Videos:"Como comparar infinitos"

[Walter Carnielli]

Colegas:

Gostaria de recomendar os vídeos que o Alfredo Freire está postando sobre como comparar infinitos.

Acho que estão muito bem feitos,  exatos e profundos:

https://www.youtube.com/watch?v=nrG4XQqjAS4&list=PLqv5niGUIgiPLLUDxnH1gwfHxI_oarhzV

Abraços 

Walter 

[Joao Marcos]

> Gostaria de recomendar os vídeos que o Alfredo Freire está postando sobre como comparar infinitos.
>
> Acho que estão muito bem feitos, exatos e profundos:
>
> https://www.youtube.com/watch?v=nrG4XQqjAS4&list=PLqv5niGUIgiPLLUDxnH1gwfHxI_oarhzV

Belo trabalho do Alfredo!

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DIGRESSÃO:

(1) Uma coisa que me parece ajudar muitos alunos de Matemática
Discreta, na hora de _construir intuição_ sobre *ordem*, é ler "a>b"
como "a excede b" (ao invés de "a é maior do que b"). Poucos costumam
ter qualquer dificuldade com a relação de ordem estrita, digamos,
sobre os números reais: dizemos que a excede b quando há algum c tal
que a = b+c, ou mais simplesmente quando a-b>0.

(2) Contudo, a relação *complementar*, a ordem parcial ≤, tem este mau
hábito de ir contra as intuições que as pessoas trazem da escola.
Seguindo a sugestão de leitura acima, contudo, "a≤b" deveria
evidentemente ser lido como "a NÃO excede b" (ao invés de "a é menor
ou igual a b", e alternativamente ao menos natural "a NÃO é maior que
b").

(3) Paradoxo de Galileu: Ao construir a bijeção usual, "2n", que tem
como domínio o conjunto dos naturais (ℕ1, no vídeo) e como codomínio o
conjunto dos naturais-pares (ℕ2, no vídeo), muitas pessoas que
acabaram de sair da escola podem querer concluir, usando (1), que
Card(ℕ2)>Card(ℕ1), isto é, que a cardinalidade do conjunto ℕ2 excede a
cardinalidade do conjunto ℕ1.

(4) Indo agora para o banco da universidade, o caminho mais seguro
para entender o efeito da bijeção "2n", em (3), é concluir, usando
(2), que Card(ℕ1)≤Card(ℕ2), isto é, que a cardinalidade do conjunto ℕ1
*não* excede a cardinalidade do conjunto ℕ2.

(5) Por fim, se "a não excede b" (bijeção "2n") e "b não excede a"
(bijeção "n", dada pela função-inclusão), podemos concluir que "a é
igual a b".

(OBS1) Introduzir a relação de ordem parcial como algo NEGATIVO, como
no item (2), parece ir exatamente _ao encontro_ dos comentários do
Alfredo, no segundo vídeo, sobre "a conclusão ser negativa", no caso
da bijeção "2n". A leitura positiva de "≤" como "menor ou igual",
parece ser bem menos útil no processo de aprendizagem sobre *como se
comparam* cardinais.

(6) Muitas (?) pessoas que acabaram de sair da escola acham natural
comparar o "tamanho" de duas coisas encontrando primeiro uma forma de
_medir_ o tamanho de cada uma destas coisas, e depois comparando as
medidas encontradas. Esta intuição funciona no caso finito, mas não é
boa. No caso infinito ela nem funciona nem é boa.

(7) A notação "Card(A)≤Card(B)", usada acima, é uma mera abreviatura
para "existe uma bijeção de A para B". Para construir (ou verificar)
esta bijeção ninguém precisa saber o significado de Card(.), isto é,
ninguém precisa "saber contar".

(OBS2) Ensinar a comparar tamanhos de conjuntos introduzindo
_primeiro_ a noção de "tamanho de conjunto", como aponta o Alfredo no
primeiro vídeo (para efeito de surpresa), parece de fato ser bem pouco
útil no processo de aprendizagem sobre a *comparação* de cardinais.

(Conclusão 1) A "leitura negativa" da relação de ordem parcial entre
cardinais parece ser mais útil do que a "leitura positiva". Dá um
certo trabalho, talvez, se livrar do hábito de usar esta última
leitura, mas para efeitos de aprendizagem realmente parece valer a
pena.

(Conclusão 2) A comparação entre os "tamanhos dos conjuntos" não
requer "saber contar", mas apenas saber construir certos tipos de
correspondências entre estes conjuntos.

(OBS3) _Na prática_, de fato, usar Schröder-Bernstein, a partir da
intuição subjacente ao item (5), e construir *injeções* entre dois
conjuntos dados acaba sendo bem _mais útil_ (e quase sempre bem mais
simples) do que construir correspondências biunívocas, ou "mapeamento
um-para-um", entre um destes conjuntos e parte do outro conjunto.

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Tendo em vista os últimos comentários acima, estou seguro de que o
teorema de Schröder-Bernstein será o tema de um dos próximos vídeos do
canal "Ad infinitum" (_antes_ da anunciada escalada para "grandezas
superiores"). Força, Alfredo!!

Joao Marcos

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http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Joao Marcos]

> (7) A notação "Card(A)≤Card(B)", usada acima, é uma mera abreviatura
> para "existe uma bijeção de A para B".

Como me apontou aqui um colega, nos vídeos, mais exatamente (e
corretamente), o Alfredo usa esta notação, ligeiramente modificada,
como uma abreviatura para "existe uma bijeção de A para *parte de* B".
Trata-se, no fundo, justamente da tal *injeção* de A em B.

> Para construir (ou verificar)
> esta bijeção ninguém precisa saber o significado de Card(.), isto é,
> ninguém precisa "saber contar".

As injeções às vezes doem, mas são fundamentais. ;-)

JM

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http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Alfredo Roque Freire]

Obrigado pela divulgação Walter.

E obrigado pelos comentários João, vi que você realmente se empenhou em fazer uma análise detalhada dos vídeos. Muito obrigado.

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Alfredo Roque Freire