Quiz_06iv2004
M_SHIRAISHI
---- もっとも、これは著者（高木貞治）の創案ではなく、恐らくは、A.L.Cauchy(1789-1857)
あたりからの「孫引き」であろうと思われる ---- が、これには著者の --- 従って、Cauchy(?)も ----
気づかなかった≪錯誤≫がある。 それを見抜いて指摘せよ。
"f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことに
する．すなわちこの定義によれば
dy＝f'(x)・△x. (4)
今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、x'＝１だから、
dx＝△x.
故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である．これを (4) に
代入すれば、
dy＝f'(x)dx (5)
これを
dy/dx＝f'(x) (6)
と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の意味を有するから、
dy/dx は商としての意味を有する。"
註）上記の引用文を読んで、「何か変だぞ？」という気が一向にしないのであれば、
ソチの頭脳は「オメデタイ」のだと観念せよ。 ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI ＠ The_New_York_Academy_of_Sciences
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> 以下に引用するのは、有名な『解析概論』（高木貞治；著）からのもの（同書 p.37）である
> ---- もっとも、これは著者（高木貞治）の創案ではなく、恐らくは、A.L.Cauchy(1789-1857)
> あたりからの「孫引き」であろうと思われる ---- が、これには著者の --- 従って、Cauchy(?)も ----
> 気づかなかった≪錯誤≫がある。 それを見抜いて指摘せよ。
確かに『解析概論』の中でもここの部分の説明のまずさは
昔から言われていることではありますが。
その点で上は「恐らくは、何かからの「孫引き」であろうと思われる」
だけど「≪錯誤≫」ねえ。
# にしてもなんでいきなり「孫引き」なんだ？
> "f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことに
> する．すなわちこの定義によれば
いっちゃんまずいのは、上の引用文の冒頭部分、p.36 下の
「そこで⊿y の主要部分なる...」
をなぜか切っちゃったことで、これでは何の話かわからない。
⊿x, ⊿y のなんたるかぐらいの説明も入れるべきだし。
（平賀）
Shinji KONO
In article <40725697...@slis.tsukuba.ac.jp>, Yuzuru Hiraga <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> writes
> 確かに『解析概論』の中でもここの部分の説明のまずさは
> 昔から言われていることではありますが。
これって、どちらかというと微分形式的な説明をねらったんじゃな
いかなぁ。Δx を基底とみなしてやればいいんですよね。
---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科
M_SHIRAISHI
>
> 確かに『解析概論』の中でもここの部分の説明のまずさは
> 昔から言われていることではありますが。
> その点で上は「恐らくは、何かからの「孫引き」であろうと思われる」
> だけど「≪錯誤≫」ねえ。
然り。 ≪錯誤≫だ。 しかも、「錯誤であること」が〔(反論の余地が無い程)明解に
証明のできる≪錯誤≫〕だ。
# "源内１３世"には、多分、その証明はできぬ --- 何せ、かの高木貞治（ないしは、
Cauchy？）ですら気づかなかった≪錯誤≫だから --- であろうが、余の「解答」を
見る機会があったなら、首肯せざるを得ぬであろう。 Thus I predict.
> # にしてもなんでいきなり「孫引き」なんだ？
Cauchy の書いたものが源泉だろうと想像するのだけど、何せ、Cauchy は「物凄く
多産な数学者」で、書いた論文の数は軽く５００を超えているそうだから（そのぶん
間違い／失敗作も多かったｗ）文献の調査は容易ではないのだよ。 ヽ(＾。＾)ノ
> > "f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことに
> > する．すなわちこの定義によれば
>
> いっちゃんまずいのは、上の引用文の冒頭部分、p.36 下の
> 「そこで y の主要部分なる...」
> をなぜか切っちゃったことで、これでは何の話かわからない。
> x, y のなんたるかぐらいの説明も入れるべきだし。
△x が何を意味してるかなんて、高校の数学教科書にも載っているような「常識」
だワな。 ヽ(＾。＾)ノ
このクイズに挑戦しようとする読者で、もし仮に、そういうことの意味が分からない
のであれば、直接、『解析概論』↓
を紐解いて見れば済むこと。
Yuzuru Hiraga
ありゃ。外字使っちゃったみたいですね。すみません。
I wrote:
>>いっちゃんまずいのは、上の引用文の冒頭部分、p.36 下の
>>「そこで y の主要部分なる...」
>>をなぜか切っちゃったことで、これでは何の話かわからない。
>> x, y のなんたるかぐらいの説明も入れるべきだし。
上はそれぞれ：
「そこでΔy の主要部分なる...」
Δx, Δy のなんたるかぐらいの説明も入れるべきだし。
に直して読んでください。
でもって。
M_SHIRAISHI wrote:
> △x が何を意味してるかなんて、高校の数学教科書にも載っているような「常識」
> だワな。 ヽ(＾。＾)ノ
もっと重要な「そこでΔy の主要部分なる...」の欠落のほうは
なんでダンマリなの？単純ミスは素直に訂正する人だったのに。
なんか意図あってのことかと思われますよ。
>># にしてもなんでいきなり「孫引き」なんだ？
>
> Cauchy の書いたものが源泉だろうと想像するのだけど、...
「孫引き」を辞書で引こうね。
にしても、「子引き」の正体も不明なままで
「想像」だけで名指された Cauchy もお気の毒。
>>だけど「≪錯誤≫」ねえ。
>
> 然り。 ≪錯誤≫だ。 しかも、「錯誤であること」が〔(反論の余地が無い程)明解に
> 証明のできる≪錯誤≫〕だ。
はあ。
ここは単に定義を述べたところで、「何やってるかようわからん」
といったことはともかく、定義としては well-defined ですよ。
定義に「錯誤」がある、ましてやそれが「証明」できたりするもんですかね。
# できるとすれば、別に天与の「定義」が必要。
まあ想像するに、「変数 x を関数のように言うのはけしからん」とか、
「無限小である dx を有限量のΔx と等値できるわけない」、あるいは逆に
「Δx→0 ではどうなるんだ」とかいったところで
お気に入りの超準解析が引っ張り出されるんじゃないかと。
別にはずれてもかまいませんが。
（平賀）
M_SHIRAISHI
>
> M_SHIRAISHI wrote:
> > △x が何を意味してるかなんて、高校の数学教科書にも載っているような「常識」
> > だワな。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> もっと重要な「そこでΔy の主要部分なる...」の欠落のほうは
> なんでダンマリなの？単純ミスは素直に訂正する人だったのに。
> なんか意図あってのことかと思われますよ。
意図なんて何～んも無いよ。
# 引用した部分に関して、もっと詳しく知りたい向きは『解析概論』の該当箇所を
参照すれば済むことだし。
> >># にしてもなんでいきなり「孫引き」なんだ？
> >
> > Cauchy の書いたものが源泉だろうと想像するのだけど、...
