Lógica e Filosofia da Matemática

[Márcio Palmares]

Olá, pessoal!

Que extraordinário foi este evento sobre filosofia da matemática promovido pelo IME-USP!

Assisti as palestras do Décio, do Walter e do Prof. Francisco Miraglia. Agora estou nos 45 minutos da palestra do Edélcio, mastigando cada frase do Edélcio com calma (e muito feliz porque estou conseguindo entender a gênese do cálculo C_1 pela primeira vez!).

Essas quatro palestras estão profundamente ligadas com a lógica, então acho que não é off-topic.

Vou deixar os links aqui, para facilitar:

Décio Krause:

https://www.youtube.com/live/fnc_d-Qbqak?is=YfalTPzTO3rlt5SU

Walter Carnielli:

https://www.youtube.com/live/y5II1THslWI?si=dqYPo2x-8cfOBw4Y

Francisco Miraglia:

https://www.youtube.com/live/dOGqJTUOPIw?is=54kHtmkhSIW0Gei0

Edélcio:

https://www.youtube.com/live/AcnqPFZ1LN4?is=dcHuZopbd0RM7Ct_

Não quero dar spoilers ou fazer comentários redutores, meu propósito é que as pessoas assistam as palestras e que possamos conversar sobre elas.

Então, vou apenas assinalar um ponto que me chamou atenção em cada uma delas, apenas como provocação (no bom sentido) para motivar discussões.

1. Sobre a exposição do Décio

Eu não sabia que existe um sistema lógico que enfraquece a lei de identidade, A = A. Nem que isso já aparecia no livro "Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica" do Newton da Costa e nem que a sugestão da ideia de quase-conjuntos também aparece nessa mesma obra. Fiquei impressionado com a exposição do Décio, por sua clareza, rigor, profundidade. E me chamou atenção especialmente o que vou chamar de "honestidade arquitetônica": em certa altura, Décio diz: "quero construir a teoria a partir da metafísica que estou formando, a partir da constatação da não individualidade". Eu acho, apenas acho, ainda não tenho munição suficiente para "provar" isso, que essa é a arquitetura real do pensamento científico. Embora seja moda hoje em dia desmerecer a metafísica, atacá-la, desprezá-la em favor do que supomos ser "conhecimento positivo", nenhum cientista, na vida real, está desprovido de pressupostos metafísicos e ontológicos. Uma arquitetura científica honesta tem que ser assim como o Décio mostrou: minha metafísica é esta; daí eu tiro uma teoria científica, e depois confronto essa teoria com os fatos, e vou ajustando as coisas até ter algo bom o bastante (que provavelmente valerá por certo tempo). Quem repete slogans banais contra a metafísica quase sempre está imerso em pressupostos metafísicos "inconscientes" ou "secretos".

2. Sobre a exposição do Walter.

Sensacional essa palestra do Walter...

Leibniz fez uma aparição fantasmagórica e triunfal aqui... Ainda estou me recuperando do choque que essa exposição do Walter me causou, eu não sabia nada sobre a existência daquelas provas sobre a existência de um ser que possuísse todas as propriedades positivas; e nem mesmo poderia imaginar que alguém pudesse pensar que não existe contingência, que toda verdade é necessária... Quando eu mostrar isso para os meus colegas que estudam Leibniz, eles vão cair da cadeira.

Este não é o foco da exposição do Walter. É um tema incidental bombástico, digamos.

Eu diria que o problema do Walter é antes existência em matemática e natureza do pensamento matemático, pois às vezes compramos certos artigos de consumo muito apropriados e cheios de consequências importantes mesmo sem que tenhamos muita segurança sobre se eles "existem" ou não.

É meio que a posição simétrica, dual, da posição do Décio relativa ao conhecimento/descrição do mundo físico, onde o ponto de partida é a metafísica, a ontologia. Na matemática, talvez não devamos nos preocupar tanto com ontologia...

Eu acho que a posição do Walter é similar à do Newton da Costa na tese "Sistemas Formais Inconsistentes", onde o Newton diz (citando de memória):

"(...) existe, em matemática, o que não for trivial (o significado de 'trivial' aqui é o ordinário, não o significado técnico dado precedentemente [de trivialidade, explosão]. Confirma-se o que gênio de Cantor já entrevira: a essência da matemática radica em sua completa liberdade".

Então, para Newton da Costa existe em matemática tudo aquilo que não é banal, irrelevante, prosaico, tolo, bobo, inútil, trivial... Este é um enfraquecimento radical do critério de Cantor, por exemplo, que supunha que poderia existir tudo o que não fosse contraditório. Newton da Costa, por razões óbvias, derruba essa última barreira. (Obs.: Leibniz, como Cantor, também supunha que o único limitante para a existência em matemática era a não contradição. Ele era tão libertário nesse sentido que os Bourbakis afirmam que Leibniz foi um precursor do estruturalismo clássico contemporâneo, isto é, do que nós chamamos agora de estruturalismo bourbakista).

3. Sobre a exposição do Prof. Francisco Miraglia

Essa palestra, por coincidência, toca no tema que estou pesquisando.

