Ist überabzählbar-unendlich mehr als abzählbar-unendlich?
Wolfgang G. G.
| 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
| endlich oder nicht?
Wenn man die Bedeutung von "endlich" ernst nimmt, d.h. "endlich" im
Sinne von "begrenzt von einer maximalen Stellenanzahl" interpretiert,
dann muss auch die Anzahl der natürlichen Zahlen begrenzt sein.
Dieter Jungmann hat dies mit vielen z.T. sehr eleganten Beispielen
belegt. Ich war am Anfang auch überrascht, aber es scheint mir
inzwischen ein kaum zu bezweifelndes Faktum zu sein, dass die Anzahl
der natürlichen Zahlen nicht grösser sein kann, als die Anzahl
Striche der grössten Zahl in Strich-Notation.
( | )
( |, || )
( |, ||, ||| )
( |, ||, |||, |||| )
...
Obige Frage 1) lässt sich nur dann mit ja beantworten, wenn man
"endlich viele Stellen" mit dem unausgesprochenen Zusatz "aber
unbegrenzt" interpretiert.
| 2) Kann ich nicht die Menge all dieser Zahlen bilden?
Nein, das ist genauso denkunmöglich wie die Vorstellung einer
Kugel, die eine unendliche (echte) Gerade umschliesst.
Auch hier halte ich Dieters Unterscheidung zwischen ENDLICHEN
MENGEN und UNBEGRENZTEN MENGENFOLGEN für sehr sinnvoll.
Die Potenzmenge z.B. kann nur von Mengen gebildet werden, deren
Glieder allesamt (aktual) gegeben sind. Von der Potenzmenge der
natürlichen Zahlen zu sprechen, ist somit (streng genommen)
unsinnig.
| 3) Ist diese Menge eine endliche Menge oder nicht?
Unbegrenzte Mengenfolgen wie die natürlichen Zahlen können
höchstens als potentiell unendliche aber keinesfalls als aktual
unendliche Mengen bezeichnet werden.
| 4) Wieso sollen bei dieser Mengenbildung auf einmal neue Zahlen
| auftauchen?
Zahlen mit (aktual) unendlich vielen Stellen sind eine logische
Konsequenz der postulierten (aktualen) Unendlichkeit der Anzahl
der natürlichen Zahlen. Ich vermute, dass in deiner Frage mit "neue
Zahlen" genau diese aktual-unendlichen Zahlen gemeint sind.
| 5) Gibt es mit dieser Menge auch Widersprueche in der traditionellen
| Mengenlehre?
Dieters Diskussionbeiträge sind voll davon. Hier einer, der
mir besonders interessant erscheint (ob der allerding zur
"traditionellen Mengenlehre" gehört, weiss ich nicht):
Es gilt/gelten:
- Rationale Zahlen als abzählbar unendlich
- Reelle Zahlen als überabzählbar unendlich
- Überabzählbar unendlich als mehr als abzählbar unendlich
Andererseits gilt auch:
- Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen reellen Zahlen
gibt es abzählbar unendlich viele rationale Zahlen.
- Zwischen zwei beliebigen nicht-identischen rationalen Zahlen
gibt es überabzählbar unendlich viele reelle Zahlen.
Daraus folgt eindeutig, dass weder die Anzahl (Mächtigkeit) der
reellen Zahlen grösser als die Anzahl der rationalen sein kann,
noch die Anzahl der rationalen Zahlen grösser als die der reellen.
Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
Intervalle. Überabzählbar viele sich nicht überschneidende
Intervalle mit je mindestens einer rationalen Zahl ergeben
überabzählbar viele rationale Zahlen.
Meine Sicht:
"Dass jede zufällige reelle Zahl eine endlose Zehnerbruch-
entwicklung aufweist, ist ein synthetisches Urteil apriori.
Und wenn schon einzelne Zahlen nicht bezeichnet werden können,
ist die Frage nach der Aufzählbarkeit aller reellen Zahlen
sinnlos." http://members.lol.li/twostone/a5.html
Gruss,
Wolfgang Gottfried G.
Thomas Haunhorst
Eine Menge heisse /abzaehlbar uendlich/, wenn ihre Kardinalitaet \omega
ist.
Eine Menge heisse /ueberabzaehlbar unendlich/, wenn ihre Kardinalitaet
groesser als \omega ist.
Gruss Thomas
--
Arnold Schiller
>
> Holger Gollan in 3B5D3574...@yahoo.com (de.sci.mathematik):
>
> | 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
> | endlich oder nicht?
>
Myriaden Myriaden und zahlen erster, zweiter und dritter Ordnung usw.
Vielleicht ist es nur "ein Sprachkonflikt"?
Was eine Mathematiker als unendlich bezeichnet, ist letztendlich ein
abgeschlossener Denkprozess der endlich ist. In dem Erkennen, dass die
Natürlichen Zahlen endlich auch sind, trotz ihrer Unendlichkeit lässt
einem die Möglichkeit darüber hinauszudenken.
Die Natürlichen Zahlen sind unendlich auf dieselbe Art und Weise wie
jedes andere Denkmodell über Zahlen die auf die Natürlichen Zahlen
aufbauen.
Für Mathematiker macht es Sinn darin zu unterscheiden. Und ich versuche
mir abzugewöhnen diesbezüglich mathematische Beispiele zu verwenden.
Gruss
Arnold
Thomas Haunhorst
Eine Menge heisse /abzaehlbar uendlich/, wenn ihre Kardinalitaet \omega
ist.
Eine Menge heisse /ueberabzaehlbar unendlich/ oder einfach /ueberabzaehlbar/,
Wolfgang G. G.
für eminent philosophische, und hoffe, dass mir diejenigen, die diese
Diskussion auf de.sci.mathematik beschränkt sehen möchten, mir das
nicht übelnehmen. ]
Martin Spoden in 3B5E90B0...@urz.uni-heidelberg.de :
> Mir langt eine Reihe: OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII...
>
> Die Stellung des "I"s gibt mir dann die Zahl. Symbole kann ich
> also dadurch generieren, daß ich irgendwo draufzeige.
Wunderschönes Beispiel: 1 Null, gefolgt von 27 Strichen und danach
von 3 Punkten.
Aber inwiefern du durch "draufzeigen" das Symbol mit 100 Strichen
(d.h. die ganze Zahl 100) generierst, ist mir schleierhaft. Es
ist doch genau umgekehrt: Zuerst musst du diese (wenn interpretiert)
potentiell unendliche Reihe mindestens bis zu 100 Strichen aktual
verlängern, und erst dann kannst du auf das Symbol 100 zeigen.
Und apriori sehe ich keinen Grund, warum man dein Beispiel nur als
(potentiell) unendliche Reihe, nicht aber auch als Darstellung
einer (potentiell) unendlichen Zahl interpretieren darf.
> "Unendlichkeit" bedeutet also nichts weiter, als eins weiter zählen
> zu können.
Unendlich bedeutet "ohne Ende". Und etwas, das nie aufhört, darf
nicht als als Ganzes gegeben oder gar begrenzt angesehen werden
(z.B. von transfiniten Zahlen). Das ist der entscheidende Punkt.
Holger Gollan in 3B5E812B...@yahoo.com :
>>> 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
>>> endlich oder nicht?
>> Obige Frage 1) lässt sich nur dann mit ja beantworten, wenn man
>> "endlich viele Stellen" mit dem unausgesprochenen Zusatz "aber
>> unbegrenzt" interpretiert.
> Genau so war sie gemeint. Alles andere wurde hinein interpretiert.
Dann haben wir also die Unterscheidung:
- endlich begrenzt (von einer oberen Schranke)
- endlich unbegrenzt
> Warum soll ich mir ueber diesen Zusatz Gedanken machen?
Vielleicht wegen der Zweideutigkeit des Begriffes "endlich". Dass
eine unbegrenzte Endlichkeit potentielle Unendlichkeit impliziert,
scheint mir klar.
>> Die Potenzmenge z.B. kann nur von Mengen gebildet werden, deren
>> Glieder allesamt (aktual) gegeben sind. Von der Potenzmenge der
>> natürlichen Zahlen zu sprechen, ist somit (streng genommen)
>> unsinnig.
>
> Du wirst mir sicherlich verzeihen, dass ich hier anderer Meinung bin.
> Ich habe zumindest kein Problem damit, auch die Potenzmenge solcher
> Mengen zu betrachten, in denen ich nicht alle Elemente (aktual)
> hinschreiben kann.
Zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen gehört als Element auch die
Menge mit folgender Konstruktionsvorschrift: Man entscheidet per
per Münzwurf, welche Zahlen zur Menge gehören. Man startet diesen
Entscheidungsprozess mit der Zahl 1 und wendet ihn danach immer
auf den Nachfolger der vorigen Zahl an. Da dieser Prozess unmöglich
zu einem Ende kommen kann, ist die so definierte Menge nie fertig
somit auch nicht gegeben.
Dasselbe Problem gibt es auch beim Diagonalprinzip, mit dem Cantor
zeigte, dass es zu jeder abzählbaren Menge M reeller Zahlen eine
weitere reelle Zahl gibt, die nicht in M enthalten ist. Es ist
nämlich unmöglich, auch nur eine einzige irrationale Zahl in
Cantors Liste zu schreiben, da man ohne Ende weitere Ziffern
hinzufügen müsste.
Der wesentliche Unterschied, der der Unterscheidung von "abzählbar
unendlich" und "überabzählbar unendlich" zugrunde liegt, ist die
Benennbarkeit oder Nicht-Benennbarkeit aller Elemente. Ich
kritisiere den Begriff "überabzählbar" nur insofern er "mehr als
unendlich" suggeriert. Obwohl gilt
- eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und allen Punkten auf
der idealisierten Zahlengeraden ist nicht möglich
- eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und einer Teilmenge
der Punkte auf der Zahlengeraden ist möglich
halte ich den Schluss, dass die Unendlichkeit aller Punkte auf der
Zahlengeraden irgendwie grösser als die Unendlichkeit der ganzen
Zahlen sein soll, für verfehlt. Denn dann müsste die Unendlichkeit
der ganzen Zahlen ein Ende haben, hinter dem sich eine grössere
Unendlichkeit befinden könnte.
Horst Kraemer in 3b5f0bd6....@news.cis.dfn.de :
>> Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
>> dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
>> Intervalle.
>
> Nein. Es gibt nachweislich keine ueberabzaehlbare Menge von sich nicht
> ueberschneidenen Intervallen, die aus mehr als einem einzigen Punkt
> bestehen.
Ein aus einem einzigen Punkt bestehendes Intervall ist eine logische
Unmöglichkeit, denn Intervalle sind 1-dimensional und werden von
zwei 0-dimensionalen Punkten begrenzt. Ein Intervall setzt sich
somit genausowenig aus Punkten zusammen wie ein 3-dimensionaler
Körper aus 2-dimensionalen Ebenen.
Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie
fallen zusammen, oder sie sind durch ein Intervall getrennt. Oder
ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
beschreiben, die nicht durch ein Intervall getrennt sind?
Wenn es also 'unbenennbar' unendlich viele reelle Zahlen gibt, dann
folgt als logische Konsequenz die Existenz 'unbenennbar' unendlich
vieler Intervalle, in denen sich wiederum je 'benennbar' (und somit
abzählbar) unendlich viele rationale Zahlen befinden.
Ein Widerspruch entsteht erst aus der Annahme, die Unendlichkeit
der nicht vollständig benennbaren Punkte (d.h. der reellen
Zahlen) sei grösser als die Unendlichkeit der benennbaren Punkte
(d.h. der rationalen Zahlen).
Es grüsst allseits,
Wolfgang
Horst Kraemer
wrote:
> Horst Kraemer in 3b5f0bd6....@news.cis.dfn.de :
>
> >> Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
> >> dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
> >> Intervalle.
> >
> > Nein. Es gibt nachweislich keine ueberabzaehlbare Menge von sich nicht
> > ueberschneidenen Intervallen, die aus mehr als einem einzigen Punkt
> > bestehen.
>
> Ein aus einem einzigen Punkt bestehendes Intervall ist eine logische
> Unmöglichkeit, denn Intervalle sind 1-dimensional und werden von
> zwei 0-dimensionalen Punkten begrenzt. Ein Intervall setzt sich
> somit genausowenig aus Punkten zusammen wie ein 3-dimensionaler
> Körper aus 2-dimensionalen Ebenen.
Bitte ? Hier tritt nirgends der ein so komplizierter Begriff wie
"Dimension" auf. Ein "Intervall" innerhalb der reellen Zahlen ist per
Definitionem ein Menge von Punkten und dafuer halte ich die
umgangssprachliche Metapher "setzt sich aus Punkten zusammen" durchaus
angemessen.
Eine Punktmenge heisst "abgeschlossenes Intervall", wenn sie aus allen
Zahlen x mit der Eigenschaft a<=x<=b besteht, wobei a und b zwei
beliebige reelle Zahlen sind. Dies schließt ein, dass a=b ist, dann
besteht das Intervall aus genau einer Zahl. Oder es kann sogar leer
sein, wenn a>b ist. Mag sein dass fuer Dich "Intervall" immer
impliziert, dass a<b ist. Da bei obigem Diskussionspunkt nur von
solchen Intervallen die Rede ist, habe ich dies extra gefordert, weil
man dies halt tun muss, wenn die mathematische Definition von
"Intervall" benutzt. Dass Du daran nun eine Belehrung bezueglich
"logischer Unmoeglichkeit" haengst, lenkt unnoetigweise vom
eigentlichen Thema ab. Ich rede ja gar nicht von den "Intervallen",
die Du fuer logisch unmoeglich haeltst ;-)
> Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie
> fallen zusammen, oder sie sind durch ein Intervall getrennt.
(Ich ersetze mal im Kopf "Punkt" durch Zahl). Dies ist richtig.
> Oder
> ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
> benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
> beschreiben, die nicht durch ein Intervall getrennt sind?
Nein. Dazu ist niemand in der Lage.