>
> 「孫引き」を辞書で引こうね。
「孫引き」という言葉を使ったのは、Cauchy と 高木貞治 との間に
≪第三の人物≫が介在しているのではないかと思ったからだよ。
# 想像の域を出ないが、多分、その≪第三の人物≫は、G.Jordan で、
『解析概論』は Jordan 著 "Traite d'Analyse" を参照して、書かれた
んじゃないかな？ と思う。
> >>だけど「≪錯誤≫」ねえ。
> >
> > 然り。 ≪錯誤≫だ。 しかも、「錯誤であること」が〔(反論の余地が無い程)明解に
> > 証明のできる≪錯誤≫〕だ。
>
> はあ。
> ここは単に定義を述べたところで、「何やってるかようわからん」
> といったことはともかく、定義としては well-defined ですよ。
> 定義に「錯誤」がある、ましてやそれが「証明」できたりするもんですかね。
βακαμων！
定義は、dy:＝f'(x)・△x だけだ。
dy/dx＝f'(x) のほうは、その定義から導かれると主張されている「命題」だ。
> まあ想像するに、「変数 x を関数のように言うのはけしからん」とか、
> 「無限小である dx を有限量のΔx と等値できるわけない」、あるいは逆に
> 「Δx→0 ではどうなるんだ」とかいったところで
> お気に入りの超準解析が引っ張り出されるんじゃないかと。
全部、ハズレ。 ヽ(^。^)ノ
M_SHIRAISHI
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote in message news:<800c7853.04040...@posting.google.com>...
> Yuzuru Hiraga <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message news:<4073A3DC...@slis.tsukuba.ac.jp>...
> >
> > はあ。
> > ここは単に定義を述べたところで、「何やってるかようわからん」
> > といったことはともかく、定義としては well-defined ですよ。
> > 定義に「錯誤」がある、ましてやそれが「証明」できたりするもんですかね。
>
>
> βακαμων！
>
> 定義は、dy:＝f'(x)・△x だけだ。
>
> dy/dx＝f'(x) のほうは、その定義から導かれると主張されている「命題」だ。
ということは、
"dy:＝f'(x)・△x" という「定義」から "dy/dx＝f'(x)" という〔命題〕を導く
過程のどこかに≪錯誤≫があり、そしてその事実が*明解に証明できる*ってことだ。
従って、当然ながら、
> > まあ想像するに、「変数 x を関数のように言うのはけしからん」とか、
> > 「無限小である dx を有限量のΔx と等値できるわけない」、あるいは逆に
> > 「Δx→0 ではどうなるんだ」とかいったところで
> > お気に入りの超準解析が引っ張り出されるんじゃないか
なんてことは、全くの≪見当違い≫ということになる。
M_SHIRAISHI
> ---- もっとも、これは著者（高木貞治）の創案ではなく、恐らくは、A.L.Cauchy(1789-1857)
> あたりからの「孫引き」であろうと思われる ---- が、これには著者の --- 従って、Cauchy(?)も ----
> 気づかなかった≪錯誤≫がある。 それを見抜いて指摘せよ。
>
>
>
> "f'(x)・△x を点x における函数y=f(x) の微分と名づけて、それを dy で表わすことに
> する．すなわちこの定義によれば
>
> dy＝f'(x)・△x. (4)
>
> 今同様の意味において、x それ自身をx の函数とみれば、x'＝１だから、
>
> dx＝△x.
>
> 故に上記の定義の下において、△x はx の函数なる x の微分である．これを (4) に
> 代入すれば、
>
> dy＝f'(x)dx (5)
>
> これを
>
> dy/dx＝f'(x) (6)
>
> と書くならば、記号dy/dx においてdx および dy が各々独立の意味を有するから、
> dy/dx は商としての意味を有する。"
【解答】
dx＝△x が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである。
従って、〔 y＝f(x) が ＊(微分可能な)任意の函数＊である場合〕の
dy＝f'(x)・△x ----------------------- (4)
に、△x＝dx として代入することは許されない（！）。
もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には dy＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も (4) に代入できる筈であり、そうすると、
△x＝f'(x)・△x
∴ f'(x)＝１
となってしまい、「y＝f(x) は＊(微分可能な)任意の函数＊である」という仮定に反し、
不合理である。
よって、(4) でdy を定義してみたところで、それから dy/dx＝f'(x) が導けるわけでは
ない ■
Yuzuru Hiraga
>【解答】
やっぱりとんでもなく混乱してるみたいですね。
まさかここまでというのは想像の域を超えてますが。
>dx＝△x が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである。
>従って、〔 y＝f(x) が ＊(微分可能な)任意の函数＊である場合〕の..
