Existieren unendliche Mengen

[Christian Semrau]

Hallo Dieter,

Vielleicht schaffen wir es, dass ich deine Ansicht ueber unendliche
Mengen
verstehen und ihre Gruende erfassen kann.
Ich muss allerdings zugeben, dass es mir schwerfaellt, Meinungen
hinzunehmen, die von meiner Meinung abweichen (und ich dachte ich waere
tolerant :-/ ).
Aber ich gebe mein Bestes.

Dieter Jungmann wrote:
>
> Zum Unterschied zwischen "Deiner" und "meiner" Mathematik:
> Bei endlichen Mengen habe ich mit der allgemein akzeptierten Mengenlehre
> keine Probleme. Fuer unendliche Mengen benoetige ich keine Mengenlehre,
> weil mir noch nie eine unendliche Menge begegnet ist und ich absolut
> sicher bin, dass mir auch keine begegnen wird, ...
> Der Knackpunkt ist also die Existenz unendlicher Mengen. Hier
> vermisse ich den Existenzbeweis. In der Realitaet existiert nicht
> nur keine unendliche Menge, man kann sie nicht einmal gedanklich
> konstruieren. ...
> Die Mengenlehre nach Zermelo setzt die Existenz von unendlichen Mengen
> als Axiom voraus. Fuer ein Axiom von derart zentraler Bedeutung muss
> aber der Existenzbeweis nachgeliefert werden, sonst bleibt es ein
> Postulat, eine Spekulation, ein Aberglauben oder wie immer man es
> nennen will. Ich habe aber bisher keinen Existenzbeweis gefunden.

Das ist gerade eine Eigenschaft von Axiomen: Sie muessen nicht bewiesen
werden, sondern werden als wahr angenommen. Die verwendeten
Axiomensysteme sind inzwischen hoffentlich soweit, dass
"ueberfluessige" Axiome entfernt wurden. Ein Axiom ist ueberfluessig,
wenn es aus anderen Axiomen hergeleitet werden kann. Da das
Unendlichkeitsaxiom noch im System ist, nehme ich an, dass es
unmoeglich ist, die Existenz einer unendlichen Menge zu beweisen, ohne
dieses Axiom zu haben. Wenn man die Existenz unendlicher Mengen nicht
fordert, existieren sie nicht.

In der Realitaet gibt es keine unendlichen Mengen, da stimme ich dir
zu. Deshalb wird ja ihre mathematische Existenz per Axiom gefordert.
Vielleicht vereinfachen sie manche Rechnungen, aber mit der Realitaet
haben sie nicht viel zu tun.

Ein Dozent sagte mal: "Was dieses Gebilde, das man sich nicht
vorstellen kann, _eigentlich_ ist, ueberlassen wir den Philosophen.
Wir haben unsere Axiome und koennen widerspruchsfrei damit rechnen."

Ob man sie "gedanklich konstruieren" kann, haengt vom
Vorstellungsvermoegen des einzelnen ab. Ich stelle mir unendliche Mengen
vor, indem ich mir einen endlichen Bereich ansehe, diesen
vergroessere, und mir klarmache, dass das, was ich da gerade
hinzugefuegt habe, bereits vorher da war. Und alles, was ich je
hinzufuegen koennte, ist bereits da. Das ist meine Vorstellung von
unendlich. Sie stimmt mit deiner "beliebigen Erweiterbarkeit" ueberein
bis auf den Punkt, dass bei mir _alles_ schon vorhanden ist.

Derselbe Professor sagte auch (sinngemaess):
"Wir fangen bei einem vorstellbaren Sachverhalt an, einem realen
Problem, und tauchen dann ins Unvorstellbare ab, rechnen damit herum,
und tauchen auf an einer anderen Stelle in der vorstellbaren Welt
wieder auf, und siehe: da ist die Loesung des Problems.
Wir haetten auch zu dieser Loesung kommen koennen, indem wir an der
Oberflaeche bleiben, aber dann waere der Weg sehr kompliziert. Wenn wir
aber abtauchen in die Gegend, die man sich nicht vorstellen kann, dann
wird es kurz und elegant."

> Eine unendliche Menge ist dann also der Spezialfall einer endlichen
> Menge mit einer unbekannten, weil unbestimmten, beliebig vermehrbaren
> Anzahl von Elementen.

Wenn du jede unendliche Menge einen "Spezialfall einer endlichen Menge"
nennst, dann gibt es nur noch endliche Mengen, und jede unendliche
Menge ist endlich.

Etwas anderes will mir ebenfalls nicht in den Kopf:
Wie kann die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge unbestimmt
sein?

Ich gebe mal zwei naive Definitionen:
Eine Menge heisst _endlich_, wenn es eine natuerliche Zahl gibt, welche
die Anzahl ihrer Elemente angibt.
Mengen, die nicht endlich sind, heissen _unendlich_.

Diese Menge mit der "beliebig vermehrbaren Anzahl von Elementen"
hat mehr Elemente als jede natuerliche Zahl, von der man behaupten
koennte, es waere die Anzahl ihrer Elemente.
Heisst das nicht, dass keine einzige natuerliche Zahl angibt, wieviele
Elemente diese Menge hat?
Eine solche Menge ist nach der oben gegebenen Auffassung des Begriffs
"endlich" nicht endlich, also unendlich.

> Kannst Du mir ohne schwammig zu werden erklaeren, was eine unendliche
> Menge ist?

Ich glaube nicht, dass dir meine Definition einer unendlichen Menge
oben ausreicht.
Bisher war es selten noetig, jemandem die Dinge zu erklaeren, mit denen
ich mich beschaeftige. Ich kann genausowenig einen sechs-dimensionalen
Vektorraum anschaulich erklaeren. Aber ich kann damit rechnen. Und das
ist alles, wofuer ich ihn brauche.

> Nach meiner Ueberzeugung sind Zahlen mit
> unendlich vielen Stellen Spekulation. Sie werden auch nicht benoetigt,
> genau so wenig wie unendlich viele Zahlen. Die Menge der Zahlen muss
> nur beliebig erweiterbar sein. Bei den natuerlichen Zahlen
> garantieren die Peano-Axiome, dass der Zahlenbereich dem Bedarf
> angepasst werden kann.

Dann sind wir in diesem Punkt _fast_ einer Meinung:
Die Eigenschaft der Menge der natuerlichen Zahlen, beliebig erweiterbar
zu sein, nenne ich ihre Unendlichkeit. Das kann man noch als
"verschiedene Benennung derselben Sache" ansehen.
Aber da ich daran glaube, dass der unendliche Rest, den ich gerade
nicht brauche, immer vorhanden ist, brauch ich den Zahlenbereich nicht
erweitern, und kann Dinge tun, die nicht moeglich oder widerspruechlich
waeren, wenn nicht alle natuerlichen Zahlen gleichermassen vorhanden
waeren.

So wie ich das sehe, siehst du unendliche Mengen nicht als existent an.
In der Realitaet existieren sie nicht, das sehe ich.
Wenn wir ihre Existenz nun per Axiom fordern, dann existieren sie, aber
in einem anderen Sinne, als z.B. ein Apfel existiert. :-)

Vielleicht ist der einzige Unterschied zwischen uns, dass fuer mich
alles schon da ist, waehrend es fuer dich "aus dem Stand" erzeugt wird.

> Da gibt es Leute, die eine Box mit Kugeln fuellen und trotzdem
> glauben, dass sie am Ende leer ist, nur weil ein Dogma es so
> verlangt.

Vielleicht bin ich einer von denen.
Aber meine Meinung hab ich in einem anderen Posting deutlich gemacht.

> Ich kann nicht erkennen, gegen welches Axiom
> die 3 Aufgaben verstossen. Sie stellen in geschickter Weise das
> Unendlichkeitsaxiom auf die Probe.

Und unser Vorstellungsvermoegen. :-)

> Wenn Du meinem Rat folgst, wirst Du noch viel Spass in diesem Thread
> haben.

Den habe ich, auch wenn es anstrengend ist, dem Thread zu folgen.

Gruss,
Christian

--
Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
Um auf die andere Seite - aehm...

[SL]

Christian Semrau wrote:

> Hallo Dieter,

....

> Dieter Jungmann wrote:
> >
> > Zum Unterschied zwischen "Deiner" und "meiner" Mathematik:
> > Bei endlichen Mengen habe ich mit der allgemein akzeptierten Mengenlehre
> > keine Probleme. Fuer unendliche Mengen benoetige ich keine Mengenlehre,
> > weil mir noch nie eine unendliche Menge begegnet ist und ich absolut
> > sicher bin, dass mir auch keine begegnen wird, ...
> > Der Knackpunkt ist also die Existenz unendlicher Mengen. Hier
> > vermisse ich den Existenzbeweis. In der Realitaet existiert nicht
> > nur keine unendliche Menge, man kann sie nicht einmal gedanklich
> > konstruieren. ...
> > Die Mengenlehre nach Zermelo setzt die Existenz von unendlichen Mengen
> > als Axiom voraus. Fuer ein Axiom von derart zentraler Bedeutung muss
> > aber der Existenzbeweis nachgeliefert werden, sonst bleibt es ein
> > Postulat, eine Spekulation, ein Aberglauben oder wie immer man es
> > nennen will. Ich habe aber bisher keinen Existenzbeweis gefunden.
>

.....

>
> Das ist gerade eine Eigenschaft von Axiomen: Sie muessen nicht bewiesen
> werden, sondern werden als wahr angenommen. Die verwendeten
> Axiomensysteme sind inzwischen hoffentlich soweit, dass
> "ueberfluessige" Axiome entfernt wurden. Ein Axiom ist ueberfluessig,
> wenn es aus anderen Axiomen hergeleitet werden kann. Da das
> Unendlichkeitsaxiom noch im System ist, nehme ich an, dass es
> unmoeglich ist, die Existenz einer unendlichen Menge zu beweisen, ohne
> dieses Axiom zu haben. Wenn man die Existenz unendlicher Mengen nicht
> fordert, existieren sie nicht.

Eine Menge A besitzt die Mächtigkeit 'unendlich' (= nicht endlich) wenn es
eine Bijektion in eine echte Teilmenge gibt . Bsp.: {n^2| n in IN} ...'die
n-te Quadratzahl für alle n'
Verzichtet man darauf IN unendliche Mächtigkeit zuzugestehen landet man sehr
schnell bei '1= 0' ( Nichtsdestotrotz als Axiomen-System widerspruchsfrei,
allerdings sollte dabei dann auch nicht der Bereich der Prädikatenlogik( Logik
1ster-.Ordnung) verlassen werden)
......

[Rolf Krahl]

In Artikel <3AF2AC95...@student.uni-magdeburg.de>
schrieb Christian Semrau <Christia...@student.uni-magdeburg.de>:

>
> In der Realitaet gibt es keine unendlichen Mengen, da stimme ich dir
> zu. Deshalb wird ja ihre mathematische Existenz per Axiom gefordert.
> Vielleicht vereinfachen sie manche Rechnungen, aber mit der Realitaet
> haben sie nicht viel zu tun.

In der Realität gibt es garkeine Mengen, weder endliche noch
unendliche. In der Realität gibt es nur Dinge[1]. Diese Dinge zu zählen
oder zu Mengen zusammenzufassen ist bereits eine Abstraktion und damit
eine Entfernung von der Realität.

[1]: Ok, das mag noch strittig sein, ob es überhaupt irgendwas "in der
Realität" gibt, aber ich postuliere jetzt einfach mal, daß die
Tasse, die hier neben mir steht, in der Realität (was immer das
sein mag) existiert, denn ich kann ihre Existenz sinnlich
erfassen.

--
Rolf Krahl <rolf....@gmx.net>

[Dieter Jungmann]

Christian Semrau schrieb:
>
> ...

>
> >
> > ...
> > Die Mengenlehre nach Zermelo setzt die Existenz von unendlichen Mengen
> > als Axiom voraus. Fuer ein Axiom von derart zentraler Bedeutung muss
> > aber der Existenzbeweis nachgeliefert werden, sonst bleibt es ein
> > Postulat, eine Spekulation, ein Aberglauben oder wie immer man es
> > nennen will. Ich habe aber bisher keinen Existenzbeweis gefunden.
>
> Das ist gerade eine Eigenschaft von Axiomen: Sie muessen nicht bewiesen

> werden, sondern werden als wahr angenommen. ...

Da hast Du recht. Ich haette schreiben muessen:
Ein Begriff von derart zentraler Bedeutung darf nur dann als Axiom
vorausgesetzt werden, wenn er unmittelbar einsichtig ist, andernfalls
muss er sich aus einfacheren Axiomen ableiten lassen, sonst ...

Die Tatsache, dass Axiome nicht bewiesen werden muessen, ist kein
Freibrief fuer Spekulationen. Ich gehe davon aus, dass mathematische
Theorien nicht als Spiel angesehen sondern in der Absicht aufgestellt
werden, sie auf die Realitaet abzubilden.

Wenn nun aber feststeht, dass es in der Realitaet keine Objekte gibt,
auf die sich die theoretischen unendlichen Mengen abbilden lassen,
welchen Sinn ergibt dann die Theorie, wozu braucht man sie? Solche
Theorien, fuer die es kein Abbild in der Ralitaet gibt, bezeichne ich
als Spekulation oder je nach Kontext als Aberglauben. (Man koennte
auch Geister als Axiom voraussetzen.)

Die 3 Experimente mit den unendlich vielen Kugeln (der Ausgangspunkt
unserer Diskussion) sind doch der Versuch, zu veranschaulichen, welche
Eigenschaften reale Objekte haben muessten, damit sich Cantors Mengen-
lehre auf sie abbilden laesst. Das Beispiel zeigt, dass man dabei ins
Schleudern kommt und ins Schleudern kommen muss. Wozu also die Theorie?
Am Beispiel der Limes-Operation habe ich gezeigt, dass unendliche
Mengen nicht einmal fuer theoretische Zwecke tauglich sind, weil alle
mathematischen Operationen nur mit endlichen Teilmengen ausgefuehrt
werden.

>
> In der Realitaet gibt es keine unendlichen Mengen, da stimme ich dir
> zu. Deshalb wird ja ihre mathematische Existenz per Axiom gefordert.
> Vielleicht vereinfachen sie manche Rechnungen, aber mit der Realitaet
> haben sie nicht viel zu tun.

Hierzu schrieb Rolf Krahl am 4. 5. :

> In der Realität gibt es garkeine Mengen, weder endliche noch
> unendliche. In der Realität gibt es nur Dinge[1]. Diese Dinge zu zählen
> oder zu Mengen zusammenzufassen ist bereits eine Abstraktion und damit
> eine Entfernung von der Realität.

Klar ist das so, aber mit "in der Realitaet gibt es keine unendlichen
Mengen" ist schliesslich gemeint "in der Realitaet gibt es keine
Dinge, die sich zu unendlichen Mengen zusammenfassen lassen".
Diese verkuerzte Ausdrucksweise hat bisher noch nie zu Missverstaend-
nissen gefuehrt. Mit dem gleichen Argument koennte man behaupten, dass
es kein Haus gibt, denn geschrieben ist es nur eine Folge von Buchstaben
und gesprochen eine Folge von Luftdruckschwankungen. Und auch die Aus-
druecke "Buchstaben" und "Luftdruckschwankungen" sind nur Abstraktionen.
Mit Haarspalterei kann man jede Diskussion abwuergen.

>
> Ein Dozent sagte mal: "Was dieses Gebilde, das man sich nicht
> vorstellen kann, _eigentlich_ ist, ueberlassen wir den Philosophen.
> Wir haben unsere Axiome und koennen widerspruchsfrei damit rechnen."

Bist Du sicher? Ist es kein Widerspruch, wenn man eine Box mit unendlich
vielen Kugeln fuellt und die Theorie trotzdem das Ergebnis liefert, dsss
die Box leer ist? Oder das Beispiel Hilberts Hotel: Alle Zimmer sind
belegt. Diese einfache Aussage kann wahr oder falsch sein. Es wird
vorausgesetzt, dass sie wahr ist. Trotzdem liefert die Theorie das
Ergebnis, dass weitere Gaeste untergebracht werden koennen. Ist das
kein Widerspruch? Was ist dann ein Widerspruch? Worauf kann man sich
verlassen und welchen Sinn macht Nachdenken, wenn es der Willkuer der
Anhaenger einer Theorie ueberlassen bleibt, was als Widerspruch
angesehen wird und was nicht?

>
> Ob man sie "gedanklich konstruieren" kann, haengt vom
> Vorstellungsvermoegen des einzelnen ab. Ich stelle mir unendliche Mengen
> vor, indem ich mir einen endlichen Bereich ansehe, diesen
> vergroessere, und mir klarmache, dass das, was ich da gerade
> hinzugefuegt habe, bereits vorher da war. Und alles, was ich je
> hinzufuegen koennte, ist bereits da. Das ist meine Vorstellung von
> unendlich. Sie stimmt mit deiner "beliebigen Erweiterbarkeit" ueberein
> bis auf den Punkt, dass bei mir _alles_ schon vorhanden ist.

Dieser eine Punkt ist entscheident. Wenn die Anzahl der Elemente einer
Menge beliebig erweiterbar ist aber endlich bleibt, braucht man keine
neuen Begriffe, insbesondere keine neue Maechtigkeitsdefinition. Ueber
diese problematische Definition werden wir vielleicht spaeter noch
diskutieren muessen.

Mit "gedanklich konstruieren" meine ich nicht, dass man sich das
Ergebnis der Konstruktion unbedingt plastisch vorstellen koennen
muss, es muss aber klar erkennbar sein, dass die Konstruktion
tatsaechlich etwas neues ist und nicht nur eine neue endliche
Menge mit mehr Elementen.

>
> Derselbe Professor sagte auch (sinngemaess):
> "Wir fangen bei einem vorstellbaren Sachverhalt an, einem realen
> Problem, und tauchen dann ins Unvorstellbare ab, rechnen damit herum,
> und tauchen auf an einer anderen Stelle in der vorstellbaren Welt
> wieder auf, und siehe: da ist die Loesung des Problems.
> Wir haetten auch zu dieser Loesung kommen koennen, indem wir an der
> Oberflaeche bleiben, aber dann waere der Weg sehr kompliziert. Wenn wir
> aber abtauchen in die Gegend, die man sich nicht vorstellen kann, dann
> wird es kurz und elegant."

Das setzt voraus, dass man zuvor bewiesen hat, dass dieses Abtauchen
nicht nur zufaellig sondern _immer_ das richtige Ergebnis liefert. Bei
unendlichen Mengen fehlt dieser Beweis, weil in keiner Berechnung, wie
ich erlaeutert habe, wirklich eine unendliche Menge vorkommt. Sie sind
nur Phantome, die gedanklich durch die Berechnungen mit durchgeschleust
werden.

>
> > Eine unendliche Menge ist dann also der Spezialfall einer endlichen
> > Menge mit einer unbekannten, weil unbestimmten, beliebig vermehrbaren
> > Anzahl von Elementen.
>
> Wenn du jede unendliche Menge einen "Spezialfall einer endlichen Menge"
> nennst, dann gibt es nur noch endliche Mengen, und jede unendliche
> Menge ist endlich.

Das ist richtig. Ich benutze den Ausdruck "unendlich" nur, weil er
ueblich ist und ich ihm eine meiner Meinung nach praezise Bedeutung
geben will. Dabei erfinde ich nichts neues sondern sage nur, was
ohnehin praktiziert wird. Ich kenne einfach kein Beispiel, wo
tatsaechlich und nicht nur verbal mit unendlichen Mengen gerechnet
wird.

>
> Etwas anderes will mir ebenfalls nicht in den Kopf:
> Wie kann die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge unbestimmt
> sein?

Wenn niemand festlegt, wieviel Elemente die Menge enthalten soll, ist
die Anzahl doch unbestimmt, oder nicht? Es gibt nicht _Die_ Menge N
der natuerlichen Zahlen. Gerechnet wird immer mit konkreten
_endlichen_ Mengen. Es ist aber haeufig praktisch, sich nicht auf eine
bestimmte Menge von natuerlichen Zahlen festlegen zu muessen. Eine
Variable hat auch keinen bestimmten Wert. Nach meinem Verstaendnis ist
N eine Variable, welche die natuerlichen Zahlen von 0 an aufwaerts
enthaelt, ohne dass man sich darauf festlegen muss, welches die
groesste Zahl ist.

>
> Ich gebe mal zwei naive Definitionen:
> Eine Menge heisst _endlich_, wenn es eine natuerliche Zahl gibt, welche
> die Anzahl ihrer Elemente angibt.
> Mengen, die nicht endlich sind, heissen _unendlich_.

So ist die unendliche Menge meines Wissens tatsaechlich definiert.
Diese Definition sagt aber nicht, was eine unendliche Menge _ist_,
sondern was sie _nicht ist_. Das halte ich fuer zu schwammig. Auch
eine Menge, die gar nicht existiert, ist keine endliche Menge.
(Von der leeren Menge wird behauptet, dass sie existiert.)
Es waere also moeglich, dass man etwas definiert hat, was es gar
nicht gibt. Diese schwammige Definition ist ein wesentlicher Grund,
warum ich den Existenzbeweis vermisse.

>
> > Kannst Du mir ohne schwammig zu werden erklaeren, was eine unendliche
> > Menge ist?
>
> Ich glaube nicht, dass dir meine Definition einer unendlichen Menge
> oben ausreicht.
> Bisher war es selten noetig, jemandem die Dinge zu erklaeren, mit denen
> ich mich beschaeftige. Ich kann genausowenig einen sechs-dimensionalen
> Vektorraum anschaulich erklaeren. Aber ich kann damit rechnen. Und das
> ist alles, wofuer ich ihn brauche.

Und warum kannst Du damit rechnen? Weil der sechs-dimensionale
Vektorraum exakt definiert ist und nicht schwammig als ein Vektorraum,
der kein zweidimensionaler Vektorraum ist, bezeichnet wird. Siehst Du
den Unterschied zur Definition einer unendlichen Menge?

>
> > Nach meiner Ueberzeugung sind Zahlen mit
> > unendlich vielen Stellen Spekulation. Sie werden auch nicht benoetigt,
> > genau so wenig wie unendlich viele Zahlen. Die Menge der Zahlen muss
> > nur beliebig erweiterbar sein. Bei den natuerlichen Zahlen
> > garantieren die Peano-Axiome, dass der Zahlenbereich dem Bedarf
> > angepasst werden kann.
>
> Dann sind wir in diesem Punkt _fast_ einer Meinung:
> Die Eigenschaft der Menge der natuerlichen Zahlen, beliebig erweiterbar
> zu sein, nenne ich ihre Unendlichkeit. Das kann man noch als
> "verschiedene Benennung derselben Sache" ansehen.
> Aber da ich daran glaube, dass der unendliche Rest, den ich gerade
> nicht brauche, immer vorhanden ist, brauch ich den Zahlenbereich nicht
> erweitern, und kann Dinge tun, die nicht moeglich oder widerspruechlich
> waeren, wenn nicht alle natuerlichen Zahlen gleichermassen vorhanden
> waeren.

Kannst Du dafuer ein Beispiel geben? Ich wuesste nicht, was nicht mehr
moeglich ist, wenn man auf unendliche Mengen verzichtet. Ich bin auch
der Meingung, dass gerade das Unendlichkeitsaxiom zu Widerspruechen
fuehrt (Beispiele: Box mit unendlich vielen Kugeln oder Hilberts Hotel).

>
> So wie ich das sehe, siehst du unendliche Mengen nicht als existent an.
> In der Realitaet existieren sie nicht, das sehe ich.
> Wenn wir ihre Existenz nun per Axiom fordern, dann existieren sie, aber
> in einem anderen Sinne, als z.B. ein Apfel existiert. :-)
>
> Vielleicht ist der einzige Unterschied zwischen uns, dass fuer mich
> alles schon da ist, waehrend es fuer dich "aus dem Stand" erzeugt wird.

Eigentlich habe ich es oben schon gesagt, aber ich wiederhole es
nochmal, weil das wahrscheinlich die Ursache der Differenzen ist:
Ich sehe jede Theorie als Spekulation an, die sich nicht auf die
erfahrbare Realitaet abbilden laesst. Bei unendlichen Mengen sehe
ich nicht, auf welche realen Objekte sie abgebildet werden koennten.
Cantors Mengenlehre ist nicht einmal konsistent. Zu den Widerspruechen
"Box mit unendlich vielen Kugeln" und Hilberts Hotel fuege ich noch
den fehlerhaften Diagonalbeweis und die Widersprueche, die sich mit
unendlichen Potenzmengen ergeben, hinzu. Auch die nicht messbaren
Mengen sind zumindest eine Bestaetigung des spekulativen Charakters
der Theorie.

Gruss

Dieter

[Dieter Jungmann]

SL schrieb:

>
> Eine Menge A besitzt die Mächtigkeit 'unendlich' (= nicht endlich) wenn es
> eine Bijektion in eine echte Teilmenge gibt . Bsp.: {n^2| n in IN} ...'die
> n-te Quadratzahl für alle n'
> Verzichtet man darauf IN unendliche Mächtigkeit zuzugestehen landet man sehr
> schnell bei '1= 0' ( Nichtsdestotrotz als Axiomen-System widerspruchsfrei,
> allerdings sollte dabei dann auch nicht der Bereich der Prädikatenlogik( Logik
> 1ster-.Ordnung) verlassen werden)
> ......

Hallo SL,

das wuerde mich nun doch sehr interessieren, wie Du "sehr schnell"
bei 1 = 0 landest, wenn IN endlich ist. Die mir bekannten Beispiele
fuehren zu diesem Ergebnis gerade dann, wenn IN unendlich ist.

In gespannter Erwartung einer neuen Einsicht

Gruss

Dieter

[Detlef Müller]

Dieter Jungmann wrote:
>
...
> Hallo SL,
>
> das wuerde mich nun doch sehr interessieren, wie Du "sehr schnell"
> bei 1 = 0 landest, wenn IN endlich ist. Die mir bekannten Beispiele
> fuehren zu diesem Ergebnis gerade dann, wenn IN unendlich ist.
>
> In gespannter Erwartung einer neuen Einsicht
>

Fein:
Annahme: IN Endlich.

Wir haben die Addition von 1.

Es geht die Abbildung n -> n+1
von IN nach IN\{1}, eine echte
Teilmenge von IN.

Auf grund der Endlichkeit von IN kann
sie dann nicht injektiv sein, also gibt
es verschiedene Natuerliche Zahlen
n,m mit n+1 = m+1.
Es folgt n-m = 0.
da nun darf man (wegen n ungleich m)
druch n-m Teilen, und erhaelt
1=0, voila!

Gruss,
Detlef

[Paul Ebermann]

>[...]

> Die 3 Experimente mit den unendlich vielen Kugeln (der Ausgangspunkt
> unserer Diskussion) sind doch der Versuch, zu veranschaulichen, welche
> Eigenschaften reale Objekte haben muessten, damit sich Cantors Mengen-
> lehre auf sie abbilden laesst. Das Beispiel zeigt, dass man dabei ins
> Schleudern kommt und ins Schleudern kommen muss. Wozu also die Theorie?
> Am Beispiel der Limes-Operation habe ich gezeigt, dass unendliche
> Mengen nicht einmal fuer theoretische Zwecke tauglich sind, weil alle
> mathematischen Operationen nur mit endlichen Teilmengen ausgefuehrt
> werden.

Bei der Limes-Operation (also Grenzwerte von Folgen) wird nicht nur
mit endlichen Teilmengen gearbeitet.
Spezialfall metrischer Raum:

Eine Folge x_n konvergiert gegen einen Grenzwert g genau dann,
wenn es für *jede* positive reelle Zahl epsilon einen Index n0
gibt, so dass *alle* darauf folgenden Folgenglieder von g einen
Abstand haben, der kleiner als epsilon ist.

Man beachte das Wort "alle". Um einen Grenzwert zu finden, kann man
mit endlichen Teilmengen arbeiten, um eine Hypothese über den
Grenzwert aufzustellen. Für den Beweis müssen wir dann mit _allen_
unendlich vielen Elementen am Ende der Folge (der endliche Rest am
Anfang interressiert kaum) operieren.

> [unendliche Mengen in der Realität]

> > Ein Dozent sagte mal: "Was dieses Gebilde, das man sich nicht
> > vorstellen kann, _eigentlich_ ist, ueberlassen wir den Philosophen.
> > Wir haben unsere Axiome und koennen widerspruchsfrei damit rechnen."
>
> Bist Du sicher? Ist es kein Widerspruch, wenn man eine Box mit unendlich
> vielen Kugeln fuellt und die Theorie trotzdem das Ergebnis liefert, dsss
> die Box leer ist? Oder das Beispiel Hilberts Hotel: Alle Zimmer sind
> belegt. Diese einfache Aussage kann wahr oder falsch sein. Es wird
> vorausgesetzt, dass sie wahr ist. Trotzdem liefert die Theorie das
> Ergebnis, dass weitere Gaeste untergebracht werden koennen. Ist das
> kein Widerspruch? Was ist dann ein Widerspruch? Worauf kann man sich
> verlassen und welchen Sinn macht Nachdenken, wenn es der Willkuer der
> Anhaenger einer Theorie ueberlassen bleibt, was als Widerspruch
> angesehen wird und was nicht?

Dies ist gerade eine der Charakteristiken unendlicher Mengen.
Eine Definition (alternativ auch als Satz aus anderen Definitionen
zu folgern) sagt:

/---
|Jede Menge, die eine zu sich selbst bijektiv äquivalente echte
| Teilmenge enthält, heißt unendlich.
\---

Und bei der Menge der natürlichen Zahlen ist
das doch gegeben:

Die Menge der geraden Zahlen 2N ist eine echte Teilmenge
der Menge der natürlichen Zahlen N. (Teilmenge, weil jede
gerade Zahl eine natürliche Zahl ist, echt, weil es auch
ungerade Zahlen gibt.)
Die Bijektion phi : N -> 2N ist gegeben durch
phi(n) := 2*n,
und das ist umkehrbar: phi^{-1} : 2N -> N mit
phi^{-1}(n) := n/2
Diese Abbildungen sind jeweils injektiv (unterschiedliche
Urbilder haben unterschiedliche Bilder) und surjektiv
(alle Elemente der Zielmenge haben ein Urbild), also
bijektiv.

> > [...]

> > Derselbe Professor sagte auch (sinngemaess):
> > "Wir fangen bei einem vorstellbaren Sachverhalt an, einem realen
> > Problem, und tauchen dann ins Unvorstellbare ab, rechnen damit herum,
> > und tauchen auf an einer anderen Stelle in der vorstellbaren Welt
> > wieder auf, und siehe: da ist die Loesung des Problems.
> > Wir haetten auch zu dieser Loesung kommen koennen, indem wir an der
> > Oberflaeche bleiben, aber dann waere der Weg sehr kompliziert. Wenn wir
> > aber abtauchen in die Gegend, die man sich nicht vorstellen kann, dann
> > wird es kurz und elegant."
>
> Das setzt voraus, dass man zuvor bewiesen hat, dass dieses Abtauchen
> nicht nur zufaellig sondern _immer_ das richtige Ergebnis liefert. Bei
> unendlichen Mengen fehlt dieser Beweis, weil in keiner Berechnung, wie
> ich erlaeutert habe, wirklich eine unendliche Menge vorkommt. Sie sind
> nur Phantome, die gedanklich durch die Berechnungen mit durchgeschleust
> werden.

Man könnte es auch so formulieren: Es setzt vorraus, dass sich die
Realität zumindest näherungsweise an die Axiome hält ...

> > Etwas anderes will mir ebenfalls nicht in den Kopf:
> > Wie kann die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge unbestimmt
> > sein?
>
> Wenn niemand festlegt, wieviel Elemente die Menge enthalten soll, ist
> die Anzahl doch unbestimmt, oder nicht? Es gibt nicht _Die_ Menge N
> der natuerlichen Zahlen. Gerechnet wird immer mit konkreten
> _endlichen_ Mengen. Es ist aber haeufig praktisch, sich nicht auf eine
> bestimmte Menge von natuerlichen Zahlen festlegen zu muessen. Eine
> Variable hat auch keinen bestimmten Wert. Nach meinem Verstaendnis ist
> N eine Variable, welche die natuerlichen Zahlen von 0 an aufwaerts
> enthaelt, ohne dass man sich darauf festlegen muss, welches die
> groesste Zahl ist.

Wenn die Menge endlich wäre, würde es aber eine größte Zahl 'n'
geben - sebst wenn man sie nicht angeben kann. Und was ist
dann mit 'n+1'?

> > Ich gebe mal zwei naive Definitionen:
> > Eine Menge heisst _endlich_, wenn es eine natuerliche Zahl gibt, welche
> > die Anzahl ihrer Elemente angibt.
> > Mengen, die nicht endlich sind, heissen _unendlich_.
>
> So ist die unendliche Menge meines Wissens tatsaechlich definiert.
> Diese Definition sagt aber nicht, was eine unendliche Menge _ist_,
> sondern was sie _nicht ist_. Das halte ich fuer zu schwammig. Auch
> eine Menge, die gar nicht existiert, ist keine endliche Menge.
> (Von der leeren Menge wird behauptet, dass sie existiert.)
> Es waere also moeglich, dass man etwas definiert hat, was es gar
> nicht gibt. Diese schwammige Definition ist ein wesentlicher Grund,
> warum ich den Existenzbeweis vermisse.

Nun, das Unendlichkeitsaxiom gibt doch an, wie ich eine bestimmte Menge
konstruieren kann. Und auf diese Menge wenden wir unsere Definition an:
Siehe da, sie ist unendlich ...

> > > Kannst Du mir ohne schwammig zu werden erklaeren, was eine unendliche
> > > Menge ist?
> >
> > Ich glaube nicht, dass dir meine Definition einer unendlichen Menge
> > oben ausreicht.

Alternative Definitionen (außer dem obengenannten Teilmengenkriterium):

/---
| Eine Menge M, für die es eine natürliche Zahl n in N gibt, so
| dass es eine Bijektion von N_n (der Menge der ersten n natürlichen
| Zahlen) nach M gibt, heißt "endlich". Die leere Menge ist ebenfalls
| endlich.
| Alle anderen Mengen heißen "unendlich".
\---

/---
| Eine Menge M heißt "unendlich", falls es eine _Injektion_ der Menge der
| natürlichen Zahlen N nach M gibt.
| Alle anderen MEngen heißen "endlich".
\---

> > Bisher war es selten noetig, jemandem die Dinge zu erklaeren, mit denen
> > ich mich beschaeftige. Ich kann genausowenig einen sechs-dimensionalen
> > Vektorraum anschaulich erklaeren. Aber ich kann damit rechnen. Und das
> > ist alles, wofuer ich ihn brauche.
>
> Und warum kannst Du damit rechnen? Weil der sechs-dimensionale
> Vektorraum exakt definiert ist und nicht schwammig als ein Vektorraum,
> der kein zweidimensionaler Vektorraum ist, bezeichnet wird. Siehst Du
> den Unterschied zur Definition einer unendlichen Menge?

Dieses Beispiel passt hier nicht, weil es ja auch null-, ein-, drei-,
vier-, fünf-, sieben-, acht-, ... und sogar unendlichdimensionale (das
wirst du natürlich bestreiten) Vektorräume gibt. Bei den Mengen
unterscheiden wir hier nur zwischen endlich und unendlich.

> > > Nach meiner Ueberzeugung sind Zahlen mit
> > > unendlich vielen Stellen Spekulation.

Unendlich viele Stellen gibt es bei keiner natürlichen Zahl.
Allerdings sind schon für gebrochene Zahlen in der
Dezimaldarstellung oft unendlich viele Ziffern notwendig -
und bei irrationalen Zahlen wie pi kommen wir nicht darum
herum.

> > > Sie werden auch nicht benoetigt,
> > > genau so wenig wie unendlich viele Zahlen. Die Menge der Zahlen muss
> > > nur beliebig erweiterbar sein.

Was verstehst du denn unter "Erweitern einer Menge"?
Nach meinem Verständnis sind Mengen konstante gedankliche
Gebilde.

> > > Bei den natuerlichen Zahlen
> > > garantieren die Peano-Axiome, dass der Zahlenbereich dem Bedarf
> > > angepasst werden kann.

Zu jeder Zahl gibt es einen Nachfolger - und keine zwei Zahlen haben
den selben Nachfolger. Damit haben wir (mit Existenz eines Elementes)
unendlich viele verschiedene Elemente, wenn man eine der oben genannten
Unendlichkeitsdefinitionen angibt.

[...]

> Eigentlich habe ich es oben schon gesagt, aber ich wiederhole es
> nochmal, weil das wahrscheinlich die Ursache der Differenzen ist:
> Ich sehe jede Theorie als Spekulation an, die sich nicht auf die
> erfahrbare Realitaet abbilden laesst. Bei unendlichen Mengen sehe
> ich nicht, auf welche realen Objekte sie abgebildet werden koennten.
> Cantors Mengenlehre ist nicht einmal konsistent. Zu den Widerspruechen
> "Box mit unendlich vielen Kugeln" und Hilberts Hotel fuege ich noch
> den fehlerhaften Diagonalbeweis und die Widersprueche, die sich mit
> unendlichen Potenzmengen ergeben, hinzu. Auch die nicht messbaren
> Mengen sind zumindest eine Bestaetigung des spekulativen Charakters
> der Theorie.

Die Inkonsistenzen habe ich bisher noch nicht erkannt, obwohl ich
eure Diskussion schon eine Weile verfolge.
Könntest du das bitte erläutern?
Ich will jetzt aber nichts von der "Menge aller Mengen" oder der
"Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten" hören.
Der Fehler im Diagonalbeweis (für die Überabzählbarkeit von R)
würde mich schon mehr interressieren.

Viele Grüße
Paul

[Dieter Jungmann]

Paul Ebermann schrieb:

>
> Bei der Limes-Operation (also Grenzwerte von Folgen) wird nicht nur
> mit endlichen Teilmengen gearbeitet.
> Spezialfall metrischer Raum:
>
> Eine Folge x_n konvergiert gegen einen Grenzwert g genau dann,
> wenn es für *jede* positive reelle Zahl epsilon einen Index n0
> gibt, so dass *alle* darauf folgenden Folgenglieder von g einen
> Abstand haben, der kleiner als epsilon ist.

Das ist die Epsilon-Delta-Methode. Sie arbeitet _nicht_ mit unendlichen
Mengen, ihr Sinn ist es ja gerade diesen spekulativen Begriff zu
vermeiden. Deshalb darf epsilon beliebig klein aber nicht 0 werden.
Man naehert sich dem Grenzwert g also beliebig weit, vermeidet aber
den eigentlichen Grenzuebergang, bei dem man unendlich viele Glieder
der Folge ueberspringen muesste.

>
> Man beachte das Wort "alle". Um einen Grenzwert zu finden, kann man
> mit endlichen Teilmengen arbeiten, um eine Hypothese über den
> Grenzwert aufzustellen. Für den Beweis müssen wir dann mit _allen_
> unendlich vielen Elementen am Ende der Folge (der endliche Rest am
> Anfang interressiert kaum) operieren.

Es wuerde mich interessieren, wie du mit _allen_ unendlich vielen
Elementen am Ende der Folge (wo ist eigentlich das Ende der Folge,
wenn es kein letztes Glied gibt?) operierst, wenn keines davon
bekannt und benennbar ist. Die Hypothese, die den Grenzwert liefert,
ist in deinem Sinne nicht beweisbar, sie stuetzt sich aber auf (nach
unserem Verstaendnis) so zwingende logische Ueberlegungen, dass diese
bereits als Beweis gelten. Diese logischen Schlussfolgerungen ergeben
sich ausschliesslich aus den Eigenschaften der endlichen Teilmengen.

Du wiederholst bekannte Definitionen ohne auf mein Argument einzugehen.
Meine Absicht ist es doch gerade, die Konsistenz dieser Definitionen
zu ueberpruefen. Zu diesem Zweck stelle ich eine einfache Aufgabe, die
sich im Ramen der Axiome der Theorie bewegt, und stelle fest, welche
Antwort sich bei Anwendung der bekannten und an endlichen Mengen
erprobten Logik ergibt. Dann stellt sich heraus, dass die Theorie
eine dazu im Widerspruch stehende Antwort gibt. Normalerweise waere
das der Beweis, das die Theorie nicht konsistent ist.

Die stereotype Antwort auf dieses Problem lautet: Fuer unendliche
Mengen gilt eben eine andere Logik. Aber allgemeingueltige Regeln
fuer diese Logik (solche Regeln muesste es dann ja wohl geben) wurden
nie genannt. Es handelt sich vielmehr um eine ad-hoc-Logik, bei der
fallweise entschieden wird, was zulaessig oder richtig ist und was
nicht. Alle unendlichen Mengen enthalten unendlich viele unbekannte
und nicht benennbare Elemente, bekannt und ueberpruefbar ist nur eine
endliche Anzahl von Elementen. Waeren alle Elemente bekannt und
benennbar, haette man es definitionsgemaess mit einer endlichen
Menge zu tun. Wie willst du unter diesen Umstaenden eine ueberpruefbare
speziell fuer unendliche Mengen gueltige Logik aufstellen die keine
Spekulation ist? Und wie wuerde bei einem Grenzuebergang die eine
in die andere Logik uebergehen?

So wie du argumentierst, wirst du wahrscheinlich auch den folgenden
Widerspruch nicht anerkennen. Ich stelle 2 Aussagen der Mengenlehre
einander gegenueber:

Aussage 1: Eine Menge mit 2^oo Elementen hat die Maechtigkeit aleph 1,
wenn der Exponent oo die Maechtigkeit aleph 0 hat.

Eine solche Menge laesst sich folgendermassen konstruieren:
Schritt 1: Bilde die Vereinigungsmenge V_1 von 2 Mengen, die nur je
1 Element enthalten. Die beiden Elemente seien verschieden,
damit nicht bei der Vereinigung infolge des Extensionalitaets-
axioms ein Element verloren geht. Entsprechendes gilt auch fuer
alle folgenden Schritte. V_1 enthaelt 2 Elemente.
Schritt 2: Bilde V_2 als Vereinigungsmenge von V_1 mit einer anderen Menge,
die genau so viel Elemente enthaelt, wie V_1. V_2 enthaelt
2^2 Elemente.
...
Schritt n: Bilde V_n als Vereinigungsmenge von V_(n-1) mit einer Menge, die
ebenfalls 2^(n-1) Elemente enthaelt. V_n enthaelt 2^n Elemente.
...
so weiter bis n = oo. Man erhaelt die Menge V_oo mit 2^oo Elementen,
Maechtigkeit von oo ist aleph 0.

Es gilt folgender Satz:
Die Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge abzaehlbar
unendlicher (und erst recht endlicher) Mengen ist abzaehlbar unendlich.
Daraus folgt
Aussage 2: Da V_oo die Vereinigungsmenge von abzaehlbar vielen endlichen
Mengen ist, hat sie nach vorstehendem Satz die Maechtigkeit
aleph 0, obwohl die Anzahl ihrer Elemente 2^oo betraegt, und
oo ebenfalls die Maechtigkeit aleph 0 hat.

Nach meinem Verstaendnis stehen die beiden Aussagen im Widerspruch und
beweisen, dass das Begriffsystem der Mengenlehre nicht konsistent ist.
Wie ist deine Interpretation?

>
> > > Etwas anderes will mir ebenfalls nicht in den Kopf:
> > > Wie kann die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge unbestimmt
> > > sein?
> >
> > Wenn niemand festlegt, wieviel Elemente die Menge enthalten soll, ist
> > die Anzahl doch unbestimmt, oder nicht? Es gibt nicht _Die_ Menge N
> > der natuerlichen Zahlen. Gerechnet wird immer mit konkreten
> > _endlichen_ Mengen. Es ist aber haeufig praktisch, sich nicht auf eine
> > bestimmte Menge von natuerlichen Zahlen festlegen zu muessen. Eine
> > Variable hat auch keinen bestimmten Wert. Nach meinem Verstaendnis ist
> > N eine Variable, welche die natuerlichen Zahlen von 0 an aufwaerts
> > enthaelt, ohne dass man sich darauf festlegen muss, welches die
> > groesste Zahl ist.
>
> Wenn die Menge endlich wäre, würde es aber eine größte Zahl 'n'
> geben - sebst wenn man sie nicht angeben kann. Und was ist
> dann mit 'n+1'?

Nach deiner Argumentation duerfte es keine Variablen geben. Die
Formulierung "wenn es eine Zahl n gibt" ist irrefuehrend, weil sie
suggeriert, dass die Zahlen a priori vorhanden sind. Sie werden
aber konstruiert. Wo du mit der Konstruktion aufhoerst, ist deine
Entscheidung, es gibt keinen Zwang immer neue Zahlen hinzuzufuegen.
Wenn du zu der Zahl Nummer n eine weitere hinzufuegst, enthaelt die
Variable N eben ein Element mehr, das macht doch den Charakter einer
Variablen aus.

>
> Nun, das Unendlichkeitsaxiom gibt doch an, wie ich eine bestimmte Menge
> konstruieren kann. Und auf diese Menge wenden wir unsere Definition an:
> Siehe da, sie ist unendlich ...

??? Kannst du das naeher erklaeren, "wie ich eine bestimmte Menge
konstruieren" kann? Wenn du die Peano-Axiome meinst, die liefern nur
immer wieder endliche Mengen.

