Critério de Identidade na Matemática

[Durante]

Caros colegas lógicos,

Dia desses um colega me disse que uma ordem linear densa enumerável e sem extremos é uma estrutura matemática que não apresenta nenhum critério de identidade para os seus objetos.

Dois exemplos de ordens lineares densas enumeráveis e sem os extremos são:

(1) a ordem dos números racionais;

(2) a ordem dos números racionais estritamente maiores do que 0 e estritamente menores do que 1.

Minha primeira reação foi pensar: isso é bobagem!

Para simplificar e exemplificar, vou argumentar aqui focando apenas no exemplo (2), a ordem dos racionais maiores que 0 e menores que 1. Mas tudo o que estou dizendo me parece facilmente generalizável para qualquer ordem deste tipo.

Suponha que eu "pegue" um número em (2) e chame-o de 'd', e um de vocês, digamos o Samuel, também "pegue" um número em (2) e chame-o de 's'. Nós conseguiremos saber usando apenas sentenças da estrutura (2) se eu e Samuel pegamos o mesmo número ou não. A estrutura (2) é "forte" o suficiente para atribuir valor de verdade às sentenças (3) e (4) abaixo:

(3) d < s

(4) s < d

Se (3) e (4) forem ambas falsas, ou seja, se nenhum dos números for menor do que o outro, então saberemos que escolhemos o mesmo número. Ou seja (d = s). Caso uma das sentenças seja verdadeira, a outra será obviamente falsa, e neste caso saberemos que escolhemos números diferentes. Ou seja (d ≠ s).

Bem, então temos um critério de identidade na estrutura (2). Para quaisquer números racionais d e s maiores do que zero e menores do que um:

(5) (d = s) <=> ~(d < s) & ~(s < d).

Ok. Mas suponha agora que eu peça para o Samuel apontar para o número 1/2 usando apenas os recursos dados pela estrutura (2). Eu não tenho certeza se Samuel conseguiria fazer isso, mesmo sendo ele o grande matemático que todos sabemos que é. Como ele saberia se um dado número q desta estrutura é ou não igual a 1/2 sem usar nenhum recurso externo? Como ele acharia o 1/2 entre estes racionais?

Uma resposta possível poderia ser: ora, basta ele aplicar o critério de identidade que definimos acima. Como 1/2 é um racional entre 0 e 1, então ele é um dos elementos da estrutura (2), que portanto é capaz de atribuir valor de verdade a (q < 1/2) e a (1/2 < q). Se ambas forem falsas, (q = 1/2), caso contrário, (q ≠ 1/2). Então, bastaria a Samuel, que tem os superpoderes de um matemático e não se preocupa com restrições meramente computacionais e construtivistas, fazer este teste com TODOS os números racionais entre 0 e 1 e apontar para aquele único que não é nem maior nem menor do que 1/2. Pronto. Ele conseguiria assim apontar para 1/2.

Hum... mas espere um pouco. Tem uma casca de banana aí em cima. Para começar a fazer o teste acima, Samuel já tem que ter o número 1/2 disponível para comparar com todos os outros. Para conseguir apontar para o número 1/2 ele já teria que ter o número 1/2 à sua disposição. Mas eu o estou proibindo de usar qualquer informação não obtida da estrutura (2). A moral da estória é: ainda que 1/2 seja um dos números racionais maiores do que zero e menores do que um, a identificação de um número como sendo 1/2 exige mais recursos do que uma ordem linear densa, enumerável e sem os extremos pode nos dar.

Falando isso de um jeito mais filosófico, eu diria que uma ordem linear densa, enumerável e sem os extremos não é suficiente para definir o conceito do número racional 1/2. O significado matemático de 1/2 (metade) exige mais do que uma tal ordem pode nos dar. Eu usei 1/2 apenas como um exemplo. Na verdade, nenhum número racional específico é identificável em (2). Ou, dito de um modo ainda mais geral, uma ordem linear densa enumerável e sem extremos é uma ordem tão fraca que é impossível fazer referência não ambígua a qualquer de seus elementos. Apesar de numericamente distintos, é como se todos os elementos de uma tal ordem fossem cópias da mesma coisa idêntica em todos os outros aspectos.