y=x の y と、y=f(x) の y とは同じものですか？
そこがおそらく混乱の根本原因だろうけど、
「x それ自身をx の函数とみれば」が全然わかってないようですね。
>もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には dy＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も (4) に代入できる筈であり、そうすると、
>
> △x＝f'(x)・△x
>
> ∴ f'(x)＝１
これは単に、「y=f(x)=x のとき f'(x)=1」を再確認しただけですね。
説明しても理解できそうにないけど、一応やってみましょう。
「x それ自身をx の函数とみれば」というのは、あえて書けば x=x となるけど、
これでは恒等式と区別がつかないので補助変数を導入して：
x = x(t) = t
y = f(x) = f(t)
と書きましょう。
するとくだんの定義から
dx = x'(t)Δt = Δt
dy = f'(t)Δt
上を下に代入して
dy = f'(t)dx = f'(x)dx
というだけのことですよ。
>dx＝△x が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである。
これを "y=x" なんて書くからわけがわからなくなってしまう。
そう書くなら、最初の "dx=Δx" は "dy=Δx" でなければおかしい。
かくて：
> 然り。 ≪錯誤≫だ。 しかも、「錯誤であること」が〔(反論の余地が無い程)明解に
> 証明のできる≪錯誤≫〕だ。
とはあいなれり。
# この人、「２つの関数 y=x と y=x^2 の交点を求めよ」
# なんて問題、できるのかしらん。
（平賀＠筑波大）
M_SHIRAISHI
> In article <800c7853.04041...@posting.google.com> eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) writes:
> >【解答】
>
> やっぱりとんでもなく混乱してるみたいですね。
βακαμων！
とんでもなく混乱して居るのは貴様のほうだ。（爆笑＋嘲笑
> >dx＝△x が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである。
> >従って、〔 y＝f(x) が ＊(微分可能な)任意の函数＊である場合〕の..
>
> y=x の y と、y=f(x) の y とは同じものですか？
「x は独立変数を表わしており、y は従属変数を表わしている」という意味でなら、同じだ
*が*、y＝f(x) のほうは 〔f が (微分可能な)任意の函数〕を表わしているのに対して、
y＝x のほうは〔その様な函数のうちの*特殊な函数＊〕を表わしているのだから、そういう
意味では y＝x の y とy＝f(x) の y とでは「意味が違う」のは当然のことだ。
> そこがおそらく混乱の根本原因だろうけど
繰り返し言う：－ 混乱して居るのは貴様のほうだ。（爆笑＋嘲笑
> 「x それ自身をx の函数とみれば」が全然わかってないようですね。
「全然分かっとらん」のは、貴様のほうだ。（爆笑＋嘲笑
# 独立変数を x で、従属変数を y で表わすという仮定のもとで、
不定方程式：y＝x は〔x それ自身が従属変数の値であるような函数〕を
表わすのだってことが、一向に、分かっておらんのか、貴様。（爆笑＋嘲笑
> >もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には dy＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も (4) に代入できる筈であり、そうすると、
> >
> > △x＝f'(x)・△x
> >
> > ∴ f'(x)＝１
>
> これは単に、「y=f(x)=x のとき f'(x)=1」を再確認しただけですね。
>
> 説明しても理解できそうにないけど、一応やってみましょう。
「理解できそうにない」の欠落している主語を補えば、“Yuzuru は”だな。（爆笑＋嘲笑
> 「x それ自身をx の函数とみれば」というのは、あえて書けば x=x となるけど、
> これでは恒等式と区別がつかないので
βακαμων！
“x それ自身が x の函数”なるものは、従属変数を y で表わすことにすれば、
y＝x なる不定方程式であらわされるってことぐらい、中学生でも知っている様な
≪常識≫だ。（爆笑＋嘲笑
> # この人、「２つの関数 y=x と y=x^2 の交点を求めよ」
> # なんて問題、できるのかしらん。
タワケ！
〔y＝x なる不定方程式で表わされる直線〕と〔y=x^2 なる不定方程式で表わされる曲線〕
との交点Ｐの座標を（X,Y）とするならば、
Ｐは〔y＝x なる不定方程式で表わされる直線〕上に在るのだから、
Y＝X ---------- (i)
が成り立ち、また、Ｐは〔y=x^2 なる不定方程式で表わされる曲線〕上に在るのだから、
Y＝X^2 -------- (ii)
が成り立つ。 従って、連立方程式 (i),(ii) を解けば、（X,Y）の値が求まる。
# これも、中学生でも知っている様な≪常識≫だな。（爆笑＋嘲笑
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
>>やっぱりとんでもなく混乱してるみたいですね。
...
> とんでもなく混乱して居るのは貴様のほうだ。（爆笑＋嘲笑
やっぱり全然わかってませんね。
リプライを見ても、肝心なところは消してしまっているところに
それが現れています。これは都合が悪いから消したというよりは、
本当に理解できないから消したということなんでしょう。
やるだけムダだろうけどもう一度。これが最後よん。
>>y=x の y と、y=f(x) の y とは同じものですか？
>
> 「x は独立変数を表わしており、y は従属変数を表わしている」という意味でなら、同じだ
> *が*、y＝f(x) のほうは 〔f が (微分可能な)任意の函数〕を表わしているのに対して、
> y＝x のほうは〔その様な函数のうちの*特殊な函数＊〕を表わしているのだから、そういう
> 意味では y＝x の y とy＝f(x) の y とでは「意味が違う」のは当然のことだ。
何わけのわからないこと言ってるんです？
これも聞かれていることが全然わかってない現われですね。
気になるなら、f(x)=x^2 に固定して（つまり*特殊な函数* にして）
自分の論法がどうなるかを試してみてね。
そうすればどこがおかしいか、少しは気づきやすいかも（期待しないけど）。
もちろん f'(x)=2x は使っていいですよ。
> “x それ自身が x の函数”なるものは、従属変数を y で表わすことにすれば、
> y＝x なる不定方程式であらわされるってことぐらい、中学生でも知っている様な
> ≪常識≫だ。（爆笑＋嘲笑
まずこんなところで「不定方程式」なんて言葉は使いませんが。
# この言い方だと、恒等式は「任意の値を解とする不定方程式」ということになるね。
# まああながち間違いとまでは言わないけど。
# もっとも数学用語としては「不定方程式」はもっと限定された意味で使うから、
# その意味では間違い。
で、なんで従属変数を y にするんです？
「y は x の関数」が y=f(x) なら、「x それ自身が x の関数」なら
従属変数は x でしょうに。
定義の形を振り返ってみると：
y = f(x)
↓ ↓
dy = f'(x)Δx
という対応があるわけね。これは
従属変数＝関数
に対して、
従属変数の微分＝導関数×独立変数の差分
ということ。
# 「関数」という言葉の使い方は少し問題だけど、話に直接関係ないので省略。
もっと噛み砕いて書けば：
d{従属変数} ＝ f'(独立変数)×Δ{独立変数}
ということ。
これで y=x, x=x, x=t をそれぞれ書き換えるとどうなります？
# 単なる当てはめだから、中学生はもとより、３歳児でもできる。
要するに dx という形は、x が従属変数でなければ出てこないんですよ。
もう１つ。
y = f(x)
y = g(x)
と並置するような書き方は普通にしますけど、
それぞれは異なる関数関係を表しているから、同じ y を使うといっても
2y = f(x)+g(x)
0 = f(x)-g(x)
なんてことはできないわけです。
（後者は交点を求める計算の一部として意味はあるけど、それはまた別の話。）
その点、下はまさしくそのような混同をしていることにあたります：
>... y＝x の場合には dy＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も (4) に代入できる筈であり、
...（以下略）...
