Teoria Flow: o princípio da partição não implica o axioma de escolha

[Márcio Palmares]

Olá, pessoal!

Estamos divulgando nosso trabalho sobre a teoria Flow, uma teoria geral sobre funções, cujo propósito inicial era fornecer um framework tanto para a teoria de categorias quanto para ZF. No meio do caminho, Adonai resolveu o problema em aberto do princípio da partição, isto é, construiu um modelo para ZF em Flow em que vale o princípio da partição mas não o axioma de escolha, e agora a Teoria Flow conta com um cartão de visitas muito legal!

Uma prévia do trabalho está disponível no arXiv: https://arxiv.org/abs/2010.03664

O objetivo de divulgar o preprint é recolher críticas, sugestões, antes da submissão para um periódico. Então, todas as críticas são bem-vindas!

Obrigado!

Abraços!

M.

[samuel]

Caros,

Renato Brodzinski (outro dos autores) tinha me avisado mais cedo desse trabalho. Por acaso, o seminário que eu vou apresentar em novembro fala, precisamente, do Princípio da Partição !

Se tudo der certo, eles resolveram só o problema mais antigo da Teoria dos Conjuntos (com mais de 100 anos em aberto).

Atés e parabéns pelo trabalho,

[]s  Samuel

[Valeria de Paiva]

Marcio, Samuel,

e voces conseguem dizer *por que* o principio da particao 'vale em ZF, mas o axioma da escolha nao?

porque tinha uma razao pra pensar que eles seriam equivalentes, ne?

qual era essa razao?

obrigada,

Valeria

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Valeria de Paiva
http://vcvpaiva.github.io/
http://www.cs.bham.ac.uk/~vdp/

[Valeria de Paiva]

Muito obrigada pela explicacao, Adonai! e boa sorte pra voces com os desenvolvimentos!

abs

Valeria

On Fri, Oct 9, 2020 at 2:34 PM Adonai S. Sant'Anna <adonais...@gmail.com> wrote:

Valeria 

Longa história para responder à sua pergunta. Se o trabalho estiver certo, nossa teoria geral de funções Flow permite exibir modelo de ZF onde vale PP mas não AE. Isso é conseguido graças a um axioma de F-Escolha que sugerimos em nosso trabalho. Esse axioma de F-Escolha permite PP como teorema. No entanto, existe ZF-conjunto (ZF-conjuntos são termos de Flow que correspondem a conjuntos de ZF num sentido preciso) que não pode ser bem ordenado. Logo, não vale AE. Não somos os únicos que desconfiaram que AE independe de PP. Asaf Karagila admitiu por e-mail ter a mesma impressão. Estamos conversando com ele sobre isso. Em breve teremos mais novidades (boas ou ruins, só Deus sabe). 

Abraço 

Adonai 

Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAESt%3DXuUF49LXeNoStYW9wR20FtxcYi6sXu8HftR-SJ-WXSjow%40mail.gmail.com.

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Adonai S. Sant'Anna

DMAT/UFPR

6accdæ13eff7i319n4o4qrr4s8t12vz

[Márcio Palmares]

Oi, Valeria!

Que bom que Adonai respondeu à sua pergunta... Eu sempre pensei assim: todo epimorfismo pode ser cindido em Set, temos portanto uma versão categorial do axioma da escolha, sabemos que o axioma da escolha implica a lei do terceiro escolhido, então saberemos como é a álgebra dos subobjetos nas categorias em que vale o AE, e pronto! É tudo o que precisamos saber sobre axioma de escolha! (Eu nem sabia que esse problema do Princípio da Partição existia...).

Como Adonai mencionou, o artigo chamou a atenção de Asaf Karagila. Ele fez uma postagem em seu blog e está comentando passo a passo, à medida em que progride na leitura pelo twitter: http://karagila.org/2020/going-with-the-flow/ (São muito divertidos os comentários.)

Esse primeiro artigo está completamente focado em demonstrar o resultado principal, e também em provar que os axiomas de ZF são teoremas quando traduzidos em Flow. Mas estamos trabalhando também em outra frente: mostrar que o sistema que William Lawvere sugeriu em 1966 (category of categories as a foundation) também pode ser imerso em Flow, isto é, os axiomas da teoria de primeira ordem sugeridos por Lawvere são teoremas em Flow, quando devidamente traduzidos.