>
> > > > Kannst Du mir ohne schwammig zu werden erklaeren, was eine unendliche
> > > > Menge ist?
> > >
> > > Ich glaube nicht, dass dir meine Definition einer unendlichen Menge
> > > oben ausreicht.
>
> Alternative Definitionen (außer dem obengenannten Teilmengenkriterium):
>
> /---
> | Eine Menge M, für die es eine natürliche Zahl n in N gibt, so
> | dass es eine Bijektion von N_n (der Menge der ersten n natürlichen
> | Zahlen) nach M gibt, heißt "endlich". Die leere Menge ist ebenfalls
> | endlich.
> | Alle anderen Mengen heißen "unendlich".
> \---

Was ist an dieser Definition neu? Sie ist identisch mit der von
Christian gegebenen.

>
> /---
> | Eine Menge M heißt "unendlich", falls es eine _Injektion_ der Menge der
> | natürlichen Zahlen N nach M gibt.
> | Alle anderen MEngen heißen "endlich".
> \---

Diese Definition ergibt erst Sinn, wenn zuvor die Unendlichkeit von N
geklaert wurde.

>
> > > > Nach meiner Ueberzeugung sind Zahlen mit
> > > > unendlich vielen Stellen Spekulation.
>
> Unendlich viele Stellen gibt es bei keiner natürlichen Zahl.
> Allerdings sind schon für gebrochene Zahlen in der
> Dezimaldarstellung oft unendlich viele Ziffern notwendig -
> und bei irrationalen Zahlen wie pi kommen wir nicht darum
> herum.

Ein irrationaler Dezimalbruch hat abzaehlbar unendlich viele Ziffern.
Diese muessen sich also numerieren lassen. Nimmt man dazu die mengen-
theoretisch definierten Zahlen, dann ist der n-ten Ziffer eine mengen-
theoretische natuerliche Zahl (= Menge) mit n Elementen zugeordnet.
Um unendlich viele Dezimalziffern nummerieren (= zaehlen) zu koennen,
braucht man also auch Zahlen mit unendlich vielen Elementen. Um diese
Zahlen mit unendlich vielen Elementen mit naiven natuerlichen Zahlen
darstellen zu koennen, benoetigt man ebenfalls unendlich viele Ziffern,
sonst muessten die unendlich vielen Elemente der mengentheoretischen
Zahlen auf eine endliche Menge von Ziffern abgebildet werden, was nicht
moeglich ist.

Die Aussage, dass N unendlich ist aber die natuerlichen Zahlen nur
endlich viele Ziffern haben, enthaelt also einen Widerspruch. Die
unbeantwortete Frage nach diesem Widerspruch durchzieht diese Diskussion
wie ein roter Faden. Hauptsaechlich zur Klaerung dieser Frage wurde
dieser Thread gestartet. Wenn du dabei bleibst, dass keine natuerliche
Zahl unendlich viele Stellen hat, bedeutet das, dass nur endlich viele
natuerliche Zahlen abzaehlbar sind. Der unendliche Teil von N ist dann
nicht benennbar. Das wird auch durch die Paradoxien der 3 Experimente
mit den unendlich vielen Kugeln bestaetigt.

>
> > > > Sie werden auch nicht benoetigt,
> > > > genau so wenig wie unendlich viele Zahlen. Die Menge der Zahlen muss
> > > > nur beliebig erweiterbar sein.
>
> Was verstehst du denn unter "Erweitern einer Menge"?
> Nach meinem Verständnis sind Mengen konstante gedankliche
> Gebilde.

In der Mathematik wird nicht nur mit Konstanten sondern auch mit
Variablen gearbeitet. Das gilt auch fuer Mengen.

>
> > > > Bei den natuerlichen Zahlen
> > > > garantieren die Peano-Axiome, dass der Zahlenbereich dem Bedarf
> > > > angepasst werden kann.
>
> Zu jeder Zahl gibt es einen Nachfolger - und keine zwei Zahlen haben
> den selben Nachfolger. Damit haben wir (mit Existenz eines Elementes)
> unendlich viele verschiedene Elemente, wenn man eine der oben genannten
> Unendlichkeitsdefinitionen angibt.

Der Schluss ist wohl etwas voreilig, denn sooft du die Peano-Axiome
auch anwendest, du erhaelst immer nur eine neue endliche Menge, die
ein Element mehr enthaelt als die vorhergehende. Wo faengt also die
unendliche Menge an?

>
> Die Inkonsistenzen habe ich bisher noch nicht erkannt, obwohl ich
> eure Diskussion schon eine Weile verfolge.
> Könntest du das bitte erläutern?

Ein Beispiel habe ich oben mit den Aussagen 1 und 2 genannt.

> Ich will jetzt aber nichts von der "Menge aller Mengen" oder der
> "Menge aller Mengen, die sich nicht selbst enthalten" hören.

Ich auch nicht. Ich habe diese Beispiele noch nie erwaehnt.

> Der Fehler im Diagonalbeweis (für die Überabzählbarkeit von R)
> würde mich schon mehr interressieren.

Der Fehler wurde bereits in dem etwas chaotischen Thread "Widersprueche
der Mengenlehre" angesprochen. Einen kuerzeren Einstieg findest du in
dem am 19. 2. von Thomas Hoffbauer gestarteten Thread "Cantor und die
rationalen Zahlen".
Wenn du weiteren Diskussionsbedarf hast, schlage ich vor, dies zurueck-
zustellen, bis die hier angesprochenen Fragen abgehandelt sind, sonst
ist die Gefahr zu gross, dass wir uns wieder verzetteln.

Gruss

Dieter

[Horst Kraemer]

On Mon, 07 May 2001 04:16:54 +0200, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

> So wie du argumentierst, wirst du wahrscheinlich auch den folgenden =
> Widerspruch nicht anerkennen. Ich stelle 2 Aussagen der Mengenlehre =
> einander gegenueber:

> Aussage 1: Eine Menge mit 2^oo Elementen hat die Maechtigkeit aleph 1, =

>
> wenn der Exponent oo die Maechtigkeit aleph 0 hat.

> Eine solche Menge laesst sich folgendermassen konstruieren:

> Schritt 1: Bilde die Vereinigungsmenge V_1 von 2 Mengen, die nur je =
>
> 1 Element enthalten. Die beiden Elemente seien verschieden, =
>
> damit nicht bei der Vereinigung infolge des Extensionalitaets-=
>
> axioms ein Element verloren geht. Entsprechendes gilt auch fue=

> r
> alle folgenden Schritte. V_1 enthaelt 2 Elemente.

> Schritt 2: Bilde V_2 als Vereinigungsmenge von V_1 mit einer anderen Meng=
> e, =
>
> die genau so viel Elemente enthaelt, wie V_1. V_2 enthaelt =
>
> 2^2 Elemente.
> =2E..
> Schritt n: Bilde V_n als Vereinigungsmenge von V_(n-1) mit einer Menge, d=
> ie =
>
> ebenfalls 2^(n-1) Elemente enthaelt. V_n enthaelt 2^n Elemente=
> =2E
> =2E..
> so weiter bis n =3D oo. Man erhaelt die Menge V_oo mit 2^oo Elementen, =

>
> Maechtigkeit von oo ist aleph 0.

Nein. Eine solche Menge laesst sich nicht *so* konstruieren.

> Es gilt folgender Satz:
> Die Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge abzaehlbar =
>
> unendlicher (und erst recht endlicher) Mengen ist abzaehlbar unendlich=
> =2E
> Daraus folgt =
>
> Aussage 2: Da V_oo die Vereinigungsmenge von abzaehlbar vielen endlichen =

> Mengen ist, hat sie nach vorstehendem Satz die Maechtigkeit =

> aleph 0, obwohl die Anzahl ihrer Elemente 2^oo betraegt, und =

> oo ebenfalls die Maechtigkeit aleph 0 hat.

> Nach meinem Verstaendnis stehen die beiden Aussagen im Widerspruch und =
> beweisen, dass das Begriffsystem der Mengenlehre nicht konsistent ist. =

Der "Widerspruch" entsteht dadurch, dass Du faelschlicherweise
annimmst, dass die Vereinigungsmenge von abzaehlbar vielen Mengen, die
jeweils die Maechtigkeit 2^0,2^1,2^2,2^3,.... haben und von denen die
naechste jeweils die vorige als Teilmenge enthaelt, die Maechtigkeit
2^aleph_0 alias 2^|N| habe. Die Vereinigungsmenge einer strikt
aufsteigenden Folge von endlichen Mengen hat immer die Maechtigkeit
aleph_0.

Entscheidend dabei ist der Begriff "Folge". Eine Folge ist etwas, was
einen Anfang hat, zu jedem Element einen eindeutig definierten
Nachfolger hat, so dass keine zwei Elemente denselben Nachfolger
haben, und bei der jedes Element in endlich vielen Schritten aus dem
Anfangselement hergestellt werden kann.

> Der Schluss ist wohl etwas voreilig, denn sooft du die Peano-Axiome =
>
> auch anwendest, du erhaelst immer nur eine neue endliche Menge, die =
>
> ein Element mehr enthaelt als die vorhergehende. Wo faengt also die =
>
> unendliche Menge an?

Soweit ich mich erinnere, hattest Du in dem damaligen Thread
akzeptiert, dass "unsere" Mengenlehre auf dem Axiom beruht, dass es
eine Menge *gibt*, die 0 und zu jedem Element n den eindeutig
definierten Nachfolger von n *enthaelt* - die also nicht "schrittweise
konstruiert" wird, sondern in der bereits alles konstruierbare "da
ist". Die Peano-Axiome konstruieren also nicht "immer wieder endliche
Mengen". Sie geben die Eigenschaften einer per Axiom als existent
vorausgesetzten Menge wieder. Dies ist ein wesentlicher Unterschied.

Wir verlangen nicht, dass Du persoenlich dieses Axiom akzeptierst -
aber es bringt nichts Neues, wenn wir immer nur davon hoeren, dass
Deine Auffassung nicht mit unserer Auffassung vereinbar ist. Dies ist
uns bekannt.

MfG
Horst

[Paul Ebermann]

> > Bei der Limes-Operation (also Grenzwerte von Folgen) wird nicht nur
> > mit endlichen Teilmengen gearbeitet.
> > Spezialfall metrischer Raum:
> >
> > Eine Folge x_n konvergiert gegen einen Grenzwert g genau dann,
> > wenn es für *jede* positive reelle Zahl epsilon einen Index n0
> > gibt, so dass *alle* darauf folgenden Folgenglieder von g einen
> > Abstand haben, der kleiner als epsilon ist.
>
> Das ist die Epsilon-Delta-Methode. Sie arbeitet _nicht_ mit unendlichen
> Mengen, ihr Sinn ist es ja gerade diesen spekulativen Begriff zu
> vermeiden. Deshalb darf epsilon beliebig klein aber nicht 0 werden.
> Man naehert sich dem Grenzwert g also beliebig weit, vermeidet aber
> den eigentlichen Grenzuebergang, bei dem man unendlich viele Glieder
> der Folge ueberspringen muesste.

Genau obige Definition habe ich als "Grenzwert" und "Konvergenz" gelernt.
Bei endlichen Folgen (?) funktioniert das nicht - was soll eine endliche
Folge sein?

> > Man beachte das Wort "alle". Um einen Grenzwert zu finden, kann man
> > mit endlichen Teilmengen arbeiten, um eine Hypothese über den
> > Grenzwert aufzustellen. Für den Beweis müssen wir dann mit _allen_
> > unendlich vielen Elementen am Ende der Folge (der endliche Rest am
> > Anfang interressiert kaum) operieren.
>
> Es wuerde mich interessieren, wie du mit _allen_ unendlich vielen
> Elementen am Ende der Folge (wo ist eigentlich das Ende der Folge,
> wenn es kein letztes Glied gibt?) operierst, wenn keines davon
> bekannt und benennbar ist. Die Hypothese, die den Grenzwert liefert,
> ist in deinem Sinne nicht beweisbar, sie stuetzt sich aber auf (nach
> unserem Verstaendnis) so zwingende logische Ueberlegungen, dass diese
> bereits als Beweis gelten. Diese logischen Schlussfolgerungen ergeben
> sich ausschliesslich aus den Eigenschaften der endlichen Teilmengen.

Wenn ich eine Folge gegeben habe, habe ich meist nicht nur einige Glieder
am Anfang gegeben (dann ist das wirklich nicht beweisbar), sondern eine
Bildungsvorschrift für alle Glieder der Folge, jeweils in Abhängigkeit
ihres Indexes n. Und dann kann ich (mit der Voraussetzung n >= n0) für
jedes Element überprüfen, dass der Abstand kleiner als ein vorgegebenes
epsilon wird. Ich rechne dabei mit allen Elementen (ab einem Startindex).
Was verlangst du mehr?

> > [...]

> > Dies ist gerade eine der Charakteristiken unendlicher Mengen.
> > Eine Definition (alternativ auch als Satz aus anderen Definitionen
> > zu folgern) sagt:
> >
> > /---
> > |Jede Menge, die eine zu sich selbst bijektiv äquivalente echte
> > | Teilmenge enthält, heißt unendlich.
> > \---
> >
> > Und bei der Menge der natürlichen Zahlen ist
> > das doch gegeben:

> > [Ungerade Zahlen <-> natürliche Zahlen]

Die Aussage ist richtig, falls du mit aleph_1 die Kardinalität der
Potenzmenge von N meinst (Kontinuumshypothese). Bleiben wir dabei.

> Eine solche Menge laesst sich folgendermassen konstruieren:
> Schritt 1: Bilde die Vereinigungsmenge V_1 von 2 Mengen, die nur je
> 1 Element enthalten. Die beiden Elemente seien verschieden,
> damit nicht bei der Vereinigung infolge des Extensionalitaets-
> axioms ein Element verloren geht. Entsprechendes gilt auch fuer
> alle folgenden Schritte. V_1 enthaelt 2 Elemente.
> Schritt 2: Bilde V_2 als Vereinigungsmenge von V_1 mit einer anderen Menge,
> die genau so viel Elemente enthaelt, wie V_1. V_2 enthaelt
> 2^2 Elemente.
> ...
> Schritt n: Bilde V_n als Vereinigungsmenge von V_(n-1) mit einer Menge, die
> ebenfalls 2^(n-1) Elemente enthaelt. V_n enthaelt 2^n Elemente.
> ...
> so weiter bis n = oo. Man erhaelt die Menge V_oo mit 2^oo Elementen,
> Maechtigkeit von oo ist aleph 0.
>
> Es gilt folgender Satz:
> Die Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge abzaehlbar
> unendlicher (und erst recht endlicher) Mengen ist abzaehlbar unendlich.

Den Satz akzeptiere ich auch.

> Daraus folgt
> Aussage 2: Da V_oo die Vereinigungsmenge von abzaehlbar vielen endlichen
> Mengen ist, hat sie nach vorstehendem Satz die Maechtigkeit
> aleph 0, obwohl die Anzahl ihrer Elemente 2^oo betraegt, und
> oo ebenfalls die Maechtigkeit aleph 0 hat.
>
> Nach meinem Verstaendnis stehen die beiden Aussagen im Widerspruch und
> beweisen, dass das Begriffsystem der Mengenlehre nicht konsistent ist.
> Wie ist deine Interpretation?

Die Tatsache, dass du nur abzählbar viele Mengen vereinigt hast, ist mir
nicht offensichtlich.

> > > > Etwas anderes will mir ebenfalls nicht in den Kopf:
> > > > Wie kann die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge unbestimmt
> > > > sein?
> > >
> > > Wenn niemand festlegt, wieviel Elemente die Menge enthalten soll, ist
> > > die Anzahl doch unbestimmt, oder nicht? Es gibt nicht _Die_ Menge N
> > > der natuerlichen Zahlen. Gerechnet wird immer mit konkreten
> > > _endlichen_ Mengen. Es ist aber haeufig praktisch, sich nicht auf eine
> > > bestimmte Menge von natuerlichen Zahlen festlegen zu muessen. Eine
> > > Variable hat auch keinen bestimmten Wert. Nach meinem Verstaendnis ist
> > > N eine Variable, welche die natuerlichen Zahlen von 0 an aufwaerts
> > > enthaelt, ohne dass man sich darauf festlegen muss, welches die
> > > groesste Zahl ist.
> >
> > Wenn die Menge endlich wäre, würde es aber eine größte Zahl 'n'
> > geben - sebst wenn man sie nicht angeben kann. Und was ist
> > dann mit 'n+1'?
>
> Nach deiner Argumentation duerfte es keine Variablen geben. Die
> Formulierung "wenn es eine Zahl n gibt" ist irrefuehrend, weil sie
> suggeriert, dass die Zahlen a priori vorhanden sind. Sie werden
> aber konstruiert. Wo du mit der Konstruktion aufhoerst, ist deine
> Entscheidung, es gibt keinen Zwang immer neue Zahlen hinzuzufuegen.
> Wenn du zu der Zahl Nummer n eine weitere hinzufuegst, enthaelt die
> Variable N eben ein Element mehr, das macht doch den Charakter einer
> Variablen aus.

Für mich stellt eine Variable ein Symbol dar, dass im Verlauf einer
Problemlösung ein beliebiges Element einer Menge enthalten kann,
was sich aber in diesem Zeitraum nicht ändert. Anweisungen wie
n := n+1,
die in verschiedenen Programmiersprachen machbar sind, halte ich
mathematisch nicht für sinnvoll. Ob ich hier mit der allgemein
akzeptierten Fachmeinung übereinstimme, weiß ich nicht.

> > Nun, das Unendlichkeitsaxiom gibt doch an, wie ich eine bestimmte Menge
> > konstruieren kann. Und auf diese Menge wenden wir unsere Definition an:
> > Siehe da, sie ist unendlich ...
>
> ??? Kannst du das naeher erklaeren, "wie ich eine bestimmte Menge
> konstruieren" kann? Wenn du die Peano-Axiome meinst, die liefern nur
> immer wieder endliche Mengen.

Ich zitiere hier einmal aus dem dtv-Atlas zur MAthematik, Seite 29,
axiomatischer Aufbau der Mengenlehre:

|[...]
| (8) Es existiert eine Menge X, so dass {} (leere Menge) Element
| von X ist und für alle Mengen y gilt: Wenn y in X ist, so ist auch
| (y vereinigt mit {y}) in X.

Für diese Menge können wir anhand einer der Definitionen (such dir eine aus)
nachweisen, dass sie unendlich ist.

> > Alternative Definitionen (außer dem obengenannten Teilmengenkriterium):
> >
> > /---
> > | Eine Menge M, für die es eine natürliche Zahl n in N gibt, so
> > | dass es eine Bijektion von N_n (der Menge der ersten n natürlichen
> > | Zahlen) nach M gibt, heißt "endlich". Die leere Menge ist ebenfalls
> > | endlich.
> > | Alle anderen Mengen heißen "unendlich".
> > \---
>
> Was ist an dieser Definition neu? Sie ist identisch mit der von
> Christian gegebenen.

Das ist richtig, nur ist dies IMHO etwas klarer formuliert.

> > /---
> > | Eine Menge M heißt "unendlich", falls es eine _Injektion_ der Menge der
> > | natürlichen Zahlen N nach M gibt.
> > | Alle anderen MEngen heißen "endlich".
> > \---
>
> Diese Definition ergibt erst Sinn, wenn zuvor die Unendlichkeit von N
> geklaert wurde.

Da hast du recht: hiermit definieren wir einfach N als unendlich.
Diese Definition stimmt allerdings mit der durch die Existenz
gleichmächtiger Teilmengen und der Nicht-Existenz einer
Bijekktion zu N_n überein.

> > > > > Nach meiner Ueberzeugung sind Zahlen mit
> > > > > unendlich vielen Stellen Spekulation.
> >
> > Unendlich viele Stellen gibt es bei keiner natürlichen Zahl.
> > Allerdings sind schon für gebrochene Zahlen in der
> > Dezimaldarstellung oft unendlich viele Ziffern notwendig -
> > und bei irrationalen Zahlen wie pi kommen wir nicht darum
> > herum.
>
> Ein irrationaler Dezimalbruch hat abzaehlbar unendlich viele Ziffern.
> Diese muessen sich also numerieren lassen. Nimmt man dazu die mengen-
> theoretisch definierten Zahlen, dann ist der n-ten Ziffer eine mengen-
> theoretische natuerliche Zahl (= Menge) mit n Elementen zugeordnet.
> Um unendlich viele Dezimalziffern nummerieren (= zaehlen) zu koennen,
> braucht man also auch Zahlen mit unendlich vielen Elementen.

Nein - wir benötigen unendlich _viele_ Zahlen. Jede einzelne entspricht
noch einer endlichen Menge.

> Um diese
> Zahlen mit unendlich vielen Elementen mit naiven natuerlichen Zahlen
> darstellen zu koennen, benoetigt man ebenfalls unendlich viele Ziffern,
> sonst muessten die unendlich vielen Elemente der mengentheoretischen
> Zahlen auf eine endliche Menge von Ziffern abgebildet werden, was nicht
> moeglich ist.
>
> Die Aussage, dass N unendlich ist aber die natuerlichen Zahlen nur
> endlich viele Ziffern haben, enthaelt also einen Widerspruch.

Der wird mir immer noch nicht klar.

> Die
> unbeantwortete Frage nach diesem Widerspruch durchzieht diese Diskussion
> wie ein roter Faden. Hauptsaechlich zur Klaerung dieser Frage wurde
> dieser Thread gestartet. Wenn du dabei bleibst, dass keine natuerliche
> Zahl unendlich viele Stellen hat, bedeutet das, dass nur endlich viele
> natuerliche Zahlen abzaehlbar sind.

Wenn du eine Obergrenze bei der Anzahl der stellen ziehen willst,
geht das schief. Es gibt eine solche nicht - aber für jede einzelne
natürliche Zahl ist die Anzahl der Ziffern klar angebbar.

> Der unendliche Teil von N ist dann
> nicht benennbar. Das wird auch durch die Paradoxien der 3 Experimente
> mit den unendlich vielen Kugeln bestaetigt.

Diese Paradoxien führe ich auf die Nicht-Durchführbarkeit der
Experimente zurück.

> > > > > Sie werden auch nicht benoetigt,
> > > > > genau so wenig wie unendlich viele Zahlen. Die Menge der Zahlen muss
> > > > > nur beliebig erweiterbar sein.
> >
> > Was verstehst du denn unter "Erweitern einer Menge"?
> > Nach meinem Verständnis sind Mengen konstante gedankliche
> > Gebilde.
>
> In der Mathematik wird nicht nur mit Konstanten sondern auch mit
> Variablen gearbeitet. Das gilt auch fuer Mengen.

Wie ich oben gesagt habe, sollte der 'Wert' einer Variablen für
den Verlauf einer Diskussion konstant bleiben - allerdings kann man
zu Beginn jede beliebige Zahl (oder Menge) einsetzen, die die
angegebenen Nebenbedingungen erfüllt.

> > > > > Bei den natuerlichen Zahlen
> > > > > garantieren die Peano-Axiome, dass der Zahlenbereich dem Bedarf
> > > > > angepasst werden kann.
> >
> > Zu jeder Zahl gibt es einen Nachfolger - und keine zwei Zahlen haben
> > den selben Nachfolger. Damit haben wir (mit Existenz eines Elementes)
> > unendlich viele verschiedene Elemente, wenn man eine der oben genannten
> > Unendlichkeitsdefinitionen angibt.
>
> Der Schluss ist wohl etwas voreilig, denn sooft du die Peano-Axiome
> auch anwendest, du erhaelst immer nur eine neue endliche Menge, die
> ein Element mehr enthaelt als die vorhergehende. Wo faengt also die
> unendliche Menge an?

Eine unendliche Menge haben wir, sobald sie zu einer echten Teilmenge
isomorph ist. Ich habe eine Menge N, die zu jeder Zahl einen Nachfolger
enthält, und alle diese sind unterschiedlich (es gibt also keine Zyklen).
Betrachten wir nun die Teilmenge G, die zu jeder Zahl nur den Nachfolger
des Nachfolgers enthält. Beide Mengen sollten ein Startelement (z.B. 0)
enthalten, damit sie nicht leer sind.
B ist dann natürlich echt kleiner (von der Inklusion her) als A,
aber hat genausoviele Elemente, denn wir können eine Bijektion angeben.
Ich habe hier nur die Peano-Axiome benutzt, und damit gezeigt, dass N
unendlich ist.
Wenn du nur einzeln jeweils ein Element hinzunimmst, hast du nur endliche
Mengen, das ist klar.

Paul

PS: könntest du bitte in deinem Newsclient das "Content-Transfer-Encoding"
auf "kein" umstellen (statt "Quoted Printable")? Das macht mir das Zitieren
um einiges leichter ...

[Christian Semrau]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Christian Semrau schrieb:

> >
> > Das ist gerade eine Eigenschaft von Axiomen: Sie muessen nicht bewiesen
> > werden, sondern werden als wahr angenommen. ...
>
> Da hast Du recht. Ich haette schreiben muessen:
> Ein Begriff von derart zentraler Bedeutung darf nur dann als Axiom
> vorausgesetzt werden, wenn er unmittelbar einsichtig ist, andernfalls
> muss er sich aus einfacheren Axiomen ableiten lassen, sonst ...

Die meisten Axiome mit denen man taeglich arbeitet, sind unmittelbar
einsichtig.
Es gibt aber durchaus auch Axiome, die nicht in unsere alltaegliche
Wirklichkeit passen, z.B. die Alternativen des Parallelenaxioms.
Da haben wir in einer anderen als der euklidischen Geometrie
mehr als eine Parallele, die durch den gegebenen Punkt geht.
Ist dieses Axiom unmittelbar einsichtig, oder die andere Moeglichkeit,
dass es gar keine Parallele gibt?
Wir wollen nicht auf nichteuklidische Geometrien eingehen,
ich vergleiche nur weiter unten die Definition von "unendliche Menge"
mit einer moeglichen Definition von "Parallele".

> Die Tatsache, dass Axiome nicht bewiesen werden muessen, ist kein
> Freibrief fuer Spekulationen. Ich gehe davon aus, dass mathematische
> Theorien nicht als Spiel angesehen sondern in der Absicht aufgestellt
> werden, sie auf die Realitaet abzubilden.

Dazu sind die Theorien entwickelt worden, aber ich muss zugeben,
mir ist der praktische Nutzen einiger Teile der Mathematik
unbekannt. Diese Teile betrachte ich als Spiel.
Mathematik um der Mathematik willen, sozusagen.
Ich halte das aber nicht fuer etwas schlechtes, denn aus einigen
"Spielereien" haben sich weitreichende praktische Anwendungen
ergeben (z.B. komplexe Zahlen in der ETechnik, oder Zahlentheorie
in der Kryptographie).

> Wenn nun aber feststeht, dass es in der Realitaet keine Objekte gibt,
> auf die sich die theoretischen unendlichen Mengen abbilden lassen,
> welchen Sinn ergibt dann die Theorie, wozu braucht man sie? Solche
> Theorien, fuer die es kein Abbild in der Ralitaet gibt, bezeichne ich
> als Spekulation oder je nach Kontext als Aberglauben. (Man koennte
> auch Geister als Axiom voraussetzen.)

Es steht jedem frei, unendliche Mengen, Geister oder Gott (ja auch
den) per Axiom als existent zu fordern.
Beweisbar ist die Existenz in keinem Falle.
Genauso gut kann man fordern, dass unendliche Mengen, Geister
oder Gott _nicht_ existieren. Und die Nichtexistenz ist ebenfalls
nicht beweisbar.
Daher scheint es mir, als waeren diese drei Beispiele
_reine Glaubensfrage_.
Wenn ich nur glaube, was ich sehe, dann glaube ich an keins von
den dreien.
Warum glauben aber 95% der Weltbevoelkerung an eine Gottheit
(so genau weiss ich das nicht, wird im Film Contact gesagt :-)
und 13% der Deutschen an Hexen (angeblich lt. einer Umfrage in
den 80ern)?
Ich weiss es nicht. Im Bezug auf Gott und Geister bin ich skeptisch,
neige eher zum Unglauben, aber an die Existenz unendlicher Mengen
glaube ich. So wie viele andere auch.
Denn fuer mich ist diese Vorstellung einfacher als die ihrer
Nichtexistenz.

> Die 3 Experimente mit den unendlich vielen Kugeln (der Ausgangspunkt
> unserer Diskussion) sind doch der Versuch, zu veranschaulichen, welche
> Eigenschaften reale Objekte haben muessten, damit sich Cantors Mengen-
> lehre auf sie abbilden laesst. Das Beispiel zeigt, dass man dabei ins
> Schleudern kommt und ins Schleudern kommen muss. Wozu also die Theorie?

In der Tat bekommt man beim Uebertragen in die Wirklichkeit Probleme,
denn - wie wir inzwischen wissen - gibt es dieses Experiment
in der Wirklichkeit nicht.
Das sagt mir nicht mehr, als dass die Theorie nicht zur Wirklichkeit
passt. Ueber ihre Widerspruechlichkeit ist damit nichts gesagt.

> Am Beispiel der Limes-Operation habe ich gezeigt, dass unendliche
> Mengen nicht einmal fuer theoretische Zwecke tauglich sind, weil alle
> mathematischen Operationen nur mit endlichen Teilmengen ausgefuehrt
> werden.

Ich wollte bereits auf den Limes eingehen, habe es aber aus
Platzgruenden gelassen.
Wenn du dir die ersten n Elemente einer Folge ansiehst, ohne die
Bildungsvorschrift zu kennen, kannst du eine Vermutung ueber
den Grenzwert aufstellen. Aber du weisst nicht, wie die Folge
nach den ersten n Elementen weitergeht.
Stimmen wir darin ueberein?
Sag jetzt nicht, dass du das n immer groesser machen kannst,
denn das ist eine andere Situation!

> > In der Realitaet gibt es keine unendlichen Mengen, da stimme ich
> > dir zu. Deshalb wird ja ihre mathematische Existenz per Axiom
> > gefordert.
> > Vielleicht vereinfachen sie manche Rechnungen, aber mit der
> > Realitaet haben sie nicht viel zu tun.
>
> Hierzu schrieb Rolf Krahl am 4. 5. :
>
> > In der Realität gibt es garkeine Mengen, weder endliche noch
> > unendliche. In der Realität gibt es nur Dinge[1]. Diese Dinge zu
> > zählen oder zu Mengen zusammenzufassen ist bereits eine Abstraktion
> > und damit eine Entfernung von der Realität.
>
> Klar ist das so, aber mit "in der Realitaet gibt es keine unendlichen
> Mengen" ist schliesslich gemeint "in der Realitaet gibt es keine

> Dinge, die sich zu unendlichen Mengen zusammenfassen lassen". [...]

> Mit Haarspalterei kann man jede Diskussion abwuergen.

Rolfs Einwand ist korrekt, aber da wir uns darueber einig sind,
machen wir weiter...

> > Ein Dozent sagte mal: "Was dieses Gebilde, das man sich nicht
> > vorstellen kann, _eigentlich_ ist, ueberlassen wir den Philosophen.
> > Wir haben unsere Axiome und koennen widerspruchsfrei damit rechnen."
>
> Bist Du sicher? Ist es kein Widerspruch, wenn man eine Box mit
> unendlich vielen Kugeln fuellt und die Theorie trotzdem das Ergebnis

> liefert, dass die Box leer ist?

Es ist keiner, denn es werden alle Kugeln wieder herausgenommen.
Und damit muss sie leer sein.

> Oder das Beispiel Hilberts Hotel: Alle Zimmer sind belegt.
> Diese einfache Aussage kann wahr oder falsch sein. Es wird
> vorausgesetzt, dass sie wahr ist.

Genau, das soll der Ausgangszustand sein.

> Trotzdem liefert die Theorie das Ergebnis, dass weitere Gaeste
> untergebracht werden koennen.

Korrekt, aber erst _nachdem_ alle Gaeste umgezogen sind, wodurch
Zimmer frei werden.
Ich frage mich gerade, ob deine "beliebig erweiterbaren" natuerlichen
Zahlen die Eigenschaft haben, dass sie bijektiv auf eine echte
Teilmenge abgebildet werden koennen, z.B. auf IN\{0}.

> Ist das kein Widerspruch?

Im Ausgangzustand ist jedes Zimmer belegt, wenn also niemand der
vorhandenen Gaeste sich bewegt, passt kein weiterer rein.
Nach dem "Umzug" (per Bijektion) ist ein Zimmer frei.
Der Widerspruch liegt also darin, dass N glm. einer echten Teilmenge
sein soll, oder?

> > Ob man sie "gedanklich konstruieren" kann, haengt vom
> > Vorstellungsvermoegen des einzelnen ab. Ich stelle mir unendliche
> > Mengen vor, indem ich mir einen endlichen Bereich ansehe, diesen
> > vergroessere, und mir klarmache, dass das, was ich da gerade
> > hinzugefuegt habe, bereits vorher da war. Und alles, was ich je
> > hinzufuegen koennte, ist bereits da. Das ist meine Vorstellung von
> > unendlich. Sie stimmt mit deiner "beliebigen Erweiterbarkeit"
> > ueberein bis auf den Punkt, dass bei mir _alles_ schon vorhanden
> > ist.
>
> Dieser eine Punkt ist entscheident. Wenn die Anzahl der Elemente einer
> Menge beliebig erweiterbar ist aber endlich bleibt, braucht man keine
> neuen Begriffe, insbesondere keine neue Maechtigkeitsdefinition. Ueber
> diese problematische Definition werden wir vielleicht spaeter noch
> diskutieren muessen.

Ja ueber Maechtigkeiten sollten wir noch einmal reden.

> Mit "gedanklich konstruieren" meine ich nicht, dass man sich das
> Ergebnis der Konstruktion unbedingt plastisch vorstellen koennen
> muss, es muss aber klar erkennbar sein, dass die Konstruktion
> tatsaechlich etwas neues ist und nicht nur eine neue endliche
> Menge mit mehr Elementen.

Diese "Menge, in der alles schon drin ist", muss etwas neues sein
(_falls_ sie existiert),
denn sie hat mehr Elemente als die einzelnen Mengen, die "unterwegs"
beim Peano-Prozess erzeugt werden, ist also verschieden von jeder
dieser endlichen Mengen.

> > Derselbe Professor sagte auch (sinngemaess):
> > "Wir fangen bei einem vorstellbaren Sachverhalt an, einem realen
> > Problem, und tauchen dann ins Unvorstellbare ab, rechnen damit herum,
> > und tauchen auf an einer anderen Stelle in der vorstellbaren Welt

> > wieder auf, und siehe: da ist die Loesung des Problems. [...]"

>
> Das setzt voraus, dass man zuvor bewiesen hat, dass dieses Abtauchen
> nicht nur zufaellig sondern _immer_ das richtige Ergebnis liefert.
> Bei unendlichen Mengen fehlt dieser Beweis, weil in keiner Berechnung,
> wie ich erlaeutert habe, wirklich eine unendliche Menge vorkommt. Sie
> sind nur Phantome, die gedanklich durch die Berechnungen mit
> durchgeschleust werden.

Ist es OK zu sagen, dass dieses "Durchschleusen der unendlichen Mengen"
zum richtigen Ergebnis fuehrt?

> > > Eine unendliche Menge ist dann also der Spezialfall einer endlichen
> > > Menge mit einer unbekannten, weil unbestimmten, beliebig vermehrbaren
> > > Anzahl von Elementen.
> >
> > Wenn du jede unendliche Menge einen "Spezialfall einer endlichen Menge"
> > nennst, dann gibt es nur noch endliche Mengen, und jede unendliche
> > Menge ist endlich.
>
> Das ist richtig. Ich benutze den Ausdruck "unendlich" nur, weil er
> ueblich ist und ich ihm eine meiner Meinung nach praezise Bedeutung
> geben will. Dabei erfinde ich nichts neues sondern sage nur, was
> ohnehin praktiziert wird. Ich kenne einfach kein Beispiel, wo
> tatsaechlich und nicht nur verbal mit unendlichen Mengen gerechnet
> wird.

Das was wir als "Arbeit mit unendlichen Mengen" bezeichnen, ist also
fuer dich nur "Arbeit mit endlichen aber beliebig grossen Mengen".
Und siehe - genau das wird praktiziert.
Nur arbeiten wir - und auch du - z.B. bei Grenzwertbetrachtungen nicht
mit einer konkreten endlichen Teilmenge von N, sondern mit allen.
Das ist ein wesentlicher Unterschied.

Sag mir einmal, ob dieses Problem fuer dich so formulierbar ist:
Bilde den Grenzwert von a_n = 1/n fuer n->oo.

Falls ja, beschreibe wie du es loest,
falls nein, kannst du es umschreiben in "deine Mathematik"
oder sagen, warum die Aufgabe vielleicht sinnlos ist?

> > Etwas anderes will mir ebenfalls nicht in den Kopf:
> > Wie kann die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge
> > unbestimmt sein?
>
> Wenn niemand festlegt, wieviel Elemente die Menge enthalten soll, ist
> die Anzahl doch unbestimmt, oder nicht? Es gibt nicht _Die_ Menge N
> der natuerlichen Zahlen. Gerechnet wird immer mit konkreten
> _endlichen_ Mengen. Es ist aber haeufig praktisch, sich nicht auf eine
> bestimmte Menge von natuerlichen Zahlen festlegen zu muessen.
> Eine Variable hat auch keinen bestimmten Wert. Nach meinem
> Verstaendnis ist N eine Variable, welche die natuerlichen Zahlen
> von 0 an aufwaerts enthaelt, ohne dass man sich darauf festlegen
> muss, welches die groesste Zahl ist.

Aha. N ist eine Variable... an die Vorstellung muss ich mich erstmal
gewoehnen. Und die "moeglichen Werte" von N sind gerade die Mengen
{0,...n} (n>=0) der ersten (n+1) natuerlichen Zahlen?
Faszinierend.
Aber: (es geht nicht ohne ein aber...)
Das wuerde mit meinem Verstaendnis von "Variable" kollidieren,
nach dem eine Variable waehrend einer Berechnung stets denselben
Wert beibehaelt. Gelten fuer N andere Regeln als fuer irgendein
x el. N, das ich in einer Rechnung benutze?

> > Ich gebe mal zwei naive Definitionen:
> > Eine Menge heisst _endlich_, wenn es eine natuerliche Zahl gibt, welche
> > die Anzahl ihrer Elemente angibt.
> > Mengen, die nicht endlich sind, heissen _unendlich_.
>
> So ist die unendliche Menge meines Wissens tatsaechlich definiert.
> Diese Definition sagt aber nicht, was eine unendliche Menge _ist_,
> sondern was sie _nicht ist_. Das halte ich fuer zu schwammig. Auch
> eine Menge, die gar nicht existiert, ist keine endliche Menge.
> (Von der leeren Menge wird behauptet, dass sie existiert.)
> Es waere also moeglich, dass man etwas definiert hat, was es gar
> nicht gibt. Diese schwammige Definition ist ein wesentlicher Grund,
> warum ich den Existenzbeweis vermisse.

Absolut richtig. Es _koennte_ sein, dass eine unendliche Menge nicht
existiert.
Da ein Existenzbeweis meiner Ansicht nach unmoeglich ist,
wird die Existenz per Axiom gefordert, und dein Aufruf nach einem
Existenzbeweis erscheint mir langsam als vergleichbar mit der
Forderung eines Atheisten an den Glaeubigen, die Existenz Gottes
zu beweisen.
Tut mir ein bisschen leid, dass ich IHN da mit einbeziehe, aber
ich sehe unsere Differenz in diesem Punkt als Glaubensfrage.
Ich bin aber weiterhin bereit, mich mit deinem Glauben vertraut
zu machen.
(Auch der Atheist glaubt: An die _Nichtexistenz_ Gottes!)

> > > Kannst Du mir ohne schwammig zu werden erklaeren, was eine
> > > unendliche Menge ist?
> >
> > Ich glaube nicht, dass dir meine Definition einer unendlichen Menge
> > oben ausreicht.
> > Bisher war es selten noetig, jemandem die Dinge zu erklaeren, mit denen
> > ich mich beschaeftige. Ich kann genausowenig einen sechs-dimensionalen
> > Vektorraum anschaulich erklaeren. Aber ich kann damit rechnen. Und das
> > ist alles, wofuer ich ihn brauche.
>
> Und warum kannst Du damit rechnen? Weil der sechs-dimensionale
> Vektorraum exakt definiert ist und nicht schwammig als ein Vektorraum,
> der kein zweidimensionaler Vektorraum ist, bezeichnet wird. Siehst Du
> den Unterschied zur Definition einer unendlichen Menge?

Das waere in der Tat nicht ausreichend (wie Paul Ebermann bereits
sagte):

> Dieses Beispiel passt hier nicht, weil es ja auch null-, ein-, drei-,
> vier-, fünf-, sieben-, acht-, ... und sogar unendlichdimensionale
> (das wirst du natürlich bestreiten) Vektorräume gibt. Bei den Mengen
> unterscheiden wir hier nur zwischen endlich und unendlich.

Ich wollte damit nur klarmachen, dass es Dinge gibt, die ich mir nicht
vorstellen kann. Ich halte die Definition der unendlichen Menge
zusammen mit dem Axiom ihrer Existenz nicht fuer schwammig.

Wenn diese Def+Axiom widerspruchsfrei ist, dann existiert eine
unendliche Menge, und wir wissen, wie sie nicht aussieht. :-)

Ich denke, ich habe eine aehnliche Situation in der ebenen euklidischen
Geometrie:
Def: Eine "Schneidende" h zu einer Geraden g ist eine Gerade,
die mit der gegebenen Geraden g einen Punkt gemeinsam hat.
Und es ist leicht festzustellen, dass eine Gerade die andere schneidet:
Wir gehen von einem Punkt auf g gleichzeitig (ggf. abwechselnd)
immer weiter in beide Richtungen, bis wir in einer der beiden
Richtungen einen Schnittpunkt mit h finden.
Beachte: Das klappt nur, _wenn_ sie sich schneiden. Wenn sie sich nicht
schneiden, terminiert der Vorgang nicht in endlicher Zeit ;)
Def: Eine "Parallele" h zu einer Geraden g ist eine Gerade,
die keine Schneidende ist, d.h. mit g keinen Punkt gemeinsam hat.

Ist diese Definition schwammig? Sie sagt aus, was eine Parallele
_nicht_ ist! Woher wissen wir von der Existenz von Parallelen?

Wir wissen, was _keine_ Parallele ist und koennen in dem
Fall auch direkt zeigen, dass ein Schnittpunkt vorhanden ist.
Nehmen wir nun einen Punkt p ausserhalb von g.
Wir koennen nicht direkt nachweisen, dass eine Parallele durch p
zu g existiert, denn von keiner Geraden durch g koennen wir nach
dem oben angegebenen Verfahren zeigen, dass sie keinen Schnittpunkt
mit g hat. Wir koennen nur zeigen, dass eine Gerade _nicht_ parallel
ist zu g.

Mit dem euklidischen Parallelenaxiom haben wir aber die Existenz
genau einer Parallelen zu g durch den Punkt p festgelegt.

Siehst du in diesem Beispiel Unterschiede und Parallelen *g* zur
Definition der unendlichen Menge?

> > Aber da ich daran glaube, dass der unendliche Rest, den ich gerade
> > nicht brauche, immer vorhanden ist, brauch ich den Zahlenbereich nicht
> > erweitern, und kann Dinge tun, die nicht moeglich oder widerspruechlich
> > waeren, wenn nicht alle natuerlichen Zahlen gleichermassen vorhanden
> > waeren.
>
> Kannst Du dafuer ein Beispiel geben? Ich wuesste nicht, was nicht mehr
> moeglich ist, wenn man auf unendliche Mengen verzichtet. Ich bin auch
> der Meingung, dass gerade das Unendlichkeitsaxiom zu Widerspruechen
> fuehrt (Beispiele: Box mit unendlich vielen Kugeln oder Hilberts Hotel).

Ich gebe zu, das war etwas vorschnell gesprochen. Dazu muss ich
vertrauter mit deiner Art zu rechnen sein.

> > Vielleicht ist der einzige Unterschied zwischen uns, dass fuer mich
> > alles schon da ist, waehrend es fuer dich "aus dem Stand" erzeugt wird.
>
> Eigentlich habe ich es oben schon gesagt, aber ich wiederhole es
> nochmal, weil das wahrscheinlich die Ursache der Differenzen ist:
> Ich sehe jede Theorie als Spekulation an, die sich nicht auf die
> erfahrbare Realitaet abbilden laesst. Bei unendlichen Mengen sehe
> ich nicht, auf welche realen Objekte sie abgebildet werden koennten.

Mit dieser "Spekulation" rechnet die Welt bisher sehr erfolgreich.
Es ist dein gutes Recht, nicht an alles im Gedankengebaeude der
Mathematik zu glauben.
Die Widersprueche, die du findest, entstehen - jedenfalls hab ich
das so mitbekommen - dadurch, dass du deine Axiome und Definitionen
mit den "spekulativen" vermischst.

Was meinst du mit "erfahrbarer Realitaet"? Was im Inneren von
Atomkernen passiert, kann ich nicht "erfahren", ebensowenig wie
die Vorgaenge in der Sonne.

