∃x <-> x=x <-> x∈x

[Léo Mota]

Boa noite, gostaria de usar este espaço para divulgar meu trabalho recentemente publicado na amazon:

Fundamentos Lógicos: relacionando linguagem, lógica e matemática

Uma das ideias principais presentes nesta obra é propor a seguinte sequência de equivalências:

∃x <-> x=x <-> x∈x

Este fato nos diz que o Paradoxo de Russell refere-se a um x inexistente, isto implica na invalidade dos dos teoremas de Gödel que utilizam o paradoxo do mentiroso.

[Eduardo Ochs]

Oi Léo!

Eu tenho preferido trabalhar com "quantificadores limitados", tipo
isso aqui - ∀a∈A.P(a) - e traduzir os "quantificadores ilimitados",
como isso aqui - ∀b.Q(b) - pra quantificadores limitados, às vezes
usando um "conjunto universo" U, que na verdade não é um conjunto...

Dá pra fazer isso com o seu axioma? A tradução dele seria isso aqui?

  ∀x∈U. ((∃x) ↔ (x=x) ↔ (x∈x))

Eu não consegui parsear o seu axioma, e o "Look inside!" da Amazon
mostra poucas páginas...

  [[]],
    Eduardo

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[Léo Mota]

Bom dia Eduardo, eu parti de uma crítica contra a prova de que não exista um conjunto de todas as coisas, pois ela utiliza um x tal que x∉x, isto faz com que ela esteja em circularidade com a definição de existência proposta. Logo, sempre teremos um U que pode ser o conjunto de todas as coisas:

Teorema (Paradoxo de Russell). Não existe conjunto de todos os conjuntos, ou seja ∀x∃y tal que y∉x.
Demonstração: suponha, por absurdo, que exista um conjunto y tal que, para todo x, x∈y. Utilizando
o axioma da separação para a fórmula x∉x, existe z tal que, para todo x, x∈z↔(x∈y e x∉x). Já que
x∈y é verdadeiro para todo x temos que x∈z↔x∉x. Tomando z no lugar de x, temos z∈z↔z∉z, absurdo.▄

Encontrei algumas reflexões a respeito:

1. JACQUETTE, Dale. Anatomy of a Nonidentity Paradox. South American Journal of Logic, [s. l.], v. 2, n. 1, Julho 2016. Disponível em: http://www.sa-logic.org/sajl-21.html. Acesso em: 6 fev. 2022. - o autor questiona se algo realmente pode satisfazer a propriedade: ∀x(Fx→x≠x). Apesar de ser uma expressão de sintaxe correta, pensamos que ela restringe-se a elementos inexistentes.

   “Nothing in classical logic truly has a property unless it exists” (JACQUETTE, 2016, p.124)

2. “(...) em lugar do ‘existe’ também se pode dizer ‘é igual a si mesmo’ (…) pois admitimos que ‘há homens’ é o mesmo que ‘há homens iguais a si mesmos’ (...)” (FREGE, 2009, p. 182, 184).

3. “‘Existe x’ equivale a dizer que ‘x é real’, que ‘x é uma realidade’.” (SCHLICK et al., 1975, p. 58).

 

Hilbert sustentava este pensamento, para ele “existir” era sinônimo de “não contraditório” (COSTA, 1992, p. 53), Wittgenstein também parece gatinhar nesta questão, pois via a contradição como algo impossível (inexistente).

[Eduardo Ochs]

Qual é o jeito certo de pôr parênteses nessa expressão aqui?

  ∃x <-> x=x <-> x∈x

[[]] =(,

  Eduardo

[Léo Mota]

O jeito que você escreveu está correto:

(∃x) ↔ (x=x) ↔ (x∈x)

[Eduardo Ochs]

Hmmm...

Então se x é o conjunto vazio vale x∈x?

Isso é muito diferente das lógicas que eu conheço...

  [[]], E.

[Joao Marcos]

> O jeito que você escreveu está correto:
> (∃x) ↔ (x=x) ↔ (x∈x)
>

>> Então se x é o conjunto vazio vale x∈x?
>> Isso é muito diferente das lógicas que eu conheço...

Com efeito. Um outro possível probleminha é que "(∃x) ↔ ψ" não é uma
expressão bem-formada em lógica de primeira ordem, não importa qual
seja a fórmula ψ.

JM

[Eduardo Ochs]

Léo, posso te dar uma sugestão?

Nos últimos semestres eu tive vários alunos que tinham boas idéias a
respeito de como provar coisas, mas que escreviam as idéias deles numa
notação matemática toda improvisada... aí eu acabei escrevendo isso
aqui a me referindo a esse slide zilhões de vezes durante o curso:

  http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-intro.pdf#page=4
  http://angg.twu.net/LATEX/2021-2-C2-tudo.pdf#page=5

Acho que do jeito que o seu livro está muita gente vai reagir a ele
como se você fosse a pessoa que diz: "Sabemos que 2=3. Então..."

A minha sugestão é que você disponibilize o seu livro em PDF e crie um
blog sobre ele e sobre o processo de preparar uma nova edição dele
"que todo mundo aceite", onde esse "todo mundo" inclua as pessoas que
estão acostumadas com as lógicas que são mais usadas por aí, e que vão
encarar a lógica do seu livro como uma lógica bem atípica...

Tem alguns sinais no seu índice de símbolos que eu adoraria ver como
você define e usa, mas só eu puder ler sobre eles de graça... =)

  [[]], Eduardo Ochs
    http://angg.twu.net/
    http://angg.twu.net/math-b.html
 

[Léo Mota]

Então se x é o conjunto vazio vale x∈x?
>> Isso é muito diferente das lógicas que eu conheço...

