Formalising mathematics: an introduction.

[Joao Marcos]

Por que formalizar?
https://xenaproject.wordpress.com/2021/01/21/formalising-mathematics-an-introduction/


JM

[Eduardo Ochs]

Adorei esse parágrafo aqui - em especial os trechos que eu marquei com
"__"s:

I also have a picture in my head of an overconvergent modular form
defined on a neighbourhood of the ordinary locus on a p-adic modular
curve. This picture informed several papers I wrote earlier this
century with Richard Taylor, Frank Calegari, and others. I was once
privileged to be invited to speak in the number theory seminar at
Orsay in Paris, and Jean-Pierre Serre was in the audience. I drew
one of these pictures of mine on the board and Serre interrupted! He
asked what the picture meant. I had drawn a picture of a compact
Riemann surface of genus 3 and was drawing discs and annuli on the
Riemann surface. The picture was however supposed to represent a
1-dimensional p-adic manifold (a rigid analytic space in the sense
of Tate). It was a representation of the argument I was explaining,
but because the object I was actually working with was p-adic, the
drawing in some sense bore essentially no relation to the actual
mathematical object I was working with. __However, my Annals of
Mathematics paper with Taylor and my follow-up Journal of the AMS
single-author paper (which I was lecturing on at the time) were all
evidence that my way of thinking about things, the pictures in my
head, really could be translated down into rigorous mathematics,
even though they were in some sense meaningless. They were effective
guides.__ My picture came with caveats, which I had a mental note of
(for example there are all sorts of subtleties with the “topology”
on a rigid analytic space, issues which were solved initially by
Tate in the 60s using Grothendieck topologies, and nowadays there
are other solutions). __These subtleties were not displayed in the
picture I’d drawn on the board in Orsay, but I was aware of them. In
short, I knew “how far one could push the picture” in some sense —
which bits of it to take seriously.__

[[]] =),
Eduardo Ochs
http://angg.twu.net/math-b.html

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[Joao Marcos]

No que diz respeito a _motivações_ para se estudar algo, depois de ter
visto recentemente, durante uma das intervenções do Dia Mundial da
Lógica, um argumento segundo o qual para alguns estudantes as
dificuldades de se aprender as tecnicalidades da Lógica podem ser
vencidas se nos dedicarmos mais a falar da _história_ da Lógica, achei
interessante em particular que o Buzzard inicie seu blog post sobre a
*formalização da matemática* assim:

"My instinct in the first lecture would be to start by listing a bunch
of reasons why learning how to formalise pure mathematics is
interesting/useful/important/whatever, and perhaps also explaining how
I got involved with it. But I could probably spend about 30 minutes on
this, and I don’t want to waste valuable lecture time on it [...] and
I cannot see the point of making the students listen to me waffle on
about my opinions/history when, after all, they have chosen to come to
the course anyway. So I’ve just decided to write the introduction
here, and then students can choose to read it at their leisure (or not
read it at all)."

O que pensam os colegas dos argumentos (conflitantes) acima?

Joao Marcos

[Gisele Secco]

Salve João

Penso que a discussão será infrutífera se não levarmos em consideração as distintas audiências de aulas de lógica.

O argumento ao qual você se refere, defendido por Halina Leal na mesa sobre Lógica e Representatividade, foi apresentado de modo mui rápido, dadas as circunstâncias de sua fala, mas de todo modo diz respeito a estratégias de motivação de estudantes de Filosofia para estudar lógica. Ademais, ela (se me lembro corretamente), argumenta com base em suas experiências docentes. Não sei se pretendia generalizar ou apenas propor mais um tema para a conversa sobre didáticas para a lógica :)

Um abraço,

G.

--
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--

Gisele Dalva Secco

UFSM/Brasil

+55 55 3220 8440

[Joao Marcos]

Oi, Gisele:

> Penso que a discussão será infrutífera se não levarmos em consideração as distintas audiências de aulas de lógica.
> O argumento ao qual você se refere, defendido por Halina Leal na mesa sobre Lógica e Representatividade, foi apresentado de modo mui rápido, dadas as circunstâncias de sua fala, mas de todo modo diz respeito a estratégias de motivação de estudantes de Filosofia para estudar lógica. Ademais, ela (se me lembro corretamente), argumenta com base em suas experiências docentes. Não sei se pretendia generalizar ou apenas propor mais um tema para a conversa sobre didáticas para a lógica :)

De acordo! Eu gostaria, de todo modo, de conhecer exemplos concretos
em que esta sorte de motivação tem levado os discentes não apenas a
estudar Lógica, mas a _entendê-la_ melhor. Certamente haverá exemplos
disso no estudo de Teoria das Demonstrações, Semânticas Formais,
Computabilidade...

