"Funções são conjuntos"
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Joao Marcos
Jan 24, 2024, 3:08:24 PMJan 24
to Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
O que vocês pensam desta asserção? Podem registrar suas opiniões aqui:
JM
Joao Marcos
Jan 28, 2024, 5:48:35 AMJan 28
to Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
E o vencedor é...
Juan Carlos Agudelo Agudelo
Jan 29, 2024, 9:49:43 AMJan 29
to Joao Marcos, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
Olá, João
Acho que o resultado de sua pesquisa só mostra quanto estamos acostumados com a formalização de funções na Teoría de Conjuntos. Particularmente, acho que a formalização de funções como conjuntos de pares ordenados é só uma codificação que funciona, mas que não mostra seu caráter procedimental/computacional, e que é bastante contraintuitiva. Acho muito mais intuitiva a formalização de funções na Teoria de Tipos, onde funções são representadas por meio de termos do cálculo lambda, que são algoritmos que permitem nao só expresar mas também calcular funções.
Abs,
Juan Carlos
--
LOGICA-L
Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logi...@dimap.ufrn.br>
---
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Juan F. Meleiro
Jan 29, 2024, 9:54:27 AMJan 29
to Joao Marcos, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
Joao Marcos [2024-01-24 17:08]:
--
Juan
> O que vocês pensam desta asserção? Podem registrar suas opiniões aqui:
> https://twitter.com/antitheorem/status/1750241375164014824?t=tIUhYdS_2OGHUOCPOT_aSQ&s=19
“That's what *you* think!”
> https://twitter.com/antitheorem/status/1750241375164014824?t=tIUhYdS_2OGHUOCPOT_aSQ&s=19
--
Juan
Eduardo Ochs
Jan 29, 2024, 10:18:36 AMJan 29
to Juan Carlos Agudelo Agudelo, Joao Marcos, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
Muitos alunos daqui de Rio das Ostras têm muita dificuldade de
entender que isto aqui é _uma_ função:
$f(x) =
\begin{cases}
x^3 & \text{se $x<0$}, \\
x^2 & \text{se $x \ge 0$} \\
\end{cases}
$
Eles acham que isso é (são?) duas funções, e eles têm muita
dificuldade pra nomes pras coisas, então eles não conseguem dizer que
as duas funções são estas (que eu vou escrever sem domínios e
contradomínios por motivos de correria):
$f_1(x) = x^3$
$f_2(x) = x^2$
Depois que a gente escreve isso fica mais ou menos claro que nós
estamos falando de pelo menos três funções, e que se os alunos não
derem nomes pra elas melhores do que chamar elas de "a função", "a
função", "a função", "a função" e "a função", muita coisa pode dar
errado...
Um modo de decidir qual definição de função é mais "elementar" é
descobrir qual é mais acessível pra pessoas que sabem pouquíssima
matemática - ou pra um certo grupo de pessoas que sabem pouquíssima
matemática. E já que os alunos daqui têm muita dificuldade com nomes e
letras isso me leva a concluir que isso aqui é uma função "bem
elementar (pra eles)",
{(0,0), (1,1), (2,4), (3,9)}
desde que
1) a gente desenhe ela como pontinhos em R^2,
2) a gente tenha poucos pontinhos - se tiver infinitos ferrou tudo,
3) a gente só use números inteiros pequenos e fáceis de desenhar...
Desculpem o rant antropológico - e nos itens 2 e 3 eu tava pensando em
como construir outras funções "bem elementares" e em como medir a
elementaridade de funções, nesse sentido de "elementar pra esses
alunos no início do curso"...
[[]],
Eduardo Ochs
> Para acessar essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CACkoYSpfpTKYNo9Ef5WSoPd5Jzfmq-tBfdmdFkoA%3D0O2F6M_4A%40mail.gmail.com.
entender que isto aqui é _uma_ função:
$f(x) =
\begin{cases}
x^3 & \text{se $x<0$}, \\
x^2 & \text{se $x \ge 0$} \\
\end{cases}
$
Eles acham que isso é (são?) duas funções, e eles têm muita
dificuldade pra nomes pras coisas, então eles não conseguem dizer que
as duas funções são estas (que eu vou escrever sem domínios e
contradomínios por motivos de correria):
$f_1(x) = x^3$
$f_2(x) = x^2$
Depois que a gente escreve isso fica mais ou menos claro que nós
estamos falando de pelo menos três funções, e que se os alunos não
derem nomes pra elas melhores do que chamar elas de "a função", "a
função", "a função", "a função" e "a função", muita coisa pode dar
errado...