[SL]

Dieter Jungmann wrote:

> Paul Ebermann schrieb:

> >
> > > [unendliche Mengen in der Realität]
>

> > Dies ist gerade eine der Charakteristiken unendlicher Mengen.
> > Eine Definition (alternativ auch als Satz aus anderen Definitionen
> > zu folgern) sagt:
> >
> > /---
> > |Jede Menge, die eine zu sich selbst bijektiv äquivalente echte
> > | Teilmenge enthält, heißt unendlich.
> > \---
> >
> > Und bei der Menge der natürlichen Zahlen ist
> > das doch gegeben:

> >...[Bsp f. Bij. removed]

>
>
> Du wiederholst bekannte Definitionen ohne auf mein Argument einzugehen.
> Meine Absicht ist es doch gerade, die Konsistenz dieser Definitionen
> zu ueberpruefen. Zu diesem Zweck stelle ich eine einfache Aufgabe, die
> sich im Ramen der Axiome der Theorie bewegt, und stelle fest, welche
> Antwort sich bei Anwendung der bekannten und an endlichen Mengen
> erprobten Logik ergibt. Dann stellt sich heraus, dass die Theorie
> eine dazu im Widerspruch stehende Antwort gibt. Normalerweise waere
> das der Beweis, das die Theorie nicht konsistent ist.
>
> Die stereotype Antwort auf dieses Problem lautet: Fuer unendliche
> Mengen gilt eben eine andere Logik. Aber allgemeingueltige Regeln
> fuer diese Logik (solche Regeln muesste es dann ja wohl geben) wurden
> nie genannt. Es handelt sich vielmehr um eine ad-hoc-Logik, bei der
> fallweise entschieden wird, was zulaessig oder richtig ist und was
> nicht. Alle unendlichen Mengen enthalten unendlich viele unbekannte
> und nicht benennbare Elemente, bekannt und ueberpruefbar ist nur eine
> endliche Anzahl von Elementen. Waeren alle Elemente bekannt und
> benennbar, haette man es definitionsgemaess mit einer endlichen
> Menge zu tun.

??????????? jedes beliebige n aus IN läßt sich wohl benennen oder kennt jemand
eines das nicht benannt werden kann?? Trotzdem ist i.a. | IN | > n f.a. n aus
IN.
'Bennennbarkeit' als 'Unendlichkeits'-Definition ??? Nun vor 200 Jahren ist wohl
ein Transistor kaum 'bennennbar' gewesen folglich war zumindest damals das
Universum unendlich ( ja sogar die Menge der Sachen die mit Silizium machbar
sind) und heute ...wer weiß schon was nicht benennbar ist , ist aber auch schwer
zu bennennen.(?)

Tja, 2^n < aleph_0 (=w<= w^n< aleph_1 ) f.a. n aus IN aber w (= omega) = | IN
| ist nicht in IN

[SL]

Christian Semrau wrote:

> Dieter Jungmann wrote:
> >
> > Christian Semrau schrieb:
>

> > > Etwas anderes will mir ebenfalls nicht in den Kopf:
> > > Wie kann die Anzahl der Elemente in einer endlichen Menge
> > > unbestimmt sein?
> >
> > Wenn niemand festlegt, wieviel Elemente die Menge enthalten soll, ist
> > die Anzahl doch unbestimmt, oder nicht? Es gibt nicht _Die_ Menge N
> > der natuerlichen Zahlen. Gerechnet wird immer mit konkreten
> > _endlichen_ Mengen. Es ist aber haeufig praktisch, sich nicht auf eine
> > bestimmte Menge von natuerlichen Zahlen festlegen zu muessen.
> > Eine Variable hat auch keinen bestimmten Wert. Nach meinem
> > Verstaendnis ist N eine Variable, welche die natuerlichen Zahlen
> > von 0 an aufwaerts enthaelt, ohne dass man sich darauf festlegen
> > muss, welches die groesste Zahl ist.
>
> Aha. N ist eine Variable... an die Vorstellung muss ich mich erstmal
> gewoehnen. Und die "moeglichen Werte" von N sind gerade die Mengen
> {0,...n} (n>=0) der ersten (n+1) natuerlichen Zahlen?
> Faszinierend.

'?' ist in der Tat faszinierend . Es lässt sich so nämlich die 'Endlichkeit'
von | IN | ableiten...

>
> Aber: (es geht nicht ohne ein aber...)
> Das wuerde mit meinem Verstaendnis von "Variable" kollidieren,
> nach dem eine Variable waehrend einer Berechnung stets denselben
> Wert beibehaelt. Gelten fuer N andere Regeln als fuer irgendein
> x el. N, das ich in einer Rechnung benutze?
>
> > > Ich gebe mal zwei naive Definitionen:
> > > Eine Menge heisst _endlich_, wenn es eine natuerliche Zahl gibt, welche
> > > die Anzahl ihrer Elemente angibt.
> > > Mengen, die nicht endlich sind, heissen _unendlich_.
> >
> > So ist die unendliche Menge meines Wissens tatsaechlich definiert.
> > Diese Definition sagt aber nicht, was eine unendliche Menge _ist_,
> > sondern was sie _nicht ist_. Das halte ich fuer zu schwammig. Auch
> > eine Menge, die gar nicht existiert, ist keine endliche Menge.
> > (Von der leeren Menge wird behauptet, dass sie existiert.)
> > Es waere also moeglich, dass man etwas definiert hat, was es gar
> > nicht gibt. Diese schwammige Definition ist ein wesentlicher Grund,
> > warum ich den Existenzbeweis vermisse.

Das gleiche gilt aber auch umgekehrt: Menge 'heißt' _unendlich_ falls kein n
aus IN existiert.... sonst _endlich_.

--> folglich ist 'endlich 'schwammig' und gar nicht existent . (???)

>

[Christian Semrau]

Hallo Detlef,

ich hab eine Frage zu deiner Argumentation.

Detlef Müller wrote:
>
> Annahme: IN Endlich.
>
> Wir haben die Addition von 1.
>
> Es geht die Abbildung n -> n+1
> von IN nach IN\{1}, eine echte
> Teilmenge von IN.
>
> Auf grund der Endlichkeit von IN kann
> sie dann nicht injektiv sein,

Kannst du bitte erklaeren, warum die Abbildung
hier nicht injektiv sein kann?

Du hast hier das Problem, dass die letzte
Zahl in der endlichen Menge keinen Nachfolger in
dieser Menge hat.

> also gibt es verschiedene Natuerliche Zahlen
> n,m mit n+1 = m+1.
> Es folgt n-m = 0.
> da nun darf man (wegen n ungleich m)
> druch n-m Teilen, und erhaelt
> 1=0, voila!

Diese Argumentation funktioniert so also nicht.
Aber nebenbei steht die Annahme einer "letzten Zahl"
im Widerspruch zu den Peano-Axiomen.
Genauso wie die Annahme, dass die "Menge der natuerlichen Zahlen"
eine endliche Menge mit _fester_ endlicher Maechtigkeit ist
(wie das fuer "normale" endliche Mengen ueblich ist)...

Ist jetzt alles widerspruechlich?!

*verwirrtbin*

[Christian Semrau]

SL wrote:

>
> Christian Semrau wrote:
>
> > Aha. N ist eine Variable... an die Vorstellung muss ich mich erstmal
> > gewoehnen. Und die "moeglichen Werte" von N sind gerade die Mengen
> > {0,...n} (n>=0) der ersten (n+1) natuerlichen Zahlen?
> > Faszinierend.
>
> '?' ist in der Tat faszinierend . Es lässt sich so nämlich die
> 'Endlichkeit' von | IN | ableiten...

Genau das ist das Ergebnis, zu dem Dieter kommt.
Also sind gibt es nur endlich viele natuerliche Zahlen.
Vermutest du darin einen Widerspruch, SL?

> > > > Ich gebe mal zwei naive Definitionen:
> > > > Eine Menge heisst _endlich_, wenn es eine natuerliche Zahl
> > > > gibt, welche die Anzahl ihrer Elemente angibt.
> > > > Mengen, die nicht endlich sind, heissen _unendlich_.
>

> Das gleiche gilt aber auch umgekehrt: Menge 'heißt' _unendlich_
> falls kein n aus IN existiert.... sonst _endlich_.
>
> --> folglich ist 'endlich 'schwammig' und gar nicht existent . (???)

Fuer die Menge M={2,3,5,7} laesst sich leicht bestimmen,
dass ein n aus N existiert... (naemlich 4),
also ist M nicht unendlich, also endlich.
Wo ist das schwammig und nicht existent?

[Stefan Loehnert]

Christian Semrau wrote:

> SL wrote:
> >
> > Christian Semrau wrote:
> >
> > > Aha. N ist eine Variable... an die Vorstellung muss ich mich erstmal
> > > gewoehnen. Und die "moeglichen Werte" von N sind gerade die Mengen
> > > {0,...n} (n>=0) der ersten (n+1) natuerlichen Zahlen?
> > > Faszinierend.
> >
> > '?' ist in der Tat faszinierend . Es lässt sich so nämlich die
> > 'Endlichkeit' von | IN | ableiten...
>
> Genau das ist das Ergebnis, zu dem Dieter kommt.
> Also sind gibt es nur endlich viele natuerliche Zahlen.
> Vermutest du darin einen Widerspruch, SL?
>

Hmmm -- ein wesentliches Merkmal der Natürlichen Zahlen ist die Gültigkeit
der Induktionsbedingung : gilt E( n) --> E(S(n)) so gilt E für alle n (
S = 'Nachfolger'-Operator , E = Eigenschaft)

Nun denn:
Ind. Anfang |{0}| = 1
Ind. Hyp: | {0,...,n}| = 1
n -->n+1 :
|{0,...,n+1}| = |{0,...,n} U {n+1}| und mit Ind.Hyp. ist dies
= |{0} U|{n+1}| = |{0,n+1}| da nun wiederum durch Ind.Hyp.
|{0,n+1}| <= | {0,...,n}| = 1 ist , ist die Kardinalität von IN =
1
Also ziemlich klar endlich . Das wir hier nur ein einelementiges
aber nichtsdestotrotz konsistentesUniversum haben sollte uns jetzt nicht
stören.
So nebenbei zeigt dies auch '0=1' .

>
> > > > > Ich gebe mal zwei naive Definitionen:
> > > > > Eine Menge heisst _endlich_, wenn es eine natuerliche Zahl
> > > > > gibt, welche die Anzahl ihrer Elemente angibt.
> > > > > Mengen, die nicht endlich sind, heissen _unendlich_.
> >
> > Das gleiche gilt aber auch umgekehrt: Menge 'heißt' _unendlich_
> > falls kein n aus IN existiert.... sonst _endlich_.
> >
> > --> folglich ist 'endlich 'schwammig' und gar nicht existent . (???)
>
> Fuer die Menge M={2,3,5,7} laesst sich leicht bestimmen,
> dass ein n aus N existiert... (naemlich 4),
> also ist M nicht unendlich, also endlich.
> Wo ist das schwammig und nicht existent?
>

Nun ich hät' hier statt ' ...existent .(???) ' besser gleich
'...existent????' schreiben sollen sowie 'Das gleiche gilt _dann_ aber auch
umgekehrt...'

>
> Gruss,
> Christian
>
> --
> Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
> Um auf die andere Seite - aehm...

...oder am Ende die Öffnung der Klein'schen Flasche zu finden ... :-)

Gruß Stefan

[Dieter Jungmann]

Paul Ebermann schrieb:
>
...

> > Das ist die Epsilon-Delta-Methode. Sie arbeitet _nicht_ mit unendlichen
> > Mengen, ihr Sinn ist es ja gerade diesen spekulativen Begriff zu
> > vermeiden. Deshalb darf epsilon beliebig klein aber nicht 0 werden.
> > Man naehert sich dem Grenzwert g also beliebig weit, vermeidet aber
> > den eigentlichen Grenzuebergang, bei dem man unendlich viele Glieder
> > der Folge ueberspringen muesste.
>
> Genau obige Definition habe ich als "Grenzwert" und "Konvergenz" gelernt.
> Bei endlichen Folgen (?) funktioniert das nicht - was soll eine endliche
> Folge sein?

Eine endliche Folge ist eine Abfolge von endlich vielen Elementen (z. B.
Zahlen). Ich verstehe aber deine Frage nicht. Es geht hier nur um die
Feststellung, dass der Grenzwert einer unendlichen Folge von einer
endlichen Teilfolge bestimmt wird.

>
> Wenn ich eine Folge gegeben habe, habe ich meist nicht nur einige Glieder
> am Anfang gegeben (dann ist das wirklich nicht beweisbar), sondern eine
> Bildungsvorschrift für alle Glieder der Folge, jeweils in Abhängigkeit
> ihres Indexes n. Und dann kann ich (mit der Voraussetzung n >= n0) für
> jedes Element überprüfen, dass der Abstand kleiner als ein vorgegebenes
> epsilon wird. Ich rechne dabei mit allen Elementen (ab einem Startindex).
> Was verlangst du mehr?

Genau so ist es. In einem oder einigen Gliedern am Anfang und einer
Bildungsvorschrift steckt die gesamte Information ueber die Folge,
also auch die Information ueber den Grenzwert. Die unendlich vielen
Glieder werden also nicht benoetigt, sie werden selbst aus dieser
Information abgeleitet. Deshalb braucht auch epsilon nicht null zu
werden, was gleichzeitig eine Bestaetigung dafuer ist, dass du eben
_nicht_ mit allen Elementen rechnest.

Auf mein Beispiel, in dem ich 2 Aussagen der Mengenlehre einander
gegenueberstelle, gehst du nicht naeher ein. Ich erspare mir daher
das umfangreiche Zitat, mit dem das posting unnoetig aufgeblaeht
wuerde. Dein ganzer Komentar besteht in dem Satz:

> Die Tatsache, dass du nur abzählbar viele Mengen vereinigt hast, ist mir
> nicht offensichtlich.

Was soll ich mit dieser Mitteilung anfangen? Die Tatsache, dass du sie
nicht begruendest, werte ich als Eingestaendnis, dass du den Widerspruch
nicht erklaeren kannst. Denn aus der Beschreibung, wie die Menge V_oo
gebildet wird, geht eindeutig hervor, dass es sich um abzaehlbar
unendlich viele Schritte handelt, in denen jeweils endliche Mengen
vereinigt werden.

>
> Für mich stellt eine Variable ein Symbol dar, dass im Verlauf einer
> Problemlösung ein beliebiges Element einer Menge enthalten kann,
> was sich aber in diesem Zeitraum nicht ändert. Anweisungen wie
> n := n+1,
> die in verschiedenen Programmiersprachen machbar sind, halte ich
> mathematisch nicht für sinnvoll. Ob ich hier mit der allgemein
> akzeptierten Fachmeinung übereinstimme, weiß ich nicht.

Die Anweisung ist keine Gleichung, das waere in der Tat Unsinn. Die
Anweisung bedeutet: Ersetze den Wert n der Variablen durch den
neuen Wert n+1. Fuer die weiteren Berechnungen gilt dann der neue
Wert. Warum sollte das nicht sinnvoll sein? Wenn waehrend des gesamten
Rechenvorgangs nur der Anfangswert der Variablen gelten duerfte, waere
es keine Variable sondern eine Konstante.

>
> > > Nun, das Unendlichkeitsaxiom gibt doch an, wie ich eine bestimmte Menge
> > > konstruieren kann. Und auf diese Menge wenden wir unsere Definition an:
> > > Siehe da, sie ist unendlich ...
> >
> > ??? Kannst du das naeher erklaeren, "wie ich eine bestimmte Menge
> > konstruieren" kann? Wenn du die Peano-Axiome meinst, die liefern nur
> > immer wieder endliche Mengen.
>
> Ich zitiere hier einmal aus dem dtv-Atlas zur MAthematik, Seite 29,
> axiomatischer Aufbau der Mengenlehre:
>
> |[...]
> | (8) Es existiert eine Menge X, so dass {} (leere Menge) Element
> | von X ist und für alle Mengen y gilt: Wenn y in X ist, so ist auch
> | (y vereinigt mit {y}) in X.

Das ist eine Anwendung der Peano-Axiome.

>
> Für diese Menge können wir anhand einer der Definitionen (such dir eine aus)
> nachweisen, dass sie unendlich ist.

Dieser Nachweis wuerde mich interessieren. Deine Muehe wird aber
vergeblich sein, denn wenn dieser Nachweis moeglich waere, waere
das Unendlichkeitsaxiom ueberfluessig.

Die Tatsache, dass trotz der Peano-Axiome ein eigenes Unendlichkeits-
Axiom noetig ist, bestaetigt, dass es mit den Peano-Axiomen nicht
moeglich ist, eine unendliche Menge zu konstruieren. Damit ist auch
bestaetigt, dass N nicht vollstaendig abzaehlbar ist. Denn wenn man
anfaengt, eine als existent vorausgesetzte unendliche Menge durch
Anwendung der Peano-Axiome abzuzaehlen, schiebt man eine nicht kleiner
werdende unendliche Menge von nicht abgezaehlten Elementen vor sich her.
Wenn N nicht abzaehlbar ist, sind auch alle bijektiv auf N abgebildeten
Mengen nicht abzaehlbar. Der Klaerung dieses Problems weichst du immer
noch aus.

>
> > Ein irrationaler Dezimalbruch hat abzaehlbar unendlich viele Ziffern.
> > Diese muessen sich also numerieren lassen. Nimmt man dazu die mengen-
> > theoretisch definierten Zahlen, dann ist der n-ten Ziffer eine mengen-
> > theoretische natuerliche Zahl (= Menge) mit n Elementen zugeordnet.
> > Um unendlich viele Dezimalziffern nummerieren (= zaehlen) zu koennen,
> > braucht man also auch Zahlen mit unendlich vielen Elementen.
>
> Nein - wir benötigen unendlich _viele_ Zahlen. Jede einzelne entspricht
> noch einer endlichen Menge.

Wieder nur eine Behauptung ohne Erklaerung oder Begruendung.

>
> > Die
> > unbeantwortete Frage nach diesem Widerspruch durchzieht diese Diskussion
> > wie ein roter Faden. Hauptsaechlich zur Klaerung dieser Frage wurde
> > dieser Thread gestartet. Wenn du dabei bleibst, dass keine natuerliche
> > Zahl unendlich viele Stellen hat, bedeutet das, dass nur endlich viele
> > natuerliche Zahlen abzaehlbar sind.
>
> Wenn du eine Obergrenze bei der Anzahl der stellen ziehen willst,
> geht das schief. Es gibt eine solche nicht - aber für jede einzelne
> natürliche Zahl ist die Anzahl der Ziffern klar angebbar.

Diese Aussage ist unvollstaendig. Korrekt waere:
... ist die Anzahl der Ziffern klar angebbar, solange man endliche
Teilmengen von N betrachtet.

Das muesste jetzt klar sein, nachdem ich oben die Bedeutung der
Tatsache erlaeutert habe, dass ausser den Peano-Axiomen noch ein
eigenes Unendlichkeits-Axiom noetig ist.

Noch eine andere Begruendung: Es besteht eine unaufloesbare Korrelation
zwischen der Anzahl n' der Elemente der Mengen (= Repraesentanten),
welche die natuerlichen Zahlen mengentheoretisch repraesentieren, und
den durch sie repraesentierten Zahlen. Der Repraesentant der Zahl n
enthaelt n' Elemente und es gilt n' = n. Die Aussage, dass N unendlich
ist, bedeutet den Grenzuebergang n --> oo. Also gilt auch n' --> oo,
denn wenn du den einen Grenzuebergang ausfuehrtst, den anderen aber
nicht, bedeutet das, dass N nicht abzaehlbar ist sondern nur endliche
Teilmengen von N. Ausserdem muesstest du dann den anderen Grenzwert
fuer n' angeben koennen.

Nach meinem Eindruck bringst du zwei Dinge durcheinander. Auf der einen
Seite ist die Rede von N, der unendlichen Menge _aller_ natuerlichen
Zahlen. Wenn nach der Stellenzahl dieser Zahlen gefragt wird, greifst
du eine _einzelne_, wenn auch beliebig waehlbare, Zahl heraus und sagst,
ihre Stellenzahl ist endlich. Dann gibt es aber noch unendlich viele
groessere Zahlen mit mehr Stellen und daran aendert sich nichts, solange
du eine Zahl mit endlich vielen Stellen herausgreifst. Die Frage, wie du
die unendlich vielen groesseren Zahlen darstellen willst, bleibt also
unbeantwortet.

>
> > Der unendliche Teil von N ist dann
> > nicht benennbar. Das wird auch durch die Paradoxien der 3 Experimente
> > mit den unendlich vielen Kugeln bestaetigt.
>
> Diese Paradoxien führe ich auf die Nicht-Durchführbarkeit der
> Experimente zurück.

Du weichst aus. Die Frage ist, _warum_ sind sie nicht durchfuehrbar?
Es handelt sich um Gedankenexperimente, bei denen die Kugeln die
Rolle der Repraesentanten der natuerlichen Zahlen uebernehmen und
das Unendlichkeitsaxiom als wahr vorausgesetzt wird. Die Nicht-
Durchfuehrbarkeit bestaetigt, dass das Unendlichkeitsaxiom eine
Spekulation ist, eine andere Erklaerung konnte bisher niemand geben.
Solche Gedankenexperimente sind ueblich, um die Konsistenz einer
Theorie zu testen. Die im Experiment auftretenden Probleme stimmen
mit den Phaenomenen ueberein, die sich vorhersagen lassen, wenn man
die Axiome der Mengenlehre konsequent zu Ende denkt.

Gruss

Dieter

PS: Die Einstellung "Quoted Printable" hat sich in meinen Tests als
die guenstigste erwiesen, es hat bisher auch keine Probleme damit
gegeben. Vor einer Umstellung moechte ich das erst noch einmal testen.
Es ist allerdings bekannt, dass einige news-reader damit Probleme haben.
Vielleicht liegt es an deinem Programm?

[Christian Semrau]

Hallo Dieter,

ueber Grenzuebergaenge magst du dich mit Paul unterhalten,
ich bin immer noch mehr interessiert an deinem Verstaendnis
vor allem der natuerlichen Zahlen.

Zuerst aber etwas ueber "Variablen":

Dieter Jungmann wrote:
>
> Paul Ebermann schrieb:
> >

> > Für mich stellt eine Variable ein Symbol dar, dass im Verlauf einer
> > Problemlösung ein beliebiges Element einer Menge enthalten kann,
> > was sich aber in diesem Zeitraum nicht ändert. Anweisungen wie
> > n := n+1,
> > die in verschiedenen Programmiersprachen machbar sind, halte ich
> > mathematisch nicht für sinnvoll. Ob ich hier mit der allgemein
> > akzeptierten Fachmeinung übereinstimme, weiß ich nicht.
>
> Die Anweisung ist keine Gleichung, das waere in der Tat Unsinn. Die
> Anweisung bedeutet: Ersetze den Wert n der Variablen durch den
> neuen Wert n+1. Fuer die weiteren Berechnungen gilt dann der neue
> Wert. Warum sollte das nicht sinnvoll sein? Wenn waehrend des gesamten
> Rechenvorgangs nur der Anfangswert der Variablen gelten duerfte, waere
> es keine Variable sondern eine Konstante.
>

Meine Meinung dazu:
In einem sauber gefuehrten mathematischen Beweis werden keine
Zuweisungen an dieselbe Variable vorgenommen, es stehen Gleichungen
oder Ungleichungen da.
Ausdruecke der Form x':=x/|x|
koennen als "Zuweisungen" interpretiert werden, sind aber nur
Gleichungen, durch die eine neue Variable definiert wird.
Eine Variable erhaelt _vor_ ihrer ersten Verwendung in der
Beweisfuehrung einen beliebigen Wert aus dem Grundbereich
aus dem sie stammen darf, und veraendert _waehrend_ der Benutzung
ihren Wert nicht.
Also sind Variablen im Beweis Konstanten, naemlich solche,
deren Wert beliebig, aber jedesmal fest ist.

Fuer praktische Rechnungen (vor allem Iterationen) mag es einfacher
sein, mit derselben Variable (und anderem Wert) weiterzurechnen,
als einen neuen Namen einzufuehren.

Nach dieser Festlegung muesstest du dich fuer einen Beweis,
der mit N arbeitet, auf eine konkrete Realisierung von N
(also eine der Mengen {0,...n}) festlegen,
und duerftest den Bereich den _dieses_ N umfasst,
nachtraeglich nicht mehr vergroessern.

Nach allgemeiner Auffassung sind Variablen in einer Berechnung eben
doch etwas anderes als Variablen einer Programmiersprache.

Die Unterscheidung zwischen "Variable" und "Konstante" sehe ich eher
als eine begriffliche als eine inhaltliche.
Aber ich lasse deine Verwendung der Variablen in deiner Weise zu,
bin jedoch noch der Meinung, dass man diese "Zuweisungen"
problemlos ersetzen kann durch eine neue Variable, die
dann im weiteren verwendet wird.
Also statt n := n+1 wuerde ich schreiben n_2 = n+1, und dann mit
n_2 weiterrechnen.

> > > > Nun, das Unendlichkeitsaxiom gibt doch an, wie ich eine
> > > > bestimmte Menge konstruieren kann.
> > > > Und auf diese Menge wenden wir unsere Definition an:
> > > > Siehe da, sie ist unendlich ...
> > >
> > > ??? Kannst du das naeher erklaeren, "wie ich eine bestimmte Menge
> > > konstruieren" kann? Wenn du die Peano-Axiome meinst, die liefern
> > > nur immer wieder endliche Mengen.
> >
> > Ich zitiere hier einmal aus dem dtv-Atlas zur MAthematik, Seite 29,
> > axiomatischer Aufbau der Mengenlehre:
> >
> > |[...]
> > | (8) Es existiert eine Menge X, so dass {} (leere Menge) Element
> > | von X ist und für alle Mengen y gilt: Wenn y in X ist, so ist
> > | auch (y vereinigt mit {y}) in X.
>
> Das ist eine Anwendung der Peano-Axiome.

Wenn diese Aussage nicht eine Folgerung von irgendwas ist, sondern
allein steht, dann denke ich, dass damit eher eine Version des
Unendlichkeitsaxioms gemeint ist, denn da steht ja die _Forderung
der Existenz_ dieser Menge.

> >
> > Für diese Menge können wir anhand einer der Definitionen (such
> > dir eine aus) nachweisen, dass sie unendlich ist.
>
> Dieser Nachweis wuerde mich interessieren. Deine Muehe wird aber
> vergeblich sein, denn wenn dieser Nachweis moeglich waere, waere
> das Unendlichkeitsaxiom ueberfluessig.

Ueber diese Menge X hast du dich bereits hier unterhalten, Dieter.
Ich sehe (8) als Axiom ihrer Existenz (genau das Unendlichkeitsaxiom).

Es laesst sich zeigen, dass diese Menge die _Definition des Begriffs
"unendlich"_ erfuellt.
Denn haette X nur endlich viele Elemente, und diese Anzahl ist n,
so ist mit den Benennungen
X_0 = {},
X_1 = {X_0},
X_2 = {X_0, X_1},
...,
X_(n-1) = {X_0, ... X_(n-2)}
jede der Mengen X_0, ... X_(n-1) in X enthalten (das sind genau n
Mengen), aber nach Definition von X ist auch
X_n = {X_0, ... X_(n-1)}
in X enthalten, und das ist eine (n+1)-te Menge, also hat X mehr
als n Elemente.
Die natuerliche Zahl n ist also - im Widerspruch zur Annahme -
nicht die Anzahl der Elemente von X.
Das heisst, die Annahme, dass X nur endlich viele Elemente enthaelt,
fuehrt zum Widerspruch zur Definition von "endlich".
Also kann X nicht endlich sein, und damit ist X eine unendliche Menge.

Was meinst du zu dieser Beweisfuehrung?
Bitte gib keinen "Gegenbeweis", sondern gehe auf diesen ein, Dieter!

> Die Tatsache, dass trotz der Peano-Axiome ein eigenes Unendlichkeits-
> Axiom noetig ist, bestaetigt, dass es mit den Peano-Axiomen nicht
> moeglich ist, eine unendliche Menge zu konstruieren.

Durch schrittweise Anwendung der Peano-Axiome ist es tatsaechlich
nicht moeglich, aus der leeren Menge in endlich vielen Schritten
eine unendliche Menge zu erhalten. Darin stimme ich mit dir ueberein.
Aber die Peano-Axiome beschreiben die Eigenschaften einer Menge,
die als existent vorausgesetzt wird durch das Unendlichkeitsaxiom,
welches ich in der Form (8) kennengelernt habe.

> Damit ist auch
> bestaetigt, dass N nicht vollstaendig abzaehlbar ist. Denn wenn man
> anfaengt, eine als existent vorausgesetzte unendliche Menge durch
> Anwendung der Peano-Axiome abzuzaehlen, schiebt man eine nicht kleiner
> werdende unendliche Menge von nicht abgezaehlten Elementen vor sich her.

Das 5. Peano-Axiom (Induktion) gerade, dass ich jedes Element der
Menge nach endlich vielen Schritten erreiche.
Das heisst nicht, dass ich in endlich vielen Schritten jedes Element
erreichen muss. Zwischen den beiden Aussagen besteht ein Unterschied,
erkennst du ihn?

> Wenn N nicht abzaehlbar ist, sind auch alle bijektiv auf N abgebildeten
> Mengen nicht abzaehlbar. Der Klaerung dieses Problems weichst du immer
> noch aus.

Ich persoenlich moechte vorerst bei den "Unendlichkeits-Eigenschaften"
von N bleiben.

> > > Wenn du dabei bleibst, dass keine natuerliche Zahl unendlich
> > > viele Stellen hat, bedeutet das, dass nur endlich viele
> > > natuerliche Zahlen abzaehlbar sind.
> >
> > Wenn du eine Obergrenze bei der Anzahl der stellen ziehen willst,
> > geht das schief. Es gibt eine solche nicht - aber für jede einzelne
> > natürliche Zahl ist die Anzahl der Ziffern klar angebbar.
>
> Diese Aussage ist unvollstaendig. Korrekt waere:
> ... ist die Anzahl der Ziffern klar angebbar, solange man endliche
> Teilmengen von N betrachtet.

Ich brauche hoechstens die endliche Menge aller natuerlichen Zahlen
kleiner-gleich n zu betrachten, um die Stellenzahl von n zu ermitteln.
Wozu benoetigst du unendliche Teilmengen von N, wenn du die Anzahl der
Ziffern einer natuerlichen Zahl angeben sollst?

Wir haben den Widerspruch zwischen der Endlichkeit jeder Zahl und der
Unendlichkeit der Menge aller Zahlen noch immer nicht geklaert.

Dieter, du schriebst am 01.05.2001, 21:12 noch in
"Unendlich viele Kugeln":
> es geht nicht um die Eigenschaften natuerlicher Zahlen. Diese sind
> hinreichend geklaert und ueber ihre mengentheoretische Definition
> hatten wir uns bereits geeinigt.

- Wir sind uns also einig, dass jede natuerliche Zahl eine endliche
Menge ist, die in endlich vielen Schritten durch Nachfolgerbildung
aus der leeren Menge erzeugt werden kann.
- Und wir sind uns einig, dass keine natuerliche Zahl ausreicht, um
die Anzahl aller natuerlichen Zahlen zu benennen.
- Wir sind uns auch ueber die Definition der "Menge der natuerlichen
Zahlen" einig (mit dem Unterschied, dass sie fuer mich alle schon
existieren waehrend du sie bei Bedarf konstruierst).
Deine "beliebig vermehrbare" Menge der natuerlichen Zahlen stimmt
so wie ich das sehe bis auf dieses Detail mit meiner
"bereits existenten" Menge der natuerlichen Zahlen ueberein.

Warum behauptest du dann weiterhin, dass es nur endlich
viele natuerliche Zahlen geben kann, oder es natuerliche Zahlen
geben muss, die ich nicht in endlich vielen Schritten durch
Nachfolgerbildung erzeugen kann?!
Ich bitte dich, erklaere mir deinen Gedankengang noch einmal,
so dass ich ihn hoffentlich irgendwann verstehe.
Und ich dir dann in deiner Sprache sagen kann, dass du dich irrst,
oder ich erkenne, dass unter deinen Annahmen tatsaechlich ein
Widerspruch besteht.

> Noch eine andere Begruendung: Es besteht eine unaufloesbare Korrelation
> zwischen der Anzahl n' der Elemente der Mengen (= Repraesentanten),
> welche die natuerlichen Zahlen mengentheoretisch repraesentieren, und
> den durch sie repraesentierten Zahlen. Der Repraesentant der Zahl n
> enthaelt n' Elemente und es gilt n' = n. Die Aussage, dass N unendlich
> ist, bedeutet den Grenzuebergang n --> oo.

Warum das? So wie ich das sehe, wird mit der Aussage "N ist unendlich"
nichts ueber die einzelnen n gesagt.

> Auf der einen
> Seite ist die Rede von N, der unendlichen Menge _aller_ natuerlichen
> Zahlen. Wenn nach der Stellenzahl dieser Zahlen gefragt wird, greifst
> du eine _einzelne_, wenn auch beliebig waehlbare, Zahl heraus und sagst,
> ihre Stellenzahl ist endlich.

Es gibt nicht die "Stellenzahl aller natuerlicher Zahlen". Die
Eigenschaft, Ziffern zu haben, bleibt den natuerlichen Zahlen
vorbehalten, die "Menge aller natuerlicher Zahlen" hat keine Ziffern,
also ist die Frage nach der "Anzahl der Ziffern aller natuerlicher
Zahlen" sinnlos, weil diese Anzahl nicht definiert ist.

Du bist aber damit einverstanden, dass jede natuerliche Zahl
endlich viele Stellen hat.
Es gibt - wie wir damals schon erkannt haben - keine Zahl, die sagt,
wieviele Stellen irgendeine natuerliche Zahl hoechstens hat.

Es ist wieder dasselbe wie oben beim 5. Peano-Axiom:
Fuer jede natuerliche Zahl n gibt es eine natuerliche Zahl s(n), die
die Stellenzahl von n angibt.
Aber:
Es gibt keine natuerliche Zahl S, die die Stellenzahl von jeder
natuerlichen Zahl angibt.

Bin fuer jeden Kommentar dankbar, der mit hilft, Dieters
Widerspruch zu verstehen.

[Hermann Kremer]

Dieter Jungmann schrieb in Nachricht <3AF8B5AC...@t-online.de>...
Paul Ebermann schrieb:
>
...

Hallo,

[ SNIP }

<> Für mich stellt eine Variable ein Symbol dar, dass im Verlauf einer
<> Problemlösung ein beliebiges Element einer Menge enthalten kann,
<> was sich aber in diesem Zeitraum nicht ändert. Anweisungen wie
<> n := n+1,
<> die in verschiedenen Programmiersprachen machbar sind, halte ich
<> mathematisch nicht für sinnvoll. Ob ich hier mit der allgemein
<> akzeptierten Fachmeinung übereinstimme, weiß ich nicht.
<
<Die Anweisung ist keine Gleichung, das waere in der Tat Unsinn. Die
<Anweisung bedeutet: Ersetze den Wert n der Variablen durch den
<neuen Wert n+1. Fuer die weiteren Berechnungen gilt dann der neue
<Wert. Warum sollte das nicht sinnvoll sein?

Es kann in einer _Programmiersprache_ sinnvoll sein. Mathematisch steht aber
die
Pascal-Anweisung

n := n + 1

für die Iterationsvorschrift

n[k+1] = n[k] + 1,

und damit bilden die n eine indizierbare (abzählbare) Folge. Nur dann,
wenn man die vorhergehenden Werte dieser Folge später niemals mehr braucht
(oder sie sich bei Bedarf wieder errechnen kann), ist die Anweisung n :=
n + 1 _programmiersprachlich_ sinnvoll, aber _mathematisch_ würde ich
"... definiere n als seinen eigenen Nachfolger ..." ebenfalls nicht für
sinnvoll halten

< Wenn waehrend des gesamten
<Rechenvorgangs nur der Anfangswert der Variablen gelten duerfte, waere
<es keine Variable sondern eine Konstante.

Ja, nur daß es sich bei dem n nicht um eine Variable, sondern um das
Element einer abzählbaren Folge handelt ...

[ SNIP ]

Gruß
Hermann
--

[Horst Kraemer]

On Wed, 09 May 2001 05:12:44 +0200, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

> Was soll ich mit dieser Mitteilung anfangen? Die Tatsache, dass du sie
> nicht begruendest, werte ich als Eingestaendnis, dass du den Widerspruch
> nicht erklaeren kannst. Denn aus der Beschreibung, wie die Menge V_oo
> gebildet wird, geht eindeutig hervor, dass es sich um abzaehlbar
> unendlich viele Schritte handelt, in denen jeweils endliche Mengen
> vereinigt werden.

Richtig. Und diese Menge V_oo hat die Kardinalitaet aleph_0. Du hast
ohne jeden Beweis behauptet, sie habe die Kardinalitaet

2^aleph_0

weil sie die abzaehlbare Vereinigung einer aufsteigenden Folge von
Mengen V_0, V_1,,,,V_n,... ist, die je die Kardinalitaet 2^n haben.

Mit anderen Worten: Du hast behauptet, dass die Vereinigungsmenge der
Folge

V_0 = {1}
V_1 = {1,2}
V_2 = {1,2,3,4}
V_3 = {1,2,3,4,5,6,7,8}
...

eine ueberabzaehlbare Menge ist. Solange Du dies nicht beweist, ist
kein Widerspruch erkennbar ?

MfG
Horst

> Die Tatsache, dass trotz der Peano-Axiome ein eigenes Unendlichkeits-
> Axiom noetig ist, bestaetigt, dass es mit den Peano-Axiomen nicht
> moeglich ist, eine unendliche Menge zu konstruieren.

Zu diesem Satz kann ich nicht Stellung nehmen, da ich nicht weiss, was
"konstruieren" bedeuten soll. Ein Axiomensystem allein sagt nie etwas
ueber die Existenz einer Menge aus, die das Axiomensystem erfuellt.
Die traditionelle Mengenlehre behauptet daher einfach: Es gibt eine
Menge, die die Peano-Axiome erfuellt - und diese Menge (modulo
Isomorphie) nennen wir "die Menge der natuerlichen Zahlen".

> Damit ist auch
> bestaetigt, dass N nicht vollstaendig abzaehlbar ist. Denn wenn man
> anfaengt, eine als existent vorausgesetzte unendliche Menge durch
> Anwendung der Peano-Axiome abzuzaehlen, schiebt man eine nicht kleiner
> werdende unendliche Menge von nicht abgezaehlten Elementen vor sich her.
> Wenn N nicht abzaehlbar ist, sind auch alle bijektiv auf N abgebildeten
> Mengen nicht abzaehlbar. Der Klaerung dieses Problems weichst du immer
> noch aus.

Das einzige Problem, das hier zu klaeren ist, ist die Tatsache, dass
fuer Dich der Begriff "abzaehlbar" etwas anderes bedeutet als in der
Mathematik.

Eine Menge M heisst abzaehlbar, wenn es eine bijektive Abbildung
zwischen der Menge der natuerlichen Zahlen und M gibt. Nichts anderes,
nichts mehr und nicht weniger.

Wenn dies nicht mit Deiner Auffassung von "abzaehlen" uebereinstimmt,
so ist dies zwar ein Fakt, nichtsdestoweniger werden wir immer
_unsere_ Definition von Abzaehlbarkeit verwenden. wenn von
"abzaehlbar" die Rede ist - zumindest so lange, bis Du uns in der
Sprache _unseres_ Systems mathematisch beweist, dass _unser_ System in
sich widerspruechlich ist. Dass es Deinem System widerspricht, wissen
wir - und daran wird niemand etwas aendern koennen.

> Noch eine andere Begruendung: Es besteht eine unaufloesbare Korrelation
> zwischen der Anzahl n' der Elemente der Mengen (= Repraesentanten),
> welche die natuerlichen Zahlen mengentheoretisch repraesentieren, und
> den durch sie repraesentierten Zahlen. Der Repraesentant der Zahl n
> enthaelt n' Elemente und es gilt n' = n. Die Aussage, dass N unendlich
> ist, bedeutet den Grenzuebergang n --> oo. Also gilt auch n' --> oo,
> denn wenn du den einen Grenzuebergang ausfuehrtst, den anderen aber
> nicht, bedeutet das, dass N nicht abzaehlbar ist sondern nur endliche
> Teilmengen von N. Ausserdem muesstest du dann den anderen Grenzwert
> fuer n' angeben koennen.

Du beziehst Dich hier wohl auf die Definition:

0 := {}
1 := {0}
2 := [0,1}
3 := {0,1,2}
...

N ist per Definitionem der Durchschnitt aller Mengen, die {} als
Element enthalten, und zu jedem Element x das Element x u {x}. (Dass
mindestens eine Menge mit dieser Eigenschaft existiert, wird per Axiom
gefordert).

Hier kommt nirgends der Begriff "Grenzuebergang" n->oo vor.
Insbesondere ist hier unbekannt, was das Symbol oo bedeuten soll.

Falls Du mit Deiner Grenzwertparaphrase andeuten wolltest, dass die
"Anzahl" der Elemente von N unendlich ist, andererseits aber kein
Element von N undlich viele Elemente hat, d.h. dass das obige N sich
_nicht_ selbst als Element enthaelt, so ist dies richtig.

Ich kann aber nicht erkennen, was Du mit der Festellung dieser
Tatsache begruenden moechtest. Diese Menge ist in voller Absicht so
konstruiert, dass sie selbst unendlich viele Elemente enthaelt, wobei
jedes ihrer Elemente aber eine endliche Menge ist. Genau das wollte
man naemlich haben: eine unendliche Menge von endlichen Anzahlen.
Du unterstellst dieser Menge allerdings immer wieder ohne jeden
mathematisch nachvollziehbaren Beweis, dass sie ein Element enthaelt,
das seinerseits eine unendliche Menge ist - mit anderen Worten, dass
sie sich selbst als Element enthaelt.

MfG
Horst

[Dieter Jungmann]

Hallo Christian,

ich habe etwas Muehe, die postings abzuarbeiten, aber ich "vergesse"
niemanden, der zu unserem Thema etwas beitraegt, wenn es auch ein
wenig dauert.

Jedes der Themen, die du angesprochen hast, waere eine eigene Diskussion
wert, aber das wuerde zu weit vom eigentlichen Thema wegfuehren.
Es ist gut, dass wir fuer einen ersten Ueberblick unsere Auffassungen
zu einigen grundsaetzlichen Fragen ausgetauscht haben, es waere aber
aussichtslos, darauf vorab eine endgueltige Antwort finden zu wollen.
Die Antwort auf solche Fragen kann allenfalls am Ende einer Diskussion
gegeben werden, wenn genuegend Erfahrungen mit konkreten Beispielen
gemacht wurden. Ich moechte mich daher vorerst ganz auf die beiden
Beispiele konzentrieren:

1) Maechtigkeit einer Menge mit 2^oo Elementen. Dazu habe ich aus den
Axiomen der Mengenlehre (nicht aus "meinen" Axiomen) im posting vom
7.5. 04:16 zwei Aussagen abgeleitet, die sich widersprechen. Kannst
du den Widerspruch aufloesen?

2) Abzaehlbarkeit von N oder die Frage, wie man mit endlich vielen
Dezimalstellen unendlich viele Zahlen darstellen kann. Das war der
Anlass fuer diesen Thread. Meine Auffasung zu dieser Frage habe ich
im posting vom 9.5. 05:12 an Paul Ebermann noch einmal klar formuliert.

Solange wir auf diese Fragen keine gemeinsame Antwort finden, haben
wir keine Grundlage fuer eine weitere Diskussion.

Ich gehe nachfolgend noch auf die Aussagen in deinem posting ein,
welche die zweite Frage unter einem bestimmten Blickwinkel beleuchten,
aber noch nicht beantworten.

>
> > Oder das Beispiel Hilberts Hotel: Alle Zimmer sind belegt.
> > Diese einfache Aussage kann wahr oder falsch sein. Es wird
> > vorausgesetzt, dass sie wahr ist.
>
> Genau, das soll der Ausgangszustand sein.
>
> > Trotzdem liefert die Theorie das Ergebnis, dass weitere Gaeste
> > untergebracht werden koennen.
>
> Korrekt, aber erst _nachdem_ alle Gaeste umgezogen sind, wodurch
> Zimmer frei werden.
> Ich frage mich gerade, ob deine "beliebig erweiterbaren" natuerlichen
> Zahlen die Eigenschaft haben, dass sie bijektiv auf eine echte
> Teilmenge abgebildet werden koennen, z.B. auf IN\{0}.

Natuerlich _nicht_. Ich halte die Bijektionen zwischen unendlichen
Mengen fuer spekulative Operationen, weil tatsaechlich nur endliche
Teilmengen aufeinander abgebildet werden, waehrend die unendlich vielen
unbekannten Elemente nur als Spekulationsmasse dienen. Diese Frage wird
sich mit der Antwort auf das obige Beispiel 2) von selbst klaeren.

>
> > Ist das kein Widerspruch?
>
> Im Ausgangzustand ist jedes Zimmer belegt, wenn also niemand der
> vorhandenen Gaeste sich bewegt, passt kein weiterer rein.
> Nach dem "Umzug" (per Bijektion) ist ein Zimmer frei.
> Der Widerspruch liegt also darin, dass N glm. einer echten Teilmenge
> sein soll, oder?

So ist es. Beim "Umzug" per Bijektion werden die Gaeste nach hinten
durchgeschoben, bis einer im Dunkel der Unendlichkeit verschwindet.
Warum ist dieses umstaendliche Manoever ueberhaupt noetig? Warum
wird nicht gleich der neue Gast nach hinten in die Unendlichkeit
durchgeschoben? Sind seine Aussichten, ein leeres Zimmer zu finden,
geringer als fuer einen bereits einquartierten Gast? Aber wie gesagt,
die Antwort ist in der Antwort auf Beipiel 2) enthalten, versuchen
wir also zuerst dieses zu klaeren.

Mein Vorschlag, N als Variable aufzufassen, scheint dich sehr zu
irritieren:

>
> Aha. N ist eine Variable... an die Vorstellung muss ich mich erstmal
> gewoehnen. Und die "moeglichen Werte" von N sind gerade die Mengen
> {0,...n} (n>=0) der ersten (n+1) natuerlichen Zahlen?
> Faszinierend.
> Aber: (es geht nicht ohne ein aber...)
> Das wuerde mit meinem Verstaendnis von "Variable" kollidieren,
> nach dem eine Variable waehrend einer Berechnung stets denselben
> Wert beibehaelt. Gelten fuer N andere Regeln als fuer irgendein
> x el. N, das ich in einer Rechnung benutze?

