Verificação de Definições

[Regivan Hugo Nunes Santiago]

Caros colegas,

estou lendo o livro do Moshé Machover: ``Set Theory, Logic and Their Limitations’’ e me surgiu 

uma dúvida com respeito aos cuidados que *precisamos* ter ao propor uma definição.

A definição é na seção sobre cardinais, quando ele define prematuramente (de maneira proposital)

a noção de cardinalidade; como um objeto que será posteriormente mais detalhado.

A definição 2.1 p. 38 é a que segue:

“2.1 Definition

Let $\lambda$ and $\mu$ be cardinals. Let $A$ and $B$ be sets such that $\mid A\mid =\lambda$ and

$\mid B\mid =\mu$. We say that $\lambda$ is smaller-than-or-equal-to $\mu$, .., if there is an injection from $A$

to $B$.”

Em seguida ocorre a seguinte observação:

“ 2.2 Remark:

This definition is in need of legitimation: We must make sure that that the criterion it provides for asserting that

$\lambda\leq\mu$ depends only on these cardinals themselves rather than on the choice of particular sets $A$

and $B$ such that $\mid A\mid =\lambda$ and $\mid B\mid =\mu$. This is done as follows: Let $A,A’, B,B’$  be sets

such that $\midA\mid=\mid A’ \mid$ and $\mid B\mid =\mid B’ \mid$. Given an injection from $A$ to $B$, it is easy

to show that  there is also an injection from $A’$ to $B’$ "

Agora vem a minha dúvida: 

(1) É necessário fazer essa verificação, uma vez que na definição são assumidos $A$ e $B$ arbitrários tal que

$\mid A\mid =\lambda$ e $\mid B\mid=\mu$?. (Para mim não é necessário, pois a definição já assume a situação proposta em magenta.)

(2) Vocês conhecem alguma definição semelhante em que uma verificação parecida falhe? Ou seja o conceito  vale apenas para um alguns objetos escolhidos e não para todos.

Abraços a todos,

Regivan

******************************************************************************
Prof. Dr. Regivan Hugo Nunes Santiago
Group for Logic, Language, Information, Theory and Applications - LoLITA
Department of Informatics and Applied Mathematics - DIMAp
Federal University of Rio Grande do Norte - UFRN

Avenida Senador Salgado Filho, 3000,

Campus Universitario, Lagoa Nova, 59.078-970, Natal, RN, Brasil

Caixa Postal: 1679Phone: +55 84 3215-3814 Ext. 211
Fax:  +55 84 3215-3813
https://sites.google.com/site/regivanhnsantiago/
e-mail: regivan AT DOMAIN=dimap,ufrn,br.

Curriculum Lattes-CNPq
******************************************************************************

[Claudio Andrés Callejas Olguín]

Bom dia a todos(as),

Me parece que é necessário fazer essa verificação sim. Imagine a seguinte definição "análoga":

"Seja $X$ um conjunto, $[X]$ o conjunto quociente (obtido por meio de uma relação de equivalência em $X$) e seja $\preceq$ uma ordem parcial previamente definida em $X$.

Sejam $[a],[b]\in[X]$ e sejam $c, d\in X$ tais que $c\in\[a]$ e $d\in[b]$. Dizemos que $[a]\leq[b]$ se $c\preceq d$.

Depois de fazer esta definição seria necessário demonstrar que a ordem $\leq$ está bem definida." 

Considero que o cuidado tomado na definição do livro é necessária, assim como no exemplo que acabei de expôr.

Atenciosamente,

Claudio Callejas.

--
Você recebeu essa mensagem porque está inscrito no grupo "LOGICA-L" dos Grupos do Google.
Para cancelar inscrição nesse grupo e parar de receber e-mails dele, envie um e-mail para logica-l+unsubscribe@dimap.ufrn.br.
Para postar nesse grupo, envie um e-mail para logi...@dimap.ufrn.br.
Acesse esse grupo em https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/group/logica-l/.
Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/81D16CEE-3379-4577-B1B8-FED5ED7C82C5%40dimap.ufrn.br.