em um mundo sem terceiras opções...

[Joao Marcos]

Aqui na UFRN eu já encontrei um livro chamado "A Lógica do
Capitalismo" na prateleira de livros de Lógica... Onde será que vai
parar este livro (que já vem com um comentário de um professor da
UFRN)?

O terceiro excluído: Contribuição para uma antropologia dialética
-- Fernando Haddad
https://www.amazon.com.br/gp/product/6559790614

A luta continua,
JM

[Márcio Palmares]

Essa é fácil. Vai para a estante de sociologia, apesar do título.

Mas o assunto evocado no título e que nos remete à lógica, dialética e princípio do terceiro excluído (talvez ausente neste livro), não está de modo algum liquidado e um trabalho sério sobre o tema poderia figurar na estante de lógica...

O John Lane Bell (não confundir com John Stewart Bell) conclui sua análise sobre o problema da variação contínua com a seguinte observação:

"Marx and Engels, and their Marxist successors, thought that the analysis of variation would require the creation of a dialectical logic or a “logic of contradiction”. But traditional logic survived in mathematics, largely as a result of the replacement of variation by stasis at the hands of the great nineteenth century arithmetizers Weierstrass, Dedekind and Cantor. As we have seen, Cantor replaced the concept of a varying quantity by that of a completed, static domain of variation which may be regarded as an ensemble of atomic individuals—thus, like the Pythagoreans, replacing the continuous by the discrete. He also banished inf i nitesimals and the idea of geometric objects as being generated by points or lines in motion. 

But as we know, certain mathematicians and philosophers raised objections to the idea of “discretizing” or “arithmetizing” the linear continuum. Brentano, for example, rejected the idea that a true continuum can be completely analyzed into a 

collection of discrete points, no matter how many of them there might be. 

It was only with Brouwer, for whom the phenomenon of temporal variation was fundamental, that logic became an issue within mathematics. Rejecting the 

Cantorian account of the continuum as purely discrete, Brouwer identif i es points on the line as entities “in the process of becoming” in a temporal, even subjective sense, that is, as embodying variation generating a potential inf i nity. He rejects the law of excluded middle for such objects, a move which led, as we have seen, to a new form of logic, intuitionistic logic. It is a remarkable fact that this logic is compatible with a very general concept of variation, which embraces all forms of (objective) continuous variation, and which in particular allows the use of (continuous) infinitesimals. While its roots lie in the subjective, intuitionistic logic is thus revealed to have an objective character. 

The application of intuitionistic logic to resolve the contradiction engendered by variation shows that it was not in the end necessary—as claimed by dialectical philosophy—to reject the law of noncontradiction, but rather its dual the 

law of excluded middle."

(Apêndice E do livro "The Continuous, the Discrete 

and the Infinitesimal in Philosophy and Mathematics".)

Essa opinião é interessante, especialmente porque ele parece ter sido o orientador de doutorado do Graham Priest.

Aí onde ele deixou o problema, parece que temos um bom ponto de partida para uma pesquisa séria sobre o assunto.

Abraços,

Márcio

--
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[Joao Marcos]

> Essa é fácil. Vai para a estante de sociologia, apesar do título.
>
> Mas o assunto evocado no título e que nos remete à lógica, dialética e princípio do terceiro excluído (talvez ausente neste livro), não está de modo algum liquidado e um trabalho sério sobre o tema poderia figurar na estante de lógica...

Obrigado pela excelente e provocadora resposta, Márcio.

No prefácio, que dá para ler online a partir do link que eu mandei
antes, o autor ---que é bacharel em Direito, mestre em Economia,
doutor em Filosofia, e professor de Ciência Política da USP--- fala de
uma visita que recebeu do Chomsky (quando se encontrava em uma
campanha política na qual "perdeu para um psicopata"), e diz que o
livro em tela foi inicialmente pensado como uma crítica do modelo
econômico brasileiro calcado no patrimonialismo e na escravidão, mas
acabou virando um pequeno tratado transitando da biologia para a
antropologia, e desta para a linguística, informado pela filosofia,
pela economia e pela sociologia. (É fascinante, independentemente
disto, ler sobre a formação humana e atuação política do autor, neste
mesmo prefácio.)

