Goldbach.bin.prove
Sazonkin Sergei
положительного решения проблемы Голдбаха в бинарной формулировке.
Надеюсь, формат подходящий.
\batchmode
\makeatletter
\def\input@path{{/home/airv/doc//}}
\makeatother
\documentclass[russian]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[koi8-r]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage{amsmath}
\pagestyle{plain}
\usepackage{babel}
\setlength\parskip{\smallskipamount}
\setlength\parindent{0pt}
\usepackage{amssymb}
\makeatletter
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% LyX specific LaTeX commands.
\providecommand{\LyX}{L\kern-.1667em\lower.25em\hbox{Y}\kern-.125emX\@}
\newcommand{\noun}[1]{\textsc{#1}}
\makeatother
\begin{document}
\textbf{Теорема:} \emph{\( \forall n> \)3 \( \, \exists \)p,P -простые: 2n
= p + P~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
(Ольге и Николаю посвящается)}\\
\emph{}\\
\textbf{\emph{Д-во:}}\emph{~~ допустим обратное т.е.}
textbf{\emph{\( \exists n \):
\( 2n-p=p'S' \)}}\emph{,} \textbf{\emph{\( \, \, \forall \)\( p<2n \)}}
\emph{(\( S'\neq 1) \),}\\
\emph{очевидно, для этого необходимо существование ''циклов'' следующего
вида}\\
\emph{\( 2n-p_{0}=p_{k}S_{k} \) ,~~~~~~~~~ \( p_{i} \) -простые,
( p_{i}\neq p_{j} \),
\( p_{i}\neq 1 \) }\\
\emph{\( 2n-p_{k}=p_{k-1}S_{k-1} \) ~~~~~~S}\textsl{\emph{\tiny \( _{i}
\)}}
\emph{-целые >1,}\textsl{\emph{\tiny }}\\
\emph{\( 2n-p_{k}=p_{k-2}S_{k-2} \) }\\
\emph{\( \vdots \) }\\
\emph{\( 2n-p_{1}=p_{0}S_{0} \) ~~\( \Rightarrow
)~~\( \frac{1}{S_{0}}\left( 2n-\frac{1}{S_{1}}\left( 2n-...(2n-\frac{1}{S_{k
}}\left( 2n-p_{0}\right) ...\right) \right) =p_{0} \)}
\textbf{Утверждение1}: подобные циклы по целым числам возможны только в
случае к=1. \\
\textbf{Д-во}\emph{\noun{:}}
mph{\( \frac{1}{S_{0}}\left( 2n-\frac{1}{S_{1}}\left( 2n-...(2n-\frac{1}{S_{
k}}\left( 2n-p_{0}\right) ...\right) \right) =p_{0} \)
}\\
\emph{\( \Rightarrow
\( 2n\left( \frac{1}{S_{0}}-\frac{1}{S_{0}S_{1}}+...\frac{(-1)^{k-1}}{S_{0}S
_{1}...S_{k-1}}+\frac{(-1)^{k}}{S_{0}S_{1}...S_{k}}\right)
p_{0}\left( 1+\frac{(-1)^{k}}{S_{0}S_{1}...S_{k}}\right) \)}
\textbf{\emph{(1)}}\emph{}\\
