A Hipótese do Contínuo continua em pé!
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Walter Carnielli
Sep 16, 2017, 12:39:43 PM9/16/17
to Lista dos Logicos Brasileiros
https://ests.wordpress.com/2017/07/05/third-hausdorff-medal-2017/
Este tais p e t referidos acima são não-enumeráveis, e se fossem
distintos constituiriam um contra-exemplo
para a Hipótese do Contínuo. Mas o paper da Maryanthe Malliaris
(mais uma mulher fazendo coisas fantásticas em matemática!) e do
Saharon Shelah de 2013, "General topology meets model theory, on p
and t " (Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110, 2013, no. 33, 13300-13305) e
o de 2016 refutam esta possibilidade: são do mesmo tamanho!.
Ganharam a Hausdorff Medal 2017 por isso.
Adeus à ameaça para Hipótese do Contínuo, quem quiser que pense
em outra :-)
W.
--
-----------------------------------------------
Walter Carnielli
Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
Department of Philosophy –UNICAMP
On leave as an Alexander von Humbolt Research Grantee at the
Fakultät für Philosophie und Erziehungswissenschaft
Institut für Philosophie II - Ruhr-Universität Bochum, Germany
Este tais p e t referidos acima são não-enumeráveis, e se fossem
distintos constituiriam um contra-exemplo
para a Hipótese do Contínuo. Mas o paper da Maryanthe Malliaris
(mais uma mulher fazendo coisas fantásticas em matemática!) e do
Saharon Shelah de 2013, "General topology meets model theory, on p
and t " (Proc. Natl. Acad. Sci. USA 110, 2013, no. 33, 13300-13305) e
o de 2016 refutam esta possibilidade: são do mesmo tamanho!.
Ganharam a Hausdorff Medal 2017 por isso.
Adeus à ameaça para Hipótese do Contínuo, quem quiser que pense
em outra :-)
W.
--
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Walter Carnielli
Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
Department of Philosophy –UNICAMP
On leave as an Alexander von Humbolt Research Grantee at the
Fakultät für Philosophie und Erziehungswissenschaft
Institut für Philosophie II - Ruhr-Universität Bochum, Germany
Antonio Marmo
Sep 16, 2017, 1:16:23 PM9/16/17
to logi...@dimap.ufrn.br
O artigo deles mesmo está no link abaixo:
Essa notícia saiu hoje noutra lista de filosofia analítica, com link para matéria na imprensa geral. A matéria jornalística não explica bem, o artigo científico em si mesmo é mais digerível. Tem outro problema que eles denotam "p" e "t" por letras góticas e aqui eu não sei se aparecem.
Maryanthe Malliaris
Walter Carnielli
Sep 16, 2017, 2:14:41 PM9/16/17
to Lista dos Logicos Brasileiros
Sim, a definição exata (e um tanto complicada) do que são os
cardinais p e de t aparece na Definition 1 do link abaixo.
W.
> --
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.
> Para postar nesse grupo, envie um e-mail para logi...@dimap.ufrn.br.
> Acesse esse grupo em
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
> Para ver essa discussão na Web, acesse
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/9FA66031-2100-4E32-BF08-D797DEE27AB9%40gmail.com.
cardinais p e de t aparece na Definition 1 do link abaixo.
W.
> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.
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> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
> Para ver essa discussão na Web, acesse
> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/9FA66031-2100-4E32-BF08-D797DEE27AB9%40gmail.com.
Samuel Gomes
Sep 17, 2017, 8:38:39 AM9/17/17
to LOGICA-L
Olás,
Depois eu conto um pouco sobre p e t, no momento estou no celular e não posso escrever muito.
Só como informação a Malliaris (coautora de Shelah no trabalho) vai estar no Rio ano que vem, como palestrante no Painel de Lógica do Encontro Mundial de Matemáticos.
Atés
[]s Samuel
Depois eu conto um pouco sobre p e t, no momento estou no celular e não posso escrever muito.
