Sobre a "largura" de um modal frame

[Eduardo Ochs]

Amigos modaleiros,

vocês podem me ajudar a encontrar a terminologia "oficial" - e
referências - pra algo que eu tenho usado de forma amadorística e
improvisada? É o seguinte:

Se (A,R) é uma ordem parcial no conjunto A vou dizer que B∈Indep(A,R)
quando B⊆A e todos os pontos de B são "independentes entre si", isto
é, nenhum deles é "≤" ao outro, i.e., nenhum deles está relacionado
(por R) a outro; e vou dizer que k∈Nindep(A,R) quando Indep(A,R)
contém algum subconjunto de A com exatamente k elementos, e vou dizer
que k=wid(A,R) quando k∈Nindep(A,R) mas k+1∉Nindep(A,R).

Cada ordem parcial pode ser vista como um frame para S4.

Como é que eu distingo frames "de largura 2" de frames "de largura 3"?
Acho que existem wffs de S4 que são sempre verdadeiras em frames de
largura 2 mas que podem ser falseadas em frames de largura 3... alguém
sabe onde eu posso procurar referências sobre isso?

Eu ACHO que dá pra construir uma wff dessas assim: sejam

notindep(P,Q) := ◻(◻P→◻Q) ∨ ◻(◻Q→◻P)
notindep3(P,Q,R) := notindep(P,Q) ∨ notindep(P,R) ∨ notindep(Q,R)
mywff := notindep3(P∧Q, P∧R, Q∧R)

acho que mywff é sempre verdadeira em frames de largura 2, e
acho que sei construir um frame de largura 3 no qual ela é falsa.

A versão intuicionista dessa questão é uma pergunta que várias pessoas
já me fizeram quando eu mostrei pra elas partes do que eu vou
apresentar agora no EBL... a versão atual dos slides tá aqui,

http://angg.twu.net/LATEX/2017ebl-slides.pdf

elas perguntam: "que wffs são tautologias em todas as Álgebras de
Heyting planares mas não em Álgebras de Heyting que não cabem em 2D?"
- e há uns meses atrás eu pus um guardanapo marcando a página do
Handbook of Modal Logic (será que o título era esse mesmo???) que
parecia ter a wff que eu queria, só que eu esqueci o livro em Rio das
Ostras...

Como se diz lá no Facebook, "me ajudem, é pro meu TCC" -

[[]], obrigado & nos vemos no EBL =),
Eduardo

[Thanos Tsouanas]

On Sat, May 06, 2017 at 02:15:22AM -0300, Eduardo Ochs wrote:
> vocês podem me ajudar a encontrar a terminologia "oficial" - e
> referências - pra algo que eu tenho usado de forma amadorística e
> improvisada? É o seguinte:
>
> Se (A,R) é uma ordem parcial no conjunto A vou dizer que B∈Indep(A,R)
> quando B⊆A e todos os pontos de B são "independentes entre si", isto
> é, nenhum deles é "≤" ao outro, i.e., nenhum deles está relacionado
> (por R) a outro; e vou dizer que k∈Nindep(A,R) quando Indep(A,R)
> contém algum subconjunto de A com exatamente k elementos, e vou dizer
> que k=wid(A,R) quando k∈Nindep(A,R) mas k+1∉Nindep(A,R).

Sobre terminologia, cajo que ajude, rapidamente:

Antichain: https://en.wikipedia.org/wiki/Antichain
The size of the largest antichain of a poset P is the width of P, w(P),
width(P), etc.
Isso pode simplificar essa paragrafo em cima:
B is an antichain in A.
k ≤ w(A).
etc.
Uma ref: Davey & Priestley, Introduction to Lattices and Order)
Outra: Grätzer, Lattice theory, foundations.

Deixo o resto para os "modaleiros" ;)

Abraço

--
Thanos
http://www.tsouanas.org/

[Eduardo Ochs]

Oi Thanos!

Obrigado, ja' ajudou a beca sim!

Dei uma olhada no Davey/Priestly (2nd ed), procurei
por "antichain" lá, e num instante encontrei três
definições que podem me ajudar a melhorar a terminologia
que eu uso:

p.3: 1.3 Chains and antichains
p.20: 1.28 The ordered set O(P) of down-sets
p.32: 1.30 The width of P

Grato =) =) =),
Eduardo

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