\emph{\( \frac{1}{S_{0}}\left( 2n-\frac{1}{S_{1}}\left( 2n-p_{2}+1-\frac{1}{
p_{2}S_{2}}\left( 2n-...-\frac{1}{p_{k-1}S_{k-1}}\left( 2n-p_{k}+1-\frac{1}{
p_{k}S_{k}}(2n-p_{0})\right) \right. ...\right. \right) =p_{0} \)
}\\
\emph{}\\
\emph{\( \frac{1}{S_{0}}2n-\frac{1}{S_{0}S_{1}}\left( 2n-p_{1}+1\right)
+\frac{1}{S_{0}S_{1}p_{2}S_{2}}\left( 2n-p_{2}+1\right) -\frac{1}{S_{0}S_{1}
p_{2}p_{3}S_{2}S_{3}}\left( 2n-p_{3}+1\right) -...+\frac{(2n-p_{k-1}+1)(-1)^
{k-1}}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}...p_{k-1}S_{2}S_{3}...S_{k-1}}+ \)}\\
\emph{\( +\frac{(2n-p_{k}+1)(-1)^{k}}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}...p_{k}S_{2}S_{3}
...S_{k}}=p_{0}\left( 1+\frac{(-1)^{k}}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}...p_{k}S_{2}S_{
3}...S_{k}}\right) \)
~}\textbf{\emph{(2)}}\emph{}\\
\emph{}\\
\emph{рассмотрим разность} \textbf{\emph{(1)-(2)}}\emph{}\\
\emph{\( \frac{-p_{1}+1}{S_{0}S_{1}}+\frac{(p_{2}2n-2n+p_{2}-1)}{S_{0}S_{1}p
_{2}S_{2}}-\frac{(p_{2}p_{3}2n-2n+p_{3}-1)}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}S_{2}S_{3}}+
...\frac{(p_{2}p_{3}...p_{k-1}2n-2n+p_{k}-1)(-1)^{k-1}}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}
...p_{k-1}S_{2}S_{3}...S_{k-1}}+\frac{(p_{2}p_{3}...p_{k}2n-2n)(-1)^{k}}{S_{
0}S_{1}p_{2}p_{3}...p_{k}S_{2}S_{3}...S_{k}}= \)}\\
\emph{\( =(-1)^{k}p_{0}\left( \frac{p_{2}p_{3...}p_{k}-1}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{
3}...p_{k}S_{2}S_{3}...S_{k}}\right) \)}\\
\emph{}\\
\emph{будем рассматривать \( k=2m+1 \) так как всегда можно обойти цикл
четное число
раз, }\\
\emph{или(если \( k=2m \)) можно рассмотреть вместо} \textbf{\emph{(2)}}
\emph{следующее}
\textbf{\emph{(2')}} \emph{}\\
\emph{\( \frac{1}{S_{0}}2n-\frac{1}{S_{0}S_{1}}2n+\frac{1}{S_{0}S_{1}S_{2}}\
left( 2n-p_{2}+1\right) -\frac{1}{S_{0}S_{1}S_{2}p_{3}S_{3}}\left( 2n-p_{3}+
1\right) -...+\frac{(2n-p_{k-1}+1)(-1)^{k-1}}{S_{0}S_{1}S_{2}p_{3}...p_{k-1}
S_{3}...S_{k-1}}+ \)}\\
\emph{\( +\frac{(2n-p_{k}+1)(-1)^{k}}{S_{0}S_{1}S_{2}p_{3}...p_{k}S_{2}S_{3}
...S_{k}}=p_{0}\left( 1+\frac{(-1)^{k}}{S_{0}S_{1}S_{2}p_{3}...p_{k}S_{3}...