Um modo de decidir qual definição de função é mais "elementar" é
descobrir qual é mais acessível pra pessoas que sabem pouquíssima
matemática - ou pra um certo grupo de pessoas que sabem pouquíssima
matemática. E já que os alunos daqui têm muita dificuldade com nomes e
letras isso me leva a concluir que isso aqui é uma função "bem
elementar (pra eles)",
{(0,0), (1,1), (2,4), (3,9)}
desde que
1) a gente desenhe ela como pontinhos em R^2,
2) a gente tenha poucos pontinhos - se tiver infinitos ferrou tudo,
3) a gente só use números inteiros pequenos e fáceis de desenhar...
Desculpem o rant antropológico - e nos itens 2 e 3 eu tava pensando em
como construir outras funções "bem elementares" e em como medir a
elementaridade de funções, nesse sentido de "elementar pra esses
alunos no início do curso"...
[[]],
Eduardo Ochs
samuel
Jan 30, 2024, 10:44:12 AMJan 30
to LOGICA-L, eduardoochs, Joao Marcos, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA, juca.agudelo
... Já que chegamos nas "coisas que alunos dizem",
Outra coisa interessante é que aluno acha que "funcao tem que ter fórmula".
Aí é que a pessoa nao entende o Axioma da Escolha de jeito nenhum (porque se
o Axioma da Escolha se fez necessário para criar uma funcao-escolha é porque nao
se tinha mesmo uma maneira canônica, "com fórmula", pra se escolher um
elemento em cada conjunto da família de nao-vazios).
Pro aluno que acha que "funcao tem que ter fórmula"...
O Axioma da Escolha nao significa nada... Porque o que sai dele é uma funcao que nao
tem fórmula, imaginem.
Abracos
[]s Samuel
Joao Marcos
Jan 30, 2024, 11:44:49 AMJan 30
to Juan Carlos Agudelo Agudelo, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
Viva, Juan!
> Acho que o resultado de sua pesquisa só mostra quanto estamos acostumados com a formalização de funções na Teoría de Conjuntos. Particularmente, acho que a formalização de funções como conjuntos de pares ordenados é só uma codificação que funciona, mas que não mostra seu caráter procedimental/computacional, e que é bastante contraintuitiva.
Digo mais: confundir o que a coisa *é* com uma mera *implementação* da
coisa pode até ser perigoso! (e não raro leva a articulações
filosóficas de má qualidade, baseadas em aspectos inteiramente
incidentais dos objetos ou fenômenos em consideração)
> Acho muito mais intuitiva a formalização de funções na Teoria de Tipos, onde funções são representadas por meio de termos do cálculo lambda, que são algoritmos que permitem nao só expresar mas também calcular funções.
De acordo! Você conhece livros-textos introdutórios *sobre lógica de
primeira ordem* que usem cálculo lambda de maneira judiciosa e
essencial?
[]s, Joao Marcos
--
https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/
> Acho que o resultado de sua pesquisa só mostra quanto estamos acostumados com a formalização de funções na Teoría de Conjuntos. Particularmente, acho que a formalização de funções como conjuntos de pares ordenados é só uma codificação que funciona, mas que não mostra seu caráter procedimental/computacional, e que é bastante contraintuitiva.
coisa pode até ser perigoso! (e não raro leva a articulações
filosóficas de má qualidade, baseadas em aspectos inteiramente
incidentais dos objetos ou fenômenos em consideração)
> Acho muito mais intuitiva a formalização de funções na Teoria de Tipos, onde funções são representadas por meio de termos do cálculo lambda, que são algoritmos que permitem nao só expresar mas também calcular funções.
primeira ordem* que usem cálculo lambda de maneira judiciosa e
essencial?
[]s, Joao Marcos
--
https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/
Joao Marcos
Jan 30, 2024, 11:57:19 AMJan 30
to Eduardo Ochs, Juan Carlos Agudelo Agudelo, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
Viva, Eduardo!
O que dirão os seus alunos se você apresentar a definição desta função
quadrática (e de todas as outras funções do seu curso) também "por
casos", como no exemplo lá de cima?
f(x) =
IF x=0 THEN 0,
ELSE IF x=1 THEN 1
ELSE IF x=2 THEN 4
ELSE IF x=3 THEN 9
Alternativamente, o que dirão se você apresentar-lhes definições que
usam "reconhecimento de padrões"?
f(x)=y SSE f é descrita pelo gráfico {..., (x,y),...}
Em ambos os casos, e também no exemplo que você deu lá em cima, claro,
as definições apresentadas precisam de informações ou testes
adicionais para garantir que definem (o gráfico de) "relações
funcionais".