Só como informação a Malliaris (coautora de Shelah no trabalho) vai estar no Rio ano que vem, como palestrante no Painel de Lógica do Encontro Mundial de Matemáticos.
Atés
[]s Samuel
Samuel Gomes
Sep 17, 2017, 9:51:56 PM9/17/17
to LOGICA-L
... Vamos começar de situações simples (e óbvias de responder) para chegar numa intuição do que seja o cardinal p.
1) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos naturais que sejam tais que:
--> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num conjunto infinito;
--> porém a família tem intersecção vazia ?
... Isso é fácil de exibir:
A_1 = {1,2,3,...}
A_2 = {2,3,4....}
A_3 = {3,4,5,...}
... A_n = {k: k maior ou igual a n}
A família {A_n: n maior ou igual a 1} satisfaz as duas condições acima.
Porém, se C é um subconjunto infinito e *qualquer* dos naturais, C funciona como uma "pseudo-intersecção" da família,
no sentido de estar "quase contido" em todos os elementos da família; essa coisa do quase contido é, exatamente,
dizer que C menos A_n é um conjunto finito (para todo n) - i.e., "alll but finitely many" dos elementos de C serão, também, elementos de qualquer
um dos A_n.
Uma situação um pouco menos abstrata aparece, por exemplo, na reta. Qualquer ponto x é ponto de acumulação de racionais (no sentido de que qualquer
intervalinho centrado nesse ponto x contém infinitos racionais). Se fixamos uma enumeração dos racionais (lembrar que é enumerável), digamos,
Q = {r_n: n em N}
e fixamos os intervalos abertos ]x - 1/k, x + 1/k[ para k maior ou igual a 1, podemos criar uma família de subconjuntos dos naturais como acima
da seguinte forma:
A_k = {n em N: r_n pertence a ]x - 1/k, x + 1/k[ }
Como a intersecção dos intervalinhos se reduz ao ponto, se o número x for irracional teremos que essa família {A_k: k maior ou igual a um} é de intersecção vazia
porém com certeza tem pseudo-intersecção infinita: basta pegar qualquer sequência de racionais que convirja para o ponto x e, voilá, o conjunto dos índices A
dessa sequência é uma pseudo-intersecção infinita da família !!! "All but finitely many", todos a menos de no máximo finitos elementos de A, vão cair dentro de qualquer A_k que você fixar.
Então, a pergunta seguinte seria:
2) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos naturais que sejam tais que:
--> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num conjunto infinito;
--> porém a família tem NÃO TEM pseudo-intersecção infinita ?
Uma das primeiras coisas que se pode checar é que, se a família de subconjuntos infinitos for ENUMERÁVEL, se constrói facilmente
uma pseudo-intersecção infinita para essa família.
Supondo que {A_n: n maior ou igual a 0} seja tal que todas as intersecções finitas resultem em conjuntos infinitos, fazemos assim:
a_o = min(A_0)
a_1 = min( (A_0 intersectado com A_1) - {a_0})
a_2 = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com A_2) - {a_0,a_1} )
...
a_k = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com... intersectado com A_k) - {a_0,a_1,...,a_{k-1}} )
...
O conjunto A = {a_k: k maior ou igual a zero} é uma pseudo-intersecção infinita da família. (Quem já fez um curso de espaços
métricos e achou parecido com a construção de uma subsequência convergente a um ponto de acumulação de uma sequência, é porque é isso
mesmo, sempre podemos encarar, de certa forma, a pseudo-intersecção infinita como uma subsequência convergente).
Bom, enumeráveis não podem ser então... E não-enumeráveis ?
Com um pouco de Axioma da Escolha, tomamos um ultrafiltro livre sobre os naturais e ele tem essas duas propriedades: trata-se
de uma família infinita de subconjuntos infinitos dos naturais que é tal que toda subfamília finita tem intersecção infinita e não possui
pseudointersecção infinita.