> Wenn es also 'unbenennbar' unendlich viele reelle Zahlen gibt,
Wir sprechen von "ueberabzahlbar unendlich". Dies ist exakt definiert
und daher moechte ich Metaphern wie "unbenennbar" nicht verwenden, da
diese moeglicherweise dazu fuehren, außermathematische "Intuition"
oder "Gefuehle" einzubringen.
> dann
> folgt als logische Konsequenz die Existenz 'unbenennbar' unendlich
> vieler Intervalle, in denen sich wiederum je 'benennbar' (und somit
> abzählbar) unendlich viele rationale Zahlen befinden.
Fuer einen Mathematiker bedeutet "logische Konsequenz" etwas, was er
aus einer gewissen Anzahl von Voraussetzungen (Axiomen) mathematisch
herleiten kann.
Wenn es ueberabzaehlbar viele reelle Zahlen und damit auch natuerlich
ueberabzaehlbar viele moegliche Zahlenintervalle.
Aber es gibt nachweislich _keine_ ueberabzaehlare Menge von reellen
Zahlenpaaren (a,b) fuer die jeweils
a<b
gilt und bei der fuer je zwei Paare (a1,b1) und (a2,b2) stets gilt
Entweder b1<a2 oder b2<a1
Mit anderen Worten: Eine Menge von paarweise disjunkten Intervallen,
die aus mehr als einem Punkt bestehen, ist hoechstens abzaehlbar
unendlich.
Das was Dir als "logische Konsequenz" selbstverstaendlich erscheint,
ist leider keine mathematisch-logische Konsequenz sondern nur durch
einer Art "Anschauung" oder "Gefuehl" begruendet, das hier wie so oft
falsch ist.
Ich koennte Dir die obige Behautung steng mathematisch beweisen,
fuerchte aber, dass Du mathematische Beweise nicht akzeptieren wirst,
da Du bereits mathematische Terminologie kritisierst.
> Ein Widerspruch entsteht erst aus der Annahme, die Unendlichkeit
> der nicht vollständig benennbaren Punkte (d.h. der reellen
> Zahlen) sei grösser als die Unendlichkeit der benennbaren Punkte
> (d.h. der rationalen Zahlen).
Nein. Er entsteht dadurch, dass Du eine mathematisch nachweisbare
Tatsache durch eine unbewiesene und auch unbeweisbare Annahme
aushebeln moechtest.
MfG
Horst
Holger Gollan
>
> [ Ich halte die Fragen zur Begründung der Zahlen und zur Unendlichkeit
> für eminent philosophische, und hoffe, dass mir diejenigen, die diese
> Diskussion auf de.sci.mathematik beschränkt sehen möchten, mir das
> nicht übelnehmen. ]
>
Mathematiker philosophieren nicht, sondern betreiben logische
Schlussfolgerungen auf Grundlage von Axiomen. Aber wenn Du meinst...
> Martin Spoden in 3B5E90B0...@urz.uni-heidelberg.de :
>
> > Mir langt eine Reihe: OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII...
> >
> > Die Stellung des "I"s gibt mir dann die Zahl. Symbole kann ich
> > also dadurch generieren, daß ich irgendwo draufzeige.
>
> Wunderschönes Beispiel: 1 Null, gefolgt von 27 Strichen und danach
> von 3 Punkten.
>
> Aber inwiefern du durch "draufzeigen" das Symbol mit 100 Strichen
> (d.h. die ganze Zahl 100) generierst, ist mir schleierhaft. Es
> ist doch genau umgekehrt: Zuerst musst du diese (wenn interpretiert)
> potentiell unendliche Reihe mindestens bis zu 100 Strichen aktual
> verlängern, und erst dann kannst du auf das Symbol 100 zeigen.
>
Ich kann ja auch von 7 Milliarden Menschen sprechen, ohne jeden
einzelnen kennengelernt zu haben (oder vorher alle Zahlen zwischen 1 und
7 Milliaerden aufgeschrieben zu haben).
> Und apriori sehe ich keinen Grund, warum man dein Beispiel nur als
> (potentiell) unendliche Reihe, nicht aber auch als Darstellung
> einer (potentiell) unendlichen Zahl interpretieren darf.
>
Kann man schon. Aber dann bekommt man etwas anderes als das, was
gemeinhin als natuerliche Zahlen betrachtet wird. Und ob man darauf eine
widerspruchsfreie Mathematik aufbauen kann, muss man erst noch
untersuchen. Es hat aber eben nichts mehr mit der traditionellen
Mengenlehre zu tun. Und wir wollten doch dort nach Widerspruechen
suchen, oder?
> > "Unendlichkeit" bedeutet also nichts weiter, als eins weiter zählen
> > zu können.
>
> Unendlich bedeutet "ohne Ende". Und etwas, das nie aufhört, darf
> nicht als als Ganzes gegeben oder gar begrenzt angesehen werden
Warum nicht? Wenn ich doch konkrete Regeln angebe, wie ich mit den
Objekten umgehen muss. Oder ist hier der Punkt, wo die Philosophie ins
Spiel kommt?
> (z.B. von transfiniten Zahlen). Das ist der entscheidende Punkt.
>
> Holger Gollan in 3B5E812B...@yahoo.com :
>
> >>> 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
> >>> endlich oder nicht?
>
> >> Obige Frage 1) lässt sich nur dann mit ja beantworten, wenn man
> >> "endlich viele Stellen" mit dem unausgesprochenen Zusatz "aber
> >> unbegrenzt" interpretiert.
>
> > Genau so war sie gemeint. Alles andere wurde hinein interpretiert.
>
> Dann haben wir also die Unterscheidung:
>
> - endlich begrenzt (von einer oberen Schranke)
> - endlich unbegrenzt
>
Das ist dann aber Deine Unterscheidung.
> > Warum soll ich mir ueber diesen Zusatz Gedanken machen?
>
> Vielleicht wegen der Zweideutigkeit des Begriffes "endlich". Dass
> eine unbegrenzte Endlichkeit potentielle Unendlichkeit impliziert,
> scheint mir klar.
>
Ich sehe da keine Zweideutigkeit. Ich habe nach den natuerlichen Zahlen
mit endlich vielen Stellen gefragt. Das sind solche Zahlen, deren
Stellenzahl endlich ist. Von Begrenzungen ist da einfach keine Rede.
Aber hier hatten wir ja schon Einigkeit erzielt.
> >> Die Potenzmenge z.B. kann nur von Mengen gebildet werden, deren
> >> Glieder allesamt (aktual) gegeben sind. Von der Potenzmenge der
> >> natürlichen Zahlen zu sprechen, ist somit (streng genommen)
> >> unsinnig.
> >
> > Du wirst mir sicherlich verzeihen, dass ich hier anderer Meinung bin.
> > Ich habe zumindest kein Problem damit, auch die Potenzmenge solcher
> > Mengen zu betrachten, in denen ich nicht alle Elemente (aktual)
> > hinschreiben kann.
>
> Zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen gehört als Element auch die
> Menge mit folgender Konstruktionsvorschrift: Man entscheidet per
> per Münzwurf, welche Zahlen zur Menge gehören. Man startet diesen
> Entscheidungsprozess mit der Zahl 1 und wendet ihn danach immer
> auf den Nachfolger der vorigen Zahl an. Da dieser Prozess unmöglich
> zu einem Ende kommen kann, ist die so definierte Menge nie fertig
> somit auch nicht gegeben.
>
Ist die natuerliche Zahl 5 Element Deiner "Menge" oder nicht?
> Dasselbe Problem gibt es auch beim Diagonalprinzip, mit dem Cantor
> zeigte, dass es zu jeder abzählbaren Menge M reeller Zahlen eine
> weitere reelle Zahl gibt, die nicht in M enthalten ist. Es ist
> nämlich unmöglich, auch nur eine einzige irrationale Zahl in
> Cantors Liste zu schreiben, da man ohne Ende weitere Ziffern
> hinzufügen müsste.
>
Der Trick bei Cantor ist ja gerade, dass man die Zahl nicht explizit
hinschreiben muss. Es reicht aus, die Existenz einer solchen Zahl zu
beweisen.
> Der wesentliche Unterschied, der der Unterscheidung von "abzählbar
> unendlich" und "überabzählbar unendlich" zugrunde liegt, ist die
> Benennbarkeit oder Nicht-Benennbarkeit aller Elemente. Ich
> kritisiere den Begriff "überabzählbar" nur insofern er "mehr als
> unendlich" suggeriert. Obwohl gilt
>
> - eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und allen Punkten auf
> der idealisierten Zahlengeraden ist nicht möglich
> - eine Bijektion zwischen den ganzen Zahlen und einer Teilmenge
> der Punkte auf der Zahlengeraden ist möglich
>
> halte ich den Schluss, dass die Unendlichkeit aller Punkte auf der
> Zahlengeraden irgendwie grösser als die Unendlichkeit der ganzen
> Zahlen sein soll, für verfehlt. Denn dann müsste die Unendlichkeit
> der ganzen Zahlen ein Ende haben, hinter dem sich eine grössere
> Unendlichkeit befinden könnte.
Das mag Deine philosophische Betrachtungsweise sein. Mathematisch kann
man aber nun einmal beweisen, dass es eine Bijektion zwischen den
natuerlichen und den rationalen Zahlen gibt, dass es aber keine
Bijektion zwischen den natuerlichen und den reellen Zahlen gibt. Du
magst Dich ja an den verschiedenen Begriffen der Unendlichkeit in diesem
Zusammenhang stoeren, zu obigem mathematischen Fakt gibt es auf jeden
Fall keinen Widerspruch (im Rahmen der traditionellen Mathematik).
>
> Horst Kraemer in 3b5f0bd6....@news.cis.dfn.de :
>
> >> Anders ausgedrückt: Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt,
> >> dann gibt es auch überabzählbar viele sich nicht überschneidende
> >> Intervalle.
> >
> > Nein. Es gibt nachweislich keine ueberabzaehlbare Menge von sich nicht
> > ueberschneidenen Intervallen, die aus mehr als einem einzigen Punkt
> > bestehen.
>
> Ein aus einem einzigen Punkt bestehendes Intervall ist eine logische
> Unmöglichkeit, denn Intervalle sind 1-dimensional und werden von
> zwei 0-dimensionalen Punkten begrenzt. Ein Intervall setzt sich
> somit genausowenig aus Punkten zusammen wie ein 3-dimensionaler
> Körper aus 2-dimensionalen Ebenen.
>
> Für zwei Punkte gibt es nur zwei Möglichkeiten: entweder sie
> fallen zusammen, oder sie sind durch ein Intervall getrennt. Oder
> ist irgend jemand in der Lage, wenigstens ein einziges Paar zweier
> benachbarter (aber unterscheidbarer) Punkte zu benennen oder zu
> beschreiben, die nicht durch ein Intervall getrennt sind?
>
Das war ja mal wieder tollste Haarspalterei!
> Wenn es also 'unbenennbar' unendlich viele reelle Zahlen gibt, dann
> folgt als logische Konsequenz die Existenz 'unbenennbar' unendlich
> vieler Intervalle, in denen sich wiederum je 'benennbar' (und somit
> abzählbar) unendlich viele rationale Zahlen befinden.
>
Das folgt aber nur dann, wenn Deine ueberabzaehlbar vielen echten
Intervalle jeweils verschiedene, und damit ueberabzaehlbar viele,
rationale Zahlen benennen. Und das kannst Du nur folgern, wenn Deine
verschiedenen Intervalle jeweils disjunkt sind. Interessanterweise hast
Du dieses kleine Detail dieses Mal in Deiner Argumentation vergessen.
Deine Intervalle koennen nicht alle disjunkt sein, und ich hatte in
meiner letzten Antwort auch versucht, Dir das klar zu machen. Leider
bist Du darauf nicht eingegangen. (Wie ihr ueberhaupt immer dann Dinge
aus Postings ausklammert, wenn es um konkrete Mathematik geht.)
> Ein Widerspruch entsteht erst aus der Annahme, die Unendlichkeit
> der nicht vollständig benennbaren Punkte (d.h. der reellen
> Zahlen) sei grösser als die Unendlichkeit der benennbaren Punkte
> (d.h. der rationalen Zahlen).
>
Erst wenn Du beweisen kannst, dass die Maechtigkeit der Intervalle
gleich der Maechtigkeit der dadurch benannten Punkte ist, hast Du einen
Widerspruch. Dieses kleine aber feine Detail hast Du bei Deiner
Argumentation leider ausser Acht gelassen; vielleicht ist es nicht
philosophisch genug?
> Es grüsst allseits,
> Wolfgang
--
Gruesse, email: hgo...@yahoo.com
Holger URL: http://www.geocities.com/Colosseum/Stadium/9099
Detlef Mueller
>
...
> Unendlich bedeutet "ohne Ende". Und etwas, das nie aufhört, darf
> nicht als als Ganzes gegeben oder gar begrenzt angesehen werden
> (z.B. von transfiniten Zahlen). Das ist der entscheidende Punkt.
>
Scheint mir auch so.
Allerdings ist dies ein willkuerlich auferlegtes
Denkverbot.
Die meisten Mathematiker halten sich nicht daran,
und kommen gut und widerspruchsfrei mit ihrer
Freiheit zurecht.
Die behaupteten Widersprueche fuehrten samt und
sonders auf Widersprueche zu selbstauferlegten
Denkverboten hinaus (wenn sie nicht gar simple
Fehlschluesse waren).
Innerhalb des Systemes argumentierend kam da
nichts.
Uebrigens sollte man sich fuer eine mathematische
Argumentation die Argumentation ueber "allgemeine
Bedeutung" wie oben abschminken.
Da sind klare Definitionen gefragt.
Gruss,
Detlef
Wolfgang G. G.
>> Ein aus einem einzigen Punkt bestehendes Intervall ist eine logische
>> Unmöglichkeit, denn Intervalle sind 1-dimensional und werden von
>> zwei 0-dimensionalen Punkten begrenzt. Ein Intervall setzt sich
>> somit genausowenig aus Punkten zusammen wie ein 3-dimensionaler
>> Körper aus 2-dimensionalen Ebenen.
