que se diz que avançamos lentamente contra um mar de ignorância reivindicando a cada geração um pouquinho mais de terra firme.

Abraços,

M.

[Márcio Palmares]

A analogia com a escavadeira é péssima, por duas razões: subtrai muito da capacidade efetiva desses modelos mais avançados, e a palavra "escavação" carrega implícita um tipo de realismo/platonismo: o conhecimento já estava lá, precisava apenas ser escavado. Isso, no meu modo de entender matemática, é falso.

A máquina funciona, a rigor, como uma extensão da inteligência do homem, quase como uma prótese cerebral que amplifica o poder mental do homem.

E o que a máquina encontra e que é novo foi criado pela colaboração homem-máquina. É uma criação. Proveniente de cognição híbrida. 

No entanto, até o momento, os progressos que vimos são do tipo revolução por "mecanização", revolução industrial... Mais quantidade do que qualidade. Não houve ainda um salto que mude o nosso modo de pensar em matemática... Ainda. Nada impede que aconteça amanhã ou depois.

Acho que o Carl Sagan está certíssimo na maneira dele de ver as coisas...

M.