In Berechnungen kommt N ueberhaupt nicht vor, weil man nicht mit allen
Zahlen gleichzeitig rechnen kann. In Anwendungen wird mit konkreten
Zahlen gerechnet, in symbolischen Rechnungen muessen entsprechende
Variablen eingefuehrt werden. "N" kommt in Ausdruecken vor wie
"a Element aus N". Hier ist a eine Variable, die eine beliebige
natuerliche Zahl sein kann. Statt "a Element aus N" koennte man
auch sagen "a sei eine natuerliche Zahl". Der Begriff "N" ist also
eigentlich ueberfluessig. Nachdem er aber in der Mengenlehre eingefuehrt
ist, muss man sich damit auseinandersetzen, welche Bedeutung er
insbesondere zusammen mit dem Unendlichkeitsaxiom hat. Ob die Bezeich-
nung "Variable" fuer N zweckmaessig ist, kann man bezweifeln. Ich habe
den Ausdruck gewaehlt, um von "unendliche Menge" wegzukommen. Gegen
die Bezeichnung "Menge" haette ich ohne den Zusatz "unendliche" nichts
einzuwenden. Auch hierauf werden wir die endgueltige Antwort erst
finden, wenn wir uns auf die Antwort auf Beispiel 2) geeinigt haben.

Gruss

Dieter

[Dieter Jungmann]

Horst Kraemer schrieb:

>
> On Mon, 07 May 2001 04:16:54 +0200, Dieter Jungmann
> <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>
> > So wie du argumentierst, wirst du wahrscheinlich auch den folgenden

> > Widerspruch nicht anerkennen. Ich stelle 2 Aussagen der Mengenlehre

> > einander gegenueber:
>
> > Aussage 1: Eine Menge mit 2^oo Elementen hat die Maechtigkeit aleph 1,

> > wenn der Exponent oo die Maechtigkeit aleph 0 hat.
>
> > Eine solche Menge laesst sich folgendermassen konstruieren:
> > Schritt 1: Bilde die Vereinigungsmenge V_1 von 2 Mengen, die nur je

> > 1 Element enthalten. Die beiden Elemente seien verschieden,

> > damit nicht bei der Vereinigung infolge des Extensionalitaets-

> > axioms ein Element verloren geht. Entsprechendes gilt auch fuer

> > alle folgenden Schritte. V_1 enthaelt 2 Elemente.

> > Schritt 2: Bilde V_2 als Vereinigungsmenge von V_1 mit einer anderen Menge

> > die genau so viel Elemente enthaelt, wie V_1. V_2 enthaelt

> > 2^2 Elemente.
> > ...
> > Schritt n: Bilde V_n als Vereinigungsmenge von V_(n-1) mit einer Menge, die

> > ebenfalls 2^(n-1) Elemente enthaelt. V_n enthaelt 2^n Elemente.
> > ...

> > so weiter bis n = oo. Man erhaelt die Menge V_oo mit 2^oo Elementen,

> > Maechtigkeit von oo ist aleph 0.

>
> Nein. Eine solche Menge laesst sich nicht *so* konstruieren.

Behauptung. Begruendung? Wie konstruierst du eine solche Menge? s. u.

>
> > Es gilt folgender Satz:
> > Die Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge abzaehlbar

> > unendlicher (und erst recht endlicher) Mengen ist abzaehlbar unendlich

> > Daraus folgt

> > Aussage 2: Da V_oo die Vereinigungsmenge von abzaehlbar vielen endlichen

> > Mengen ist, hat sie nach vorstehendem Satz die Maechtigkeit

> > aleph 0, obwohl die Anzahl ihrer Elemente 2^oo betraegt, und

> > oo ebenfalls die Maechtigkeit aleph 0 hat.
>
> > Nach meinem Verstaendnis stehen die beiden Aussagen im Widerspruch und

> > beweisen, dass das Begriffsystem der Mengenlehre nicht konsistent ist.
>

> Der "Widerspruch" entsteht dadurch, dass Du faelschlicherweise
> annimmst, dass die Vereinigungsmenge von abzaehlbar vielen Mengen, die
> jeweils die Maechtigkeit 2^0,2^1,2^2,2^3,.... haben und von denen die
> naechste jeweils die vorige als Teilmenge enthaelt, die Maechtigkeit
> 2^aleph_0 alias 2^|N| habe.

Das nehme ich nicht an. Ich stelle nur fest, dass die Menge V_oo 2^oo
Elemente enthaelt und oo die Maechtigkeit aleph_0 hat. Das duerfte
unbestreibar sein. Dann erst stellt sich die Frage nach der
Maechtigkeit dieser Menge. Dabei stellt sich heraus, dass sie nach
dem zitierten Satz der Mengenlehre die Maechtigkeit aleph_0 hat,
waehrend sie nach Aussage 1 die Maechtigkeit aleph_1 haben muesste.

> Die Vereinigungsmenge einer strikt
> aufsteigenden Folge von endlichen Mengen hat immer die Maechtigkeit
> aleph_0.

In diesem Punkt sind wir uns also einig.

>
> Entscheidend dabei ist der Begriff "Folge". Eine Folge ist etwas, was
> einen Anfang hat, zu jedem Element einen eindeutig definierten
> Nachfolger hat, so dass keine zwei Elemente denselben Nachfolger
> haben, und bei der jedes Element in endlich vielen Schritten aus dem
> Anfangselement hergestellt werden kann.

"_jedes_ Element in endlich vielen Schritten" ...? Das waere eine
endliche Folge. Ausserdem koennte ich dir viele Folgen nennen,
in denen verschiedene Elemente denselben Nachfolger haben. Aber
streiten wir hier nicht um diese Frage.

Du nimmst offensichtlich Anstoss an der Tatsache, dass sich die
Konstruktion von V_oo als Folge von Mengen darstellen laesst.
Wenn der zitierte Satz der Mengenlehre, der auch die Vereinigung
von abzaehlbar unendlich vielen Mengen zulaesst, einen Sinn haben
soll, muss dies moeglich sein. Denn die Elemente jeder abzaehlbar
unendlichen Menge lassen sich als Folge darstellen, das ist Voraus-
setzung fuer ihre Abzaehlbarkeit. Ausserdem laesst sich eine Folge
von Mengen bilden, die 1, 2, 3, ... Elemente der gegebenen Grundmenge
enthalten. Es laesst sich auch eine Folge von Mengen bilden, die
1, 2, 4, ..., 2^n, ... Elemente enthalten. Die einzelnen Mengen
dieser Folge lassen sich sogar so auswaehlen, dass alle Mengen
paarweise verschiedene Elemente der Grundmenge enthalten. Diese
Folge sei F genannt. Jedes Glied von F ist Element der Potenzmenge
der Grundmenge. Es muss doch erlaubt sein, beliebige Glieder der
Potenzmenge zu einer neuen (auch einer unendlichen) Menge
zusammenzufassen?

Wir betrachten nun nicht die Menge der Mengen von F sondern die
Menge E der Elemente der Mengen von F. E hat 2^oo Elemente. Da
E identisch mit der Grundmenge ist, aus der F gebildet wurde,
muss E die Maechtigkeit aloph_0 haben. Das stimmt auch mit dem
zitierten Satz der Mengenlehre ueberein. Daraus folgt aber, dass
die Aussage 1, dass eine Menge mit 2^oo Elementen die Maechtigkeit
aloph_1 hat, wenn oo die Maechtigkeit aloeph_0 hat, nicht haltbar
ist. Der Widerspruch folgt unvermeidlich aus der Maechtigkeits-
definition mit Hilfe der Bijektionen.

Du schreibst

> Die Vereinigungsmenge einer strikt
> aufsteigenden Folge von endlichen Mengen hat immer die Maechtigkeit
> aleph_0.

Ich erinnere dich daran, dass du im Zusammenhang mit der Cantor-Menge
selbst eine solche Menge konstruiert und behauptet hast, dass sie
die Maechtigkeit aleph_1 hat. Ich zitiere aus deinem posting vom
23.2.2001 09:29 GMT in dem Thread "Cantor und die rationalen Zahlen":

> Fuer derartige "Pseudo-Grenzprozesse" gibt es viele Beispiele. Einer
> der erfindungsreichsten, von dem ich gehoert habe, war ein Argument
> eines sci.math-Lesers, der beweisen wollte, dass die CANTOR-Menge
> abzaehlbar ist.
>
> Beim iterativen Entfernen der jeweiligen offenen "Mitte" aus den im k.
> Schritt aus [0,1] entstehenden Menge disjunkter abgeschlossener
> Intervalle entsteht eine Folge M_k von Intervallmengen:
>
> M_k enthaelt jeweils 2^k disjunkte abgeschlossene Intervalle der
> Laenge 1/3^k.
>
> Die Vereinigung alle Elemente von M_k+1 ist Teilmenge der Vereinigung
> aller Elemente von M_k.
>
> Die jeweils endlich vielen Intervalle ziehen sich bei wachsendem k im
> Gleichschritt auf einen Punkt zusammen. Also ist die "Grenzmenge" M_oo
> eine abzaehlbare Menge von Einzelpunkten.
>
> Abzaehlbar deswegen, weil die Grenzanzahl von jeweils endlich vielen
> Dingen abzaehlbar unendlich ist und Einzelpunkte deswegen, weil sich
> die Intervalle an der "Grenze" auf einen Punkt zusammengezogen haben.
>
> Der Teilungsprozess laesst sich formal in einem binaeren Baum
> veranschaulichen
>
> o
> o o
> o o o o
> o o o o o o o o
> ......................
>
> Jeder Knoten (Intervall) teilt sich im naechten Schritte in einen
> rechts- und eine links-Knoten (Intervall) auf. Der Poster hat nicht
> beruecksichtigt, dass die Menge der "Grenzintervalle" durch saemtliche
> absteigende von der Baumwurzel ausgehende unendlich lange Pfade
> repraesentiert wird. Obwohl dieser unendliche Baum insgesamt
> abzaehlbar viele Elemente enthaelt, gibt es ueberabzaehlbar viele
> Pfade innerhalb dieses Baums. Je zwei verschiedene Pfade trennen sich
> jeweils bei einer bestimmten Schicht Nummer k.
>
> Also enthaelt die "Grenzschicht" der Schichten mit jeweils endlich
> vielen Elementen ueberabzaehlbar viele Elemente, wenn man sie sich als
> Menge aller verschiedene Pfade vorstellt. Soviel zu ueber den Daumen
> gepeilten "Grenzwert"-Argumenten...

Die Cantor-Menge ist nicht die Menge der Pfade sondern die Menge der
Intervalle, die am Ende entstanden sind. (Ausserdem sind die Pfade
eindeutig bestimmt, zu jedem "Grenzintervall" gibt es genau einen
Pfad, der zur Wurzel zurueckfuehrt. Aber das ist ohnehin ohne Belang.)

Da die Existenz der Cantor-Menge vorausgesetzt wird, muss der
unendliche Teilungsprozess (wie auch immer) zu einem Abschluss
kommen. Bei jedem Schritt verdoppelt sich die Anzahl der Elemente
von M_k. Die Konstruktion ist eine Variante meiner Konstruktion.
Nach abzaehlbar unendlich vielen Schritten enthaelt M_oo 2^oo
Elemente, also genau so viele wie V_oo. Man kann die beiden
Konstruktionen schrittweise parallel ablaufen lassen. Trotzdem
schreibst du der Menge M_oo die Maechtigkeit aleph_1 und der
Menge V_oo die Maechtigkeit aleph_0 zu. Ich muss also meine Liste
der ad-hoc-Entscheidungen um ein Beispiel verlaengern.

Der Clou kommt aber noch. Wir berachten die Mengen B_k, welche die
herausgeschnittenen Intervalle enthalten. Die Anzahl ihrer Elemente
ist die Summe aller in den vorangegangenen Schritten herausgeschnittenen
Intervalle. Nach dem Schritt k enthaelt M_k 2^k und B_k (2^k) - 1
Elemente, also nur ein Element weniger als M_k. Folglich hat auch
B_oo nach dem Grenzuebergang die Maechtigkeit aleph_1. Die Intervalle
von B_oo enthalten aber unendlich viele rationale Zahlen. Es reicht,
wenn man annimmt, dass jedes Intervall nur _eine_ rationale Zahl
(z. B. den Mittelpunkt des Intervalls) enthaelt. Da B_oo die
Maechtigkeit aleph_1 hat, ist also die Menge der rationalen Zahlen
ueberabaehlbar!

Die Elemente der M_k sind abgeschlossene Intervalle. Die Endpunkte
dieser Intervalle sind ausnahmslos rationale Zahlen und bleiben bei
den weiteren Teilungen erhalten. Jedes Element von M_k enthaelt also
mindestens 2 rationale Zahlen. Da die Maechtigkeit von M_oo aleph_1
ist, enthaelt also auch M_oo ueberabzaehlbar viele rationale
Zahlen.

Ich bin gespannt, welche neue ad-hoc-Hypothese dir einfaellt, um
dich aus diesem Widerspruch herauszuwinden.

>
> > Der Schluss ist wohl etwas voreilig, denn sooft du die Peano-Axiome

> > auch anwendest, du erhaelst immer nur eine neue endliche Menge, die

> > ein Element mehr enthaelt als die vorhergehende. Wo faengt also die

> > unendliche Menge an?
>
> Soweit ich mich erinnere, hattest Du in dem damaligen Thread
> akzeptiert, dass "unsere" Mengenlehre auf dem Axiom beruht, dass es
> eine Menge *gibt*, die 0 und zu jedem Element n den eindeutig
> definierten Nachfolger von n *enthaelt* - die also nicht "schrittweise
> konstruiert" wird, sondern in der bereits alles konstruierbare "da
> ist". Die Peano-Axiome konstruieren also nicht "immer wieder endliche
> Mengen". Sie geben die Eigenschaften einer per Axiom als existent
> vorausgesetzten Menge wieder. Dies ist ein wesentlicher Unterschied.

Bei genauer Lektuere haettest du bemerken koennen, dass ich hier das
Unendlichkeitsaxiom voraussetze. Die Anwendung der Peano_Axiome teilt
die als existent vorausgesetzte unendliche Menge in zwei Teile: einen
endlichen Teil, der sich in _endlich_ vielen Schritten, wie du oben
selbst noch einmal betont hast, erreichen laesst und den man daher als
abzaehlbar bezeichnen kann, und einen unendlichen Teil, der auf diese
Weise nicht erreichbar ist. Die Definition der Abzaehlbarkeit beliebiger
Mengen durch Bijektion auf N ergibt erst Sinn, wenn geklaert ist, was
abzaehlbar fuer N bedeutet.

>
> Wir verlangen nicht, dass Du persoenlich dieses Axiom akzeptierst -
> aber es bringt nichts Neues, wenn wir immer nur davon hoeren, dass
> Deine Auffassung nicht mit unserer Auffassung vereinbar ist. Dies ist
> uns bekannt.

Dass du es nicht ertragen kannst, dass jemand eine eigene Meinung hat
und diese auch noch (welche Frechheit!) verteidigt, hast du bereits
mehrmals zu erkennen gegeben. Ich wueste nur gern, was du unter einer
Diskussion verstehst, wenn du voraussetzt, dass Alle bedingungslos
deine Meinung uebernehmen. Dieser Thread ist nicht auf meinen Wunsch
hin eroeffnet worden und er existiert gerade deshalb, weil ich eine
eigene Meinung habe.

MfG

Dieter

[Norbert Micheel]

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
news:3AFB23C4...@t-online.de...

> Horst Kraemer schrieb:
> >
> > On Mon, 07 May 2001 04:16:54 +0200, Dieter Jungmann
> > <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
> >
> >
> >
> > Entscheidend dabei ist der Begriff "Folge". Eine Folge ist etwas, was
> > einen Anfang hat, zu jedem Element einen eindeutig definierten
> > Nachfolger hat, so dass keine zwei Elemente denselben Nachfolger
> > haben, und bei der jedes Element in endlich vielen Schritten aus dem
> > Anfangselement hergestellt werden kann.
>
> "_jedes_ Element in endlich vielen Schritten" ...? Das waere eine
> endliche Folge. Ausserdem koennte ich dir viele Folgen nennen,
> in denen verschiedene Elemente denselben Nachfolger haben. Aber
> streiten wir hier nicht um diese Frage.

Sorry, aber das ist KEINE endliche Folge !
Genau da liegt das Verstaendnis-Problem.

Und obwohl du nicht streiten willst:
In der Folge a_k:=1 (k \in N) hat a_n einen eindeutig definierten
Nachfolger - naemlich a_n+1 !
Es geht um die Folgenglieder - nicht um einen Wert den sie haben.

> Bei genauer Lektuere haettest du bemerken koennen, dass ich hier das
> Unendlichkeitsaxiom voraussetze. Die Anwendung der Peano_Axiome teilt
> die als existent vorausgesetzte unendliche Menge in zwei Teile: einen
> endlichen Teil, der sich in _endlich_ vielen Schritten, wie du oben
> selbst noch einmal betont hast, erreichen laesst und den man daher als
> abzaehlbar bezeichnen kann, und einen unendlichen Teil, der auf diese
> Weise nicht erreichbar ist.

? ? ?
Wenn es eine Menge gibt, die die Peano-Axiome erfuellt, nennen wir sie mal
die natuerlichen Zahlen, dann laesst sich jedes Element "erreichen" ! Oder
kannst du mir ein Element nennen, das man nicht in endlichvielen Schritten
erreicht ?

> Die Definition der Abzaehlbarkeit beliebiger
> Mengen durch Bijektion auf N ergibt erst Sinn, wenn geklaert ist, was
> abzaehlbar fuer N bedeutet.

Du verstehst die Reihenfolge nicht !
Man hat N mit all seinen Eigenschaften.
Man definert "Abzaehlbarkeit" als Bijektion auf diese Menge N.
Weil es genau die Eigenschaften von N sind, die eine Menge haben soll, damit
man sie als "abzaehlbar" ansieht.

> >
> > Wir verlangen nicht, dass Du persoenlich dieses Axiom akzeptierst -
> > aber es bringt nichts Neues, wenn wir immer nur davon hoeren, dass
> > Deine Auffassung nicht mit unserer Auffassung vereinbar ist. Dies ist
> > uns bekannt.
>
> Dass du es nicht ertragen kannst, dass jemand eine eigene Meinung hat
> und diese auch noch (welche Frechheit!) verteidigt, hast du bereits
> mehrmals zu erkennen gegeben. Ich wueste nur gern, was du unter einer
> Diskussion verstehst, wenn du voraussetzt, dass Alle bedingungslos
> deine Meinung uebernehmen. Dieser Thread ist nicht auf meinen Wunsch
> hin eroeffnet worden und er existiert gerade deshalb, weil ich eine
> eigene Meinung habe.

Ich glaube keiner hat hier was gegen eigene Meinung.

Du behauptest in unserem "Axiomen-System" bestaende ein Widerspruch.
Das ist entweder wahr oder falsch.
Um diesen aufzuzeigen, muesstest du dich nur auf dieselbigen stuetzen.
Mit Meinung hat das nichts zu tun.

Du kannst eine Meinung haben, ob "unser" Axiomen-System genuegend nahe an
Wirklichkeit ist oder vielleicht andere Theorien genuegend gut unterstuetzt.

Aber dIe Axiome kollidieren nur mit deiner Anschauung.
Und ich verstehe nicht, was daran so schwer zu akzeptieren ist.

>
> MfG
>
> Dieter

[Horst Kraemer]

On Fri, 11 May 2001 01:27:00 +0200, Dieter Jungmann
<dtr.ju...@t-online.de> wrote:

> Ich bin gespannt, welche neue ad-hoc-Hypothese dir einfaellt, um
> dich aus diesem Widerspruch herauszuwinden.

Gestatte bitte, dass ich mich nach dieser dummdreisten und arroganten
Bemerkung aus der von meiner Seite bisher in einem guten Dutzend von
Postings in imho hoeflicher Form gefuehrten Diskussion entferne.

[Paul Ebermann]

[...]

> > > > Nun, das Unendlichkeitsaxiom gibt doch an, wie ich eine bestimmte Menge
> > > > konstruieren kann. Und auf diese Menge wenden wir unsere Definition an:
> > > > Siehe da, sie ist unendlich ...
> >
> > > ??? Kannst du das naeher erklaeren, "wie ich eine bestimmte Menge
> > > konstruieren" kann? Wenn du die Peano-Axiome meinst, die liefern nur
> > > immer wieder endliche Mengen.
> >
> > Ich zitiere hier einmal aus dem dtv-Atlas zur MAthematik, Seite 29,
> > axiomatischer Aufbau der Mengenlehre:
> >
> > |[...]
> > | (8) Es existiert eine Menge X, so dass {} (leere Menge) Element
> > | von X ist und für alle Mengen y gilt: Wenn y in X ist, so ist auch
> > | (y vereinigt mit {y}) in X.
>
> Das ist eine Anwendung der Peano-Axiome.
>

Das ist _keine_ Anwendung der Peano-Axiome. Die Peano-Axiome beschreiben
Eigenschaften der Menge der natürlichen Zahlen - das von mir zitierte
Unendlichkeitsaxiom stellt sicher, dass es eine unendliche Menge (in
der reinen Mengenlehre) gibt.

Noch einmal zur Klarheit: (8) _ist_ das Unendlichkeitsaxiom
der Mengenlehre.

> > Für diese Menge können wir anhand einer der Definitionen (such dir eine aus)
> > nachweisen, dass sie unendlich ist.
>
> Dieser Nachweis wuerde mich interessieren. Deine Muehe wird aber
> vergeblich sein, denn wenn dieser Nachweis moeglich waere, waere
> das Unendlichkeitsaxiom ueberfluessig.

Das Unendlichkeitsaxiom ist damit nicht überflüssig, denn sonst
wissen wir ja nicht, ob diese Menge wirklich existiert.

Ich nehme hier einmal das Teilmengenkriterium.
Betrachte eine Menge X, die die leere Menge {} enthält und zu
jeder Menge A auch die Menge A 'vereinigt mit' { A } enthält.
Nach dem Unendlichkeitsaxiom existiert diese Menge.

Nun können wir eine Injektion f : X -> X finden durch
f(A) := A 'vereinigt mit' { A },
Diese Abbildung ist injektiv, denn jede Menge, die sich als
A 'vereinigt' { A } darstellen lässt, lässt sich nicht
als B 'vereinigt' { B } darstellen, falls B <> A.
Das Bild im(f) ist eine echte Teilmenge von X, denn
{} ist kein Element von im(f).
Damit haben wir eine Bijektion f : X -> im(f), die
die Menge X bijektiv auf eine echte Teilmenge abbildet.
Also ist X unendlich.

> Die Tatsache, dass trotz der Peano-Axiome ein eigenes Unendlichkeits-
> Axiom noetig ist, bestaetigt, dass es mit den Peano-Axiomen nicht
> moeglich ist, eine unendliche Menge zu konstruieren. Damit ist auch
> bestaetigt, dass N nicht vollstaendig abzaehlbar ist. Denn wenn man
> anfaengt, eine als existent vorausgesetzte unendliche Menge durch
> Anwendung der Peano-Axiome abzuzaehlen, schiebt man eine nicht kleiner
> werdende unendliche Menge von nicht abgezaehlten Elementen vor sich her.
> Wenn N nicht abzaehlbar ist, sind auch alle bijektiv auf N abgebildeten
> Mengen nicht abzaehlbar. Der Klaerung dieses Problems weichst du immer
> noch aus.

Das Unendlichkeitsaxiom der Mengenlehre ist total unabhängig
von den Peanoaxiomen. Wir können uns die natürlichen Zahlen
aus Mengen konstruieren, dann ergeben sich die Peanoaxiome
als Sätze - und auch die Unendlichkeit von N.
Alternativ können wir die Peanoaxiome vorraussetzen -
dann können wir mit den natürlichen Zahlen genauso arbeiten,
und - wie ich schon gezeigt habe - ist N auch dann unendlich
(enthält also bijektiv äquivalente Teilmengen).

Paul

PS: Ich habe jetzt nur diesen Aspekt herausgepickt, zu den
anderen Behauptungen nehme ich auch noch Stellung, aber ich
muss bald los, zur Vorlesung. Ich habe am Montag schon eine
Vorlesung verpasst ...

[Norbert Micheel]

"Klaus Schmidt" <k.sc...@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag
news:p89nftcjpod885d1m...@4ax.com...
"Norbert Micheel" <N.mi...@gmx.de>:

>>? ? ?
>>Wenn es eine Menge gibt, die die Peano-Axiome erfuellt, nennen wir sie mal
>>die natuerlichen Zahlen, dann laesst sich jedes Element "erreichen" ! Oder
>>kannst du mir ein Element nennen, das man nicht in endlichvielen Schritten
>>erreicht ?

>Wie wär's mit dem letzten Zimmer im voll belegten Hilbertschen Hotel?
>Kannst du das letzte Zimmer benennen, das verlassen wird, um Platz für
>den neuen Gast zu schaffen? Wie lauten die endlich vielen Schritte
>dahin?

Was fuer ein Elemnet soll das sein ? "das letzte" ?
Wenn es eines gaebe, waere es nicht Hilberts Hotel.

[Wolfgang Thumser]

Hallo Klaus,

> >Was fuer ein Elemnet soll das sein ? "das letzte" ?
> >Wenn es eines gaebe, waere es nicht Hilberts Hotel.
>

> Das frage ich dich. Du willst doch alle Zimmer in endlich vielen
> Schritten erreichen.

Was haelst Du von folgender Konversation?

A: Lass uns zunaechst alle Schachfiguren auf's Brett stellen.
B : Auch den Buben?
A: Was fuer eine Schachfigur soll das denn sein?
B: Das frage ich dich. Du willst doch alle Schachfiguren
auf's Brett stellen!

SCNR
Gruss Wolfgang

--
Wolfgang Thumser
Universität Bielefeld
Fachbereich Mathematik
email: thu...@mathematik.uni-bielefeld.de

[Norbert Micheel]

"Klaus Schmidt" <k.sc...@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag

news:00nnfts94j4dcvsh7...@4ax.com...

>>>Wie wär's mit dem letzten Zimmer im voll belegten Hilbertschen Hotel?
>>>Kannst du das letzte Zimmer benennen, das verlassen wird, um Platz für
>>>den neuen Gast zu schaffen? Wie lauten die endlich vielen Schritte
>>>dahin?

>>Was fuer ein Elemnet soll das sein ? "das letzte" ?
>>Wenn es eines gaebe, waere es nicht Hilberts Hotel.

>Das frage ich dich. Du willst doch alle Zimmer in endlich vielen
>Schritten erreichen.

>Klaus

Wie gesagt es gibt kein "letztes" Zimmer. Ich sprach von ihrer Anzahl.

Du sprachst von einem "letzten, das verlassen wird". Es wird aber jedes
Zimmer verlassen....und es sind unendlich viele...also gibt es auch hier
kein "letztes".

Und ich sprach davon, dass jede einzelne natuerliche Zahl (jedes einzelne
Zimmer) die (das) man herausgreift, in endlich vielen Schritten erreicht
wird.
Das ist etwas voellig anderes, als:
Es gibt eine endliche Anzahl von Schritten, in denen ich alle erreicht habe.

Ich will nicht wie du sagst "alle" Zimmer in endlich vielen Schritten
erreichen, sondern "jedes (einzelne)". Und das schaffe ich auch.

[Norbert Micheel]

"Wolfgang Thumser" <thu...@mathematik.uni-bielefeld.de> schrieb im
Newsbeitrag news:3AFBE5C7...@mathematik.uni-bielefeld.de...

> Hallo Klaus,
>
> > >Was fuer ein Elemnet soll das sein ? "das letzte" ?
> > >Wenn es eines gaebe, waere es nicht Hilberts Hotel.
> >
> > Das frage ich dich. Du willst doch alle Zimmer in endlich vielen
> > Schritten erreichen.
>
> Was haelst Du von folgender Konversation?
>
> A: Lass uns zunaechst alle Schachfiguren auf's Brett stellen.
> B : Auch den Buben?
> A: Was fuer eine Schachfigur soll das denn sein?
> B: Das frage ich dich. Du willst doch alle Schachfiguren
> auf's Brett stellen!
>
> SCNR
> Gruss Wolfgang

*lach*
gutes Beispiel.

Gruss Norbert

[Christian Semrau]

Hallo Dieter,
ich gehe heute nur auf das erste Beispiel ein.

Dieter Jungmann wrote:
>
> Ich stelle 2 Aussagen der Mengenlehre einander gegenueber:
>
> Aussage 1:
> Eine Menge mit 2^oo Elementen hat die Maechtigkeit aleph 1,
> wenn der Exponent oo die Maechtigkeit aleph 0 hat.

Es stellt sich hier die Frage, was es bedeutet, dass eine Menge
2^oo Elemente hat.
Nach deinem Beispiel (weiter unten) zu urteilen, hat eine Menge,
die bei schrittweiser Verdopplung in abzaehlbar vielen Schritten
entsteht, die Maechtigkeit 2^aleph0.
Es ist auch richtig, dass die endstehende Menge abzaehlbar ist.
Damit hast du gezeigt, dass das, was du unter "2^oo" verstehst,
nicht von oo verschieden ist.

Ich beschreibe jetzt meine Vorstellung von 2^oo:
Dieses oo sei die Maechtigkeit omega einer unendlichen Menge
X (im ersten Schritt nur die abzaehlbare Unendlichkeit, falls
weiterer Maechtigkeiten existieren, koennen die auch eingesetzt
werden).
Also |X|=omega.
Dann verstehe ich unter einer Menge der Maechtigkeit 2^omega eine
Menge, die gleichmaechtig ist zur Menge
F(X) = {f:X->{0,1}}
aller Abbildungen von X in die Menge {0,1}.
(Und da die Menge X trotz ihrer Unendlichkeit in meinem System
vollstaendig existiert, existieren auch alle diese Abbildungen
und damit ist auch F(X) vollstaendig existent.)
Fuer eine abzaehlbare Menge X ist das gerade die Menge aller Folgen
aus Nullen und Einsen. (Folgen verstehe ich immer als Auflistung von
abzaehlbar unendlich vielen Objekten, die mit den natuerlichen Zahlen
durchnummeriert sind; endliche Folgen kenne ich nicht.)

Die Aussage 1 besagt dann, dass F(X) maechtiger ist als X.

Dass 2^aleph0 = aleph1, ist die Aussage der Kontinuumshypothese,
die wir weglassen oder annehmen koennen, es reicht hier
zu wissen, dass 2^aleph0 maechtiger ist als aleph0.

> Eine solche Menge laesst sich folgendermassen konstruieren:
> Schritt 1:
> Bilde die Vereinigungsmenge V_1 von 2 Mengen, die nur je
> 1 Element enthalten. Die beiden Elemente seien verschieden,
> damit nicht bei der Vereinigung infolge des Extensionalitaets-
> axioms ein Element verloren geht. Entsprechendes gilt auch fuer
> alle folgenden Schritte. V_1 enthaelt 2 Elemente.
> Schritt 2:

> Bilde V_2 als Vereinigungsmenge von V_1 mit einer anderen Menge,

> die genau so viel Elemente enthaelt, wie V_1. V_2 enthaelt
> 2^2 Elemente.
> ...
> Schritt n:
> Bilde V_n als Vereinigungsmenge von V_(n-1) mit einer Menge, die
> ebenfalls 2^(n-1) Elemente enthaelt. V_n enthaelt 2^n Elemente.
> ...
> so weiter bis n = oo.
> Man erhaelt die Menge V_oo mit 2^oo Elementen,
> Maechtigkeit von oo ist aleph 0.

Wenn wir fuer die 1-, 2-, 4-, usw.-elementigen Mengen fortlaufende
Teilmengen der natuerlichen Zahlen nehmen, ist V_oo = N.

> Es gilt folgender Satz:
> Die Vereinigungsmenge einer abzaehlbar unendlichen Menge
> abzaehlbar unendlicher (und erst recht endlicher) Mengen

> ist abzaehlbar unendlich.

> Daraus folgt
> Aussage 2:
> Da V_oo die Vereinigungsmenge von abzaehlbar vielen endlichen
> Mengen ist, hat sie nach vorstehendem Satz die Maechtigkeit
> aleph 0, obwohl die Anzahl ihrer Elemente 2^oo betraegt, und
> oo ebenfalls die Maechtigkeit aleph 0 hat.

Dass V_oo die Vereinigung abzaehlbar vieler endlicher Mengen ist,
sehe ich. Und sie hat "2^oo" viele Elemente.
Also ist 2^oo = oo, im Widerspruch zu Aussage 1.

> Nach meinem Verstaendnis stehen die beiden Aussagen im Widerspruch

> und beweisen, dass das Begriffsystem der Mengenlehre nicht
> konsistent ist.

> Wie ist deine Interpretation?

Meine Interpretation ist die, dass Aussage 1 dem Symbol "2^oo"
eine andere Bedeutung zuweist, als du das tust.
Wenn dieses Symbol die Maechtigkeit ist, die eine nach deinem
Verfahren beschriebene Menge V_oo hat, dann ist 2^oo = oo,
aber Aussage 1 meint ein anderes 2^oo.

Dieter, du lebst in einem Begriffssystem, das in einigen Punkten
von der allgemeinen Verwendung abweicht.
Du hast die Wahl, deine Bedeutungen der Begriffe zu verwenden, oder
die "offiziellen". Aber du vermischst immer wieder beides miteinander.

[SL]

Christian Semrau wrote:

> Hallo Dieter,
> ich gehe heute nur auf das erste Beispiel ein.
>
> Dieter Jungmann wrote:
> >
> > Ich stelle 2 Aussagen der Mengenlehre einander gegenueber:
> >
> > Aussage 1:
> > Eine Menge mit 2^oo Elementen hat die Maechtigkeit aleph 1,
> > wenn der Exponent oo die Maechtigkeit aleph 0 hat.
>
>

nein . 2^oo oder 2^w ist größer w.

der Punkt ist folgender 2^n <= w f.a. n ==> V_oo <= w^2 < 2^w

[Wolfgang Thumser]

Hallo Christian,

> Wenn dieses Symbol die Maechtigkeit ist, die eine nach deinem
> Verfahren beschriebene Menge V_oo hat, dann ist 2^oo = oo,
> aber Aussage 1 meint ein anderes 2^oo.

Du hast den Nagel auf den Kopf getroffen! Der scheinbare Widerspruch
verschwindet, weil man in Aussage 1 eine andere Operation meint (Kardinal-
zahlarithmetik) als in Dieters Konstruktion (Ordinalzahlarithmetik).

Diesem Umstand wird in der Mengenlehre natuerlich Rechnung getragen
(siehe bspw. Bachmann: Transfinite Zahlen). In Dieters Notation gilt
bspw. fuer die ordinale Addition oo + 1 <> 1 + oo = oo, waehrend fuer
die kardinale Addition oo + 1 = 1 + oo = oo gilt. Ebenso gilt fuer das
kardinale Potenzieren 2^oo > oo, waehrend die ordinale Arithmetik
2^oo = oo lehrt. Dies ist kein Widerspruch, sondern liegt in dem Umstand
begruendet, dass man aus Ermangelung eines Zeichens mit beiden Opera-
tionen verschiedenes meint.

Verschiedene Mengen (Menge aller endlicher 0-1 Folgen vs. Menge aller
0-1 Folgen) werden nicht deswegen gleichmaechtig, weil man sie in unter-
schiedlichen Kontexten mit dem gleichen Symbol (2^oo) bezeichnet.

[Sebastian Holzmann]

Hallo,

Klaus Schmidt <k.sc...@gmx.net> wrote:
>"Norbert Micheel" <N.mi...@gmx.de>:

>
>>Ich will nicht wie du sagst "alle" Zimmer in endlich vielen Schritten
>>erreichen, sondern "jedes (einzelne)". Und das schaffe ich auch.
>

>und wo ist der Unterschied zwischen "alle" und "jedes"? Das Hotel ist
>bekanntlich voll belegt. Der Portier muss alle Gäste informieren, dass
>sie ein Zimmer weiterrücken sollen. Wie will er mit endlich vielen
>Schritten alle Gäste informieren?

Es reicht doch, wenn er es in endlicher Zeit schafft. Und das geht so:

Um den Plan dem ersten Gast zu erklären, braucht der Portier eine Minute.

Beim zweiten weiß er schon, was er sagen will, und braucht nur noch 30
Sekunden.

Beim dritten hat er schon so viel Übung, dass er die Zeit nochmal
halbieren kann, und nur noch 15 Sekunden braucht.

usw. usf.

Da \sum_{n=0}^{\inf} 1 / (2^n) = 2, hat er also nach zwei Minuten alle
Gäste informiert.

SCNR
Sebastian

PS: Natürlich kommt ihm da auch zugute, dass mit aufsteigender
Zimmernummer auch die Wege zwischen den Türen schnell genug kürzer
werden, schließlich passen alle Zimmer in einen Gang...

--
"Mittels eines Semesterwochenstundenerlasses wurde die Studierbarkeit
des Studiums sichergestellt." Ministerium für Wissenschaft, Forschung
und Kunst Baden-Württemberg
Quelle: http://www.mwk-bw.de/Hochschulen/3-Stufen_Hochschulreform.html

[Rainer Rosenthal]

Horst Kraemer <hhkr...@web.de> wrote in message
news:3afb7dbf....@news.cis.dfn.de...

Hallo Horst,

völlig OK. Als dieser gute Mann vor einigen Monaten hier
auftauchte, fühlte ich mich verpflichtet, mit einem für meine
Verhältnisse *g* kurzen Posting gegenzuhalten. Bloss damit
sein Käse nicht unwidersprochen blieb.
Mit Erstaunen stellte ich dann fest, dass er offenbar auf
Argumente einzugehen schien. Aber der Schein hat wohl
getrogen.

Danke noch für Deine Beiträge zum Kugel-Thread. Er ist
natürlich unsäglich angeschwollen, aber eigentlich enthält
er noch nette Ecken. Insbesondere Ortwin Gaspers gute
Beobachtung, dass man Experiment 1 und 2 gut vergleichen
kann mit der jeweils unterschiedlichen Wegnehm-Funktion.
Und mit dem Vorschlag, andere Wegnehm-Funktionen zu
betrachten.

Die masstheoretischen Ansätze dagegen waren anfangs
sehr vage und nachher ganz abgebrochen worden zugunsten
von an den Haaren herbeigezogener Metrik.
Falls Du noch eine Idee zum Thread hast, es Dir aber lästig
ist, Dich dort noch einzuklinken, würde ich mich über eine
Mail-Meldung freuen.

Guten Abend noch
Rainer
r.ros...@web.de

[Wolfgang Thumser]

Hallo Klaus,

> Wenn ich dann nach dem Buben fragen würde, dann würde
> A anfangen zu suchen und evtl. müsste er alle Figuren betrachten, um
> den Buben zu finden. Eine Menge von unendlich vielen Figuren kann er
> IMHO nicht mit endlich vielen Schritten durchsuchen.

Demnach wuesste bis heute kein Mensch, ob 0.5 eine natuerliche Zahl
ist, denn man muesste ja mit Deinem Argument unendlich viele daraufhin
ueberpruefen, ob eine vielleicht nicht doch gleich 0.5 ist. Bist Du Dir
wirklich sicher, dass man das nicht wissen kann?

Gruss Wolfgang

[Stefan Loehnert]

Dies ist ein re-post da der ursprüngliche Beitrag vom Server
verschwandt... und man lässt ja nichts unbeantwortet

Christian Semrau wrote:

> SL wrote:
> >
> > Christian Semrau wrote:
> >

> > > Aha. N ist eine Variable... an die Vorstellung muss ich mich erstmal

> > > gewoehnen. Und die "moeglichen Werte" von N sind gerade die Mengen
> > > {0,...n} (n>=0) der ersten (n+1) natuerlichen Zahlen?
> > > Faszinierend.
> >

> > '?' ist in der Tat faszinierend . Es lässt sich so nämlich die
> > 'Endlichkeit' von | IN | ableiten...
>
> Genau das ist das Ergebnis, zu dem Dieter kommt.
> Also sind gibt es nur endlich viele natuerliche Zahlen.
> Vermutest du darin einen Widerspruch, SL?
>

Hmmm -- ein wesentliches Merkmal der Natürlichen Zahlen ist die
Gültigkeit
der Induktionsbedingung : gilt E( n) --> E(S(n)) so gilt E für alle n
(
S = 'Nachfolger'-Operator , E = Eigenschaft)

Nun denn:
Ind. Anfang |{0}| = 1
Ind. Hyp: | {0,...,n}| = 1
n -->n+1 :
|{0,...,n+1}| = |{0,...,n} U {n+1}| und mit Ind.Hyp. ist dies
= |{0} U|{n+1}| = |{0,n+1}| da nun wiederum durch Ind.Hyp.
|{0,n+1}| <= | {0,...,n}| = 1 ist , ist die Kardinalität von IN
=
1
Also ziemlich klar endlich . Das wir hier nur ein einelementiges
aber nichtsdestotrotz konsistentesUniversum haben sollte uns jetzt nicht
stören.
So nebenbei zeigt dies auch '0=1' .

>

> > > > > Ich gebe mal zwei naive Definitionen:
> > > > > Eine Menge heisst _endlich_, wenn es eine natuerliche Zahl
> > > > > gibt, welche die Anzahl ihrer Elemente angibt.
> > > > > Mengen, die nicht endlich sind, heissen _unendlich_.
> >

> > Das gleiche gilt aber auch umgekehrt: Menge 'heißt' _unendlich_
> > falls kein n aus IN existiert.... sonst _endlich_.
> >
> > --> folglich ist 'endlich 'schwammig' und gar nicht existent . (???)
>
> Fuer die Menge M={2,3,5,7} laesst sich leicht bestimmen,
> dass ein n aus N existiert... (naemlich 4),
> also ist M nicht unendlich, also endlich.
> Wo ist das schwammig und nicht existent?
>

Nun ich hät' hier statt ' ...existent .(???) ' besser gleich
'...existent????' schreiben sollen sowie 'Das gleiche gilt _dann_ aber
auch
umgekehrt...'

>

> Gruss,
> Christian
>
> --
> Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
> Um auf die andere Seite - aehm...

...oder am Ende die Öffnung der Klein'schen Flasche zu finden ... :-)

Gruß Stefan

Christian Semrau wrote:

> SL wrote:
> >
> > Christian Semrau wrote:
> >

> > > Aha. N ist eine Variable... an die Vorstellung muss ich mich erstmal

> > > gewoehnen. Und die "moeglichen Werte" von N sind gerade die Mengen
> > > {0,...n} (n>=0) der ersten (n+1) natuerlichen Zahlen?
> > > Faszinierend.
> >

> > '?' ist in der Tat faszinierend . Es lässt sich so nämlich die
> > 'Endlichkeit' von | IN | ableiten...
>
> Genau das ist das Ergebnis, zu dem Dieter kommt.
> Also sind gibt es nur endlich viele natuerliche Zahlen.
> Vermutest du darin einen Widerspruch, SL?
>

Hmmm -- ein wesentliches Merkmal der Natürlichen Zahlen ist die
Gültigkeit
der Induktionsbedingung : gilt E( n) --> E(S(n)) so gilt E für alle n
(
S = 'Nachfolger'-Operator , E = Eigenschaft)

Nun denn:
Ind. Anfang |{0}| = 1
Ind. Hyp: | {0,...,n}| = 1
n -->n+1 :
|{0,...,n+1}| = |{0,...,n} U {n+1}| und mit Ind.Hyp. ist dies
= |{0} U|{n+1}| = |{0,n+1}| da nun wiederum durch Ind.Hyp.
|{0,n+1}| <= | {0,...,n}| = 1 ist , ist die Kardinalität von IN
=
1
Also ziemlich klar endlich . Das wir hier nur ein einelementiges
aber nichtsdestotrotz konsistentesUniversum haben sollte uns jetzt nicht
stören.
So nebenbei zeigt dies auch '0=1' .

>

> > > > > Ich gebe mal zwei naive Definitionen:
> > > > > Eine Menge heisst _endlich_, wenn es eine natuerliche Zahl
> > > > > gibt, welche die Anzahl ihrer Elemente angibt.
> > > > > Mengen, die nicht endlich sind, heissen _unendlich_.
> >

> > Das gleiche gilt aber auch umgekehrt: Menge 'heißt' _unendlich_
> > falls kein n aus IN existiert.... sonst _endlich_.
> >
> > --> folglich ist 'endlich 'schwammig' und gar nicht existent . (???)
>
> Fuer die Menge M={2,3,5,7} laesst sich leicht bestimmen,
> dass ein n aus N existiert... (naemlich 4),
> also ist M nicht unendlich, also endlich.
> Wo ist das schwammig und nicht existent?
>

Nun ich hät' hier statt ' ...existent .(???) ' besser gleich
'...existent????' schreiben sollen sowie 'Das gleiche gilt _dann_ aber
auch
umgekehrt...'

>

> Gruss,
> Christian
>
> --
> Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
> Um auf die andere Seite - aehm...