M_SHIRAISHI さんは以前には（間違っているとはいえ）もう少し手ごたえが
あったように思うけど、どんどんレベルが下がってますね。
（平賀）
koun...@mbh.nifty.com
news:800c7853.04041...@posting.google.com...
> 【解答】
>
>
> dx＝△x が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのこ
とである。
>
中学生レベルの質問で恐縮なんですが，上の証明はどのようにすればよいのでしょう
か。
（ほんの数分しか考えていないのですが，自分ではちょっと無理かなと感じたの
で。）
--
******************************
keizi kounoike
******************************
M_SHIRAISHI
hir...@ulis.ac.jp (Yuzuru Hiraga) stupidly wrote in message news:<c5h4vc$po2$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>...
> In article <800c7853.04041...@posting.google.com> eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) writes:
>
> 「x それ自身をx の函数とみれば」というのは、あえて書けば x=x となるけど
「定数項が０で“傾き”が１の≪一次函数≫が x＝x で表わされる」と言うのか！？！
# 恥を知れ！ こんバカタレが！！！
NISHIZAWA Yutaka
> > 「x それ自身をx の函数とみれば」というのは、あえて書けば x=x となるけど
>
>
> 「定数項が０で“傾き”が１の≪一次函数≫が x＝x で表わされる」と言うのか！？！
誰もそんなことは言うわきゃないでしょうけれど、それがなんで
> # 恥を知れ！ こんバカタレが！！！
…につながるの?
てか、そもそもいまの問題で‘一次関数’に何の用がある?
M_SHIRAISHI
>
> 誰もそんなことは言うわきゃないでしょうけれど、それがなんで
>
> # 恥を知れ！ こんバカタレが！！！
>
> …につながるの?
> てか、そもそもいまの問題で‘一次関数’に何の用がある?
タワケ！
〔x それ自身を像とする函数〕ってのは〔定数項が０で“傾き”が１の≪一次函数≫: y＝x〕
ってことに他ならぬってことだ。
# 分からんのか、その程度のことが！ いちいち人様の御指南ば受けずとも！！！
M_SHIRAISHI
> "M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
> news:800c7853.04041...@posting.google.com...
> > eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote in message
> news:<800c7853.04040...@posting.google.com>...
>
> > 【解答】
> >
> >
> > dx＝△x が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのこ
> とである。
> >
>
> 中学生レベルの質問で恐縮なんですが，上の証明はどのようにすればよいのでしょう
> か。
> （ほんの数分しか考えていないのですが，自分ではちょっと無理かなと感じたの
> で。）
dy：＝f'(x)・△x と定義しているので、y＝f(x)＝x という〔特別な場合〕だと、
f'(x)＝(x)'＝１であり、かつ（y＝x なのだから）dy＝dx が成立します。
従って、この〔特別な場合〕に限り、dx＝dy＝(x)'・△x ＝△x となります。
よって、（この〔特別な場合〕に限り！）dx＝△x が成立するってワケです。
Takao Ono
<800c7853.04041...@posting.google.com>の記事において
eu...@apionet.or.jpさんは書きました。
eurms> dy：＝f'(x)・△x と定義しているので、y＝f(x)＝x という〔特別な場合〕だと、
eurms> f'(x)＝(x)'＝１であり、かつ（y＝x なのだから）dy＝dx が成立します。
eurms>
eurms> 従って、この〔特別な場合〕に限り、dx＝dy＝(x)'・△x ＝△x となります。
eurms> よって、（この〔特別な場合〕に限り！）dx＝△x が成立するってワケです。
y = x+1 でも dy = dx のような気がするんですけど, 私が混乱している
だけでしょうか?
--
名古屋大学大学院 情報科学研究科 計算機数理科学専攻
小野 孝男
NISHIZAWA Yutaka
> 〔x それ自身を像とする函数〕ってのは〔定数項が０で“傾き”が１の≪一次函数≫: y＝x〕
> ってことに他ならぬってことだ。
そりゃまぁ、関数値を y にマップすればそうなるだろうけれど。
別に、円の上だろうがサイクロイド曲線上だろうが球面上だろうが何処だろうが、
x = x でしょ?
M_SHIRAISHI
小野@名古屋大学 です.
y＝x+1 の場合でも、確かに dy＝dx が成立します。
# 一般に、c を任意定数として、y＝x＋c の場合に限り、dy＝dx が成立するので、
「y＝x の場合に限り、dy＝dx が成立する」と言ったのは≪誤り≫なので、お詫び
して、訂正しておきます。
Takao Ono
<800c7853.04041...@posting.google.com>の記事において
eu...@apionet.or.jpさんは書きました。
eurms> y＝x+1 の場合でも、確かに dy＝dx が成立します。
eurms>
eurms> # 一般に、c を任意定数として、y＝x＋c の場合に限り、dy＝dx が成立するので、
eurms> 「y＝x の場合に限り、dy＝dx が成立する」と言ったのは≪誤り≫なので、お詫び
eurms> して、訂正しておきます。
そこは重箱の隅だから実はどちらでもいいことなんですけど,
<800c7853.04041...@posting.google.com>
で
eurms> もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には dy
eurms> ＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も (4) に代入できる筈で
eurms> あり、そうすると、
eurms> △x＝f'(x)・△x
eurms> ∴ f'(x)＝１
というのは, 「y = f(x) = x という特殊な場合には f'(x) = 1 となる」
といっているだけであって,
eurms> となってしまい、「y＝f(x) は＊(微分可能な)任意の函数＊であ
eurms> る」という仮定に反し、不合理である。
とは関係ないんじゃないかな, と思います.
y = x と特殊化したからこそ dy = dx = Δx とできるのであって,
# もちろん y = x + c (c は任意の定数) なら dy = dx = Δx とできる
# けど.
特殊化した状況をそのまま特殊化していないときにまで広げちゃまずい
んじゃないかなぁ.
