Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Joao Marcos]

Mesa-redonda imperdível nesta 5a-feira, 05/10, às 19:00, transmitida pelo excelente canal do Núcleo de Lógica e Filosofia Analítica da UFMA:

https://www.youtube.com/live/rcRVKwJPmsk?si=VKK8nkCjLm5dGWmS

Em sua segunda iteração, o Encontro Brasileiro de Filósofas Analíticas continua sua missão de abrir um espaço de diálogo para que pesquisadoras, em fase inicial ou intermediária de pesquisa, de todas as regiões do país, se conheçam, compartilhem suas pesquisas e formem uma rede de apoio que estimule cada vez mais a presença e permanência de mulheres na Filosofia Analítica, em suas mais diferentes ramificações.

Na mesa de quinta-feira (05/10/23) teremos uma discussão de temas em filosofia da lógica com a Profa. Gisele Secco (UFSM) mediando as seguintes comunicações:
- “Referência, Autorreferência e Circularidade” por Fernanda Birolli (USP)
- “Lógica e ontologia: uma relação próxima” por Lídia Batinga (UFPB)
- “Lógica abstrata: o que podemos fazer de novo?” Por Luiza Ramos (USP)

%%%

Toda uma série de eventos de alta qualidade vêm por aí, como parte da segunda iteração do Encontro Brasileiro de Filósofas Analíticas:

https://ebfanaliticas.wixsite.com/ebfa/general-5

%%%

JM

[samuel]

Oi gente,

Aproveitando pra comentar da dúvida que eu apresentei na apresentação da Lidia Batinga (que pro framework dela

deu pra ver que a resposta era "sim").

Aí, todo mundo pode dar aqui um pitaco que eu estou curioso com isso já faz uns três anos.

Lá vai:

O primeiro axioma de Teoria dos Conjuntos, em muitos livros, é o Axioma do Vazio:

"Existe x tal que para todo y, y não pertence a x"

(que depois é provado ser o único nessas condições pelo Axioma da Separação).

Pois bem: no livro do Kunen dos anos 80 (referência clássica em conjuntos), o primeiro axioma

é um "axioma de existência de conjuntos":

"Existe x tal que x = x"

(como qualquer coisa é igual a si mesmo, o axioma essencialmente diz que existe uma "qualquer coisa" pra ser igual a si mesma).

Dada a existência de um conjunto, dada pelo axioma acima, e o Axioma de Separação, obtemos o conjunto vazio separando,

nesse x que foi dito existir digamos, o subconjunto

y = {z pertencente a x   |     z é diferente de z   }

e aí esse y não tem elementos (dado que nenhum z satisfaz o pedido) e por unicidade (dada por Separação) ele é o vazio, OK.

Em resumo, pelo que vocês vêm acima, na presença do Axioma de Separação, dizer que "existe um conjunto qualquer"

ou que "existe um conjunto vazio" dá na mesma, seriam axiomáticas equivalentes.

... Mas aí vem a pegadinha.

Numa banca de mestrado que participei, o aluno "se recusou" a aceitar o axioma do Kunen, "Existe x tal que x = x",

com o seguinte argumento:

---> Essa asserção segue de um axioma lógico sobre igualdade, que é "Para todo x, x = x", logo, se ela

segue de um axioma, essa asserção é um teorema e não deveria ser um outro axioma.

... Touché ! Dizer o quê pro aluno numa situação dessas ???

Depois de matutar um pouco a questão toda (pelo menos até onde eu vejo) é: ao tratarmos de uma teoria,

NÓS TEMOS QUE PRESSUPOR QUE O DOMÍNIO DE DISCURSO É NÃO-VAZIO ?

Porque se o domínio de discurso é não-vazio para a Teoria dos Conjuntos, de fato, para todo x deveríamos

ter x = x, então em particular existe x tal que x = x. Seria então um teorema, não axioma.

Ao ver essa apresentação da Lidia, e uma apresentação que o Henrique Antunes fez pra nós aqui na Matemática da UFBA,

Foi apresentada essa diferença entre a Lógica clássica e a lógica livre, no qual, resumidamente

---> Na lógica clássica os termos se referem a coisas que são supostas existentes

---> Na lógica livre isso não vale necessariamente, então podemos falar de Pégaso e de outros entes imaginários...

Então eu penso, ok, na lógica classe os termos se referem a coisas que existem.

Mas - antes disso (de definir o que os termos fazem) nós teríamos que decidir se existem coisas para que os termos possam se 

referir a elas, não ? Seria uma espécie de discussão anterior ao papel dos termos, eles têm coisas existentes pra denotar ?

