a lógica /n|d/+as aulas de matemática

[Joao Marcos]

PessoALL:

Uma conversa com um colega estes dias me motivou a escrever a presente
mensagem, que tem tanto um componente sociológico quanto um componente
mais propriamente lógico (bem como um interesse de fundo pedagógico).

%%%

(A)

Segundo meu colega, é bem comum nas aulas, nos vídeos e nos livros de
Matemática pelo Brasil (talvez fora do Brasil também?) um uso mais ou
menos relaxado[§] da Lógica para justificar certas passagens
argumentativas. Em particular, muitos professores de Matemática
presumivelmente acenariam para a possibilidade de justificar
estratégias de demonstração (digamos, o raciocínio por contraposição)
usando *tabelas de verdade*, o que também explicaria a razão pela qual
vários livros de "matemática elementar" ---usados a nível de
graduação, vejam bem---, bem como vários vídeos no YouTube também
falariam de tabelas de verdade como um procedimento matematicamente
relevante para esclarecer ou fundamentar a lógica subjacente a um
determinado argumento matemático.

[§] O adjetivo "relaxado", acima, aponta para usos absolutamente
informais de tautologias como justificativas para certas passagens,
através de rabiscos feitos ao lado da demonstração principal, no
quadro, supostamente para "explicar por que a coisa funciona".
Note-se, em particular, que em tais usos nunca há qualquer menção a
resultados de completude, digamos, conectando tabelas e demonstrações
formais (ou semi-formais).

As primeiras perguntas que me vêm à mente sobre aquilo que foi relatado acima:
(A1) Quais as opiniões de vocês ---seja como discentes, seja como
docentes--- acerca das situações suprarreferidas, a partir de suas
experiências em sala de aula?
(A2) Quais destes procedimentos ---tabelas de verdade? argumentos
dedutivos? estratégias de demonstração?--- poderiam (ou deveriam) ser
trazidos para mais cedo, para o ensino pré-universitário, com alguma
vantagem para os alunos?

(A minha impressão inicial sobre A2 seria de que não há nada no
procedimento das tabelas de verdade, em particular, possivelmente
usadas para ensinar "raciocínio lógico" ---resolver charadas, por
exemplo---, que precise ou deva esperar até além do Ensino Médio. Mas
também não estou seguro de o quanto isto tudo ajudaria quando a
"matemática de verdade" ---vejam o item B, abaixo--- chega, no Ensino
Superior.)

%%%

(B)

Esta segunda parte é talvez mais opiniosa (opiniática?), da minha parte.

Mesmo ciente de que muitos livros de "matemática elementar" têm seus
capítulos sobre lógica proposicional, incluindo tabelas de verdade, e
mesmo ciente de que vários colegas gastam boas aulas sobre este
assunto (e não estou falando de aulas sobre Circuitos Lógicos), por
exemplo, em um curso inicial de Matemática Discreta, de Topologia, ou
de Análise, parece-me algo surpreendente que as *tabelas de verdade*
tenham um papel muito relevante para justificar argumentações
matemáticas mais sofisticadas. Com efeito, se é fácil imaginar como
usar tabelas de verdade para procedimentos _refutativos_, por exemplo,
usar a tabela de verdade da implicação para justificar porque a
sentença A-implica-B é falsa quando A é verdadeira e B falsa, ou como
usar a tabela de verdade da disjunção para justificar a falsidade de
uma sentença da forma A-ou-B dada a falsidade de ambos e B, parece-me
no mínimo desafiante usar diretamente as tabelas da implicação ou da
disjunção para justificar, digamos, uma demonstração por _raciocínio
hipotético_ ou uma demonstração por _raciocínio por casos_ (e eu
provavelmente estenderia a minha perplexidade de modo a cobrir
praticamente qualquer outra estratégia matemática clássica de
argumentação).

As primeiras perguntas que me vêm à mente, neste caso, são:

(B1) Será mesmo o caso que é útil recorrer a tabelas de verdade (ou
lógica proposicional) para justificar estratégias matemáticas mais
sofisticadas (e absolutamente comuns)? Se pensamos em um curso de
Análise Real, por exemplo, os passos argumentativos de mais interesse,
logo nas primeiras aulas, envolvem quantificadores aninhados. Se
pensamos em um curso de Matemática Discreta, conceitos como
divisibilidade, congruência-módulo, supremos e ínfimos pressupõem que
entendemos como lidar com expressões quantificadas. As equivalências
lógicas que poderiam "facilitar a vida", nestes casos, geralmente
envolvem mais do que conectivos proposicionais --- e quer me parecer
que nem mesmo os fragmentos proposicionais das ditas equivalências, no
fundo, _precisam_ ser justificados via tabelas de verdade.