Yuzuru Hiraga
>f'(x)＝(x)'＝１であり、かつ（y＝x なのだから）dy＝dx が成立します。
>
>従って、この〔特別な場合〕に限り、dx＝dy＝(x)'・△x ＝△x となります。
>よって、（この〔特別な場合〕に限り！）dx＝△x が成立するってワケです。
ああ、これとか小野さんとのやりとりなどを見て、
ようやく M_SHIRAISHI さんが何を考えたのか、
ひいてはどこでどう間違ったのかがわかりました。
# 今まで「こいついったい何考えてるんだ？」と不思議だった。
まず出発点として：
M_SHIRAISHI さんには dx = Δx がどうして出てくるのかわからなかった。
元をたどれば「x それ自身が x の函数」がわからなかった。
# これは確かに少しわかりにくいところではある。
そこで dx=Δx のつじつまを合わせるため、次のように考えた。
・y = x という恒等関数を考える。このとき定義により dy=Δx である。
# これは正しい。
・また y=x だから、dy=dx である。
# ちょっと問題はあるが、まあこれも正しい。
・したがって dy=dx=Δx だから、dx=Δx である。
ここまではまだいいのですが、ここで２つのミスが生じました。
１つは dx=Δx が y=x という「特別な場合」にだけ成り立つと考えたこと。
これは正しいと言えば正しいんだけど、y などという余計な変数を導入したため
混乱が生じ、第２のミスにもつながります。
実際には y は作業変数みたいなもので、dx=Δx が得られた時点で用済み、
そして dx=Δx 自体は無条件に成り立ちます。
変数名を y から z に変えて、
z = x, dz = Δx, dz = dx ⇒ dx = Δx
としたって全く同じこと。z 自身（y 自身）は表舞台から消えてしまっている。
そしてこれは私が x = t と独立変数の側に作業変数 t を導入したのと、
裏返しの関係にあるだけで本質的には全く同じです。
そして第２のミス、これが致命的なのですが、
y = x などと書いたため、出発点の y = f(x) の y と混同してしまい、
dy = dx = Δx の dy と dy = f'(x)Δx の dy を同じものだと思ってしまった。
上記のように、y ではなく z を使っていればこんな混同はしなかったでしょう。
=====
これらの点は、本質的には前便までに述べたことの繰り返しではありますが。
そしてやはり、「x それ自身が x の函数」がわかっていない、
ということに尽きますね。
（平賀）
M_SHIRAISHI
>
> eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) writes:
>
> 〔xそれ自身を像とする函数〕ってのは〔定数項が０で“傾き”が１の≪一次函数≫: y＝x〕
> ってことに他ならぬってことだ。
> そりゃまぁ、関数値を y にマップすればそうなるだろうけれど。
> 別に、円の上だろうがサイクロイド曲線上だろうが球面上だろうが何処だろうが、
> x = x でしょ?
βακαμων！
“x＝x”なんてな「恒等式」でもって函数が表わされるワケが無いワ！
Yuzuru Hiraga
In article <c5j90a$cue$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp> I wrote:
> ・また y=x だから、dy=dx である。
> # ちょっと問題はあるが、まあこれも正しい。
これはちょっと点が甘かったですかね。
dx とは何なのか、そもそも定義されているか不明だから。
>ここまではまだいいのですが、ここで２つのミスが生じました。
>
>１つは dx=Δx が y=x という「特別な場合」にだけ成り立つと考えたこと。
>これは正しいと言えば正しいんだけど、y などという余計な変数を導入したため
>混乱が生じ、第２のミスにもつながります。
dy=Δx が「特別な場合」にだけ成り立つ、というのは正しいんです。
しかしそれと dx=Δx との違いが問題なのであって、
こちらはいわば式自体に「特別な場合」たることが組み込まれてしまっている、
したがって式そのものは無条件に成り立ちます。
うーん。うまい説明ではないなあ。
要するに y=x と x=x の違い、と言えばいいのかなあ。
>（平賀）
NISHIZAWA Yutaka
> “x＝x”なんてな「恒等式」でもって函数が表わされるワケが無いワ！
うーん、なにがわからないんだかわからないけど、なにやらヘンな
おもいこみにはまってにっちもさっちもいかなくなってるみたいで
すね。
# 意味を考えないで見た目で判断してもしょーがないと思うけれど。
M_SHIRAISHI
>
> 特殊化した状況をそのまま特殊化していないときにまで広げちゃまずい
> んじゃないかなぁ.
故：高木貞治(博士)とか Cauchy とか(?)は、y＝x＋c という特殊な場合
にだけ成り立つ dx＝△x という関係を、一般の場合に適用してシマッタ
ので、「そりゃ～、不味い」ってのが、他でもない、「このクイズの答」
なのですよ。 ヽ(＾。＾)ノ
GON
> hir...@ulis.ac.jp (Yuzuru Hiraga) wrote in message news:<c5h4vc$po2$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>...
> > In article <800c7853.04041...@posting.google.com> eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) writes:
> > >【解答】
> >
> > やっぱりとんでもなく混乱してるみたいですね。
>
> βακαμων！
>
> とんでもなく混乱して居るのは貴様のほうだ。（爆笑＋嘲笑
御大ってfj.sci.mathではえらい罵倒しまくってるけど、sci.mathでは
猫をかぶったように低姿勢だねｗ
御大はsci.mathでケンブリッジ講演をひた隠しにしているようだけど、
ケンブリッジ講演を引き合いに出したら教授連中も黙るんじゃない？ｗ
M_SHIRAISHI
>
> "M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
> news:800c7853.0404...@posting.google.com...