>
> Bitte ? Hier tritt nirgends der ein so komplizierter Begriff wie
> "Dimension" auf. Ein "Intervall" innerhalb der reellen Zahlen ist per
> Definitionem ein Menge von Punkten und dafuer halte ich die
> umgangssprachliche Metapher "setzt sich aus Punkten zusammen" durchaus
> angemessen.
Mich interessieren reelle Zahlen nur insofern sie einen Bezug zu
einer Anschauung haben und für die Realität (z.B. Vermessung,
Buchhaltung, Physik) relevant sind. Die idealisierte Zahlengerade
ist die Basis der reellen Zahlen, und jede "axiomatische Begründung"
von "reellen Zahlen", die zu Widersprüchen mit dieser Basis führt,
ist sowieso unhaltbar.
Ob wir den Begriff "Dimension" für kompliziert erachten oder nicht,
ändert nichts daran, dass die Zahlengerade ein 1-dimensionales
Kontinuum darstellt. Strecken bzw. (echte) Intervalle sind dann
auch 1-dimensional, während Punkte 0-dimensional sind (d.h. Punkte
haben keine Ausdehnung).
Sofern man nicht bestreitet, dass Punkte ausdehnungslos sind, gilt
auch immer, dass man durch Vereinigung von Punkten niemals ein
(echtes) Intervall erzeugen kann. Der Glaube, Intervalle würden sich
aus Punkten zusammensetzen, beruht auf einer Kategorienvermengung.
>> Wenn es also 'unbenennbar' unendlich viele reelle Zahlen gibt,
>
> Wir sprechen von "ueberabzahlbar unendlich".
Ich habe "überabzählbar" nur deshalb vermieden, weil meine
Argumentation darauf hinausläuft, im Begriff "überabzählbar"
folgende Komponenten zu unterscheiden:
1. Benennbarkeit bzw. Abzählbarkeit
2. Mächtigkeit
3. Unendlichkeit
Als Verhältnis zwischen den reellen und den rationalen Zahlen ergibt
sich dann:
- rationale Zahlen abzählbar, reelle Zahlen hingegen nicht
(wegen der nicht benennbaren irrationalen Zahlen)
- unterschiedliche Mächtigkeit (wegen fehlender Bijektion)
- gleiche Unendlichkeit
Wenn wir den Begriff "überabzählbar" für eine reductio ad absurdum
verwenden, dann lautet diese so:
Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann folgt als
logische Konsequenz die Existenz überabzählbar vieler disjunkter
Intervalle, in denen sich wiederum je abzählbar unendlich viele
rationale Zahlen befinden. Da das Produkt von "abzählbar"
und "überabzählbar" als "überabzählbar" gilt, folgt die
Überabzählbarkeit der rationalen Zahlen.
Dein Versuch eines Auswegs aus diesem Dilemma:
> Eine Menge von paarweise disjunkten Intervallen, die aus mehr als
> einem Punkt bestehen, ist hoechstens abzaehlbar unendlich.
Das kann nicht richtig sein, unabhängig davon, ob es als erwiesen
gilt. Denn wie soll man Intervalle, deren Start- und Endpunkte
beide irrational (und damit nicht-benennbar) sind, abzählen?
Jedes Intervall lässt sich wiederum in beliebig viele Intervalle
aufteilen, wobei wiederum Start- noch Endpunkte möglich sind, die
in keiner abzählbaren Folge enthalten sein können.
Es stellt sich nur die Frage, ob die disjunkten Intervalle die
Mächtigkeit von |R oder von |R^2 (oder etwas dazwischen) haben.
Die Menge aller (d.h. nicht nur der disjunkten) Intervalle hat die
Mächtigkeit von |R^2, denn zur Darstellung der Intervalle werden
je zwei reelle Zahlen benötigt.
Gruss,
Wolfgang
Sönke Müller-Lund
> Mich interessieren reelle Zahlen nur insofern sie einen Bezug zu
> einer Anschauung haben und für die Realität (z.B. Vermessung,
> Buchhaltung, Physik) relevant sind.
das sind die sog. berechnbaren Zahlen. Die Menge der berechenbaren
rellen Zahlen ist abzählbar und ich gebe dir insofern Recht, dass nur
berechenbare Zahlen relevant sind, weil man die anderen sozusgen niemals
zu Gesicht bekommt.
> Die idealisierte Zahlengerade
> ist die Basis der reellen Zahlen, und jede "axiomatische Begründung"
> von "reellen Zahlen", die zu Widersprüchen mit dieser Basis führt,
> ist sowieso unhaltbar.
Es wird in diesem Thread schon so oft von Widersprüchen geredet, aber
kein einziger wurde bisher dargelegt, weder von Dir, noch von Dieter.
> Sofern man nicht bestreitet, dass Punkte ausdehnungslos sind, gilt
> auch immer, dass man durch Vereinigung von Punkten niemals ein
> (echtes) Intervall erzeugen kann. Der Glaube, Intervalle würden sich
> aus Punkten zusammensetzen, beruht auf einer Kategorienvermengung.
das hat nichts mit Glauben zu tun. Ein (abgeschlossenes) Intervall
zweier reeller Zahlen a<b ist definiert durch [a,b]:={x\in IR; a<=x<=b}.
Das ein Intervall im Gegensatz zu einem einzelnen Punkt eine Ausdehnung
hat, ist eine Folgerung.
> Wenn wir den Begriff "überabzählbar" für eine reductio ad absurdum
> verwenden, dann lautet diese so:
>
> Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann folgt als
> logische Konsequenz die Existenz überabzählbar vieler disjunkter
> Intervalle,
Bitte beweise das!
> in denen sich wiederum je abzählbar unendlich viele
> rationale Zahlen befinden. Da das Produkt von "abzählbar"
> und "überabzählbar" als "überabzählbar" gilt, folgt die
> Überabzählbarkeit der rationalen Zahlen.
>
> Dein Versuch eines Auswegs aus diesem Dilemma:
>
> > Eine Menge von paarweise disjunkten Intervallen, die aus mehr als
> > einem Punkt bestehen, ist hoechstens abzaehlbar unendlich.
>
> Das kann nicht richtig sein, unabhängig davon, ob es als erwiesen
> gilt. Denn wie soll man Intervalle, deren Start- und Endpunkte
> beide irrational (und damit nicht-benennbar) sind, abzählen?
Das ist ja das Wunderbare an der Mathematik (und der Logik): Ich muss
gar nicht wissen, _wie_ ich die Intervalle abzählen kann, denn:
a) Die Menge der rationalen Zahlen ist abzählbar (Beweis durch
Cantorsche Diagonalverfahren).
b) Die Menge der reellen Zahlen ist überabzählbar (Widerspruchsbeweis,
bei Abzählbarkeit müsste Binärfolge und deren invertierte mindestens ein
gemeinsames Glied besitzen).
c) Jedes reellen Intervall enthält abzählbar viele rationale Zahlen.
Aus a), b) und c) folgt dann: Es kann nur höchstens abzählbar viele
disjunkte reelle Intervalle geben.
Das ist ein Widerspruch?
Nein, es sei denn, Du kannst eine Bijektion zwischen der Menge IR und
der Menge aller reellen disjunkten Intervalle angeben.
> Es stellt sich nur die Frage, ob die disjunkten Intervalle die
> Mächtigkeit von |R oder von |R^2 (oder etwas dazwischen) haben.
Es gibt Bijektionen zwischen |R und |R^2, d.h. diese Mengen sind
gleichmächtig.
Sönke
Rainer Rosenthal
> ändert nichts daran, dass die Zahlengerade ein 1-dimensionales
> Kontinuum darstellt. Strecken bzw. (echte) Intervalle sind dann
> auch 1-dimensional, während Punkte 0-dimensional sind (d.h. Punkte
> haben keine Ausdehnung).
>
Hallo Wolfgang,
die oben gemachte Aussage ist - zumindest in einer Mathe-Gruppe -
ja, wie soll ich sagen, komisch ?
Im Klartext sagst Du da doch: "Ich weiss zwar nicht, was man unter
Dimension versteht, und ob "Dimension" nun schwierig zu erklären
ist oder nicht, das ist mir egal. ABER: die Zahlengerade ist ein 1-
dimensionales Kontinuum."
Im Gegensatz dazu ist Dein nächster unten zitierter Absatz von
erfrischend guter Logik !
>
> Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann folgt als
> logische Konsequenz die Existenz überabzählbar vieler disjunkter
> Intervalle, in denen sich wiederum je abzählbar unendlich viele
> rationale Zahlen befinden. Da das Produkt von "abzählbar"
> und "überabzählbar" als "überabzählbar" gilt, folgt die
> Überabzählbarkeit der rationalen Zahlen.
>
Das ist doch mal sauber und richtig argumentiert. Bravo.
Der Vorteil an einer sauber formulierten Argumentationskette ist
der, dass man darin den Fehler finden kann :-)
Gruss,
Rainer
Sönke Müller-Lund
mich selbst mal anmerkend:
> Aus a), b) und c) folgt dann: Es kann nur höchstens abzählbar viele
> disjunkte reelle Intervalle geben.
>
> Das ist ein Widerspruch?
> Nein, es sei denn, Du kannst eine Bijektion zwischen der Menge IR und
> der Menge aller reellen disjunkten Intervalle angeben.
Ich sollte etwas sorgfältiger im Umgang mit Mengen sein, denn es gibt
nicht _die_ Menge paarweiser disjunkter reeller Intervalle, sondern
überabzählbar unendlich viele verschiedene.
Das ändert aber nichts an der Tatsache, das jede Menge für sich
höchstens abzählbar unendlich viele Intervalle enthält.
Sönke
Thomas Haunhorst
>
>Wolfgang G. G. <z...@z.lol.li> wrote
>>
>> Ob wir den Begriff "Dimension" für kompliziert erachten oder nicht,
>> ändert nichts daran, dass die Zahlengerade ein 1-dimensionales
>> Kontinuum darstellt. Strecken bzw. (echte) Intervalle sind dann
>> auch 1-dimensional, während Punkte 0-dimensional sind (d.h. Punkte
>> haben keine Ausdehnung).
>>
>
>Hallo Wolfgang,
>
>die oben gemachte Aussage ist - zumindest in einer Mathe-Gruppe -
>ja, wie soll ich sagen, komisch ?
>Im Klartext sagst Du da doch: "Ich weiss zwar nicht, was man unter
>Dimension versteht, und ob "Dimension" nun schwierig zu erklären
>ist oder nicht, das ist mir egal. ABER: die Zahlengerade ist ein 1-
>dimensionales Kontinuum."
>
>Im Gegensatz dazu ist Dein nächster unten zitierter Absatz von
>erfrischend guter Logik !
>
>>
>> Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann folgt als
>> logische Konsequenz die Existenz überabzählbar vieler disjunkter
>> Intervalle,
>Das ist doch mal sauber und richtig argumentiert.
Nein, es ist eine non sequitur, wenn man hier Intervalle voraussetzt, die
wenigstens 2 Elemente enthalten.
Gruss Thomas
--
Paul Ebermann
> einer Anschauung haben und für die Realität (z.B. Vermessung,
> Buchhaltung, Physik) relevant sind. Die idealisierte Zahlengerade
> ist die Basis der reellen Zahlen, und jede "axiomatische Begründung"
> von "reellen Zahlen", die zu Widersprüchen mit dieser Basis führt,
> ist sowieso unhaltbar.
>
> Ob wir den Begriff "Dimension" für kompliziert erachten oder nicht,
> ändert nichts daran, dass die Zahlengerade ein 1-dimensionales
> Kontinuum darstellt. Strecken bzw. (echte) Intervalle sind dann
> auch 1-dimensional, während Punkte 0-dimensional sind (d.h. Punkte
> haben keine Ausdehnung).
Wenn du die Strecken/Geraden nicht als Menge von Punkten
auffasst, warum willst du dir dann über ihre
Kardinalität Gedanken machen?
> Sofern man nicht bestreitet, dass Punkte ausdehnungslos sind, gilt
> auch immer, dass man durch Vereinigung von Punkten niemals ein
> (echtes) Intervall erzeugen kann. Der Glaube, Intervalle würden sich
> aus Punkten zusammensetzen, beruht auf einer Kategorienvermengung.
Intervalle sind Mengen von reellen Zahlen. Ob du diese als Punkte
oder als sonst irgend etwas bezeichnest, ändert nichts an dieser
Tatsache.
Als solche sind sie natürlich auch die Vereinigung der
einelementigen Menge {r}, mit r im Intervall.
> Als Verhältnis zwischen den reellen und den rationalen Zahlen ergibt
> sich dann:
>
> - rationale Zahlen abzählbar, reelle Zahlen hingegen nicht
> (wegen der nicht benennbaren irrationalen Zahlen)
> - unterschiedliche Mächtigkeit (wegen fehlender Bijektion)
> - gleiche Unendlichkeit
Eine Menge M heißt abzählbar, wenn eine Injektion
f : M --> N existiert.
Eine Menge M heißt "überabzählbar", wenn M nicht die leere
Menge ist, und keine Injektion f : M --> N (M nicht abzählbar)
existiert.
(N ist hierbei die Menge der natürlichen Zahlen).
> Wenn wir den Begriff "überabzählbar" für eine reductio ad absurdum
> verwenden, dann lautet diese so:
>
> Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann folgt als
> logische Konsequenz die Existenz überabzählbar vieler disjunkter
> Intervalle,
Wo ist hier die logische Konsequenz? Gibt es einen Beweis?
> in denen sich wiederum je abzählbar unendlich viele
> rationale Zahlen befinden. Da das Produkt von "abzählbar"
> und "überabzählbar" als "überabzählbar" gilt, folgt die
> Überabzählbarkeit der rationalen Zahlen.
Wenn du die Existenz einer Menge disjunkter reeller
Intervalle zeigst, die überabzählbar ist, hast du gewonnen.
> Dein Versuch eines Auswegs aus diesem Dilemma:
>
> > Eine Menge von paarweise disjunkten Intervallen, die aus mehr als
> > einem Punkt bestehen, ist hoechstens abzaehlbar unendlich.