Então eu perguntei pra Lidia que estava apresentando sobre isso e deu pra ver que ela pressupõe que o

universo de discurso é não-vazio,

E no livro do Kunen tem alguns momentos lá na frente que ele fala que "na prática" tem que se supor que

o universo de discurso é não-vazio (posso achar a página exata se alguém pedir),

Então minha dúvida é essa: ainda em oposição à lógica livre talvez,

Numa apresentação de uma teoria em lógica clássica,

Devemos, ou é preferível, ou é saudável, ou é do gosto pessoal de cada um,

-----> Supor que o domínio de discurso é não-vazio ?

Se sim, então o axioma "Existe x tal que x = x" é desnecessário (e Kunen teria ficado contraditório lá no meio do 

livro dele ao dizer que já supunha o universo não vazio depois de colocar esse "axioma zero" na primeira linha

do livro então...)

Gostaria de ouvir os colegas,

Abraços, e agradeço a Lidia por sua apresentação e por ter dado essa oportunidade para uma discussão. 

[]s  Samuel

[Walter Carnielli]

Ola Samuel,

O estudante é criativo ,mas está enganado: una das leis da Igualdade diz que "qualquer coisa é igual a si própria",  mas não diz que existe algo.

O axioma de Kunen assevera a existência.

Abs,

W.

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Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logi...@dimap.ufrn.br>
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[Samuel Gomes da Silva]

... interessante que esse axioma não aparece em outras teorias né... Bom, talvez em outras teorias coloquem "disfarçado" nas definições.

Em alguns casos a teoria pressupõe de saída a existência de alguns elementos (elemento neutro em grupos, vetor nulo em espaços vetoriais...

e aí os casos triviais só tem esses caras mesmo).

De vez em quando, em certas referências, pra se definir espaço métrico se diz que o conjunto M de suporte é não-vazio.

OK, mas lá na frente se fala que a intersecção de subconjuntos convexos tem que ser convexo, e tem que se olhar para o subespaço vazio

pra que a coisa não desabe logicamente né, no caso da intersecção de convexos disjuntos...

Elucubrações, enfim. 

De alguma forma "prática" eu acho que, pelo menos em Matemática, se assume sempre que o universo de discurso é não-vazio, eu só

não sei se sempre há o cuidado de se colocar isso como axioma, nos casos em que não ganhamos de graça um elemento "trivial". 

Até mais, obrigado !

[]s  Samuel

---

De: "Walter Carnielli" <walt...@unicamp.br>
Para: "samuel" <sam...@ufba.br>
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Enviadas: Segunda-feira, 9 de outubro de 2023 14:10:00
Assunto: Re: [Logica-l] Re: Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Henrique Antunes]

Oi, Samuel e colegas

A minha impressão é que o aluno tinha razão, mas com as seguintes
qualificações: a teoria de conjuntos em questão tem de ser pura e
inclusiva, ou seja, não permitir domínios vazios.

Agora, se a teoria for impura, então o fato de Ex(x = x) ser um teorema
clássico não garante a existência do vazio, já que o objeto em questão
pode não ser um conjunto.

Na apresentação do Suppes, por exemplo, ele toma o predicado Sx, para "x
é um conjunto", como primitivo. Nesse caso, o axioma ExSx, "existe um
conjunto", é necessário para provar a existência do conjunto vazio a
partir do axioma da separação, já que alguns quantificadores que ocorrem
nos demais axiomas são condicionalizados ao predicado S. Por exemplo, o
axioma da separação é formulado assim:

(z){ Sz -> (Ey)[ Sy & (x)(x \in y <-> (x \in z & A(x)) ] }

(Mas o Suppes usa variáveis diferentes para conjuntos para abreviar).

Espero ter ajudado mais do que bagunçado.

Abraços,


--
Henrique Antunes

> [1]https://www.youtube.com/live/rcRVKwJPmsk?si=VKK8nkCjLm5dGWmS

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> em fase inicial ou intermediária de pesquisa, de todas as regiões do país,
> se conheçam, compartilhem suas pesquisas e formem uma rede de apoio que
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> Analítica, em suas mais diferentes ramificações.
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> Na mesa de quinta-feira (05/10/23) teremos uma discussão de temas em
> filosofia da lógica com a Profa. Gisele Secco (UFSM) mediando as seguintes
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> - “Lógica abstrata: o que podemos fazer de novo?” Por Luiza Ramos (USP)
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> Toda uma série de eventos de alta qualidade vêm por aí, como parte
> da segunda iteração do Encontro Brasileiro de Filósofas Analíticas:

> [2]https://ebfanaliticas.wixsite.com/ebfa/general-5

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[Samuel Gomes da Silva]

Oi Henrique,

Obrigado.