(B2) Consideremos um teorema "típico" de livro-texto, em Matemática:
"Seja C um coiso com as propriedades A e B.
Então C tem a propriedade D."
Poderíamos traduzir isto assim, digamos:
(\forall C:coiso)((A(C)\land B(C))\to D(C))
(Para ficar mais interessante a pergunta que segue abaixo, sugiro
assumirmos que existe um coiso C que nem tem a propriedade D nem falha
a propriedade A&B.)
Bem, baseado na parte A, acima, um uso que consigo imaginar para
tabela de verdade, aqui, seria para justificar, digamos, a
curryficação ---como é usual fazer em Computação ou em
Linguística/Semântica Formal--- da sub-expressão (A(C)\land B(C))\to
D(C) para uma expressão da forma A(C)\to (B(C)\to D(C)). O restante
do raciocínio, numa demonstração direta do "teorema típico",
tipicamente seria conduzido "identificando contextos, criando e
descarregando hipóteses", como fazemos, por exemplo, através do
formalismo da Dedução Natural. Vocês acham que haveria outros usos
interessantes para tabelas de verdade, neste tipo de argumentação
através de "raciocínio direto"? Seria justificável, para tais usos,
que gastássemos muito tempo das aulas de Matemática a nível superior
ensinando os estudantes a fazerem tabelas de verdade?

(Subjacentes às minhas perguntas, claramente, está a opinião
---enviesada?--- de que tabelas de verdade são bem menos úteis do que,
digamos, um "filósofo tradicional" poderia imaginar, no que diz
respeito ao trabalho diário do "matemático praticante".)

%%%

Agradeço desde já aos colegas desta lista por compartilharem seus
sentimentos acerca destes assuntos.

[]s, Joao Marcos

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[Adolfo Neto]

Desculpa, mas parei no (A).

Teria algum exemplo concreto de (A)?

Não acompanho estes livros nem estes canais no YouTube (apesar de eu ter um canal no YouTube, bem pequeno, por sinal, não costumo ver vídeos no YouTube).

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LOGICA-L
Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logi...@dimap.ufrn.br>
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[Joao Marcos]

> Desculpa, mas parei no (A).
> Teria algum exemplo concreto de (A)?
> Não acompanho estes livros nem estes canais no YouTube (apesar de eu ter um canal no YouTube, bem pequeno, por sinal, não costumo ver vídeos no YouTube).

Obrigado pela reação, Alfredo! Não tenho exemplos concretos a listar,
infelizmente, pois me recusei a ver os ditos vídeos, por puro mau
feitio... 8-/ Mas ele me garantiu que o dito procedimento é
comuníssimo na comunidade matemática (brasileira?), e que "não é
possível que eu não tenha visto isso centenas de vezes em sala de
aula, na graduação".

Posso de todo modo pedir para o meu colega fazer uma listinha. O
único exemplo específico que eu me lembro de ele ter citado na nossa
conversa foi uma justificação da estratégia dedutiva de
*contraposição* através da verificação de uma tabela de verdade
envolvendo implicação e negação.

Abraços, Joao Marcos

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[Joao Marcos]

> Obrigado pela reação, Alfredo!

Corrigindo (mais uma vez): ADOLFO!

[]s, JM

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[Walter Carnielli]

Olá João e. outra(o)s interessados:

Dou aqui minha contribuição sobre a questão. Estudei matemática de
forma profissional na Unicamp por 7 anos, bacharelado, mestrado e
doutorado,e depois pós-doutorado na Universidade de Califórnia e em
Münster, na Alemanha. Nunca. ninguém usou coisas elementares de
lógica em disciplinas e matemática, nem no IMPA, na Unicamp, USP,
Berkeley, , Münster, etc, Mas todos tinham. por trás a. premissa
que os estudantes sabiam essas coisas. através do ensino médio.
(chamado "colegial". na. época, muito. melhor. nome).