Seria muito legal se o artigo despertasse também atenção dos categoristas, apesar de, por restrições de tamanho e pelo resultado obtido, ter ficado restrito a teoria de conjuntos, teoria de modelos.

Abraços!

M.

Em sex., 9 de out. de 2020 às 18:34, Adonai S. Sant'Anna <adonais...@gmail.com> escreveu:

Valeria 

Longa história para responder à sua pergunta. Se o trabalho estiver certo, nossa teoria geral de funções Flow permite exibir modelo de ZF onde vale PP mas não AE. Isso é conseguido graças a um axioma de F-Escolha que sugerimos em nosso trabalho. Esse axioma de F-Escolha permite PP como teorema. No entanto, existe ZF-conjunto (ZF-conjuntos são termos de Flow que correspondem a conjuntos de ZF num sentido preciso) que não pode ser bem ordenado. Logo, não vale AE. Não somos os únicos que desconfiaram que AE independe de PP. Asaf Karagila admitiu por e-mail ter a mesma impressão. Estamos conversando com ele sobre isso. Em breve teremos mais novidades (boas ou ruins, só Deus sabe). 

Abraço 

Adonai 

Em sex, 9 de out de 2020 às 5:42 PM, Valeria de Paiva <valeria...@gmail.com> escreveu:

Para ver essa discussão na Web, acesse https://groups.google.com/a/dimap.ufrn.br/d/msgid/logica-l/CAESt%3DXuUF49LXeNoStYW9wR20FtxcYi6sXu8HftR-SJ-WXSjow%40mail.gmail.com.

[samuel]

... Foi pelo blog do Karagila que há alguns anos atrás eu fiquei sabendo do Princípio da Partição,

Se ele está acompanhando a coisa, trata-se de um especialista no assunto, muito bem !

Atés

[]s  Samuel

[samuel]

... Bom, só pra dar um pitaco de Princípio da Partição em categorias, recentemente eu publiquei este paper aqui, relacionando tanto o Axioma da Escolha quanto o Princípio da Partição com as categorias Dialecticas da Valeria.

https://academic.oup.com/jigpal/advance-article-abstract/doi/10.1093/jigpal/jzaa023/5875437?redirectedFrom=fulltext

Atés

[]s  Samuel

[Márcio Palmares]

Muito obrigado, Samuel!

Vou ler! (Espero conseguir entender!) :-)

Abraço!

M.

[Valeria de Paiva]

Sim, Samuel!

e' por isso que eu perguntei, ne?

 vc tb publicou ha' algum tempo atras (2017) com o Andreas e o Hugo

https://www.researchgate.net/publication/319331534_Categorial_forms_of_the_Axiom_of_Choice

e a continuacao (que eu ainda nao li).

por isso minha pergunta inicial:

o que nos levava a pensar que PP e AC seriam equivalentes?

nao eram as formas categoricas do AC, me parece.

uma segunda pergunta, mais geral e', por que introduzir mais um "foundational framework"--

se nao for pra resolver o problema de PP equivalente ou nao a AC? ('e muito lindo mesmo, se resolver esse problema, tb acho!)

mas a terceira pergunta 'e se isso nao 'e "caro" demais: Flow insiste que tenhamos a "existence of strongly inaccessible cardinals".

vale o preco? na verdade eu nao sei os "precos" em teoria de conjuntos, nao sei o que 'e caro ou o que e' barato.

mas eu acho que 'essa a discussao q o Adonai, o Marcio e o  Renato estavam querendo suscitar, nao e'?

abracos conjuntistas (mas ignorantes) a todxs!

Valeria

[Samuel Gomes da Silva]

Olá Valeria,

Eu confesso que a minha desconfiança no quanto a PP ser equivalente a AC ou não, que eu realmente achava que poderia ser,

era mais pelo tempo que o problema ficou aberto.

Recentemente, quando Malliaris e Shelah provaram que p = t, eu também estava no grupo dos 99 por cento dos teoristas de conjuntos

que pensavam que a solução do problema não seria essa, e sim p < t consistente.

Então a gente cria expectativas quando um problema de muito tempo fica aberto, no meu caso não era muito mais do que

isso o "chute" de que PP poderia ser equivalente a AC.