Vou tentar explicar. Tudo que (2) me autoriza a afirmar de um dado elemento s é sua ordem relativa a outros elementos de (2). Ou seja, para afirmar algo de s eu preciso de outros elementos s1,...,sn e preciso posicionar s e estes outros elementos na ordem, tal como: 

(6) s1 < ... < s < ... < sn

Mas seja qual for o posicionamento de s, sempre haverá infinitos outros objetos em (2) que se relacionam com s1,...,sn da mesma maneira que s se relaciona, ou seja, que ocupam a mesma posição de s apontada em (6). 

Então as coisas que podem ser ditas em (2) de seus elementos não os individualizam, porque  qualquer coisa que pode ser dita em (2) de algum de seus elementos, pode ser dita de infinitamente muitos outros. 

Parece, então, que a única verdadeira identificação dos distintos indivíduos da estrutura (2) é a identidade numérica. Não há mais nada em (2) que os distinga uns dos outros.

Como falar isso de um jeito mais matemático e mais simples? Como dizer de um jeito matematicamente simples que a estrutura (2) não fornece um critério para identificarmos, por exemplo, o número 1/2? Eu acho que poderíamos dizer isso através do seguinte teorema:

(7) TEOREMA - Seja S o conjunto de todos os números racionais r tais que 0 < r < 1. Para cada s ∈ S existe uma função bijetora f_s:S→S tal que, para todo t,u ∈ S:

   . f_s(s) = 1/2 

   . (u < t) <=> (f_s(u) < f_s(t))

Ou seja, para cada s ∈ S existe um isomorfismo f_s em S que mapeia s em 1/2 e que preserva a ordem dos racionais. Isso significa que qualquer elemento de S pode "funcionar" como 1/2, pode "fazer o papel de" 1/2, porque 1/2 não tem papel nenhum na estrutura (2). A estrutura (2) é muito caótica. Ela não nos ajuda nem a contar nem a medir.

Isso é bem estranho para a minha intuição (discreta e finitária). Deixe-me ilustrar um pouco. Suponha que s seja um número racional bem perto de 0. Algo como 0,0000000000001.

Não importa quão perto 0,0000000000001 esteja de 0, existe uma bijeção f em que f(0,0000000000001)=1/2 e que mapeia unicamente (espalhando) cada racional entre 0 e 0,0000000000001 em cada racional entre 0 e 1/2, e que também mapeia unicamente (espremendo) cada racional entre 0,0000000000001 e 1 em cada racional entre 1/2 e 1. E esta bijeção é um isomorfismo, pois preserva a ordem dos racionais. Ou seja, (u < t) <=> (f(u) < f(t)).

Como eu entendo isso? Bem, esta ideia de estar mais perto de 0 ou de 1 ou de estar no meio, não faz sentido na estrutura (2). Apesar da ordem, nenhum dos elementos de (2) está mais perto de 0 ou de 1 do que qualquer outro. A ordem é densa, mas enumerável e sem extremos. Isso é quase nada. Viajando um pouco, acho que um bom nome para uma tal ordem seria "quase-caos". 

Generalizando o teorema (7) obtemos:

(8) TEOREMA - Seja S o conjunto de todos os números racionais r tais que 0 < r < 1. Para cada s,u ∈ S, existe uma função bijetora f_su:S→S tal que para todo t,v ∈ S:

   . f_su(s) = u 

   . (v < t) <=> (f_su(v) < f_su(t)) 

Ou seja, dados quaisquer 2 números racionais s e u maiores que 0 e menores que 1, existe um isomorfismo f_su em S que mapeia s em u e que preserva a ordem dos racionais. Isso significa que qualquer elemento de S pode fazer o "papel" de qualquer outro elemento de S e, portanto, os elementos de S são cópias da mesma coisa. São distinguíveis apenas numericamente (ser o mesmo e ser outro), mas fora isso, são idênticos.

Bem. Finalmente minhas dúvidas.

D1. Alguém conhece este teorema (8)? Bem, eu acho que (8) é um teorema. Parece bem plausível, apesar de, pelo menos para mim, contra-intuitivo. Suspeito, inclusive, que ele tenha uma prova simples. Se não me engano, a versão do teorema (8) para o caso geral de qualquer ordem linear densa sem extremos foi demonstrada pelo próprio Cantor. Mas não estou certo. Algum palpite da prova?