> O John Lane Bell (não confundir com John Stewart Bell) conclui sua análise sobre o problema da variação contínua com a seguinte observação:
>
> "Marx and Engels, and their Marxist successors, thought that the analysis of variation would require the creation of a dialectical logic or a “logic of contradiction”. But traditional logic survived in mathematics, largely as a result of the replacement of variation by stasis at the hands of the great nineteenth century arithmetizers Weierstrass, Dedekind and Cantor. As we have seen, Cantor replaced the concept of a varying quantity by that of a completed, static domain of variation which may be regarded as an ensemble of atomic individuals—thus, like the Pythagoreans, replacing the continuous by the discrete. He also banished inf i nitesimals and the idea of geometric objects as being generated by points or lines in motion.
>
> But as we know, certain mathematicians and philosophers raised objections to the idea of “discretizing” or “arithmetizing” the linear continuum. Brentano, for example, rejected the idea that a true continuum can be completely analyzed into a
> collection of discrete points, no matter how many of them there might be.
>
> It was only with Brouwer, for whom the phenomenon of temporal variation was fundamental, that logic became an issue within mathematics. Rejecting the
> Cantorian account of the continuum as purely discrete, Brouwer identif i es points on the line as entities “in the process of becoming” in a temporal, even subjective sense, that is, as embodying variation generating a potential inf i nity. He rejects the law of excluded middle for such objects, a move which led, as we have seen, to a new form of logic, intuitionistic logic. It is a remarkable fact that this logic is compatible with a very general concept of variation, which embraces all forms of (objective) continuous variation, and which in particular allows the use of (continuous) infinitesimals. While its roots lie in the subjective, intuitionistic logic is thus revealed to have an objective character.
>
> The application of intuitionistic logic to resolve the contradiction engendered by variation shows that it was not in the end necessary—as claimed by dialectical philosophy—to reject the law of noncontradiction, but rather its dual the
> law of excluded middle."
>
> (Apêndice E do livro "The Continuous, the Discrete
> and the Infinitesimal in Philosophy and Mathematics".)
>
> Essa opinião é interessante, especialmente porque ele parece ter sido o orientador de doutorado do Graham Priest.

Sobre Cantor e o terceiro excluído, ainda, vale notar que este artigo
postado no arXiv em 2019 (mesmo ano em que foi publicado o livro do
John L Bell sobre o contínuo e o infinitesimal?), e atualizado pela
última vez há apenas dois meses, afirma que o teorema de
Cantor-[Schröder]-Bernstein não pode ser demonstrado sem apelo ao
Princípio do Terceiro Excluído:
https://arxiv.org/abs/1904.09193
Isto tem um impacto importante, claro, na caracterização da ordem
usual entre cardinais transfinitos.

Fiquei curioso agora em saber o que mais John L Bell teria a dizer
sobre concepções potencialistas em Filosofia da Matemática, uma vez
que se permita que o construtivismo contribua à matemática com sua
abordagem sensível à variância temporal e se possa recuperar com isso
alguns aspectos da dialética hegeliana / marxiana.

> Aí onde ele deixou o problema, parece que temos um bom ponto de partida para uma pesquisa séria sobre o assunto.

Sem dúvida!

Abraços,
Joao Marcos

--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Márcio Palmares]

Valeu, João Marcos!

Eu entrei na brincadeira porque fico incomodado com o abuso que certos intelectuais fazem de noções emprestadas de uma filosofia dialética mal digerida, mal compreendida. Nada sei a respeito do trabalho do Haddad como pesquisador/professor, não quero com minhas observações desmerecer o que ele possa ter escrito aí nesse livro. Conheço-o apenas como "homo politicus", aspecto de sua vida que não irei comentar, porque não está em discussão (embora eu certamente votaria nele contra um candidato psicopata ou, mais precisamente, neofascista).