E de fato durante meus 7 anos de "ginásio" e. "colégio"no Culto à
Ciência os professores de matemática, com formação em Rio Claro e na
PUC na época, tinham uma boa noção de lógica, pelo menos intuitiva.
Não citavam a questão da completude, ou compacidade, mas
enfatizavam o seguinte:

1) "Similaridade " (isomorfismo) ) entre as operações lógicas e as
operações conjuntistas (no fundo, uma versão intuitiva do Teorema de
Representação de Stone.).
2) Falavam dos procedimentos ds. prova. por redução ao absurdo,
baseado na. tabela da . implicação, em especial usos de equivalência
em demonstrações elementares de trigonometria
3) Mencionavam sempre as tabelas usuais da conjunção, disjunção,
implicação, negação para. guiar o raciocínio
4) Sempre se mencionavam rudimentos de. lógica quantificada
(existencial, universal, etc)
5) Esclarecem o papel dos axiomas principalmente em geometria
6) Mostravam métodos heurísticos de solução de e problemas com régua
e compassos (como o método de e Pappus de Alexandria, em "supor um
problema resolvido para tentar a solução" )
etc.

Tudo isso a gente já sabia quando entrava em um curso de matemática,
física, engenharia e computação. Nao se vê mais nada disso, Os
professores de ensino médio não têm a menor ideia.
Mas de fato, alguns expositores no YouTube, da velha escola, mencionam
coisas assim.
Por tudo isso acho fundamental voltar a ensinar essas coisas aos
nossos estudantes universitários,

Abs

Walter

> --
> LOGICA-L
> Lista acadêmica brasileira dos profissionais e estudantes da área de Lógica <logi...@dimap.ufrn.br>
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========================
Walter Carnielli
CLE and Department of Philosophy
University of Campinas –UNICAMP, Brazil
AI2- Advanced Institute for Artificial Intelligence
https://advancedinstitute.ai/
Blog https://waltercarnielli.com/

[Joao Marcos]

> Desculpa, mas parei no (A).
> Teria algum exemplo concreto de (A)?
> Não acompanho estes livros nem estes canais no YouTube (apesar de eu ter um canal no YouTube, bem pequeno, por sinal, não costumo ver vídeos no YouTube).

Agradeço pela pergunta, Adolfo.

Em conversas com o tal colega, ele me citou livros que são utilizados
em disciplinas introdutórias de graduação tanto no Brasil quanto no
exterior:

Fundamentos de Matemática Elementar, vol. 1 - Iezzi et al
Iniciação à Lógica Matemática - Alencar Filho
Book of Proof - Hammack
The Tools of Mathematical Reasoning - Lakins

Ele nota que vários desses livros ensinam tabelas de verdade sem uma
conexão clara e bem justificada com a atividade de "fazer matemática".
Além disso, ele conta que várias disciplinas que cursou/assistiu
durante a graduação eram reflexo dessa tradição de livros escritos
neste estilo. Em um episódio que assistiu, por exemplo, conta-me o
colega, o professor que estava ensinando conjuntos num curso de
Introdução à Análise diz que é o papel da Lógica elencar "o que é
argumentação aceitável", e este professor diz isso para logo em
seguida usar tabelas de verdade para "quebrar uma bi-implicação". No
mesmo episódio, o professor apresenta um raciocínio pseudo-lógico
irreconhecível (a saber, um monte de fórmulas, uma após a outra) à
guisa de "demonstração matemática", logo após afirmar que "uma
demonstração por linguagem inteiramente formal é um saco".

E aqui um exemplo estrangeiro:
https://www.youtube.com/watch?v=y9N_85Ca3xo
Logo no início do curso o cara afirma que ensinará "how to do proofs".
Após 6 aulas ensinando pura lógica, essencialmente via tabelas de
verdade, lá na aula 7 ele faz a promessa de que ensinará ali sobre
"methods of proof". Uma das primeiras coisas que ele faz é apresentar
um certo "method of contrapositive", que consiste em primeiro trocar o
problema inicial expresso na forma lógica de uma implicação
(universalmente quantificada), pelo problema equivalente expresso na
forma lógica da contrapositiva (universalmente quantificada) da dita
implicação. Com isso ele troca uma implicação por outra, mas, como
seria de se esperar, ele não usa a tabela da implicação para
demonstrar o resultado que ele queria demonstrar. Essencialmente o
mesmo ocorrerá mais adiante, quando ele apresenta o "method by cases"
dele, e em seguida quando ele apresenta seu "method of contradiction".
Não há nisto tudo, em isolado, nenhuma contribuição óbvia à afirmação
inicial do curso de que ele ensinaria "how to do proofs".