Tenho muito interesse nesta conversa! Eu ficaria contente, para já,
em colher depoimentos dos colegas que tenham testado a hipótese acima
em sua prática didática (falo de um experimento controlado mesmo,
digamos, apresentando o mesmo conteúdo com e sem a dita motivação),
qualquer que tenha sido a plateia envolvida.

Tudo de bom,
Joao Marcos

--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Gisele Secco]

Oi João, oi colegas

Uma pesquisa dessa seria valiosíssima.

Ocorre que, infelizmente, a tradição brasileira de estudos em pedagogia e didática tende totalmente para o lado das questões político-sociológicas e despreza quase que por completo o tipo de observação e recolha de dados como as que seriam necessárias para que um quadro geral do ensino de lógica pudesse ser pintado com cores da realidade - e estou falando de pesquisa empírica sobre pedagogia e didática na educação básica, que era o que, a meu ver, as faculdades de pedagogia deveriam estar mais focadas em fazer. Ao menos mais do que estão agora.

Assim que, por enquanto, acho que seguir as conversas sobre isso, recolhendo relatos e pensando sobre eles, já é um começo. Quem sabe no futuro uma pesquisa assim possa ser encampada por um time interdisciplinar de gentes da lógica, da filosofia e da educação?

Um abraço,

G.

[Itala Maria Loffredo D'Ottaviano]

Cros Gisele e João:

Desde meus tempos de  docente do Instituto de Matemática da Unicamp, sempre me preocupei em apresentar e discutir com os estudantes as questões históricas relevantes aos temas do curso.

Nas disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral, em geral com índices consideráveis de reprovações, eu procurava mostrar as motivações históricas, nem sempre essencialmente matemáticas, relativamente a teoremas e resultados importantes.

Falar sobre eventos históricos relevantes nas vidas dos pensadores e nos processos de desenvolvimento de teorias  sempre foi determinante no sucesso e bom aproveitamento de meus cursos.

Os estudantes gostam muito, ficam motivados e interessados pelo conhecimento e pela disciplina.

Em geral, meus cursos eram bem concorridos e estudantes de outras turmas vinham assistir minhas aulas.

Como falei na Mesa sobre Lógica e Representatividade, no WLD'21, o educador deve ser um sedutor, no sentido do encantamento pelo conhecimento e pela disciplina.

Nas disciplinas de lógica que ministro, reservo sempre um lugar muito especial para a  história da lógica, o que tem sido muito salutar e proveitoso.

E não considero perda de tempo!

Abraços,

Itala

--
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--

Prof. Dr. Itala M. Loffredo D'Ottaviano

Full Professor in Logic and the Foundations of Science

Centre for Logic, Epistemology and the History of Science

University of Campinas

[Eduardo Ochs]

Acho que em algum trecho da fala da Ítala no "Lógica e
Representatividade" - aqui,

  https://www.youtube.com/watch?v=BjBKqHPdrH0

entre 1:13:15 e 1:30:12, ela falou explicitamente sobre os cursos
básicos de Lógica terem alunos que pensam de jeitos muito diferentes
uns dos outros... alguém lembra? Alguém consegue localizar?

Se ela realmente falou isso - desculpem eu não ter nem tempo nem
cabeça pra procurar agora - então ela provavelmente pensa nisso há
muito tempo e ela deve ter jeitos de nomear esses diferentes jeitos de
pensar e de descrever por alto cada um deles... e a gente pode começar
pelos termos dela. Eu tenho usado "children" e "adults", entre aspas
mesmo, nos meus trabalhos mais recentes (link abaixo), mas pra mim
seria muito útil ver outros termos e outras classificações.

  [[]],
    Eduardo Ochs

O "link abaixo" era esse aqui, principalmente a seção 1...
http://angg.twu.net/LATEX/2020favorite-conventions.pdf

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[Joao Marcos]

PessoALL:

Obrigado pelas respostas enviadas nos últimos dias.  Evidências anedóticas podem ser interessantes, e relatos advindos de experiências pessoais podem ser muito valiosos!  Para além das conversas de botequim, contudo, que têm feito imensa falta nos últimos meses, eu ainda gostaria de saber se há qualquer registro de _pesquisa empírica sobre pedagogia e didática_ que ajude a dar suporte à afirmação de que estudos históricos possam nos ajudar a _usar_ melhor, digamos, uma determinada estratégia de demonstração, ou a _demonstrar_ um certo resultado.  Só para dar um exemplo muito específico, haverá alguma quantidade de estudo histórico suficiente, digamos, para motivar ---ou, de preferência, ajudar a verificar--- o chamado "Teorema do Bêbado"? (https://en.wikipedia.org/wiki/Drinker_paradox)  Ou qualquer outro exemplo relevante para o que estou perguntando?