Esse predicado Sx que diz que x é conjunto, me parece algo mais de teoria de classes não ? Em que os objetos formalmente são classes
e "alguns" objetos são conjuntos (os mais cuidadosamente construídos, digamos).

Sim, ajudou no sentido de bagunçar mais, hehe, é assim mesmo a coisa.

Até mais

[]s Samuel

PS: Eu na prática tomo como inicial o Axioma do Vazio e evito tooooda essa discussão, eu só estou querendo descobrir se tem
algo mais justificável do que minha prática - cuja única justificativa que tenho para ela é que "é mais fácil" dado que
empurra toda a discussão pra baixo do tapete.


----- Mensagem original -----
De: "Henrique Antunes" <antunes....@outlook.com>

Para: "samuel" <sam...@ufba.br>
Cc: "LOGICA-L" <logi...@dimap.ufrn.br>, "Joao Marcos" <boto...@gmail.com>

Enviadas: Segunda-feira, 9 de outubro de 2023 14:31:23

Assunto: Re: [Logica-l] Re: Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Henrique Antunes]

Oi, Samuel

> Sim, ajudou no sentido de bagunçar mais, hehe, é assim mesmo a coisa.

Rsrsrs

> Esse predicado Sx que diz que x é conjunto, me parece algo mais de
> teoria de classes não ? Em que os objetos formalmente são classes e
> "alguns" objetos são conjuntos (os mais cuidadosamente construídos,
> digamos).

Pior que é ZFC mesmo. A ideia é permitir objetos que não sejam conjuntos
(e nem classes) no domínio. A formulação impura da teoria fica mais
complexa, mas, por outro lado, permite que se incluam axiomas próprios
que não versam sobre conjuntos, e.g., sobre pessoas, partículas etc. Aí,
Ex(x = x) não garante a existência de conjuntos porque nem tudo é
conjunto em uma teoria impura.

Agora, falando de modo mais geral, a minha impressão é a seguinte: em
apresentações informais/semi-formais de uma teoria, nem todos os
pressupostos da lógica clássica são estritamente observados. Esse sobre
domínios vazios é um deles; outro é a pressuposição de que todos os
termos denotam. Por exemplo, quando se diz que não se pode dividir por
zero, parece que se está, na verdade, dizendo que termos como 1/0,2/0
etc. são vazios (não denotam, não estão definidos), o que a lógica
clássica não permite.

Abraços,

--
Henrique Antunes

> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.
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[Daniel Durante]

Fala Samuel, Walter e Henrique,

O estudante é criativo ,mas está enganado: una das leis da Igualdade diz que "qualquer coisa é igual a si própria",  mas não diz que existe algo.

É Walter, mas se esta lei da igualdade está na lógica clássica, então tem uma prova de duas linhas do argumento

Vx(x=x)  |–  Ex(x=x)

Aliás, na lógica clássica em geral vale:

(1) |-VxPx => |-ExPx

Ou seja, na lógica clássica, se uma dada propriedade 'P' vale para qualquer um, então existe alguém que a instancia.

Aí, então, eu acho que o estudante está certo em dispensar o axioma, desde que aceite a lógica clássica.

Mas o que eu acho mais interessante ainda que isso é pensar no contrário. Será que tem algum teorema existencial que não é universal na lógica clássica? Será que vale:

(2) |-ExPx => |-VxPx

Na lógica clássica, “infelizmente”, (2)  não vale. Existem teoremas clássicos existenciais cujas contrapartes universais não são teoremas clássicos. E  digo infelizmente  porque eu acho isso é MUITO estranho.

Não deveria ser papel da  lógica postular a existência de coisas específicas. Esse, me parece, é um papel das teorias, não das lógicas. A teoria de conjuntos (ou qualquer outra  teoria), me parece, pode postular a existência de alguma coisa que seja diferente de todas as outras. (Existe o conjunto vazio, existem unicórnios,...). Mas se alguma lógica faz isso, me parece que ela está extrapolando seu papel. A lógica deveria cuidar do que é comum a todos, do que é universal.

É como se a lógica clássica fosse meio elitista, preconceituosa, como se ela discriminasse os indivíduos.