> > hir...@ulis.ac.jp (Yuzuru Hiraga) wrote in message > >news:<c5h4vc$po2$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>...
> > > In article <800c7853.04041...@posting.google.com> > > >eu...@apionet.or.jp
> > > (M_SHIRAISHI) writes:
> > >
> > > ??????????????????????
> >
> > ????????
> >
> > ???????????????????????????
>
> ????fj.sci.math????????????????sci.math??
> ???????????????
>
> ???sci.math?????????????????????????
> ????????????????????????????????
"??"??????????????????????? ?(???)?
M_SHIRAISHI
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:800c7853.0404...@posting.google.com...
> hir...@ulis.ac.jp (Yuzuru Hiraga) wrote in message news:<c5h4vc$po2$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>...
> > In article <800c7853.04041...@posting.google.com>
eu...@apionet.or.jp
(M_SHIRAISHI) writes:
> > > >【解答】
> > >
> > > やっぱりとんでもなく混乱してるみたいですね。
> >
> > βακαμων！
> >
> > とんでもなく混乱して居るのは貴様のほうだ。（爆笑＋嘲笑
>
> 御大ってfj.sci.mathではえらい罵倒しまくってるけど、sci.mathでは
> 猫をかぶったように低姿勢だねｗ
>
> 御大はsci.mathでケンブリッジ講演をひた隠しにしているようだけど、
> ケンブリッジ講演を引き合いに出したら教授連中も黙るんじゃない？ｗ
“御大”ってのは、いったい、誰のことかね、スンゴくん。 ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:800c7853.0404...@posting.google.com...
> hir...@ulis.ac.jp (Yuzuru Hiraga) wrote in message news:<c5h4vc$po2$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>...
> > In article <800c7853.04041...@posting.google.com>
eu...@apionet.or.jp
(M_SHIRAISHI) writes:
> > > >【解答】
> > >
> > > やっぱりとんでもなく混乱してるみたいですね。
> >
> > βακαμων！
> >
> > とんでもなく混乱して居るのは貴様のほうだ。（爆笑＋嘲笑
>
NISHIZAWA Yutaka
…まだ言ってるし。
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) writes:
> 故：高木貞治(博士)とか Cauchy とか(?)は、y＝x＋c という特殊な場合
> にだけ成り立つ dx＝△x という関係を、
dx = △x の成立に y なんか関係ないってば。
M_SHIRAISHI
>
> 要するに y=x と x=x の違い、と言えばいいのかなあ。
>
>
> 別に、円の上だろうがサイクロイド曲線上だろうが球面上だろうが何処だろう
> が、x = x でしょ?
>
> dx = △x の成立に y なんか関係ないってば。
凡暗どもよ ---- ソチたちは、未だ、一向に、悟れぬか？ ヽ(＾。＾)ノ
# まぁ、Cauchy とか(?)、高木貞治(博士)とか ---- と言うより、彼ら以降の
殆んどすべての数学者たち ---- が見落としていたミスなのだから、ソチたち
の如き*凡暗*がミスに気が付かぬのは、無理からぬところではあろうが・・・。
で、ソチたちは、「恒等函数；f(x)＝x が、“x＝x”という恒等式で表わされる」
と（愚かにも！）主張して、今後、ズーッと、世間の笑いものになって居り続け
たいのか？ こんバカタレが！！！（爆笑＋嘲笑
## んじゃ～、ここで、ひとつ、“x＝x”のグラフでも書いてみせろ！（爆笑＋嘲笑
“dy：＝f'(x)・△x”なる「定義」は、独立変数を x で表わし、従属変数を y
で表わすという前提に立脚したものであるということが、ソチたちには、一向に、
ワカランのか？（爆笑＋嘲笑
NISHIZAWA Yutaka
別にどう思い込んでも勝手だけど、そういうことにして、なにかいい事があるの
かなあ。ある分野の大家、大御所の「間違い」を指摘して悦に入るのは「相対論
は間違っていた」シリーズと似たようなもんではありますけれど…。
Shinji KONO
In article <68fzb6h...@somwinh.msi.co.jp>, NISHIZAWA Yutaka <yut...@msi.co.jp> writes
> 別にどう思い込んでも勝手だけど、そういうことにして、なにかいい事があるの
> かなあ。ある分野の大家、大御所の「間違い」を指摘して悦に入るのは「相対論
> は間違っていた」シリーズと似たようなもんではありますけれど…。
ここって本当に間違いなのかなぁ。
もちろん、普通の定義を知ってから読んだので「変わってるな」ぐ
らいしか思わなかったけど。
でも、微分で重要なのは、関数の各点に線型写像が対応することな
んですよね。その対応を、
lim
Δx→0
とか
εδ
とかで取るのはいいんだけど、それ自体は実はあんまり重要ではなくて
重要なのは....