D2. Vocês acham que este teorema (8) é uma boa "interpretação matemática" do caso em questão? Meu colega disse que (2) é uma estrutura matemática que não contém nenhum 'critério de identidade' para os seus objetos. Mas eu acho que isso é um exagero. Há um critério de identidade. d e s são o mesmo se (~(d<s)&~(s<d)), e são distintos caso contrário. O que eu acho que falta a (2) [a todas ordens lineares densas enumeráveis e sem extremos] é um critério de especificidade, ou de definibilidade. Não há nada que eu possa dizer em (2) de um certo individuo que não seja verdade também de algum outro. Ou seja, todas as sentenças (finitas) de (2) que são verdadeiras de um objeto s, são também verdadeiras de muitos outros. (2) não tem capacidade de especificar nenhum de seus objetos. Então, eu diria que o que falta a (2) é um critério de definibilidade ou especificidade. Vocês acham que o teorema (8) captura esta ideia?

Desculpem a longa mensagem e sintam-se a vontade para corrigir qualquer bobagem que eu tenha escrito.

Saudações,

Daniel.

[Rodrigo Freire]

Olá Daniel,

1- Sim, o teorema é conhecido, e há uma demonstração é simples: Como todas as ordens enumeráveis densas e sem extremos são isomorfas a Q (= estrutura dos racionais com sua ordem), basta demonstrar para esse caso. A função x + (u - s) é um isomorfismo de Q em Q. 

2- Para responder isso é importante considerar que essa discussão é conhecida no contexto do estruturalismo em filosofia da matemática. Considere o seguinte slogan estruturalista: "A estrutura tem prioridade sobre seus indivíduos, estes devem ser entendidos apenas como posições ou papéis desempenhados na estrutura". Vamos assumir isso. Então seria de se esperar que os diferentes indivíduos da estrutura corresponderiam a diferentes papeis desempenhados. Mas em uma estrutura como Q os indivíduos não podem corresponder a papeis desempenhados desse modo. Um exemplo mais simples: Considere a estrutura com dois indivíduos a e b e a relação binária {(a,b) , (b,a)}. Os indivíduos a e b desempenham o mesmo papel (de estar na relação com o outro). Como poderíamos dizer que a e b são meros papeis desempenhados se parece que só há um papel desempenhado nessa estrutura? É desse modo que entendo o problema, e considero um bom argumento contra o slogan estruturalista.

Abraço

Rodrigo

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[Joao Marcos]

Para além do "teorema do vaivém" de \omega-categoricidade demonstrado
por Cantor, já indicado por Rodrigo, talvez valha a pena apontar
também, com relação ao debatido "critério de identidade", do ponto de
vista efetivo, que a teoria das ordens lineares densas sem pontos
extremos possui eliminação de quantificadores (e, curiosamente, deixa
de possuir se os elementos extremos forem "acrescentados" à estrutura
e à sua correspondente teoria).

JM

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--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Daniel Durante]

Caros Rodrigo e João,

Obrigado pelas respostas. Obrigado pela demonstração, Rodrigo!

Sobre o argumento contra o estruturalismo:

> Considere a estrutura com dois indivíduos a e b e a relação binária {(a,b) , (b,a)}. Os indivíduos a e b desempenham o mesmo papel (de estar na relação com o outro). Como poderíamos dizer que a e b são meros papeis desempenhados se parece que só há um papel desempenhado nessa estrutura? É desse modo que entendo o problema, e considero um bom argumento contra o slogan estruturalista.

Eu acho um ponto interessante, Rodrigo, mas não uma refutação do estruturalismo. O estruturalista poderia argumentar que, apesar de ser verdade que há 2 indivíduos e apenas 1 papel nesta estrutura, este papel único EXIGE um outro indivíduo. O papel único desta estrutura é estar em relação com algo distinto de si próprio. Então este papel é único, mas para ser cumprido (realizado, efetuado,...) por um certo indivíduo, este papel demanda outro indivíduo. E esta demanda pode ser entendida como a marca da prioridade da estrutura sobre os indivíduos. Acho que o estruturalista não elimina os indivíduos, mas apenas os submetem aos papéis que eles ocupam nas estruturas matemáticas. Os indivíduos (o número 7, por exemplo) não teriam independência ontológica. A realidade dos indivíduos seria dada exclusivamente pelos papéis que eles ocupam. Para o estruturalista o número 7 não é uma coisa, mas um papel específico dado por sua posição em uma progressão.

Abraços,
Daniel.
-----
Departamento de Filosofia - (UFRN)
http://danieldurante.weebly.com

[Rodrigo Freire]

Olá Daniel,

Se há dois indivíduos e apenas um papel, não podemos dizer que um indivíduo *é* um papel na estrutura. Se fossem, não poderiam ser dois. Podemos dizer, claro, que eles desempenham o mesmo papel, que esse papel exige outro, etc, mas não podemos usar a fórmula indivíduo = papel desempenhado. Falta dizer o que os indivíduos são para o estruturalista. 