>
> Das kann nicht richtig sein, unabhängig davon, ob es als erwiesen
> gilt. Denn wie soll man Intervalle, deren Start- und Endpunkte
> beide irrational (und damit nicht-benennbar) sind, abzählen?
Achtung: Eine Menge von Intervallen ist etwas anderes als
die Vereinigung dieser Intervalle. Die Vereinigung ist
natürlich überabzählbar (wie schon jedes Intervall),
die Menge der Intervalle nicht.
Beweis:
Nennen wir die Menge deiner Intervalle W ('Wolfgangs Intervallmenge').
ObdA. betrachten wir nur nach oben offene Intervalle
[x,y) = { z in R | x <= z < y }
(Damit wir nicht Sonderfälle mit Intervallrändern beachten müssen.)
Wir wählen aus jedem dieser Intervalle [x,y) eine beliebige
rationale Zahl q aus (in jedem Intervall gibt es mindestens
eine solche, sogar abzählbar unendlich viele).
Weil die Intervalle disjunkt sind, haben wir nun für jedes
Intervall eine andere rationale Zahl, also eine Injektion
f : W ------> Q
[x, y) |--> q in ([x,y) geschnitten Q)
Von Q gibt es nun eine Injektion in N:
Für q = a/b, (a,b natürlich, gekürzt) setzen wir:
g(q) := 3^a * 2^b zu,
g(-q) := 5 * 3^a * 2^b
g(0) := 7
Wegen der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung sind für
unterschiedliche Paare a,b, also für unterschiedliche q
diese Zahlen immer unterschiedlich.
g : Q ---------> N
a/b |--> 3^a * 2^b
-a/b |--> 5 * 3^a * 2^b
0 |--> 7
ist also auch eine Injektion.
Die Verkettung von Injektionen ist wieder eine
Injektion:
h := (g ° f) : W --> N
Solch eine Injektion (oder eine beliebige dazu inverse Surjektion)
nennt man auch eine Abzählung von W.
W ist also immer abzählbar.
Dass W auch unendlich ist, ist immer der Fall, wenn
ganz R überdeckt wird, aber das war ja nicht die Frage.
> Jedes Intervall lässt sich wiederum in beliebig viele Intervalle
> aufteilen, wobei wiederum Start- noch Endpunkte möglich sind, die
> in keiner abzählbaren Folge enthalten sein können.
Damit fällt aber das Ausgangs-Intervall fort, denn es ist
ja nicht mehr disjunkt zu den Teil-Intervallen.
Was du mit abzählbarer Folge meinst, ist mir nicht klar.
> Es stellt sich nur die Frage, ob die disjunkten Intervalle die
> Mächtigkeit von |R oder von |R^2 (oder etwas dazwischen) haben.
Weder noch, Beweis oben.
Die Mächtigkeit von R ist übrigens gleich der Mächtigkeit von
R^n (n natürliche Zahl), auch wenn man sich das schlecht
vorstellen kann. Der Dimensionsbegriff versagt hier.
> Die Menge aller (d.h. nicht nur der disjunkten) Intervalle hat die
> Mächtigkeit von |R^2, denn zur Darstellung der Intervalle werden
> je zwei reelle Zahlen benötigt.
Das ist richtig, die Menge aller Intervalle ist isomorph zur
Menge aller Paare (a,b) in R^2.
Dabei ist allerdings das Intervall [a,b] das gleiche
wie [b,a]. Außerdem sind hier die einpunktigen Intervalle
enthalten [a,a], die ja für unsere Belange nicht nützlich
sind. (In solchen Intervallen sind meist keine rationalen
Zahlen enthalten).
Sortieren wir jetzt noch die Intervalle aus, die mit einem
nicht-aussortiertem Intervall eine nichtleere Schnittmenge
haben (sinnvollerweise betrachten wir hier offene Intervalle,
denn sonst sind ja die Randpunkte in je 2 Intervallen),
so reduziert sich das ganze, wie oben gezeigt, auf eine
abzählbare Menge.
(Ich rede nicht von der Menge aller möglichen Zerlegungen,
sondern von einer einzelnen solchen Zerlegung).
Paul
PS: Interessiert die Philosophen eigentlich diese
Diskussion? Ich halte das für eine sehr mathematische
Frage, die ich auch mit mathematischen Mitteln klären
will. Dass es in der Wirklichkeit keine unendlichen
Mengen (erst recht keine überabzählbaren) gibt, ist mir
bewusst. Es gibt ja wohl auch eine Abschätzung für die
Anzahl der Energiequanten im Universum.
Rainer Rosenthal
Thomas Haunhorst <Thomas.H...@HEH.Uni-Oldenburg.DE> wrote
>
> >Das ist doch mal sauber und richtig argumentiert.
>
> Nein, es ist eine non sequitur, wenn man hier Intervalle voraussetzt, die
> wenigstens 2 Elemente enthalten.
>
Hallo Thomas,
ich habe doch lediglich die FORM gelobt und dann darauf
hingewiesen, dass sich dann der Fehler finden lassen
wird. Also: eins nach dem anderen - man kann ja schliesslich
nur solche Aussagen widerlegen, die überhaupt einen
Sinn machen. Und das war eben das erfrischende an dieser
Aussage - ungeachtet ihrer Falschheit.
Und ein Beispiel für die andere Kategorie von Aussagen, die
in diesem Thread eben auch die Mehrheit hat, war ja dies:
Von Wolfgan G.G.
Ob wir den Begriff "Dimension" für kompliziert erachten
oder nicht, ändert nichts daran, dass die Zahlengerade
ein 1-dimensionales Kontinuum darstellt.
Natürlich war in meinem Posting auch ein kleines Augen-
zwinkern drin. Irgendwie scheinst Du aber bei Mathematik
keinen Spass zu verstehen. Musst Du ja auch nicht - ich meine
ja nur. ( Nicht böse werden, bitte.)
Gruss,
Rainer
Thomas Haunhorst
>
>Thomas Haunhorst <Thomas.H...@HEH.Uni-Oldenburg.DE> wrote
>>
>> >Das ist doch mal sauber und richtig argumentiert.
>>
>> Nein, es ist eine non sequitur, wenn man hier Intervalle voraussetzt, die
>> wenigstens 2 Elemente enthalten.
>>
>
>Hallo Thomas,
>
>ich habe doch lediglich die FORM gelobt und dann darauf
>hingewiesen, dass sich dann der Fehler finden lassen
>wird.
Ich habe mich auch nur auf die Form bezogen. Aus "Es gibt ueberabzaehlbar
viele reelle Zahlen" folgt eben nicht, dass es dann auch ueberabzaehlbar
viele disjunkte mehrpunktige Intervalle gibt. Es ist eben keine logische
Konsequenz und das ist non sequitur. Also ist nicht richtig argumentiert
worden, wenn auch das benutzte Argument /fuer sich genommen/ richtig ist.
Gruss Thomas
--
Wolfgang G. G.
>> Wenn wir den Begriff "überabzählbar" für eine reductio ad absurdum
>> verwenden, dann lautet diese so:
>>
>> Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann folgt als
>> logische Konsequenz die Existenz überabzählbar vieler disjunkter
>> Intervalle, in denen sich wiederum je abzählbar unendlich viele
>> rationale Zahlen befinden. Da das Produkt von "abzählbar"
>> und "überabzählbar" als "überabzählbar" gilt, folgt die
>> Überabzählbarkeit der rationalen Zahlen.
>
> Wenn du die Existenz einer Menge disjunkter reeller
> Intervalle zeigst, die überabzählbar ist, hast du gewonnen.
Das lässt sich ganz einfach mit Cantors Diagonalprinzip zeigen.
Wenn die Menge disjunkter Intervalle abzählbar wäre, dann müsste
sich eine Folge x1, x2, x3, ... angeben lassen, die alle
Grenzpunkte zwischen je zwei benachbarten Intervallen enthält.
Es lässt sich dann bekanntlich ein neuer Grenzpunkt x angeben,
der verschieden von allen Grenzpunkten x_n ist.
Schach matt!
Gruss,
Wolfgang
Arnold Schiller
>
> PS: Interessiert die Philosophen eigentlich diese
> Diskussion? Ich halte das für eine sehr mathematische
> Frage, die ich auch mit mathematischen Mitteln klären
> will. Dass es in der Wirklichkeit keine unendlichen
> Mengen (erst recht keine überabzählbaren) gibt, ist mir
> bewusst. Es gibt ja wohl auch eine Abschätzung für die
> Anzahl der Energiequanten im Universum.
>
Wenn Du Deine Gedanken als unwirklich bezeichnen würdest, hättest du
recht.
Wenn es also in Deiner Wirklichkeit keine unendlichen Mengen gibt, was
sind dann unendliche Mengen?
Gruss
Arnold
Paul Ebermann
Unendliche Mengen sind abstrakte Gebilde der Mengenlehre, die
aufgrund von Axiomen als existent angenommen werden.
Sieh dir dazu auch bisherige Diskussion in diesem Thread an.
In der Wirklichkeit (also in unserem Universum) findest
du nicht genug Objekte (das kann alles sein: Atome, Quarks,
Elektronen, Moleküle, Lebewesen, Planeten, Sterne, etc.), um
daraus eine unendliche Menge zu bilden.
Paul
Rainer Rosenthal
tut mir leid, dass ich Dich als "Haken" benutzen muss.
Ich kriegte das Posting einfach nicht als Antwort an
Wolfgangs drangeklemmt.
Wolfgang G. G. <z...@z.lol.li> wrote
> Paul Ebermann
> > Wenn du die Existenz einer Menge disjunkter reeller
> > Intervalle zeigst, die überabzählbar ist, hast du gewonnen.
>
Hallo Wolfgang,
das ist eine interessante Aufgabe, die Paul Dir da stellt. Er
will damit natürlich testen, ob Du Deine bisherigen Überlegungen
aufrecht halten kannst.
Das "gewonnen" deutet auf eine Art Spiel hin. Und Dein unten
abschliessend gejubeltes "Schach matt!" deutet darauf hin, dass
Du auf das Spiel eingehen willst.
Als Kiebitz (so nennt man die Zuschauer beim Schachspiel) weiss
ich, dass Du eine verlorene Stellung hast und erwarte gespannt
Deinen Zug. D.h. ich erwarte von Dir so etwas wie:
1. Ich konstruiere eine Menge M aus disjunkten Intervallen,
indem ich wie folgt vorgehe: ...
2. Ich zeige nun, dass M überabzählbar ist. Denn ...
Aber was kommt zu meinem Erstaunen als "Zug" ?
> Das lässt sich ganz einfach mit Cantors Diagonalprinzip zeigen.
Wie was ? Du sollst doch eine Menge konstruieren !
Aha, Du machst wohl nur eine etwas weit ausholende Geste, bevor
Du deinen Zug machst. Na, mal sehen ...
>
> Wenn die Menge disjunkter Intervalle abzählbar wäre,
halt, halt, was ist denn das ? Hier soll ein Spiel gespielt werden, das
Du nicht ungeschickt mit Schach vergleichst - und dann holst Du
einfach ein "As aus dem Ärmel" ?
Dieser Vergleich von mir drängt sich auf, weil Du die Spielregeln
missachtest und auch noch falsch zu spielen anfängst.
Statt eine Menge zu konstruieren, erzählst Du plötzlich was von
einer Super-Menge S, von der kein Mensch je gehört hat und die
es auch gar nicht gibt: S = Die Menge disjunkter Intervalle.
> dann müsste sich eine Folge x1, x2, x3, ... angeben lassen, die alle
> Grenzpunkte zwischen je zwei benachbarten Intervallen enthält.
Mit Hilfe dieser nichtexistenten Menge S machst Du Dich jetzt an
die Konstruktion einer Folge reeller Zahlen, ich fasse es kaum und
schaue dem Spiel gebannt zu.
> Es lässt sich dann bekanntlich ein neuer Grenzpunkt x angeben,
> der verschieden von allen Grenzpunkten x_n ist.
Aha, jetzt hast Du noch mit richtiger Folgerung aus falschen Voraus-
setzungen eine Zahl G gefunden, die von allen Folgegliedern x_i
verscjheden ist. Na ja, das ist ja nichts besonderes, denn ich weiss
ja, dass man die reellen Zahlen nicht abzählen kann. Was ist also
nun das Aufregende an G ?
Nimm doch mal irgendein Intervall, das als Element in dieser merk-
würdigen Menge S ist. Warum sollte G nicht einfach der Mittelpunkt
dieses Intervalls sein können ? Wegen der DISJUNKTHEIT der
Intervalle ist dieser Mittelpunkt ja sicher kein Grenzpunkt x_n.
>
> Schach matt!
>
Irrtum. Eher: KO nach Schlag unter die Gürtellinie :-)
Rein formal hätte Dir schon auffallen müssen, dass bei deiner
Argumentation etwas faul ist. Denn das WORT "disjunkt" verwendest
Du zwar, aber die EIGENSCHAFT "disjunkt" verwendest Du nicht.
In meinem Einwand verwende ich die Eigenschaft aber.
Mein Tipp: Überlege doch mal, was Du Dir überhaupt bei deiner
Menge S gedacht hast. Dann wirst Du sehen, dass Du irgendwie
Gespenster gesehen hast.
Gruss,
Rainer
r.ros...@web.de
-
P.S. Die Sicherheit, mit der Du argumentierst, lässt mich fast raten,
dass Du Lehrer bist. Etwa Mathe-Lehrer ? Denn Spass scheint Dir
die Sache ja zu machen :-)
Paul Ebermann
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Xref: archiver1.google.com de.sci.mathematik:23982 de.sci.philosophie:13749
> >> Wenn wir den Begriff "überabzählbar" für eine reductio ad absurdum
> >> verwenden, dann lautet diese so:
> >>
> >> Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann folgt als
> >> logische Konsequenz die Existenz überabzählbar vieler disjunkter
> >> Intervalle, in denen sich wiederum je abzählbar unendlich viele
> >> rationale Zahlen befinden. Da das Produkt von "abzählbar"
> >> und "überabzählbar" als "überabzählbar" gilt, folgt die
> >> Überabzählbarkeit der rationalen Zahlen.
