AI & CH

[Joao Marcos]

Um problema de aprendizado de máquina que só pode ser resolvido se a Hipótese do Contínuo for verdadeira

https://amp.livescience.com/64469-unsolvable-math-problem.html

JM

[Walter Carnielli]

Muito estranha nesta reportagem. O articulista diz peremptoriamente :

“Which raises the question, are there any infinities larger than the set of integers but smaller than the set of real numbers? The continuum hypothesis says, yes, there are. “

O que não é o caso. A Hipótese do Contínuo responde à questão citada  *negativamente. Não tem "yes" nenhum aí.

Melhor ver o artigo original, que está on line:

https://www.nature.com/articles/s42256-018-0002-3 Learnability can be undecidable (Shai Ben-David, Pavel Hrubeš Shay Moran, Amir Shpilka and Amir Yehudayoff ) Nature Machine Intelligence vol 1, pp 44–48 (2019)

No original se vê corretamente:

“The continuum hypothesis states that there are no sets whose cardinality lies strictly between the cardinalities of the integers and the continuum “

Walter

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Walter Carnielli
Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
Department of Philosophy
State University of Campinas –UNICAMP
13083-859 Campinas -SP, Brazil


http://www.cambridge.org/br/academic/subjects/philosophy/twentieth-century-philosophy/significance-new-logic?format=HB&isbn=9781107179028


Institutional e-mail: walter.c...@cle.unicamp.br
Website: http://www.cle.unicamp.br/prof/carnielli
CV Lattes : http://lattes.cnpq.br/1055555496835379

[Joao Marcos]

Isso mesmo, Walter.

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Um episódio interessante de se mencionar nesta lista, sobre este
assunto, diz respeito à crença persistente de Gödel de que c deveria
ser igual a \aleph_2:
"In 1972, Gödel circulated a paper called “Some considerations leading
to the probable conclusion that the true power of the continuum is
ℵ2,” which derived the failure of the continuum hypothesis from some
new assumptions, the so-called scale axioms of Hausdorff. The proof
was incorrect, and Gödel withdrew it, blaming his illness."

Mais sobre o relacionamento entre Gödel e Cohen pode ser conferido em:
https://www.ias.edu/ideas/2011/kennedy-continuum-hypothesis

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JM

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[Claus Akira Horodynski Matsushigue]

Mas não é mais só uma "crença" ou expectativa de Gödel, mas de um número crescente de set-topologos!! 

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[Joao Marcos]

Há exemplos interessantes em "set-topologia" de conjuntos com cardinalidades intermediárias entre o enumerável e o contínuo?

JM

[Famadoria]

Transcrição inepta. 

Sent from my iPhone

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[Samuel Gomes]

Olás,

Tentando (e a palavra é "tentar" mesmo) esclarecer alguns pontos:

---> de fato, como Claus disse, a pesquisa sobre CH nos ùltimos 30 anos vem dando certa popularidade ao valor de aleph_2 para o contínuo, mas a história nao é tao simples de ser contada.

Primeiro ponto: nao faria sentido colocar "CH" ou "nao CH" como axioma; a idéia sempre foi encontrar algum axioma que fosse aceitável (?) e que decidisse o problema do continuum.

O candidato mais natural seria o Axioma da Determinacao (AD), o qual diz que todos os jogos de informacao perfeita, disputados entre dois jogadores e realizados com subconjuntos da reta como "alvo", seriam determinados (i.e., um dos dois jogadores teria uma estratègia vencedora).

AD implica a Hipòtese do Contínuo como conjecturada por Cantor - i.e., qualquer subconjunto nao enumerável da reta teria a cardinalidade do continuum (i.e., seria equipotente à reta).

(De passagem, é interessante observar que Cantor conjecturou CH exatamente porque os "conjuntos interessantes", aqueles sobre os quais podemos falar efetivamente alguma coisa, em geral "satisfazem CH" - no sentido de que sao classes de subconjuntos da reta que sao ou enumeráveis ou possuem a cardinalidade do contínuo. Como Cantor nao encontrou nenhum conjunto interessante desses com cardinalidade intermediária, conjecturou que é a cardinalidade intermediária que nao existiria...  O primeiro exemplo desse tipo sao exatamente os fechados da reta, pelo teorema de Cantor-Bendixson sabemos que os fechados nao enumeraveis da reta possuem a chamada "propriedade do conjunto perfeito", o que na pràtica significa dizer que os fechados nao-enumeráveis devem conter uma còpia homeomòrfica fechada do Conjunto de Cantor, logo sao equipotentes a R.  Da mesma forma os Borelianos possuem essa propriedade do conjunto perfeito, também os analìticos... As nocoes de boreliano e de analìtico sao centrais na chamada teoria descritiva dos conjuntos; um analìtico é a projecao de um boreliano, e os borelianos formam a menor sigma-álgebra que contém todos os abertos (dando definicoes teleguiadas só).. Entao, respondendo a JM de passagem, os conjuntos interessantes nao costumam ter cardinalidades intermediárias nao ! "Os contra-exemplos sao complicados", "nao-construtivos", "precisam do Axioma da Escolha pra existir", essas coisas todas...)

Voltando ao Axioma da Determinacao: o problema é que AD é incompatìvel como Axioma da Escolha: com AC, é possível exibir conjuntos nao determinados.

O trabalho de Woodin e de vàrios outros nos anos 90 foi no sentido de dar consistência a um Axioma que resolveria "o problema dos subconjuntos interessantes da reta", num contexto tal que o contínuo acaba sendo aleph_2; tal axioma é o PD, axioma da determinacao projetiva, o qual declara que

os projetivos sao determinados. Projetivos sao conjuntos que sao obtidos a partir de uma sequencia finita de complementos e projecoes de conjuntos analìticos. Declarando que os projetivos sao determinados, praticamente todas questoes sobre os "conjuntos interessantes de reais" ficam resolvidas, digamos assim. 

O ambiente de grandes cardinais no qual se obtém a consistência de PD - para se postular um axioma, deve se saber que o mesmo é consistente... - sao ambientes nos quais valem versoes muito fortes do chamado PFA, Axioma de Forcing Próprio, e esses axiomas de forcing implicam que o continuo vale aleph_2.

Entao o contínuo valer aleph_2 está longe de ser por acaso aí.

---> No entanto, isso tudo é o trabalho de Woodin em "nao CH"... O que ele anda fazendo nos ùltimos poucos anos é no outro sentido, é de conseguir CH no final, investigando/buscando o tal de V = ultimate L, que seria uma busca por uma espécie de modelo canônico da Teoria dos Conjuntos que tivesse algumas propriedades do modelo construtìvel L de Godel mas que fosse compatìvel com grandes cardinais. Nesse ambiente, valeria que o contínuo é aleph_1.

---> Aquela famosa reportagem da Quanta, de 2013, já era sobre essa dicotomia entre "forcing axioms"(que vêm no contexto da determinacao projetiva e mandam o continuo pra aleph_2) e "inner model" (que seria o V = ultimate L, que mantém o contínuo em aleph_1).

https://www.scientificamerican.com/article/infinity-logic-law/

---> Os trabalhos de Woodin sobre PD e o contexto todo no qual o continuo é mandado para aleph_2 podem ser vistos nestes dois artigos escritos

para o Notices AMS. Os trabalhos dele sobre V = ultimate L sao mais recentes e tem várias apresentacoes dele em congresso disponìveis na Internet...

https://www.ams.org/notices/200106/fea-woodin.pdf

https://www.ams.org/notices/200107/fea-woodin.pdf

Atés,

[]s  Samuel