Espero que estes exemplos concretos ajudem a esclarecer a que eu me referia!

[]s, Joao Marcos

--
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[Joao Marcos]

Muito obrigado pela resposta, Walter!

Do que você nos conta sou levado a concluir que o uso relaxado da
Lógica para justificar certas passagens argumentativas é mais ou menos
_tradicional_ entre os professores de matemática brasileiros, e há
bastante tempo. Talvez o ponto (1) que você levantou ajude a explicar
a razão pela qual isto ocorre.

%%%

Sobre o seu ponto (2), que me parece estar relacionado ao que escrevi
na minha resposta ao Adolfo, confesso que não compreendo bem como os
"procedimentos de prova" usuais da matemática seriam justificados
"baseado na tabela da implicação". Talvez seja isto justamente uma
das coisas que mais me incomoda... Esta conexão entre tabelas de
verdade e estratégias de demonstração, digamos, via raciocínio
hipotético, contraposição, ou redução ao absurdo, me parece ser,
quando muito, _obscura_. Exemplifico a minha perplexidade a este
respeito com o teorema citado no item (B2) da minha mensagem original
neste fio:

"Seja C um coiso com as propriedades A e B.
Então C tem a propriedade D."

[o que segue é o que eu chamaria de "demonstração típica",
estruturada, por contraposição]
ENUNCIADO FORMAL:
Seja C um objeto de tipo D com a propriedade A.
Demonstre que C tem a propriedade B.
DEMONSTRAÇÃO:
> Declaração: Considere um objeto C arbitrário de tipo D.
% Objetivo: Queremos demonstrar que A(C) implica em B(C).
>> Para tal efeito, suponhamos <por contraposição> que não-B(C) é o caso.
%% Novo objetivo: Queremos concluir não-A(C).
[preencha o argumento com detalhes específicos, de acordo com os
detalhes concretos dos conceitos usados no enunciado]
Note-se que não há nenhum papel para tabelas de verdade, acima, na
argumentação "típica" apresentada.

%%%

Acrescento, por fim, que não vejo porque discordar das suas críticas
sobre o "Ensino Colegial", mas reitero a minha questão inicial: será
que o estudo de tabelas de verdade (que, no meu entendimento, não
ajudam nada ou quase nada no quesito "métodos de demonstração") não
teriam melhor lugar, de fato, no estudo pré-universitário?

Abraços,
Joao Marcos

--
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[Thiago Nascimento da Silva]

O apêndice do livro UM CURSO DE ÁLGEBRA - ABRAMO HEFEZ faz um apanhado de noções de lógica e ele trata basicamente de tabelas verdades. Este livro é o padrão na UFES para o ensino de álgebra básica (anéis, domínios, corpos, ideais, conjuntos e funções, relações de equivalência e congruência).Inclusive tem um subtópico neste apêndice chamado de cálculo sentencial, mas novamente é tratado de tabelas verdades.

Para acessar esta discussão na web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAO6j_Lgx1jADD1C%3DEPTmk5o%2BHbZDFbwPr2%3Do%2B_jR3FKUnvq%3D7w%40mail.gmail.com.

[Walter Carnielli]

Oi João:

Vou tentar esclarecer melhor.
Acho que esse esforço por parte dos professores tinha a ver com o
movimento da chamada "Matemática Moderna", que era basicamente o apoio
de tudo na teoria elementar de conjuntos.
Vou tentar esclarecer o que se fazia, na direção do que você apontou como (1).

Muitos enunciados em geometria, que era o que mais tínhamos de
"matemática", são do tipo:
"Para todo coiso em um certo conjunto, se o coiso tem uma
propriedade X, então ele tem uma propriedade Y."

A partir desse entendimento, que não envolve apenas tabelas-verdade
mas também quantificação mínima, uma prova seria:

Suponha que x seja um coiso particular, mas genérico, que tem a
propriedade X. Então basta mostrar que o elemento tem também a
propriedade Y.
Por exemplo:
Provar que, para todo triângulo (coiso que está em um certo
conjunto), se ele for isósceles, então tem dois ângulos iguais.

A(o) estudante aprende a fazer um desenho como um recurso heurístico
que mostra um triângulo genérico, nota que "isósceles" significa ter
dois lados iguais, e
pode usar a propriedade LAL para verificar que o triângulo isósceles
é semelhante a si mesmo "virado", e daí deduz que há de fato dois
ângulos iguais.