Vou deixar uma provocação no bom sentido: Robinson é um dos grandes gênios do pensamento matemático e lógico do século XX, e as histórias de primeira mão contadas pelo Prof. Francisco testemunham isso. No entanto, a despeito de sua genialidade, ele não estava inteiramente correto a respeito do próprio Leibniz. Muita coisa só veio à luz mais tarde, e agora temos uma visão melhor sobre o que Leibniz realmente pensava sobre os seus infinitesimais.

A chave é justamente a necessidade lógica, necessidade no sentido de condição necessária. Se eu chego a certos conceitos por um processo dedutivo, se eles aparecem no final de uma cadeia de implicações, a partir daí se impõem como condições necessárias... Isso é o que torna difícil o problema da invenção versus descoberta: tão logo um conceito seja inventado, ele passa a gozar de necessidade lógica, e aí nossa intuição confunde isso com causalidade e forja em nosso cérebro a percepção errônea de que aquela coisa sempre estivera lá, aguardando para ser descoberta. Mas salvo se eu operar numa metafísica específica (platonismo ou realismo) a conclusão de que a coisa já estava lá não se segue.

Então, embora Leibniz usasse a expressão "ficções úteis" isso nada tinha a ver, obviamente, com o ficcionalismo atual ou nominalismo ou qualquer outra corrente contemporânea. Mais ainda: Leibniz sempre amarrou seus infinitesimais aos imaginários, ele dizia: meus infinitesimais têm o mesmo status que as raízes imaginárias da álgebra. Por que ele dizia isso? Porque embora não fosse claro o que um imaginário fosse (ontologicamente), Leibniz estava seguro de sua necessidade lógica: ele sabia que é necessário passar pelos imaginários para obter certas raízes reais. Mesmo que não existissem na natureza, existiam como construções mentais ideais... O fato que sejam úteis para a arte da invenção é secundário: o fundamental é que são necessários, possuem necessidade lógica.

Por último, ainda em conexão com a lógica. 

A Profa. Vivianne de Castilho Moreira publicou em 2010 na revista 'Analytica', vol. 14, n. 1, p. 103-137, um artigo sobre a "Continuidade na Lógica de Leibniz".

Eu queria chamar a atenção de nossos colegas da filosofia analítica para esse artigo.

Eu e a Profa. Vivianne estamos em lados opostos na polêmica sobre a natureza dos infinitesimais. A minha opinião é infinitesimalista (infinitesimais são conceitos matematicamente legítimos e necessários no cálculo de Leibniz, não substituíveis pelo método de exaustão), ao passo que a posição da Profa. Vivianne é mais próxima da visão majoritária, sincategoremática, que ganhou força na filosofia da linguagem a partir de Ishiguro, e que agora conta com Richard T. W. Arthur como um defensor no campo da filosofia da matemática.

Mas esse artigo específico é mais sobre como a lei de continuidade estaria situada dentro da lógica de Leibniz e como, pela lógica de Leibniz, se justificaria o uso dos infinitesimais.

Agora o problema técnico: eu acho que a Profa. Vivianne redescobriu sozinha a lógica fuzzy aí nesse artigo, ao conceber um modo por meio do qual pudéssemos modelar as ideias lógicas de Leibniz quando ele esperava tratar "uma coisa como equivalente a uma espécie de seu contrário".

O problema é que Leibniz é um pensador clássico. Ele tem que manter a bivalência. Não poderia existir um protótipo de lógica fuzzy em seu pensamento... Então, eu opinio que essa modelagem é original da Profa Vivianne. Ela opina que apenas achou isso no próprio Leibniz. Se possível, eu gostaria de ouvir a opinião dos colegas aqui da filosofia analítica. 

Finalmente: Robinson encheu demais a bola do Berkeley. Não há contradição formal alguma no cálculo de Leibniz. Talvez no de Newton. No de Leibniz não há. 

Isso está "provado" em trabalhos recentes de um grupo de matemáticos reunido em torno do matemático israelense Mikhail G. Katz. Acho que é do David Sherry um artigo sobre Berkeley, onde ele se apoia numa crítica feita por De Morgan para mostrar que Berkeley foi essencialmente retórico. Mais retórico e menos lógico ou matemático.

A suposição de que o cálculo em Leibniz fosse contraditório aparece até no Newton da Costa, que segue o veredito do Robinson. Isso é um equívoco, ao meu ver, que está começando a desmoronar...

É isso.

Agradeço desde já qualquer sugestão, crítica, comentário, correção, palpite, dica.

Abraços,

M.

[jean-yves beziau]

Grato pelos seus comentários Márcio.

Sobre identidade:

Décio Krause será um dos keynote speakers do nosso evento “O que é isto? Eis a questão!” e apresentará a palestra “What Is Identity?”.

Importante observar que   "A=A"  é uma forma debilidade do princípio de identidade,  frequentemente apresentada, que não significa (quase) nada.