> >
> > Wenn du die Existenz einer Menge disjunkter reeller
> > Intervalle zeigst, die überabzählbar ist, hast du gewonnen.
>
> Das lässt sich ganz einfach mit Cantors Diagonalprinzip zeigen.
>
> Wenn die Menge disjunkter Intervalle abzählbar wäre, dann müsste
> sich eine Folge x1, x2, x3, ... angeben lassen, die alle
> Grenzpunkte zwischen je zwei benachbarten Intervallen enthält.
> Es lässt sich dann bekanntlich ein neuer Grenzpunkt x angeben,
> der verschieden von allen Grenzpunkten x_n ist.
Und dieser neue Grenzpunkt soll ein Intervall begrenzen,
das zu allen anderen Intervallen disjunkt ist?
Meiner Meinung nach liegt dieser Punkt im Inneren eines
der schon vorhandenen Intervalle, begründet also kein
weiteres Intervall.
Etwas anderes müsstest du erst beweisen.
> Schach matt!
Wenn du so Schach spielst, wie du mathematische Beweise
führst ...
> Gruss,
> Wolfgang
Paul
PS: Sorry, wenn dieses Posting nicht richtig einsortiert
ist. Ich musste die References-Zeile kürzen, weil mein
Newsserver diese nicht annehmen wollte.
(441 Line 3 too long)
Sönke Müller-Lund
> > Wenn du die Existenz einer Menge disjunkter reeller
> > Intervalle zeigst, die überabzählbar ist, hast du gewonnen.
>
> Das lässt sich ganz einfach mit Cantors Diagonalprinzip zeigen.
>
> Wenn die Menge disjunkter Intervalle abzählbar wäre,
es gibt nicht _die_ Menge (paarweiser) disjunkter Intervalle, da
Disjunktheit gegenseitige Abhängigkeit implementiert. Wenn z.B. eine
Menge disjunkter Intervalle das Intervall [-1,1] enthält, dann kann z.B.
das Intervall [0,1] nicht in dieser Menge enthalten sein. Es gibt aber
unendlich viele Mengen paarweiser disjunkter Intervalle, die [0,1]
enthalten.
> dann müsste sich eine Folge x1, x2, x3, ... angeben lassen, die alle
> Grenzpunkte zwischen je zwei benachbarten Intervallen enthält.
Aha, du willst eine Kette halboffener Intervalle bilden und ganz IR
damit ausfüllen. Das ist sozusagen o.B.d.A. zulässig :).
> Es lässt sich dann bekanntlich ein neuer Grenzpunkt x angeben,
> der verschieden von allen Grenzpunkten x_n ist.
Selbst wenn diese Aussage stimmen würde, so würde das nur die
Unendlichkeit, nicht aber die Überabzählbarkeit dieser Menge disjunkter
Intervalle beweisen. Das Cantorsche Diagonalprinzip hast Du gar nicht
benutzt, denn sonst müsstest Du wie folgt vorgehen:
Gegeben sei eine Menge M paarweiser disjunkter reeller Intervalle.
a) Annahme: M ist abzählbar, d.h. ich kann alle Intervalle untereinander
aufschreiben (durchnummerieren)
b) Folgenkonstruktion: Schreibe jedes Intervall [a,b] als Folge
((a_1,b_1),(a_2,b_2), ...) wobei jedes (a_i,b_i) die i-te Binärstelle
von a und b ist.
c) Bilde nun die komplementäre diagonale Binärfolge k_i = (x_i,y_i) und
betrachte das zugehörige Intervall J (der Existenzbeweis von J sei dem
Leser überlassen).
d) Da M abzählbar ist, muss J nun an endlicher Stelle k unter der ersten
Folge "aufgeschrieben" sein und man hat dann den Widerspruch, dass
sowohl (x_k,y_k) = (1-a_k,1-b_k) (Def. von J) als auch (x_k,y_k) =
(a_k,b_k) (Abzählbarkeit von M) gilt.
M wäre also überabzählbar, müsstest Du nicht noch die "Kleinigkeit"
zeigen, dass J zu allen enthaltenen Intervallen aus M disjunkt ist.
Sönke
PS: Das, was Du gerne als "bekanntlich" oder "logsiche Konsequenz"
bezeichnest, ist IMO das, was Du selbst am wenigsten verstehst.
Rainer Rosenthal
Paul Ebermann <Paul-E...@gmx.de> wrote
>
> Wenn du so Schach spielst, wie du mathematische Beweise
> führst ...
>
> ist. Ich musste die References-Zeile kürzen, weil mein
> Newsserver diese nicht annehmen wollte.
> (441 Line 3 too long)
>
Hallo Paul, mir ging es genauso beim Posten. Ich habe meine
entsprechende Antwort deshalb im Thread bei Dir aufgehängt.
Als "Kiebitz" halte ich Dir die Daumen bei diesem sportlichen
Wettstreit, bei dem Dein Gegner allerdings mit allen Tricks
kämpft :-)
Er holt z.B. bei dem Spiel, das er mit "Schach matt!"-Ruf beendet,
Asse "aus dem Ärmel" wie <die Menge disjunkter Intervalle>
und etwas erinnert der Stil auch an Boxen ...
Also, halte durch -
ein Kiebitz
Rainer
Walliser
da ich mit NGs noch sehr ungeübt bin, ist mir nicht klar wo in dsm sich
hierzu der "Hauptthread" befindet. Deshalb füge ich meine Kommentare zu
dem von Dir zitierten Posting hier ein.
Paul Ebermann schrieb:
>
> References: <9hap86$d6nac$1...@ID-77081.news.dfncis.de> <9jvjqv$7p4$1...@newsreaderm1.core.theplanet.net>
> X-Priority: 3
> X-MSMail-Priority: Normal
> X-Newsreader: Microsoft Outlook Express 5.50.4133.2400
> X-MimeOLE: Produced By Microsoft MimeOLE V5.50.4133.2400
> Xref: news.t-online.com de.sci.mathematik:77872 de.sci.philosophie:68394
>
> > >> Wenn wir den Begriff "überabzählbar" für eine reductio ad absurdum
da ich leider nur Mathe studiert habe - was man ohne kleines Latinum
darf - würde ich hier in dsm um eine Übersetzung bitten!
> > >> verwenden, dann lautet diese so:
> > >>
> > >> Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann folgt als
> > >> logische Konsequenz die Existenz überabzählbar vieler disjunkter
> > >> Intervalle,
von was für Intervallen ist hier die Rede??? Für offene Intervalle ist
diese Behauptung schon einmal schlicht falsch, da IR selbstverständlich
eine abzählbare Basis besitzt!!
> > >> in denen sich wiederum je abzählbar unendlich viele
> > >> rationale Zahlen befinden.
wenn wir aber nun von abgeschlossenen einpunktigen Intervallen sprechen,
so ist diese Behauptung falsch, da diese Intervalle natürlich gerade die
Eigenschaft haben, daß sie in den "meisten Fällen" keine rationale Zahl
enthalten
> > >> Da das Produkt von "abzählbar"
[ ... ]
Der Rest ist - auf Grund mangelnder Genauigkeit, mathematischer und
offenbar schachlicher Unkenntnis - IMHO einfach nur Unsinn!
Viele Grüße von
Holger
Horst Kraemer
wrote:
> Wenn wir den Begriff "überabzählbar" für eine reductio ad absurdum
> verwenden, dann lautet diese so:
> Wenn es überabzählbar viele reelle Zahlen gibt, dann folgt als
> logische Konsequenz die Existenz überabzählbar vieler disjunkter
> Intervalle, in denen sich wiederum je abzählbar unendlich viele
> rationale Zahlen befinden.
Wie Du diese Konsequenz auch nennen magst: sie scheint sich allein auf
Deine Intuition zu begruenden. Du wirst sie nicht mathematisch
beweisen koennen. Wenn Sie nach Deiner Weltanschauung zwingend ist,
dann taugen die Begriffe "abzaehlbar" und "Maechtigkeit" in der Form,
wie sie in der Mathematik definiert sind, nicht fuer Dich. Dies ist
kein Beinbruch. Niemand will Dich zwingen, mit ihnen zu arbeiten. Die
Mathematiker tun es und fuehlen sich durchaus wohl dabei.
> Da das Produkt von "abzählbar"
> und "überabzählbar" als "überabzählbar" gilt, folgt die
> Überabzählbarkeit der rationalen Zahlen.
In der Mathematik folgt umgekehrt daraus, dass eine Menge von
disjunkten Intervallen in R hoechsten abzaehlbar ist, eben _weil_ die
Menge der rationalen Zahlen abzaehlbar ist.
> Dein Versuch eines Auswegs aus diesem Dilemma:
>
> > Eine Menge von paarweise disjunkten Intervallen, die aus mehr als
> > einem Punkt bestehen, ist hoechstens abzaehlbar unendlich.
> Das kann nicht richtig sein, unabhängig davon, ob es als erwiesen
> gilt.
Es faellt mit schwer, dieses "Das kann nicht richtig sein",
einzuordnen. Es folgt aus den Axiomen und Definitionen der Mengenlehre
- auch wenn es Dir schwerfaellt, es Dir vorzustellen. Du hast es
hoechstpersoenlich bewiesen.
Es ist sicher nicht moeglich, eine Mathematik zu definieren, in der
die Vorstellungen und Erwartungen Aller erfuellt sind. Eben weil diese
durchaus unterschiedlich sind. Fuer andere folgt nicht "logisch", dass
es eine ueberabzaehlbare Menge von paarweise disjunkten Intervallen
gibt - oder neutraler formuliert, sie erwarten von einem System der
Mengenlehre nicht, dass es so etwas gibt. Und bisher hat die Tatsache,
dass es in der ueblichen Mengenlehre keine ueberabzaehlbare Menge von
paarweise disjunkten Intervallen in |R gibt, nach Meinung der
Mathematiker bisher zu keinem ernstlichen Problem gefuehrt.
> Denn wie soll man Intervalle, deren Start- und Endpunkte
> beide irrational (und damit nicht-benennbar) sind, abzählen?
"Abzaehlbarkeit" ist durch die Existenz einer Bijektion mit N
definiert. Sie hat nichts mit dem naiven Begriff "abzaehlen" im Sinne
einer Taetigkeit o.ae. zu tun.
> Jedes Intervall lässt sich wiederum in beliebig viele Intervalle
> aufteilen, wobei wiederum Start- noch Endpunkte möglich sind, die
> in keiner abzählbaren Folge enthalten sein können.
>
> Es stellt sich nur die Frage, ob die disjunkten Intervalle die
> Mächtigkeit von |R oder von |R^2 (oder etwas dazwischen) haben.
Die Mächtigkeiten von |R und |R^2 sind identisch, denn fuer eine
beliebige unendliche Mengen M haben M und MxM immer dieselbe
Maechtigkeit.
> Die Menge aller (d.h. nicht nur der disjunkten) Intervalle hat die
> Mächtigkeit von |R^2, denn zur Darstellung der Intervalle werden
> je zwei reelle Zahlen benötigt.
Also hat die Menge I _aller_ "mehrpunktigen" Intervalle die
Maechtigkeit von |R. Daran besteht kein Zweifel. Aber eine Teilmenge
von I, deren Elemente paarweise disjunkt sind, kann nur abzaehlbar
sein. Kannst Du begruenden, warum Dir dies unlogisch erscheint?
Ersatzweise, kannst Du begruenden, warum es Dir in einem
Mathematikgebaeude als nicht wuenschenswert erscheint ? Welche
relevanten Aspekte haengen davon ab ?
MfG
Horst
Detlef Mueller
>
...
> Ich habe mich auch nur auf die Form bezogen. Aus "Es gibt ueberabzaehlbar
> viele reelle Zahlen" folgt eben nicht, dass es dann auch ueberabzaehlbar
> viele disjunkte mehrpunktige Intervalle gibt.
>
Ich moechte noch einmal betonen, dass man sich hier nicht
von der Ungenauigkeit der Ausdrucksweise anstecken lassen
sollte.
Die Aussage "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
mehrpunktige Intervalle" macht keinen Sinn. Was sollen
denn die Objekte sein, um die es geht?
Man muss sich schon eine feste Menge von Intervallen
hernehmen, ueber die man im Folgenden redet.
Es sollte heissen "Es gibt (k)eine Ueberdeckung von R in
mehrpunktige Intervalle, die aus ueberabzaehlbar vielen
Teilintervallen besteht."
Ansonsten gibt es ein froehliches aneinander vorbeireden.
Gruss,
Detlef
Wolfgang G. G.
"überabzählbar" ist besonders interessant, da sie eins zu eins
auf Cantors Diagonalbeweis angewandt werden kann.
Da der Thread "Ist überabzählbar-unendlich mehr als abzählbar-
unendlich?" schon aus den Nähten platzt (weil Unterthread von
"unendliche Mengen"), und es für mich nur noch darum geht, mein
"Schach matt" zu rechtfertigen, eröffne ich hiermit einen neuen.
Meine vier vorigen Postings (wobei im sehr kurzen vom 29.07.01
alles wesentliche gesagt ist):
http://members.lol.li/twostone/google1.html#unendlich
Rainer Rosenthal in 9k0p1p$1sjau$1...@ID-54909.news.dfncis.de :
> Als Kiebitz (so nennt man die Zuschauer beim Schachspiel) weiss
> ich, dass Du eine verlorene Stellung hast und erwarte gespannt
> Deinen Zug. D.h. ich erwarte von Dir so etwas wie:
>
> 1. Ich konstruiere eine Menge M aus disjunkten Intervallen,
> indem ich wie folgt vorgehe: ...
>
> 2. Ich zeige nun, dass M überabzählbar ist. Denn ...
>
> Aber was kommt zu meinem Erstaunen als "Zug" ?
>
> > Das lässt sich ganz einfach mit Cantors Diagonalprinzip zeigen.
>
> Wie was ? Du sollst doch eine Menge konstruieren !