(Pra ver que não tem pseudo-intersecção infinita, tome qualquer A contido nos naturais que seja infinito: se o complementar de A estiver no ultrafiltro,
ele já não é pseudo-intersecção infinita do ultrafiltro porque A menos complementar de A vai dar A que é infinito. E, se A estiver no ultrafiltro (lembrando que ou A ou o complementar de A com certeza estão), usamos que os ultrafiltros são filtros primos: escrevendo A = A_1 unido com A_2, com ambos A_1, A_2 infinitos, sabemos que exatamente UM entre A_1 e A_2 vai estar no ultrafiltro livre. Se for A_1, A menos A_1 = A_2, que é infinito, se for A_2, A menos A_2 = A_1 que é infinito.)
... Ou seja, do exercício mental acima temos que:
--> Existem famílias de subconjuntos infinitos dos naturais que são tais que toda subfamília finita tem intersecção resultando num conjunto infinito, porém
não possuem pseudo-intersecção infinita (os ultrafiltros livres são exemplos disso);
--> porém, uma família desse tipo não pode ser enumerável.
Aí a pergunta que um teorista de conjuntos faz é:
QUAL É O TAMANHO MÍNIMO DE UMA FAMÍLIA COM ESSAS PROPRIEDADES ?
Pois é, esse é o cardinal p ("pseudointersection number"). É não-enumerável porque pra famílias enumeráveis existe a pseudo-intersecção, e limitado superiormente pelo contínuo porque é o tamanho de subfamílias de Partes de N (logo, em modelos onde vale a Hipótese do Contínuo, ele vale aleph_1 = c, mas em muitos modelos podemos ter o p não enumerável e maior do que aleph_1, por exemplo em todos os modelos onde vale o Axioma de Martin tem-se aleph_1 < p = c).
Brincando com uma construção topológica, podemos mostrar que
p = menor tamanho das base locais de abertos de um espaço topológico qualquer que não seja subsequencial
(subsequencial = pontos de acumulação de uma sequência são limites de uma subsequência)
Prova: abaixo de p sempre vai existir a pseudo-intersecção infinita, que corresponde à subsequência convergente.
Logo, se as bases locais tem tamanho menor do que p, se consegue sempre a subsequência convergente.
Já no p, tome uma família de tamanho mínimo com as tais propriedades (intersecções finitas dando infinito, sem pseudo-intersecção
infinita) e transforme essa família num ponto no infinito com relação aos naturais; pra quem conhece os ordinais, imagine que estamos trabalhando
com omega + 1. Considere o espaço Naturais unido com {essa família}, declare os pontos naturais como isolados e que as vizinhanças básicas
da família são exatamente os conjuntos da forma {Família} unido A, onde A pertence a família. Pronto, esse é um espaço no qual a família
é ponto de acumulação dos naturais mas não tem nenhuma sequência dos naturais convergindo pra ela (porque se tivesse, a subsequência
seria pseudo-intersecção infinita, mas no caso aí isso não existe).
Já o t é o menor tamanho possível para uma torre. Uma torre é uma família que tem as mesmas propriedades que as que definem p
(por isso com certeza já se sabia que p menor ou igual a t), porém a torre é bem-ordenada pela quase-inclusão estrita reversa, i.e., a cara
básica de uma torre é {T_alpha: alpha < t} onde
T_0 quase contém propriamente T_1 quase contém propriamente T_2 ... quase contém propriamente T_alpha ....
(Aí o quase contém propriamente é definido como: X quase contém propriamente Y se X menos Y é infinito enquanto que Y menos X é finito).