ってな話なんじゃないかと。
---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科
koun...@mbh.nifty.com
news:<c5inh7$jv5$1...@caraway.media.kyoto-> > 中学生レベルの質問で恐縮なんですが，上の証明はどのように
すればよいのでしょう
> > か。
>
> dy：＝f'(x)・△x と定義しているので、y＝f(x)＝x という〔特別な場合〕だ
と、
> f'(x)＝(x)'＝１であり、かつ（y＝x なのだから）dy＝dx が成立します。
>
ちょっとよく分からないのですが，
dy：＝f'(x)・△x と定義しているとすれば，
y＝f(x)＝x の場合には，定義からは
dy＝(x)'・△x ＝△x -------(1)
となるは分かるのですが，ここから （y＝x なのだから）dy＝dx が成立というのが
よく分かりません。（証明が必要な気がしますが。）
y＝x から言えそうなのは
△y ＝△x --------(2) だけのような気がしますが。
で y＝x なので x＝y と見れば定義より
dx＝(y)'・△y ＝△y -------(3)
(2)と(1)(3)より dy＝dx
> 従って、この〔特別な場合〕に限り、dx＝dy＝(x)'・△x ＝△x となります。
> よって、（この〔特別な場合〕に限り！）dx＝△x が成立するってワケです。
で y＝f(x) における x 自身はこの特別な場合にあたるような気がするのですが。
（xがいかように変化しよとも （y＝f(x)における）yに関係なく，自分自身と同じに
変化するので。つまりy=x）
素人考えなのでズレてるかも知れませんが。
M_SHIRAISHI
>
> M_SHIRAISHI さんには dx = Δx がどうして出てくるのかわからなかった。
と、その様に“源内１３世”は思っていたのであった。 ヽ(＾。＾)ノ
> 元をたどれば「x それ自身が x の函数」がわからなかった。
と、その様に“源内１３世”は思っていたのであった。 ヽ(＾。＾)ノ
# 「x それ自身が x の函数」なる表現は、(現代的観点からすれば)適切では
ない。「x それ自身が x の像であるような函数」と言い換えるべきである。
> # これは確かに少しわかりにくいところではある。
と、その様に“源内１３世”は思っていたので、その為に、『解析概論』の
該当箇所にミスがあることに全く気がつかなかったのであった。ヽ(＾。＾)ノ
# 何んせ、“源内１３世”は「恒等函数；f(x)＝x が "x＝x" なる〔恒等式〕で
表わされる」などという愚かなことを信じていた模様なのである。（爆笑＋嘲笑
## "x＝x" のグラフ、（もし、そんなものが書けるものならｗ）書いてみて
くれない？ ヽ(＾。＾)ノ
Yuzuru Hiraga
試験の採点なんかしていても、最初つけた点を何巡か見直しているうちに
変更するというのはままあります。これは点を甘くする場合も辛くする場合も
両方あるわけですが、今の場合はもちろん辛くするほうです。
M_SHIRAISHI wrote:
> dy：＝f'(x)・△x と定義しているので、y＝f(x)＝x という〔特別な場合〕だと、
> f'(x)＝(x)'＝１であり、かつ（y＝x なのだから）dy＝dx が成立します。
これはやはりダメですね。
繰り返しになりますが、dx が未定義です。
代数的形式主義の立場をとって（正確には濫用して）、「y=x だから dy=dx」
というのは黙認できないではないですが（それが最初に述べたもの）、
それでも好意的に言って定義が拡張されてしまっています。
ところが一方でご本人は：
In <800c7853.04040...@posting.google.com>(7 Apr 2004 02:46:46 -0700)
> 定義は、dy:＝f'(x)・△x だけだ。
なんて力んじゃっているからにっちもさっちもいかなくなる。
典型的な自縄自縛ですね。単独ならまだお目こぼしに預かれたかもしれない
ところを、合わせ技で一本というところです。
これも繰り返しですが、上の定義の dy では y は従属変数です。
だから独立変数 x に対する dx は定義されていません。
それをムリヤリ従属変数と見なそうというのが『解析概論』の趣旨で、
それが「x それ自身を x の函数とみる」の意味です。
これが「ムリヤリ」であることは、続く部分にある
「x が独立変数であるときには、上記の dx=Δx ということは、
あまりに細工が過ぎるようであるが...」
という高木自身の言葉にも表れています。
# しかし当然ながら、「ムリヤリ」と「間違っている」は別問題です。
そして M_SHIRAISHI さんは一貫してこれが理解できていませんから、
y = x なんてものを持ち出したりするわけです。
x を独立変数のままにしておいては身動きがとれませんので、
天下りの dy=dx でごまかすことになる。
kounoike さん（鴻池さんでいいのかな？）が疑問に思われるのも当然のことです。
> 従って、この〔特別な場合〕に限り、dx＝dy＝(x)'・△x ＝△x となります。
> よって、（この〔特別な場合〕に限り！）dx＝△x が成立するってワケです。
したがってこれは議論が完全にひっくり返ってしまっています。
上は y = x のとき：
dy = Δx （これは定義通り）
dy = dx （M_SHIRAISHI 流天下り）
から dx=Δx を結論として導いてますが、前提と結論が逆で：
dy = Δx
dx = Δx （これも定義から導ける）
から dy=dx が結論されるのです。
もっとも一般の場合の
dy = f'(x) dx
が直接示せますから、「y=x なら dy=dx」は単にその特別な場合にすぎません。
これを記した私の文：
In <c5h4vc$po2$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>(Tue, 13 Apr 2004 16:37:00 +0000)
> 「x それ自身をx の函数とみれば」というのは、あえて書けば x=x となるけど、
> これでは恒等式と区別がつかないので補助変数を導入して：
> x = x(t) = t
> y = f(x) = f(t)
> と書きましょう。
> するとくだんの定義から
> dx = x'(t)Δt = Δt
> dy = f'(t)Δt
> 上を下に代入して
> dy = f'(t)dx = f'(x)dx
> というだけのことですよ。
に M_SHIRAISHI さんはなぜかひたすら言及を避けていますね。
やはり全然理解できないのか、あるいはよほど都合が悪いんでしょう。
もっともこれについてはもっとひどい話もあります。
「M_SHIRAISHI の断末魔記事」から：
In <800c7853.0404...@posting.google.com>(14 Apr 2004 11:40:06 -0700)
> で、ソチたちは、「恒等函数；f(x)＝x が、“x＝x”という恒等式で表わされる」
> と（愚かにも！）主張して、
ここまで来ると悪質な歪曲・捏造ですね。元をたどって：
In <800c7853.0404...@posting.google.com>(14 Apr 2004 00:35:57 -0700)
> hir...@ulis.ac.jp (Yuzuru Hiraga) stupidly wrote in message
news:<c5h4vc$po2$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>...
>> 「x それ自身をx の函数とみれば」というのは、あえて書けば x=x となるけど
>
> 「定数項が０で“傾き”が１の≪一次函数≫が x＝x で表わされる」と言うのか！？！
先ほどの引用と見比べれば一目瞭然で、上の行に続く：
> これでは恒等式と区別がつかないので...