Entre vários artigos "What is X?",

escrevi um artigo intitulado "What is the principle of identity?"

https://www.jyb-logic.org/id-campinas.pdf

Veja outros artigos sobre identitade aqui:

https://www.jyb-logic.org/papers-id.html

inclusive o artigo que escrevi com o Décio em 1997:“Relativizations of the principle of identity”, Logic Journal of the Interest Group in Pure and Applied Logics, 5 (1997), pp.327-338.

Neste artigo apresento lógicas na quais o princípio de identidade é relativizado para proposições no sentido que uma proposição não é consequência dela mesma, inspirada da lógica paraclássica introduzida por Newton da Costa.

Outro artigo que pode interessar você é 

“The Mystery of the Fifth Logical Notion (Alice in the Wonderful Land of Logical Notions)” Studia Humana, Volume 9:3/4 (2020), pp. 19—36.

https://sites.google.com/view/5th-logical-notion/

onde se discuta as noções lógicas de Tarski (identidade é umas das quarta) e a não axiomatibilizade do princípio de identidade na lógica de primeiro ordem.

JYB

[Márcio Palmares]

Valeu, Jean-Yves!

Muitíssimo obrigado!

Que bacana saber desse trabalho conjunto seu e do Décio nessa área!

Agora sim temos munição para entrar nesse território. 

Vou dar uma olhada nos artigos e tentar assistir o evento que se aproxima. 

Obrigado mais uma vez!

Abraço!

M.

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[Márcio Palmares]

Pessoal,

Acho que eu cometi um erro dos grandes nessa minha mensagem anterior...

Vou corrigir já antes que se propague. 

O artigo que eu mencionei da Profa. Vivianne trata do problema do princípio ou lei de continuidade de Leibniz tentando situá-lo dentro da lógica de Leibniz.

Por isso, o cálculo lógico que aparece ali é o de Leibniz mesmo (que é bastante esquisito para mim e muito difícil de acompanhar).

Então, em certa altura certos termos são indexados por um índice q, e esse índice numérico deve percorrer um intervalo contínuo de números, de modo que q = 0 corresponderia a ter certa propriedade em grau zero; ao passo que q = 1 ou qualquer outro valor máximo corresponderia a ter a propriedade em grau máximo. 

Obviamente isto nos lembra a lógica fuzzy imediatamente.

Mas aqui está o meu erro.

Como este sistema é o de Leibniz, o índice parametriza o predicado, e não uma proposição! É o predicado P numa proposição do tipo "S é P" que está indexado por q e "variando continuamente". Para cada q, temos uma proposição típica "S é P_q", que é verdadeira ou falsa, mantido portanto o terceiro excluído. 

Agora, corrigido o meu erro de leitura, vejamos o problema filosófico. 

A questão é que se para modelarmos ou entendermos o pensamento lógico de Leibniz sobre continuidade mobilizando para este fim a continuidade matemática de um sistema numérico, então a continuidade matemática é mais fundamental que a continuidade lógica! É o limite de sempre com o qual variantes do logicismo sempre se deparam: um substrato matemático irredutível à lógica sempre se impõe, sempre resiste (seja um axioma do infinito, seja uma continuidade numérica ou geométrica...).

Ao meu ver, a correção do cálculo de Leibniz é um problema matemático, não lógico ou metafísico, e Leibniz resolveu isso corretamente, a despeito da imensa confusão que surgiu ainda em vida de Leibniz e que se propagou e amalgamou com as dificuldades do cálculo de Newton após a acusação de plágio...

Por exemplo, quando as pessoas dizem que é contraditório começar um raciocínio com a interpretação cinemática da derivada supondo que o incremento h não é nulo e depois descartando potências do incremento h como se tais potências fossem nulas, isso não tem absolutamente nada a ver com os diferenciais de Leibniz, pois como o Henk Bos mostrou, nem existia derivada no cálculo de Leibniz! O conceito fundamental em Leibniz é o de diferencial (que não é o que entendemos hoje por diferencial).

Agora que temos a Análise Não-Standard e a Análise Infinitesimal Suave (sem esquecer Veronese e outros geômetras do início do século XX, que já trabalhavam com geometrias com grandezas não-arquimedianas, infinitamente pequenas ou grandes) é bem mais fácil termos a certeza de que o veredicto de Russell de 1903 contra os infinitesimais ("errôneos, desnecessários e autocontraditórios") estava simplesmente errado.

Mas a polêmica está longe de terminar, como atesta o quebra-pau que está ocorrendo neste exato momento nos periódicos especializados entre o grupo do Mikhail Katz (infinitesimalistas partidários da Análise Não-Standar como proxy privilegiado para modelar o pensamento matemático de Leibniz) e o grupo reunido em torno do Richard T. W. Arthur, sincategoremáticos, que acreditam que os infinitesimais eram mais propriamente uma forma de falar, abreviação para raciocínios com grandezas finitas, e que, grosso modo, todo raciocínio com infinitesimais poderia ser abandonado em favor de um raciocínio feito com o método de exaustão. 

Eu opino que o Arthur está errado no essencial, embora tenha acertos locais, episódicos. O grupo do Katz está certo no essencial, mas possui alguns erros locais, secundários (muito bem explorados pelo grupo do Arthur).

Era isso.

Abraços,

M.