Mit Verlaub, aber das ist doch eine groteske Forderung, die du
mit genau gleichem Recht Cantor stellen kannst. Jede (direkt)
konstruierbare Menge ist abzählbar.
> Aha, Du machst wohl nur eine etwas weit ausholende Geste, bevor
> Du deinen Zug machst. Na, mal sehen ...
>
> > Wenn die Menge disjunkter Intervalle abzählbar wäre,
>
> halt, halt, was ist denn das ? Hier soll ein Spiel gespielt werden,
> das Du nicht ungeschickt mit Schach vergleichst - und dann holst Du
> einfach ein "As aus dem Ärmel" ?
Und wie heisst's im Cantorschen Diagonalbeweis:
"Wenn die Menge der reellen Zahlen abzählbar wäre, ..."
> Dieser Vergleich von mir drängt sich auf, weil Du die Spielregeln
> missachtest und auch noch falsch zu spielen anfängst.
> Statt eine Menge zu konstruieren, erzählst Du plötzlich was von
> einer Super-Menge S, von der kein Mensch je gehört hat und die
> es auch gar nicht gibt: S = Die Menge disjunkter Intervalle.
Also ist auch Cantor einfach dahergelaufen, erzählt mir nichts
dir nichts von einer "Super-Menge S, von der kein Mensch je gehört
hat und die es auch gar nicht".
> > dann müsste sich eine Folge x1, x2, x3, ... angeben lassen, die
> > alle Grenzpunkte zwischen je zwei benachbarten Intervallen enthält.
>
> Mit Hilfe dieser nichtexistenten Menge S machst Du Dich jetzt an
> die Konstruktion einer Folge reeller Zahlen, ich fasse es kaum und
> schaue dem Spiel gebannt zu.
Cantor macht ja auch nichts anderes.
Und dass eine Folge von n unterschiedlichen reellen Zahlen r_n (mit
0 > r_n > 1) das Einheitsintervall in genau n+1 disjunkte Intervalle
teilt, solltest du doch auch ohne einen offiziell anerkannten Beweis
(oder ein Axiom) nachvollziehen können, oder etwa nicht?
Wenn wir auch die reelle Zahl 1 in Cantors Liste aufnehmen, dann
repräsentiert jedes Element nicht nur eine Zahl, sondern auch das
Intervall, das von dieser Zahl am oberen Ende begrenzt wird.
(Beim Verlängern der Liste werden die bisherigen Intervalle zwar
kürzer, verschwinden aber genausowenig wie die Zahlen, von denen
sie repräsentiert werden.)
> > Es lässt sich dann bekanntlich ein neuer Grenzpunkt x angeben,
> > der verschieden von allen Grenzpunkten x_n ist.
>
> Aha, jetzt hast Du noch mit richtiger Folgerung aus falschen Voraus-
> setzungen eine Zahl G gefunden, die von allen Folgegliedern x_i
> verschieden ist.
Ob wir die "Super-Menge S, von der kein Mensch je gehört hat und die
es auch gar nicht gibt" als reelle Zahlen, oder als Punkte auffassen,
die das Einheitsintervall zerteilen, spielt doch hier keine Rolle.
Punkte haben ja keine Nachbarn, sondern sind von allen (echten oder
potentiellen) Nachbarn durch (echte) Intervalle getrennt.
> Na ja, das ist ja nichts besonderes, denn ich weiss
> ja, dass man die reellen Zahlen nicht abzählen kann. Was ist also
> nun das Aufregende an G ?
Was ist denn das Aufregende an Cantors r, das von allen r_n seiner
abzählbar unendlichen Folge verschieden ist?
> Nimm doch mal irgendein Intervall, das als Element in dieser merk-
> würdigen Menge S ist. Warum sollte G nicht einfach der Mittelpunkt
> dieses Intervalls sein können ? Wegen der DISJUNKTHEIT der
> Intervalle ist dieser Mittelpunkt ja sicher kein Grenzpunkt x_n.
Dieser Mittelpunkt hilft mir nicht weiter, weil wir nicht wissen
können, ob dieser Punkt verschieden ist von allen abzählbar
unendlichen Genzpunkten x_n der Liste. Und damit die Menge der
Intervalle als überabzählbar bezeichnet werden kann, muss garantiert
sein, dass der neue Grenzpunkt x mit keinem der x_n übereinstimmt.
Denn nur dann haben wir eine neues Intervall.
Ich streite natürlich nicht ab, dass die Menge disjunkter Intervalle
mit rationalen Endpunkten abzählbar ist. Aber dass die Menge der
disjunkten reellen Intervalle (apriori) etwas mit der Menge der
rationalen Zahlen zu tun haben soll, streite ich sehr wohl ab.
Wer den eleganten, einfachen und transparenten Beweis der
Überabzählbarkeit disjunkter Intervalle nicht glauben will, der
soll doch bitte den Beweis ihrer Abzählbarkeit mittels Bijektion
auf N versuchen. Ockhams Messer kann dann entscheiden.
Gruss, Wolfgang
PS. Arnold Schiller hat am 29.07.01 mehr als 30 Crosspostings für
de.sci.philosophie und de.sci.mathematik abgesetzt, was
zusammengenommen 63 Einzelpostings ergibt. Was ist der Grund für
dieses Spamming? Meine Vermutung:
1) Den Ruf der sci-Newsgruppen als Ort seriöser Diskussionen zu
schädigen.
2) Sich selber und andere (z.B. solche mit ähnlichen Themen und
gleicher Crosspostliste) zu diskreditieren. Die Diskreditierung
Unbeteiligter wird vor allem auch dadurch gefördert, dass viele
Diskussionsteilnehmer bei ihren Antworten die Namen derer
herauslöschen, denen sie antworten.
3) Ablenken von wesentlichen Diskussionsbeiträgen.
4) Crossposten insgesamt zu diskreditieren.
Thomas Haunhorst
Detlef Mueller <dmue...@mathematik.uni-kassel.de> wrote:
>Thomas Haunhorst wrote:
>>
>...
>> Ich habe mich auch nur auf die Form bezogen. Aus "Es gibt ueberabzaehlbar
>> viele reelle Zahlen" folgt eben nicht, dass es dann auch ueberabzaehlbar
>> viele disjunkte mehrpunktige Intervalle gibt.
>>
>
>Ich moechte noch einmal betonen, dass man sich hier nicht
>von der Ungenauigkeit der Ausdrucksweise anstecken lassen
>sollte.
>
>Die Aussage "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
>mehrpunktige Intervalle" macht keinen Sinn.
Wieso macht sie keinen Sinn? Ob man nun sagt, dass man eine Menge
von pw. disjunkten mehrpunktigen Intervallen bilden kann, die ueber-
abzaehlbar sei, oder sagt "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
mehrpunktige Intervalle" macht keinen Unterschied, da sich der Begriff
/ueberabzaehlbar/ eben nur auf Mengen bezieht.
Mir scheint, dass Du den Fehler begehst, in die Aussage /die/ Menge /der/
ueberabzaehlbaren disjunkten mehrpunktigen Intervalle hineinzuinterpretieren.
Das ist aber eine Fehlinterpretation der Aussage. In der Aussage wird nur die
Existenz einer Menge gefordert, deren Elemente mehrpunktige Intervalle
und pw. disjunkt sind. Durch welche "Eigenschaften" sie dabei aus Pot(R)
ausgesondert wurden oder ob sie R ueberdecken sollen, ist dabei voellig
irrelevant. Man kann die Aussage naemlich auch so sehen: "In Pot(R) gibt
es ueberabzaehlbar viele .... Intervalle".
>Was sollen
>denn die Objekte sein, um die es geht?
>Man muss sich schon eine feste Menge von Intervallen
>hernehmen, ueber die man im Folgenden redet.
Ich glaube, Du verstehst nicht, worum es geht.
>Es sollte heissen "Es gibt (k)eine Ueberdeckung von R in
>mehrpunktige Intervalle, die aus ueberabzaehlbar vielen
>Teilintervallen besteht."
Das kann man auch schreiben, ist aber nicht noetig. Wieso sollte ich
aufeinmal von Ueberdeckungen sprechen? Also Deine Aussage ist im wesentlichen
nichts anderes als "Es gibt eine Teilmenge von Pot(R), die ueberabzaehlbar
viele pw......enthaelt." Und das ist ja nichts anderes als "Es gibt ueber-
abzaehlbar viele ....", also die Ursprungsaussage.
>
>Ansonsten gibt es ein froehliches aneinander vorbeireden.
Versuche in Zukunft die Aussage richtig zu interpretieren.
Gruss Thomas
--
Thomas Haunhorst
>>
>...
>> Ich habe mich auch nur auf die Form bezogen. Aus "Es gibt ueberabzaehlbar
>> viele reelle Zahlen" folgt eben nicht, dass es dann auch ueberabzaehlbar
>> viele disjunkte mehrpunktige Intervalle gibt.
>>
>
>Ich moechte noch einmal betonen, dass man sich hier nicht
>von der Ungenauigkeit der Ausdrucksweise anstecken lassen
>sollte.
>
>Die Aussage "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
>mehrpunktige Intervalle" macht keinen Sinn.
Wieso macht sie keinen Sinn? Ob man nun sagt, dass es eine Menge
von pw. disjunkten mehrpunktigen Intervallen gibt, die ueber-
abzaehlbar sei, oder sagt "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
mehrpunktige Intervalle" macht keinen Unterschied, da sich der Begriff
/ueberabzaehlbar/ eben nur auf Mengen bezieht.
Mir scheint, dass Du den Fehler begehst, in die Aussage /die/ Menge /der/
ueberabzaehlbaren disjunkten mehrpunktigen Intervalle hineinzuinterpretieren.
Das ist aber eine Fehlinterpretation der Aussage. In der Aussage wird nur die
Existenz einer Menge gefordert, deren Elemente mehrpunktige Intervalle
und pw. disjunkt sind. Durch welche "Eigenschaften" sie dabei aus Pot(R)
ausgesondert wurden oder ob sie R ueberdecken sollen, ist dabei voellig
irrelevant. Man kann die Aussage naemlich auch so sehen: "In Pot(R) gibt
es ueberabzaehlbar viele .... Intervalle".
>Was sollen
>denn die Objekte sein, um die es geht?
>Man muss sich schon eine feste Menge von Intervallen
>hernehmen, ueber die man im Folgenden redet.
Ich glaube, Du verstehst nicht, worum es geht.
>Es sollte heissen "Es gibt (k)eine Ueberdeckung von R in
>mehrpunktige Intervalle, die aus ueberabzaehlbar vielen
>Teilintervallen besteht."
Das kann man auch schreiben, ist aber nicht noetig. Wieso sollte ich
aufeinmal von Ueberdeckungen sprechen? Also Deine Aussage ist im wesentlichen
nichts anderes als "Es gibt eine Teilmenge von Pot(R), die ueberabzaehlbar
viele pw......enthaelt." Und das ist ja nichts anderes als "Es gibt ueber-
abzaehlbar viele ....", also die Ursprungsaussage.
>
>Ansonsten gibt es ein froehliches aneinander vorbeireden.
Versuche in Zukunft die Aussage richtig zu interpretieren.
Gruss Thomas
--
Thomas Haunhorst
>>
>...
>> Ich habe mich auch nur auf die Form bezogen. Aus "Es gibt ueberabzaehlbar
>> viele reelle Zahlen" folgt eben nicht, dass es dann auch ueberabzaehlbar
>> viele disjunkte mehrpunktige Intervalle gibt.
>>
>
>Ich moechte noch einmal betonen, dass man sich hier nicht
>von der Ungenauigkeit der Ausdrucksweise anstecken lassen
>sollte.
>
>Die Aussage "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
>mehrpunktige Intervalle" macht keinen Sinn.
Wieso macht sie keinen Sinn? Ob man nun sagt, dass es eine Menge
von pw. disjunkten mehrpunktigen Intervallen gibt, die ueber-
abzaehlbar sei, oder sagt "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
mehrpunktige Intervalle" macht keinen Unterschied, da sich der Begriff
/ueberabzaehlbar/ eben nur auf Mengen bezieht.
Mir scheint, dass Du den Fehler begehst, in die Aussage /die/ Menge aller
disjunkten mehrpunktigen Intervalle hineinzuinterpretieren, fuer die dann
gesagt werde, dass sie /ueberabzaehlbar/ sei.
Das ist aber eine Fehlinterpretation der Aussage. In der Aussage wird nur die
Existenz einer Menge gefordert, deren Elemente mehrpunktige Intervalle
und pw. disjunkt sind. Durch welche "Eigenschaften" sie dabei aus Pot(R)
ausgesondert wurden oder ob sie R ueberdecken sollen, ist dabei voellig
irrelevant. Man kann die Aussage naemlich auch so sehen: "In Pot(R) gibt
es ueberabzaehlbar viele .... Intervalle".
>Was sollen
>denn die Objekte sein, um die es geht?
>Man muss sich schon eine feste Menge von Intervallen
>hernehmen, ueber die man im Folgenden redet.
Ich glaube, Du verstehst nicht, worum es geht.
>Es sollte heissen "Es gibt (k)eine Ueberdeckung von R in
>mehrpunktige Intervalle, die aus ueberabzaehlbar vielen
>Teilintervallen besteht."
Das kann man auch schreiben, ist aber nicht noetig. Wieso sollte ich
aufeinmal von Ueberdeckungen sprechen? Also Deine Aussage ist im wesentlichen
nichts anderes als "Es gibt eine Teilmenge von Pot(R), die ueberabzaehlbar
viele pw......enthaelt." Und das ist ja nichts anderes als "Es gibt ueber-
abzaehlbar viele ....", also die Ursprungsaussage.
>
>Ansonsten gibt es ein froehliches aneinander vorbeireden.
Versuche in Zukunft die Aussage richtig zu interpretieren.
Gruss Thomas
--
Thomas Haunhorst
>>
>...
>> Ich habe mich auch nur auf die Form bezogen. Aus "Es gibt ueberabzaehlbar
>> viele reelle Zahlen" folgt eben nicht, dass es dann auch ueberabzaehlbar
>> viele disjunkte mehrpunktige Intervalle gibt.