...oder am Ende die Öffnung der Klein'schen Flasche zu finden ... :-)

Gruß Stefan

[Stefan Loehnert]

Wolfgang Thumser wrote:

nicht ganz . oo ist Kontextfrei ein Symbol für 'nicht endlich'.
Das hat gar nichts mit Ordinalität oder Kardinalität zu tun.
Wann immer nicht nur 2^(nicht endlich)=(nicht endlich) gemeint ist ist 2^oo
>oo.
Der Punkt ist lim(n-->oo) = w und w ist nicht in IN.
D.h. z.Bsp. auf die Mengen V_(2^n) bezogen lim(n-->oo) |V_(2^n)| = |V_(2^oo)|
= w
aber |V_(2^oo)| <> 2^w .

Im übrigen sagt der Satz ja auch | U_( n in IN) M_n| <= w wenn alle |M_n|
<= w
und nicht lim(n-->oo) |U_(k =1 bis n) M_k| <= w wenn alle |M_k| <= w. Wie
gesagt w ist nicht in IN.

[Hermann Kremer]

Klaus Schmidt schrieb in Nachricht ...
SHol...@gmx.de (Sebastian Holzmann):

>>Klaus Schmidt <k.sc...@gmx.net> wrote:
>
>>>Der Portier muss alle Gäste informieren, dass
>>>sie ein Zimmer weiterrücken sollen. Wie will er mit endlich vielen
>>>Schritten alle Gäste informieren?
>
>>Es reicht doch, wenn er es in endlicher Zeit schafft. Und das geht so:
>
>>Um den Plan dem ersten Gast zu erklären, braucht der Portier eine Minute.
>
>>Beim zweiten weiß er schon, was er sagen will, und braucht nur noch 30
>>Sekunden.
>
>>Beim dritten hat er schon so viel Übung, dass er die Zeit nochmal
>>halbieren kann, und nur noch 15 Sekunden braucht.
>
>>usw. usf.
>
>>Da \sum_{n=0}^{\inf} 1 / (2^n) = 2, hat er also nach zwei Minuten alle
>>Gäste informiert.
>

>Genau das wird eben nie gelingen. Der Grenzwert dieser Folge ist 2,
>klar. Das heißt aber nicht die Summe wäre 2.

Hä ? Für mich ist
Sum{n=0...oo} (1/2)^n = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
die geometrische Reihe mit der _Summe_ 2 ...

>Deine Reihe ohne 1 ist ja
>Grundlage der "Kugel-Experimente".

... und die hat die _Summe_ 1 ...

>Schönes Wochenende

Gleichfalls
Hermann
--

>
>Klaus

[Thomas Haunhorst]

On Wed, 09 May 2001 05:12:44 +0200,
Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> wrote:
>Die Tatsache, dass trotz der Peano-Axiome ein eigenes Unendlichkeits-
>Axiom noetig ist, bestaetigt, dass es mit den Peano-Axiomen nicht
>moeglich ist, eine unendliche Menge zu konstruieren.

In diesem Zusammenhang mag es vielleicht interessant sein, dass sich die
Peano-Arithmetik in ihrer einstufigen Praedikatenlogik und die endliche
Mengentheorie ZFC_{fin} ineinander interpretieren lassen.

Gruss

Thomas.
--
Ich wuerde heute nicht mehr sagen, dass in der Mathematik
von Dingen die Rede ist, die aussermenschlich sind, weil
ich - wenn auch mit grossem Widerstreben - zu der Ansicht
gekommen bin, dass die Mathematik aus Tautologien besteht.
D. h. ich fuerchte, dass einem hinreichend leistungsstarken
Intellekt die gesamte Mathematik trivial erscheinen wuerde,
so trivial wie die Aussage,dass ein vierfuessiges Tier ein
Tier ist. (Russell)

[Wolfgang Thumser]

Hallo Stefan,

> nicht ganz . oo ist Kontextfrei ein Symbol für 'nicht endlich'.
> Das hat gar nichts mit Ordinalität oder Kardinalität zu tun.
> Wann immer nicht nur 2^(nicht endlich)=(nicht endlich) gemeint ist ist 2^oo
> >oo.

Bevor wir hier weiter herumphantasieren, gib' vielleicht 'mal eine Literatur-
referenz, in der Deine Behauptung 2^oo > oo mit kontextfreiem Symbol "oo"
ohne Rekurs auf Kardinalitaet bewiesen wird. Meine wohlwollende Interpretation
dieses Symbols "oo" war die mengentheoretische der kleinsten, nichtendlichen
Kardinal- bzw. Ordinalzahl (aleph_0 oder auch omega), wie Du sie in jedem
Buch ueber Mengenlehre praezise definiert findest. Wenn Du darunter etwas
anderes verstehst, liegt es an Dir, eine saubere Definition von 2^oo zu geben.

Andernfalls kann ich Deinen Ausfuehrungen nicht weiter folgen, weil ich keinen
Sinn darin erkennen kann, z.B.:

> D.h. z.Bsp. auf die Mengen V_(2^n) bezogen lim(n-->oo) |V_(2^n)| = |V_(2^oo)|
> = w

Meinst Du hier mit "lim" wirklich den mengentheoretischen Limes als Vereinigung
einer aufsteigenden, abzaehlbaren Mengenfolge? Wenn nicht, dann definiere ihn
praezise oder gib eine Literaturreferenz, in der diese Zeile sinngemaess so auftaucht.

Gruss Wolfgang

[Norbert Micheel]

"Klaus Schmidt" <k.sc...@gmx.net> schrieb im Newsbeitrag

news:24vnft8d8n7l16c2v...@4ax.com...
"Norbert Micheel" <N.mi...@gmx.de>:

>>Ich will nicht wie du sagst "alle" Zimmer in endlich vielen Schritten
>>erreichen, sondern "jedes (einzelne)". Und das schaffe ich auch.

>und wo ist der Unterschied zwischen "alle" und "jedes"? Das Hotel ist
>bekanntlich voll belegt. Der Portier muss alle Gäste informieren, dass

>sie ein Zimmer weiterrücken sollen. Wie will er mit endlich vielen
>Schritten alle Gäste informieren?

Tja.
Das waere deine Aufgabe: mal annehmen es gibt einen Unterschied, und
ueberlegen worin er bestehen koennte...

Aber damit du dich nicht anstrengen musst:

Eine Menge von Punkten. Ein Ursprung.

1) fuer jeden Punkt existiert ein endlicher Pfad vom Ursprung zu eben diesem
Punkt
2) Es existiert ein endlicher Pfad der alle Punkte beinhaltet.

Ist 1) und 2) fuer dich daselbe ?

Annsonsten hast du natuerlich recht...dazu kommt noch, dass ein Gast
unendlich viele Socken einpacken muss, bevor er sein Zimmer verlassen
kann...

[Dieter Jungmann]

Hallo Christian,

haette ich nur geahnt, was ich damit anrichte, N als Variable zu
bezeichnen! Ich hatte weder mathematische Variablen noch die
Variablen der Programmiersprachen im Sinn sondern das Wort in
seiner allgemeinen Bedeutung gebraucht. Die Variablen der
Programmiersprachen hat Paul Ebermann erwaehnt und darauf habe
ich geantwortet. Die Programmiersprachen unterscheiden nicht
zwischen der Variablen und ihrem Inhalt sondern vertrauen darauf,
dass das aus dem Kontext ersichtlich ist. Dass man bei mathematischen
Variablen genauer unterscheiden muss, hat Hermann Kremer klargestellt.
Seine Ausfuehrungen decken sich inhaltlich mit deinen und ich
schliesse mich ohne Vorbehalt an.

Das aendert aber nichts daran, dass es auch variable Mengen gibt.
Eine davon ist sicherlich die Menge der lebenden Menschen. Aber
da mit Mengen nicht gerechnet wird, auch nicht mit der Menge N,
braucht uns diese Art von Variablen nicht zu stoeren.

Zum Problem unendliche Menge:
Du beziehst dich auf die Aussage von Paul Ebermann

> > Ich zitiere hier einmal aus dem dtv-Atlas zur MAthematik, Seite 29,
> > axiomatischer Aufbau der Mengenlehre:
> >
> > |[...]
> > | (8) Es existiert eine Menge X, so dass {} (leere Menge) Element
> > | von X ist und für alle Mengen y gilt: Wenn y in X ist, so ist
> > | auch (y vereinigt mit {y}) in X.

Das Axiom (nach Zermelo-Fraenkel) verlangt also die Existenz einer
Menge mit den Eigenschaften wie sie in (8) beschrieben sind (das
sind die Eigenschaften, die sich aus den Peano-Axiomen ergeben).
Es kommt dann nur noch darauf an, nachzuweisen, dass diese Menge
nicht endlich sein kann und folglich unendlich ist. Diesen Beweis,
den ich hier nicht mehr zitiere, fuehrst du dann.

> Was meinst du zu dieser Beweisfuehrung?
> Bitte gib keinen "Gegenbeweis", sondern gehe auf diesen ein, Dieter!

Bis hierher sind wir uns einig. Das deckt sich mit dem, was ich in
meinem posting vom 1.5. im Thread "Re: Unendlich viele Kugeln"
mit dem Satz "Es sei denn, man bezeichnet eine Menge mit dieser
Eigenschaft bereits als unendliche Menge" gemeint habe.
Die Differenzen bestehen in den Konsequenzen, die aus dieser
Definition zu ziehen sind. Ich halte z. B. daran fest, dass diese
Definition keine neue Maechtigkeitsdefinition fuer unendliche
Mengen rechtfertigt. Die Maechtigkeits-Definition fuehrt u. a.
zu dem Widerspruch bezueglich der Maechtigkeit einer Menge mit
2^oo Elementen. Warten wir also ab, ob es gelingt diesen Widerspruch
aufzuloesen.

>
> Durch schrittweise Anwendung der Peano-Axiome ist es tatsaechlich
> nicht moeglich, aus der leeren Menge in endlich vielen Schritten
> eine unendliche Menge zu erhalten. Darin stimme ich mit dir ueberein.
> Aber die Peano-Axiome beschreiben die Eigenschaften einer Menge,
> die als existent vorausgesetzt wird durch das Unendlichkeitsaxiom,
> welches ich in der Form (8) kennengelernt habe.

Hmm, jetzt wird mir schwindlig. Eben noch hast du durch schrittweise
Anwendung der Peano-Axiome bewiesen, dass die Menge unendlich ist,
und jetzt ist doch keine moeglich? Oder liegt das Geheimnis in den
"endlich vielen Schritten"? Das wuerde bestaetigen, dass man eine
unendliche Menge nur in unendlich vielen Schritten erhalten kann.
Unendlich viele Schritte fuehren aber unausweichlich auch zu Zahlen
mit unendlich vielen Dezimalstellen.

>
> > Damit ist auch
> > bestaetigt, dass N nicht vollstaendig abzaehlbar ist. Denn wenn man
> > anfaengt, eine als existent vorausgesetzte unendliche Menge durch
> > Anwendung der Peano-Axiome abzuzaehlen, schiebt man eine nicht kleiner
> > werdende unendliche Menge von nicht abgezaehlten Elementen vor sich her.
>
> Das 5. Peano-Axiom (Induktion) gerade, dass ich jedes Element der
> Menge nach endlich vielen Schritten erreiche.
> Das heisst nicht, dass ich in endlich vielen Schritten jedes Element
> erreichen muss. Zwischen den beiden Aussagen besteht ein Unterschied,
> erkennst du ihn?

Klar erkenne ich ihn, jede Aussage behauptet ja gerade das Gegenteil
der anderen, wenn das mal kein Unterschied ist! Kann ich nun jedes
Element in endlich vielen Schritten erreichen oder nicht?
Eben noch hast du gesagt, dass man durch Anwendung der Peano-Axiome
in endlich vielen Schritten keine unendliche Menge erhaelt.

>
> > > > Wenn du dabei bleibst, dass keine natuerliche Zahl unendlich
> > > > viele Stellen hat, bedeutet das, dass nur endlich viele
> > > > natuerliche Zahlen abzaehlbar sind.
> > >
> > > Wenn du eine Obergrenze bei der Anzahl der stellen ziehen willst,
> > > geht das schief. Es gibt eine solche nicht - aber für jede einzelne
> > > natürliche Zahl ist die Anzahl der Ziffern klar angebbar.
> >
> > Diese Aussage ist unvollstaendig. Korrekt waere:
> > ... ist die Anzahl der Ziffern klar angebbar, solange man endliche
> > Teilmengen von N betrachtet.
>
> Ich brauche hoechstens die endliche Menge aller natuerlichen Zahlen
> kleiner-gleich n zu betrachten, um die Stellenzahl von n zu ermitteln.
> Wozu benoetigst du unendliche Teilmengen von N, wenn du die Anzahl der
> Ziffern einer natuerlichen Zahl angeben sollst?

Wenn ich die Anzahl der Ziffern einer endlichen natuerlichen Zahl
abgeben soll, reicht eine endliche Teilmenge von N. Aber das
bestaetigt doch gerade, dass unendlich viele Zahlen noch nicht
erfasst sind, wenn ich mich auf endlich viele Stellen beschraenke.

>
> Wir haben den Widerspruch zwischen der Endlichkeit jeder Zahl und der
> Unendlichkeit der Menge aller Zahlen noch immer nicht geklaert.

Nicht? Du hast doch die Loesung am Ende deines postings angegeben:

>
> Du bist aber damit einverstanden, dass jede natuerliche Zahl
> endlich viele Stellen hat.
> Es gibt - wie wir damals schon erkannt haben - keine Zahl, die sagt,
> wieviele Stellen irgendeine natuerliche Zahl hoechstens hat.
>
> Es ist wieder dasselbe wie oben beim 5. Peano-Axiom:
> Fuer jede natuerliche Zahl n gibt es eine natuerliche Zahl s(n), die
> die Stellenzahl von n angibt.
> Aber:
> Es gibt keine natuerliche Zahl S, die die Stellenzahl von jeder
> natuerlichen Zahl angibt.

Du sagst es. Und warum gibt es sie nicht? Doch wohl nur, weil sie
unendlich gross ist, oder kennst du einen anderen Grund? Die
Situation ist die gleiche wie oben bei der in (8) zitierten Menge
X. Auch jede Zahl s(n) hat einen Nachfolger und deshalb muss es
unendlich viele Stellen geben. Der Beweis ist genau derselbe
wie du ihn fuer die natuerlichen Zahlen gefuehrt hast. Dort bist
du ja auch zu dem Ergebnis gekommen, dass es unendlich viele davon
geben muss. Warum sollte die gleiche Ausganssituation und der
gleiche Beweis jetzt zu einem anderen Ergebnis kommen?

Verstehst du jetzt, warum ich das Peano-Axiom, dass jede Zahl
einen Nachfolger hat, nicht als Zwang sondern nur als Moeglichkeit
interpretiere?

Wichtiger als diese Frage scheint mir aber die Maechtigkeitsdefinition
zu sein, weil sie die Ursache vieler Widersprueche ist. Ich hatte
bisher keine Probleme, die fuer endliche Mengen gueltige Definition
auch auf unendliche Mengen anzuwenden. Kennst du ein Beispiel, wo
das nicht moeglich ist? Es bereitet doch keine Schwierigkeiten
festzustellen, welche Menge Teilmenge und welche Obermenge ist.
Aus welchem Grund braucht man also fuer unendliche Mengen eine
neue Maechtigkeitsdefinition?

Gruss

Dieter

[Rainer Rosenthal]

Hermann Kremer <hermann...@online.de> wrote in message
news:9dhltt$bcd$1...@news.online.de...

> >
> >>Da \sum_{n=0}^{\inf} 1 / (2^n) = 2, hat er also nach zwei Minuten alle
> >>Gäste informiert.
> >
> >Genau das wird eben nie gelingen. Der Grenzwert dieser Folge ist 2,
> >klar. Das heißt aber nicht die Summe wäre 2.
>
> Hä ? Für mich ist
> Sum{n=0...oo} (1/2)^n = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
> die geometrische Reihe mit der _Summe_ 2 ...
>
> >Deine Reihe ohne 1 ist ja
> >Grundlage der "Kugel-Experimente".
>
>
> ... und die hat die _Summe_ 1 ...
>

Hallo Hermann und Mit-Kugler !

dieser kleine Wortwechsel bestätigt mich in meiner
Meinung, dass beim Kugel-Thread teilweise noch
die beliebten alten Missverständnisse mit hinein-
spielen. Kürzeste Form: ist 0,999... = 1 ?

Das wird aber immer und immer wieder ein Thema
sein und zwar einfach deswegen, weil man so etwas
nicht pauken kann sondern weil man sich damit ernst-
haft (oder auch spielerisch, aber jedenfalls intensiv)
befassen muss, um irgendwann "Aha" sagen zu können.

Wirklich spannende Abweichungen vom Standard-
Pfad gibt es dann natürlich noch zuhauf. Ich denka da
mal an Cantors transfinite Zahlen und seine Unterscheidung
in Ordinal- und Kardinalzahlen, die auch erst für nicht-endliche
Zahlbereiche von Bedeutung ist.
Oder ich denke an die "Surreal Numbers" [1], die D.E. Knuth
in dem gleichnamigen Buch anschaulich unters Volk bringt.
Diese Zahlen haben Conway und Guy erfunden und im
Buch "On Numbers and Games" systematisch untersucht.
Sehr zu empfehlen die Vieweg-Bände "Gewinnen" [2], die
das Thema spielerisch erkunden.

Gruss,
Rainer

[1] D. E. Knuth : Surreal Numbers, Addison
Wesley 1974, ISBN 0-201-03812-9.

[2] GEWINNEN Strategien für mathematische Spiele
Berlekamp, Conway, Guy.
Vieweg 1982, ISBN 3-528-08533-9

[Paul Ebermann]

> > Ich brauche hoechstens die endliche Menge aller natuerlichen Zahlen
> > kleiner-gleich n zu betrachten, um die Stellenzahl von n zu ermitteln.
> > Wozu benoetigst du unendliche Teilmengen von N, wenn du die Anzahl der
> > Ziffern einer natuerlichen Zahl angeben sollst?
>
> Wenn ich die Anzahl der Ziffern einer endlichen natuerlichen Zahl
> abgeben soll, reicht eine endliche Teilmenge von N. Aber das
> bestaetigt doch gerade, dass unendlich viele Zahlen noch nicht
> erfasst sind, wenn ich mich auf endlich viele Stellen beschraenke.

Was verstehst du unter einer *endlichen natürlichen Zahl*?
Endlichkeit/Unendlichekeit kenne ich bisher nur von Mengen,
und darauf sollten wir uns hier beschränken.

Um die Stellenanzahl einer natürlichen Zahl anzugeben, reicht eine
einzige Zahl (keine endliche Teilmenge) aus - wo ist das Problem?

[...]

> > Es ist wieder dasselbe wie oben beim 5. Peano-Axiom:
> > Fuer jede natuerliche Zahl n gibt es eine natuerliche Zahl s(n), die
> > die Stellenzahl von n angibt.
> > Aber:
> > Es gibt keine natuerliche Zahl S, die die Stellenzahl von jeder
> > natuerlichen Zahl angibt.
>
> Du sagst es. Und warum gibt es sie nicht? Doch wohl nur, weil sie
> unendlich gross ist, oder kennst du einen anderen Grund? Die
> Situation ist die gleiche wie oben bei der in (8) zitierten Menge
> X. Auch jede Zahl s(n) hat einen Nachfolger und deshalb muss es
> unendlich viele Stellen geben. Der Beweis ist genau derselbe
> wie du ihn fuer die natuerlichen Zahlen gefuehrt hast. Dort bist
> du ja auch zu dem Ergebnis gekommen, dass es unendlich viele davon
> geben muss. Warum sollte die gleiche Ausganssituation und der
> gleiche Beweis jetzt zu einem anderen Ergebnis kommen?

Der Beweis zeigt nicht, dass es natürliche Zahlen mit unendlich
vielen Stellen gibt. Es wird nur ausgesagt, dass es für jede
vorgegebene (natürliche) Stellenanzahl eine Zahl (bzw. viele Zahlen)
gibt, die so viele Dezimalstellen besitzt.

> Verstehst du jetzt, warum ich das Peano-Axiom, dass jede Zahl
> einen Nachfolger hat, nicht als Zwang sondern nur als Moeglichkeit
> interpretiere?

Nein. Wir können nicht einfach Axiome uminterpretieren...

> Wichtiger als diese Frage scheint mir aber die Maechtigkeitsdefinition
> zu sein, weil sie die Ursache vieler Widersprueche ist. Ich hatte
> bisher keine Probleme, die fuer endliche Mengen gueltige Definition
> auch auf unendliche Mengen anzuwenden. Kennst du ein Beispiel, wo
> das nicht moeglich ist? Es bereitet doch keine Schwierigkeiten
> festzustellen, welche Menge Teilmenge und welche Obermenge ist.
> Aus welchem Grund braucht man also fuer unendliche Mengen eine
> neue Maechtigkeitsdefinition?

Kannst du diese Definition noch einmal angeben?

Kannst du damit feststellen, ob {1, 2, 3, 4} und
{5, 6, 7, 8} gleichmächtig sind?

Paul

[Rainer Rosenthal]

Dieter Jungmann news:3AFCA48D...@t-online.de...

>Unendlich viele Schritte fuehren aber unausweichlich auch zu Zahlen
>mit unendlich vielen Dezimalstellen.

Hallo Dieter,

jede natürlich Zahl n hat höchstens n Dezimalstellen.

( Für 1,2,3,4 sind diese Anzahlen 1,1,1,1.
Für 98,99,100,101 sind sie 2,2,3,3
Für n > 1 sind die Anzahlen also alle deutlich kleiner.)

Folglich ist die Anzahl der Dezimalstellen einer natürlichen
Zahl stets endlich.

Womit Du recht hast, das ist die Tatsache, dass es keine
obere Grenze G gibt derart, dass alle natürlichen Zahlen
mit höchstens G Dezimalstellen darstellbar wären.
Und in diesem Sinne gibt es tatsächlich unendlich viele
Dezimalstellen. Nämlich als Plätze, in denen man die Dezimal-
stellen einer jeweils vorgegebenen Zahl notieren kann.

Mit dieser Zuschrift möchte ich mich gleichzeitig dafür ent-
schuldigen, dass eine als e-mail gedachte Antwort hier
in die Gruppe gerutscht war, nachdem ich den falschen Knopf
gedrückt hatte.
Ich hoffe wirklich, dass Dir die Antwort auch gefällt und etwas
bringt. Tatsächlich würde ich auf Anfrage auch noch eins
draufsetzen und den obigen Satz mittels Peano-Axiomen
beweisen, statt sie nur mit ein paar Beispielen zu belegen.

( Oder versuche es doch selbst einmal ! Lehrreicher geht es
kaum, sich mit der Materie vertraut zu machen.)

Gruss,
Rainer Rosenthal
r.ros...@web.de

[Paul Ebermann]

> Genau so ist es. In einem oder einigen Gliedern am Anfang und einer
> Bildungsvorschrift steckt die gesamte Information ueber die Folge,
> also auch die Information ueber den Grenzwert. Die unendlich vielen
> Glieder werden also nicht benoetigt, sie werden selbst aus dieser
> Information abgeleitet. Deshalb braucht auch epsilon nicht null zu
> werden, was gleichzeitig eine Bestaetigung dafuer ist, dass du eben
> _nicht_ mit allen Elementen rechnest.

Die Bildungsvorschrift sagt doch alles über die _unendlich vielen_
Elemente am Ende der Folge aus. Damit können wir für jedes Element
überprüfen, ob es nah genug dran ist - also für unendlich
viele. Wenn die Folge nie den Grenzwert erreicht (was bei vielen
üblichen Folgen der Fall ist), dürfen wir natürlich nicht
epsilon = 0 voraussetzen - sonst müsste die Folge irgendwann
konstant sein. Da wir aber epsilon beliebig klein wählen,
und in metrischen Räumen zwischen unterschiedlichen Punkten x,y
immer ein Abstand d(x,y) > 0, also auch d(x,y) > epsilon liegt,
können wir nachweisen, dass die Folge genau gegen einen bestimmten
Punkt konvergiert.
Bei endlichen Folgen (was immer das sein mag) klappt das nicht,
denn wir können dann ein Minimum der Abstände zum "Grenzwert"
bestimmen, und dieses wird nie unterschritten.

> Auf mein Beispiel, in dem ich 2 Aussagen der Mengenlehre einander
> gegenueberstelle, gehst du nicht naeher ein. Ich erspare mir daher
> das umfangreiche Zitat, mit dem das posting unnoetig aufgeblaeht
> wuerde. Dein ganzer Komentar besteht in dem Satz:
>
> > Die Tatsache, dass du nur abzählbar viele Mengen vereinigt hast, ist mir
> > nicht offensichtlich.
>
> Was soll ich mit dieser Mitteilung anfangen? Die Tatsache, dass du sie
> nicht begruendest, werte ich als Eingestaendnis, dass du den Widerspruch
> nicht erklaeren kannst. Denn aus der Beschreibung, wie die Menge V_oo
> gebildet wird, geht eindeutig hervor, dass es sich um abzaehlbar
> unendlich viele Schritte handelt, in denen jeweils endliche Mengen
> vereinigt werden.

Ich habe damit gemeint, dass ich hier noch keinen Widerspruch
gefunden habe. Allerdings war das wohl etwas unglücklich
formuliert.
Dein Problem liegt darin, dass du beim Vereinigen
von Mengen einfach eine Operation einführst, die einen Grenzübergang
lim(n->oo) 2^n = 2^oo
impliziert, wobei du mit oo die Kardinalität der Menge der natürlichen
Zahlen meinst.

Paul

[Rainer Rosenthal]

Paul Ebermann news:9dj7ve$ife8e$1...@ID-77081.news.dfncis.de...

> ... Da wir aber epsilon beliebig klein wählen,

> und in metrischen Räumen zwischen unterschiedlichen Punkten x,y
> immer ein Abstand d(x,y) > 0, also auch d(x,y) > epsilon liegt,
> können wir nachweisen, dass die Folge genau gegen einen bestimmten
> Punkt konvergiert.

Hallo Paul,

darf ich an den entsprechenden Hinweis von Horst Kraemer
erinnern, den er im Kugel-Thread gegeben hatte ?
( Die Rationalen Zahlen bilden einen metrischen Raum):

*** Zitat aus seinem Beitrag vom 26.4.01 ***

Aber stellt Dir vor, wir setzen willkuerlich voraus, dass der Herr
Achilles nur die Erlaubnis hat, auf rationalen Wegpunkten
herumzuhuepfen und zu den fraglichen Zeitpunkten huepft er entlang der
Folge

1
1.4
1.41
1.414
1.4142

also auf einer Folge von Dezimalzahlen, deren Quadrate monoton
wachsend gegen 2 konvergieren.

Wo ist Achilles zum Zeitpunkt 1 ? Offensichtlich im Leeren, wenn man
voraussetzt, dass es nur rationale Wegpunkte gibt.

Die Folge strebt nach ihrem Definitionsgesetz - fuer einen Beobachter,
der sich in einem reellen Universum befindet - einem "etwas" zu, nur
gehoert dieses etwas nicht zu den in einem rationalen Universum
existenten Objekten.

[Stefan Loehnert]

Hallo Wolfgang,

Wolfgang Thumser wrote:

A. umgekehrt gefragt : Gibt es auch nur ein in bspw. Anfängervorlesungen benutztes
Analysis Buch in dem nicht mehr oder weniger in diesem Wortlaut explizit erwähnt wird
'....unendlich (Symbol : oo ) ' ?
B. nicht nur wohlwollend sondern sogar präzise, ist mit 2^x mengentheoretisch immer ein
klarer Bezug zur Potenzmenge erkennbar.sollte in jedem einigermaßen brauchbaren Buch in
dem Mengentheorie vorkommt zu finden sein.
C. selbst wenn Ordinalzahlen genommen werden ist mit w_i und 2^(w_i) eine klare Beziehung
zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge aufgezeigt.
D. Die gesamte 'Fehlinterpretation' liegt darin begründet, dass lim_(n-->oo) n = w und w
nicht in IN ist.
d.h. |U_(n in IN) V_(2^n)| = w aber lim_(n-->oo = w) V_(2^n) ist gar nicht in
dieser Vereinigung .
E. ein weiteres Problem mag durchaus darin bestehen wenn aus dem Kontext herausgerissene
Zitate benutzt werden , was aber bei der Länge mancher Postings auch nicht zu
verwunderlich ist.
Warum löst 'Wann immer nicht nur 2^(nicht endlich)=(nicht endlich) gemeint ist, ist 2^oo
>oo '
diesbezüglich eine solche Verwunderung aus ?
F.Nein. Ich meine nicht den mengentheoretischen Limes, dann hätte ich eher
lim_(V_n --->V) geschrieben.
So hab' ich mich nur darauf beschränkt vom ürsprünglichen posting das V_oo präziser als
V_(2^oo) darzustellen.Spielt aber sowieso keine Rolle da weder V_oo ( welches 'unendlich'
dabei auch immer gemeint sei) noch V_(2^oo) ( siehe vorherigen Einschub) in U_(n in IN)
V_(2^n) enthalten ist.
Um aber präzise abzuklären warum der ürsprüngliche Verfasser/Definierer der V_k -Mengen
der Ansicht ist das lim(n-->oo) V_(2^n) in U_(n in IN) V_(2^n) ist, mußt Du ihn schon
selber fragen.
G. so nebenbei: 'w' weist im ASCII eine gewisse Ähnlichkeit zum Buchstaben 'omega' auf.

Gruß Stefan

[Wolfgang Thumser]

Hallo Stefan,

ich will mich kurz fassen, da diese Postings dazu neigen, immer laenger zu werden.

> A. umgekehrt gefragt : Gibt es auch nur ein in bspw. Anfängervorlesungen benutztes
> Analysis Buch in dem nicht mehr oder weniger in diesem Wortlaut explizit erwähnt wird
> '....unendlich (Symbol : oo ) ' ?

Bei der analytischen Definition des limes ist "oo" eher Makulatur und man kann auch
darauf verzichten.

> B. nicht nur wohlwollend sondern sogar präzise, ist mit 2^x mengentheoretisch immer ein
> klarer Bezug zur Potenzmenge erkennbar.sollte in jedem einigermaßen brauchbaren Buch in
> dem Mengentheorie vorkommt zu finden sein.

Beim Bezug zur Potenzmenge ist mit "^" die kardinale Potenz gemeint.

> C. selbst wenn Ordinalzahlen genommen werden ist mit w_i und 2^(w_i) eine klare Beziehung
> zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge aufgezeigt.

Aber u.U. ist 2^omega = omega, naemlich fuer die ordinale Potenz.

> D.

ACK

> E. Um aber präzise abzuklären warum der ürsprüngliche Verfasser/Definierer der V_k -Mengen

> der Ansicht ist das lim(n-->oo) V_(2^n) in U_(n in IN) V_(2^n) ist, mußt Du ihn schon
> selber fragen.

Da Du mit dieser Bemerkung seinen Standpunkt nicht verteidigst, seh' ich das ein.

> G. so nebenbei: 'w' weist im ASCII eine gewisse Ähnlichkeit zum Buchstaben 'omega' auf.

Ich haette mit w oder omega auch weniger Schwirigkeiten als mit oo.

Gruss Wolfgang

[Dieter Jungmann]

Norbert Micheel schrieb:
>
> "Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:3AFB23C4...@t-online.de...
> > Horst Kraemer schrieb:
> > >
> > > Entscheidend dabei ist der Begriff "Folge". Eine Folge ist etwas, was
> > > einen Anfang hat, zu jedem Element einen eindeutig definierten
> > > Nachfolger hat, so dass keine zwei Elemente denselben Nachfolger
> > > haben, und bei der jedes Element in endlich vielen Schritten aus dem
> > > Anfangselement hergestellt werden kann.
> >
> > "_jedes_ Element in endlich vielen Schritten" ...? Das waere eine
> > endliche Folge. Ausserdem koennte ich dir viele Folgen nennen,
> > in denen verschiedene Elemente denselben Nachfolger haben. Aber
> > streiten wir hier nicht um diese Frage.
>
> Sorry, aber das ist KEINE endliche Folge !
> Genau da liegt das Verstaendnis-Problem.

Und warum klaerst du es nicht? Wieder nur eine Behauptung ohne
Begruendung!

>
> > Bei genauer Lektuere haettest du bemerken koennen, dass ich hier das
> > Unendlichkeitsaxiom voraussetze. Die Anwendung der Peano_Axiome teilt
> > die als existent vorausgesetzte unendliche Menge in zwei Teile: einen
> > endlichen Teil, der sich in _endlich_ vielen Schritten, wie du oben
> > selbst noch einmal betont hast, erreichen laesst und den man daher als
> > abzaehlbar bezeichnen kann, und einen unendlichen Teil, der auf diese
> > Weise nicht erreichbar ist.

>
> ? ? ?
> Wenn es eine Menge gibt, die die Peano-Axiome erfuellt, nennen wir sie mal
> die natuerlichen Zahlen, dann laesst sich jedes Element "erreichen" ! Oder
> kannst du mir ein Element nennen, das man nicht in endlichvielen Schritten
> erreicht ?

Nehmen wir binaere Darstellung der Zahlen an. Zu jeder Zahl mit k
Binaerstellen laesst sich auch eine Zahl mit k+1 Binaerstellen angeben.
Das gilt fuer alle k. Es ist nicht moeglich, ein groesstes k anzugeben,
folglich ist die Menge der Binaerstellen unendlich. Die Tatsache, dass
man nicht von allen Binaerstellen Gebrauch macht, ist kein Gegenargument,
denn man macht auch nicht von allen natuerlichen Zahlen Gebrauch ohne
deshalb die Unendlichkeit von N zu bezweifeln.

Wenn du nun trotzdem verlangst, dass alle Elemente in endlich vielen
Schritten erreichbar sein muessen oder, was dasselbe ist, dass es nur
natuerliche Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt, dann teilst du
die als unendlich vorausgesetzte Menge N in 2 Teilmengen ein: eine
endliche Teilmenge, die alle erreichbaren Elemente enthaelt, und eine
unendliche Teilmenge, die alle nicht in endlich vielen Schritten
erreichbaren Elemente enthaelt. Deine Frage

"Oder kannst du mir ein Element nennen, das man nicht in
endlich vielen Schritten erreicht?"

ist daher Nonsens, denn diese Elemente befinden sich ja in der
zweiten Teilmenge, deren Elemente man nicht angeben kann, weil
nur Zahlen mit endlich vielen Stellen zugelassen werden. Auch die
Aufforderung "Nenne mir das groesste k" ist Nonsens. Denn wenn _du_
die Behauptung aufstellst, dass es nur Zahlen mit endlich vielen
Stellen gibt, ist es auch _deine_ Aufgabe, dieses k anzugeben. Und
wenn du das nicht kannst, folgt daraus, dass es auch Zahlen mit
unendlich vielen Stellen geben muss, auch wenn man sie nicht angeben
kann, weil die Atome des Weltalls dafuer nicht ausreichen, denn solche
physikalischen Beschraenkungen interessieren den Mathematiker nicht.

Was ist nun richtig? Gibt es natuerliche Zahlen mit unendlich vielen
Binaerstellen oder nicht? Wenn nicht, was ist das groesste k?

>
> > Die Definition der Abzaehlbarkeit beliebiger
> > Mengen durch Bijektion auf N ergibt erst Sinn, wenn geklaert ist, was
> > abzaehlbar fuer N bedeutet.
>
> Du verstehst die Reihenfolge nicht !
> Man hat N mit all seinen Eigenschaften.
> Man definert "Abzaehlbarkeit" als Bijektion auf diese Menge N.
> Weil es genau die Eigenschaften von N sind, die eine Menge haben soll, damit
> man sie als "abzaehlbar" ansieht.

Mir scheint, dass du die Reihenfolge nicht verstehst. Bevor ein
Vergleich einer beliebigen Menge M mit N durch Bijektion Sinn macht,
muessen die Eigenschaften von N erst einmal bekannt sein. Und bevor
die obige Frage nicht beantwortet ist, kannst du kaum bahaupten,
dass du N mit all seinen Eigenschaften kennst.

>
> > >
> > > Wir verlangen nicht, dass Du persoenlich dieses Axiom akzeptierst -
> > > aber es bringt nichts Neues, wenn wir immer nur davon hoeren, dass
> > > Deine Auffassung nicht mit unserer Auffassung vereinbar ist. Dies ist
> > > uns bekannt.
> >
> > Dass du es nicht ertragen kannst, dass jemand eine eigene Meinung hat
> > und diese auch noch (welche Frechheit!) verteidigt, hast du bereits
> > mehrmals zu erkennen gegeben. Ich wueste nur gern, was du unter einer
> > Diskussion verstehst, wenn du voraussetzt, dass Alle bedingungslos
> > deine Meinung uebernehmen. Dieser Thread ist nicht auf meinen Wunsch
> > hin eroeffnet worden und er existiert gerade deshalb, weil ich eine
> > eigene Meinung habe.
>
> Ich glaube keiner hat hier was gegen eigene Meinung.
>
> Du behauptest in unserem "Axiomen-System" bestaende ein Widerspruch.
> Das ist entweder wahr oder falsch.
> Um diesen aufzuzeigen, muesstest du dich nur auf dieselbigen stuetzen.
> Mit Meinung hat das nichts zu tun.
>
> Du kannst eine Meinung haben, ob "unser" Axiomen-System genuegend nahe an
> Wirklichkeit ist oder vielleicht andere Theorien genuegend gut unterstuetzt.
>
> Aber dIe Axiome kollidieren nur mit deiner Anschauung.
> Und ich verstehe nicht, was daran so schwer zu akzeptieren ist.

Warum gehst du mit keinem Wort auf den Widerspruch ein, der in dem
posting, das du hier beantwortest, den groessten Teil einnimmt?
Dieser Widerspruch folgt ausschliesslich aus Aussagen, die in Buechern
ueber Mengenlehre oder postings dieser NG nachzulesen sind. Er hat
nichts mit meinen Anschauungen zu tun. Aber statt darauf zu antworten
klammerst du dich lieber an Randbemerkungen und machst Unterstellungen.
Diesem Verhalten begegne ich nun schon seit Wochen in dieser NG.

MfG

Dieter

[Dieter Jungmann]

Hallo Paul,

die Interpretation des Unendlichkeitsaxioms, wie sie Christian
Semrau in seinem posting vom 9.5. 12:12 gegeben hat und die sich
ebenfalls auf den von dir zitierten Satz(8) stuetzt, ist diejenige,
die ich bis jetzt am haeufigsten gelesen habe und der ich mich
deshalb anschliesse. Fuer die weitere Diskussion halten wir daher
fest:
Es gibt eine unendliche Menge, welche die Peano-Axiome erfuellt und
sich daher als Repraesentant der natuerlichen Zahlen eignet.

Die Frage lautet:
Kann man in endlich vielen Schritten alle Elemente dieser Menge
erreichen? und
Kann man alle Zahlen dieser Menge mit endlich vielen Binaer-
oder Dezimalstellen darstellen?

Um Wiederholungen zu vermeiden, beruecksichtige bitte
das erwaehnte posting von Christian Semrau und meine
Antwort darauf vom 12.5. 04:48.

Gruss

Dieter

[Stefan Loehnert]

Hallo Wolfgang,

gerade im Ausland oder ein Nachtschwärmer ? ( :-) )

Wolfgang Thumser wrote:

> Hallo Stefan,
>
> ich will mich kurz fassen, da diese Postings dazu neigen, immer laenger zu werden.
>
> > A. umgekehrt gefragt : Gibt es auch nur ein in bspw. Anfängervorlesungen benutztes
> > Analysis Buch in dem nicht mehr oder weniger in diesem Wortlaut explizit erwähnt wird
> > '....unendlich (Symbol : oo ) ' ?
>
> Bei der analytischen Definition des limes ist "oo" eher Makulatur und man kann auch
> darauf verzichten.
>

Nun 'Makulatur' ist vieleicht ein bischen hart , es gibt ja auch topologische Abschlüsse wie
[-oo,oo] oder den Nordpol der Riemann'schen Zahlenkugel oder Residuen...
'oo' hat für sich halt keine nicht-symbolische Bedeutung im mengentheoretischen Sinn
...zumindest wenn Cantors Einsichten berücksichtigt werden und ...und..und...und...

>
> > B. nicht nur wohlwollend sondern sogar präzise, ist mit 2^x mengentheoretisch immer ein
> > klarer Bezug zur Potenzmenge erkennbar.sollte in jedem einigermaßen brauchbaren Buch in
> > dem Mengentheorie vorkommt zu finden sein.
>
> Beim Bezug zur Potenzmenge ist mit "^" die kardinale Potenz gemeint.
>
> > C. selbst wenn Ordinalzahlen genommen werden ist mit w_i und 2^(w_i) eine klare Beziehung
> > zwischen einer Menge und ihrer Potenzmenge aufgezeigt.
>
> Aber u.U. ist 2^omega = omega, naemlich fuer die ordinale Potenz.
>

..dann aber ohne mengentheoretischen Bezug und beliebige w_i; also 2^w<2^(w+1) < w+2 ?
Hast Du ein Beispiel für ein solches w_i das 2^w_i = w_i erfüllt ? ( 'nicht Vergleichbarkeiten'
seh' ich zumindest im zugrundeliegenden Ausgangspunkt 'V_oo' nicht.)
Ich hab'ehrlich gesagt Schwierigkeiten nachzuvollziehen, dass beispielsweise w+i < w+k für k>i
aber 2^(w+1) = w+1 ist.

Bleibt nicht auch w_i ^w_k = aleph_1 oder lim_(a-->w_i) a^a = aleph_1 für alle w_i,w_k <
aleph_1?

Wie auch immer , selbst dann ist für dieses ominöse V_oo : | V_(2^oo)| = w

> > E. Um aber präzise abzuklären warum der ürsprüngliche Verfasser/Definierer der V_k -Mengen
> > der Ansicht ist das lim(n-->oo) V_(2^n) in U_(n in IN) V_(2^n) ist, mußt Du ihn schon
> > selber fragen.
>
> Da Du mit dieser Bemerkung seinen Standpunkt nicht verteidigst, seh' ich das ein.
>

> Gruss Wolfgang

Gruß Stefan

[Paul Ebermann]

"Rainer Rosenthal" <r.ros...@web.de> schrieb im Newsbeitrag news:9djh3m$ii6s1$1...@ID-54909.news.dfncis.de...

>
> Paul Ebermann news:9dj7ve$ife8e$1...@ID-77081.news.dfncis.de...
>
> > ... Da wir aber epsilon beliebig klein wählen,
> > und in metrischen Räumen zwischen unterschiedlichen Punkten x,y
> > immer ein Abstand d(x,y) > 0, also auch d(x,y) > epsilon liegt,
> > können wir nachweisen, dass die Folge genau gegen einen bestimmten
> > Punkt konvergiert.
>
> Hallo Paul,
>
> darf ich an den entsprechenden Hinweis von Horst Kraemer
> erinnern, den er im Kugel-Thread gegeben hatte ?
> ( Die Rationalen Zahlen bilden einen metrischen Raum):
>

> [Achilles mit rationalen Wegpunkten]

>
> Die Folge strebt nach ihrem Definitionsgesetz - fuer einen Beobachter,
> der sich in einem reellen Universum befindet - einem "etwas" zu, nur
> gehoert dieses etwas nicht zu den in einem rationalen Universum
> existenten Objekten.

Das war vielleicht etwas ungenau formuliert - ich wollte sagen, dass
in einem metrischen Raum jede Folge, die gegen einen Punkt konvergiert,
nicht gegen einen anderen Punkt konvergieren kann. Dass es
(Cauchy-)Folgen gibt/geben kann, die überhaupt nicht konvergieren,
ist mir natürlich klar.

Aber jetzt schweifen wir zu weit vom Thema ab.

Paul

[Dieter Jungmann]

Paul Ebermann schrieb:

>
> Dein Problem liegt darin, dass du beim Vereinigen
> von Mengen einfach eine Operation einführst, die einen Grenzübergang
> lim(n->oo) 2^n = 2^oo
> impliziert, wobei du mit oo die Kardinalität der Menge der natürlichen
> Zahlen meinst.

Warum ist das ein Problem? Weist du eine Moeglichkeit, eine unendliche
Menge ohne Limes-Operation zu verwirklichen? Kannst du den zitierten
Satz, in dem es um die Vereinigungsmenge von abzaehlbar unendlich
vielen Mengen geht, ohne eine solche Operation mit Sinn erfuellen?
Wie konstruierst du eine Menge mit 2^oo Elementen?

Gruss

Dieter

[Paul Ebermann]

> > Wenn es eine Menge gibt, die die Peano-Axiome erfuellt, nennen wir sie mal
> > die natuerlichen Zahlen, dann laesst sich jedes Element "erreichen" ! Oder
> > kannst du mir ein Element nennen, das man nicht in endlichvielen Schritten
> > erreicht ?
>
> Nehmen wir binaere Darstellung der Zahlen an. Zu jeder Zahl mit k
> Binaerstellen laesst sich auch eine Zahl mit k+1 Binaerstellen angeben.
> Das gilt fuer alle k. Es ist nicht moeglich, ein groesstes k anzugeben,
> folglich ist die Menge der Binaerstellen unendlich. Die Tatsache, dass
> man nicht von allen Binaerstellen Gebrauch macht, ist kein Gegenargument,
> denn man macht auch nicht von allen natuerlichen Zahlen Gebrauch ohne
> deshalb die Unendlichkeit von N zu bezweifeln.

Du kannst für jede natürliche Zahl n angeben, wieviele
Binärstellen b(n) (bei Weglassung der führenden Nullen) benötigt
werden, und b(n) ist für jedes n ebenfalls eine natürliche Zahl.

