Pergunta sobre um conceito em teoria da ordem

[Claudio Callejas]

Boa noite prezados membros da lista,

Gostaria de saber se vocês sabem se já foi definido o seguinte conceito simples: Seja P um conjunto parcialmente ordenado e seja x um elemento de P. Estou precisando dar ou saber de um nome e uma notação para o conjunto formado por todos os elementos em P que são menores do que x.

Eu pesquisei na literatura que conheço de reticulados e de teoria dos domínios, mas não o encontrei. Sei que não posso ocupar como nome "proper principal ideal", porque corresponde a um ideal principal que é subconjunto próprio de P. Também sei que seria conveniente não utilizar como notação $\downarrow x$, porque é a utilizada para ideais principais, nem utilizar a notação $\Downarrow x$ nem a seta para abaixo com dupla cabeça acompanhado de x, porque em teoria dos domínios essas últimas duas notações são empregadas para denotar o conjunto way-below de um ponto x. Também não posso utilizar a notação approx(x), porque em teoria dos domínios corresponde ao conjunto formado por todos os elementos compactos que são menores ou iguais a x.

A notação que imagino é uma seta para abaixo com um pequeno círculo no começo da seta, acompanhado de x, tentando assim representar o fato que é aberto em x, mas que inclui os elementos abaixo dele. O problema é que não encontrei esse símbolo em LaTeX.

Caso o conceito não exista na literatura, não sei qual seria o nome nem a notação mais apropriada, por isso lhes agradeceria sugestões.

Abraços,

Claudio Callejas.

[Joao Marcos]

Gostaria de saber se vocês sabem se já foi definido o seguinte conceito simples: Seja P um conjunto parcialmente ordenado e seja x um elemento de P. Estou precisando dar ou saber de um nome e uma notação para o conjunto formado por todos os elementos em P que são menores do que x.

Se eu entendi bem a pergunta, Claudio, um dos nomes que isso costuma receber é "down set".  Há outros:

https://en.wikipedia.org/wiki/Upper_set 

(o verbete também inclui as notações mais usuais para estas coisas)

Abraços, Joao Marcos

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http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Claudio Callejas]

Oi João Marcos!

Obrigado pela resposta, mas não estou precisando definir um down set. Preciso dar um nome para o conjunto A={y \in P : y<x}, onde P é um conjunto parcialmente ordenado e x é um elemento de P. A diferença com o ideal principal gerado por x é que o conjunto A não contém x.

Abraços,

Claudio Callejas.

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[samuel]

Olá,

Em teoria dos conjuntos costumamos usar pred(a,x,r), predecessores de x no conjunto ordenado (a,r), para esse conjunto ao qual você

se refere. 

Fazemos isso mais normalmente para ordens lineares, mas não vejo porque não usar a mesma notação se a ordem não for linear.

Abraço

[]s  Samuel

[Joao Marcos]

Em teoria dos conjuntos costumamos usar pred(a,x,r), predecessores de x no conjunto ordenado (a,r), para esse conjunto ao qual você

se refere. 

Fazemos isso mais normalmente para ordens lineares, mas não vejo porque não usar a mesma notação se a ordem não for linear.

No caso de uma ordem linear r isto também poderia ser chamado (mais comumente?) de "right-open interval (bounded on x)", não?

[]s, Joao Marcos

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http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[samuel]

Olá,

Sim, por isso eu comentei que era uma notação bastante usada em teoria de conjuntos. Quando a gente vai pra topologia por exemplo a gente costuma chamar esse tipo de coisas de semi-retas ! E aí gera a topologia da ordem tomando a família das semi-retas, nos dois sentidos, como subbase.

Possivelmente no contexto que o Claudio procura já tenha uma terminologia específica.

Até

[]s  Samuel

[Claudio Callejas]

Bom dia,

Obrigado Samuel e João Marcos pelas respostas.

Samuel, você poderia, por favor, me enviar uma referência da área de teoria dos conjuntos onde esteja definido o termo predecessores de x no conjunto ordenado (a,r)? Gostaria de citar essa referência no meu trabalho.

O termo predecessores de x no conjunto ordenado (a,r) e a notação pred(a,x,r) fogem muito da terminologia das área de reticulados e teoria dos domínios, mas à falta de nome e notação para esse conceito nestas duas últimas áreas eu gostaria de sinalizar no meu trabalho que na área de teoria dos conjuntos o termo é chamado de predecessores de x, mas que eu irei chamá-lo de "right-open principal ideal generated by x" (estou adaptando a proposta de nome de João Marcos e trazendo a atenção que se parece ao conceito de ideal principal gerado por x). Enquanto à notação vou ter que pensar em algum tipo de seta, porque é a práxis da área.