A lógica intuicionista, por exemplo, não é assim elitista. Nela vale (2). Todo teorema existencial é também universal. Não existe discriminação intuicionista entre os indivíduos, só discriminação clássica.

Então, todos os exemplos de teoremas existenciais ExP(x) tais que a contraparte universal VxP(x) não é teorema, são aqueles casos estranhos (e duvidosos ?) de teoremas clássicos que não são teoremas intuicionistas.

Aqui  um exemplo que o João Marcos me mostrou certa vez:

(3) Ex(P(x) -> VyP(y))

(4) Vx(P(x) -> VyP(y))

(3) é teorema clássico, mas (4) não é.

Só que (3) não é teorema intuicionista. Então (3) não é nada mais que um modo estranho de afirmar o princípio do terceiro excluído.

Enfim, voltando para a questão do Samuel, qualquer interpretação clássica tem o domínio não vazio. Isso significa que não há teorias clássicas cujo universo  do discurso seja vazio. Todas as teorias clássicas são habitadas.

Isso significa que nenhuma teoria PURA precisa estipular a existência da categoria de coisas sobre a qual  teoriza. Esta existência é dada pela lógica.

Então, se  ZFC é uma teoria de primeira ordem clássica que só fala de conjuntos, não fala de outras coisas, se nem tem um predicado “É_Conjunto” porque só pode ter conjunto no domínio, então ela não precisa mesmo de um axioma para postular a existência de conjuntos. Sua existência é garantida pela lógica clássica.

Agora se a teoria for impura, se admitir outras coisas, então pode não haver conjuntos e ela precisa postular de alguma maneira a existência de conjuntos.

Mas veja. Não há nenhum drama aqui. Em qualquer dos casos a existência de conjuntos é uma postulação nossa. Seja explicitamente em um axioma da teoria, seja implicitamente restringindo a abrangência dos domínios aceitáveis.

Saudações,

Daniel.

-----
Departamento de Filosofia - (UFRN)
http://danieldurante.weebly.com

Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAOrCsLc4msmgSin6KwWtopp0-G8MnC5jGpNnzutj6VMzC3fpqQ%40mail.gmail.com.

[Samuel Gomes da Silva]

Obrigado Henrique, obrigado Daniel,

Achei legal isso de "teoria impura" (!!!), vou pensar depois com calma.

Obrigado mesmo !

Pelo visto a observação do aluno tem sim "alguma graça", hehe.

Abraços

[]s  Samuel

---

De: "Daniel Durante" <dura...@gmail.com>
Para: "Walter Carnielli" <walt...@unicamp.br>
Cc: "samuel" <sam...@ufba.br>, "Lista Lógica" <logi...@dimap.ufrn.br>, "Joao Marcos" <boto...@gmail.com>
Enviadas: Segunda-feira, 9 de outubro de 2023 15:38:01
Assunto: Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Juan Carlos Agudelo Agudelo]

Bom dia para tod@s,

Acho que de fato o "axioma do vazio" (existe o conjunto vazio) não é necessário em ZF, por conta de que a lógica clássica pressupõe domínios não vacios. O que fica evidente na definição de modelo, onde se exige que os domínios dos modelos sejam não vazios, e levando em consideração que ZF é uma teoria pura (como já falaram anteriormente), qualquer domínio de interpretação deve ter pelo menos um conjunto, e pelo axioma de separação....

A dedução do axioma do vazio pode se obter particularizando sobre o axioma de separação, usando qualquer variável (que representa um conjunto arbitrário) e usando uma fórmula contraditória (por exemplo P(x) := x \neq x).

No livro do Mendelson ("Introduction to Mathematica Logic", 5ed, 2010), a sessão 2.16 fala sobre "Quantification Theory Allowing Empty Domains". Acho que essa sessão pode ser de interesse para o que se está discutindo aqui.

Abraços,

Juan Carlos

Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/476442149.19993037.1696877223019.JavaMail.zimbra%40ufba.br.

[Samuel Gomes da Silva]

Olá

Obrigado pelos comentários! E pela referência principalmente.

Este fio de mensagens ficou bem interessante, obrigado a todos de novo.

Em tempo: eu agradeci a Lídia pela palestra mas esqueci de agradecer a Gisele e ao Encontro Brasileiro de Filosofas Analíticas pela organização da mesa, muito bom ver jovens lógicas trabalhando.