Sobre esses abusos da dialética, por exemplo, outro dia fui ler um filósofo chamado Alain Badiou, dado que ele teria conseguido uma síntese entre a moderna teoria de topos (topos theory) e o materialismo dialético (de Marx). No entanto, primeiro eu li uma resenha de um trabalho prévio dele, também sobre matemática, de autoria do Reuben Hersh (muito respeitosa a resenha, a propósito) e depois li uma ou outra coisa sobre o Alain Badiou no "Imposturas Intelectuais", da dupla Sokal e Bricmont, e então desisti de ler o Badiou. Talvez eu tenha perdido algo importante, não sei...

Infelizmente persiste ainda uma pesada herança do "lysenkoismo" (no sentido amplo, entendido como deformação da ciência e da filosofia para atender a interesses político-ideológicos). A dialética sofreu nas mãos da burocracia soviética, nas mãos do stalinismo. Foi transformada numa religião estatal anticientífica. Como resultado, os partidários atuais da dialética (Heráclito-Hegel-Marx) precisam sempre se esforçar para remover os restos do lysenkoismo (e suas versões meio pós-modernas) do caminho antes de conseguir falar seriamente sobre o assunto... É cansativo fazer isso o tempo todo, mas não tem outro jeito.

Bom, essa última afirmação do John L. Bell

"The application of intuitionistic logic to resolve the contradiction engendered by variation shows that it was not in the end necessary—as claimed by dialectical philosophy—to reject the law of noncontradiction, but rather its dual the law of excluded middle."

é curiosa, pois ele parece estar dizendo que o Graham Priest pegou a vereda errada, ou atacou o problema pelo lado errado... Indiretamente, é claro que a observação atinge também a escola brasileira da paraconsistência (da qual eu me considero simpatizante).

Uma evidência em favor desse ponto de vista do John L. Bell aparece num artigo do Francisco Miró Quesada, "Logic, Mathematics, Ontology", publicado no livro “Philosophy of Mathematics Today”, Springer, 1997 (pp. 22-23):

"Is it possible to determine a set of necessary and sufficient conditions that must be complied by a formal system to be called "logic"? I think this problem is very important for philosophy, perhaps the most important one. Because there are no philosophical theories without an explicit or implicit logic. And the same can be said about the different scientific theories. I also think that, to cope with the problem of the proliferation of logical systems, due to the importance of paraconsistent logic, we must begin the  search of common traits of this logic with the intuitionistic one.

But, before doing this, we must refer to Lawvere's new application of category theory in order to develop a new theory of dialectical philosophy. Lawvere has recently published some essays in which he applies category theory to capture dialectical reasoning "more hegeliano", and to develop a general approach to the structure of knowledge; for instance, the relation of subjective with objective logic. It is striking that, through the application of purely categorial methods (for instance, the concepts of topos, 2-categories, graphic monoid, monoid action, retraction, left and right adjoints, functorial adjointness, etc.) there exists the possibility of capturing the Hegelian idea of unity-andidentity-of-opposites, and to develop a non-trivial dialectical theory.

The above-mentioned essays, although utilizing a rigourous mathematical methodology, are most audacious, and it is necessary to study them very carefully and in detail, to be able to assess them. If Lawvere's theses are theoretically sound, they would mean that to formalize mathematical knowledge we could do without paraconsistent systems, because paraconsistent logic would have been swallowed by categorial logic."

O que isto poderia significar? O que será que ele quis dizer ao afirmar que a lógica paraconsistente teria sido subsumida (?), tragada (?), engolida (?) pela lógica categorial? Este é o problema que estou tentando entender no momento... Se alguém puder comentar ficarei muito agradecido. :-)

Sobre o terceiro-excluído e o teorema de Cantor-Schroder-Bernstein:

"Sobre Cantor e o terceiro excluído, ainda, vale notar que este artigo postado no arXiv em 2019 (mesmo ano em que foi publicado o livro do John L Bell sobre o contínuo e o infinitesimal?), e atualizado pela última vez há apenas dois meses, afirma que o  teorema de Cantor-[Schröder]-Bernstein não pode ser demonstrado sem apelo ao Princípio do Terceiro Excluído:

https://arxiv.org/abs/1904.09193
Isto tem um impacto importante, claro, na caracterização da ordem usual entre cardinais transfinitos."

