Google Группы больше не поддерживают новые публикации и подписки в сети Usenet. Опубликованный ранее контент останется доступен.

Фракталы, задача

0 просмотров
Перейти к первому непрочитанному сообщению

Max Alekseyev

не прочитано,
26 янв. 2002 г., 09:46:4026.01.2002
████ OS/2 Hi, All !

===cut===
* 2438: Re: Фракталы, задача Михалыч 25 января 11:01

Много лет не дает покоя одна задача, решение которой "перебрасывает мост"
между фракталами и рядами Дирихле.

Задача.
Рассмотрим бесконечное произведение:
\[
F(z)=\prod_{k=0}^\infty \left( 1+\omega _1z^{m^k}+\omega
_2z^{2m^k}+...+\omega _{m-1}z^{\left( m-1\right) m^k}\right) ,\left|
z\right| <1
\]

где "омеги" - комплексные корни из единицы с условием

\[
m<1+\omega _1+\omega _2+...+\omega _{m-1}\in \mathbf{R}
\]

Раскрывая скобки, получаем степенной ряд

\[
F(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n
\]

Определим сумматорную функцию коэффициентов степенного ряда

\[
\Phi _0(x)=\sum_{n\leq x}a_n
\]

и ее "интегральные итерации":

\[
\Phi _p(x)=\int_1^x\Phi _p(t)dt
\]

Меня интересует асимптотическое разложение функций

$\Phi _p(x)$ for $x\rightarrow \infty $

Заранее спасибо.
===cut===

Regards, ° °
Max ~

Михаил Еременчук

не прочитано,
27 янв. 2002 г., 05:45:4527.01.2002
Здравствуйте, Max Alekseyev

Идей почти ничего, зато вопросов уйма.

> * 2438: Re: Фракталы, задача Михалыч 25 января 11:01
>
> Много лет не дает покоя одна задача, решение которой "перебрасывает мост"
> между фракталами и рядами Дирихле.

А какая связь между рядами Дирихле и конструкцией, рассматриваемой в данной
задаче)? Если мне память не изменяет, то ряд Дирихле это

f(s) = \sum_n a_n n^{-s},

а обобщенный РД (например)

f(s) = \sum_n a_n exp(b_n s).

> Рассмотрим бесконечное произведение:
> \[
> F(z)=\prod_{k=0}^\infty \left( 1+\omega _1z^{m^k}+\omega
> _2z^{2m^k}+...+\omega _{m-1}z^{\left( m-1\right) m^k}\right) ,\left|
> z\right| <1
> \]
>
> где "омеги" - комплексные корни из единицы с условием
>
> \[
> m<1+\omega _1+\omega _2+...+\omega _{m-1}\in \mathbf{R}
> \]

Нельзя ли разъяснить условие? m - целое или действительное? Если
действительное, то в каком смысле подразумевается нумерация до m-1?

Для целых чисел (и привычного способа нумерации) моментально доказывается
обратное неравенство

m >= 1+\omega _1+... +\omega_{m-1}

поэтому непонятно, что здесь имеется в виду.

> Раскрывая скобки, получаем степенной ряд
>
> \[
> F(z)=\sum_{n=0}^\infty a_nz^n
> \]
>
> Определим сумматорную функцию коэффициентов степенного ряда
>
> \[
> \Phi _0(x)=\sum_{n\leq x}a_n
> \]
>
> и ее "интегральные итерации":
>
> \[
> \Phi _p(x)=\int_1^x\Phi _p(t)dt
> \]

Имелось в виду \Phi_{p+1} = ...?

>
> Меня интересует асимптотическое разложение функций
>
> $\Phi _p(x)$ for $x\rightarrow \infty $

Понятно, что все эти штуки расходятся на бесконечности, по всей видимости
хочется оценить рост?

Знаете, что приходит в голову (если считать, что m - целое и т.п.)?
Попытаться ткнуться в то обстоятельство, что
$$
\Phi_0 (x \rightarrow \infty) \rightarrow F(1) ,
$$
а с $F(1)$ работать милое дело. Наверное, это уже пробовалось, но не могу
отказать себе в удовольствии немного побаловаться.

Итак, рассмотрим ``усеченную'' $F$

$$
F(z;N) = \prod_{k=0}^N \left( 1+\omega _1 z^{m^k}+\omega
_2z^{2m^k}+...+\omega _{m-1}z^{(m-1)\, m^k}\right) ,
$$
которая представляется полиномом

$$
F(z;N) = \sum_{n=0}^{n_N} b_n z^n ,
$$
где $n_N = m^{N+1}-1$. Замечая, что в $F_{N+1}(z)$ все $b_k$ с $k<n_N$
останутся неизменными, получаем, что

$$
F(1;N) = \Phi_0\left( m^{N+1}-1 \right)
$$

или

$$
\Phi_0(x) = F\left(1;\left[\frac{\log{(x+1)}}{\log{m}}\right]-1\right) ,
$$
где $[x]$ означает наибольшее целое непревосходящее $x$.

Вводя $\omega = 1+\sum_k \omega_k$, находим явное выражение для $\Phi_0(x)$
$$
\Phi_0(x) =
\exp\left(\left[\frac{\log{(x+1)}}{\log{m}}-1\right]\log\omega\right).
$$

Дальше еще можно повозиться, но предварительные оценки можно дать сразу.
Функции у нас кругом положительные, так что обозначая

$$
\alpha = \frac{\log \omega}{\log m},
$$
можем записать (учитывая, что $x-1 < [x] \leq x$)
$$
e^{-2\alpha}(x+1)^\alpha < \Phi_0(x) \leq (x+1)^\alpha e^{-\alpha},
$$
и, повторно интегрируя (оставлены только главные члены по $x$, хотя там
из-за нижнего предела наползет целая последовательность), получаем
подобные оценки сверху и снизу для $\Phi_p$

$$
e^{-2\alpha} \frac{(x+1)^{\alpha+p}}{\alpha\cdot...\cdot(\alpha+p)} <
\Phi_p (x) <
e^{-\alpha}\frac{(x+1)^{\alpha+p}}{\alpha\cdot...\cdot(\alpha+p)}.
$$

Всего,
Миша Еременчук

0 новых сообщений