Allerdings ist die Menge { b(n) | n in N } (also die Menge der
Stellenzahlen für alle natürlichen Zahlen) eine unendliche
Menge, genauer sogar identisch zur Menge N der natürlichen
Zahlen (für jede natürliche Zahl k gibt es eine Zahl n, so
dass b(n) = k, man betrachte z.B. n := 2^(k-1) ),
das wird IMHO niemand bestreiten, also gibt es auch keine
maximale Stellenanzahl für natürliche Zahlen.

Das bedeutet aber nicht, dass es damit natürliche Zahlen mit
unendlich vielen Ziffern/Stellen gibt.

> Wenn du nun trotzdem verlangst, dass alle Elemente in endlich vielen
> Schritten erreichbar sein muessen oder, was dasselbe ist, dass es nur
> natuerliche Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt, dann teilst du
> die als unendlich vorausgesetzte Menge N in 2 Teilmengen ein: eine
> endliche Teilmenge, die alle erreichbaren Elemente enthaelt, und eine
> unendliche Teilmenge, die alle nicht in endlich vielen Schritten
> erreichbaren Elemente enthaelt.

Nein - jede natürliche Zahl lässt sich mit endlich vielen Stellen
schreiben. Natürlich wirst du nicht _alle_ natürlichen Zahlen
aufschreiben können, aber jede beliebig gewählte (sofern dein Papier
groß genug ist und du genug Zeit mitgebracht hast).

Eine Zahl, die sich nicht so aufschreiben lässt, ist schlicht
keine natürliche Zahl, sondern irgend etwas anderes
(z.B. card(N) = aleph_0 fällt in diese Kategorie).

Deine erste Menge ist daher unendlich (und schon ganz N),
die zweite Teilmenge dagegen leer (und nicht unendlich).

> [Abzählbarkeit von N]

>
> Mir scheint, dass du die Reihenfolge nicht verstehst. Bevor ein
> Vergleich einer beliebigen Menge M mit N durch Bijektion Sinn macht,
> muessen die Eigenschaften von N erst einmal bekannt sein. Und bevor
> die obige Frage nicht beantwortet ist, kannst du kaum bahaupten,
> dass du N mit all seinen Eigenschaften kennst.

In der Mathematik ist es üblich, Abzählbarkeit einer Menge M so
zu definieren, dass es dann eine Surjektion von N nach M gibt
(damit ist N abzählbar und alle endlichen Mengen auch).

Du kannst das gerne anders machen, aber dann nenn uns mal
bitte deine Definition, damit wir damit arbeiten können.

Paul

[Paul Ebermann]

> > Dein Problem liegt darin, dass du beim Vereinigen
> > von Mengen einfach eine Operation einführst, die einen Grenzübergang
> > lim(n->oo) 2^n = 2^oo
> > impliziert, wobei du mit oo die Kardinalität der Menge der natürlichen
> > Zahlen meinst.
>
> Warum ist das ein Problem? Weist du eine Moeglichkeit, eine unendliche
> Menge ohne Limes-Operation zu verwirklichen?

Man nehme z.B. den durch das Unendlichkeits-Axiom (das mit "(8)")
vorgeschlagenen Weg. Hier _haben_ wir eine unendliche Menge.

> Kannst du den zitierten
> Satz, in dem es um die Vereinigungsmenge von abzaehlbar unendlich
> vielen Mengen geht, ohne eine solche Operation mit Sinn erfuellen?

Um unendlich viele Mengen zu vereinigen, beötige ich (wie du)
keinen Grenzwert.
Du versuchst allerdings, aus den Anzahlen der Elemente der
"Partialvereinigungsmengen" auf die Kardinalität der
Vereinigungsmenge zu schließen, was meiner Meinung nach
nicht ohne Beweis (oder passende Grenzwertsätze)
durchführbar ist.

> Wie konstruierst du eine Menge mit 2^oo Elementen?

Eine Menge, die 2^card(N) Elemente hat, konstruiere ich
als Menge aller Abbildungen von N nach {1, 2} (alternativ
auch {0,1} oder jede andere Menge mit 2 Elementen). Wie man
dann leicht zeigen kann, ist diese Menge gleichmächtig zur
Potenzmenge (die daher diesen Namen hat) von N. Dies
funktioniert übrigens auch mit endlichen Mengen so...

Paul

[Dieter Jungmann]

Rainer Rosenthal schrieb:

>
> Dieter Jungmann news:3AFCA48D...@t-online.de...
>
> >Unendlich viele Schritte fuehren aber unausweichlich auch zu Zahlen
> >mit unendlich vielen Dezimalstellen.
>
> Hallo Dieter,
>
> jede natürlich Zahl n hat höchstens n Dezimalstellen.
>
> ( Für 1,2,3,4 sind diese Anzahlen 1,1,1,1.
> Für 98,99,100,101 sind sie 2,2,3,3
> Für n > 1 sind die Anzahlen also alle deutlich kleiner.)
>
> Folglich ist die Anzahl der Dezimalstellen einer natürlichen
> Zahl stets endlich.

Das ist mit Sicherheit richtig, wenn man sich auf eine endliche
Teilmenge von N beschraenkt. Aber wie sieht es aus, wenn man
diese Beschraenkung nicht hinnehmen und immer groessere Zahlen
darstellen will?

>
> Womit Du recht hast, das ist die Tatsache, dass es keine
> obere Grenze G gibt derart, dass alle natürlichen Zahlen
> mit höchstens G Dezimalstellen darstellbar wären.
> Und in diesem Sinne gibt es tatsächlich unendlich viele
> Dezimalstellen. Nämlich als Plätze, in denen man die Dezimal-
> stellen einer jeweils vorgegebenen Zahl notieren kann.

Tja, hier fehlt die klare Entscheidung. Zu jedem Platz gibt es
einen Nachfolger-Platz und folglich unendlich viele Plaetze.
Und trotzdem nur endlich viele Dezimalstellen? Was ist mit den
ueberzaehligen Plaetzen?
Solange man nicht von allen Plaetzen Gebrauch macht, erhaelt
man nur Zahlen mit endlich vielen Stellen. Aber dann bewegt
man sich auch nur in einem endlichen Teilbereich von N.
Um den ganzen unendlichen Bereich von N auszuschoepfen
(das muss man z. B. bei der Bildung der Potenzmenge) muss man
von allen Plaetzen Gebrauch machen, oder?

Irrationale Zahlen haben unendlich viele Dezimalstellen. Nehmen
wir einen Algorithmus zur Berechnung von sqrt(2). Jedesmal, wenn
wir eine Ziffer von sqrt(2) aufschreiben, notieren wir auch eine
Ziffer einer natuerlichen Zahl. Solange wir nur Naeherungswerte
von sqrt(2) haben, ist das sicher moeglich. Es wird vorausgesetzt,
dass der Algorithmus, wenn er unbegrenzt fortgesetzt wird, alle
unendlich vielen Dezimalstellen von sqrt(2) liefert. Von welcher
Stelle an ist es deiner Meinung nach nicht mehr moeglich, auch die
Stellenzahl der natuerlichen Zahl weiter zu vergroessern und warum?

>
> Ich hoffe wirklich, dass Dir die Antwort auch gefällt und etwas
> bringt. Tatsächlich würde ich auf Anfrage auch noch eins
> draufsetzen und den obigen Satz mittels Peano-Axiomen
> beweisen, statt sie nur mit ein paar Beispielen zu belegen.

Hallo Rainer,

leider bringt mir die gutgemeinte Antwort nichts. Der springende
Punkt ist immer noch ungeklaert. Du unterscheidest zwischen den
unendlich vielen vorhandenen Plaetzen fuer Dezimalstellen und den
endlich vielen tatsaechlich genutzten. Das gleiche Bild gilt auch
fuer N. N haelt zwar unendlich viele Plaetze fuer natuerliche Zahlen
bereit, genutzt werden sie aber nur, wenn auch die unendlich vielen
Plaetze fuer die Dezimalstellen genutzt werden.

Gruss,

Dieter

[Thomas Haunhorst]

On Sun, 13 May 2001 01:18:56 +0200,
Stefan Loehnert <stl...@attglobal.net> wrote:
> ..dann aber ohne mengentheoretischen Bezug und beliebige w_i;

Die ordinale Exponentiation ist rekursiv so definiert:

(1) a^0:=1
(2) a^{b+1}:=a^b*a
(3) a^b:=sup{a^c:c<b} fuer lim(b)

und darf nicht mit der kardinalen Exponentiation verwechselt werden.

Allerdings frage ich mich, wenn es hier um Maechtigkeiten geht, wieso man
dann auf den Quatsch mit der ordinalen Exponentiation kommt? Das ist voellig
irrelevant.

Gruss

Thomas.
--
Russell ist ein platonischer 1-Mann-Dialog. (Whitehead)

[Wolfgang Thumser]

Hallo Thomas,

> Die ordinale Exponentiation ist rekursiv so definiert:
>
> (1) a^0:=1
> (2) a^{b+1}:=a^b*a
> (3) a^b:=sup{a^c:c<b} fuer lim(b)
>
> und darf nicht mit der kardinalen Exponentiation verwechselt werden.
>
> Allerdings frage ich mich, wenn es hier um Maechtigkeiten geht, wieso man
> dann auf den Quatsch mit der ordinalen Exponentiation kommt? Das ist voellig
> irrelevant.

Das musst Du schon Dieter fragen, der in
Message-ID: <3AF60596...@t-online.de> geschrieben hat:

Aussage 2: Da V_oo die Vereinigungsmenge von abzaehlbar vielen endlichen
Mengen ist, hat sie nach vorstehendem Satz die Maechtigkeit
aleph 0, obwohl die Anzahl ihrer Elemente 2^oo betraegt, und
oo ebenfalls die Maechtigkeit aleph 0 hat.

Er verwechselt hier offenbar 2^oo = sup{2^n:n<oo}= oo (Ordinale Exponentiation),
mit 2^oo > oo (Kardinale Exponentiation), wenn er dies im Widerspruch zu seiner
Aussage 1 sieht und man sein "oo" als omega oder aleph0 interpretiert.

Gruss Wolfgang

[Wolfgang Thumser]

Hallo Stefan,

> Ind. Hyp: | {0,...,n}| = 1
> n -->n+1 :
> |{0,...,n+1}| = |{0,...,n} U {n+1}| und mit Ind.Hyp. ist dies
> = |{0} U|{n+1}| = |{0,n+1}| da nun wiederum durch Ind.Hyp.
> |{0,n+1}| <= | {0,...,n}| = 1 ist , ist die Kardinalität von IN

Der Induktionsschritt von 0 -> 0+1 ist in der letzten Zeile nicht richtig,
denn fuer die Ungleichung |{0,1}| = |{0,0+1}| <= | {0,...,0}| = |{0}| fehlt
jede Berechtigung.

Gruss Wolfgang

[Rainer Rosenthal]

Dieter Jungmann news:3AFDE7C5...@t-online.de...

>Irrationale Zahlen haben unendlich viele Dezimalstellen.

Hallo Dieter,

bitte unterscheide doch zwischen den Dezimalstellen
vor und denen nach dem Komma.

Sonst kann die Diskussion nur Kuddelmuddel bringen.

Gruss,
Rainer

[Rainer Rosenthal]

Dieter Jungmann news:3AFDC399...@t-online.de...

>
> Die Frage lautet:
> Kann man in endlich vielen Schritten alle Elemente dieser Menge
> erreichen

Hallo Dieter,

1. Für ALLE Elemente dieser Menge N lässt sich eine Anzahl A
von Schritten angeben, in denen es erreicht werden kann.

2. Es gilt NICHT, dass sich eine Anzahl A angeben liesse derart,
dass man alle Elemente mit maximal A Schritten erreichen könnte.

"Für alle" und "Es gibt" und "nicht" usw. ist gar nicht so einfach.
Das muss man lernen. Und anschliessend weiss man.

Gruss,
Rainer

[Detlef Müller]

Christian Semrau wrote:
>
> Hallo Detlef,
>
> ich hab eine Frage zu deiner Argumentation.
>
> Detlef Müller wrote:
> >
> > Annahme: IN Endlich.
> >
> > Wir haben die Addition von 1.
> >
> > Es geht die Abbildung n -> n+1
> > von IN nach IN\{1}, eine echte
> > Teilmenge von IN.
> >
> > Auf grund der Endlichkeit von IN kann
> > sie dann nicht injektiv sein,
>
> Kannst du bitte erklaeren, warum die Abbildung
> hier nicht injektiv sein kann?
>
Per Definition von "Endliche Menge" im Vorposting,
danach ist eine Menge genau dann endlich, wenn
keine injektive Abbildung in eine echte Teilmenge
injektiv ist.

> Du hast hier das Problem, dass die letzte
> Zahl in der endlichen Menge keinen Nachfolger in
> dieser Menge hat.
>
Ich habe kein Problem, da ich einfach nur die
Def. von endlicher Menge einsetzen muss, und
mir um "letze Zahl" etc. keinen Kopf machen
muss - es geht hier nur darum aus einer
(falschen) Aussage 1=0 zu folgern.

> > also gibt es verschiedene Natuerliche Zahlen
> > n,m mit n+1 = m+1.
> > Es folgt n-m = 0.
> > da nun darf man (wegen n ungleich m)
> > druch n-m Teilen, und erhaelt
> > 1=0, voila!
>
> Diese Argumentation funktioniert so also nicht.

Doch.

> Aber nebenbei steht die Annahme einer "letzten Zahl"
> im Widerspruch zu den Peano-Axiomen.

Ja.

> Genauso wie die Annahme, dass die "Menge der natuerlichen Zahlen"
> eine endliche Menge mit _fester_ endlicher Maechtigkeit ist
> (wie das fuer "normale" endliche Mengen ueblich ist)...
>
Auch das.

> Ist jetzt alles widerspruechlich?!
>
Alles, was Du aufgezaehlt hast jedenfalls.
Schliesslich zweifelt keiner daran, sondern es war
einfach eine beweistechnische Fingeruebung, den
Widerspruch in die Form 1=0 zu bringen, ohne auf
die platituede "aus einem Widerspruch folgt beliebiges"
zurueckzugreifen.
Dabei faellt mir ein, dass ein Prof mal die
Anekdote erzaehlte, wie ein Unglaeubiger das bezweifelte,
und einen Mathematiker mal aufforderte, zu beweisen, dass
aus "1=0" folgte, dass er der Papst sei.
"Nun", antwortete der Mathematiker, "Wenn wir 1=0 haben,
koennen wir auf beiden Seiten eins addieren, dann gilt
2=1. Der Papst und Du, das sind Zwei, also mit der Folgerung
eins, und Du bist der Papst, qed."

Gruss,
Detlef

> *verwirrtbin*
>
> Gruss,
> Christian
>
> --
> Warum laeuft das Huhn ueber das Moebius-Band?
> Um auf die andere Seite - aehm...

[Detlef Müller]

Dieter Jungmann wrote:
>
...

>
> Nehmen wir binaere Darstellung der Zahlen an. Zu jeder Zahl mit k
> Binaerstellen laesst sich auch eine Zahl mit k+1 Binaerstellen angeben.
> Das gilt fuer alle k. Es ist nicht moeglich, ein groesstes k anzugeben,
> folglich ist die Menge der Binaerstellen unendlich. Die Tatsache, dass
> man nicht von allen Binaerstellen Gebrauch macht, ist kein Gegenargument,
> denn man macht auch nicht von allen natuerlichen Zahlen Gebrauch ohne
> deshalb die Unendlichkeit von N zu bezweifeln.
>
> Wenn du nun trotzdem verlangst, dass alle Elemente in endlich vielen
> Schritten erreichbar sein muessen oder, was dasselbe ist, dass es nur
> natuerliche Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt, dann teilst du
> die als unendlich vorausgesetzte Menge N in 2 Teilmengen ein: eine

> endliche Teilmenge, die alle erreichbaren Elemente enthaelt, ...
>
Nennen wir die mal N1 ... diese Menge ist uebrigens _nicht_
endlich.
Denn wenn Du ein erreichbares Element e hast (ich nehme mit erreichbar
meinst Du, in endlich vielen Schritten durch Nachfolgerbildung
von eins aus erreichbar), so kannst Du den Nachfolger dieses
Elementes trivialerweise auch in endlich vielen Schritten
erreichen. Denn du brauchst schliesslich nur einen einzigen mehr
als fuer das Element e, also insbesondere endlich viele.
N1 hat also _kein_ letztes Element, folglich ist N1 undendlich.
Du verstrickst Dich hier in Deine konstruktivistische Anschauung,
die Dir "vorgaukelt", ein Element waer "erst dann" in N1 enthalten,
wenn Du alle Schritte durchgefuehrt hast.
Dass ist nicht noetig.
Die Eigenschaft "ist in endlich vielen Schritten erreichbar"
wohnt jeder einzelnen Zahl inne, und zwar von vornherein.
So bildet man Teilmengen von unendlichen Mengen.
Teilmengen werden allein durch eine Relation bereits genauso
Vollstaendig definiert, wie das Unendlichkeitsaxiom die existenz
einer unendlichen Menge definiert.
Darauf musst Du Dich schon einlassen, wenn Du Widersprueche
in der Mengenlehre aufdecken willst.

> und eine
> unendliche Teilmenge, die alle nicht in endlich vielen Schritten
> erreichbaren Elemente enthaelt.
>

Fuer eine die Peanoaxiome erfuellende Menge mag es so einen Anteil
geben.
Bloss - schon die Menge N1 erfuellt die Peanoaxiome.
Weil aber die Natuerlichen Zahlen die kleinste Menge ist,
die diese Axiome erfuellt (genauer: die Schnittmenge Aller
dieser Mengen ist), muss diese Menge der nicht in endlich vielen
Schritten "erreichbaren" Elemente leer sein.

Gruss,
Detlef

[Detlef Müller]

Stefan Loehnert wrote:
>
...
> Nun denn:
> Ind. Anfang |{0}| = 1

> Ind. Hyp: | {0,...,n}| = 1
> n -->n+1 :

> |{0,...,n+1}| = |{0,...,n} U {n+1}| und mit Ind.Hyp. ...

:)
Beliebte Aufgabe fuers erste Semester ...

Gruss,
Detlef

[Detlef Müller]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Paul Ebermann schrieb:
> >
> > Dein Problem liegt darin, dass du beim Vereinigen
> > von Mengen einfach eine Operation einführst, die einen Grenzübergang
> > lim(n->oo) 2^n = 2^oo
> > impliziert, wobei du mit oo die Kardinalität der Menge der natürlichen
> > Zahlen meinst.
>
> Warum ist das ein Problem? Weist du eine Moeglichkeit, eine unendliche
> Menge ohne Limes-Operation zu verwirklichen?
>

Aber klar doch.

Die klassische Mengenlehre gibt da mehrere Moeglichkeiten:

Als triviale natuerlich die postulierte unendliche Menge
im Unendlichkeitsaxiom.

Dann kriegt man zu jeder Unendlichen Menge weitere durch
selektion einer Eigenschaft,
etwa P={x aus N | x ist eine Primzahl}, dies definiert bereits
die Menge der Primzahlen.

Beachte, dass die Menge gemaess der Mengenlehre jetzt schon
fertig und komplett definiert ist!

Wie lange es konkret dauert, bis ich fuer ein x entschieden
habe, ob es in P liegt, interessiert dabei nicht.

Eine dritte Moeglichkeit ist das Bilden der Potenzmenge.
Auch hier gilt per Definition: Zu einer Menge M gibt
es die Potenzmenge Pot M, die genau die Teilmengen von
M als Elemente enthaelt.

Das ganze "Konstruieren" solltest Du Dir gruendlich aus
dem Kopf schlagen, bevor Du irgendwelche Widersprueche
in der klassischen Mengenlehre zeigen willst.

> Kannst du den zitierten
> Satz, in dem es um die Vereinigungsmenge von abzaehlbar unendlich
> vielen Mengen geht, ohne eine solche Operation mit Sinn erfuellen?
> Wie konstruierst du eine Menge mit 2^oo Elementen?
>

Du bist in der Hinsicht einem Missverstaendnis erlegen.
2^oo hat einfach eine andere Bedeutung, als Du angenommen
hattest, aber das wurde ja schon an anderer Stelle
geklaert.

Gruss,
Detlef

[Detlef Müller]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Rainer Rosenthal schrieb:
> >
> > Dieter Jungmann news:3AFCA48D...@t-online.de...
> >
> > >Unendlich viele Schritte fuehren aber unausweichlich auch zu Zahlen
> > >mit unendlich vielen Dezimalstellen.
> >
> > Hallo Dieter,
> >
> > jede natürlich Zahl n hat höchstens n Dezimalstellen.
> >
> > ( Für 1,2,3,4 sind diese Anzahlen 1,1,1,1.
> > Für 98,99,100,101 sind sie 2,2,3,3
> > Für n > 1 sind die Anzahlen also alle deutlich kleiner.)
> >
> > Folglich ist die Anzahl der Dezimalstellen einer natürlichen
> > Zahl stets endlich.
>
> Das ist mit Sicherheit richtig, wenn man sich auf eine endliche
> Teilmenge von N beschraenkt. Aber wie sieht es aus, wenn man
> diese Beschraenkung nicht hinnehmen und immer groessere Zahlen
> darstellen will?
>

Dann wird die Anzahl eben groesser.
Aber doch nie unendlich!

...
>
> ... Von welcher

> Stelle an ist es deiner Meinung nach nicht mehr moeglich, auch die

> Stellenzahl der Zahl weiter zu vergroessern und warum?
>
Eine natuerlichen Zahl ist eine natuerliche Zahl.
Die kann man nicht "Vergroessern", dann ist es naemlich
eine andere Zahl!
Also kann man die Stellenzahl keiner einzigen natuerlichen
Zahl vergroessern.
Klar?
83 ist 83, da kann man sich auf den Kopf stellen, sie
wird nicht groesser.
84 ist eine _andere_ Zahl.

Gruss,
Detlef

[Detlef Müller]

Detlef Müller wrote:
>
...

> danach ist eine Menge genau dann endlich, wenn
> keine injektive Abbildung in eine echte Teilmenge
> injektiv ist.
>

Ooops ... natuerlich, wenn keine Abbildung in eine
echte Teilmenge injektiv ist!
(bzw. es gibt keine injektive Abb. in eine echte
Teilmenge)

Gruss,
Detlef

[Stefan Loehnert]

Detlef Müller wrote:

Die wenigsten belegen im ersten Semester 'Theorie Axiomatischer Systeme
und Prädikatenlogik' :-)

Gruß Stefan

[Stefan Loehnert]

Hallo Wolfgang,

Wolfgang Thumser wrote:

Die Ungleichung |{0,n+1}| <= | {0,...,n}| ergibt sich doch einfach
daraus das
eine Injektion bspw. mit
0--> 0 /\ n+1 --> n konstruierbar ist
( Ind. Hyp: | {0,...,n}| = 1 ; f.a. n<n+1) mit beliebigen
(Hypothesen-)n (> startwert=0) ).

Auch z.Bsp. sum_(k=0 bis 0) k = 0; Hyp: sum_(k=0 bis n) k = n(n+1)/2
und dann ist doch in ( n--> n+1)
die Ungleichung |{0,n+1}| <= |{0,...,n}| unstrittig.
Das |{0,n+1}|<= |{0}| ist doch nur eine Konsequenz die sich ergibt aber
keine Frage der Berechtigung. Es folgt ja schließlich auch
{0,0+1} = {0,0} = {0} und damit '0=1'. 'Berechtigt' wird das ganze doch
durch |{0}| = 1 .
Ob nun die Hypothese als 'berechtigt' gilt oder nicht entscheidet sich
ja erst im Induktionsschritt.

Nett, oder ? :-)

Gruß Stefan.

[Dieter Jungmann]

Paul Ebermann schrieb:
>
> Was verstehst du unter einer *endlichen natürlichen Zahl*?
> Endlichkeit/Unendlichekeit kenne ich bisher nur von Mengen,
> und darauf sollten wir uns hier beschränken.

"Endliche natuerliche Zahl" ist ein verkuerzter Ausdruck fuer
"Zahl mit endlich vielen g-adischen Stellen oder mengentheoretische
Zahl (= Menge) mit endlich vielen Elementen".

>
> Um die Stellenanzahl einer natürlichen Zahl anzugeben, reicht eine
> einzige Zahl (keine endliche Teilmenge) aus - wo ist das Problem?

Natuerlich reicht eine einzige Zahl. Sie ist aber Element einer
endlichen Teilmenge von N, die alle Zahlen von 0 bis mindestens
einschliesslich dieser Zahl n enthaelt. n muss nicht die groesste
Zahl dieser Teilmenge sein, aber wenn du sagst, dass es nur Zahlen
mit endlich vielen Stellen gibt, sind sie alle in einer endlichen
Teilmenge von N enthalten. Die Frage, wie gross diese Teilmenge
sein muss, laesst sich sofort beantworten, wenn du sagst, wieviel
Stellen die Zahlen maximal haben koennen. Oder haelst du es fuer
korrekt, zu behaupten, dass es nur Zahlen mit endlich vielen Stellen
gibt, und gleichzeitig die Auskunft zu verweigern, wieviele es sein
duerfen?

Wenn dir das zu abstrakt ist, nehmen wir das Beispiel, das ich in
der Antwort an Rainer Rosenthal genannt habe. Zu jeder irrationalen
Zahl gibt es einen Algorithmus, mit dem rationale Naeherungen a/b
berechnet werden koennen. a und b werden schrittweise groesser und
ihr Quotient naehert sich dem gesuchten Wert. Die Existenz der
irrationalen Zahl ist von der Existenz eines solchen konvergierenden
Algorithmus abhaengig. Denn ohne diesen Algorithmus haette man z. B.
keinen Beweis dafuer, dass es eine Zahl gibt, deren Quadrat gleich 2
ist. Solange a und b Zahlen mit endlich vielen Stellen sind, ist ihr
Quotient keine irrationale Zahl. Deren Existenz ist also davon
abhaengig, das es natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen
gibt.

>
> > Wichtiger als diese Frage scheint mir aber die Maechtigkeitsdefinition
> > zu sein, weil sie die Ursache vieler Widersprueche ist. Ich hatte
> > bisher keine Probleme, die fuer endliche Mengen gueltige Definition
> > auch auf unendliche Mengen anzuwenden. Kennst du ein Beispiel, wo
> > das nicht moeglich ist? Es bereitet doch keine Schwierigkeiten
> > festzustellen, welche Menge Teilmenge und welche Obermenge ist.
> > Aus welchem Grund braucht man also fuer unendliche Mengen eine
> > neue Maechtigkeitsdefinition?
>
> Kannst du diese Definition noch einmal angeben?
>
> Kannst du damit feststellen, ob {1, 2, 3, 4} und
> {5, 6, 7, 8} gleichmächtig sind?

Natuerlich sind sie gleich maechtig, sie haben die gleiche Anzahl
Elemente.

Mit dem Hinweis wollte ich dich anregen, einmal ueber den Grund fuer
die zwei Maechtigkeitsdefinitionen der Mengenlehre nachzudenken.
Da solche Hinweise aber in der Weise missdeutet werden, dass ich
daraus Widersprueche ableiten will, moechte ich diese Diskussion
vorerst zurueckstellen. Falls dann noch Interesse daran besteht,
koennen wir sie evtl. spaeter fortsetzen.

Jetzt moechte ich mich ganz auf die Diskussion eines konkreten
Beispiels beschraenken. Ich werde das in einem posting an Christian
Semrau (als Antwort auf sein erstes posting, um wieder etwas
Uebersicht in diesen Thread zu bringen) erlaeutern.

Gruss

Dieter

[Norbert Micheel]

"Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag

news:3AFDC26F...@t-online.de...

>
> Deine Frage
> "Oder kannst du mir ein Element nennen, das man nicht in
> endlich vielen Schritten erreicht?"
> ist daher Nonsens,

Sagen wir, sie war zu provokant.
Ich hatte einfach erwartet, du wuerdest dir noch mal vorurteilsfrei die
Menge der Natuerlichen Zahlen vorstellen und versuchen meiner Frage
gedanklich zu folgen.. dabei ueberlegen, welche Eigenschaften ein solches
Element haben muesste.
Wir haetten dann gemeinsam ueberlegen koennen, was die Konsequenzen aus
diesen Eigenschaften waeren.
Jetzt hab ich das alleine gemacht, und hab meine Anschauung dadurch sogar
noch verfeinert.

Ein sinvoller Einwand waere gewesen zu sagen, es koennte noch weitere
Elemente wie die "1" geben, die keinen Vorgaenger haben. Dies ist auf den
ersten(!) Blick durch die Peano-Axiome nicht ausgeschlossen. Anschaulich
gesprochen haette man dann mehrere "Nachfolger-Ketten".
Aber , wie dies mittlerweile einige andere Poster schon geschrieben haben,
widerspricht dies dem Induktionsprinzip: Die Menge, ohne diese weitere "1"
und ihre Nachfolger, waere schon gleich N.

> ... Auch die

> Aufforderung "Nenne mir das groesste k" ist Nonsens. Denn wenn _du_
> die Behauptung aufstellst, dass es nur Zahlen mit endlich vielen
> Stellen gibt, ist es auch _deine_ Aufgabe, dieses k anzugeben.

Nur weil ich sage "Es gilt A", und du glaubst es gilt "A=>B", muss ich nicht
zeigen "Es gilt B".
Ich versuche dir hier nur klar zu machen, dass "A=>B" nicht gilt.

Wenn es nur Zahlen mit endlich vielen Stellen gibt, muss deshalb nicht die
Anzahl der Stellen beschraenkt sein.
{ n=b_1b_2...b_k | k \in N } waere meiner Ansicht nach eine Menge von
Zahlen,
die nur endlich viele Binaerstellen haben. Es sind unendlich viele Zahlen.
Und es gibt Zahlen mit beliebiger Stellenanzahl - also ist die Stellenanzahl
unbeschraenkt.

> Und wenn du das nicht kannst, folgt daraus, dass es auch Zahlen mit
> unendlich vielen Stellen geben muss, auch wenn man sie nicht angeben
> kann, weil die Atome des Weltalls dafuer nicht ausreichen, denn solche
> physikalischen Beschraenkungen interessieren den Mathematiker nicht.

Danke, aber ich glaube ich weiss ganz gut, was Mathematiker interessiert...
;-)

> >
> > Aber dIe Axiome kollidieren nur mit deiner Anschauung.
> > Und ich verstehe nicht, was daran so schwer zu akzeptieren ist.
>
> Warum gehst du mit keinem Wort auf den Widerspruch ein, der in dem
> posting, das du hier beantwortest, den groessten Teil einnimmt?

Mal ganz ehrlich ?
Also ich versuche so wenig wie moeglich auf das was du schreibst einzugehen,
weil ich nicht mit deinen Begriffen argumentieren moechte/kann.
Mir ist klar, mit jedem allgemeinsprachlichem Satz den ich schreibe, bewege
ich mich auf duennem Eis.
Man kann nichts exakt beweisen, solange anschauliche Begriffe verwendet
werden, die nicht exakt definiert sind.
Deshalb schalte ich mich hauptsaechlich dann ein, wenn du etwas folgerst und
dieses "Folgern" aber logisch nicht richtig ist.
Ich habe dann (naiverweise) die Hoffnung, dass _du_ fuer dich nochmals
ueberpruefst, ob du rein logisch gefolgert hast, oder eben du zuviel von
deiner Anschauung eingebracht hast.

> Dieser Widerspruch folgt ausschliesslich aus Aussagen, die in Buechern
> ueber Mengenlehre oder postings dieser NG nachzulesen sind. Er hat
> nichts mit meinen Anschauungen zu tun.

Deine Folgerungen aus Aussagen, die in Buechern enthalten sind, enthalten
deine Anschauungen. Sie lassen dich glauben es sei eine rein logische
Folgerung - sie ist es aber manchmal nicht.

Gruss Norbert

[Dieter Jungmann]

Hallo Christian,

diesen Thread hattest du eroeffnet, um etwas ueber meine
Interpretation des Begriffs Unendlich zu erfahren. Da dies
jetzt zum Bumerang wird, werde ich keine Hinweise oder
Erklaerungen mehr geben und auch keine Fragen nach meiner
Meinung mehr beantworten. Es geht darum, festzustellen, ob
die Mengenlehre einen Widerspruch enthaelt.

Das wollen wir am konkreten Beispiel der Cantor-Menge testen.
Diese ist nicht meine Erfindung sondern Kind der Mengenlehre.
In meinem posting vom 11.5. 01:27 habe ich auf einen Widerspruch
hingewiesen. Auf die Menge V_oo, die ich zum Vergleich heran-
gezogen habe, koennen wir vorerst verzichten.

Dein posting vom 11.5. 16:28 befasst sich nur mit der Menge V_oo.
Mit diesem Beispiel versuche ich abzuklopfen, was die Aussagen der
Mengenlehre bedeuten. Es mag sein, dass ich dabei zu anderen als
den offiziellen Ergebnissen komme. Um die Unterschiede zu klaeren
wird ja die Diskussion gefuehrt. Aber die Unterstellung, dass ich
deshalb ein eigenes Begriffsystem habe, ist der Sache nicht dienlich.
Ich verzichte daher auf eigene Beispiele. Befassen wir uns also nur
mit der nicht von mir eingefuehrten Menge M_k bzw. M_oo und der
daraus folgenden Menge B_k bzw. B_oo.
Aus der Ueberabzaehlbarkeit dieser Mengen folgt, dass auch die
Menge der rationalen Zahlen ueberabzaehlbar ist. Zeige bitte,
wo der Fehler in meiner Argumentation ist.

Gruss

Dieter

[Wolfgang Thumser]

Hallo Stefan,

Vielleicht wird mein Einwand klarer, wenn wir die Induktion im einzelnen
betrachten:

Du willst die Aussage A(n): |{0,...,n}| = 1 fuer alle n beweisen.

Vollstaendige Induktionen laufen nach folgendem Schema ab (Dominoprinzip):

A(0) gilt Induktionsanfang (erster Stein faellt)
Aus A(0) folgt A(1) Induktionsschritt (erster Stein reisst zweiten mit)
A(1) gilt modus ponens (zweiter Stein faellt)
Aus A(1) folgt A(2) Induktionsschritt (zweiter Stein reisst dritten mit)
A(2) gilt modus ponens (dritter Stein faellt)
usw.

Verfolgen wir dieses Prinzip nun anhand Deiner Beweisfuehrung:

A(0): |{0,0}| = |{0}| = 1 gilt!

Aus A(0) folgt A(1) : Aus |{0}| = 1 folgt |{0,1}| = 1:
Die einzige Aussage A(n), die Du fuer diesen Schluss verwenden kannst
ist bis dato A(0), denn die Gueltigkeit aller anderen A(n) steht und faellt mit
diesem Schluss. Wir wissen bereits dass A(0) : |{0}| = 1 gilt und haben unter
dieser Voraussetzung A(1) : |{0,1}| = 1 zu zeigen (Die Gueltigkeit aller an-
deren A(n) fuer n = 1,2,3,...) ist zu diesem Zeitpunkt wie gesagt noch fraglich).
Du bietest uns folgendes Argument:

> Die Ungleichung |{0,n+1}| <= | {0,...,n}| ergibt sich doch einfach
> daraus das
> eine Injektion bspw. mit
> 0--> 0 /\ n+1 --> n konstruierbar ist

Fuer n=0 sieht die von Dir angebotene Injektion wie folgt aus:
0 --> 0 ^ 0 + 1 --> 0 also
0 --> 0 ^ 1 --> 0
Das ist aber KEINE Injektion. Folglich kannst Du den Induktionsschritt
"Aus A(0) folgt A(1)" nicht zeigen, und da die ganze Induktion mit diesem
Schritt steht und faellt, hast Du keinen Beweis.

In der Sprache der Dominosteine ausgedrueckt heisst das: Der Abstand
zwischen erstem und zweitem Stein ist zu gross, als dass der erste den
zweiten noch mitreissen koennte. Der erste faellt, und der fallende zweite
wuerde auch die ganze Kette zum fallen bringen, aber dummerweise gelingt
es dem ersten nicht, den zeiten zum Fallen zu bringen.

> ( Ind. Hyp: | {0,...,n}| = 1 ; f.a. n<n+1) mit beliebigen
> (Hypothesen-)n (> startwert=0) ).

Fuer n = 0 hast Du nur die eine Hyp. |{0}| = 1, die Gueltigkeit anderer
Hypothesen darfst Du bislang nicht voraussetzen, um A(1) zu zeigen,
und das hilft Dir nichts, wie wir gesehen haben.

> Nett, oder ? :-)

Nett schon, nur eben nicht schluessig!

Gruss Wolfgang

--
Wolfgang Thumser
Universität Bielefeld
Fachbereich Mathematik
email: thu...@mathematik.uni-bielefeld.de

[Wolfgang Thumser]

Hallo Dieter,

> Es mag sein, dass ich dabei zu anderen als
> den offiziellen Ergebnissen komme. Um die Unterschiede zu klaeren
> wird ja die Diskussion gefuehrt. Aber die Unterstellung, dass ich
> deshalb ein eigenes Begriffsystem habe, ist der Sache nicht dienlich.

ACK

> Befassen wir uns also nur
> mit der nicht von mir eingefuehrten Menge M_k bzw. M_oo und der
> daraus folgenden Menge B_k bzw. B_oo.

Zur Erinnerung: M_k bzw. B_k enthalten als Elemente jeweils die
abgeschlossenen bzw. offenen Intervalle, die bei der Konstruktion des
Cantorschen Diskontinuums im k-ten Schritt entstehen. Du behauptest
nun:

> Aus der Ueberabzaehlbarkeit dieser Mengen folgt, dass auch die
> Menge der rationalen Zahlen ueberabzaehlbar ist.

Ich darf Deine Argumentation vom 11.5. 01:27 h wiederholen:

:Die Elemente der M_k sind abgeschlossene Intervalle.
ACK
:Die Endpunkte dieser Intervalle sind ausnahmslos rationale Zahlen
:und bleiben bei den weiteren Teilungen erhalten.
ACK
:Jedes Element von M_k enthaelt also mindestens 2 rationale Zahlen.
ACK
:Da die Maechtigkeit von M_oo aleph_1
:ist, enthaelt also auch M_oo ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen.
NAK Begruendung:

M_oo entsteht aus den einzelnen M_k durch folgenden Prozess:
Zunaechst vereinigt man die in den M_k enthaltenen Intervalle
zu neuen Mengen N_k, bspw.:

M_1 = {[0, 1/3], [2/3, 1]}, N_1 = [0, 1/3] vereinigt [2/3, 1]

Waehrend M_1 noch zweielementig ist (Sie enthaelt 2 Intervalle),
enthaelt N_1 bereits ueberabzaehlbar viele Elementen (naemlich
alle reellen Zahlen, die im ersten oder zweiten Intervall von M_1 ent-
halten sind). M_oo schliesslich entsteht aus den Hilfsmengen N_k
durch abzaehlbare Schnittbildung, also:

M_oo = N_1 geschnitten N_2 geschnitten N_3 geschnitten ...

Waehrend eine abzaehlbare Vereinigung abzaehlbarer Mengen stets
abzaehlbar ist, braucht ein abzaehlbarer Schnitt ueberabzaehlbarer
Mengen keineswegs abzaehlbar zu sein. Zwar enthaelt er alle in den
M_k vorkommenden (abzaehlbar vielen) rationalen Endpunkte, aber
darueber hinaus eben noch zusaetzliche reelle Zahlen, die
ihn schliesslich ueberabzaehlbar werden lassen.

M.a.W.: Die ueberabzaehlbar vielen reellen Zahlen im Innern der
Intervalle mit (abzaehlbar vielen) rationalen Endpunkte und NICHT
die Endpunkte selbst sind es, die Anlass fuer die Ueberabzaehlbarkeit
von M_oo geben. Folglich ist die Abzaehlbarkeit der rationalen Zahlen
durchaus vereinbar mit der Ueberabzaehlbarkeit von M_oo und fuehrt
auf keinen Widerspruch.

[Christian Semrau]

Dieter Jungmann wrote:
>
> Hallo Christian,
>
> diesen Thread hattest du eroeffnet, um etwas ueber meine
> Interpretation des Begriffs Unendlich zu erfahren. Da dies
> jetzt zum Bumerang wird, werde ich keine Hinweise oder
> Erklaerungen mehr geben und auch keine Fragen nach meiner
> Meinung mehr beantworten. Es geht darum, festzustellen, ob
> die Mengenlehre einen Widerspruch enthaelt.

Alle Beispiele, mit denen du Widersprueche in der Mengenlehre
aufdecken willst, haben den Mangel, dass nicht die Begriffe
und Folgerungen verwendet werden, wie sie definiert sind, sondern
du laesst jedesmal deine Interpretation der Schreibweisen eingehen,
die sich aber nicht mit den Definitionen deckt.

Ich hatte vor, deine - sehr interessante - Vorstellung zu erfahren,
in diesem Vorhaben wurde ich bestaerkt durch ein Gespraech mit
einer Nicht-Mathematikerin, die anscheinend eine sehr aehnliche
Auffassung hat, z.B. kennt sie nur eine Unendlichkeit (naemlich
die Maechtigkeit der "beliebig erweiterbaren" Mengen), hat keine
"vollstaendig existenten" unendlichen Mengen, fasst beim Bilden
der Potenzmenge nur die endlichen Teilmengen zusammen, usw.

Ich frage mich, ob man in dieser Vorstellungswelt zu Widerspruechen
kommt, wenn man _nur_ darin arbeitet.
Du fragst dich, ob man in der "offiziellen" Mengenlehre zu
Widerspruechen kommt, wenn man nur darin arbeitet.
Also, bleiben wir in der Mengenlehre.

> Das wollen wir am konkreten Beispiel der Cantor-Menge testen.
> Diese ist nicht meine Erfindung sondern Kind der Mengenlehre.
> In meinem posting vom 11.5. 01:27 habe ich auf einen Widerspruch
> hingewiesen. Auf die Menge V_oo, die ich zum Vergleich heran-
> gezogen habe, koennen wir vorerst verzichten.
>
> Dein posting vom 11.5. 16:28 befasst sich nur mit der Menge V_oo.
> Mit diesem Beispiel versuche ich abzuklopfen, was die Aussagen der
> Mengenlehre bedeuten. Es mag sein, dass ich dabei zu anderen als
> den offiziellen Ergebnissen komme. Um die Unterschiede zu klaeren
> wird ja die Diskussion gefuehrt.

Das ist mein Ziel.

> Aber die Unterstellung, dass ich
> deshalb ein eigenes Begriffsystem habe, ist der Sache nicht dienlich.

So kommt es mir jedoch vor. Und zwar an vielen Stellen.
Und auf die gehe ich ein. Es tut mir leid, wenn ich das etwas
"lehrerhaft" tue, indem ich dich auf "Fehler" hinweise. Eigentlich
will ich nur sagen, dass ich von gewissen Folgerungen nicht glaube,
dass sie so erhaeltlich sind. Und ich aeussere die Vermutung, dass
du zu diesen Resultaten kommst, indem du deine Anschauung benutzt.

Mir waere wohler, wenn wir nochmal auf V_oo eingehen koennten,
denn um ehrlich zu sein, ist mir die Cantor-Menge selbst nicht
ganz geheuer :)

> Ich verzichte daher auf eigene Beispiele. Befassen wir uns also nur
> mit der nicht von mir eingefuehrten Menge M_k bzw. M_oo und der
> daraus folgenden Menge B_k bzw. B_oo.
> Aus der Ueberabzaehlbarkeit dieser Mengen folgt, dass auch die
> Menge der rationalen Zahlen ueberabzaehlbar ist. Zeige bitte,
> wo der Fehler in meiner Argumentation ist.

Das werde ich tun, wenn ich wieder mehr Zeit habe.
(Und nachdem ich mich intensiver mit den Konstruktionen auseinander
gesetzt habe).

Aber inzwischen wird sicher jemand die Argumentation des genannten
Postings zerlegen und dir haarklein erklaeren, was du "falsch gemacht"
hast. Ich kann den Leuten nicht verbieten, dir mit aller Macht die
"offizielle Mengenlehre" aufdruecken zu wollen.

[Hermann Kremer]

Klaus Schmidt schrieb in Nachricht ...
"Hermann Kremer" <hermann...@online.de>:
>Klaus Schmidt schrieb in Nachricht ...
>SHol...@gmx.de (Sebastian Holzmann):

Hallo Klaus,

>>>>Da \sum_{n=0}^{\inf} 1 / (2^n) = 2, hat er also nach zwei Minuten alle
>>>>Gäste informiert.
>
>>>Genau das wird eben nie gelingen. Der Grenzwert dieser Folge ist 2,
>>>klar. Das heißt aber nicht die Summe wäre 2.
>
>>Hä ? Für mich ist
>> Sum{n=0...oo} (1/2)^n = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
>>die geometrische Reihe mit der _Summe_ 2 ...
>
>Ich war der Meinung, diese Summe wird als Grenzwert bezeichnet.
>
>Mir kam es darauf an, dass eine Reihe mit unendlich vielen Gliedern
>nicht mit endlich vielen Schritten durchlaufen werden kann.

Hmmm.
Die unendliche Reihe S = 1 + q + q^2 + ... + q^k + ... mit |q| < 1
kann man

1) Als Grenzwert der Partialsummen
S_n = 1 + q + ... + q^n
betrachten:
S = lim{n->oo} S_n
Hierbei kann jede Partialsumme in endlich vielen Schritten summiert
werden, nicht aber der Grenzwert.

2) Als Lösung der inhomogenen Differenzengleichung
S[n+1] = S[n] + q^(n+1) .
Diese Differenzengleichung läßt sich mittels Standardmethoden in
endlich vielen Schritten lösen und liefert die Lösung
S[n] = (q^(n+1) - 1) / (q - 1) ,
die man dann auch mittels vollständiger Induktion in ebenfalls endlich
vielen (ca. 6 :-) Rechenschritten nochmals beweisen kann.
Der Grenzübergang lim{n->oo} S[n] = q/(1 - q) für |q| < 1
erfordert dann
auch nur endlich viele ;-) Schritte.