Muito interessante... O que eu sabia a respeito desse teorema é que ele não pode ser demonstrado por métodos puramente categoriais, pelo cálculo categorial (usando apenas a álgebra da composição de morfismos). Para demonstrá-lo precisamos lançar mão de ferramentas especiais disponíveis na categoria dos conjuntos e funções. A primeira vez que tomei ciência disso, achei que era uma falha do poder descritivo da teoria de conjuntos categorial, mas o William Lawvere não interpreta dessa maneira. Ele simplesmente diz que, como o cálculo categorial é insuficiente, temos um indício de que devem existir categorias em que a afirmação não é um teorema, ou seja, é mais uma propriedade especial da categoria de conjuntos e funções (como o axioma de escolha, que é dito ser equivalente ao princípio do terceiro excluído):

(Conceptual Mathematics, segunda edição, p. 106.)

Tem muito assunto para um volume que realmente possa figurar na estante de lógica sobre dialética e lei do terceiro-excluído (mas acho que não terá nenhuma conexão direta com antropologia ou linguística, ou biologia e sociologia...) :-)

Abraços,

Márcio 

[Fernando Yamauti]

Estou tentando evitar procrastinar, mas não consigo resistir em comentar sobre isso.   

"Marx and Engels, and their Marxist successors, thought that the analysis of variation would require the creation of a dialectical logic or a “logic of contradiction”. But traditional logic survived in mathematics, largely as a result of the replacement of variation by stasis at the hands of the great nineteenth century arithmetizers Weierstrass, Dedekind and Cantor. As we have seen, Cantor replaced the concept of a varying quantity by that of a completed, static domain of variation which may be regarded as an ensemble of atomic individuals—thus, like the Pythagoreans, replacing the continuous by the discrete. He also banished inf i nitesimals and the idea of geometric objects as being generated by points or lines in motion. 

 De acordo com o Lawvere em "Cohesive Toposes and Cantor's `lauter Einsen`", foi o Zermelo que destruiu a noção original de conjunto quando ele editou os trabalhos do Cantor identificando Mengen com Kardinalen. O primeiro poderia ter caráter contínuo e, de fato, o Lawvere interpreta Mengen como algo possivelmente dotado de coesão e outras propriedades não evidentes (algo de caráter intensional e talvez, na interpretação do Cantor, até dotado de algo além de pura forma). O segundo é o que hoje se interpreta como conjunto.

  Abs.,

   Fernando

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[Márcio Palmares]

Valeu pela observação, Fernando! Obrigado! :-)

É possível que o John L Bell estivesse com versões mais antigas das elaborações do Lawvere em mente...

Por exemplo, naquele artigo clássico, de 1975, frequentemente citado como um dos marcos do nascimento da teoria de topos, "Continuously variable sets; algebraic geometry = geometric logic", há na introdução uma discussão extensa sobre o problema da variação contínua e a forma como ele foi tratado pela matemática clássica, por meio da "deificação platônica dos pontos, revivida pela teoria dos conjuntos". Cantor não leva a culpa aqui diretamente, mas a aritmetização da análise e a teoria dos conjuntos são identificadas como a fonte dos problemas filosófico-conceituais envolvendo a continuidade (o surgimento de paradoxos, por exemplo). A solução apresentada pela matemática clássica é considerada precária, consistindo, grosso modo, em uma "discretização" do contínuo. Uma noção mais apropriada do contínuo é defendida, mais próxima do pensamento original dos fundadores do cálculo (usando infinitesimais nilpotentes), o que por sua vez exige uma lógica intuicionista, que surge no entando a posteriori, em vez de ser imposta de antemão como lógica "subjacente". Não há lógica "subjacente" neste paradigma, aqui a lógica emerge do sistema matemático em consideração, é "conteúdo-dependente". Alguns sistemas são clássicos, outros não, mas a matemática precede a lógica, a lógica deriva da matemática, contrariamente ao que acontece no paradigma da matemática clássica, em que devemos banir da matemática qualquer criatura que desafie os rígidos preceitos da lógica (clássica) "subjacente". (Esse ponto de vista é defendido pelo Miró Quesada no artigo que eu mencionei.)