Abraços

[]s Samuel


----- Mensagem original -----
De: Juan Carlos Agudelo Agudelo <juca.a...@gmail.com>
Para: Samuel Gomes da Silva <sam...@ufba.br>
Cc: Daniel Durante <dura...@gmail.com>, Walter Carnielli <walt...@unicamp.br>, Lista Lógica <logi...@dimap.ufrn.br>, Joao Marcos <boto...@gmail.com>
Enviadas: Tue, 10 Oct 2023 10:52:50 -0300 (BRT)

Assunto: Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

> ------------------------------
> *De: *"Daniel Durante" <dura...@gmail.com>
> *Para: *"Walter Carnielli" <walt...@unicamp.br>
> *Cc: *"samuel" <sam...@ufba.br>, "Lista Lógica" <logi...@dimap.ufrn.br>,
> "Joao Marcos" <boto...@gmail.com>
> *Enviadas: *Segunda-feira, 9 de outubro de 2023 15:38:01
> *Assunto: *Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

>> <https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/4be0526f-d26a-4b34-918e-16e0eabd5b5dn%40dimap.ufrn.br?utm_medium=email&utm_source=footer>
>> .

>>
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> Lógica <logi...@dimap.ufrn.br>
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> Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos
> Grupos do Google.
> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie
> um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.
> Para ver essa discussão na Web, acesse

> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAOrCsLc4msmgSin6KwWtopp0-G8MnC5jGpNnzutj6VMzC3fpqQ%40mail.gmail.com
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> https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/476442149.19993037.1696877223019.JavaMail.zimbra%40ufba.br
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> .
>

[Joao Marcos]

Gostei muito destes dois dedos de prosa!

> Acho que de fato o "axioma do vazio" (existe o conjunto vazio) não é
> necessário em ZF, por conta de que a lógica clássica pressupõe domínios não
> vacios. O que fica evidente na definição de modelo, onde se exige que os
> domínios dos modelos sejam não vazios, e levando em consideração que ZF é
> uma teoria pura (como já falaram anteriormente), qualquer domínio de
> interpretação deve ter pelo menos um conjunto, e pelo axioma de
> separação....

Hummmm... E quem vem primeiro? Uma dada semântica para uma teoria de
primeira ordem com igualdade será correta/sound para uma lógica que
tem (∃x)x=x como teorema sse ela exigir que os domínios das
interpretações sejam não vazios. Não podemos pensar, assim, que esta
é a _razão_ pela qual a lógica clássica faz esta bendita pressuposição
sobre a não-vacuidade dos domínios? Numa lógica que não seja
constrangida por tal pressuposto existencial o "normal" não seria que
os domínios das estruturas de interpretação fossem conjuntos
arbitrários?

Quando uma dada teoria tem um símbolo de constante qualquer, a
semântica "standard" poderá justificar: aí está a razão, precisamos de
um objeto no domínio para interpretar este símbolo de constante. Mas
neste caso esbarramos em outra pressuposição da semântica "standard",
a saber, a pressuposição de que as funções de interpretação sejam
totais (e isto se aplica em particular à operação nulária que
interpreta o dito símbolo de constante). Como o Henrique já apontou,
aqui esbarramos na pressuposição de que "todos os termos denotam".
Mas será que a gente já não sabe, tendo em vista todo o trabalho feito
nos últimos anos formalizando a noção de *computabilidade*, que no
mundo real não dá para escapar de _funções parciais_ (que
eventualmente farão com que alguns termos não denotem)?

Para "facilitar a vida", de todo modo, os algebristas parecem ter
imposto a convenção dos *domínios não-vazios*, mesmo quando a
assinatura de suas teorias não contêm símbolos de constante. Será que
a semântica lógica clássica ---the new kid on the block--- nada mais
fez do que imitar servilmente as estruturas algébricas que já andavam
por aí antes de ela chegar?

A propósito, alguém conhece livros-texto de Lógica que _iniciem_ por
uma apresentação inteiramente *formal* que considere:
(i) lógicas livres, com domínios eventualmente vazios?
(ii) símbolos de função interpretados como funções parciais sobre o domínio?

> No livro do Mendelson ("Introduction to Mathematica Logic", 5ed, 2010), a
> sessão 2.16 fala sobre "Quantification Theory Allowing Empty Domains". Acho
> que essa sessão pode ser de interesse para o que se está discutindo aqui.

Bem lembrado!