Quanto a grandes cardinais: ora, categoristas mais ou menos pressupõem que existam grandes cardinais, não é ? É com grandes

cardinais que normalmente se justificam a existência (no sentido de se imaginar modelos conjuntistas) de conglomerados e outros que tais. 

Por exemplo, eu estava lendo recentemente alguma reportagem na qual se dizia que Grothendieck não tinha absolutamente

nenhuma preocupação quanto ao fato de que a existência de Universos de Grothendieck era equivalente à existência de

cardinais fortemente inacessíveis. Para ele, aquilo seria apenas um meio para se chegar em algo. 

Se existe a intenção de que a teoria Flow se meta em Categorias, inacessíveis são até bem vindos, acho.

Atés

[]s  Samuel

---

De: "Valeria de Paiva" <valeria...@gmail.com>
Para: "samuel" <sam...@ufba.br>
Cc: "LOGICA-L" <logi...@dimap.ufrn.br>, "marciopalmares" <marciop...@gmail.com>, "Adonai S. Sant'Anna" <adonais...@gmail.com>
Enviadas: Sexta-feira, 9 de outubro de 2020 18:54:13
Assunto: Re: [Logica-l] Re: Teoria Flow: o princípio da partição não implica o axioma de escolha

[Valeria de Paiva]

muito obrigada pela resposta direta Samuel!

valeu!

Valeria

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[Márcio Palmares]

No livro "Introduction to higher order categorical logic", Lambek e P.J. Scott dizem o seguinte:

"An obvious question to ask about the untyped λ-calculus, as originally defined or as extended by us, is what its models, that is, Curry algebras or C-monoids, look like. In particular, are there any models other than the trivial one with only one element? This is the old question: can one consistently posit a universe of functions which apply to all functions, including themselves as arguments?" [pp. 118-119]

O livro é de 1986, mas teve reimpressão em 1994...

Em um artigo, creio que de 1982, "What is a model of the lambda calculus", Albert R. Meyer, por sua vez, escrevia:

"Applying a function to itself violates the rules of ordinary set theory which forbid a function from being in its own domain. The violation can quickly lead to contradiction. For example, let P be the "paradoxical" functional such that P(f) is zero if f(f) is not the integer zero, and P(f) is the integer one otherwise. So by definition P(f) != f(f) for all f; substituting P for f immediately yields the 

contradiction P(P) != P(P)."

Em publicações mais recentes sobre modelos para o cálculo lambda, encontramos sempre a mesma objeção a um possível universo de funções auto-aplicáveis, como se obter um tal sistema não fosse possível.

Bem, a menos que tenhamos feito tudo errado (não creio que seja o caso, haha), encontramos um tal sistema.

Aqui entra uma possível interessante conexão com a teoria de categorias (entre outras).

Sabe-se que Dana Scott construiu um modelo para o "untyped lambda calculus" usando a ideia de um "objeto reflexivo" U em uma categoria cartesianamente fechada (detalhes em https://ncatlab.org/nlab/show/lambda-calculus).

Esse modelo de Dana Scott, de algum modo, é similar à visão intuitiva que temos do universo primitivo U (não é um termo da teoria) onde "estariam" todos os termos da teoria Flow...

Então, um problema interessante é o seguinte: será que alguma porção do universo de Flow pode ser modelada usando essa ideia de Dana Scott? Se sim, por uma espécie de transitividade, saberíamos qual é a porção do universo de Flow que corresponde a um modelo para o cálculo lambda.

[Não pretendo tirar o foco da discussão sobre o Princípio da Partição, estou apenas ilustrando possíveis "usos" para o framework.] :-)

[]'s

M.