Em qualquer situação, a pergunta que ainda poderia ser feita (mas,
admito, talvez não tenha interesse no contexto das suas aulas) é: Qual
destas coisas _é_ a função f?
quadrática (e de todas as outras funções do seu curso) também "por
casos", como no exemplo lá de cima?
f(x) =
IF x=0 THEN 0,
ELSE IF x=1 THEN 1
ELSE IF x=2 THEN 4
ELSE IF x=3 THEN 9
Alternativamente, o que dirão se você apresentar-lhes definições que
usam "reconhecimento de padrões"?
f(x)=y SSE f é descrita pelo gráfico {..., (x,y),...}
Em ambos os casos, e também no exemplo que você deu lá em cima, claro,
as definições apresentadas precisam de informações ou testes
adicionais para garantir que definem (o gráfico de) "relações
funcionais".
Em qualquer situação, a pergunta que ainda poderia ser feita (mas,
admito, talvez não tenha interesse no contexto das suas aulas) é: Qual
destas coisas _é_ a função f?
Joao Marcos
Jan 30, 2024, 11:59:12 AMJan 30
to samuel, LOGICA-L, eduardoochs, juca.agudelo
> Pro aluno que acha que "funcao tem que ter fórmula"...
>
> O Axioma da Escolha nao significa nada... Porque o que sai dele é uma funcao que nao
> tem fórmula, imaginem.
Pois já pensou: não tem nem fórmula, que sentido fará em pensar na sua
>
> O Axioma da Escolha nao significa nada... Porque o que sai dele é uma funcao que nao
> tem fórmula, imaginem.
---completamente desconhecida--- descrição extensional?
Juan Carlos Agudelo Agudelo
Jan 30, 2024, 3:22:23 PMJan 30
to Joao Marcos, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
Olá, João
On Tue, Jan 30, 2024 at 11:44 AM Joao Marcos <boto...@gmail.com> wrote:
Viva, Juan!
> Acho que o resultado de sua pesquisa só mostra quanto estamos acostumados com a formalização de funções na Teoría de Conjuntos. Particularmente, acho que a formalização de funções como conjuntos de pares ordenados é só uma codificação que funciona, mas que não mostra seu caráter procedimental/computacional, e que é bastante contraintuitiva.
Digo mais: confundir o que a coisa *é* com uma mera *implementação* da
coisa pode até ser perigoso! (e não raro leva a articulações
filosóficas de má qualidade, baseadas em aspectos inteiramente
incidentais dos objetos ou fenômenos em consideração)
Minha resposta não pretende ser uma justificação filosófica sobre o que são as funções. Só que agora que estou estudando e (acho que) começando entender um pouco mais o que é Teoría de Tipos, e a corrente construtivista da matemática, me sinto mais afim com essas ideias do que com a visão platônica da matemática. Não sei exatamente qual é a definição intuicionista de função, mas na Teoria de Tipos de Martin-Löf (e em várias outras teorias de tipos) os objetos de tipo A -> B (o tipo de funções de A em B) são precisamente termos do cálculo lambda que especificam algoritmos que computam funções com domínio A e codominio B. Isso vai bem da mão com a noção intuitiva de função. Obviamente, isso restringe bastante a noção clássica de função. Então acho, mas não tenho os suficientes critérios para (nem pretendo agora) justificar filosoficamente, que a noção de função depende bastante da visão filosófica que se tenha sobre a matemática, o que me leva a pensar que quem respondeu positivamente a sua pergunta de se funções são conjuntos, devem ser affins a uma visão platônica da matemática, enquanto os que responderam negativamente devem ser mais afins a uma visão construtivista. Mas claro, isso é só o que eu acho.
> Acho muito mais intuitiva a formalização de funções na Teoria de Tipos, onde funções são representadas por meio de termos do cálculo lambda, que são algoritmos que permitem nao só expresar mas também calcular funções.
De acordo! Você conhece livros-textos introdutórios *sobre lógica de
primeira ordem* que usem cálculo lambda de maneira judiciosa e
essencial?
Não conheço. Se você encontrar (ou escrever) algum, por favor me manda a referência.
[]s, Joao Marcos
[]s
Juan Carlos
samuel
Jan 31, 2024, 5:59:27 AMJan 31
to LOGICA-L, juca.agudelo, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA, Joao Marcos
Olás,
Essa questao da "coisa" x "implementacao da coisa", eu confesso que em geral os teoristas de conjuntos ficamos meio viciados nisso (guilty as charged),
Entao se você me perguntar o que *é* o par ordenado (a,b) a tendência é que eu diga que
(a,b) = { {a}, {a,b} }
Mas esse tipo de pensamento "muito estrutural" ajuda a gente a fazer contas de "rank" e ver por exemplo
que boa parte das noçoes de Matemática "padrao" (partes, uniao, relacoes, funcoes, pares ordenados e tal...) nao sobem muito o rank dos objetos envolvidos, em geral somando omega em cima dá e sobra.
