LFIs com replacement

[Walter Carnielli]

Car@s colegas:

Para os que se interessam pelo antigo problema de algebrização das
lógicas paraconsistentes, Marcelo Coniglio, David Fuenmayor (da Frei
Un. Berlim) e eu conseguimos um avanço interessante. Com auxilio
heurístico do assistente de provas Isabelle, conseguimos definir
várias LFIs mais fracas que $C_1$ de da Costa, todas algebrizáveis à
la Lindenbaum-Tarski através de uma variedade de álgebra de Boole
com operadores (BAO). Uma das mais simples e interessantes é RmbC
("mbC com replacement"), obtida por axiomatização finitária a partir
da LFI básica chamada mbC.


O artigo "Logics of Formal Inconsistency enriched with replacement: an
algebraic and modal account" está disponível, e já sendo submetido à
publicação em revista internacional. Críticas e observações são
bem vinda(o)s.

Abstract:

One of the most expected properties of a logical system is that it can
be algebraizable, in the sense that an algebraic counterpart of the
deductive machinery could be found. Since the inception of da Costa's
paraconsistent calculi, an algebraic equivalent for such systems have
been searched. It is known that these systems are not algebraizable in
the sense of Blok-Pigozzi since they are non self-extensional (i.e.,
they do not satisfy the replacement property). The same negative
result holds for several systems of the hierarchy of paraconsistent
logics known as Logics of Formal Inconsistency (LFIs). Because of
this, these logics are uniquely characterized by semantics of
non-deterministic kind. This paper offers a solution for two open
problems in the domain of paraconsistency, in particular connected to
algebraization of LFIs, by obtaining several LFIs weaker than $C_1$,
each of one is algebraizable in the standard Lindenbaum-Tarski's sense
by a suitable variety of Boolean algebras extended with operators.
This means that such LFIs satisfy the replacement property. The
weakest LFI satisfying replacement presented here is called RmbC,
which is obtained from the basic LFI called mbC. Some axiomatic
extensions of RmbC are also studied, and in addition a neighborhood
semantics is defined for such systems. It is shown that RmbC can be
defined within the minimal bimodal non-normal logic E+E defined by the
fusion of the non-normal modal logic E with itself. Finally, the
framework is extended to first-order languages. RQmbC, the quantified
extension of RmbC, is shown to be sound and complete w.r.t. BALFI
semantics.


Carnielli, Walter; Coniglio, Marcelo E.; Fuenmayor, David.
Logics of Formal Inconsistency enriched with replacement: an algebraic
and modal account. arXiv:2003.09522 [math.LO] (2020).
http://arxiv.org/abs/2003.09522


Também disponivel nos CLE e-Prints:

Carnielli, Walter; Coniglio, Marcelo E.; Fuenmayor, David.
Logics of Formal Inconsistency enriched with replacement: an algebraic
and modal account. CLE e-Prints Vol. 19 No. 3 (2020).
https://www.cle.unicamp.br/eprints/index.php/CLE_e-Prints/issue/view/242

Abraços de longe, em quarentena,

Walter




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Walter Carnielli
https://waltercarnielli.com/

Centre for Logic, Epistemology and the History of Science and
Department of Philosophy
State University of Campinas –UNICAMP
13083-859 Campinas -SP, Brazil

CV Lattes : http://lattes.cnpq.br/1055555496835379

[Umberto Rivieccio]

Caro Walter,

Um detalhe no abstract:

It is known that these systems are not algebraizable in the sense of Blok-Pigozzi since they are non self-extensional (i.e., they do not satisfy the replacement property).

Uma lógica pode ser algebraizable e non-self-extensional ao mesmo tempo (por exemplo a lógica de Lukasiewicz, a lógica de Nelson etc.). A replacement property que falha no caso das LFIs (imagino) não é relativa (apenas) à inter-derivabilidade da lógica, e sim à equivalência entre fórmulas definida usando (imagino) a implicação e/ou outros conectivos da lógica.

Abraços,

Umberto

[Marcelo Esteban Coniglio]

Caro Umberto,

Muito obrigado pela atinada observação. As LFIs às que nos referimos não são nem self-extensional nem algebrizáveis. Neste artigo estamos principalmente  preocupados com a self-extensionality, no sentido de que todos os conectivos (incluindo a negação paraconsistente e o conectivo de consistência) preservem a interderivabilidade; dai sai a algebrizabilidade.

Um grande abraço

Marcelo

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[Walter Alexandre Carnielli]

Caro Umberto:

Muito obrigado pela observação. Talvez devêssemos escrever mais
claramente, mas acho que a explicação do Marcelo esclarece nossa
intenção.

Abraços,

Walter

Em qui., 26 de mar. de 2020 às 11:36, Umberto Rivieccio
<umberto....@gmail.com> escreveu:
>
>

[Umberto Rivieccio]

Olá Marcelo, Walter,

> Muito obrigado pela atinada observação. As LFIs às que nos referimos não são nem self-extensional nem algebrizáveis. Neste artigo estamos principalmente preocupados com a self-extensionality, no sentido de que todos os conectivos (incluindo a negação paraconsistente e o conectivo de consistência) preservem a interderivabilidade; dai sai a algebrizabilidade.

Entendo. Mesmo assim, minha sugestão seria (se ainda possível) de modificar aquela frase no abstract, porque parece sugerir uma implicação entre ser self-extensional e algebraizable, o que sabemos ser falso em geral (há também lógicas self-extensional que não são algebraizable). Eu ainda não li o artigo inteiro, vou mandar talvez mais comentários assim que terminar a leitura!

Abraços,

Umberto

[Marcelo Esteban Coniglio]

Caro Umberto,

Certamente deveremos mudar a frase do abstract (que, como mencionado antes, em nada afeta o que é apresentado no artigo).

Um grande abraço, e aguardamos seus comentários!

Marcelo