[]s, Joao Marcos

--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Anderson Nakano]

Olá a todos,

Obrigado pela discussão. Minha compreensão é a de que a teoria dos conjuntos, tal como pensada por Zermelo, não precisa ser necessariamente pensada como uma teoria inscrita num sistema de lógica (p. ex., a lógica quantificacional de primeira ordem). Se ela for inscrita num sistema de lógica (quantificacional de primeira ordem, por exemplo), é a convenção de que os domínios de interpretação não são vazios que representa, no sistema lógico, que o axioma é satisfeito. Não é necessário se pensar que um axioma da teoria dos conjuntos se traduza em uma well-formed formula da lógica formal. O axioma pode ser satisfeito por outras restrições do sistema formal que precedem a construção de teorias nele inscritas.

Abraço,

Anderson

[Samuel Gomes da Silva]

Oi gente,

Estava pensando de ontem pra hoje,

Vamos aceitar, para efeito de discussão, que pelo menos no que se refere à prática matemática existe uma convenção de que

os modelos, os domínios de discurso, são não-vazios (o que também não parece claro 100 por cento pelo que eu vi na discussão,

mas só para hoje, pra seguir na discussão, vamos assumir isso). 

OK. Isso é uma assunção, digamos assim, semântica.

Minha dúvida é: essa assunção tem que chegar no nível sintático ? Ou seja, seria necessário um axioma pra dizer isso ?

Porque, como eu observei e o Juan também, ambos os tipos de livros de Set Theory, tanto os que usam o primeiro axioma como sendo "o Axioma do Vazio" ou como sendo

"o Axioma da Existência de Conjuntos", que seria o famoso 'existe x tal que x = x' que não vale na lógica livre,

Os dois axiomas são essencialmente equivalentes na presença do Axioma da Separação (de um conjunto que exista eu extraio o vazio usando uma fórmula contraditória

como "z diferente de z" aplicada aos elementos desse que existe),

Assim, se na teoria já estivesse claro "sintaticamente" que existem conjuntos, eu pegava qualquer um deles que estivesse dando mole e separava o Vazio dele.

E aí nem o Axioma do Vazio e nem o Axioma da Existência de Conjuntos seriam necessários na axiomática.

Então meu status atual na discussao é:

---> concordo que as apresentaçoes de teorias na lógica clássica acabam pressupondo domínios não-vazios, na maioria das vezes;

---> porém estou na dúvida se seria realmente necessário que essa assunção chegasse ao nível sintático dos axiomas.

Abraços

[]s  Samuel

PS: Ainda não li a referência sobre domínios não-vazios pra me posicionar melhor... Se alguém puder comentar algo daquilo seria bom. 

---

De: "Anderson Nakano" <anderso...@gmail.com>
Para: "LOGICA-L" <logi...@dimap.ufrn.br>
Cc: "Joao Marcos" <boto...@gmail.com>, "juca.agudelo" <juca.a...@gmail.com>, "dura...@gmail.com" <dura...@gmail.com>, "carniell" <walt...@unicamp.br>, "Lista Lógica" <logi...@dimap.ufrn.br>, "samuel" <sam...@ufba.br>
Enviadas: Quarta-feira, 11 de outubro de 2023 7:48:38

Assunto: Re: [Logica-l] Mesa de Filosofia da lógica: Consequência lógica

[Joao Marcos]

Viva!

> Vamos aceitar, para efeito de discussão, que pelo menos no que se refere à prática matemática existe uma convenção de que
> os modelos, os domínios de discurso, são não-vazios (o que também não parece claro 100 por cento pelo que eu vi na discussão,
> mas só para hoje, pra seguir na discussão, vamos assumir isso).
>
> OK. Isso é uma assunção, digamos assim, semântica.
>
> Minha dúvida é: essa assunção tem que chegar no nível sintático ? Ou seja, seria necessário um axioma pra dizer isso ?

A alternativa não implicaria acomodar uma instância "desnecessária" de
incompletude? Afinal, a semântica "convencionada" garantiria, por
exemplo, que (∃x)x=x é uma fórmula válida, mesmo que tal fórmula não
fosse um teorema do sistema dedutivo escolhido...

> Porque, como eu observei e o Juan também, ambos os tipos de livros de Set Theory, tanto os que usam o primeiro axioma como sendo "o Axioma do Vazio" ou como sendo
> "o Axioma da Existência de Conjuntos", que seria o famoso 'existe x tal que x = x' que não vale na lógica livre,

Porque a lógica livre não faz a tal assunção sobre a não-vacuidade do
domínio (e o sistema dedutivo "correspondente", neste caso, ficaria
também liberado de fazê-la), né?

