É possível definir operadores involutivos não triviais em algebras de Heyting?

Juan Carlos Agudelo Agudelo

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Mar 14, 2023, 5:46:47 PM3/14/23

to Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA

Boa tarde,

Estou interessado em saber se é possível definir operadores involutivos não triviais em álgebras de Heyting, usando só os operadores e constantes das álgebras de Heyting. Imagino que a resposta é negativa, mas até agora não consegui demonstrar nem refutar isso, e também não achei esse resultado em lugar nenhum. Se alguém conhecer algum resultado que prove dita impossibilidade (ou o contrário), agradeço as referências. Ou se alguém souber como demonstrar isso...

Abraços,

Juan Carlos

Eduardo Ochs

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Mar 14, 2023, 6:21:31 PM3/14/23

to Juan Carlos Agudelo Agudelo, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA

Oi Juan!

Você pode mandar uma versão em linguagem matemática da sua pergunta? Eu acho que eu sei uns exemplos, só não sei se eu entendi a sua pergunta direito...

[[]], Eduardo

--
LOGICA-L
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Juan Carlos Agudelo Agudelo

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Mar 14, 2023, 7:54:11 PM3/14/23

to Eduardo Ochs, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA

Olá Eduardo,

A pergunta é se pode ser definido um termo $\theta(x)$ , na linguagem das álgebras de Heyting $\{\vee, \wedge, \to, 0,1\}$ (onde $\vee$ representa o supremo, $\wedge$ o ínfimo e $\to$ o pseudo-complemento), tal que $\theta(x) \neq x$ e $\theta(\theta (x)) = x$ (em qualquer álgebra de Heyting).

Abs,

Juan Carlos

Eduardo Ochs

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Mar 14, 2023, 8:41:33 PM3/14/23

to Juan Carlos Agudelo Agudelo, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA

Aaaah!

Eu tinha duas interpretações pra sua pergunta... a primeira era:
existe alguma Álgebra de Heyting H em que a gente pode definir uma
involução diferente da identidade e da negação usando só ∧,∨,→,0,1 e
podendo usar os elementos de H como constantes? E a segunda era a que
você acabou de explicar...

Eu acho que a resposta pra sua pergunta é não, mas eu só tenho uma
idéia de como eu começaria a pensar a respeito. Há vários anos atrás
eu passei muito tempo tentando entender alguns pedaços disso aqui:

@InProceedings{Fourman,
author = {M.P. Fourman and D.S. Scott},
title = {Sheaves and Logic},
booktitle = {Applications of Sheaves: Proceedings of the Research
Symposium on Applications of Sheaf Theory to Logic,
Algebra and Analysis - Durham, july 9-21, 1977},
pages = {302--401},
year = {1979},
number = {753},
editor = {M.P. Fourman and D.J. Mulvey and D.S. Scott},
publisher = {Springer},
series = {Lecture Notes in Mathematics},
}

A seção 2.18 dele é sobre "elementary J-operators". No fim da seção
2.18 ele define o que são "polinômios" numa HA - eles são algo um
pouco mais geral do que os objetos da sua pergunta, porque eles podem
ter constantes - e aí ele fala umas poucas frases sobre como testar se
um "polinômio" é um "J-operator". Eu acabei descobrindo um modo de
visualizar os J-operators em certas HAs, e isso virou esse artigo
aqui:

http://anggtwu.net/LATEX/2021planar-HAs-2.pdf
http://anggtwu.net/math-b.html#zhas-for-children-2

Nesse processo eu acabei desenvolvendo uma certa intuição visual sobre
esses "polinômios" também. Deixa eu te dar uma sugestão... passa a se
referir ao top e ao bottom como ⊤ e ⊥ ao invés de 1 e 0, considera uma
HA linear cujos elementos se chamam 0, 1, 2, 3 e 4, e tenta
representar alguns "polinômios" nessa HA usando a notação posicional
que aparece aqui:

http://anggtwu.net/LATEX/2017planar-has-1.pdf#page=10
http://anggtwu.net/LATEX/2021planar-HAs-2.pdf#page=20

isso vai te dar uma intuição - informal - de que muito poucas funções
de {0,1,2,3,4} em {0,1,2,3,4} "são polinômios na Álgebra de Heyting
H"...

Tomara que isso ajude!
[[]],
Eduardo Ochs
http://anggtwu.net/math-b.html
http://anggtwu.net/2023-caepro.html

Juan Carlos Agudelo Agudelo

unread,

Mar 15, 2023, 10:24:01 AM3/15/23

to Eduardo Ochs, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA

Muito obrigado Eduardo por as referências e as dicas para atacar o problema, já abrem um novo caminho para mim.

Na verdade, até agora eu venho tentando resolver o problema à força bruta: tentando identificar todos os possíveis termos que podem ser definidos com no máximo uma variável, reduzindo eles para determinar quais sao iguais (com ayuda de um provador automático de teoremas para a lógica intuicionista), e determinando se são o não involuções (também com ajuda do provador). Até agora a única involução que achei foi a trivial (a identidade), mas não conseguí fechar o conjunto de possíveis termos, e agora estou começando a acreditar que pode ser um conjunto infinito. Com sua ajuda já posso começar explorar uns caminhos mais inteligentes!

[[]],

JC

Marcelo Finger

unread,

Mar 15, 2023, 12:06:00 PM3/15/23

to Juan Carlos Agudelo Agudelo, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA

Oi Juan.

Dado que a lógica intuicionista não pode ser representada semanticamente por uma matriz finita de valores verdade, acho que termos unários da álgebra de heyting, módulo equivalência, não devem ser um conjunto finito.

[]s

Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CACkoYSo_n4RUNpX%2BQCPfJvXkC7MiyaxMm_hpE4uhuaSQueRfWQ%40mail.gmail.com.

--

Marcelo Finger
Departament of Computer Science, IME-USP
http://www.ime.usp.br/~mfinger

ORCID: https://orcid.org/0000-0002-1391-1175
ResearcherID: A-4670-2009

Instituto de Matemática e Estatística,

Universidade de São Paulo

Rua do Matão, 1010 - CEP 05508-090 - São Paulo, SP

Francisco Miraglia Neto

unread,

Mar 15, 2023, 12:12:50 PM3/15/23

to Marcelo Finger, Juan Carlos Agudelo Agudelo, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA

Car@s,

É conhecido que a álgebra de Heyting livre em um gerador é infinita, corroborando o que escreveu o Marcelo.

Abraços,

Chico Miraglia

Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAGG7Aw1nA7c6w_cWKF0uA%3DjFVDUA0dMsnf%3D1-p4fE3NTmBHh3g%40mail.gmail.com.

Joao Marcos

unread,

Mar 15, 2023, 12:14:04 PM3/15/23

to Marcelo Finger, Juan Carlos Agudelo Agudelo, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA

Dado que a lógica intuicionista não pode ser representada semanticamente por uma matriz finita de valores verdade, acho que termos unários da álgebra de heyting, módulo equivalência, não devem ser um conjunto finito.

On Formulas of One Variable in Intuitionistic Propositional Calculus

https://www.jstor.org/stable/2963526

JM

--

http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

Juan Carlos Agudelo Agudelo

unread,

Mar 15, 2023, 12:57:31 PM3/15/23

to Joao Marcos, Marcelo Finger, Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de LOGICA

Obrigado ao Marcelo Finger pelo dado, e ao Francisco Miraglia e ao João Marcos por conferir o que o Marcelo (corretamente) achava. A referência que mandou o João parece ser chave para resolver a questão, vou ler com cuidado.