Não é uma demonstração que figuraria num tratado de geometria, mas
treina o raciocínio do(a) estudante.

Outra coisa que ele(a) aprende rapidamente é que basta achar um
contraexemplo, e que aí a coisa não funciona mais, porque se aprende
alguma relação entre "qualquer" e "existe".

Do ponto de vista de tabelas de verdade propriamente, aprende-se que
os rudimentos da Lei da Explosão são "Falso deduz qualquer coisa", e
que por isso os axiomas da Geometria
devem ser bem escolhidos, críveis, os tais "postulados".

Entender a tabela verdade também ajuda muito a compreender a diferença
entre "X implica Y" e "X é equivalente a Y".

Por exemplo, evitava um erro comum em demonstrações de
trigonometria, onde se começa de um lado e às vezes se chega na
mesma coisa- alguns tinham dificuldade em enteder que isso náo é
uma demonstação.

A Professora Ausenda Fratini, uma espécie de Emmy Noether nacional
(até bem parecida), adorava mostrar demonstrações simples em
geometria, à la Euclides.

Para mim, esses usos simples e intuitivos foram bem educativos.
Abs,

Walter

Em qui., 28 de dez. de 2023 às 19:25, Joao Marcos <boto...@gmail.com> escreveu:
>

[samuel]

Oi Joao,

Salve, estava devendo falar alguma coisa aqui.

Olha, a experiência aqui na UFBA (e eu me lembro que mesmo antes disso cheguei a fazer coisas do tipo quando dava aula pra faculdades particulares, coisa de 25 anos atrás, afffe como o tempo passa hehe),

É a seguinte:

Temos no primeiro semestre dois cursos chamados de Fundamentos, Fundamentos I é um pré-cálculo (revisao de funcoes) mas também faz lógica proposicional (e aqui que vai ser a experiência),

E Fundamentos II é geometria axiomática (esse que eu ministro mais).

E nesse curso de Fundamentos II se supoe que os alunos comecem a ver demonstracoes pela primeira vez na vida (e eu digo a vocês, é um trauma pra eles, principalmente porque é disciplina pra calouros, o choque é táo grande que o colegiado do curso aqui já está decidindo colocar essa disciplina no segunda semestre).

Pois bem, como eu uso principalmente as tautologias que eles vêem em Fundamentos I para aprender a fazer demonstracoes em Fundamentos II ?

Como tautologias "sempre sao verdade", a gente vende com "verdades lógicas" ou "regras" que os alunos podem seguir na hora de fazer demonstracoes.

Exemplos:

(1) Se o aluno tem que fazer uma demonstracao do tipo "A ou B" (ou, o que essencialmente é a mesma coisa, mostrar que um conjunto X está contido numa uniao Y unido Z), a gente lembra pra eles que

"p ou q"    é tautologicamente equivalente a     "(nao p) implica q"

(tentando dar exemplos que justifiquem intuitivamente isso também...)

logo,  se o aluno quer mostrar "A ou B" ele pode usar a estratégia de mostrar "(nao A) implica B"

(o que na prática matemática normalmente se redige assim: Se ocorre A, ótimo, entao para efeito

de argumento vamos supor que nao ocorre A e mostrar que ocorre B...)

ou para mostrar que X está contido na uniao de Y e Z, fazemos "tome x em X, se x está em Y ótimo,

entao para efeito de argumento vamos supor que x nao está em Y e mostrar que está em Z"

Esse tipo de coisa, usar uma tautologia pra justificar uma técnica de demonstracao, é algo que eu pelo

menos sempre fiz, e acho que funciona (ou que pelo menos ajuda).

Claro que está dentro do "uso mais ou menos relaxado de Lógica" ao qual você se referiu na sua mensagem inicial.

Isso de "assumir que o primeiro é falso para provar o segundo", é uma idéia mais ou menos sofisticada para

o aluno ingressante de matemática, entao é algo que a gente, professor, tem que efetivamente mostrar pra ele que é assim que normalmente se faz, e a existência da tautologia entra pra ajudar na justificativa e até mesmo para o efeito mnemônico ("lembre-se sempre da tautologia 'p ou q equivalente a (nao p) implica q' ...").

(2) Mais ou menos com mesmas idéias do meu exemplo anterior, a equivalencia entre a implicacao e sua contrapositiva na tabela de verdade ajuda a introduzir a técnica indireta de prova por contraposicao.