> Os dois axiomas são essencialmente equivalentes na presença do Axioma da Separação (de um conjunto que exista eu extraio o vazio usando uma fórmula contraditória
> como "z diferente de z" aplicada aos elementos desse que existe),

Aqui a lógica subjacente poderia claramente fazer uma diferença. Do
ponto de vista de uma lógica *sem* "fórmulas contraditórias", como a
lógica LP, não estaria garantida a existência de um (único) conjunto
que seja subconjunto de qualquer outro conjunto.

Além disso, como disse o Anderson, não parece necessário que

"um axioma da teoria dos conjuntos se traduza em uma well-formed
formula da lógica formal".

Um dos truques mais sujos feito por lógicos não-clássicos consiste
justamente em mudar a interpretação das fórmulas tomadas como axiomas
de uma dada teoria enquanto seguem insistindo que continuam falando da
_mesma teoria_. Será que faz sentido dizer que uma teoria é um mero
conjunto de expressões sintáticas desvinculadas de um certo jogo no
qual tais expressões ganham significado?

> Assim, se na teoria já estivesse claro "sintaticamente" que existem conjuntos, eu pegava qualquer um deles que estivesse dando mole e separava o Vazio dele.
>
> E aí nem o Axioma do Vazio e nem o Axioma da Existência de Conjuntos seriam necessários na axiomática.
>
> Então meu status atual na discussao é:
>
> ---> concordo que as apresentaçoes de teorias na lógica clássica acabam pressupondo domínios não-vazios, na maioria das vezes;
>
> ---> porém estou na dúvida se seria realmente necessário que essa assunção chegasse ao nível sintático dos axiomas.

Você conhece aquela história sobre o monoteísta ser um ateu
empedernido mas inconsistente, que abriu mão de todos os deuses do
panteão, menos um? A insistência do lógico *não-livre* acerca da
existência de "pelo menos um objeto no domínio" é tudo menos
*natural*... No meu entendimento, ela surge ou deveria surgir como
consequência de uma hipótese presente na teoria (ou na meta-teoria,
quando a teoria não é suficientemente expressiva). Cancelada a dita
hipótese, estamos livres para _aceitar o vazio_ nas nossas vidas.

{}s,
Joao Marcos

[Juan Carlos Agudelo Agudelo]

El mié, 11 de oct. de 2023 2:01 p. m., Juan Carlos Agudelo Agudelo <juca.a...@gmail.com> escribió:

On Tue, Oct 10, 2023 at 9:50 PM Joao Marcos <boto...@gmail.com> wrote:

Hummmm...  E quem vem primeiro?  Uma dada semântica para uma teoria de

primeira ordem com igualdade será correta/sound para uma lógica que
tem (∃x)x=x como teorema sse ela exigir que os domínios das
interpretações sejam não vazios.   Não podemos pensar, assim, que esta
é a _razão_ pela qual a lógica clássica faz esta bendita pressuposição
sobre a não-vacuidade dos domínios?  Numa lógica que não seja
constrangida por tal pressuposto existencial o "normal" não seria que
os domínios das estruturas de interpretação fossem conjuntos
arbitrários?

Sim dúvida, o fato da lógica de primeira ordem com igualdade poder demonstrar (∃x)x=x, obriga a que a semântica considere só modelos com domínios não vazios.

E nem se precisa ter igualdade, pois (∃ x)(P(x) → P(x)), para qualquer fórmula P(x), também leva à necessidade de modelos com domínios não vazios. 

O estraño é porque as lógicas de primeira ordem (clássica, intuicionista, etc) permitem demonstrar este tipo de teoremas. De alguma maneira, a exigência da existência de objetos nessas lógicas está implicitamente estabelecida através dos axiomas e regras de inferência. A pergunta é: onde?, e não tenho resposta para isso. (Na sessão que mencionei do livro do Mendelson, ele propõe um sistema axiomático para lógica de primeira ordem, cuja semântica permite domínios não vazios, mas ainda não compreendo bem onde que está a "solução" para permitir interpretações em domínios vazios).

Acho interessante que nas teorias de tipos isso não acontece: por exemplo, na prova da correspondência Curry-Howard para o sistema de tipos puros λ P, com a "lógica minimal intuicionista" (o fragmento da lógica intuicionista de primeira ordem só com implicação e quantificador universal), tem que se adicionar explicitamente o suposto de que os domínios são não vazios, para poder obter a correspondência.  Isso mostra, que a formalização da lógica de primeira ordem em teoria de tipos admite domínios não vazios (ver em https://home.ttic.edu/~dreyer/course/papers/barendregt.pdf, p. 142). 