>
>Der Portier ist noch immer unterwegs ;-)
>

Vielleicht hat er ja eine Rundspruch-Anlage mit einem Lautsprecher in jedem
Zimmer ;-))

Grüße
Hermann
--

>
>Klaus

[Sebastian Holzmann]

Hallo,

Klaus Schmidt <k.sc...@gmx.net> wrote:
>"Hermann Kremer" <hermann...@online.de>:
>
>>Klaus Schmidt schrieb in Nachricht ...
>
>>SHol...@gmx.de (Sebastian Holzmann):
>

>>>>Da \sum_{n=0}^{\inf} 1 / (2^n) = 2, hat er also nach zwei Minuten alle
>>>>Gäste informiert.
>
>>>Genau das wird eben nie gelingen. Der Grenzwert dieser Folge ist 2,
>>>klar. Das heißt aber nicht die Summe wäre 2.
>
>>Hä ? Für mich ist
>> Sum{n=0...oo} (1/2)^n = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
>>die geometrische Reihe mit der _Summe_ 2 ...
>
>Ich war der Meinung, diese Summe wird als Grenzwert bezeichnet.
>
>Mir kam es darauf an, dass eine Reihe mit unendlich vielen Gliedern

>nicht mit endlich vielen Schritten durchlaufen werden kann. Der

>Portier ist noch immer unterwegs ;-)

Ich hab ihn aber drei Minuten später wieder am Empfang gesehen ;-)

Grüße
Sebastian

--
"Nicht Holzhammermethoden sind gefragt, sondern der Dialog ist gefragt"
Cajus Julius Caesar, MdB

[Roland Harnau]

Stefan Loehnert <stl...@attglobal.net> schrieb...

? Das ist einer der klassischen Fehlschlüsse bei der vollständigen
Induktion. Ähnlich kann man auch "beweisen", dass alle Babys blaue
Augen haben:

A(n):= Je n Babys haben blaue Augen.

n=0: trivial

n->n+1:
Sei n in N und es gelte A(n) . Sei {b_0,...,b_n} eine Menge von n+1
Babys. Dann ist n=|{b_0,..,b_{n-1}|=|{b_1,..,b_n|; nach
Indukt-Vorauss. haben also die Babys b_0,...,b_{n-1} und die Babys
b_1,...,b_n blaue Augen, also haben alle Babys von
{b_0,...,b_n} blaue Augen, es gilt somit A(n+1).

roland

[Dieter Jungmann]

Norbert Micheel schrieb:

>
> "Dieter Jungmann" <dtr.ju...@t-online.de> schrieb im Newsbeitrag
> news:3AFDC26F...@t-online.de...
>
> >
> > Deine Frage
> > "Oder kannst du mir ein Element nennen, das man nicht in
> > endlich vielen Schritten erreicht?"
> > ist daher Nonsens,
>
> Sagen wir, sie war zu provokant.

Finde ich nicht, da bin ich mittlerweile "besseres" gewoehnt.

> Ich hatte einfach erwartet, du wuerdest dir noch mal vorurteilsfrei die
> Menge der Natuerlichen Zahlen vorstellen und versuchen meiner Frage
> gedanklich zu folgen.. dabei ueberlegen, welche Eigenschaften ein solches
> Element haben muesste.
> Wir haetten dann gemeinsam ueberlegen koennen, was die Konsequenzen aus
> diesen Eigenschaften waeren.
> Jetzt hab ich das alleine gemacht, und hab meine Anschauung dadurch sogar
> noch verfeinert.
>
> Ein sinvoller Einwand waere gewesen zu sagen, es koennte noch weitere
> Elemente wie die "1" geben, die keinen Vorgaenger haben. Dies ist auf den
> ersten(!) Blick durch die Peano-Axiome nicht ausgeschlossen. Anschaulich
> gesprochen haette man dann mehrere "Nachfolger-Ketten".
> Aber , wie dies mittlerweile einige andere Poster schon geschrieben haben,
> widerspricht dies dem Induktionsprinzip: Die Menge, ohne diese weitere "1"
> und ihre Nachfolger, waere schon gleich N.

Die Peano-Struktur ist nicht das Problem. Fuer jede abzaehlbar
unendliche Menge gilt, dass es zu jedem Element einen Nachfolger
gibt, auch wenn die Nachfolge anders "geregelt" ist. Ich bin der
Meinung, dass eine Menge, in der man jedem Element noch eins
hinzufuegen kann, keine abgeschlossene, fertige Menge ist, so
dass es keinen Sinn ergibt, von "allen" Elementen zu sprechen.
Ich bin sogar der Meinung, dass das ein Widerspruch in sich ist,
und versuche nachzuweisen, dass das "Hantieren" mit unendlichen
Mengen zu Widerspruechen fuehrt. Da sich wegen des (notwendiger-
weise?) unterschiedlichen Sprachgebrauchs immer wieder Missver-
staendnisse ergeben, will ich jetzt, wie im posting vom 14.5. 02:42
an Christian Semrau erlaeutert, zunaechst nur die Frage nach der
Cantor-Menge klaeren. Wenn dies gelingt, eruebrigen sich vielleicht
die anderen Fragen oder koennen ggf. in neuem Licht eroertert werden.
Ich gehe deshalb vorerst auch nicht weiter auf diese spezielle
Frage ein.

>
> Deine Folgerungen aus Aussagen, die in Buechern enthalten sind, enthalten
> deine Anschauungen. Sie lassen dich glauben es sei eine rein logische
> Folgerung - sie ist es aber manchmal nicht.

Das kann ich nicht ausschliessen. Aber hast du die Gewissheit,
dass es dir nicht genau so geht?

Gruss Dieter

[Dieter Jungmann]

Wolfgang Thumser schrieb

Hallo Wolfgang,

du bestaetigst, dass M_oo ueberabzaehlbar ist, dein NAK gilt
nur fuer meine Schlussfolgerung. Davon gehe ich nachfolgend aus.

Du bestaetigst auch, dass die Elemente der M_k die abgeschlossenen
Intervalle sind, dass die Endpunkte ausnahmslos rationale Zahlen
sind, und dass jedes Element von M_k mindestens 2 rationale Zahlen
enthaelt. Da das fuer alle k gilt, muss M_oo also ueberabzaehlbar viele
abgeschlossene Intervalle enthalten, wie klein sie am Ende auch sein
moegen. Und da jedes Intervall 2 rationale Zahlen enthaelt
(oder kannst du eins nennen, bei dem das nicht zutrifft?),
muss es ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben. Ich vermag
nicht zu erkennen, dass du diesen logischen Schluss widerlegt hast.

Du kannst gedanklich beliebige Mengen aus den reellen Zahlen der
Intervalle bilden, sie haben mit der Aufgabenstellung nichts zu
tun und beeinflussen nicht die Schlussfolgerung. Wenn deine Ueberlegung
zu einem anderen Ergebnis kommt, bestaetigt das nur den Widerspruch.

Man kann auch Mengen L_k bilden, deren Elemente nur die rationalen
Endpunkte der abgeschlossenen Intervalle sind. Die Anzahl der
Elemente der L_k verdoppelt sich bei jedem Schritt.
L_(k-1) ist echte Teilmenge von L_k.
N_k dagegen ist echte Teilmenge von N_(k-1). Der Durchschnitt
aller Mengen von N_1 bis N_k ist daher identisch mit N_k. Die
Durchschnittsmenge ist also ueberfluessig.

Die Anzahl der Elemente (= rationale Zahlen) der L_k nimmt mit k zu
waehrend die Anzahl der Elemente (= reelle Zahlen) der N_k abnimmt.
Solange die N_k mehr Elemente enthalten als die L_k, ist der Teilungs-
prozess noch nicht beendet, denn solange die abgeschlossenen Intervalle
mehr als 2 Zahlen enthalten, kann man sie weiter in 3 Teilstuecke
aufteilen. Die Grenzintervalle der Grenzmenge koennen also nur noch
je 2 rationale Zahlen enthalten. Alle irrationalen Zahlen befinden
sich jetzt in der Genzmenge B_oo. Diese enthaelt zusaetzlich noch
ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen. Die Grenzmengen
L_oo und N_oo sind identisch.
Was spricht gegen diese logische Konsequenz?

Gruss Dieter

[Wolfgang Thumser]

Hallo Dieter,

ich danke Dir zunaechst fuer die ausfuehrliche Darstellung Deiner
Argumente, die es mir erlaubt, genauer auf die strittigen Punkte
einzugehen. Die kritische Stelle, auf der all Deine weiteren Argu-
mente basieren, ist folgende (wir sollten zunaechst diese Stelle
klaeren und ggfs. spaeter auf andere Aussagen eingehen):

> Da das fuer alle k gilt, muss M_oo also ueberabzaehlbar viele
> abgeschlossene Intervalle enthalten, wie klein sie am Ende auch sein
> moegen.

Man kann sogar sagen, wie klein sie sind: Alle noch in M_oo enthal-
tenen abgeschlossenen Intervalle bestehen aus genau einem Punkt. In
diesem Sinne heisst M_oo auch total unzusammenhaengend, deswegen
die Bezeichnung: Cantorsches Diskontinuum.

> Und da jedes Intervall 2 rationale Zahlen enthaelt
> (oder kannst du eins nennen, bei dem das nicht zutrifft?),
> muss es ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben.

Und hier liegt eben der Irrtum: Keines der Intervalle, die noch in
M_oo vorhanden sind, enthaelt mehr als nur eine Zahl, alle Inter-
valle sind von der Form [a,a]. Von diesen einpunktigen Intervallen
gibt es sowohl rationale als auch irrationale. Von den rationalen
gibt es abzaehlbar viele, von den irrationalen ueberabzaehlbar
viele, insgesammt also ueberabzaehlbar viele Elemente, so wie
es auch sein soll. Ein in M_oo gelegenes einpunktiges Intervall,
welches nicht vergroessert werden kann, ist bspw. [0,0]. Ich kann
Dir natuerlich auch in M_oo gelegene einpunktige irrationale
Intervalle zeigen (von denen es sogar ueberabzaehlbar viele geben
muss).

Und diese irrationalen Intervalle entstehen gerade bei der abzaehl-
baren Schnittbildung aus rationalen Intervallen, aehnlich wie bspw.
der abzaehlbare Schnitt

[1 , 2] geschn. [1,4 , 1,5] geschn. [1,41 , 1,42] geschn
geschn [1,414 , 1,415] geschn. ....

das einpunktige irrationale Intervall (die Zahl) [sqrt(2),sqrt(2)]
liefert. Auf diese (und keine andere) Weise kommen die
irrationalen Intervalle ins Spiel, die M_oo schliesslich ueberab-
zaehlbar werden lassen.

Wenn Du diese Aussage bezweifelst, darf ich Dich vielleicht
zunaechst bitten, mir ein abgeschlossenes Intervall in M_oo
zu zeigen, welches zwei verschiedene rationale Zahlen enthaelt,
schliesslich behauptest Du das.

Wir sollten an dieser Stelle abbrechen, da Deine weitere Argu-
mentation auf dieser Aussage beruht, von der ich behaupte, dass
sie nicht stimmt. Und wenn diese Aussage nicht stimmt, kannst
Du auch keinen Widerspruch mehr ableiten. Ansonsten warte ich
auf Deine Stellungnahme.

[Paul Ebermann]

> > > Der Portier ist noch immer unterwegs ;-)
> >
> > Vielleicht hat er ja eine Rundspruch-Anlage mit einem Lautsprecher
> > in jedem Zimmer ;-))
>

> ... leider hat es gerade Stromausfall ;-) Das wäre natürlich die
> Lösung für sein Problem. Da ihm aber eine unendliche Reihe als
> Taktgeber für die Besuche der Zimmer dient, wird er unendlich oft
> anklopfen müssen.

Kann der Portier nicht einfach dem ersten Gast Bescheid sagen,
dieser dem zweiten, der 2. dem 3. usw.?

Die Gäste müssten doch Übung darin haben (da sie ja bei
jedem neuen Gast umziehen müssen), also sollte dies auch
in endlicher Zeit (pro neuem Gast) zu schaffen sein.

Paul

[Dieter Jungmann]

Wolfgang Thumser schrieb:

Hallo Wolfgang,

die Frage ist leicht zu beantworten. Ich sage nur, dass die
Grenzintervalle in M_oo _maximal_ 2 rationale Zahlen enthalten,
denn wenn auch nur eine weitere Zahl enthalten waere, koennte man
den Teilungsprozess fortsetzen. (Das hatte ich weiter unten in
dem zitierten posting auch erwaehnt ohne naeher darauf einzugehen,
um nicht vorzugreifen.) Die Entscheidung, ob sie 1 oder 2 rationale
Zahlen enthalten, ueberlasse ich dir. Da du dich fuer die
1-Punkt-Loesung entschieden hast, kann ich auch die Grenzintervalle
(= Punkte) angeben: Es sind genau die rationalen Zahlen, die
im Nenner nur Potenzen von 3 (ohne weiteren Faktor) enthalten.
Alle anderen rationalen Zahlen sind in der Menge B_oo.

Es sind also noch folgende Fragen zu beantworten:

1. Kannst du wenigstens eine irrationale Zahl angeben, die als
Punkt in M_oo enthalten ist?

2. Bei welchem Teilungs-Schritt (k-Index) tritt zum ersten mal ein
abgeschlossenes Intervall auf, dessen Endpunkte keine rationalen
Zahlen sind? Die Schnittmenge aus den N_k, die ja identisch mit
N_k ist, ist fuer jedes k, das du nennen kannst, irrelevant, weil
sie nur etwas ueber den _Inhalt_ der abgeschlossenen Intervalle
(einschliesslich der Endpunkte) aussagt (naemlich die triviale
Feststellung, dass die Menge der Punkte, aus denen die Intervalle
bestehen, unabhaengig von k ueberabzaehlbar ist) aber nicht ueber
die _Anzahl_ dieser Intervalle. Oder treten die irrationalen Grenz-
intervalle in M_oo erst im letzten Schritt (den es nicht geben
durfte) auf? Das waere erklaerungsbeduerftig.

3. Die meisten rationalen Zahlen befinden sich nach dem Grenzuebergang
in der Menge B_oo, welche die herausgeschnittenen offenen Intervalle
enthaelt. Diese Intervalle haben endliche Laengen, d. h. sie enthalten
mehr als einen Punkt. Es waere allenfalls denkbar, dass im letzten
(eigentlich nicht moeglichen) Schritt ueberabzaehlbar viele einzelne
Punkte hinzukommen. Die Anzahl der Elemente der B_k verdoppelt sich
(bis auf ein Element) bei jedem Schritt. Da sich die Maechtigkeit
einer Menge bei einer Verdopplung der Anzahl ihrer Elemente nicht
aendert, muss auch die Menge der endlich langen offenen Intervalle
vor diesem letzten Schritt bereits uwberabzaehlbar sein. Daraus
ergeben sich 2 Widersprueche:
3a. Jedes endlich lange Intervall enthaelt mindestens eine rationale
Zahl, also muss die Menge der rationalen Zahlen ueberabzaehlbar sein.
3b. Die Aneinanderreihung von ueberabzaehlbar vielen endlich langen
Intervallen ergibt ein unendlich langes Intervall, B_oo hat aber nur
die Laenge 1.

4. Wir betrachten nur die Entstehung eines einzelnen Grenzintervalls
von M_oo, z. B. von [0,0]. Wir haben es dann mit einem "normalen"
Grenzuebergang zu tun. Wir erhalten die Intervallfolge
I_0 = [0,1]
I_1 = [0,1/3]
...
I_k = [0,1/3^k]
...
I_oo = [0,0]

Nach Voraussetzung wird I_oo in abzaehlbar vielen Schritten erreicht.
Die I_k lassen sich bijektiv auf N abbilden und jedes I_k muss einen
Nachfolger haben. Wo ist der Nachfolger von [0,0]?

Gruss Dieter

[Wolfgang Thumser]

Hallo Dieter,

> Ich sage nur, dass die Grenzintervalle in M_oo _maximal_

> 2 rationale Zahlen enthalten, [...] Die Entscheidung, ob sie 1

> oder 2 rationale Zahlen enthalten, ueberlasse ich dir. Da du
> dich fuer die 1-Punkt-Loesung entschieden hast,

das ist keine Entscheidung, auf die wir einen Einfluss haetten:
M_oo kann kein Intervall mit zwei verschiedenen rationalen
Zahlen enthalten, weil dieses Intervall eine Laenge von we-
nigstens dem Abstand dieser beiden Zahlen haette. Da kein
Intervall aus M_k laenger als (1/3)^k ist, kann unser Intervall
in keinem M_k sein, fuer welches (1/3)^k kleiner als dieser
Abstand ist. Also kann sich unser Intervall erst recht nicht im
Schnitt ueber alle M_k befinden. Folglich gibt es im Schnitt
M_oo nur einpunktige Intervalle. Da gibt es nichts zu entscheiden.

> kann ich auch die Grenzintervalle
> (= Punkte) angeben: Es sind genau die rationalen Zahlen, die
> im Nenner nur Potenzen von 3 (ohne weiteren Faktor) enthalten.
> Alle anderen rationalen Zahlen sind in der Menge B_oo.

Auch hier irrst Du Dich. Ich werde Dir eine rationale Zahl zeigen,
die sich in M_oo befindet, aber im Nenner KEINE Potenz von 3
besitzt: Die rationale Zahl 1/4 befindet sich naemlich in M_oo.
Sie befindet sich dort, weil sie sich fuer JEDES k in einem der
Intervalle von M_k befindet und weil der Schnitt M_oo nach der
mengentheoretischen Definition all die Elemente umfasst, die sich
fuer alle k in wenigstens einem Intervall von M_k befinden:

1/4 Element [0, 1/3] Element M_1 -> 1/4 Element N_1
1/4 Element [2/9, 1/3] Element M_2 -> 1/4 Element N_2
1/4 Element [6/27, 7/27] Element M_3 -> 1/4 Element N_3
1/4 Element [20/81,21/81] Element M_4 -> 1/4 Element N_4
usw.

1/4 befindet sich folglich in JEDEM N_k und wegen

M_oo = N_1 geschn N_2 geschn N_3 geschn N_4 geschn usw.

auch in M_oo.

> 1. Kannst du wenigstens eine irrationale Zahl angeben, die als
> Punkt in M_oo enthalten ist?

Natuerlich, das sagte ich bereits. Ich werde Dir zunaechst eine
nennen:

Betrachte die Folge 2*1/3,
2*(1/3+(1/3)^2),
2*(1/3+(1/3)^2+(1/3)^4),
2*(1/3+(1/3)^2+(1/3)^4+(1/3)^8),
2*(1/3+(1/3)^2+(1/3)^4+(1/3)^8+(1/3)^16), usw.

Ich denke, Du kannst das Bildungsgesetz dieser Folge erkennen.
Diese Folge besitzt einen Grenzwert und dieser Grenzwert ist
einerseits in M_oo und andererseits irrational. Wenn Du es darauf
anlegst, kann ich Dir diese Behauptung auch innerhalb der Mengen-
lehre beweisen, aber zunaechst fragtest Du mich ja nur nach einer
solchen Zahl.

> 2. Bei welchem Teilungs-Schritt (k-Index) tritt zum ersten mal ein
> abgeschlossenes Intervall auf, dessen Endpunkte keine rationalen
> Zahlen sind?

Niemals, aber das ist auch nicht notwendig dafuer, dass in M_oo
irrationale Zahlen sind. Betrachte mein obiges Beispiel, oder einfacher
noch:

[sqrt(2),sqrt(2)] = [1,2] geschn [1,4, 1,5] geschn [1,41, 1,42] geschn usw.

Hier tritt auch fuer keinen endlichen Schnitt erstmalig ein Intervall
auf, dessen Endpunkte keine rationalen Zahlen sind. Trotzdem ist der
Schnitt ueber alle rationalen Intervalle ein Intervall mit irrationalen
Endpunkten.

> Die Schnittmenge aus den N_k, die ja identisch mit
> N_k ist, ist fuer jedes k, das du nennen kannst, irrelevant,

Diese Schnittmenge habe ich auch nie betrachtet. Die interessante
Schnittmenge ist die Schnittmenge ueber alle N_k, oder dazu
aequivalent: Die Menge der Zahlen, die in ALLEN N_k vorhanden
sind.

> Oder treten die irrationalen Grenz-
> intervalle in M_oo erst im letzten Schritt (den es nicht geben
> durfte) auf? Das waere erklaerungsbeduerftig.

Wie Du schon sagst: Es gibt keinen letzten Schritt! Ich kann es nicht
ueberbetonen: Nach der mengentheoretischen Definition der Schnitt-
menge M_oo befinden sich dort alle Zahlen, die sich in JEDER der
Mengen M_k befinden. 0 bspw. befindet sich deshalb in M_oo, weil es
sich fuer JEDE endliche natuerliche Zahl k in N_k befindet. Aus keinem
anderen Grund! Um das festzustellen bedarf es keines letzten mystischen
Schrittes.

> 3. Die meisten rationalen Zahlen befinden sich nach dem Grenzuebergang
> in der Menge B_oo, welche die herausgeschnittenen offenen Intervalle
> enthaelt.

Ich weiss nicht, was Du hier mit "meisten" meinst. Fest steht, dass sich
unendlich viele in M_oo und unendlich viele in B_oo befinden.

> Diese Intervalle haben endliche Laengen, d. h. sie enthalten
> mehr als einen Punkt.

ACK

> Es waere allenfalls denkbar, dass im letzten
> (eigentlich nicht moeglichen) Schritt ueberabzaehlbar viele einzelne
> Punkte hinzukommen.

Diesen Dir offenbar selbst suspekten Schritt gibt es nicht, und wenn
es ihn gaebe, wuerde er Ockhams Rasiermesser zum Opfer fallen.

> Die Anzahl der Elemente der B_k verdoppelt sich
> (bis auf ein Element) bei jedem Schritt.

Die Anzahl der Intervalle also.

> Da sich die Maechtigkeit
> einer Menge bei einer Verdopplung der Anzahl ihrer Elemente nicht
> aendert, muss auch die Menge der endlich langen offenen Intervalle
> vor diesem letzten Schritt bereits uwberabzaehlbar sein.

Wir erinnern uns: Einen letzten Schritt gibt es nicht, also auch keinen
vorletzten.

> Daraus
> ergeben sich 2 Widersprueche:
> 3a. Jedes endlich lange Intervall enthaelt mindestens eine rationale
> Zahl, also muss die Menge der rationalen Zahlen ueberabzaehlbar sein.

In jedem endlichen Schritt k ist die Anzahl der Intervalle endlich und
die Anzahl der darin enthaltenen rationalen Zahlen abzaehlbar. Da der
letzte Schritt - wie wir uns erinnern - eine reine Fiktion ist, koenen
aus seiner (Nicht) Existenz auch keine Widersprueche abgeleitet wer-
den.

> 3b. Die Aneinanderreihung von ueberabzaehlbar vielen endlich langen
> Intervallen ergibt ein unendlich langes Intervall, B_oo hat aber nur
> die Laenge 1.

In keinem endlichen Schritt k werden ueberabzaehlbar viele Intervalle
aneinandergereit, und ein "letzter" Schritt wird bei der Konstruktion
von M_oo nicht gebraucht.

> 4. Wir betrachten nur die Entstehung eines einzelnen Grenzintervalls
> von M_oo, z. B. von [0,0]. Wir haben es dann mit einem "normalen"
> Grenzuebergang zu tun. Wir erhalten die Intervallfolge
> I_0 = [0,1]
> I_1 = [0,1/3]
> ...
> I_k = [0,1/3^k]
> ...
> I_oo = [0,0]
>
> Nach Voraussetzung wird I_oo in abzaehlbar vielen Schritten erreicht.

Nochmal: Fuer die mengentheoretische Definition von I_oo ist KEIN
Grenzuebergang noetig und I_oo wird NICHT nach abzaehlbar vielen
Schritten erreicht. I_oo hat mengentheoretisch eine absolut simple
Definition: Es ist diejenige Menge, die alle Elemente enthaelt, die in
jedem der I_k enthalten sind. Davon gibt es nur ein Element, naemlich
die Null. Die Null ist aus keinem anderen Grund in I_oo als dem, weil
sie in I_0, I_1, I_2, I_3, ..., kurz: weil sie in jedem der I_k ist. Und
sie ist die einzige Zahl mit dieser Eigenschaft. Deshalb ist I_oo = [0,0].

> Die I_k lassen sich bijektiv auf N abbilden und jedes I_k muss einen
> Nachfolger haben. Wo ist der Nachfolger von [0,0]?

Wie kommst Du darauf? Lass meinetwegen jedes I_k den Nachfolger
I_k+1 haben. Mit welcher Zwangslaeufigkeit soll daraus folgen, dass
auch I_oo einen Nachfolger hat?

Gruss Wolfgang

[Dieter Jungmann]

Wolfgang Thumser schrieb im posting vom 17.5. 02:06

>
> > kann ich auch die Grenzintervalle
> > (= Punkte) angeben: Es sind genau die rationalen Zahlen, die
> > im Nenner nur Potenzen von 3 (ohne weiteren Faktor) enthalten.
> > Alle anderen rationalen Zahlen sind in der Menge B_oo.
>
> Auch hier irrst Du Dich. Ich werde Dir eine rationale Zahl zeigen,
> die sich in M_oo befindet, aber im Nenner KEINE Potenz von 3
> besitzt: Die rationale Zahl 1/4 befindet sich naemlich in M_oo.
> Sie befindet sich dort, weil sie sich fuer JEDES k in einem der
> Intervalle von M_k befindet und weil der Schnitt M_oo nach der
> mengentheoretischen Definition all die Elemente umfasst, die sich
> fuer alle k in wenigstens einem Intervall von M_k befinden:
>
> 1/4 Element [0, 1/3] Element M_1 -> 1/4 Element N_1
> 1/4 Element [2/9, 1/3] Element M_2 -> 1/4 Element N_2
> 1/4 Element [6/27, 7/27] Element M_3 -> 1/4 Element N_3
> 1/4 Element [20/81,21/81] Element M_4 -> 1/4 Element N_4
> usw.
>
> 1/4 befindet sich folglich in JEDEM N_k und wegen
>
> M_oo = N_1 geschn N_2 geschn N_3 geschn N_4 geschn usw.
>
> auch in M_oo.

Hallo Wolfgang,

in einer unendlichen Menge ist es unmoeglich, alle Elemente einzeln
daraufhin zu ueberpruefen, ob eine Aussage fuer sie gueltig ist.
Man benoetigt daher eine logische Ueberlegung, die so ueberzeugend
ist, dass man ihre Gueltigkeit fuer alle Elemente annehmen kann.
Aussagen, die darauf hinauslaufen "nenne mir ein k ...", sind daher
untauglich, weil man naturgemaess kein unendlich grosses k nennen
kann, so dass diese Aussagen nur fuer endliche Teilmengen gelten.
Ich stuetze mich auf folgende Ueberlegung:

Die Konstruktionsvorschrift der Cantor-Menge definiert eindeutig
nur rationale Zahlen, die nur eine Potenz von 3 im Nenner haben,
als Endpunkte der abgeschlossenen Intervalle in M_k. Solange im
Inneren dieser so definierten Intervalle andere Zahlen, wie z. B.
1/4, vorkommen, ist das ein Beweis dafuer, dass die Intervalle noch
eine endliche Laenge haben. Wenn dies auch noch fuer M_oo gilt, so
ist dies ein Beweis dafuer, dass das Ziel, die Intervalle auf einen
Punkt zusammenschrumpen zu lassen, nicht erreicht wurde. Wenn eine
mengentheoretische Definition zu einem anderen Ergebnis kommt, ist
sie unhaltbar, denn eine Definition kann eine logische Konsequenz
nicht ausser Kraft setzen.

Zum gleichen Ergebnis fuehrt auch folgende Ueberlegung.
M_k ist die Menge der abgeschlossenen Intervalle, die nach k
Teilungen entstanden sind. Die bereits frueher eingefuehrte Menge
L_k enthaelt die rationalen Endpunkte dieser Intervalle. Die Menge
N_k enthaelt zusaetzlich zu den Endpunkten auch alle inneren Punkte
der Intervalle. Fuer endliche k ist L_k echte Teilmenge von N_k.
Die Grenzmenge L_oo muesste identisch mit N_oo sein. Falls L_oo
echte Teilmenge von N_oo ist, bedeutet das, dass noch nicht alle
inneren Punkte der Intervalle entfernt wurden und das Ziel nicht
erreicht wurde.
L_oo entsteht aus einer endlichen Anfangsmenge durch Verdopplung
der Elementezahl in abzaehlbar vielen Schritten und ist daher
ebenfalls abzaehlbar. N_oo entsteht aus einer ueberabzaehlbaren
Anfangsmenge, indem in abzaehlbar vielen Schritten
ueberabzaehlbare Teilmengen weggenommen werden. Es laesst sich daher
nicht entscheiden, ob N_oo abzaehlbar oder ueberabzaehlbar ist. Die
Tatsache, dass man N_oo _auch_ als Durchschnitt aller unendlich vielen
N_k interpretieren kann, aendert nichts an der Richtigkeit dieser
Uebelegung. Es folgt
N_oo abzaehlbar --> Cantor-Menge abzaehlbar --> Widerspruch zur
Voraussetzung.
N_oo ueberabzaehlbar --> Das Cantorsche Diskontinuum ist auf diesem
Wege nicht konstruierbar, weil die Grenzwerte L_oo und N_oo nicht
uebereinstimmen.

Deine Argumentation ist unvollstaendig, weil sie nur eine Seite der
Medaille beruecksichtigt. Die urspruengliche Frage lautet: "Welche
Maechtigkeit hat die Genzmenge M_oo der abgeschlossenen Intervalle"
und nicht "Welche Maechtigkeit hat die Menge der Punkte, aus denen
diese Intervalle bestehen". Deine Argumentation setzt voraus, das
dies im Grenzfall identisch ist. Das muesste erst bewiesen werden.

M_oo entsteht aus einer Anfangsmenge mit einem Element (dem Intervall
[0,1]) durch abzaehlbar viele Verdopplungen der Anzahl ihrer Elemente.
Wenn M_oo ueberabzaehlbar ist, steht das im Widerspruch zu dem Satz,
das die Vereinigung abzaehlbar vieler abzaehlbarer Mengen abzaehlbar
ist. Das war der Ausgangspunkt der Diskussion.

>
> > 2. Bei welchem Teilungs-Schritt (k-Index) tritt zum ersten mal ein
> > abgeschlossenes Intervall auf, dessen Endpunkte keine rationalen
> > Zahlen sind?
>
> Niemals, aber das ist auch nicht notwendig dafuer, dass in M_oo
> irrationale Zahlen sind. Betrachte mein obiges Beispiel, oder einfacher
> noch:
>
> [sqrt(2),sqrt(2)] = [1,2] geschn [1,4, 1,5] geschn [1,41, 1,42] geschn usw.
>
> Hier tritt auch fuer keinen endlichen Schnitt erstmalig ein Intervall
> auf, dessen Endpunkte keine rationalen Zahlen sind. Trotzdem ist der
> Schnitt ueber alle rationalen Intervalle ein Intervall mit irrationalen
> Endpunkten.

Du meinst wahrscheinlich "mit _einem_ irrationalen Endpunkt".

Das ist eine moegliche Interpretation. Sie aendert nichts daran, dass
auch folgende Interpretation moeglich ist:
Die Zahlen 1,4; 1,5; 1,41; 1,42; ... sind eine andere Schreibweise
fuer 14/10; 15/10; 141/100; 142/100; ... Beide Schreibweisen sind
gleichwertig. Solange die Zahlen im Zaehler und Nenner endlich viele
Stellen haben, ist der Quotient eine rationale Zahl und auch der
Schnitt ueber alle diese Intervalle ist ein Intervall mit _rationalen_
Endpunkten. Voraussetzung fuer die Existenz der irrationalen Zahl ist,
dass es natuerliche Zahlen mit unendlich vielen Stellen gibt. Es
bestaetigt sich, dass der Rueckgriff auf unendliche Mengen zu
Widerspruechen fuehrt.

>
> > Die Schnittmenge aus den N_k, die ja identisch mit
> > N_k ist, ist fuer jedes k, das du nennen kannst, irrelevant,
>
> Diese Schnittmenge habe ich auch nie betrachtet. Die interessante
> Schnittmenge ist die Schnittmenge ueber alle N_k, oder dazu
> aequivalent: Die Menge der Zahlen, die in ALLEN N_k vorhanden
> sind.
>
> > Oder treten die irrationalen Grenz-
> > intervalle in M_oo erst im letzten Schritt (den es nicht geben
> > durfte) auf? Das waere erklaerungsbeduerftig.
>
> Wie Du schon sagst: Es gibt keinen letzten Schritt! Ich kann es nicht
> ueberbetonen: Nach der mengentheoretischen Definition der Schnitt-
> menge M_oo befinden sich dort alle Zahlen, die sich in JEDER der
> Mengen M_k befinden.

In M_k und M_oo befinden sich keine Zahlen sondern Intervalle. Du
meinst wahrscheinlich N_k und N_oo. Wo ist aber der Beweis, dass
im Grenzfall die Zahlen in N_oo identisch mit den Intervallen in
M_oo sind?

> 0 bspw. befindet sich deshalb in M_oo, weil es
> sich fuer JEDE endliche natuerliche Zahl k in N_k befindet. Aus keinem
> anderen Grund! Um das festzustellen bedarf es keines letzten mystischen
> Schrittes.

Da haben wir es wieder: "fuer JEDE _endliche_ natuerliche Zahl". Mit
welcher Begruendung behauptest du, dass eine Aussage, die fuer jede
_endliche_ Zahl gilt, fuer _alle_ Zahlen gilt? Und worin besteht der
Unterschied zwischen einem Grenzuebergang und der Beruecksichtigung
ALLER Zahlen? Ein Grenzuebergang erfordert einen letzten Schritt,
sonst ist man noch nicht am Ziel angekommen. Die Beruecksichtigung
ALLER Zahlen erfordert ebenfalls einen letzten Schritt, denn wenn er
nicht getan wurde, sind noch nicht alle Zahlen beruecksichtigt, und
wenn alle Zahlen beruecksichtigt sind, gibt es keinen Grund fuer
weitere Schritte. Diese grundsaetzliche Frage ist immer noch nicht
geklaert.

Gruss Dieter

[Dietmar Trummer]

Dieter Jungmann schrieb:

> > 0 bspw. befindet sich deshalb in M_oo, weil es
> > sich fuer JEDE endliche natuerliche Zahl k in N_k befindet. Aus keinem
> > anderen Grund! Um das festzustellen bedarf es keines letzten mystischen
> > Schrittes.
>
> Da haben wir es wieder: "fuer JEDE _endliche_ natuerliche Zahl". Mit
> welcher Begruendung behauptest du, dass eine Aussage, die fuer jede
> _endliche_ Zahl gilt, fuer _alle_ Zahlen gilt? Und worin besteht der
> Unterschied zwischen einem Grenzuebergang und der Beruecksichtigung
> ALLER Zahlen? Ein Grenzuebergang erfordert einen letzten Schritt,
> sonst ist man noch nicht am Ziel angekommen. Die Beruecksichtigung
> ALLER Zahlen erfordert ebenfalls einen letzten Schritt, denn wenn er
> nicht getan wurde, sind noch nicht alle Zahlen beruecksichtigt, und
> wenn alle Zahlen beruecksichtigt sind, gibt es keinen Grund fuer
> weitere Schritte. Diese grundsaetzliche Frage ist immer noch nicht
> geklaert.

Ohne einen Kommentar zum urspruenglichen Problem abgeben zu wollen:
Du solltest Dich eingehend mit dem Begriff des Grenzwertes
auseinandersetzen. Dessen Definition hast Du ganz offensichtlich noch
nicht verstanden. Sonst wuerdest Du nicht Wolfgangs Argumentation
voellig ignorieren.
Das soll Dir eine Hilfe sein, keine Kritik!

Schoene Gruesse,
Dietmar

[Wolfgang Thumser]

Hallo Dieter,

Ich will mich kurz fassen, weil ich nicht glaube, dass wir auf
diesem Wege weiterkommen. Nicht ich, sondern Du warst es,
der behauptet hat, er koenne einen Widerspruch in der offiziellen
Mengenlehre ableiten. Du stuetzt Deine Argumente auf Behaup-
tunegn wie:

> [...], weil man naturgemaess kein unendlich grosses k nennen

> kann, so dass diese Aussagen nur fuer endliche Teilmengen gelten.

Damit unterstellst Du, es gaebe in der Mengenlehre so etwas wie
unendlich grosse natuerliche Zahlen und versuchst, aus dieser An-
nahme einen Widerspruch zu konstruieren. Wie auch immer Dein
Begriff einer unendlich grossen natuerlichen Zahl beschaffen sein
mag, er findet in der Mengenlehre keine Entsprechung. Solange
Du fuer diesen Begriff keine klassische, mengentheoretisch exakte
Definition lieferst unter alleiniger Verwendung der Schlussregeln und
Axiome der Mengenlehre, bleibt er eine reine mengentheoretische
Fiktion, aus der man keinen Widerspruch in der Mengenlehre ableiten
kann.

Ein Widerspruch in der Mengenlehre ist vergleichbar mit der Beur-
teilung einer Matt Position im Schach. Die Zugregeln der Figuren
(Schlussregeln) liegen schon vor dem Spiel fest. Man kann keine
Maerchenfiguren mit opportunen Schlagregeln ad hoc einfuehren,
um eine Mattposition zu rechtfertigen. Genau so kommt es mir vor,
wenn Du voellig unvermittelt in der Mengenlehre von einer unendlich
grossen natuerlichen Zahl sprichst. Es ist weder klar, wie dieser Begriff
mengentheoretisch zu definieren ist, noch ist klar, welche Eigenschaften
er haben soll.

> Die Konstruktionsvorschrift der Cantor-Menge

in der klassischen Mengenlehre ergibt voellig unzweideutig, dass
1/4 Element des Cantorschen Diskontinuums ist. Am Anfang dieses
Threads hattest Du vorgeschlagen, die mengentheoretische Konstruk-
tion des Cantorschen Diskontinuums als Ausgangspunkt fuer die
Diskussion zu waehlen. Da Du einen Widerspruch in der Mengenlehre
ableiten willst, darf ich annehmen, dass Du mit ihren Schlussregeln und
Axiomen vertraut bist. Dieselben Schlussregeln und Axiome ergeben aber,
dass 1/4 Element des Cantorschen Diskontinuums ist. Wenn Du das
jetzt bezweifelst, zwingst Du mich doch foermlich dazu anzunehmen,
dass Du mit den Ableitungsregeln der Mengenlehre nicht vertraut bist
und Dein Widerspruchsbeweis keiner ist.

> Wenn eine
> mengentheoretische Definition zu einem anderen Ergebnis kommt,

Die mengentheoretische Definition von M_oo als Schnitt aller N_k
ergibt, dass M_oo eine ueberabzaehlbare Menge von reellen Zahlen
ist unter denen sich neben abzaehlbar viele rationale Zahlen (u.a. 1/4)
auch ueberabzaehlbar viele irrationale Zahlen befinden. Dass bei dieser
Konstruktion etwas auf einen Punkt zusammenschrumpft ist Deine
Assoziation, die sich in keiner Formel der Mengenlehre ausdrueckt.
Wie willst Du aus einer Assoziation einen formalen Widerspruch
konstruieren?

> Deine Argumentation ist unvollstaendig, weil sie nur eine Seite der
> Medaille beruecksichtigt. Die urspruengliche Frage lautet: "Welche
> Maechtigkeit hat die Genzmenge M_oo der abgeschlossenen Intervalle"

M_oo ist als Schnitt aller N_k eine Menge von Zahlen und keine Menge
von Intervallen. Wie kommst Du darauf?

> und nicht "Welche Maechtigkeit hat die Menge der Punkte, aus denen
> diese Intervalle bestehen". Deine Argumentation setzt voraus, das
> dies im Grenzfall identisch ist. Das muesste erst bewiesen werden.

Die einpunktigen Intervalle sind als Teilmengen und nicht als Elemente
in M_oo enthalten. In M_oo sind keine Intervalle als Elemente enthalten.
Ich verstehe nicht, wie Du jetzt darauf kommst. Ich habe eine mengen-
theoretisch korrekte Definition von M_oo gegeben.

> M_oo entsteht aus einer Anfangsmenge mit einem Element (dem Intervall
> [0,1]) durch abzaehlbar viele Verdopplungen der Anzahl ihrer Elemente.
> Wenn M_oo ueberabzaehlbar ist, steht das im Widerspruch zu dem Satz,
> das die Vereinigung abzaehlbar vieler abzaehlbarer Mengen abzaehlbar
> ist.

Entschuldige, aber was Du in dieser Diskussion machst, ist in hohem Grade
unfaehr: Ich hatte eine Definition von M_oo gegeben, Du hattest sie akzeptiert,
und jetzt, Tage spaeter, bastelst Du Dir eine neue zurecht. M_oo entstand nach
der vorigen Definition aus den N_k durch abzaehlbaren Schnitt und NICHT
durch irgendeine Vereinigung. Mit dieser Art Argumentation kann man leicht
einen Widerspruch ableiten, nicht nur in der Mengenlehre!

> Das war der Ausgangspunkt der Diskussion.

Der Ausgangspunkt der Diskussion war die von Dir akzeptierte Definition von
M_oo, die Du im Nachhinein nicht nach Belieben aendern kannst.

> Das ist eine moegliche Interpretation.

Mir geht es nicht um Interpretationen, sondern darum, dass Du endlich
in der klassischen Mengenlehre einen formalen Widerspruch ableitest
ohne Dich in irgendwelchen Fiktionen oder Interpretationen zu verlieren.

> In M_k und M_oo befinden sich keine Zahlen sondern Intervalle.

JEDES M_k enthaelt endlich viele, abgeschlossenen Intervalle als
Elemente, M_oo enthaelt Zahlen als Elemente, wenn wir darueber
keine Einigung erzielen, ist jede weitere Diskussion zwecklos:

M_k enthaelt Intervalle als Elemente
N_k enthaelt die in den Intervallen von M_k enthaltenen Zahlen als
Elemente
M_oo enthaelt als Schnitt ueber alle N_k Zahlen und keine Intervalle als
Elemente

> Du
> meinst wahrscheinlich N_k und N_oo.

N_oo wurde bislang ueberhaupt nicht definiert.

> Wo ist aber der Beweis, dass
> im Grenzfall die Zahlen in N_oo identisch mit den Intervallen in
> M_oo sind?

M_oo enthaelt keine Intervalle und N_oo ist nicht definiert. Deswegen ist
Deine Frage sinnlos.

> Da haben wir es wieder: "fuer JEDE _endliche_ natuerliche Zahl". Mit
> welcher Begruendung behauptest du, dass eine Aussage, die fuer jede
> _endliche_ Zahl gilt, fuer _alle_ Zahlen gilt?

Weil es in der klassischen Mengenlehre, die Du und nicht ich als Ausgangs-
punkt dieser Diskussion gewaehlt hast, keine anderen natuerlichen Zahlen
gibt. Wenn Du das anders siehst, musst Du sie definieren und ihre Existenz
in der klassischen Mengenlehre beweisen und nicht ich. Die Beweislast liegt
bei Dir!

> Und worin besteht der
> Unterschied zwischen einem Grenzuebergang und der Beruecksichtigung
> ALLER Zahlen? Ein Grenzuebergang erfordert einen letzten Schritt,
> sonst ist man noch nicht am Ziel angekommen. Die Beruecksichtigung
> ALLER Zahlen erfordert ebenfalls einen letzten Schritt, denn wenn er
> nicht getan wurde, sind noch nicht alle Zahlen beruecksichtigt, und
> wenn alle Zahlen beruecksichtigt sind, gibt es keinen Grund fuer
> weitere Schritte. Diese grundsaetzliche Frage ist immer noch nicht
> geklaert.

Das ist keine grundsaetzliche Frage der Mengenlehre, die "letzten Schritte"
sind Deine Fiktionen, fuer die es in der Mengenlehre keine Entsprechung gibt
und aus denen sich folglich keine formalen Widersprueche ableiten lassen.

[Rainer Rosenthal]

Dieter Jungmann news:3B049D7F...@t-online.de...

> Aussagen, die darauf hinauslaufen "nenne mir ein k ...", sind daher
> untauglich, weil man naturgemaess kein unendlich grosses k nennen
> kann, so dass diese Aussagen nur fuer endliche Teilmengen gelten.

Hallo Dieter,

es gibt kein unendlich grosses k.

Gruss,
Rainer

[Detlef Müller]

Dieter Jungmann wrote:
>

...

>
> in einer unendlichen Menge ist es unmoeglich, alle Elemente einzeln
> daraufhin zu ueberpruefen, ob eine Aussage fuer sie gueltig ist.

> Man benoetigt daher ...

Es wurde wiederholt darauf hingewiesen, dass Du Dich
wohl auf die Axiome und Regeln der Mengenlehre einlassen
musst, um Widersprueche darin zu zeigen.

Es ist der Mengenlehre piepegal, ob Du Elemente alle
einzeln ueberprueft hast, oder das kannst.

Die Teilmenge einer Obermenge X, die durch eine
Eigenschaft P selektiert wird, heisst einfach

Die Menge der x aus X, fuer die P(x) gilt,
oder {x aus X | P(x)}.
Sie existiert nach einem Axiom der Mengenlehre
und aus.