A mesma coisa acontece na estrutura da ordem dos racionais Q, ou dos inteiros Z ou dos reais R. Há uma infinidade de indivíduos e apenas um papel. Não podemos dizer que os indivíduos *são* papeis nessas estruturas, porque só há um papel e muitos indivíduos. Os indivíduos não podem *ser* a mesma coisa e, ao mesmo tempo, distintos entre si.

Abraço

Rodrigo

 

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[Joao Marcos]

Rodrigo, eu certamente li mal a moral que você extraiu do seu próprio
argumento "anti-estruturalista" na mensagem anterior, mas no contexto
do que havia dito Daniel eu achei que você havia na realidade
apresentado um argumento A FAVOR do slogan estruturalista, a saber:
como não haveria um critério de individuação adequado, na _estrutura_
sugerida por Daniel, simplesmente _não valeria a pena_ falar em
indivíduos como entidades separadas, mas apenas no seu papel na
estrutura! (no caso em tela, um único papel para todos os indivíduos)

O que haveria de errado em tal leitura?

###

De uma maneira ou de outra vale apontar que, na estrutura apresentada,
pode até não haver critérios de identidade úteis, mas há claramente
critérios de "separação" (apartness) entre indivíduos, dados pela
própria relação de ordem estrita.

###

JM

> --
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[Rodrigo Freire]

Olá João

Esse argumento é contra a posição estruturalista. Vou tentar esclarecer isso primeiro, depois volto à sua questão.

O estruturalista pretende inverter a ordem de dependência entre as estruturas e seus indivíduos. Na ordem usual, as estruturas são obtidas a partir dos indivíduos. O estruturalista propõe o contrário.

Para ser consequente com sua concepção de dependência, o discurso estruturalista deveria idealmente eliminar referência direta aos indivíduos, e se referir a eles por meio da estrutura. A estratégia estruturalista para realizar isso é a seguinte:

Em uma estrutura, um indivíduo a desempenha um papel determinado p(a). Podemos inverter isso e fazer referência ao indivíduo a através de p(a). Sempre que quisermos falar de a falamos de p(a) no lugar, e p(a) é puramente estrutural.

O problema é que em algumas estruturas há menos papéis que indivíduos, há indivíduos a e b tais que p(a) é p(b). Nesse caso a estratégia estruturalista falha por ambiguidade.

Voltando a sua questão. O estruturalista certamente acredita que não vale a pena falar em indivíduos como entidades separadas, mas ele tem o problema de explicar como exatamente eliminar os indivíduos. O que o argumento apresentado ataca é exatamente a explicação estruturalista de como eliminar esse discurso sobre indivíduos como entidades separadas. Não é um argumento que diz que todo o ponto de eliminar indivíduos deve ser abandonado, apenas que essa explicação em termos de papel desempenhado não funciona.

Abraço

[Samuel Gomes]

Olás,

Aqui é o Samuel de verdade, nao o personagem da mensagem do Daniel 8-).

Respondendo mais à sua mensagem mesmo Daniel, a questao me parece mais de definibilidade do que de identidade.

A estrutura que você apresenta, pela tal categoricidade que vem do teorema do vaivém que JM lembrou (o famoso "back and fourth"),

é uma estrutura deveras homogênea: qualquer isomorfismo entre subestruturas finitas pode ser estendido a um automorfismo

da estrutura inteira; ora, entao a estrutura nao tem elementos definíveis, pois elementos definíveis têm que ser, necessariamente,

fixados por qualquer automorfismo. O que segue da...  definicao de definibilidade !

O que o seu colega deveria estar tentando te dizer é isso daí de cima, ele deveria estar se referindo à notável homogeneidade

da estrutura. Supondo que o seu colega seja um matemático, ele possivelmente nao estava pensando em "identidade"

com o rigor que é discutido em Lógica ou Filosofia.