Quando uma dada teoria tem um símbolo de constante qualquer, a
semântica "standard" poderá justificar: aí está a razão, precisamos de
um objeto no domínio para interpretar este símbolo de constante.  Mas
neste caso esbarramos em outra pressuposição da semântica "standard",
a saber, a pressuposição de que as funções de interpretação sejam
totais (e isto se aplica em particular à operação nulária que
interpreta o dito símbolo de constante).  Como o Henrique já apontou,
aqui esbarramos na pressuposição de que "todos os termos denotam".
Mas será que a gente já não sabe, tendo em vista todo o trabalho feito
nos últimos anos formalizando a noção de *computabilidade*, que no
mundo real não dá para escapar de _funções parciais_ (que
eventualmente farão com que alguns termos não denotem)?

Alguns desses problemas técnicos são abordados no capítulo de Mendelson, e em https://home.ttic.edu/~dreyer/course/papers/barendregt.pdf, p. 142, há duas referências a trabalhos sobre "free logic". 

 

Abs,

Juan Carlos

[Henrique Antunes]

Oi, pessoal

Boa tarde.

Essa discussão me interessa muito, principalmente porque tenho trabalhado
com temas relacionados.

Só alguns comentários breves: acho que há uma diferença entre lógicas
inclusivas e lógicas livres. As primeiras são lógicas que permitem
modelos com domínios vazios, as segundas permitem termos que não
"denotam" elementos do domínio dos quantificadores. Há lógicas livres
que não são inclusivas, e há lógicas inclusivas que não são livres.

(Porém, (i) se uma lógica é inclusiva e a linguagem contém termos (que
não sejam apenas variáveis ligadas), então ela tem de ser livre também;
(ii) a maior parte dos sistemas de lógica livre apresentados na
literatura é inclusiva).

Outro ponto: nas lógicas livres, nem sempre é preciso recorrer a noção
de função parcial. Nas semânticas de domínios duplos, a função
interpretação é total, porém termos vazios são interpretados como
elementos de um domínio distinto do domínio dos quantificadores (um
domínio externo).

Aqui vão alguns surveys muito bons sobre lógicas livres. Acho o texto do
Lehmann o melhor, mas o texto do Bencivenga tem uma seção muito
esclarecedora sobre lógicas inclusivas. Inclusive (rsrs), a primeira
lógica inclusiva foi criada em 34 pelo Jaskowski!.

@incollection{Nolt2007,
author = {Nolt, J.},
editor = {Jaquette, D.},
publisher = {North Holland},
title = {Free Logics},
booktitle = {Philosophy of Logic},
series = {Handbook of the philosophy of logic},
edition = {5},
pages = {1023-60},
date = {2007}
}


@incollection{Nolt2007,
author = {Nolt, J.},
editor = {Jaquette, D.},
publisher = {North Holland},
title = {Free Logics},
booktitle = {Philosophy of Logic},
series = {Handbook of the philosophy of logic},
edition = {5},
pages = {1023-60},
date = {2007}
}

@incollection{Nolt2007,
author = {Nolt, J.},
editor = {Jaquette, D.},
publisher = {North Holland},
title = {Free Logics},
booktitle = {Philosophy of Logic},
series = {Handbook of the philosophy of logic},
edition = {5},
pages = {1023-60},
date = {2007}
}

--
Henrique Antunes

> --
> LOGICA-L
> Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logi...@dimap.ufrn.br>
> ---

> Você está recebendo esta mensagem porque se inscreveu no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google.

> Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+u...@dimap.ufrn.br.

> Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Li%2B9edG6X6OX718dz5xSGxQv6bxjBhOScUhpLpFcvjzRg%40mail.gmail.com.

[Henrique Antunes]

Boa noite,

O João Marcos me alertou que só mandei as referências do Nolt no último
email. Obrigado, João.

Abraços,

E. Bencivenga. Free logics. In D. M. Gabbay and F. Guenthner, editors,
Handbook of Philosophical Logic, volume 5, pages 147–96. Springer, 2
edition.

S. Lehmann. More free logic. In D. M. Gabbay and F. Guenthner, editors,
Handbook of Philosophical Logic, volume 5, pages 197–259. Springer, 2
edition.

J. Nolt. Free logics. In D. Jaquette, editor, Philosophy of Logic,
Handbook of the philosophy of logic, pages 1023–60. North Holland, 5
edition.

--
Henrique Antunes

> Para ver esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/DM4PR19MB6176A43350AB333CF5E441E79DCCA%40DM4PR19MB6176.namprd19.prod.outlook.com.