De toda forma, se outro membro da lista conhece algum nome e notação para o conjunto {y \in P : y<x}, onde P é um conjunto parcialmente ordenado e x é um elemento de P, eu lhe agradeceria se pudesse me informar.

Abraços,

Claudio Callejas.

[Samuel Gomes da Silva]

Olá,

O livro do Kunen, "Set Theory - An Introduction to independence proofs" usa essa notação de pred(a,x,r)  (em geral para ordens lineares, como eu comentei).

Abraço

[]s  Samuel

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De: "Claudio Callejas" <ccalleja...@gmail.com>
Para: "samuel" <sam...@ufba.br>
Cc: "Joao Marcos" <boto...@gmail.com>, "Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA" <logi...@dimap.ufrn.br>
Enviadas: Sexta-feira, 3 de junho de 2022 10:10:41
Assunto: Re: [Logica-l] Pergunta sobre um conceito em teoria da ordem

[Jorge Petrucio Viana]

Bom dia!

Na "nova bíblia" sobre reticulados e ordens

Introduction to Lattices and Orders (2nd ed)

Davey and Priestley

CUP 2002

que contém um capítulo sobre teoria dos domínios, esse conjunto é chamado "down x". 

No texto, o conceito "down set" é definido, depois o conceito "down Q" e, finalmente, este último particularizado para "down x", quando Q = { x } (página. 20).

saudações lógicas,

P

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[samuel]

Olá,

Mas Davey/Priestley inclui o x ou não ? Porque até onde me lembre o down set de x pega o x próprio e todos abaixo, o Cláudio

aí não quer pegar o x.

Abraço

[]s  Samuel

[Jorge Petrucio Viana]

Será que Davey e Priestley iriam dar esse mole?

Tá lá na página 20: ↓x = { y ∈ P | y ≤ x }.

[Juan Carlos Agudelo Agudelo]

Olá,

No livro "Elements of Set Theory" de Enderton (1977), esse conjunto é chamado "initial segment up to x" (a definição está na página 173).

Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CACRvmVT2ySgdR_8Pe77frQb0irEV3-MqeDuhkyadMH9OPsaOYQ%40mail.gmail.com.

[Claudio Callejas]

Bom dia,

O livro do Kunen, "Set Theory - An Introduction to independence proofs" usa essa notação de pred(a,x,r)  (em geral para ordens lineares, como eu comentei).

Obrigado Samuel pela referência. Lhe agradeceria, só para ter certeza, se me pudesse confirmar se a relação r em pred(a,x,r) (pág. 103) é irreflexiva.

Na "nova bíblia" sobre reticulados e ordens

Introduction to Lattices and Orders (2nd ed)
Davey and Priestley
CUP 2002

Prezado Petrúcio, concordo com você, essa é uma excelente referência na área de reticulados e ordens. Também gosto do livro "Lattices and ordered sets" de Steven Roman.

No texto, o conceito "down set" é definido, depois o conceito "down Q" e, finalmente, este último particularizado para "down x", quando Q = { x } (página. 20).

Tal como mencionou depois o Samuel, eu preciso que o conjunto gerado por x somente contenha os elementos estritamente menores do que x, por isso o que preciso não é um down x. Em outras palavras, ocupando a notação de reticulados, o que necessito é ↓x\{x}.

No livro "Elements of Set Theory" de Enderton (1977), esse conjunto é chamado "initial segment up to x" (a definição está na página 173).

Obrigado Juan Carlos pela referência. A diferença da sua referência, dentro do contexto de teoria dos conjuntos, com a referência de Samuel, é que na definição de "initial segment up to x" no livro de Enderton é usada uma relação de ordem estrita (transitiva e irreflexiva), mas não necessariamente linear.

Considerando as referências de Samuel e Juan Carlos, o conceito que preciso só foi definido em teoria dos conjuntos, mas não dentro da teoria de reticulados nem na teoria dos domínios.

Abraços,

Claudio Callejas.

Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CACkoYSra6WjNnhx%2B226owGx9RAkj8bGoDYtMfARxGOzR2SuQ-Q%40mail.gmail.com.

[samuel]

Olá Claudio,

Na página 103 aquele R pode até ser uma "relação-classe",  e em boa parte das aplicações pode ser até a relação de pertinência (entendida como relação-classe). A primeira vez que aparece pred(A,x,R) no livro é na página 14, especificamente para ordens lineares  (no sentido estrito, em particular sim irreflexiva).

Até

[]s  Samuel

[Claudio Callejas]

Boa tarde,

Muito obrigado Samuel! Não tinha visto a definição na pág. 14, porque no índice geral do livro diz que pred aparece só na pág. 103.

Abraços,

Claudio Callejas.