>>
>
>Ich moechte noch einmal betonen, dass man sich hier nicht
>von der Ungenauigkeit der Ausdrucksweise anstecken lassen
>sollte.
>
>Die Aussage "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
>mehrpunktige Intervalle" macht keinen Sinn.
Wieso macht sie keinen Sinn? Ob man nun sagt, dass es eine Menge
von pw. disjunkten mehrpunktigen Intervallen gibt, die ueber-
abzaehlbar sei, oder sagt "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
mehrpunktige Intervalle" macht keinen Unterschied, da sich der Begriff
/ueberabzaehlbar/ eben nur auf Mengen bezieht.
Mir scheint, dass Du den Fehler begehst, in die Aussage /die/ Menge aller
disjunkten mehrpunktigen Intervalle hineinzuinterpretieren, fuer die dann
gesagt werde, dass sie /ueberabzaehlbar/ sei.
Das ist aber eine Fehlinterpretation der Aussage. In der Aussage wird nur die
Existenz einer ueberabzaehlbaren Menge gefordert, deren Elemente mehrpunktige
Intervalle und pw. disjunkt sind.
Durch welche "Eigenschaften" sie dabei aus Pot(R) ausgesondert wurden oder ob
sie R ueberdecken sollen, ist dabei voellig irrelevant. Man kann die Aussage
naemlich auch so sehen: "In Pot(R) gibt es ueberabzaehlbar viele ....
Intervalle".
>Was sollen
>denn die Objekte sein, um die es geht?
>Man muss sich schon eine feste Menge von Intervallen
>hernehmen, ueber die man im Folgenden redet.
Ich glaube, Du verstehst nicht, worum es geht.
>Es sollte heissen "Es gibt (k)eine Ueberdeckung von R in
>mehrpunktige Intervalle, die aus ueberabzaehlbar vielen
>Teilintervallen besteht."
Das kann man auch schreiben, ist aber nicht noetig. Wieso sollte ich
aufeinmal von Ueberdeckungen sprechen? Also Deine Aussage ist im wesentlichen
nichts anderes als "Es gibt eine Teilmenge von Pot(R), die ueberabzaehlbar
viele pw......enthaelt." Und das ist ja nichts anderes als "Es gibt ueber-
abzaehlbar viele ....", also die Ursprungsaussage.
>
>Ansonsten gibt es ein froehliches aneinander vorbeireden.
Versuche in Zukunft die Aussage richtig zu interpretieren.
Gruss Thomas
--
Rainer Rosenthal
> mit genau gleichem Recht Cantor stellen kannst. Jede (direkt)
> konstruierbare Menge ist abzählbar.
Hallo Wolfgang,
gut gut, Du solltest "die Existenz zeigen". Das mit dem "Konstruieren"
habe ich ungeschickt ausgedrückt :-(
>
> Was ist denn das Aufregende an Cantors r, das von allen r_n seiner
> abzählbar unendlichen Folge verschieden ist?
>
Nun ganz einfach: das Aufregende ist, dass Cantors r definitiv nicht in
der Liste sein kann, wie auch immer die Liste reeller Zahlen gebildet ist.
Womit er zeigt, dass solche Listen logisch unmöglich sind. Wenn das
nicht aufregend ist ...
>
> Dieser Mittelpunkt hilft mir nicht weiter, weil wir nicht wissen
> können, ob dieser Punkt verschieden ist von allen abzählbar
> unendlichen Genzpunkten x_n der Liste.
Doch, doch, doch: Wegen der DISJUNKTHEIT der Intervalle wissen
wir das. Das ist ja gerade die absolute Schwäche Deines "Beweises",
dass Du diese wesentliche Voraussetzung überhaupt nicht (noch nicht
einmal falsch *g*) einsetzst !
> Und damit die Menge der Intervalle ...
Was für eine ? Du hast ja keine genannt oder mir einen Hinweis gegeben,
wie sie denn bitte aussehen soll. Es gibt solche zu Abertausenden. Du
wurdest um den Existenznachweis für mindestens eine gebeten, die dann
auch noch überabzählbar sein sollte.
Du aber argumentierst irgendwie mit Cantors Liste, die gar nicht seine ist.
Sondern Cantor sagt ja gerade, dass es KEINE solche Liste geben kann,
die alle reellen Zahlen vollständig ... *schluchz, wimmer* ... ist denn das
wirklich so schwierig, wenn man sich derart lange damit beschäftigt hat, wie
Du es ja offenbar getan hast ?
.... Ist ja guuut, ich atme einfach tief durch und tue so als hätte ich das
eben
gaaar nicht geschrieben :-)
>
> Ich streite natürlich nicht ab, dass die Menge disjunkter Intervalle
> mit rationalen Endpunkten abzählbar ist. Aber dass die Menge der
> disjunkten reellen Intervalle (apriori)
*&/(%**? KRicKs blubb .... apriori ... was soll das denn hier ?
Noch einmal (ganz ruhig): "die Menge disjunkter Intervalle" ist Käse.
> Wer den eleganten, einfachen und transparenten Beweis der
> Überabzählbarkeit disjunkter Intervalle nicht glauben will
Und nochmal: Du kannst gerne von der Menge M aller Intervalle sprechen
und ich werde Dir sofort zugeben, dass M überabzählbar ist.
Nimmst Du aber eine Teilmenge T davon, bei der gilt, dass je zwei
Intervalle DISJUNKT sind, dann ergibt das eine derart EINSCHNEIDENDE
Bedingung, dass Dein Ockham-Messer völlig stumpf dagegen ist :-)
Diese Bedingung ist so stark, dass kein überabzählbares T sie erfüllen
kann.
Und Dein vermurkster Beweisversuch gibt sogar einen Wink in diese
Richtung. Denn das von Dir konstruierte r hat jede Menge Platz im Inneren
der Intervalle und kollidiert mit NICHTS.
Erschöpft grüssend
Rainer
Detlef Mueller
>
> On Mon, 30 Jul 2001 11:30:59 +0200,
> Detlef Mueller <dmue...@mathematik.uni-kassel.de> wrote:
> >Thomas Haunhorst wrote:
> >>
> >...
> >> Ich habe mich auch nur auf die Form bezogen. Aus "Es gibt ueberabzaehlbar
> >> viele reelle Zahlen" folgt eben nicht, dass es dann auch ueberabzaehlbar
> >> viele disjunkte mehrpunktige Intervalle gibt.
> >>
> >
> >Ich moechte noch einmal betonen, dass man sich hier nicht
> >von der Ungenauigkeit der Ausdrucksweise anstecken lassen
> >sollte.
> >
> >Die Aussage "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
> >mehrpunktige Intervalle" macht keinen Sinn.
>
>
Es laesst Spielraum fuer Interpretationen.
Das wurde ja auch prompt ausgenutzt, siehe auch
die Antwort von Horst unter
"Re: Schachmatt der Ueberabzaehlbarkeit"
Die Intervalle [r-1,r[ und [r,r+1[ sind Disjunkt
und lassen sich nicht abzaehlen.
Ein "paarweise" wuerde es wohl klarmachen, wenn man
in R bleibt.
> Ob man nun sagt, dass man eine Menge
> von pw. ...
aha!
> disjunkten mehrpunktigen Intervallen bilden kann, die ueber-
> abzaehlbar sei, oder sagt "Es gibt ueberabzaehlbar viele disjunkte
> mehrpunktige Intervalle" macht keinen Unterschied, da sich der Begriff
> /ueberabzaehlbar/ eben nur auf Mengen bezieht.
>
disjunkt wozu?
> Mir scheint, dass Du den Fehler begehst, in die Aussage /die/ Menge /der/
> ueberabzaehlbaren disjunkten mehrpunktigen Intervalle hineinzuinterpretieren.
>
Genau dies ist in der spaeteren Folge durch Andere geschehen.
> Das ist aber eine Fehlinterpretation der Aussage.
>
Die bei vernuenftiger Formulierung ausgeschlossen waere.
> In der Aussage wird nur die
> Existenz einer Menge gefordert, deren Elemente mehrpunktige Intervalle
> und pw. disjunkt sind.
>
Das ist die gewuensche Interpretation.
Es steht aber nicht da.
Oben habe ich ueberabzaehlbar viele disjunkte
Intervalle hingeschrieben (durch eine reelle
Variable parametrisiert).
...
> >Was sollen
> >denn die Objekte sein, um die es geht?
> >Man muss sich schon eine feste Menge von Intervallen
> >hernehmen, ueber die man im Folgenden redet.
>
> Ich glaube, Du verstehst nicht, worum es geht.
>
Genau das sollte aber bei einer mathematisch korrekt
formulierten Aussage vermieden werden.
> >Es sollte heissen "Es gibt (k)eine Ueberdeckung von R in
> >mehrpunktige Intervalle, die aus ueberabzaehlbar vielen
> >Teilintervallen besteht."
>
> Das kann man auch schreiben, ist aber nicht noetig. Wieso sollte ich
> aufeinmal von Ueberdeckungen sprechen?
>
Ok, wenn man keine Ueberabzaehlbare Menge paarweise
disjunkter echter Intervalle in R findet, gibt es
insbesondere auch keine Ueberdeckung von R durch
solche.
...
> >Ansonsten gibt es ein froehliches aneinander vorbeireden.
>
> Versuche in Zukunft die Aussage richtig zu interpretieren.
>
Ich wusste, wie das zu interpretieren war.
Ich habe lediglich den Thread analysiert: genau
die aufgeworfene Ungenauigkeit war Grundlage
etlicher seltsamer Argumentationen.
Gruss,
Detlef
Martin Spoden
Hab mal wieder etwas Zeit...
"Wolfgang G. G." wrote:
> [ Ich halte die Fragen zur Begründung der Zahlen und zur Unendlichkeit
> für eminent philosophische, und hoffe, dass mir diejenigen, die diese
> Diskussion auf de.sci.mathematik beschränkt sehen möchten, mir das
> nicht übelnehmen. ]
Jaja, warum soll man denn wieder Mathematik und Philosophie als
getrennte Dinge behandeln? Eines ist doch klar: Wir können Systeme
und Theorien nicht aus dem Nichts aufbauen. Wir brauchen dazu
Kommunikation und Sprache, Vereinbarungen, mit was wir arbeiten
wollen und mit was nicht. Wohl wissend, daß wir uns damit einschränken.
So ist das denn auch mit den Weltbildern.
> Martin Spoden in 3B5E90B0...@urz.uni-heidelberg.de :
> > Mir langt eine Reihe: OIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII...
> >
> > Die Stellung des "I"s gibt mir dann die Zahl. Symbole kann ich
> > also dadurch generieren, daß ich irgendwo draufzeige.
>
> Wunderschönes Beispiel: 1 Null, gefolgt von 27 Strichen und danach
> von 3 Punkten.
>
> Aber inwiefern du durch "draufzeigen" das Symbol mit 100 Strichen
> (d.h. die ganze Zahl 100) generierst, ist mir schleierhaft. Es
> ist doch genau umgekehrt: Zuerst musst du diese (wenn interpretiert)
> potentiell unendliche Reihe mindestens bis zu 100 Strichen aktual
> verlängern, und erst dann kannst du auf das Symbol 100 zeigen.
Tatsächlich brauche ich für ein unäres Zahlensystem eben eine solche
Liste. Egal, ob sie schon ist oder ich sie erst generieren muß. Sobald
ich sie habe, ist es irrelevant, woher. Durch meine Erfahrung mit dem
Zahlenraum bis 10, bis 100, bis 1000, etc. habe ich immer geeignete
Beschreibungssysteme gefunden. Und ich habe schnell gesehen, daß ein
nicht unäres Alphabet eine wesentliche Komprimierung bringt
(logarithmischer
Aufwand). Aber auch da brauche ich für immer größere Zahlen immer mehr
Darstellungsaufwand.
Nun ist doch das Axiom wie folgt: "Zeige mir ein (unäres) Symbol -
und ich generiere kanonisch einen Nachfolger, der sich von allen
vorhergehenden Symbolen unterscheidet."
Um mal bei Adam und Eva anzufangen... ("Philosophie" ;-) )
Wolfgang, wenn Du jetzt meinst, das würde nicht immer gehen,
diese Möglichkeiten seien beschränkt, dann ist das doch Dein
Axiom, was mit dem im Widerspruch ist, was allgemein verwendet
wird. Daher auch der ganze Protest, daß man die allgemeine und
bewährte Sprache nicht einfach aufgeben will. Dazu muß man schon
anführen, weshalb das andere Fehler hat - oder das Neue besser
ist. Und zwar "besser" in dem Sinn, daß es mehr kann und/oder
weniger braucht. Und ich sehe, daß es mehr braucht (nämlich die
Beschränkung), ohne daß man dadurch etwas gewinnt.
Die Sprache ist in meinen Augen konventionelle Datenübertragung
zum Austausch von codierten Informationen. Dabei ist es so, daß
die physischen Daten, die Symbole/Zeichen (in unserem Fall das
unäre Alphabet bzw. daraus generierte Wörter) - gerade auch, um
die Kommunikation erfolgreich beenden zu können - endlich bzw.
begrenzt sind in jedem Einzelfall. Aber nur weil jedes Wort bzw.
jeder Satz ein Ende hat, brauchen wir nicht zu fordern, daß man
auf immer neue, längere Romane verzichtet...
Es ist schließlich auch die Frage, ob eine Endlichkeitsforderung
an die natürlichen Zahlen (z.B. 10^(10^(10^(10^(10^(10^(10^(10))))))))
überhaupt irgendwelche praktischen Auswirkungen hätte, die das
rechtfertigen. Gerade in der Theorie kann man sehr viel damit
beweisen, daß man einen unendlich großen Vorrat hat. Das bedeutet
im Einzelfall dann immer (auch in der Theorie), daß es irgendeine
(endliche) natürliche Zahl gibt, nach der (also für alle nachfolgenden,
ebenfalls endlichen natürlichen Zahlen) bestimmte Eigenschaften
erfüllt bzw. nicht erfüllt sind. (Siehe z.B. Limes, Stetigkeit, etc.)