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[Valeria de Paiva]

oi Marcio,

sim, que o lambda-calculus sem tipos precisa de ser modelado em categorias (pra nao ter problemas parecidos com os do paradoxo de Russell) 'e bem conhecido.

o paper mais famoso do John Reynolds e'

Polymorphism is not set-theoretic - HAL-Inri

e a resposta do Andy Pitts 'e:

Polymorphism is set theoretic, constructively

e sim 'e otimo ilustrar outros possiveis usos pro framework.

mas esse uso eu nao acho muito convincente nao, pois a gente sabe modelar o lambda-calculus com ou sem tipos.

a minha impressao sobre foundational frameworks 'e que eles todos funcionam -mais ou menos- igualmente.

umas coisas sao melhores em um, outras em outro, mas no final da' tudo mais ou menos no mesmo na media.

abs

Valeria

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Valeria de Paiva
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[Márcio Palmares]

Oi Valeria,

Verdade... Acho que você tem razão... Existem muitos 'foundational frameworks', e apenas a seleção natural define quais prosperam, por sua melhor adaptação para a resolução de problemas em áreas específicas. Quando mostramos uma versão preliminar desse trabalho para o Jean-Pierre Marquis, ele se mostrou entusiasmado, talvez porque o sistema pudesse lançar uma nova luz sobre o velho debate "Feferman vs. categoristas de todo o mundo", uma vez que Flow mostra mais uma vez a primazia das funções diante dos conjuntos... Naquela ocasião Jean-Pierre Marquis chamou nossa atenção para as "Autocategories", de René Guitart, e à medida em que o trabalho foi prosseguindo, descobrimos outros sistemas. De fato, se Flow não tivesse mudado a forma como olhamos para certos problemas, e não tivesse levado Adonai à solução do problema do Princípio da Partição, seria muito difícil justificar sua existência num meio já bastante povoado por sistemas fundacionais...

Bem, seja como for, elaborei uma pequena tentativa de "motivação", para que os possíveis interessados possam compreender melhor (de um ponto de vista intuitivo) os axiomas e construções iniciais de Flow.

O ponto de partida é o teorema de Cayley, a relação existente entre operações binárias associativas e a representação dessas estruturas usando funções e composição de funções. Por exemplo, consideremos os inteiros  módulo quatro {0, 1, 2, 3} sob a multiplicação módulo quatro. Temos assim um conjunto equipado com uma operação binária associativa, a multiplicação. Neste caso, trata-se de um monoide, pois temos um elemento neutro. O teorema de Cayley nos diz então que essa estrutura é isomorfa ao monoide das funções f_0, f_1, f_2, f_3, sob a composição, definidas da maneira usual; f_2, por exemplo, é definida como f_2(x) = 2x, com x no conjunto {0, 1, 2, 3}.   

Então, elementos de estruturas binárias associativas podem ser "transformados" em funções, ou "interpretados" como funções.

Consideremos agora um caso mais geral, de uma operação binária não-associativa, definida no conjunto {0, 1, 2, 3}. Agora, porém, os símbolos 0, 1, 2 e 3 não devem ser interpretados como "inteiros módulo quatro", são apenas símbolos. Nossa operação binária será não-associativa; não-comutativa; idempotente, isto é, 0*0=0, 1*1=1, 2*2=2 e 3*3=3; terá um elemento 0 bilateral (absorvente dos dois lados): 0*x=x*0=0; e um elemento neutro 1 à esquerda: 1*x=x.

Poderíamos desenhar uma tabela para essa operação. Os valores não listados acima, para completar a tabela, seriam: 2*1=3*1=0; 2*3=0 e 3*2=2. Esses valores são arbitrários. Apenas as propriedades de 1, como neutro à esquerda, 0 como absorvente bilateral, e a idempotência são predefinidos.

Como a operação não é associativa, não vale o teorema de Cayley, e a estrutura formada com as funções sob a composição não será, em geral, isomorfa à estrutura original. Mas não faz mal. Isso não é um problema para nós, porque não estamos perseguindo este isomorfismo. Só queremos representar os elementos da estrutura como funções. Cada função será então um "endomorfismo" no conjunto {0, 1, 2, 3}, e poderá ser representada pelos típicos "diagramas internos de endomorfismos".

Agora vem o "pulo do gato": o que aconteceria se considerássemos, neste exemplo, a operação binária * como uma "função aplicação", ou "função avaliação", ou "evaluation map", isto é, suponhamos que, em vez de escrever 2*3=0 escrevêssemos 2(3)=0, e imaginássemos que 0, 1, 2 e 3 são eles próprios as funções, cujo comportamento é descrito em termos dessa avaliação ou aplicação? O resultado seria um pequeno universo de quatro termos, 0, 1, 2 e 3, que operam uns sobre os outros livremente, produzindo termos do mesmo universo. Com essa interpretação, chamamos 0, 1, 2 e 3 de "funções", e dizemos que 1(1)=1, 1(2)=2, 1(3)=3, 2(0)=0, 2(2)=2, etc.