S_{k}}\right) \)
~}\textbf{\emph{(2')}}\emph{(док-во аналогично рассуждениям
далее)}\textbf{\emph{}}\\
\emph{\( . \)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ ~~~~~~~~\( D_{0}
\)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\( D
_{1} \)}\\
\emph{\( \overbrace{\frac{-p_{1}+1}{S_{0}S_{1}}+\frac{p_{2}2n-2n+p_{2}-1}{S_
{0}S_{1}p_{2}S_{2}}-\frac{p_{2}p_{3}2n-2n+p_{3}-1}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}S_{2}
S_{3}}}
)\( +\overbrace{\frac{p_{2}p_{3}p_{4}2n-2n+p_{4}-1}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}p_{4
}S_{2}S_{3}S_{4}}-\frac{p_{2}p_{3}p_{4}p_{5}2n-2n+p_{5}-1}{S_{0}S_{1}p_{2}p_
{3}p_{4}p_{5}S_{2}S_{3}S_{4}S_{5}}}+ \)
}\\
\emph{}\\
\emph{\( ....+
)\( \underbrace{\frac{(p_{2}p_{3}...p_{k-1}2n-2n+p_{k}-1)}{S_{0}S_{1}p_{2}p_
{3}...p_{k-1}S_{2}S_{3}...S_{k-1}}-\frac{(p_{2}p_{3}...p_{k}2n-2n)}{S_{0}S_{
1}p_{2}p_{3}...p_{k}S_{2}S_{3}...S_{k}}} \)
\( =p_{0}\left( \frac{1-p_{2}p_{3}...p_{k}}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}...p_{k}S_{2
}S_{3}...S_{k}}\right) \)
\( \, <0 \)}\\
\emph{\( . \) ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\( D_{\frac{k-3}{2}} \)}\\
\emph{}\\
\emph{\( D_{0}=\frac{p_{2}p_{3}(p_{1}S_{3}-2n)+1}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}S_{2}S
_{3}}>0 \)
(\( k>1, \) то всегда можно найти \( p_{i}>p_{i+2} \) , перенумеровать }\\
\emph{следующим образом \( p^{'}_{0}=p_{i-1},\, p^{'}_{1}=p_{i},\,
p^{'}_{2}=p_{i+1},\, p^{'}_{3}=p_{i+2},...,p^{'}_{k}=p_{i-2} \)
и рассматривать }\\
\emph{полученный цикл, что не ограничивает общности рассуждений) }\\
\emph{\( D_{1}>0, \)}\( ...D_{i}>0, \) \( ...,D_{\frac{k-3}{2}}>0 \)
(очевидно если
\( S_{i}>1 \))\\
\\
\( \Rightarrow
\underbrace{D_{0}+D_{1}+D_{2}+...D_{\frac{k-3}{2}}}=p_{0}\left( \frac{1-p_{2
}p_{3}...p_{k}}{S_{0}S_{1}p_{2}p_{3}...p_{k}S_{2}S_{3}...S_{k}}\right) <0
\)\emph{~~~~~\( \Rightarrow \)
противоречие. }\\
\emph{\( . \) ~~~~~~~~~~~~~~~\( >0
\)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~}\\
\textbf{\emph{}}\\
\textbf{\emph{Утвеждение1}} \emph{доказано т.е. \( k=1 \) \( (p_{0}=p_{2},\,
p_{1}=p_{3} \))
}\\
\emph{}\\
\emph{}\\
\emph{}\\
\emph{ }\\
\emph{}\\
\textbf{\emph{Утверждение2}}\emph{:} \textbf{\emph{циклов}} \emph{подобных
\( 2n-p^{m}_{0}=p_{1}, \)
\( 2n-p^{q}_{1}=p_{0}, \) }\\
\emph{где \( m,q \)-целые, больше 1, \( p_{0},p_{1} \)-простые,}
\textbf{\emph{не существует}}\emph{.}\\
\textbf{\emph{Д-во:}} \emph{~допустим обратное, тогда }\\
\emph{\( p^{q}_{1}-p_{1}=p_{0}^{m}-p_{0} \)} \( \Rightarrow
)\( \frac{p_{1}}{p_{0}}=\frac{p^{m-1}_{0}-1}{p_{1}^{q-1}-1}=\frac{p_{1}z}{p_
{0}z} \)
\\