Em outros trabalhos mais populares do William Lawvere às vezes Cantor é identificado com a teoria de conjuntos atual, e talvez o John L. Bell estivesse reproduzindo também essa tendência simplificadora... :-)

Abraços,

Márcio

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[Joao Marcos]

Sobre o terceiro-excluído e o teorema de Cantor-Schroder-Bernstein:

"Sobre Cantor e o terceiro excluído, ainda, vale notar que este artigo postado no arXiv em 2019 (mesmo ano em que foi publicado o livro do John L Bell sobre o contínuo e o infinitesimal?), e atualizado pela última vez há apenas dois meses, afirma que o  teorema de Cantor-[Schröder]-Bernstein não pode ser demonstrado sem apelo ao Princípio do Terceiro Excluído:

https://arxiv.org/abs/1904.09193
Isto tem um impacto importante, claro, na caracterização da ordem usual entre cardinais transfinitos."

Muito interessante... O que eu sabia a respeito desse teorema é que ele não pode ser demonstrado por métodos puramente categoriais, pelo cálculo categorial (usando apenas a álgebra da composição de morfismos). Para demonstrá-lo precisamos lançar mão de ferramentas especiais disponíveis na categoria dos conjuntos e funções. A primeira vez que tomei ciência disso, achei que era uma falha do poder descritivo da teoria de conjuntos categorial, mas o William Lawvere não interpreta dessa maneira. Ele simplesmente diz que, como o cálculo categorial é insuficiente, temos um indício de que devem existir categorias em que a afirmação não é um teorema, ou seja, é mais uma propriedade especial da categoria de conjuntos e funções (como o axioma de escolha, que é dito ser equivalente ao princípio do terceiro excluído):

Não sei exatamente como seria formulada esta equivalência entre o Axioma da Escolha e o Princípio do Terceiro Excluído, mas no 

--

http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Joao Marcos]

(Perdão, cliquei em algo aqui antes da hora. Continuo...)

On Sat, Oct 22, 2022 at 10:49 AM Joao Marcos <boto...@gmail.com> wrote:
>>
>> Sobre o terceiro-excluído e o teorema de Cantor-Schroder-Bernstein:
>>
>> "Sobre Cantor e o terceiro excluído, ainda, vale notar que este artigo postado no arXiv em 2019 (mesmo ano em que foi publicado o livro do John L Bell sobre o contínuo e o infinitesimal?), e atualizado pela última vez há apenas dois meses, afirma que o teorema de Cantor-[Schröder]-Bernstein não pode ser demonstrado sem apelo ao Princípio do Terceiro Excluído:
>> https://arxiv.org/abs/1904.09193
>> Isto tem um impacto importante, claro, na caracterização da ordem usual entre cardinais transfinitos."
>>
>> Muito interessante... O que eu sabia a respeito desse teorema é que ele não pode ser demonstrado por métodos puramente categoriais, pelo cálculo categorial (usando apenas a álgebra da composição de morfismos). Para demonstrá-lo precisamos lançar mão de ferramentas especiais disponíveis na categoria dos conjuntos e funções. A primeira vez que tomei ciência disso, achei que era uma falha do poder descritivo da teoria de conjuntos categorial, mas o William Lawvere não interpreta dessa maneira. Ele simplesmente diz que, como o cálculo categorial é insuficiente, temos um indício de que devem existir categorias em que a afirmação não é um teorema, ou seja, é mais uma propriedade especial da categoria de conjuntos e funções (como o axioma de escolha, que é dito ser equivalente ao princípio do terceiro excluído):

Não sei exatamente em que termos seria formulada esta alegada

equivalência entre o Axioma da Escolha e o Princípio do Terceiro

Excluído, mas ao menos no que diz respeito a
Cantor-Schröder-Bernstein, vale apontar que o Axioma da Escolha NÃO é
necessário para a sua demonstração.

Você teria como compartilhar o artigo do Miró Quesada, Márcio?

[Márcio Palmares]

Ops, ops, ops... Me desculpem pois eu disse uma coisa errada. Não é "equivalência entre o Axioma de Escolha e a lei do terceiro excluído", como eu disse incorretamente. O que se demonstra é que o Axioma de Escolha implica a lei do terceiro excluído, mais precisamente: em um topos E onde vale o Axioma de Escolha, vale a lei do terceiro excluído (o topos E é booleano).