Atés, espero ver todos em breve no EBL,

[]s  Samuel

PS: Uma busca rápida aqui me deu este paper que é um survey sobre estruturas homogêneas:

https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0012365X11000422

[Daniel Durante]

Caros Samuel, Rodrigo e João,

Muito obrigado pela explicação, Samuel. Acho então que eu estava mais ou menos correto em minha desconfiança. O problema é que eu estou em um período sabático e o “colega” que disse isso foi ninguém menos que Saul Kripke, com quem estou tendo o privilégio de fazer disciplinas (como estudante) aqui na CUNY. Então mais do que um matemático e um filósofo, ele é o Kripke! Melhor eu não discutir :)

Quanto ao tema do estruturalismo, levantado pelo Rodrigo, eu concordo com você, Rodrigo, quando afirma que o seu argumento é forte o suficiente para refutar a ideia de que não há indivíduos na matemática, e que podemos identificar indivíduos com “papéis”. Também acho que não podemos. Mas o argumento não me parece forte o suficiente para garantir a independência ontológica dos indivíduos, ou a prioridade dos indivíduos sobre as estruturas. O estruturalista pode ainda defender-se afirmando que o assunto da matemática são as estruturas, e não os indivíduos. Um indivíduo é qualquer coisa que cumpra o papel que uma estrutura determina. E aqui, não vejo qualquer problema em um único papel exigir mais de um indivíduo para ser cumprido. O negócio da matemática seria apresentar e descrever estruturas, independentemente de elas serem ou não instanciadas.

No seu exemplo da estrutura descrita pela relação {(a,b),(b,a)}, só há um papel:

- estar em uma relação simétrica e não reflexiva com o outro.

Veja que a própria descrição deste papel exige, para sua inteligibilidade, o “um” e o “outro”. Então, qualquer instância desta estrutura de um único papel precisa de 2 indivíduos. Mas isto não significa que haja duas coisas com independência ontológica cujas essências sejam “estar em uma relação simétrica e não reflexiva com o outro”. Eu, você e a relação de diferença instanciamos esta estrutura. Não faz sentido perguntar quem de nós é “a” e quem é “b”, porque tudo que pode ser “a” pode ser “b” também. Esta estrutura apenas descreve o que é cumprir o papel (único) de estar em uma relação simétrica e não reflexiva com o outro. Por um acaso há incontáveis instâncias desta estrutura. Mas mesmo se não houvesse nenhuma instância, a estrutura está bem definida.

Então não há uma única coisa que seja, por exemplo, o numero 3. O número 3 é qualquer coisa que atue como número 3. Pode ser {{{∅}}}, mas também pode ser {∅,{∅},{∅,{∅}}} e também pode ser as pedras em minha mão. Fazendo alguns ajustes, N-{3} funciona tão bem quanto N como o conjunto dos indivíduos da aritmética. Na falta do 3, podemos usar o 4 como 3, o 5 como 4 e assim por diante. Ser o numero 3 significa atuar como 3 e nada mais.

Ainda que a realidade seja finita, e que por isso a totalidade dos indivíduos da aritmética nunca seja completamente instanciada, a estrutura da aritmética continua bem definida. A aritmética não depende nem emana da existência dos números naturais. A estrutura da aritmética apenas descreve qual seria o comportamento de qualquer coisa que a instancie, independentemente de se algo, de fato, a instancia.

Isso parece pouco, mas não é. A matemática, nesta visão estruturalista mais suave, não é a disciplina que explica um domínio especifico da realidade. Ela NÃO é o entendimento que nosso intelecto dá a uma realidade pré-existente e independente de objetos matemáticos. Ao contrário. A matemática descreve e explica estruturas racionais de entendimento. Estas estruturas representam os nossos modos próprios e racionais de entender. Dependem apenas de nossa racionalidade, e não da existência daquelas coisas que as instanciam e que atuam segundo os papeis que as estruturas determinam. O único interesse da matemática são as próprias estruturas, que podem ser colocadas no âmbito de nossa razão e não da realidade. Isso definitivamente não é nominalismo, mas também não é puro platonismo.

Não me entendam mal. Não sei se ou um estruturalista ou não. Sou muito ignorante em matemática para julgar com alguma clareza. Estou apenas defendendo a plausibilidade da posição estruturalista menos radical.

Saudações,

[Bruno Bentzen]

Ola a todos,

Estou gostando muito da discussao e em especial do argumento do Rodrigo contra o estruturalismo, que me fez pensar bastante no assunto.

Considere a estrutura com dois indivíduos a e b e a relação binária {(a,b) , (b,a)}. Os indivíduos a e b desempenham o mesmo papel (de estar na relação com o outro). Como poderíamos dizer que a e b são meros papeis desempenhados se parece que só há um papel desempenhado nessa estrutura? É desse modo que entendo o problema, e considero um bom argumento contra o slogan estruturalista.