Quase todo mundo na área (eu inclusive) esperávamos que algum dia alguém mostrasse que a desigualdade estrita "p < t" fosse consistente
(isso é uma coisa que o artigo de divulgação não explica bem: uma prova de "p < t" não seria nunca uma prova absoluta, com certeza seria uma
prova de consistência porque, por exemplo, sob a Hipótese do Contínuo eles necessariamente são iguais).
t é uma espécie de versão muito bem comportada de p (por estar bem ordenado pela quase inclusão estrita reversa e tal). Então a diferença entre
eles acaba sendo uma diferença de complexidade, digamos. Foi por aí a prova de p = t por Shelah/Malliaris: eles estavam investigando qjuestões
sobre comparação de complexidade entre teorias e... Pimba, acabaram chegando no p = t. Como disseram no artigo, "eles provaram p = t numa
situação em que estavam olhando para outra coisa"...
É um resultado realmente tão divisor de águas que só de ter feito o review para o Zentralblatt Math eu fiquei super-emocionado, hehe:
https://zbmath.org/?q=an:06321199
... É isso, atés, Saludos desde Natal (minicurso sobre ultrafiltros na UFRN nesta semana) !!! Escrevi este email com vista ao Morro do Careca...
[]s Samuel
1) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos naturais que sejam tais que:
--> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num conjunto infinito;
--> porém a família tem intersecção vazia ?
... Isso é fácil de exibir:
A_1 = {1,2,3,...}
A_2 = {2,3,4....}
A_3 = {3,4,5,...}
... A_n = {k: k maior ou igual a n}
A família {A_n: n maior ou igual a 1} satisfaz as duas condições acima.
Porém, se C é um subconjunto infinito e *qualquer* dos naturais, C funciona como uma "pseudo-intersecção" da família,
no sentido de estar "quase contido" em todos os elementos da família; essa coisa do quase contido é, exatamente,
dizer que C menos A_n é um conjunto finito (para todo n) - i.e., "alll but finitely many" dos elementos de C serão, também, elementos de qualquer
um dos A_n.
Uma situação um pouco menos abstrata aparece, por exemplo, na reta. Qualquer ponto x é ponto de acumulação de racionais (no sentido de que qualquer
intervalinho centrado nesse ponto x contém infinitos racionais). Se fixamos uma enumeração dos racionais (lembrar que é enumerável), digamos,
Q = {r_n: n em N}
e fixamos os intervalos abertos ]x - 1/k, x + 1/k[ para k maior ou igual a 1, podemos criar uma família de subconjuntos dos naturais como acima
da seguinte forma:
A_k = {n em N: r_n pertence a ]x - 1/k, x + 1/k[ }
Como a intersecção dos intervalinhos se reduz ao ponto, se o número x for irracional teremos que essa família {A_k: k maior ou igual a um} é de intersecção vazia
porém com certeza tem pseudo-intersecção infinita: basta pegar qualquer sequência de racionais que convirja para o ponto x e, voilá, o conjunto dos índices A
dessa sequência é uma pseudo-intersecção infinita da família !!! "All but finitely many", todos a menos de no máximo finitos elementos de A, vão cair dentro de qualquer A_k que você fixar.
Então, a pergunta seguinte seria:
2) Existem famílias infinitas de subconjuntos infinitos do conjunto N dos naturais que sejam tais que:
--> qualquer intersecção de uma subfamília finita da família resulta num conjunto infinito;
--> porém a família tem NÃO TEM pseudo-intersecção infinita ?
Uma das primeiras coisas que se pode checar é que, se a família de subconjuntos infinitos for ENUMERÁVEL, se constrói facilmente
uma pseudo-intersecção infinita para essa família.
Supondo que {A_n: n maior ou igual a 0} seja tal que todas as intersecções finitas resultem em conjuntos infinitos, fazemos assim:
a_o = min(A_0)
a_1 = min( (A_0 intersectado com A_1) - {a_0})
a_2 = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com A_2) - {a_0,a_1} )
...
a_k = min( (A_0 intersectado com A_1 intersectado com... intersectado com A_k) - {a_0,a_1,...,a_{k-1}} )
...