"Diaconescu (1975) discovered that the axiom of choice implies excluded middle. (...).

Theorem 17.9 If the axiom of choice holds for E, then E is Boolean."

(Colin McLarty, Elementary Categories, Elementary Toposes, p. 163)

Então, temos pelo menos duas características distintivas da categoria dos conjuntos e funções que implicam a lei do terceiro excluído: o Axioma de Escolha e o teorema de Cantor-Schoroeder-Bernstein, muito interessante...

Aí vai o artigo do Francisco Miró Quesada, "Logic, Mathematics, Ontology", em anexo. Quando eu estou na universidade (UFPR), consigo baixar o livro em qualquer computador de lá no site Springer. Mas quando estou em casa, não dá para baixar (é claro que tem o livro na z-library, pirata). Aqui vai o link (outras universidades devem conseguir acessar também):

https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-011-5690-5

Abraços,

Márcio

[Joao Marcos]

> Aí vai o artigo do Francisco Miró Quesada, "Logic, Mathematics, Ontology", em anexo. Quando eu estou na universidade (UFPR), consigo baixar o livro em qualquer computador de lá no site Springer. Mas quando estou em casa, não dá para baixar (é claro que tem o livro na z-library, pirata). Aqui vai o link (outras universidades devem conseguir acessar também):
>
> https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-011-5690-5

Obrigadíssimo, Márcio.

[Cassiano Terra Rodrigues]

Camaradas, essa discussão é realmente muito interessante. 

Com relação ao livro do Haddad, não o li e não posso me pronunciar, mas conferi o texto disponibilizado online, mencionado pelo JM. Não é a primeira vez q Haddad escreve mesclando experiência pessoal com política. Por melhor escritor ele seja, e por mais q seja nele o meu voto institucional para o governo do estado, sugiro a leitura de Bourdieu, "A ilusão biográfica". 

Com relação à discussão matemática, propriamente, não tenho competência para discutir os desenvolvimentos da matemática no século XX. Se escrevo, então, é na tentativa de não parecer demasiado arbitrário para lembrar apenas uma perspectiva q estudei um pouco e, penso eu, pode ajudar a pensar certos aspectos da discussão, uma vez q, como professor de filosofia, não posso deixar de notar q o labirinto do continuum de Leibniz ainda causa grandes especulações. 

A questão da validade do 3º excluído aparece já na filosofia de C.S. Peirce. Peirce critica a identificação do conjunto dos números reais com um genuíno continuum, mas eu não vou entrar nisso aqui, pois não conseguiria resumir e envolve mais matemática do q eu conheço. Vou direto para a concepção de continuidade, que CSP entende de duas maneiras, segundo as suas categorias de primeiridade (relativa a puras possibilidades, o que ele chama de "vagueness", vagueza), segundidade (relativa a existências reais, ou fatos brutos, como ele se expressa) e terceiridade (relativa a mediações semióticas e, por conseguinte, generalidades). CSP afirma que o 3º excluído não se aplica ao que é geral, ao passo que o princípio de contradição não se aplica ao que é vago. Vagueza e generalidade são continua, no sentido de que alguma qualidade no contínuo de qualidades ou nunca pode ser identificada com precisão absoluta e, portanto, só pode ser entendida como uma variação infinitesimalmente pequena do aspecto qualitativo em questão, ou pode vir a ser identificada, embora nem sempre o seja.  