Essa é uma boa maneira de interpretar, de forma intuitiva, o universo da Teoria Flow. Nele, temos uma infinidade de termos f, g, h, etc., que se aplicam livremente uns sobre os outros, produzindo outros termos, chamados de "funções". Nesse universo existem duas funções especiais, 1 e 0, com as propriedades 1(f)=f e 0(f)=f(0)=0, para toda função f. Além disso, toda função f de Flow satisfaz f(f)=f, o que chamamos de "postulado de autorreferência", mas podemos pensar que se trata da propriedade de idempotência da "avaliação" vista como operação binária, se quisermos. Com essa interpretação fica fácil ler os primeiros axiomas e entender as demonstrações.

O primeiro axioma diz que se f(g)=g e g(f)=f, então g=f (se f é ponto fixo para g, e g é ponto fixo para f, são a mesma função). E também tem o seguinte: se f(g)=f e g(f)=g, então f=g (se f absorve g e g absorve f, são a mesma função).

O segundo axioma diz que f(f)=f.

Depois introduzimos 1 e 0 e provamos que são únicas. Os axiomas seguem então como a caracterização da estranha álgebra não-associativa, não-comutativa, idempotente e com 0 e 1 especificados, da avalição, o único conceito primitivo de Flow.

Bem, era isso. (Espero que essas maluquices ajudem.)

Obrigado, Valeria, pelas considerações!

Abraços!

M.

[Valeria de Paiva]

obrigada pela motivacao meio quaternionica, Marcio!

sempre ajuda,

abs

Valeria

[Samuel Gomes da Silva]

Olá Marcio,

Estive ontem de noite acompanhando a movimentação no Twitter e MathOverFlow sobre o paper,

A crítica principal é que a teoria Flow não teria sido mostrada consistente,

Qual é a posição dos autores sobre isso ?

Até mais,

[]s Samuel
----- Mensagem original -----

De: Valeria de Paiva <valeria...@gmail.com>

Para: Márcio Palmares <marciop...@gmail.com>
Cc: Samuel Gomes da Silva <sam...@ufba.br>, LOGICA-L <logi...@dimap.ufrn.br>
Enviadas: Sat, 10 Oct 2020 13:31:19 -0300 (BRT)
Assunto: Re: Teoria Flow: o princípio da partição não implica o axioma de escolha

>> set-theoretic - HAL-Inri <https://hal.inria.fr/inria-00076261/document>e

>> a resposta do Andy Pitts 'e:
>> Polymorphism is set theoretic, constructively

>> <https://link.springer.com/content/pdf/10.1007%2F3-540-18508-9_18.pdf>

>>>>> ------------------------------
>>>>> *De: *"Valeria de Paiva" <valeria...@gmail.com>
>>>>> *Para: *"samuel" <sam...@ufba.br>
>>>>> *Cc: *"LOGICA-L" <logi...@dimap.ufrn.br>, "marciopalmares" <

>>>>> marciop...@gmail.com>, "Adonai S. Sant'Anna" <
>>>>> adonais...@gmail.com>

>>>>> *Enviadas: *Sexta-feira, 9 de outubro de 2020 18:54:13
>>>>> *Assunto: *Re: [Logica-l] Re: Teoria Flow: o princípio da partição

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[Márcio Palmares]

Oi, Samuel!

Alguns meses atrás Otávio sugeriu que deveríamos começar a pensar em provas de consistência relativa, mas como tínhamos ainda muitas pedras para quebrar, deixamos essa questão de lado, e depois esquecemos (essa é a minha visão sobre o que aconteceu. Adonai, Renato e Otávio devem ter, cada um, sua própria visão).

Então, como divulgamos o preprint com o fim de subtemer o trabalho à crítica, foi muito bom que esse problema tenha sido apontado. O que se pode dizer de imediato é: *se Flow for consistente, PP não implica AE*. O trabalho precisará ser modificado antes da submissão para um periódico.

Outra crítica apontada, que também procede e que iremos corrigir, é que usamos definições recursivas antes de construir o aparato para tal, teremos que antecipar a definição de ordinal, entre outras modificações. :-)

Abraço!

M.

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