O conjunto A = {a_k: k maior ou igual a zero} é uma pseudo-intersecção infinita da família. (Quem já fez um curso de espaços
métricos e achou parecido com a construção de uma subsequência convergente a um ponto de acumulação de uma sequência, é porque é isso
mesmo, sempre podemos encarar, de certa forma, a pseudo-intersecção infinita como uma subsequência convergente).
Bom, enumeráveis não podem ser então... E não-enumeráveis ?
Com um pouco de Axioma da Escolha, tomamos um ultrafiltro livre sobre os naturais e ele tem essas duas propriedades: trata-se
de uma família infinita de subconjuntos infinitos dos naturais que é tal que toda subfamília finita tem intersecção infinita e não possui
pseudointersecção infinita.
(Pra ver que não tem pseudo-intersecção infinita, tome qualquer A contido nos naturais que seja infinito: se o complementar de A estiver no ultrafiltro,
ele já não é pseudo-intersecção infinita do ultrafiltro porque A menos complementar de A vai dar A que é infinito. E, se A estiver no ultrafiltro (lembrando que ou A ou o complementar de A com certeza estão), usamos que os ultrafiltros são filtros primos: escrevendo A = A_1 unido com A_2, com ambos A_1, A_2 infinitos, sabemos que exatamente UM entre A_1 e A_2 vai estar no ultrafiltro livre. Se for A_1, A menos A_1 = A_2, que é infinito, se for A_2, A menos A_2 = A_1 que é infinito.)
... Ou seja, do exercício mental acima temos que:
--> Existem famílias de subconjuntos infinitos dos naturais que são tais que toda subfamília finita tem intersecção resultando num conjunto infinito, porém
não possuem pseudo-intersecção infinita (os ultrafiltros livres são exemplos disso);
--> porém, uma família desse tipo não pode ser enumerável.
Aí a pergunta que um teorista de conjuntos faz é:
QUAL É O TAMANHO MÍNIMO DE UMA FAMÍLIA COM ESSAS PROPRIEDADES ?
Pois é, esse é o cardinal p ("pseudointersection number"). É não-enumerável porque pra famílias enumeráveis existe a pseudo-intersecção, e limitado superiormente pelo contínuo porque é o tamanho de subfamílias de Partes de N (logo, em modelos onde vale a Hipótese do Contínuo, ele vale aleph_1 = c, mas em muitos modelos podemos ter o p não enumerável e maior do que aleph_1, por exemplo em todos os modelos onde vale o Axioma de Martin tem-se aleph_1 < p = c).
Brincando com uma construção topológica, podemos mostrar que
p = menor tamanho das base locais de abertos de um espaço topológico qualquer que não seja subsequencial
(subsequencial = pontos de acumulação de uma sequência são limites de uma subsequência)
Prova: abaixo de p sempre vai existir a pseudo-intersecção infinita, que corresponde à subsequência convergente.
Logo, se as bases locais tem tamanho menor do que p, se consegue sempre a subsequência convergente.
Já no p, tome uma família de tamanho mínimo com as tais propriedades (intersecções finitas dando infinito, sem pseudo-intersecção
infinita) e transforme essa família num ponto no infinito com relação aos naturais; pra quem conhece os ordinais, imagine que estamos trabalhando
com omega + 1. Considere o espaço Naturais unido com {essa família}, declare os pontos naturais como isolados e que as vizinhanças básicas
da família são exatamente os conjuntos da forma {Família} unido A, onde A pertence a família. Pronto, esse é um espaço no qual a família
é ponto de acumulação dos naturais mas não tem nenhuma sequência dos naturais convergindo pra ela (porque se tivesse, a subsequência
seria pseudo-intersecção infinita, mas no caso aí isso não existe).