(No caso aí do par ordenado, olhando de cima e fazendo a conta de cabeça o rank vai para o máximo entre o rank(a) e rank(b) mais dois)
Atés
[]s Samuel
PS: Sobre "a descricao extensional de uma funcao sem formula" preciso pensar mais antes de responder
e talvez fique devendo 8-), mas desconfio que essa questao entre mais no que é "existência em matemática",
enfim. Que aí a coisa da matemática construtiva vem em cheio também.
Joao Marcos
Jan 31, 2024, 6:34:33 AMJan 31
to samuel, LOGICA-L, juca.agudelo
> Essa questao da "coisa" x "implementacao da coisa", eu confesso que em geral os teoristas de conjuntos ficamos meio viciados nisso (guilty as charged),
Os matemáticos poderiam aqui (e não só aqui) aprender algo, talvez,
com os cientistas da computação, que estão acostumados a implementar
novos tipos de dados, *encapsulá-los* e entregá-los para os clientes
compiladinhos, sem a possibilidade de consulta ao código original da
implementação.
> Entao se você me perguntar o que *é* o par ordenado (a,b) a tendência é que eu diga que
>
> (a,b) = { {a}, {a,b} }
como "será que {a}∈(a,b)?"
Sempre me parece um tanto estranho que os clientes (nós todos!)
tenham(os) acesso aos códigos conjuntistas implementando ênuplas
ordenadas, funções, ou números naturais.
> Mas esse tipo de pensamento "muito estrutural" ajuda a gente a fazer contas de "rank" e ver por exemplo
> que boa parte das noçoes de Matemática "padrao" (partes, uniao, relacoes, funcoes, pares ordenados e tal...) nao sobem muito o rank dos objetos envolvidos, em geral somando omega em cima dá e sobra.
>
> (No caso aí do par ordenado, olhando de cima e fazendo a conta de cabeça o rank vai para o máximo entre o rank(a) e rank(b) mais dois)
implementação conjuntista. (E as ditas contas só são de interesse, de
qualquer forma, para quem está comprometido com a ontologia minimal
conjuntista.)
> PS: Sobre "a descricao extensional de uma funcao sem formula" preciso pensar mais antes de responder
> e talvez fique devendo 8-), mas desconfio que essa questao entre mais no que é "existência em matemática",
> enfim. Que aí a coisa da matemática construtiva vem em cheio também.
Abraços, Joao Marcos
--
https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/
samuel
Jan 31, 2024, 6:40:37 AMJan 31
to LOGICA-L, Joao Marcos, LOGICA-L, juca.agudelo
************************************* O encapsulamento do código evita que o cliente faça perguntas bobas,
como "será que {a}∈(a,b)?"
*************************************
... Ao que eu responderia sorrindo, SIM !!! 8-) 8-) 8-)
Abracos
[]s Samuel
Joao Marcos
Jan 31, 2024, 6:47:42 AMJan 31
to samuel, LOGICA-L
> ************************************* O encapsulamento do código evita que o cliente faça perguntas bobas,
> como "será que {a}∈(a,b)?"
> *************************************
>
> ... Ao que eu responderia sorrindo, SIM !!! 8-) 8-) 8-)
Perguntas bobas merecem respostas bobas. ;-b
> como "será que {a}∈(a,b)?"
> *************************************
>
> ... Ao que eu responderia sorrindo, SIM !!! 8-) 8-) 8-)
(Definição de trabalho: Chamaremos de _boba_ qualquer pergunta cuja
resposta depende da escolha de uma implementação específica. Exemplo:
"será que 0∈1?")
[]s, JM
--
https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/
samuel
Jan 31, 2024, 7:06:45 AMJan 31
to LOGICA-L, Joao Marcos, LOGICA-L, samuel
... Touché !!!
Isso me lembra mais o joguinho de tentar descobrir a història completa através de respostas "sim", "nao" e "irrelevante".
O exemplo mais clássico é: "homem olha pro lado, acende um fósforo e morre".
... ao cabo de meia hora, uma hora, trabalhando em grupo dá pra recuperar a história toda (que é "o cara estava preso, fez um acordo com o médico da cadeia pra fugir se escondendo dentro de um caixao quando a próxima pessoa morresse, aí de fato quando morreu alguém ele foi lá e se escondeu no caixao, no entanto a próxima pessoa a morrer foi o próprio médico que iria tirar ele de dentro do caixao depois, aí o cara tem um susto/ataque do coracao e morre" kkk...)
Entao uma pergunta que nao encaminhe para a resposta do jogo (por exemplo, "o homem estava doente ?"), a gente responde com: irrelevante.
Assim, a pergunta boba e a resposta boba, nessa minha definicao, seria a pergunta... irrelevante (porque só depende da implementacao escolhida, entendo seu ponto).
Até
[]s Samuel
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