Se ∃Ø, então sim, mas não se o vazio for sinônimo de inexistente. Sim é bem diferente mesmo, é difícil ver um livro não dogmático e alienante que questione isto. O  

Com efeito. Um outro possível probleminha é que "(∃x) ↔ ψ" não é uma
expressão bem-formada em lógica de primeira ordem, não importa qual
seja a fórmula ψ.

Olá JM, não estou utilizando a linguagem de primeira ordem, pois ela é muito pobre diante da linguagem natural (GAMUT, 1991, p.75). Meu questionamento utiliza a linguagem natural.

[Eduardo Ochs]

Léo, os "Look inside!" dos seus dois livros na Amazon -

https://www.amazon.com/dp/B09QNN8BFS/
https://www.amazon.com/G%C3%AAnesis-Matem%C3%A1tico-Aplica%C3%A7%C3%A3o-Linguagens-Portuguese/dp/B08KH97QN9/

não incluem as referência bibliográficas!

A gente não tem como descobrir que livro ou artigo é isso aqui:

  (GAMUT, 1991, p.75)

😡🤬,
  Eduardo Ochs
  http://angg.twu.net/math-b.html

[Thiago Nascimento da Silva]

Olá Léo, você poderia comentar um pouco sobre a inferioridade da filosofia? Em que se dá essa inferioridade?

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[Joao Marcos]

> Se ∃Ø, então sim, mas não se o vazio for sinônimo de inexistente. Sim é bem diferente mesmo, é difícil ver um livro não dogmático e alienante que questione isto. O
>
>> Com efeito. Um outro possível probleminha é que "(∃x) ↔ ψ" não é uma
>> expressão bem-formada em lógica de primeira ordem, não importa qual
>> seja a fórmula ψ.
>
> Olá JM, não estou utilizando a linguagem de primeira ordem, pois ela é muito pobre diante da linguagem natural (GAMUT, 1991, p.75). Meu questionamento utiliza a linguagem natural.

Ah, fui enganado talvez pelo fato de que a expressão que você escreveu
_parecia_ ser de uma *linguagem de primeira ordem* (linguagem que você
de fato afirma que construirá, no índice do seu livro, ao descrever o
Capítulo VI). Mas noto que de fato você tem um uso sui generis da
*linguagem natural*, quando escreve coisas como "∃Ø".

Em tempo: o material dos slides do Eduardo é _muito_ bom, e só posso
recomendar vivamente a sua leitura, a todos.

[]s, JM

[Alex Deiwison]

Confesso que quanto mais acompanho a discussão, menos entendo os pormenores da sintaxe empregada.

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[Léo Mota]

Eduardo: obrigado pelas referências! Desculpe a demora pessoal. Compartilho um esboço de uns 2 anos atrás com vocês, ele resume bem esta “lógica” e delimita uma terminologia:

https://docs.google.com/document/d/1gU7sDEvr7181t9O3IBkaPYRPibxcvdRFghIWoNNB_34/edit?usp=sharing

Na verdade não classifico como uma lógica, mas um sistema que simplifica a linguagem natural, reduzindo suas classes gramaticais radicalmente.

A referência é "GAMUT, L. T. Preface to Logic, Language and Meaning. Chicago: University of Chicago Press, 1991."

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Thiago: eu parti de um ponto de vista de Tarski e também do fato de que a filosofia depende da linguagem natural, portanto seria inferior no sentido de dependência.

"Não há problema filosófico que não tenha recebido muitas respostas entre si incompatíveis. (…) um mesmo filósofo pode oferecer diferentes respostas para diferentes aspectos da matemática. (…) Como qualquer filosofia sua tarefa não é nos prover de teorias verdadeiras (…) A filosofia não é uma ciência e não lhe cabe uma noção científica de verdade." (SILVA, 2007, p. 15, 234).  

SILVA, J. J. Filosofias da Matemática. São Paulo: Unesp, 2007.

“(…) uma terminologia completamente precisa e adequada, em filosofia, é um ideal inatingível.” (DA COSTA, 2008, p. 14).  

COSTA, N. C. A. Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica. São Paulo: Hucitec, 2008.

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João Marcos: realmente, eu tentei sair por uma via diferente daquela que, mediante impossibilidade de formalização da linguagem natural (LN), apelou para as linguagens artificiais que nada mais são do que “recortes” da LN.  Tarski não obteve sucesso no tratamento da questão a respeito da formalização da linguagem natural e deixou claro que seus métodos devem ser encarados de forma restrita às linguagens artificiais-formais (BARWISE e ETCHEMENDY, 1987, p. 5; TARSKI, 2007, p. 12, 166).

"(…) abandono agora a tentativa de resolver nosso problema para a linguagem cotidiana e restrinjo-me, daqui em diante, inteiramente às linguagens formalizadas. Estas podem ser aproximadamente caracterizadas como linguagens artificialmente construídas nas quais o sentido de toda expressão é univocamente determinado por sua forma. (...) todas as tentativas de caracterizar esse significado (da semântica) de maneira geral e exata fracassaram."  (TARSKI, 2007, p. 33, 165).

BARWISE, J. e ETCHEMENDY, J. The Liar: an essay on truth and circularity. New York: Oxford University Press, 1987.

TARSKI, Alfred. [1933] ‘O conceito de verdade nas linguagens formalizadas’, In: C. Mortari e L.H. Dutra orgs. Alfred Tarski: A Concepção Semântica da Verdade. Textos clássicos. SP: Ed. UNESP, 2007.

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Alex: obrigado pela atenção, tenta dar uma olhada no esboço. Estou aberto às críticas e sugestões.

Boa noite e amanhã teremos mundial!