Auto oder Ziege - Loesung

[Joerg Napp]

Folgendes ist richtig:

1) Die Chance des Kandidaten zu gewinnen betraegt 50%
2) Wenn er nach der ersten Wahl wechselt, hat er eine Chance von 67%
3) Wechselt wer nicht, betraegt seine Chance 33%

Klingt ein wenig verwirrend; wird im folgenden aber (hoffentlich)
klarer.

Wie sieht es mit der Chance aus, ueberhaupt zu gewinnen?
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Annahme: das Auto befindet sich hinter der Tuer A.
Dann ergibt sich folgender "Entscheidungsbaum":

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A B C 1. Wahl
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B C C B Quizm. oeffnet
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A C A B A B A C 2. Wahl

1 2 3 4 5 6 7 8

Mehr Moeglichkeiten gibt es nicht. Man beachte nun, dass jeder
der Pfade, die einen Knoten verlassen, gleichwahrscheinlich sind!

Damit ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten:

Fuer Fall 1: 1/3 * 1/2 * 1/2 = 1/12
2: 1/12
3: 1/12
4: 1/12
5: 1/3 * 1/2 = 1/6
6: 1/6
7: 1/6
8: 1/6

Der Kandidat gewinnt in den Faellen 1, 3, 5 und 7. Also hat er eine
Chance von 1/12 + 1/12 + 1/6 + 1/6 = 1/2 = 50%.
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Erhoeht sich seine Chance, wenn er wechselt?
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Ja!

Bezeichnen wir mit (x,y) das Tupel (1. Wahl, 2. Wahl), wobei
x, y aus {A(uto), Z(iege)} sind.

(Z,A) bedeutet also: der Kandidat waehlt zunaechst eine Tuer, hinter
der eine Ziege steht, und dann die richtige.

Sieht man sich nochmal den Entscheidungsbaum oben an, so bekommt man
folgende Wahrscheinlichkeiten:

(A,A) W'keit 1/6 (Faelle 1 u. 3)
(A,Z) 1/6 (Faelle 2 u. 4)
(Z,A) 1/3 (Faelle 5 u. 7)
(Z,Z) 1/3 (Faelle 6 u. 8)

Reden wir von der Chance, *UEBERHAUPT* zu gewinnen, so muessen wir alle
*VIER* "Ereignisse" betrachten. [Wir erhalten wieder die W'keit 1/6 +
1/3 = 1/2].

Da es uns aber interessiert, wie hoch die Chancen sind, wenn der
Kandidat *WECHSELT*, haben wir nur die Ereignisse (A,Z) und (Z,A) zu be-
trachten.

Der guenstige Fall ist da natuerlich (Z,A), und dieser hat -- BEZOGEN
AUF UNSEREN NEUEN WAHRSCHEINLICHKEITSRAUM -- die W'keit 1/3 zu 1/6 =
= 2/3 = 67%.

Betrachten wir analog die W'keit zu gewinnen, wenn nicht gewechselt wird,
so ist der neue Wahrscheinlichkeitsraum { (A,A), (Z,Z) }, und die
W'keit zu gewinnen betraegt 1/6 zu 1/3 = 1/3 = 33%.


Noch 'ne Bemerkung:
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Der scheinbare Widerspruch kommt durch die Betrachtung unterschiedlicher
W'keitsraeume zustande.
Um das ganze nochmal zusammenzufassen: Wechselt der Kandidat IMMER, so
hat er eine Chance von 67%,
wechselt er NIE, so hat er eine Chance von 30%.
Wechselt er IN DER HAELFTE DER FAELLE, so ist seine Chance 50%.


Alles klar???

--
Joerg Napp, Paderborn, Germany
e-mail: na...@uni-paderborn.de DG8AT

'and on the Eighth day, the Lord made a backup copy....'