Dein Hadern damit grenzt, mit Verlaub, an
Borniertheit.

Dem Lippenbekenntnis, sich an die Konstrukte
und Regeln der Mengenlehre zu halten folgt regelmaessig
das Jammern darueber, dass waer ja gar nicht
Konstruierbar, und man brauche ja einen letzten
Schritt, man koenne das nicht fuer jedes Element
pruefen und und und.

Auf die Dauer ist das doch etwas ermuedend, wenn
Du es nicht hinkriegst, deine Argumentation innerhalb
des Systemes, das Du zum Widerspruch fuehren willst, und
frei von aussen davon stehenden Meinungen und Bewertungen
zu fuehren.
Ansonsten kannst Du es Dir naemlich viel leichter
machen:

I: Ich weiss, es gibt keine unendlichen Mengen, das
ist naemlich absurd.
II: Nach dem Unendlichkeitsaxiom gibt es unendliche Mengen.

Das ist ein Widerspruch.

(Aber eben kein Innerer.)

Gruss,
Detlef

[Dieter Jungmann]

Wolfgang Thumser schrieb:

>
> Du stuetzt Deine Argumente auf Behaup-
> tunegn wie:
>
> > [...], weil man naturgemaess kein unendlich grosses k nennen
> > kann, so dass diese Aussagen nur fuer endliche Teilmengen gelten.
>
> Damit unterstellst Du, es gaebe in der Mengenlehre so etwas wie
> unendlich grosse natuerliche Zahlen und versuchst, aus dieser An-
> nahme einen Widerspruch zu konstruieren.

Das unterstelle ich nicht, sondern das leite ich z. B. aus der
Existenz der irrationalen Zahlen ab. Das habe ich begruendet und
auch gesagt, dass mit unendlich grossen natuerlichen Zahlen solche
mit unendlich vielen Stellen gemeint sind. Bezeichnenderweise gehst
du auf das Argument nicht ein sondern machst deinerseits
Unterstellungen.

>
> > Die Konstruktionsvorschrift der Cantor-Menge
>
> in der klassischen Mengenlehre ergibt voellig unzweideutig, dass
> 1/4 Element des Cantorschen Diskontinuums ist. Am Anfang dieses
> Threads hattest Du vorgeschlagen, die mengentheoretische Konstruk-
> tion des Cantorschen Diskontinuums als Ausgangspunkt fuer die
> Diskussion zu waehlen. Da Du einen Widerspruch in der Mengenlehre
> ableiten willst, darf ich annehmen, dass Du mit ihren Schlussregeln und
> Axiomen vertraut bist. Dieselben Schlussregeln und Axiome ergeben aber,
> dass 1/4 Element des Cantorschen Diskontinuums ist. Wenn Du das
> jetzt bezweifelst, zwingst Du mich doch foermlich dazu anzunehmen,
> dass Du mit den Ableitungsregeln der Mengenlehre nicht vertraut bist
> und Dein Widerspruchsbeweis keiner ist.

Neben den Schlussregeln und Axiomen einer Theorie muessen auch
die Gesetze der Logik weiterhin gelten, sonst hat man keine
Diskussionsgrundlage. Da sich die Axiome nicht beweisen lassen,
ist es die vornehmste Aufgabe einer wissenschaftlichen Theorie,
ihre Axiome immer wieder auf Konsistenz zu pruefen. Wenn die
Schlussregeln der Mengenlehre mit der Logik kollidieren, machst
du mir einen Vorwurf daraus, dass ich die Regeln der Logik hoeher
bewerte. Wie grenzt sich unter diesen Umstaenden eine wissenschaft-
liche Theorie von einer Ideologie ab?

>
> > M_oo entsteht aus einer Anfangsmenge mit einem Element (dem Intervall
> > [0,1]) durch abzaehlbar viele Verdopplungen der Anzahl ihrer Elemente.
> > Wenn M_oo ueberabzaehlbar ist, steht das im Widerspruch zu dem Satz,
> > das die Vereinigung abzaehlbar vieler abzaehlbarer Mengen abzaehlbar
> > ist.
>
> Entschuldige, aber was Du in dieser Diskussion machst, ist in hohem Grade
> unfaehr: Ich hatte eine Definition von M_oo gegeben, Du hattest sie akzeptiert,
> und jetzt, Tage spaeter, bastelst Du Dir eine neue zurecht. M_oo entstand nach
> der vorigen Definition aus den N_k durch abzaehlbaren Schnitt und NICHT
> durch irgendeine Vereinigung. Mit dieser Art Argumentation kann man leicht
> einen Widerspruch ableiten, nicht nur in der Mengenlehre!

Na, jetzt bleib mal auf dem Boden der Realitaeten. In meinem posting
vom 11.5. 01:27, an das diese Diskussion anknuepft, habe ich den Satz,

das die Vereinigung abzaehlbar vieler abzaehlbarer Mengen abzaehlbar

ist, bereits bemueht und auch die Vergleichsmenge V_oo eingefuehrt.
Die Entstehung der Menge M_oo aus abzaehlbar vielen Teilungs-Schritten
wurde von Horst Kraemer beschrieben und daran knuepfen meine
Ausfuehrungen an. Bereits in meiner Antwort auf dein erstes posting
zu diesem Thema habe ich die Mengenfolge L_k mit der Grenzmenge L_oo
eingefuehrt, die auf gleiche Weise entsteht.

Die Menge M_oo war also bereits als Vereinigungsmenge eingefuehrt.
Du hast dann eine neue Menge als Durchschnitt aller N_k eingefuehrt.
Dass du sie inkonsequenterweise nicht als N_oo sondern als M_oo
bezeichnet hast, habe ich zunaechst als Ungenauigkeit im Ausdruck
hingenommen. Korrekterweise haettest du sie als N_oo bezeichnen und
dann beweisen muessen, dass N_oo und M_oo bzw. L_oo identisch sind.
Damit es keine weiteren Missverstaendnisse gibt, bezeichne ich den
Schnitt aller N_k als N_oo. Nach deiner Argumentation ist N_oo das
Cantorsche Diskontinuum. Da du keine Notwendigkeit siehst, die
Identitaet mit L_oo nachzuweisen, verzichte ich darauf.

Die Elemente von N_oo sind isolierte einzelne Punke. Zwischen je
2 Elementen von N_oo befindet sich ein Element der Menge B_oo.
B_oo enthaelt keinen isolierten Punkt, sonst wuerde dieser mit
seinen Nachbarn in N_oo ein Zahlentripel bilden, zwischen denen
keine weitere Zahl Platz hat. Alle ueberabzaehlbar vielen Elemente
von B_oo sind also Kontinua. Jedes Kontinuum enthaelt aber sowohl
rationale wie irrationale Zahlen, weil es zwischen 2 irrationalen
Zahlen immer eine rationale Zahl gibt und umgekehrt. Es muss also

ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben.

Jedes Element in B_oo war vor dem Heraustrennen aus den
abgeschlossenen Intervallen beidseitig von einer rationalen Zahl
begrenzt, die im Nenner eine Potenz von 3 enthaelt. Die Menge
dieser rationalen Zahlen muss also ebenfalls ueberabzaehlbar sein.

Gruss Dieter

[Wolfgang Thumser]

Hallo Dieter,

> > Damit unterstellst Du, es gaebe in der Mengenlehre so etwas wie
> > unendlich grosse natuerliche Zahlen und versuchst, aus dieser An-
> > nahme einen Widerspruch zu konstruieren.
>
> Das unterstelle ich nicht, sondern das leite ich z. B. aus der
> Existenz der irrationalen Zahlen ab.

Deine Behauptung bleibt so lange eine mengentheoretische Unterstellung
(und das ist voellig wertfrei als mengentheoretisch unbegruendete An-
nahme gemeint), wie es Dir nicht gelingt

1) innerhalb der axiomatischen Mengenlehre eine unendliche natuerliche
Zahl zu definieren und
2) anschliessend ihre Existenz innerhalb der axiomatischen Mengenlehre
auch zu beweisen.

Unter einem mengentheoretischen "Beweis" versteht man dabei eine Ab-
leitung, die mit den Axiomen als Zeichenketten ohne inhaltliche Bedeutung
beginnt und Schritt fuer Schritt unter Benutzung der symbolischen Schluss-
regeln mit der behaupteten Aussage als Zeichenkette eines endlichen Al-
phabetes endet.

Der Luxus einer umgangssprachliche Paraphrasierung solcher Zeichenketten
ist naemlich nur dann erlaubt, wenn feststeht, wie man sie im Prinzip in sym-
bolische Zeichenketten uebersetzen kann, und genau das ist bei Deinen Begrif-
fen wie "letzter Schritt" oder "unendliche natuerliche Zahl" nicht gegeben.

> Das habe ich begruendet

Aber leider ist es Dir bis jetzt immer noch nicht gelungen, es im Rahmen der
axiomatischen Mengenlehre zu tun. Rate 'mal, weswegen man eine axio-
matische Mengenlehre u.a. favorisiert: Die Ableitung ihrer Aussagen muss
objektiv ueberpruefbar sein und darf nicht von willkuerlichen Plausibilitaets-
betrachtungen einzelner abhaengen.

> auch gesagt, dass mit unendlich grossen natuerlichen Zahlen solche
> mit unendlich vielen Stellen gemeint sind.

Haelst Du diese Formulierung fuer eine exakte Definition innerhalb der axio-
matischen Mengenlehre? Unabhaengig davon: Glaubst Du wirklich, dass
jemandem, der mit dem Begriff "unendlich grosse Zahl" nichts anfangen
kann, der Begriff "unendlich viele Stellen" um einen Deut verstaendlicher
ist?

> Neben den Schlussregeln und Axiomen einer Theorie muessen auch
> die Gesetze der Logik weiterhin gelten, sonst hat man keine
> Diskussionsgrundlage.

Die Schlussregeln der axiomatischen Mengenlehre heissen nicht ohne
Grund auch "logische Schlussregeln".

> Wenn die Schlussregeln der Mengenlehre mit der Logik kollidieren,
> machst du mir einen Vorwurf daraus, dass ich die Regeln der Logik
> hoeher bewerte.

Die Schlussregeln der Mengenlehre (und ueberhaupt jeder Formalen
Theorie) sind doch die Schlussregeln der Logik: Eine der bekanntesten:

Wenn die Zeichenkette p ableitbar ist und ebenso p -> q, dann ist auch
q ableitbar.

Wenn es Dir wirklich gelaenge, einen formalen Widerspruch in der
axiomatischen Mengenlehre herzuleiten, dann wuerde eine der folgenden
Alternativen eintreten:

1) wenn Du Dein 40. Lebensalter noch nicht vollendet haettest, wuerde
man Dir die hoechste Auszeichnung verleihen, die es im Bereich der
Mathematik gibt: Die Fields Medaille (vglb. mit dem Nobel Preis)
2) wenn Du Dein 40. Lebensalter bereits vollendet haettest, wuerde man
eine Ausnahme machen.

> Wie grenzt sich unter diesen Umstaenden eine wissenschaft-
> liche Theorie von einer Ideologie ab?

U.a. durch die Moeglichkeit, ihre Aussagen rein syntaktisch und unabhaengig
von jeder Interpretation zu ueberpruefen.

> Na, jetzt bleib mal auf dem Boden der Realitaeten. [...]

> Die Entstehung der Menge M_oo aus abzaehlbar vielen Teilungs-Schritten
> wurde von Horst Kraemer beschrieben und daran knuepfen meine
> Ausfuehrungen an.

Bleiben wir also auf dem Boden der Realitaeten: Wie beginnt Horst seine
Darstellung? Er zitiert die Ausfuehrungen eines Posters aus sci.math und
beginnt mit den Worten:

:Fuer derartige "Pseudo-Grenzprozesse" gibt es viele Beispiele.

"Pseudo" ist griechisch und bedeutet soviel wie "falsch". Er gibt also
ein Beispiel eines seinem Dafuerhalten nach falschen Grenzprozesses.
An entscheidender Stelle heisst es dort:

:Die jeweils endlich vielen Intervalle ziehen sich bei wachsendem k im
:Gleichschritt auf einen Punkt zusammen. Also ist die "Grenzmenge" M_oo
:eine abzaehlbare Menge von Einzelpunkten.

Hier ist erstmalig von M_oo die Rede. Aber ich vermisse hier eine
praezise Definition von M_oo im Sinne der axiomatischen Mengenlehre.
Fuer mich hat die Erwaehnung einer in Anfuehrungszeichen gesetzten
"Grenzmenge" mehr mit den "Erdstrahlen" eines Wuenschelrutengaengers
zu tun als mit der von Dir propagierten "wissenschaftlichen Theorie".

Horst schliesst mit den Worten:

: Soviel zu ueber den Daumen gepeilten "Grenzwert"-Argumenten...

> Bereits in meiner Antwort auf dein erstes posting
> zu diesem Thema habe ich die Mengenfolge L_k mit der Grenzmenge L_oo
> eingefuehrt, die auf gleiche Weise entsteht.

L_oo ist als Vereinigung aller Intervallendpunkte abzaehlbar, hat aber nicht
das geringste mit dem Cantorschen Diskontinuum zu tun.

> Die Menge M_oo war also bereits als Vereinigungsmenge eingefuehrt.

Sie war bis dato bestenfalls erwaehnt, aber nicht praezise definiert i.S.
der axiomatischen Mengenlehre, s.o. Durch die von mir am Anfang der
Diskussion vorgestellte Definition wurde sie erst zu dem, was man "Cantorsches
Diskontinuum" nennt.

> Du hast dann eine neue Menge als Durchschnitt aller N_k eingefuehrt.
> Dass du sie inkonsequenterweise nicht als N_oo sondern als M_oo
> bezeichnet hast, habe ich zunaechst als Ungenauigkeit im Ausdruck
> hingenommen. Korrekterweise haettest du sie als N_oo bezeichnen und
> dann beweisen muessen, dass N_oo und M_oo bzw. L_oo identisch sind.

Wenn ich das getan haette (was ich bewusst nicht habe), dann haette
M_oo bis heute keine praezise Definition. Ich habe bereits ausgefuehrt,
dass man ohne praezise Definition keine Identitaeten nachweisen kann.

> Damit es keine weiteren Missverstaendnisse gibt,

> bezeichne ich denSchnitt aller N_k als N_oo.

> Nach deiner Argumentation ist N_oo das
> Cantorsche Diskontinuum.

Wenn wir uns darauf verstaendigen, ist N_oo das Cantorsche Diskontinuum,
genau! Dann aber hat M_oo bis heute keine exakte mengentheoretische
Definition und die Frage ist sinnlos, ob M_oo und N_oo identisch sind.

> Da du keine Notwendigkeit siehst, die
> Identitaet mit L_oo nachzuweisen, verzichte ich darauf.

Wenn Du unter L_oo die abzaehlbare Vereinigung aller Intervallendpunkte
verstehst, dann ist L_oo abzaehlbar und von dem Cantorschen Diskontinuum
N_oo (frueher M_oo, jetzt wieder undefiniert) verschieden, weil letzteres
in der axiomatischen Mengenlehre beweisbar ueberabzaehlbar ist. Ausserdem
enthaelt N_oo das Element 1/4, was sich nicht in L_oo befindet.

> Die Elemente von N_oo sind isolierte einzelne Punke.

Richtig, Punkte und Zahlen koennen wir synonym verwenden!

> Zwischen je
> 2 Elementen von N_oo befindet sich ein Element der Menge B_oo.

Um von vornherein Missverstaendnisse auszuschliessen, wollen
wir unter B_oo die (abzaehlbare) Vereinigung aller offenen Intervalle
verstehen, die im k-ten Schritt herausgenommen wurden. B_oo ist
damit eine Menge, die aus reellen Zahlen und nicht aus offenen Intervallen
besteht, ja? In diesem Sinne hast Du recht.

> B_oo enthaelt keinen isolierten Punkt,

Richtig!

> Alle ueberabzaehlbar vielen Elemente
> von B_oo sind also Kontinua.

Die Elemente von B_oo sind Zahlen und keine Kontinua. Wir koennen
uns aber darauf einigen, dass alle Elemente von B_oo zu offenen
Intervallen gehoeren (und zwar zu abzaehlbar vielen mit rationalen
Endpunkten), die als Teilmengen in B_oo enthalten sind. Man sagt
auch: B_oo ist offen.

> Jedes Kontinuum enthaelt aber sowohl
> rationale wie irrationale Zahlen, weil es zwischen 2 irrationalen
> Zahlen immer eine rationale Zahl gibt und umgekehrt.

Richtig!

> Es muss also
> ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben.

Falsch, denn B_oo besteht zwar aus ueberabzaehlbar vielen Zahlen,
diese befinden sich aber in abzaehlbar vielen offenen Intervallen
(Kontinua, wie Du sagen wuerdest). Dies scheint mir der kritische
Punkt in Deiner Argumentation zu sein (nachdem wir uns jetzt
hoffentlich auf ein gleiches Verstaendnis der Begriffe geeinigt
haben). Wenn Du in Deiner Antwort vielleicht diesen letzten
Schluss genauer erlaeutern koenntest, waere das eine Hilfe. Ich
sehe naemlich absolut nicht, wie das folgen soll.

> Jedes Element in B_oo war vor dem Heraustrennen aus den
> abgeschlossenen Intervallen beidseitig von einer rationalen Zahl
> begrenzt, die im Nenner eine Potenz von 3 enthaelt.

Richtig!

> Die Menge
> dieser rationalen Zahlen muss also ebenfalls ueberabzaehlbar sein.

Da dieser Schluss mit Deinem letzten Argument steht und faellt, warte
ich zunaechst auf Deine Begruendung.

Gruss Wolfgang

PS.: Um die Laenge der postings wieder zu verkuerzen, koennen wir
uns lediglich um den sachlichen, letzten Teil kuemmern, wenn Du willst!

[Rainer Rosenthal]

Dieter Jungmann news:3B05E8D1...@t-online.de...

> Das habe ich begruendet und auch gesagt, dass mit
> unendlich grossen natuerlichen Zahlen solche mit unendlich
> vielen Stellen gemeint sind.

Hallo Dieter,

es gibt keine natürlichen Zahlen mit unendlich vielen
Stellen.

Gruss,
Rainer

[Dieter Jungmann]

Hallo Wolfgang,

ich beantworte hier deinem Vorschlag entsprechend nur den
letzten Teil deines postings.

>
> Wenn Du unter L_oo die abzaehlbare Vereinigung aller Intervallendpunkte
> verstehst, dann ist L_oo abzaehlbar und von dem Cantorschen Diskontinuum
> N_oo (frueher M_oo, jetzt wieder undefiniert) verschieden, weil letzteres
> in der axiomatischen Mengenlehre beweisbar ueberabzaehlbar ist. Ausserdem
> enthaelt N_oo das Element 1/4, was sich nicht in L_oo befindet.
>
> > Die Elemente von N_oo sind isolierte einzelne Punke.
>
> Richtig, Punkte und Zahlen koennen wir synonym verwenden!
>
> > Zwischen je
> > 2 Elementen von N_oo befindet sich ein Element der Menge B_oo.
>
> Um von vornherein Missverstaendnisse auszuschliessen, wollen
> wir unter B_oo die (abzaehlbare) Vereinigung aller offenen Intervalle
> verstehen, die im k-ten Schritt herausgenommen wurden. B_oo ist
> damit eine Menge, die aus reellen Zahlen und nicht aus offenen Intervallen
> besteht, ja? In diesem Sinne hast Du recht.

Nein! B_oo enthaelt die offenen Intervalle ]1/3,2/3[, ]1/9,2/9[,
]4/9,5/9[... Die Intervalle sind zwar Mengen von reellen Zahlen,
die Elemente von B_oo sind aber die Intervalle und nicht deren
Elemente.

>
> > B_oo enthaelt keinen isolierten Punkt,
>
> Richtig!
>
> > Alle ueberabzaehlbar vielen Elemente
> > von B_oo sind also Kontinua.
>
> Die Elemente von B_oo sind Zahlen und keine Kontinua. Wir koennen
> uns aber darauf einigen, dass alle Elemente von B_oo zu offenen
> Intervallen gehoeren (und zwar zu abzaehlbar vielen mit rationalen
> Endpunkten), die als Teilmengen in B_oo enthalten sind. Man sagt
> auch: B_oo ist offen

Ich habe B_oo eindeutig als Menge der offenen Intervalle und nicht als
Menge von reellen Zahlen definiert. In unserem Zusammenhang sind naemlich
diese Intervalle und nicht einzelne Zahlen von Interesse, denn du hast
bestaetigt, dass B_oo keine isolierten Punkte enthaelt. Die Intervalle
in B_oo sind zusammenhaengende Bereiche, denn aus ihnen wird keine
Zahl entfernt. Alle Elemente von N_oo liegen also zwischen den
Intervallen von B_oo und nicht zwischen einzelnen Zahlen aus B_oo.

>
> > Jedes Kontinuum enthaelt aber sowohl
> > rationale wie irrationale Zahlen, weil es zwischen 2 irrationalen
> > Zahlen immer eine rationale Zahl gibt und umgekehrt.
>
> Richtig!
>
> > Es muss also
> > ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen geben.
>
> Falsch, denn B_oo besteht zwar aus ueberabzaehlbar vielen Zahlen,
> diese befinden sich aber in abzaehlbar vielen offenen Intervallen
> (Kontinua, wie Du sagen wuerdest).

Ja, und die ueberabzaehlbar vielen Elemente von N_oo liegen _zwischen_
und nicht _in_ diesen Intervallen. Und wenn es nur abzaehlbar viele
Intervalle gibt, koennen nicht ueberabzaehlbar viele isolierte Punkte
dazwischen liegen. Das ist der Widerspruch, den ich sehe.

> Dies scheint mir der kritische
> Punkt in Deiner Argumentation zu sein (nachdem wir uns jetzt
> hoffentlich auf ein gleiches Verstaendnis der Begriffe geeinigt
> haben). Wenn Du in Deiner Antwort vielleicht diesen letzten
> Schluss genauer erlaeutern koenntest, waere das eine Hilfe. Ich
> sehe naemlich absolut nicht, wie das folgen soll.

>
> > Jedes Element in B_oo war vor dem Heraustrennen aus den
> > abgeschlossenen Intervallen beidseitig von einer rationalen Zahl
> > begrenzt, die im Nenner eine Potenz von 3 enthaelt.
>
> Richtig!

Damit bestaetigst du, dass die Elemente von B_oo die offenen
Intervalle und nicht die reellen Zahlen dieser Intervalle sind.

>
> > Die Menge
> > dieser rationalen Zahlen muss also ebenfalls ueberabzaehlbar sein.
>
> Da dieser Schluss mit Deinem letzten Argument steht und faellt, warte
> ich zunaechst auf Deine Begruendung.

Ich formuliere sie noch einmal anders. Die Aufgabe bestehe darin, aus
dem Kontinuum des Einheitsintervalls die Menge B_oo zu konstruieren.
B_oo ist sicher kein Kontinuum, denn dieses wird an unendlich vielen
Stellen durch die Elemente von N_oo unterbrochen. B_oo wird also in
ueberabzaehlbar viele Teilstuecke zerlegt. Da B_oo keinen isolierten
Punkt enthaelt, sind diese Teilstuecke offene Intervalle, von denen es
daher ueberabzaehlbar viele geben muss. Da jedes Intervall mindestens
eine rationale Zahl enthaelt, muss es auch ueberabzaehlbar viele
rationale Zahlen geben.

Gruss Dieter

[Wolfgang Thumser]

Hallo Dieter,

> Nein! B_oo enthaelt die offenen Intervalle ]1/3,2/3[, ]1/9,2/9[,
> ]4/9,5/9[... Die Intervalle sind zwar Mengen von reellen Zahlen,
> die Elemente von B_oo sind aber die Intervalle und nicht deren
> Elemente.

Gut. Wir verstehen also unter B_oo die Menge, die sich ergibt,
wenn man alle in der Konstruktion des Cantorschen Diskontinuums
aus dem Einheitsintervall herausgenommenen, offenen Intervalle
als Elemente zu dieser Menge B_oo zusammenfasst. Damit ist
fuer mich zunaechst einmal klar, dass es sich bei B_oo um eine
abzaehlbar unendliche Menge handelt, die als Elemente offene
Intervalle mit rationalen Endpunkten enthaelt.

> [...] und nicht einzelne Zahlen von Interesse, denn du hast

> bestaetigt, dass B_oo keine isolierten Punkte enthaelt.

Ich ziehe hiermit alle Aussagen, die ich in frueheren Postings ueber
B_oo gemacht habe zurueck, da ich offensichtlich etwas anderes
darunter verstand wie Du.

> Die Intervalle
> in B_oo sind zusammenhaengende Bereiche, denn aus ihnen wird keine
> Zahl entfernt. Alle Elemente von N_oo liegen also zwischen den
> Intervallen von B_oo und nicht zwischen einzelnen Zahlen aus B_oo.

Akzeptiert mit der fuer mich neuen Definition von B_oo.

> Ja, und die ueberabzaehlbar vielen Elemente von N_oo liegen _zwischen_
> und nicht _in_ diesen Intervallen.

Richtig, das tun sie: Sie liegen dazwischen!

> Und wenn es nur abzaehlbar viele
> Intervalle gibt, koennen nicht ueberabzaehlbar viele isolierte Punkte
> dazwischen liegen.

Das ist haargenau die Stelle, die die Vorstellung auf eine harte Probe stellt.

Genau das passiert naemlich: Es existiert eine abzaehlbare Menge paarweise
disjunkter, offener Intervalle, zwischen denen ueberabzaehlbar viele isolierte
Punkte liegen.

Das mag man sich zunaechst nur schwer vorstellen koennen, aber es fuehrt
auf keinen Widerspruch:

Ein Widerspruch ergaebe sich naemlich nur dann, wenn jeder isolierte Punkt
Randpunkt wenigstens eines der herausgenommenen Intervalle waere. Nur
dann wuerde jeder isolierte Punkt Anlass zu einem rationalen Intervall geben.
Man koennte dann im wesentlichen jedem der ueberabzaehlbar vielen Elemente
des Cantorschen Diskontinuums N_oo genau ein rationales Intervall und
damit auch eine rationale Zahl zuordnen. Umgekehrt wuerde jedem rationalen
offenen Intervall sein bspw. linker Rand als isolierter Punkt zugeordnet sein.
Diese Bijektion wuerde dann auf einen Widerspruch fuehren.

Wie gesagt: Wenn jeder isolierte Punkt Randpunkt eines Intervalls aus B_oo
waere. Dem ist aber nicht so: Bspw. ist 1/4 Element von N_oo, aber 1/4
ist kein Randpunkt eines der herausgenommenen Intervalle, wie Du selbst
schon festgestellt hast, da die rationalen Intervalle nur rationale Randpunkte
mit 3er Potenzen im Nenner besitzen.

Die Ueberlegung zeigt sogar, dass es ueberabzaehlbar viele isolierte Punkte
im Cantorschen Diskontinuum gibt, die NICHT als Randpunkte von herausge-
nommenen Intervallen auftreten. M.a.W.: Unter allen Punkten des Cantorschen
Diskontinuums bilden die abzaehlbar vielen Randpunkte der herausgenommenen
Intervalle die Minderheit.

> Das ist der Widerspruch, den ich sehe.

Moeglicherweise strapaziert es die Vorstellung, die man gemeinhin mit abzaehl-
baren Vereinigungen offener Intervalle verbindet, aber zu einem Widerspruch
fuehrt das noch lange nicht.

> Ich formuliere sie noch einmal anders. Die Aufgabe bestehe darin, aus
> dem Kontinuum des Einheitsintervalls die Menge B_oo zu konstruieren.
> B_oo ist sicher kein Kontinuum, denn dieses wird an unendlich vielen
> Stellen durch die Elemente von N_oo unterbrochen.

Wenn Du es so ausdruecken magst: ja!

> B_oo wird also in
> ueberabzaehlbar viele Teilstuecke zerlegt.

Diese Formulierung verstehe ich nicht ganz. Zwischen zwei isolierten
Punkten des Diskontinuums N_oo befinden sich hoechstens abzaehlbar
viele offenen Intervalle von B_oo. Da ueberabzaehlbar viele Teilmengen
der abzaehlbar grossen Menge B_oo existieren, und zwischen je zwei
der ueberabzaehlbar vielen Punkte des Diskontinuums eine aus offenen
Intervallen von B_oo bestehende Teilmenge der insgesamt ueberabzaehl-
barvielen Teilmengen liegen, heisst das nur, dass man zwei Punkten
des Diskontinuums eine Teilmenge von B_oo zuordnen kann, und davon
gibt es ja genuegend viele.

> Da B_oo keinen isolierten
> Punkt enthaelt, sind diese Teilstuecke offene Intervalle, von denen es
> daher ueberabzaehlbar viele geben muss.

Die "Teilstuecke" sind aber Teilmengen von B_oo, die aus u.U. abzaehlbar
vielen offenen rationalen Intervallen bestehen. Niemand hat je bestritten
dass die Menge aller "Teilstuecke", sprich Teilmengen von B_oo, ueberab-
zaehlbar ist. Das kann man sogar beweisen. Allerdings geben diese "Teil-
stuecke" - im Gegensatz zu den offenen Intervallen selbst - Anlass fuer
eine ganze Teilmenge von rationalen Zahlen. Und die Menge aller Teilmengen
rationaler Zahlen besitzt ja auch die gleiche Maechtigkeit wie das Diskon-
tinuum, genau so, wie es sein soll. Wo also ist da ein Widerspruch?

> Da jedes Intervall mindestens
> eine rationale Zahl enthaelt, muss es auch ueberabzaehlbar viele
> rationale Zahlen geben.

Das Teilstueck, das zwischen zwei Punkten des Diskontinuums liegt,
besteht in der Regel aus keinem einzigen rationalen Intervall, sondern aus
abzaehlbar vielen. Welche rationale Zahl soll man denn da herausgreifen,
und wie sichert man, dass fuer das naechste Teilstueck, welches zu anderen
Punkten des Diskontinuums gehoert (Menge von rationalen Intervallen)
nicht wieder dieselbe rationale Zahl herausgegriffen wird?

Ich sehe da noch immer keinen Widerspruch, aber warte gespannt auf Deine
Argumente.

Gruss Wolfgang

[Roland Harnau]

Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> schrieb...

>Ich habe B_oo eindeutig als Menge der offenen Intervalle und nicht als
>Menge von reellen Zahlen definiert. In unserem Zusammenhang sind naemlich
>diese Intervalle und nicht einzelne Zahlen von Interesse, denn du hast
>bestaetigt, dass B_oo keine isolierten Punkte enthaelt. Die Intervalle
>in B_oo sind zusammenhaengende Bereiche, denn aus ihnen wird keine
>Zahl entfernt. Alle Elemente von N_oo liegen also zwischen den
>Intervallen von B_oo und nicht zwischen einzelnen Zahlen aus B_oo.

[...]

>Ja, und die ueberabzaehlbar vielen Elemente von N_oo liegen _zwischen_
>und nicht _in_ diesen Intervallen. Und wenn es nur abzaehlbar viele
>Intervalle gibt, koennen nicht ueberabzaehlbar viele isolierte Punkte
>dazwischen liegen. Das ist der Widerspruch, den ich sehe.

Es ist möglich, obwohl kontraintuitiv . Bezeichnen wir mit E die Menge
der abzählbar vielen Eckpunkte der kompakten Intervalle, die bei jedem
"Schritt" übrigbleiben; E enthält also etwa die Zahlen 0, 1/3, 2/3 und
1. Diese abzählbar unendlich vielen Eckpunkte sind offenbar auch in
der Schnittmenge aller I_n (n \in N) vorhanden, im Cantorschen
Diskontinuum C. Es sind aber noch mehr Zahlen vorhanden, nämlich alle
*Häufungspunkte* von E, d.s. alle Zahlen x des Intervalls [0,1], so
dass der Schnitt eines beliebig kleinen offenen Intervalls ]x-e,x+e[
mit E nicht leer ist. (e >0)

Hier wird auch klar, warum kein Intervall aus B_oo diese
Häufungspunkte "entfernen" kann: Nehmen wir ein offenens Intervall I
aus B_oo. Wenn I ein Häufungspunkt x von E enhalten würde, dann wäre,
da I offen ist, auch schon ein Intervall der Form ]x-e, x+e[ Teilmenge
von I sein und so auch schon ein Eckpunkt aus E Element von I.

Das heißt also: Soviel offene Intervalle du auch aus [0,1]
herausnimmst, ob abzählbar oder überabzählbar viele, sofern die
Eckpunkte E nicht herausgenommen werden, werden auch deren
(überabzählbar viele!) Häufungspunkte nicht herausgenommen.

Deine Intuition, soweit ich sie verstanden habe, reibt sich an
folgendem: Wenn wir alle abzählbar vielen offenen Intervalle von B_oo
in einer "Reihe" anordnen, etwa

I_1, I_2, I_3,...

so dass I_1 "links" von I_2 liegt, I_2 "links" von I_3 etc., dann
können zwischen den Intervallen nur "isolierte" Punkte liegen,
zwischen I_n und I_{n+1} etwa das Element x_n, insgesamt also
abzählbar unendlich viele.

Der Punkt ist allerdings: Die Intervalle lassen sich *nicht* so
anordnen! Nehmen wir als Beispiel die bei jedem "Schritt" auf der
"linken" Seite herausgenommenen Intervalle J_n (n \in N), J_0 ist etwa
das Intervall ]1/3,2/3[, J_1 = ]1/9,2/9[, J_2 = ]1/27,2/27[ etc. Hier
gibt es keine Möglichkeit, diese Intervalle "nebeinander" anzuordnen,
wie es dir anscheinend vorschwebt.

roland

[Dieter Jungmann]

Wolfgang Thumser schrieb:

>
> Hallo Dieter,
>
> > Nein! B_oo enthaelt die offenen Intervalle ]1/3,2/3[, ]1/9,2/9[,
> > ]4/9,5/9[... Die Intervalle sind zwar Mengen von reellen Zahlen,
> > die Elemente von B_oo sind aber die Intervalle und nicht deren
> > Elemente.
>
> Gut. Wir verstehen also unter B_oo die Menge, die sich ergibt,
> wenn man alle in der Konstruktion des Cantorschen Diskontinuums
> aus dem Einheitsintervall herausgenommenen, offenen Intervalle
> als Elemente zu dieser Menge B_oo zusammenfasst. Damit ist
> fuer mich zunaechst einmal klar, dass es sich bei B_oo um eine
> abzaehlbar unendliche Menge handelt, die als Elemente offene
> Intervalle mit rationalen Endpunkten enthaelt.
>
> > [...] und nicht einzelne Zahlen von Interesse, denn du hast
> > bestaetigt, dass B_oo keine isolierten Punkte enthaelt.
>
> Ich ziehe hiermit alle Aussagen, die ich in frueheren Postings ueber
> B_oo gemacht habe zurueck, da ich offensichtlich etwas anderes
> darunter verstand wie Du.

Was hat die Frage, ob B_oo isolierte Punkte enthaelt, damit zu tun,
ob man die Zahlen, die nicht in N_oo enthalten sind, als Elemente von
B_oo waehlt oder ob man sie zu Teilmengen, eben den offenen Intervallen,
zusammenfasst und diese als Elemente von B_oo definiert?

Das waere noch zu pruefen, ob es nicht tatsaechlich so sein muss. Ich
beharre hier aber nicht darauf. Es spielt in deiner Argumentation auch
keine Rolle, ob man B_oo als Menge der offenen Intervalle oder, wie du
es wolltest, als Menge der nicht in N_oo enthaltenen reellen Zahlen
definiert. Entscheident ist nur, das B_oo keine isolierten Punkte
enthaelt. Zwischen 2 benachbarten Elementen von N_oo kann sich also
keine einzelne Zahl befinden. Die einzige Alternative ist ein offenes
Intervall, woraus sich der Widerspruch ergibt.

Wenn du nun fragst, was 2 benachbarte Elemente von N_oo sind, muss
ich die Frage an dich zurueckgeben, denn wenn du die Existenz von
N_oo postulierst, musst du auch klare Vorstellungen davon haben,
wie sie aussieht. Ich erwarte nicht, dass du 2 benachbarte Elemente
explizit angibst, denn man kann durch logische Ueberlegungen die
Existenz von Objekten beweisen oder plausibel machen, ohne sie alle
nennen zu koennen. Es muss aber moeglich sein, ueber diese als
existent vorausgesetzten Objekte, auch wenn man sie nicht nennen
kann, logische Aussagen zu machen, die sich aus ihren Eigenschaften
ableiten lassen.

In unserem Fall heisst das: D_oo sei die Menge der reellen Zahlen
des Einheitsintervalls, die nicht in N_oo enthalten sind. (D_oo ist
die Menge B_oo so wie du sie verstanden hattest.) D_oo wird durch
die Elemente von N_oo in ueberabzaehlbar viele disjunkte Bereiche
aufgeteilt. Da D_oo keine isolierten Zahlen enthaelt, kann es sich
bei diesen Bereichen nur um offene Intervalle handeln. Wie diese
begrenzt werden ist unwichtig. Es muss ueberabzehlbar viele solcher
Intervalle geben, und da jedes mindestens eine rationale Zahl enthaelt,
auch ueberabzaehlbar viele rationale Zahlen.

>
> Die "Teilstuecke" sind aber Teilmengen von B_oo, die aus u.U. abzaehlbar
> vielen offenen rationalen Intervallen bestehen. Niemand hat je bestritten
> dass die Menge aller "Teilstuecke", sprich Teilmengen von B_oo, ueberab-
> zaehlbar ist. Das kann man sogar beweisen. Allerdings geben diese "Teil-
> stuecke" - im Gegensatz zu den offenen Intervallen selbst - Anlass fuer
> eine ganze Teilmenge von rationalen Zahlen. Und die Menge aller Teilmengen
> rationaler Zahlen besitzt ja auch die gleiche Maechtigkeit wie das Diskon-
> tinuum, genau so, wie es sein soll. Wo also ist da ein Widerspruch?

Du hast ihn doch gerade genannt. Das Diskontinuum ist ueberabzaehlbar
und wenn "die Menge aller Teilmengen rationaler Zahlen" die gleiche
Maechtigkeit besitzt, ist also die Menge der rationalen Zahlen uber-
abzaehlbar im Gegensatz zur Voraussetzung.

>

Du greifst immer wieder auf die Aussage zurueck, dass 1/4 Element von
N_oo ist. Deshalb wuerde mich der Beweis, auf den ich bisher verzichtet
habe, jetzt doch interessieren. 1/4 ist _innerhalb_ von unendlich
vielen abgeschlossenen Intervallen enthalten. Das spricht eher dafuer,
dass die Zahl nicht isoliert werden kann. Denn solange der Vorrat an
rationalen Zahlen, die im Nenner nur eine Potenz von 3 enthalten,
"reicht" (und er reicht, solange man nur abzaehlbar viele Teilungs-
schritte ausfuehrt), bleibt 1/4 im Innern eines abgeschlossenen
Intervalls. Die Erzeugung des Diskontinuums erfordert aber nach
Voraussetzung nur abzaehlbar viele Schritte.

Dein Gegenargument koennte lauten: Jedes dieser Intervalle enthaelt
ausser 1/4 auch noch ueberabzaehlbar viele andere Zahlen. Wenn man
versucht, eine davon zu nennen, ist es auch moeglich eine rationale
Zahl zu nennen, die zwischen diesen Zahlen liegt und im Nenner nur
eine Potenz von 3 enthaelt, so dass man neue Intervalle bilden
kann, die nur je eine dieser Zahlen enthalten. (Eine koennte auch in
dem herausgescnittenen offenen Intervall sein.) Da dies fuer alle
Zahlen gilt, muss es moeglich sein, ueberabzaehlbar viele Zahlen zu
isolieren.

Das Argument uebersieht aber, dass fuer jede Erzeugung eines
zusaetzlichen abgeschlossenen Intervalls zwei neue rationale
Zahlen noetig sind, die im Nenner eine Potenz von 3 enthalten.
Ein anderes "Trennmittel" sieht die Konstruktionsvorschrift der
Cantor-Menge nicht vor. Es muesste also ueberabzaehlbar viele
rationale Zahlen geben, um ueberabzaehlbar viele Zahlen isolieren
zu koennen. Bei jedem Teilungsschritt entstehen nur neue Intervalle.
Trotzdem haben sich im Grenzfall, Hokuspokus, alle abgeschlossenen
Intervalle in isolierte Punkte aufgeloest? Hast du einen anderen Beweis?

Gruss Dieter

[Dieter Jungmann]

Roland Harnau schrieb:

>
> Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> schrieb...
> >Ich habe B_oo eindeutig als Menge der offenen Intervalle und nicht als
> >Menge von reellen Zahlen definiert. In unserem Zusammenhang sind naemlich
> >diese Intervalle und nicht einzelne Zahlen von Interesse, denn du hast
> >bestaetigt, dass B_oo keine isolierten Punkte enthaelt. Die Intervalle
> >in B_oo sind zusammenhaengende Bereiche, denn aus ihnen wird keine
> >Zahl entfernt. Alle Elemente von N_oo liegen also zwischen den
> >Intervallen von B_oo und nicht zwischen einzelnen Zahlen aus B_oo.
> [...]
> >Ja, und die ueberabzaehlbar vielen Elemente von N_oo liegen _zwischen_
> >und nicht _in_ diesen Intervallen. Und wenn es nur abzaehlbar viele
> >Intervalle gibt, koennen nicht ueberabzaehlbar viele isolierte Punkte
> >dazwischen liegen. Das ist der Widerspruch, den ich sehe.
>
> Es ist möglich, obwohl kontraintuitiv . Bezeichnen wir mit E die Menge
> der abzählbar vielen Eckpunkte der kompakten Intervalle, die bei jedem
> "Schritt" übrigbleiben; E enthält also etwa die Zahlen 0, 1/3, 2/3 und
> 1. Diese abzählbar unendlich vielen Eckpunkte sind offenbar auch in
> der Schnittmenge aller I_n (n \in N) vorhanden, im Cantorschen
> Diskontinuum C. Es sind aber noch mehr Zahlen vorhanden, nämlich alle
> *Häufungspunkte* von E, d.s. alle Zahlen x des Intervalls [0,1], so
> dass der Schnitt eines beliebig kleinen offenen Intervalls ]x-e,x+e[
> mit E nicht leer ist. (e >0)

Ein Schnitt einer wie auch immer definierten Menge mit der Menge E
kann hoechstens die Elemente enthalten, die E ohnehin schon enthaelt.
Auf diese Weise lassen sich also keine zusaetzlichen Zahlen fuer C
gewinnen. Damit ist deine gutgemeinte Hilfestellung leider wertlos.

Gruss Dieter

[Wolfgang Thumser]

Hallo Dieter,

> Zwischen 2 benachbarten Elementen von N_oo kann sich also
> keine einzelne Zahl befinden. Die einzige Alternative ist ein offenes
> Intervall, woraus sich der Widerspruch ergibt.

Du fuehrst hier erstmalig den fuer mich voellig unverstaendlichen
Begriff zweier benachbarter Zahlen von N_oo ein,

> Wenn du nun fragst, was 2 benachbarte Elemente von N_oo sind, muss
> ich die Frage an dich zurueckgeben, denn wenn du die Existenz von
> N_oo postulierst, musst du auch klare Vorstellungen davon haben,

und verlangst anschliessend, dass ich mir diesen Begriff selbst erklaeren
soll? Wenn Du schliesslich die in der axiomatischen Mengenlehre
beweisbare Existenz des Cantorschen Diskontinuums N_oo nach ein-
woechiger Diskussion immer noch als Postulat verstehst, kann ich Dir
nur empfehlen, in Zukunft mengentheoretische Diskussionen aus-
schliesslich mit Dir selbst zu fuehren. Immerhin kannst Du dann auf
einen Zuhoerer blicken, der Dich voll versteht und der Dir vor allem
nicht widerspricht.

Eine Fortsetzung dieser Diskussion in dsm halte ich unter diesen
Bedingungen inzwischen fuer sinnlos.

[Roland Harnau]

Dieter Jungmann <dtr.ju...@t-online.de> schrieb...

>> Es ist möglich, obwohl kontraintuitiv . Bezeichnen wir mit E die Menge
>> der abzählbar vielen Eckpunkte der kompakten Intervalle, die bei jedem
>> "Schritt" übrigbleiben; E enthält also etwa die Zahlen 0, 1/3, 2/3 und
>> 1. Diese abzählbar unendlich vielen Eckpunkte sind offenbar auch in
>> der Schnittmenge aller I_n (n \in N) vorhanden, im Cantorschen
>> Diskontinuum C. Es sind aber noch mehr Zahlen vorhanden, nämlich alle
>> *Häufungspunkte* von E, d.s. alle Zahlen x des Intervalls [0,1], so
>> dass der Schnitt eines beliebig kleinen offenen Intervalls ]x-e,x+e[
>> mit E nicht leer ist. (e >0)
>
>Ein Schnitt einer wie auch immer definierten Menge mit der Menge E
>kann hoechstens die Elemente enthalten, die E ohnehin schon enthaelt.
>Auf diese Weise lassen sich also keine zusaetzlichen Zahlen fuer C
>gewinnen. Damit ist deine gutgemeinte Hilfestellung leider wertlos.

Lies einfach genauer, was ich schreibe: Die Menge der HPs von C sind
alle Elemente x von [0,1], für die jedes Intervall der Form ]x-e,x+e[
(e \in R_+) einen nichtleeren Schnitt mit E hat. Die "zusätzlichen"
Zahlen müssen dabei natürlich nicht *selbst* im Schnitt sein.

roland