CSP não quer dizer que. para uma proposição p , nem tanto p como não-p são válidos ou inválidos, ou seja, ele não afirma q vários valores de verdade são possíveis para uma mesma situação conhecida. Peirce enfatiza propriedades na lógica de predicados: para todas as propriedades p , nenhum sujeito tem e simultaneamente não tem a propriedade p  (nem tanto “S é P” quanto “S não é P”), e assim o princípio da não-contradição apenas vale para itens (sujeitos, se pensarmos numa proposição categórica) explicitamente definidos. Mas a vagueza não é exatamente uma propriedade, é o domínio do q é apenas possível, e possibilidades não podem ser esses itens ou sujeitos. O estatuto metafísico das possibilidades é assim – e este é um movimento típico de Peirce – definido por uma interpretação ontológica dos princípios lógicos. Ontologicamente falando, há possibilidades e, como tais, possibilidades não excluem as suas contrárias impossibilidades.  Em outras palavras, se algum sujeito singular é ou não uma instância de uma certa possibilidade, isso não pode ser decidido com base na possibilidade ela mesma - se um sujeito pode ser, esse seu "poder-ser" não exclui o seu "poder-vir-a-não-ser". O fato de o princípio da não-contradição não valer refere-se, assim, ao caráter modal das entidades que a categoria de primeiridade descreve (digamos assim, perdoem-me a expressão). A expressão lógica dessa situação é que “S pode ser P” e “S pode ser não-P” podem ser ambas proposições verdadeiras. Assim, tanto “Pode chover amanhã” quanto “Pode não chover amanhã” são verdadeiras.

A generalidade também é contínua, mas, por outro lado, pode ser especificada relativamente às suas instâncias particulares em eventos reais e, por isso, o 3º excluído não vale para ela. Assim como antes, não devemos entender essa afirmação tendo em mente a formulação do 3º excluído de que uma proposição p pode ser V ou F ou nenhuma das duas coisas. Assim, não podemos afirmar que proposições referentes a mediações gerais, v.g, "Todos os prefeitos são políticos", aceitam um terceiro valor de verdade, como seria o caso se fosse descartado o 3º excluído tal como concebido pela lógica proposicional mais conhecida atualmente. A ideia de CSP é que, para todas as propriedades P, qualquer sujeito tem propriedade P ou não (ou “S é P” ou “S é não-P”). Mais uma vez, o princípio vale explicitamente apenas para indivíduos definidos. Dessa forma, dizer que o 3º excluído não se aplica remete ao estatuto ontológico do tipo de possibilidades que são gerais e caracterizadas pela terceiridade , ou seja, algo da natureza de um poder ser – e estes não são os sujeitos exigidos pelo 3º excluído. Aqui, a expressão lógica é que tanto “S tem que ser P” quanto “S tem que ser não-P” podem ser falsos (“É necessário chover amanhã” e “Não é necessário chover amanhã”). E mesmo que ocorra um caso especial, a falha geral do 3º excluído se deve ao fato de que os objetos singulares do continuum de possibilidades permanecem indeterminados em relação a todos os aspectos que não são abrangidos pela possibilidade real do continuum em questão. Assim, esses objetos possuem muitos aspectos indeterminados. Disso, CSP pode concluir: “O geral pode ser definido como aquilo a que o princípio do terceiro excluído não se aplica. Um triângulo em geral não é isósceles, nem equilátero; nem é um triângulo em escaleno geral [mas algum triângulo tem de ser, ele afirma alhures]. O vago pode ser definido como aquilo a que o princípio de contradição não se aplica. Pois não é falso que um animal (num sentido vago) seja macho, nem que um animal seja fêmea [mas se não é nem uma nem outra coisa, só é possível dizer especificando o indivíduo]”. [CP 5.505]. Outras especificações de continuidades são igualmente possíveis e indeterminadas (diferentes tipos de triângulos), enquanto no caso de imprecisões podem aparecer propriedades contraditórias (animais hermafroditas ou sem gênero). Em outras palavras, relativamente à secundidade, a categoria dos fatos brutos e da existência determinada, uma existência real pode ser definida pela validade de ambos os princípios, pois a individualidade, quando considerada como a determinação completa de todas as propriedades, deve obedecer a ambos os princípios: é necessário a um determinado indivíduo possuir a propriedade p ou não a possuir (possuir a sua contraditória não-p), mas não ambas: "Embora os princípios de contradição e 3º excluído possam ser considerados como se constituíssem, juntos, a definição da relação expressa por 'não', ainda assim, eles também implicam que tudo o que existe consiste em indivíduais”. [CP 3.612]. Em resumo, é um ato pragmático de "asserção" q torna possível determinar o que se fala, e como, e porque é isto e não aquilo etc. 

