A crise dos fundamentos da matemática, por Marcelo Viana
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Joao Marcos
Sep 27, 2018, 12:22:02 PM9/27/18
to Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA
A crise dos fundamentos da matemática
Dos axiomas à teoria dos conjuntos, matemáticos buscavam uma fundação
sólida para a área
-- Marcelo Viana, Diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France
26/09/2018
https://www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2018/09/a-crise-dos-fundamentos-da-matematica.shtml
No início do século 20, a matemática atravessava uma crise grave. No
século anterior, a disciplina tivera um desenvolvimento
extraordinário, tornara-se mais poderosa e mais abstrata. Era
necessário organizar e apoiar esse conhecimento em bases sólidas e
garantir que não continha contradições.
Um bom modelo de organização já havia sido inventado na antiguidade,
pelo matemático helenístico Euclides. Em seu tratado “Elementos”,
formulou cinco afirmações que considerava intuitivamente evidentes —os
axiomas— e mostrou como as demais afirmações da geometria plana podem
ser deduzidas dessas por meio de raciocínios rigorosos.
Os trabalhos de Gauss, Bolyai, Lobachevsky e Riemann, todos no século
19, questionaram a natureza dos axiomas de Euclides e levaram à
descoberta das geometrias não-euclidianas.
Mas isso não pusera em causa a utilidade do método axiomático, apenas
mostrara que axiomas não são verdadeiros ou falsos, em algum sentido
físico, são apenas pontos de partida convenientes para desenvolver a
teoria matemática.
Ainda no século 19, Dedekind e Peano mostraram que o método axiomático
também pode ser aplicado à aritmética. Ao final desse século, Cantor
desenvolveu a teoria dos conjuntos, que parecia ser a melhor fundação
para toda a matemática.
A partir dos conjuntos podemos definir os números inteiros e, por meio
destes, obter os demais objetos matemáticos. Kronecker afirmava que
“Deus criou os números inteiros, tudo mais é obra do homem”.
Tão confiantes estávamos que, em sua famosa palestra no Congresso
Internacional de Matemáticos de 1900, Hilbert incluiu “axiomatizar a
física” como uma das tarefas da matemática para o século que se
iniciava.
Mas a teoria dos conjuntos apresentou imediatamente problemas graves,
contradições e paradoxos em torno de ideias como “o conjunto dos
conjuntos que não pertencem a si mesmos”.
Como poderia a matemática ser apoiada em fundação tão insegura?
Voltarei ao tema na próxima semana.
Dos axiomas à teoria dos conjuntos, matemáticos buscavam uma fundação
sólida para a área
-- Marcelo Viana, Diretor-geral do Instituto de Matemática Pura e
Aplicada, ganhador do Prêmio Louis D., do Institut de France
26/09/2018
https://www1.folha.uol.com.br/colunas/marceloviana/2018/09/a-crise-dos-fundamentos-da-matematica.shtml
No início do século 20, a matemática atravessava uma crise grave. No
século anterior, a disciplina tivera um desenvolvimento
extraordinário, tornara-se mais poderosa e mais abstrata. Era
necessário organizar e apoiar esse conhecimento em bases sólidas e
garantir que não continha contradições.
Um bom modelo de organização já havia sido inventado na antiguidade,
pelo matemático helenístico Euclides. Em seu tratado “Elementos”,
formulou cinco afirmações que considerava intuitivamente evidentes —os
axiomas— e mostrou como as demais afirmações da geometria plana podem
ser deduzidas dessas por meio de raciocínios rigorosos.
Os trabalhos de Gauss, Bolyai, Lobachevsky e Riemann, todos no século
19, questionaram a natureza dos axiomas de Euclides e levaram à
descoberta das geometrias não-euclidianas.
Mas isso não pusera em causa a utilidade do método axiomático, apenas
mostrara que axiomas não são verdadeiros ou falsos, em algum sentido
físico, são apenas pontos de partida convenientes para desenvolver a
teoria matemática.
Ainda no século 19, Dedekind e Peano mostraram que o método axiomático
também pode ser aplicado à aritmética. Ao final desse século, Cantor
desenvolveu a teoria dos conjuntos, que parecia ser a melhor fundação
para toda a matemática.
A partir dos conjuntos podemos definir os números inteiros e, por meio
destes, obter os demais objetos matemáticos. Kronecker afirmava que
“Deus criou os números inteiros, tudo mais é obra do homem”.
Tão confiantes estávamos que, em sua famosa palestra no Congresso
Internacional de Matemáticos de 1900, Hilbert incluiu “axiomatizar a
física” como uma das tarefas da matemática para o século que se
iniciava.
Mas a teoria dos conjuntos apresentou imediatamente problemas graves,
contradições e paradoxos em torno de ideias como “o conjunto dos
conjuntos que não pertencem a si mesmos”.
Como poderia a matemática ser apoiada em fundação tão insegura?
Voltarei ao tema na próxima semana.
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