Já o t é o menor tamanho possível para uma torre. Uma torre é uma família que tem as mesmas propriedades que as que definem p
(por isso com certeza já se sabia que p menor ou igual a t), porém a torre é bem-ordenada pela quase-inclusão estrita reversa, i.e., a cara
básica de uma torre é {T_alpha: alpha < t} onde
T_0 quase contém propriamente T_1 quase contém propriamente T_2 ... quase contém propriamente T_alpha ....
(Aí o quase contém propriamente é definido como: X quase contém propriamente Y se X menos Y é infinito enquanto que Y menos X é finito).
Quase todo mundo na área (eu inclusive) esperávamos que algum dia alguém mostrasse que a desigualdade estrita "p < t" fosse consistente
(isso é uma coisa que o artigo de divulgação não explica bem: uma prova de "p < t" não seria nunca uma prova absoluta, com certeza seria uma
prova de consistência porque, por exemplo, sob a Hipótese do Contínuo eles necessariamente são iguais).
t é uma espécie de versão muito bem comportada de p (por estar bem ordenado pela quase inclusão estrita reversa e tal). Então a diferença entre
eles acaba sendo uma diferença de complexidade, digamos. Foi por aí a prova de p = t por Shelah/Malliaris: eles estavam investigando qjuestões
sobre comparação de complexidade entre teorias e... Pimba, acabaram chegando no p = t. Como disseram no artigo, "eles provaram p = t numa
situação em que estavam olhando para outra coisa"...
É um resultado realmente tão divisor de águas que só de ter feito o review para o Zentralblatt Math eu fiquei super-emocionado, hehe:
https://zbmath.org/?q=an:06321199
... É isso, atés, Saludos desde Natal (minicurso sobre ultrafiltros na UFRN nesta semana) !!! Escrevi este email com vista ao Morro do Careca...
[]s Samuel
Antonio Marmo
Sep 18, 2017, 10:45:30 PM9/18/17
to logi...@dimap.ufrn.br
Obrigado pela explicação, vale a pena estudar os detalhes.
Só quero dizer que gostei do trabalho desses professores porque primeiro tem foco num assunto e segundo traz demonstrações elegantes e enxutas. Acho essa segunda qualidade a mais importante. (Não se pode viver num mundo em que cada simples proposição receba uma demonstração de mais de 400 páginas!) São contribuições assim claras, concisas e objetivas que realmente alargam o conhecimento!
Dize à sabedoria: Tu és minha irmã...
Dize à sabedoria: Tu és minha irmã...
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Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/215c87a4-09d7-47d8-9866-fb13224bd80d%40dimap.ufrn.br.
Samuel Gomes
Sep 19, 2017, 10:38:01 AM9/19/17
to LOGICA-L
Olás,
Só comentando que o paper de 6 páginas, conforme eu chamei a atenção no meu Review no ZbMath:
https://zbmath.org/?q=an:06321199
não tinha mesmo *todos* os detalhes das demonstrações: foi publicado já deixando claro que os detalhes
todos estavam num artigo que, naquela época, ainda estava no Arxiv. Esse trabalho completo foi posteriormente publicado,
tendo ficado com 61 páginas:
http://www.ams.org/journals/jams/2016-29-01/S0894-0347-2015-00830-X/S0894-0347-2015-00830-X.pdf
Então havia um motivo para tanta concisão no artigo de 6 páginas - os detalhes todos estavam em outro lugar !
Atés,
[]s Samuel
Só comentando que o paper de 6 páginas, conforme eu chamei a atenção no meu Review no ZbMath:
https://zbmath.org/?q=an:06321199
não tinha mesmo *todos* os detalhes das demonstrações: foi publicado já deixando claro que os detalhes
todos estavam num artigo que, naquela época, ainda estava no Arxiv. Esse trabalho completo foi posteriormente publicado,
tendo ficado com 61 páginas:
http://www.ams.org/journals/jams/2016-29-01/S0894-0347-2015-00830-X/S0894-0347-2015-00830-X.pdf
Então havia um motivo para tanta concisão no artigo de 6 páginas - os detalhes todos estavam em outro lugar !