Pelo ponto de vista estruturalista, como observa o Rodrigo, objetos sao definidos exaustivamente por meio de seus papeis na estrutura. Mas qual seria o criterio de identidade de duas estruturas? Acredito que o estruturalista iria dizer que duas estruturas sao identicas quando ha um isomorfismo entre elas, o que me parece bastante plausivel. Temos entao, digamos,

(R) a estrutura com dois indivíduos a e b e a relação binária {(a,b) , (b,a)}

(R') a estrutura com um indivíduo a e a relação binária {(a,a)}

para um estruturalista (R) e (R') nao seriam a mesma estrutura? Em outras palavras, nao haveria como falar de diferentes objetos com o mesmo papel. 

Isso faz algum sentido?

Abracos,

Bruno

--

Bruno Bentzen

https://sites.google.com/site/bbentzena/

[Rodrigo Freire]

Olá Bruno,

Acho que um exemplo um pouco diferente ilustra melhor o seu ponto. Considere as estruturas:

(R) a estrutura com dois indivíduos a e b e a relação binária total {(a,a) , (a,b) , (b,a) , (b,b)}  

(R') a estrutura com um indivíduo a e a relação binária {(a,a)}  

Como o estruturalista poderia distinguir (R) e (R')? Ambas as estruturas determinam apenas um papel, estar em relação com tudo. E o papel é o mesmo nos dois casos. Por que seriam estruturalmente distintas? Certamente elas são elementarmente equivalentes na linguagem sem identidade, e identidade não é um elemento estrutural. 

Também, certamente não são isomorfas, o estruturalista poderia responder. Mas isso ocorre só por falha da injetividade:

A função que manda a e b em a é um "isomorfismo não injetor" entre (R) e (R'). 

Agora, poderíamos dizer que a falha da injetividade não é uma falha estrutural aqui, é baseada na identidade dos indivíduos que não é estrutural. Ou seja, a injetividade falha porque a é diferente de b, mas essa diferença não é estrutural. Portanto, a exigência da injetividade não é uma exigência estrutural. A conclusão seria que não há como distinguir estruturalmente as estruturas (R) e (R'). 

Abraço

Rodrigo

Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/2c039b2c-03b9-4d5b-a995-c9cdebd0f519%40dimap.ufrn.br.

[Bruno Bentzen]

Oi Rodrigo,

Como vao as coisas?

Sim! Eu acabo de perceber que deveria ter sido um pouco mais claro quando sugeri que as estruturas (R) e (R') sao isomorficas! O que realmente quis dizer quando usei o termo 'isomorfismo' de modo informal eh que ambas estruturas determinam o mesmo objeto em um certo sentido --- por exemplo, equivalencia (no sentido da teoria das categorias). Para tentar explicar a ideia de um modo mais preciso, podemos pensar em (R) como uma categoria com apenas um componente conectado onde todos os morfimos sao isomorfismos e (R') como uma categoria com apenas um objeto e o morfimsmo de identidade (um ponto). Tais categorias sao equivalentes (mas certamente nao isomorficas).

Uma coisa legal e que o seu argumento tambem pode ser usado para ilustrar que a identidade de estruturas nao pode ser dada por isomorfismo (entendido no sentido usual), mas apenas por uma nocao mais fraca de igualdade, como atraves do ponto de vista categorial/homotopico que descrevo acima. Porem, atualmente tenho sido levado a acreditar que tal nocao de igualdade seria demasiado tecnica para ter uma motivacao filosofica solida. Essa eh uma das razoes pelas quais ultimamente ando um pouco pessimista em relacao a justificacao pre-matematica da empreitada da teoria de homotopia de tipos (HoTT).

Abraco,

Bruno

[Rodrigo Freire]

Olá Bruno,

É que na estrutura dada pela relação {(a,b), (b,a)}, a rigor, faltam as flechas identidade. Claro, podemos completar mentalmente, o que equivale a considerar a estrutura total. É o que você tinha em mente, e foi o que eu tentei pontuar. 

A estrutura (R) com dois indivíduos a e b e a relação binária total {(a,a) , (a,b) , (b,a) , (b,b)}  ilustra melhor o problema original. O papel desempenhado aqui não exige "outro". Na verdade, para falar em "outro" já precisamos da identidade, ou diferença, tanto faz, no domínio, que é o problema original. Mas nesse caso o papel desempenhado é apenas "estar relacionado com tudo", e a e b desempenham o mesmo papel. 

Abraço

Rodrigo

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