Jede natürliche Zahl ist endlich. Und wir können sie zum Zählen
benutzen. Aber wir brauchen uns da keine Beschränkungen aufzuerlegen.
> Und apriori sehe ich keinen Grund, warum man dein Beispiel nur als
> (potentiell) unendliche Reihe, nicht aber auch als Darstellung
> einer (potentiell) unendlichen Zahl interpretieren darf.
Leider schon wieder falsch. Diese unendliche Zahl gibt es halt
nicht - zumindestens im Standardmodell. Meist reichen diese natürlichen
Zahlen.
> > "Unendlichkeit" bedeutet also nichts weiter, als eins weiter zählen
> > zu können.
>
> Unendlich bedeutet "ohne Ende". Und etwas, das nie aufhört, darf
> nicht als als Ganzes gegeben oder gar begrenzt angesehen werden
> (z.B. von transfiniten Zahlen). Das ist der entscheidende Punkt.
Naja. Da muß man aufpassen. Wenn ich die 5 darstellen will, kann ich
"V", "5", "|||||", "OIIIII", etc. angeben. ich habe also hier
verschiedene
konventionelle, explizite Darstellungen. Es gibt aber auch implizite:
"(10 : 2)". Also ohne Verwendung einer expliziten Darstellung der 5 kann
ich sie doch implizit verwenden. Die Zahl ist also unabhängig von ihrer
Darstellung. Folglich muß man immer auch angeben, was die Zahl per
definitionem sein soll - und wie man sie dann darstellen kann. Und nur
weil man endliche Zahlen explizit ausdrücken kann, muß man das doch
nicht
für alle tun. "e" ist z.B. eine Zahl, die nicht in den rationalen
enthalten
ist, aber über eine Folge (natürliche Zahlen zum Numerieren der Folge
sind
in |Q) von rationalen Zahlen ( ((n+1)/n)^n ) implizit definiert. Man
macht
also mit dem, was man schon hat, (durch Vervollständigung) etwas Neues.
Und
wenn man z.B. zeigt, daß e wohldefiniert ist, dann hat man es auch. Das
Alphabet wird dann um das Symbol "e" erweitert.
"e" hört also sehr wohl auf - genauso wie "1/3". Auch wenn die
Dezimaldarstellung nicht abbricht. Und die natürlichen Zahlen hören
ja auf, nämlich immer genau da, wo man hinguckt. Es ist eben kein
Aufhören im Sinne von "Hier ist das Ende der Fahnenstange, hier geht
es nicht weiter.", sondern im Sinne von "Es geht zwar noch weiter, aber
'wie weit', das interessiert mich nicht."
Die natürlichen Zahlen sind also implizit als Ganzes gegeben, aber
vollständig enumerieren (d.h. explizit hinschreiben) kann man sie
nicht. Das behauptet aber auch gar keiner.
Begrenzt sind sie schon. "Grenze" verlangt nämlich nach einer Ordnung.
Und die übliche totale Ordnung liefert eine untere Grenze. Auf der
anderen Seite aber sind die natürlichen Zahlen offen, also nicht
abgeschlossen.
> >>> 1) Ist die Anzahl der natuerlichen Zahlen mit endlich vielen Stellen
> >>> endlich oder nicht?
Die Anzahl ist unendlich, allein schon aus einer bemerkenswerten
Spielerei heraus:
Am Anfang habe ich noch keine natürliche Zahl, die Anzahl ist also 0.
Hey, da haben wir aber eine natürliche Zahl: 0. Die Anzahl ist also 1.
Hey, da ist die 1. Noch eine natürliche Zahl!. Die Anzahl ist also 2.
usw.
Wenn jemand also behauptet, die Anzahl der natürlichen Zahlen sei
endlich, soll er einfach die Anzahl angeben, um sich selbst zu
widerlegen.
Und ja, die Argumentation trennt die Zahl von der Darstellung. Aber das
muß man ja, um überhaupt Mathematik betreiben zu können.
> Vielleicht wegen der Zweideutigkeit des Begriffes "endlich". Dass
> eine unbegrenzte Endlichkeit potentielle Unendlichkeit impliziert,
> scheint mir klar.
"Unbegrenzte Endlichkeit" bedeutet, daß man trotzdem man (in einer
Richtung)
auf keine Grenze stößt, nicht immer Neues sieht. Man erkennt also etwas
wieder. Meist nennt man das "Zyklen". Die natürlichen Zahlen sind aber
durch die eingeführte totale Ordnung zyklenfrei. Daher würde eine obere
Grenze für die natürlichen Zahlen Widersprüche zu den Axiomen
verursachen:
Bei irgendeiner nat. Zahl N muß die Grenze auftauchen, sonst wäre sie ja
keine. Dann aber bedeutet die obere Grenze, daß der Nachfolger N' die
Grenze verletzen würde. Folglich darf der Nachfolger nicht aus |N sein.
Widerspruch. Also muß er schon vorher dagewesen sein. Widerspruch zur
zyklenfreien Ordnung.
Was soll denn eine "potentielle Unendlichkeit" sein???
Wie man es also dreht und wendet: |N ist unendlich und einseitig
begrenzt.
> Zur Potenzmenge der natürlichen Zahlen gehört als Element auch die
> Menge mit folgender Konstruktionsvorschrift: Man entscheidet per
> per Münzwurf, welche Zahlen zur Menge gehören. Man startet diesen
> Entscheidungsprozess mit der Zahl 1 und wendet ihn danach immer
> auf den Nachfolger der vorigen Zahl an. Da dieser Prozess unmöglich
> zu einem Ende kommen kann, ist die so definierte Menge nie fertig
> somit auch nicht gegeben.
Falsch. Du beschreibst einen Aufzählungsalgorithmus. Die so definierte
Menge ist aber dadurch schon gegeben: Wenn man sich also fragt, ob
n eine Zahl aus der Teilmenge ist, dann wartet man einfach ab, bis
eine größere Zahl ausgegeben wird. Dann weiß man, ob n aufgezählt
wurde oder nicht. Das ganze ist nur problematisch, wenn man nur die
Elemente aufzählt, die drin sind, während man die Information, daß
ein Münzwurf gegen eine Zahl stattgefunden hat, verschweigt. Das ganze
läuft unter dem Stichwort "Theoretische Informatik" und "Entscheidungs-
verfahren", "Aufzählungsverfahren", "total" und "partiell".
Fairerweise müßtest Du zugeben, daß Du überaufzählbare Mengen nicht
mit einem Algorithmus beschreiben kannst. Und so ist es dann auch mit
der Potenzmenge der natürlichen Zahlen. Das läßt sich am besten einsehen
mit dem Cantorschen Diagonalisierungsverfahren.
> Es ist
> nämlich unmöglich, auch nur eine einzige irrationale Zahl in
> Cantors Liste zu schreiben, da man ohne Ende weitere Ziffern
> hinzufügen müsste.
Wozu jetzt die irrationalen Zahlen beim Cantorschen Diagonalisieren?
Betrachte doch zu jeder Menge A einfach mal die Zahlenfolge
(für n \in |N) a_n = 1, wenn n \in A, a_n = 0, sonst.
Man erhält also für jede Menge A eine solche 0-1-Folge, umgekehrt
beschreibt jede solche Folge eine Teilmenge der natürlichen Zahlen.
Wenn Du jetzt auf den Gedanken kommst, daß Du die Potenzmenge
aufzählen könntest, dann kann man gegen Deine (oder jede andere
beliebige) Aufzählung diagonalisieren. So einfach ist das.
Wenn Du also die Potenzmenge aufzählen willst, dann wirst Du
Schiffbruch erleiden; aber nicht, weil sie unendlich groß ist,
sondern weil sie überabzählbar ist.
Vielleicht stellst Du Dir ja die Potenzmengenbildung intuitiv
so vor, daß Du alle Teilmengen von {1,2, ..., n} bildest und
dann der "unfertigen" Potenzmenge hinzufügst. Dann aber erhälst
Du z.B. nicht die Menge 1010101010101010101010101010101... (das
könnte ich auch anständig definieren, aber ich glaube der Punkt
wird klar: Die Menge ist eine Teilmenge der natürlichen Zahlen,
die keine Teilmenge der ersten n ist - und sei n noch so groß!
Aber sie ist aufzählbar. Und sogar gut entscheidbar: Es sind
nämlich genau die geraden Zahlen.)
> Der wesentliche Unterschied, der der Unterscheidung von "abzählbar
> unendlich" und "überabzählbar unendlich" zugrunde liegt, ist die
> Benennbarkeit oder Nicht-Benennbarkeit aller Elemente. Ich
Nö. Jede getrennt betrachtete, also (mit unseren endlichen Mitteln
(c:= ) identifizierte Zahl kann man über die Identifikation benennen.
Der Punkt ist doch, daß wir nur ein endliches Alter erreichen,
begrenzte Mittel haben und uns linear in der Zeit bewegen - in
so kleinen Schritten, wie es unser Körper es erlaubt. Man kann
also nur beschränkt viel gleichzeitig und das auch nur eine
beschränkte Zeit in mindestgroßen Zeitintervallen. Vielleicht
kommt ja daher das Bedürfnis, die Welt endlich zu machen - damit
man über der Welt stehen kann?
> kritisiere den Begriff "überabzählbar" nur insofern er "mehr als
> unendlich" suggeriert. Obwohl gilt
tut er doch gar nicht. Er sagt nur, daß das mehr ist, als man zählen
kann. Und das unter der Annahme, daß wir höchstens ewig leben könnten.
> halte ich den Schluss, dass die Unendlichkeit aller Punkte auf der
> Zahlengeraden irgendwie grösser als die Unendlichkeit der ganzen
> Zahlen sein soll, für verfehlt. Denn dann müsste die Unendlichkeit
> der ganzen Zahlen ein Ende haben, hinter dem sich eine grössere
> Unendlichkeit befinden könnte.
Alles, was endlich ist, ist abzählbar. Klar. Der nächste Schritt ist
"abzählbar unendlich". Das soll heißen: Ich komme zwar nie zum Ende,
aber für jedes noch so doofe Element brauche ich nur endliche Zeit,
bis ich es aufzähle. Daher ist die Menge insgesamt unendlich groß,
auch wenn sie (und damit all ihre Elemente) aufzählbar sind.
Und dann gibt es halt die überabzählbaren Mengen. Die sind also
auf jeden Fall schon mal unendlich groß, aber auch jede Aufzählung
versagt, da wir eben nicht alles, was in der Menge ist, aufzählen
können. Um das zu sehen, kommt das Cantor-Verfahren zum Einsatz.
Das mit den Bijektionen ist dazu gut, Mengen vergleichen zu können.
Da muß man dann aber auch akzeptieren, daß durch diese Abbildungen
die Intuition ausgeschaltet werden muß. Beispielsweise gibt es
genausoviele (positive) gerade Zahlen wie natürliche Zahlen, auch wenn
die natürlichen aus geraden und ungeraden Zahlen bestehen. Man muß
sich bei der Unendlichkeit also entscheiden, ob man wissen will,
"wieviel" Elemente es in der Menge oder Untermenge gibt - und
"welche". Das ist die Konsequenz, daß man durch Zählen eben nicht
herausfindet, welche Elemente denn da sind.
Bei endlichen Mengen ist das aber legitim. Nicht umsonst zählt
ein Lehrer bei Klassenfahrten durch, so daß er - unter der
Annahme, daß er fremde Kinder erkennt - dann wirklich die Gewißheit
hat, daß bei konstanter Zahl auch kein Schüler abhanden gekommen ist...
Also: Intuition hinterfragen!
> Ein aus einem einzigen Punkt bestehendes Intervall ist eine logische
> Unmöglichkeit, denn Intervalle sind 1-dimensional und werden von
> zwei 0-dimensionalen Punkten begrenzt. Ein Intervall setzt sich
> somit genausowenig aus Punkten zusammen wie ein 3-dimensionaler
> Körper aus 2-dimensionalen Ebenen.
Leider auch falsch in dem Sinne, wie Intervalle gebraucht werden:
nämlich mengentheoretisch. Man betrachtet also nur Mengen von Punkten.
Die Punkte sind alle dimensionslos, auch wenn sie evtl. Koordinaten
haben oder auch Abstände.
> Ein Widerspruch entsteht erst aus der Annahme, die Unendlichkeit
> der nicht vollständig benennbaren Punkte (d.h. der reellen
> Zahlen) sei grösser als die Unendlichkeit der benennbaren Punkte
> (d.h. der rationalen Zahlen).
Nochmal im Guten:
Überlege Dir mal, wie Du alle rationalen Zahlen im Intervall [0,1)
aufzählen willst. Keine Sorge, das funktioniert.
Dann nimm' Dir mal meine 0-1-Mengen von oben (jaja, die gemeinen
Dinger, gegen die man diagonalisieren kann).
Betrachte dann zu jeder 0-1-Menge /-Folge die entsprechende Zahl
mit "0," davor im Binärsystem. Das beschreibe ich nicht formal,
sondern anhand eines Beispiels:
Nimm noch einmal die geraden Zahlen: 1010101010101...
(0 drin, also "1", 1 nicht, also "0", 2 drin, also "1", etc.)
Daraus wird im Binärsystem: 0,101010101010101...
Also 1/2 + 1/8 + 1/32 + ... Das ist ne periodische Zahl, also
rational, also kommt sie irgendwo in Deiner Aufzählung vor.
Und jetzt beschreibe ich anhand jeder Deiner Aufzählungen von
Zahlen zwischen 0 und 1 eine neue Zahl eben über die Cantorsche
Diagonalisierung. Das ganze geht natürlich auch im Dezimalsystem
und mit ein bißchen mehr Aufwand auch ohne Repräsentationen.
Sobald Du also eine Menge akzeptierst, die nicht endlich ist,
- und das hebt die eigene Sichtweise klar über das eigene Leben
hinaus - kann man daraus eine wunderschöne Mathematik machen,
die insbesondere manchmal auch Antworten dazu gibt, was endliche
Konstrukte vermögen und was nicht.
Bis denne,
Martin