Peirce, no entanto, e sem surpresa alguma, é claro, não aceitava a determinação absoluta de todas as propriedades como uma definição do modo existencial dos objetos ou eventos individuais e reais, pois isso tornaria impossível superar a descontinuidade. Vagueza e generalidade também são inerentes à existência individual, ainda que de forma “infinitesimal” (por falta de uma palavra melhor), em contraste com as duas categorias de possibilidade contínua. É por isso que Peirce mantém uma definição (platônica, note-se) de existência individual como reatividade : “Tudo o que existe, ex-iste , isto é, realmente age sobre outros existentes, então obtém uma auto-identidade e é definitivamente individual”. [EP II: 342]. Eu poderia reagir ou ter reagido contra a minha vontade, diz ele em outro lugar. De acordo com essa definição, portanto, apenas objetos ideais podem ser absoluta e completamente determinados, e assim a determinação totalmente completa e absoluta e a submissão aos princípios do 3º excluído e de contradição só é possível para objetos ou eventos ideais. Poder-se-ia destacar indivíduos singulares em todas as dimensões da realidade e níveis do discurso sem impor absolutamente a exigência ontológica da determinação completa, pois a reatividade é o caráter definidor da haecceitas do indivíduo. Parece q, ao menos isso, estamos vendo bem nos nossos tempos. 

Nas histórias da matemática q eu conheço, raramente o nome de C. S. Peirce é mencionado; às vezes, seu pai, Benjamin Peirce, é lembrado como descobridor da idempotência, e quase só isso. É compreensível, vez q CSP era um outsider mesmo enquanto vivo e a narrativa dominante do desenvolvimento da lógica e da matemática no século XX tornou hegemônica uma história q inclui Cantor, Frege, Russell-Whitehead, Gödel, ZF em linha mais ou menos contínua. Ultimamente, as contribuições de CSP têm sido recuperadas. Eu, particularmente, não acho q se trata apenas de contribuições potenciais à história da lógica, uma vez q Tarski conhecia muito bem os trabalhos de CSP (as palestras na UNICAMP mostram isso) e q o teorema de Löwenheim-Skolem pode ser remontado aos escritos sobre lógica dos relativos (ver o trabalho de Geraldine Brady). Então, dada essa digressão, penso q é bastante razoável considerar q sempre é possível pragmatizar as nossas dicotomias de modo a usar a lógica sem sacrificar as possibilidades, q sempre existem, mesmo q momentaneamente não consigamos identificá-las. Mas alguém consegue e isso é o q faz diferença. 

Perdoem-me se escrevo demais, tenho essa tendência a ser prolixo, mas é por receio de errar. 

Abraços,

cass. 

 

[Valeria de Paiva]

Mais um ponto pra conversa de voces:

>https://arxiv.org/abs/1904.09193

Cantor-Bernstein implies Excluded Middle

Pierre Pradic, Chad E. Brown

We prove in constructive logic that the statement of the Cantor-Bernstein theorem implies excluded middle. This establishes that the Cantor-Bernstein theorem can only be proven assuming the full power of classical logic. The key ingredient is a theorem of Martín Escardó stating that quantification over a particular subset of the Cantor space 2ℕ, the so-called one-point compactification of ℕ, preserves decidable predicates.

abracos logicos,

Valeria

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[Márcio Palmares]

Obrigado, Valeria!

O Joao Marcos também apontou esse artigo aí. :-)

Uma coisa que eu notei com o passar dos anos foi que existe uma barreira que às vezes dificulta a conversa entre nós que nos reivindicamos categoristas (eu ainda no nível amador, mas pleiteando promoção para o nível semi-profissional) e os matemáticos e lógicos que não são categoristas.

Essa barreira se chama "Kreisel", mais precisamente as objeções de Kreisel ao uso da teoria de categorias em investigações fundacionais.

Encontrei uma palestra muito bacana do Jean-Pierre Marquis sobre este assunto, que pode ajudar bastante as pessoas que possam estar sentindo certo desconforto ao transitar de um paradigma para o outro:

https://youtu.be/efd7oiUDPy0

Abraços,

M.

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