Confesso que estou surpreso com a exiguidade de respostas até o momento (eu não pretendia _debatê-las_, mas apenas tomar nota, mesmo, das informações compartilhadas pelos colegas).  Bem, para terminar então com uma provocação, consigo imaginar casos em que o estudo de História pode _desmotivar_  e _atrapalhar_ um neófito que deseje enveredar pelas veredas da Lógica.  Em Filosofia, na realidade, isto parece ser bastante frequente, dada a quantidade de preconceitos e equívocos notáveis que se pode encontrar ao estudar a respeito do que disseram "figuras veneráveis do passado"...  Estou enganado?  Talvez um estudo crítico, e aberto a revisões informadas por estudos mais contemporâneos, de História da Lógica seja útil aos fins assinalados?  Alguém poderia recomendar trabalhos que tenham sido feitos a este respeito?

Joao Marcos

--

http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Joao Marcos]

Gosto do "children" vs "adults", Eduardo, e me parece razoavelmente claro a que esta distinção se refere.  Não sei se está relacionado, mas há vários bestsellers (alguns deles são guias bastante úteis!) que usam "dummy" ou "complete idiot" em seus títulos.  Tais textos também costumam focar em exemplos concretos e em modelos manipuláveis (https://en.wikipedia.org/wiki/Manipulative_(mathematics_education)), evitando o excesso de abstração.

Joao Marcos

On Fri, Jan 22, 2021 at 8:05 PM Eduardo Ochs <eduar...@gmail.com> wrote:

--

http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[bruno.ramos.mendonca]

Caro João e demais colegas:

>>  _pesquisa empírica sobre pedagogia e didática_ que ajude a dar suporte à afirmação de que estudos históricos possam nos ajudar a _usar_ melhor, digamos, uma determinada estratégia de demonstração, ou a _demonstrar_ um certo resultado.

Me parece que a sua questão está posta de modo ambíguo. Por um lado, a questão pode querer significar o seguinte: há alguma evidência de que a atenção para o contexto histórico de desenvolvimento de certos conceitos/ teorias em lógica ajuda a *entender melhor* o significado dos mesmos?

Se a questão que você propôs deve ser lida nesses termos, então me parece que a resposta é afirmativa -- não por qualquer razão empírica, mas por uma razão filosófica. Por vezes, é no contexto histórico do debate sobre certos problemas que o desenvolvimento de determinado conceito/ teoria ganha sentido. Nesses casos, não apresentar o contexto histórico rouba o sentido do conceito o que pode, presumivelmente, atrapalhar o eventual processo de ensino. Para dar um exemplo talvez provocativo: não roubaria o sentido da teoria de conjuntos ensiná-la aos estudantes sem mencionar sua gênese histórica no debate sobre fundamentos da matemática?

Abraços

Bruno

[Joao Marcos]

Obrigado pelos comentários, Bruno!

> >> _pesquisa empírica sobre pedagogia e didática_ que ajude a dar suporte à afirmação de que estudos históricos possam nos ajudar a _usar_ melhor, digamos, uma determinada estratégia de demonstração, ou a _demonstrar_ um certo resultado.
>
> Me parece que a sua questão está posta de modo ambíguo. Por um lado, a questão pode querer significar o seguinte: há alguma evidência de que a atenção para o contexto histórico de desenvolvimento de certos conceitos/ teorias em lógica ajuda a *entender melhor* o significado dos mesmos?

Você tem toda a razão. O que eu escrevi acima precisaria ter sido
contextualizado com relação ao que escrevi na minha primeira mensagem,
isto é, a pergunta sobre "usar melhor" um certo conceito ou
"demonstrar" certos resultados pretendia ter sido colocada no contexto
do *ensino* de Lógica.

> Se a questão que você propôs deve ser lida nesses termos, então me parece que a resposta é afirmativa -- não por qualquer razão empírica, mas por uma razão filosófica. Por vezes, é no contexto histórico do debate sobre certos problemas que o desenvolvimento de determinado conceito/ teoria ganha sentido. Nesses casos, não apresentar o contexto histórico rouba o sentido do conceito o que pode, presumivelmente, atrapalhar o eventual processo de ensino. Para dar um exemplo talvez provocativo: não roubaria o sentido da teoria de conjuntos ensiná-la aos estudantes sem mencionar sua gênese histórica no debate sobre fundamentos da matemática?