(3) As equivalências relativas às Leis de De Morgan ajudam a ensinar o aluno a negar proposicoes com "ou" e com "e". Normalmente os alunos chegam sem saber negar esse tipo de frase.

(4) Distributividade do "ou" com relacao ao "e", distributividade do "e" com relacao ao "ou"...

... Entao é isso, gostaria de dar meu depoimento que sim, o uso de tabelas de verdade acaba ajudando a ensinar técnicas de demonstracao pros alunos, de modo relaxado e mnemônico possivelmente, mais é isso.

Atés

[]s  Samuel

PS: Bom, pra justificar/introduzir provas por absurdo pelo menos eu sou mais "chique" e falo em "terceiro excluído" e "náo contradicao", já é um pouquinho melhor, hehe...

Também sempre observo que "a Lógica que estamos usado é a Lógica Clássica, existem outras Lógicas"... (mas isso só como comentário mesmo, pra calouros nao dá pra imaginar falar muito mais, eu pelo

menos acho isso).

[Valeria de Paiva]

Alo Walter,

Eu fiquei bem interessada nessa parte da sua resposta ao Joao Marcos:

>A Professora Ausenda Fratini, uma espécie de Emmy Noether nacional (até bem parecida), adorava mostrar  demonstrações simples em geometria, à la Euclides.

O que mais vc sabe dizer sobre a professora Ausenda Fratini?

muito obrigada,

Valeria

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[Walter Carnielli]

Ola Valeria,

Tenho muita satisfação em falar sobre  meus professores do Colégio Culto à Ciência de Campinas, realmente uma das melhores partes da minha educação.

A professora Ausenda Fratini e seu irmão Amaury Fratini eram dois professores de matemática tradicionais do colégio Culto à Ciência, que se orgulha de ter tido Santos Dumont entre seus alunos.

A professora Ausenda era muito séria, bem magra assim com aspecto ascético, solteira, mas bastante gentil, jamais levantava a voz e jamais perdia  a paciência.

Minha impressão é que ela conhecia bastante bem a tal "matemática moderna" da época,  que era a teoria elementar de conjuntos e lógica proposicional com slgumas pinceladas de quantificacao, aplicadas a ideias matemáticas na educação.

Sua especialidade era geometria elementar,  teoria do números muito simples e trigonometria.

Parte da sua técnica (que eu acho maravilhosa até hoje)  era "problem solving",  resolver problemas desses que caem nas olimpíadas de Matemática para principiantes.

Eu acho que resolver uma centena desses problemas na vida ajuda  a compreender profundamente a matemática elementar.

Uma vez encontrei o professor Amaury Fratini numa festa, ele estava com mais de 90 anos.

Disse a ele que eu havia escolhido a carreira de matemático, em parte como consequência das aulas dele e da irmã--

 ele me abraçou profusamente e me disse "plantamos  nossa  semente" :-)

Me sinto feliz em ter plantado as minhas,  inclusive nesse grupo !

Abraços,  e obrigado pelo interesse, 

Walter

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[Valeria de Paiva]

Muito obrigada, Walter!

abs

Valeria

[Itala Maria Loffredo D'Ottaviano]

Valéria e Walter:

A Prof. Alzenda Frattini, também minha professora de Matemática no "Culto à Ciência", faleceu recentemente, com quase 100 anos.

Fiz uma visita a ela, em Brasília, onde ela estava vivendo.

Pessoa interessantíssima, lúcida e fazendo cursos até o final de sua vida.

O irmão mais novo dela, Amaury Frattini, também foi nosso professor de Matemática - era também advogado, a filha dele é muito competente e professora da Engenharia Química da Unicamp. 

El;e faleceu pouco antes da Alzenda.

Abraço,

Itala

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--

Prof. Dr. Itala M. Loffredo D'Ottaviano

Full Professor in Logic and the Foundations of Science 

Member and Researcher of the Centre for Logic, Epistemology and the History of Science at the University of Campinas

Research Fellow of the Brazilian National Council for Scientific and Technological Development

Titular Member, Brazilian Academy of Philosophy (Rio de Janeiro)

Emeritus Member, Académie Internationale de Philosophie de Sciences (Bruxelles)

Titular Member, Institut International de Philosophie (Paris-Nancy)

Editor of Coleção CLE, by the Centre for Logic, Epistemology and the History of Science.