\( p^{m-1}_{0}-1=p_{1}z, \)~~\( p^{q-1}_{1}-1=p_{0}z \)\\
\( 2nz+1=p_{1}z+1+p^{m}_{0}z=p_{0}^{m-1}(1+p_{0}z)=p^{m-1}_{0}p^{q-1}_{1}=\f
rac{(2n-p_{0})(2n-p_{1})}{p_{0}p_{1}} \)\\
\( \Rightarrow 2nz+1=p^{m-1}_{0}p^{q-1}_{1}, \) \textbf{(3)} \\
\( zp_{0}p_{1}+2n=p^{m}_{0}+p_{1}^{q}, \) \textbf{(4)}\\
\( 2n(1-p^{q-1}_{1})=p_{0}(1-p_{0}^{m-1}p_{1}^{q-1}) \)\\
\( 2n(1-p^{m-1}_{0})=p_{1}(1-p_{0}^{m-1}p_{1}^{q-1}) \)\\
\( 4n^{2}(1-(p^{m-1}_{0}+p^{q-1}_{1})+p_{0}^{m-1}p_{1}^{q-1})=p_{0}p_{1}(1-p
_{0}^{m-1}p_{1}^{q-1})^{2} \)
~ \emph{учитывая} \textbf{\emph{(3)}} \emph{и} \textbf{\emph{(4)}}
\emph{получим} \\
\( 4n^{2}(1-(zp_{0}p_{1}+2n)+p_{0}^{m-1}p_{1}^{q-1})=p_{0}p_{1}(2nz)^{2}
\)\\
\( 1-2n+p^{m-1}_{0}p^{q-1}_{1}=p_{0}p_{1}z(z+1) \) \( \Rightarrow \)
( 2n-1\equiv 0(mod\, p_{0}p_{1}) \)\\
но тогда \( 2n-1-p^{m}_{0}=p_{1}-1\equiv 0(mod\, p_{0}) \)\\
~~~~~~~~\( 2n-1-p^{q}_{1}=p_{0}-1\equiv 0(mod\, p_{1}) \) \( \Rightarrow \)
\emph{либо \( p_{0} \) или \( p_{1} \)-не простое,} \\
\emph{либо \( p_{0} \) или \( p_{1} \)равно 1, }\\
либо \( m=q=1 \) \emph{\( \Rightarrow \)противоречие.}\textbf{\emph{}}\\
\textbf{\emph{Утверждение2}} \emph{доказано.}\\
\textbf{}\\
\textbf{Следствие}: из любого цикла есть выход т.е., если
( 2n-p_{0}=p_{1}S_{1}, \)\( \, 2n-p_{1}=p_{0}S_{0}, \)\\
\( p_{0},\, p_{1} \)-простые, \( S_{0},S_{1} \)-целые больше \( 1 \), то
( S_{0} \)
либо \( S_{1} \) имеет делитель \( p^{'} \): \( p^{'}\neq p_{0},\, p^{'}\neq
p_{1} \)(очевидно).\\
\\
Теперь непосредственно приступим к доказательству теоремы.
Допустим мы \emph{''}вышли по делению\emph{''} из некоторого простого
( p_{0} \)(\( \frac{1}{S_{1}}(2n-p_{0})=p_{1}, \)
\( \frac{1}{S_{2}}(2n-p_{1})=p_{2},...,
)\( \frac{1}{S_{i}}(2n-p_{i-1})=p_{i} \), причем
\( p_{l}\neq p_{j} \)\( ,S_{i}\neq 1 \))\textbf{,} тогда на каком-то \( i
\)-том шаге
должны упереться в цикл \( p_{i}\rightarrow p_{i+1}\rightarrow p_{i} \)(в
силу ограниченности
числа простых меньших \( n \)). Как следствие \textbf{Утверждения2}\emph{,}
из цикла
есть выход, но не к уже пройденным \( p_{j} \), иначе получим какокой-то
цикл с числом
шагов \( >2 \), что противоречит Утверждению1. Выходим из цикла и двигаясь
далее\emph{,}
всегда выходя из стоящих на пути циклов\emph{,} мы все-таки должны вернутся
к пройденным
уже \( p_{j} \) \( \Rightarrow \) противоречие.\\
Таким образом на каком-то шаге должны получить \( 2n-p_{j}=P, \) где \( p,P
\) -простые.\\
теорема доказана.\\
\\
\\
\\
P.S. Теперь несложно доказать следующий факт :\\
\emph{\( \forall m\leq 2n \) \( \, \exists \, p,P \) -простые каждое из
которых меньше
\( 4n \): \( 2m=P-p \) }
\end{document}