Eu acho que a resposta à sua provocação depende de que "teoria" dos
conjuntos temos em mente. Estou oferecendo neste exato momento um
curso introdutório sobre "Conjuntos & Funções". Meu objetivo é ajudar
os alunos a aprender a demonstrar asserções matemáticas acerca destes
tópicos. Aqui alguns exercícios resolvidos que preparei para as duas
primeiras semanas de aula:
https://youtube.com/playlist?list=PLekOxW8qKsV-nKSww7St_IvZj_nRutDEv
Nos slides que apresento
(https://sites.google.com/site/sequiturquodlibet/courses/tdc), falo
_muito_ brevemente sobre a origem de alguns conceitos, mas me parece
que gastar tempo falando sobre o seu desenvolvimento histórico não
apenas não me ajuda muito a problematizar a compreensão destes
conceitos como de fato não ajuda _nada_ no processo de aprendizagem
sobre o uso prático destes conceitos em demonstrações. Neste contexto
(não se trata de um curso sobre Teoria Axiomática dos Conjuntos, mas
de um curso sobre Matemática Discreta), eu reservaria talvez uma aula
para debater Fundamentos da Matemática (em particular, para apresentar
os axiomas de Zermelo-Fraenkel) para daqui a uns dois ou três meses
*sem nenhum prejuízo para o aprendizado dos tópicos que me interessam
neste curso*. Sei que alguns dos meus colegas discordam desta ordem
de apresentação, e gostam de começar a falar destas coisas
apresentando o paradoxo de Russell etc, mas também devo dizer que não
encontrei ainda quaisquer evidências de que os alunos que vêem estas
coisas mais cedo do que tarde aprendem melhor a trabalhar com o que
estamos querendo lhes ensinar.

Note, em particular, que em um dos meus vídeos na playlist acima eu
mostro como _verificar_ que uma certa implementação de pares ordenados
_funciona_, e discuto como o *axioma da regularidade* é fundamental
para esta verificação. Mas não, eu _não_ apresento o axioma, não
conto nenhuma história da vida do Von Neumann, nada disso... Conto o
que fiz como "motivação", de todo modo, talvez equivocadamente...
Ainda gostaria de ser convencido de que meus alunos _aprenderiam mais_
se eu adotasse uma estratégia diferente de ensino.

Tudo de bom,
Joao Marcos

PS: Eu já falei disso aqui antes, mas não consigo deixar de me lembrar
do primeiro curso que fiz de Lógica na graduação em Filosofia, há
quase trinta anos, na UFMG, em que o professor passou o semestre todo
falando de silogismos e não apresentou nada que seja hoje útil para
mim ao trabalhar, digamos, sobre Lógica de Primeira Ordem. Eu não
apenas não aprendi a demonstrar nada, mas sequer ouvi falar na
existência dos metateoremas de correção e de completude!

--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[Joao Marcos]

> PS: Eu já falei disso aqui antes, mas não consigo deixar de me lembrar
> do primeiro curso que fiz de Lógica na graduação em Filosofia, há
> quase trinta anos, na UFMG, em que o professor passou o semestre todo
> falando de silogismos e não apresentou nada que seja hoje útil para
> mim ao trabalhar, digamos, sobre Lógica de Primeira Ordem. Eu não
> apenas não aprendi a demonstrar nada, mas sequer ouvi falar na
> existência dos metateoremas de correção e de completude!

O dito professor, a propósito, era extremamente sedutor, muito
admirado pelos alunos, e foi uma figura bem conhecida na filosofia
brasileira. Mas realmente não me ensinou praticamente nada, e eu ter
escolhido a Lógica como área de estudos se deu mais _a despeito_ do
que _por causa_ das aulas dele...

JM

--
http://sequiturquodlibet.googlepages.com/

[bruno.ramos.mendonca]

Oi João:

Talvez valha a pena elaborar mais o ponto da minha primeira mensagem. Entendo que você está abordando o ensino de lógica e entendo também que a didática atende a critérios próprios de relevância. Contudo, a sua questão me parecia ambígua porque a instrução sobre um dado conceito envolve duas coisas:

1. Ensino das *consequências* da operação com o conceito.
2. Ensino dos *pressupostos* da operação com o conceito.

Me parece que você está interessado na questão induzida por 1: uma abordagem historicamente informada pode ser vantajosa para ensinar os estudantes a melhor aplicar certos conceitos lógicos? A questão me parece relevante, embora não possa ajudar a respondê-la.

No entanto, uma segunda questão induzida por 2 pode ser formulada: uma abordagem historicamente informada pode ser vantajosa para ensinar os estudantes a melhor entender os pressupostos de aplicação de certos conceitos lógicos? Aqui, me parece que a resposta é afirmativa. Em primeiro lugar, a história da lógica pode nos informar sobre os pressupostos pragmáticos da elaboração conceitual na medida em que apresenta as questões previamente postas em resposta as quais o conceito foi formulado. Em segundo lugar, a história da lógica pode apresentar as razões que justificam a introdução do conceito lógico. A teoria de conjuntos apresenta novamente um bom exemplo disso: é difícil entender porque ZFC ao invés de outra axiomática sem olhar para o contexto histórico, os paradoxos, a rigorização das teorias matemáticas e por aí vai -- ainda que a exposição histórica possa não nos ajudar a provas resultados nessa axiomática.

Abraços

Bruno