Atés,
[]s Samuel
Valeria de Paiva
Sep 19, 2017, 11:01:48 AM9/19/17
to Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
mas Samuel, mais interessante pra mim 'e tentar entender o paralelismo entre o diagram de Cichon e o de Van Douwen.
o que voce pode me explicar facilmente, sem precisar de textao? obrigada!
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscribe@dimap.ufrn.br.
Para postar nesse grupo, envie um e-mail para logi...@dimap.ufrn.br.
Acesse esse grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/63fdc974-f189-452f-944a-37abd9aee427%40dimap.ufrn.br.
Samuel Gomes
Sep 19, 2017, 4:33:52 PM9/19/17
to LOGICA-L
Oi Valeria,
Então, na verdade é mais fácil pensar que ambos os diagramas "se amalgamam" nos grandes diagramas com muitos invariantes cardinais que você encontra,
por exemplo, no paper do Blass sobre invariantes cardinais do continuum - veja, por exemplo, o diagrama na página 93 de
http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/hbk.pdf
Tem muito mais cardinais que o diagrama de van Douwen. Mas tem poucos cardinais do diagrama de Cichon.
Veja os vários diagramas que tem neste survey aqui: infelizmente ele faz pequeninhos toda vez...
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/40955/1/1202_02.pdf
Já na página 8 do seguinte paper tem um diagrama bem mais completo, com os do van Douwen e com os do Cichon
http://www.uncg.edu/~vaughanj/Publications/smallcd.pdf
Então são duas instâncias de algo que se amalgama. São os caminhos que se abrem nos modelos onde a Hipótese do Contínuo não vale...
O que a gente gosta do diagrama de Cichon é que nele todos os cardinais podem ser escritos como normas de objetos de Dial^Op, um desafio é procurar
encontrar esses padrões em outros cardinais, por exemplo (o que é uma das continuações pra fazer do nosso paper no Proceedings EBL).
Também tem o efeito "a pessoa é para o que nasce": o objetivo do van Douwen quando fez o diagrama dele era destacar os cardinais que aparecem muito em Topologia,
já o diagrama do Cichon tem mais cara de Análise Real.
Até,
[]s Samuel
Então, na verdade é mais fácil pensar que ambos os diagramas "se amalgamam" nos grandes diagramas com muitos invariantes cardinais que você encontra,
por exemplo, no paper do Blass sobre invariantes cardinais do continuum - veja, por exemplo, o diagrama na página 93 de
http://www.math.lsa.umich.edu/~ablass/hbk.pdf
Tem muito mais cardinais que o diagrama de van Douwen. Mas tem poucos cardinais do diagrama de Cichon.
Veja os vários diagramas que tem neste survey aqui: infelizmente ele faz pequeninhos toda vez...
https://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/40955/1/1202_02.pdf
Já na página 8 do seguinte paper tem um diagrama bem mais completo, com os do van Douwen e com os do Cichon
http://www.uncg.edu/~vaughanj/Publications/smallcd.pdf
Então são duas instâncias de algo que se amalgama. São os caminhos que se abrem nos modelos onde a Hipótese do Contínuo não vale...
O que a gente gosta do diagrama de Cichon é que nele todos os cardinais podem ser escritos como normas de objetos de Dial^Op, um desafio é procurar
encontrar esses padrões em outros cardinais, por exemplo (o que é uma das continuações pra fazer do nosso paper no Proceedings EBL).
Também tem o efeito "a pessoa é para o que nasce": o objetivo do van Douwen quando fez o diagrama dele era destacar os cardinais que aparecem muito em Topologia,
já o diagrama do Cichon tem mais cara de Análise Real.
Até,
[]s Samuel
Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/63fdc974-f189-452f-944a-37abd9aee427%40dimap.ufrn.br.
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