が（あるいは意図的に？）カットされてしまっているため、趣旨が正反対に
なってしまっています。こちらは「恒等式ではない」と言っているのですよ。
もっとも M_SHIRAISHI さんは方程式と（陽形式の）関数表記式の区別さえ
できないようだから説明するだけムダでしょうが。
# その一方で恒等式を区別するのは首尾一貫性に欠けるね。
で、断末魔の続きを見ると：
> ## んじゃ～、ここで、ひとつ、“x＝x”のグラフでも書いてみせろ！（爆笑＋嘲笑
簡単じゃん。
直線１本書いておしまい。
直線上の点で「変数値としての x」と「関数値としての x」が重なっている。
どうしても２次元で書きたいなら、「変数値としての x」を横軸に、
「関数値としての x」を縦軸にとって斜め45度の直線を引いておしまい。
それが x=x の意味でもあるんですがね。
そしてそれではわかりにくかろうと x=t の形にしてあげたのですが、
理解できないんじゃしょうがない。ここが話のキーポイントなんですがね。
「x それ自身を x の函数とみる」について：
M_SHIRAISHI 流： y = x とおく
その他世間一般： x = t とおく
変数の役割が逆になっていることが見て取れますね。
> “dy：＝f'(x)・△x”なる「定義」は、独立変数を x で表わし、従属変数を y
> で表わすという前提に立脚したものであるということが、ソチたちには、一向に、
> ワカランのか？（爆笑＋嘲笑
自分で書いたことの意味もわからないではね。
「従属変数 y」に対しての dy でしょ？
じゃ dx は何？
（平賀）
Yuzuru Hiraga
書き忘れた。
今度はもう少し「意味」を考えてみましょう。
dy = f'(x) Δx
というのは、
「x の値が Δx だけ変化したとき、接線上で y の値は dy だけ変化する」
ことを表しています。
もっとも
dy = f'(x) dx
が接線の定義に他ならないから、正確を期すなら「接線」は使わずに
「比例定数 f'(x) で y が変化したときの変化量」が dy ですね。
すると dx は x のほうの変化量で、比例定数は (x)'=1 だから、
dx = Δx
は当たり前のことですね。つまり
「x が Δx だけ変化すると、x の変化量 dx は Δx である」
ほとんど同語反復ですね。
# その意味では恒等式的ではある。
だから「特殊な場合にだけ成り立つ」ような話じゃ全然ないんです。
（平賀）
M_SHIRAISHI
>
> 微分で重要なのは、
「微分*学*(the differential calculus)で重要なのは・・・」
という趣旨ですよね。 ヽ(＾。＾)ノ
# ここで問題にしているのは、"*微分*(differential)"という、
「微分(積分)学上の一概念」であって、その重要性の評価は
個人によりけりでしょう。
##“differential”という用語自体は Leibniz に始まるもの
で、Newton は「全く使わなかった」んだけど、Newton の使っ
ていた用語では、“(時間の)moment”と“流量の moment”が
それに相当する。
で、y＝f(x) の場合の dy/dx を
lim_{△x→0}｛[f(x＋△x)－f(x)]／△x｝
と「定義」してシマッタのでは、dy や dx は（単独では）意味を
持たず、従って、dy/dx には ≪(Leibniz や Euler 等が使って
いた）dy÷dx の意味≫は「全く損なわれてしまう」ことになる。
しかし、微分方程式などでは、「dy や dx は（単独では）意味
を持たない」としてしまうよりも、「単独でも意味を持ち、dy/dx
は dy÷dx の意味である」として扱ったほうが遥かに好都合である
場合が多い。
従って、「“dy や dx は、それぞれ、単独でも意味を持ち、dy/dx
には dy÷dx の意味*も*ある”ということに、何とかしたい」って
のが大半の解析学徒の≪望み≫であるワケです。
そして、『解析概論』の p.37 に書かれているのは、そのような
≪望み≫に応えようとした試みの一つなのだけど、しかし、よーく
考えてみると、その試みは失敗していることが分かる。
そのことが、一向にワカランようなマヌケも居るであろうことは
折込み済みなのだけど ---- まぁ、Cauchy とか(?) 高木貞治で
さえ気がつかなかった案件なので、凡暗(ボンクラ)どもに分からぬ
のも無理のないところだが。 ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI
>
> で、断末魔の続きを見ると：
> > ## んじゃ～、ここで、ひとつ、“x＝x”のグラフでも書いてみせろ！（爆笑＋嘲笑
>
> 簡単じゃん。
> 直線１本書いておしまい。
何がそれが“恒等函数：f(x)＝x のグラフ”だ --- まっこつバカタレが！（爆笑＋嘲笑
# では、“指数函数：g(x)＝e^x のグラフ”も ｘ軸を一本書いて、それでオシマイって
ことになるではないか。 ヽ(＾。＾)ノ
x の値に対応する e^x の値もｘ軸上に在るわけだから。（爆笑＋嘲笑
GON
ハァ？
とうとうボケたかｗ
Yuzuru Hiraga
koun...@mbh.nifty.com wrote:
> ちょっとよく分からないのですが，
> dy：＝f'(x)・△x と定義しているとすれば，
> y＝f(x)＝x の場合には，定義からは
> dy＝(x)'・△x ＝△x -------(1)
> となるは分かるのですが，ここから （y＝x なのだから）dy＝dx が成立というのが
> よく分かりません。（証明が必要な気がしますが。）
> y＝x から言えそうなのは
> △y ＝△x --------(2) だけのような気がしますが。
> で y＝x なので x＝y と見れば定義より
> dx＝(y)'・△y ＝△y -------(3)
> (2)と(1)(3)より dy＝dx
概ねいいんですが、(2) のΔy が x のΔx の変化に対する y の変化というのは
いいとして、これと (3) のΔy は同じものですか？
そこのつながりを少し補強する必要がありそうです。
それと何か回り道している気がしません？
dy=dx を言うのもいいんですが、最終目標が dx=Δx なら、
(2), (3) から直接出ますよね。
# もっとも本当の最終目標は
# dy = f'(x) dx
# であって、そこに一足飛びに行ってしまうほうが簡単。
## その場合、"x=y" は "x=t" としたほうが紛れがない。
>>従って、この〔特別な場合〕に限り、dx＝dy＝(x)'・△x ＝△x となります。
>>よって、（この〔特別な場合〕に限り！）dx＝△x が成立するってワケです。
>
> で y＝f(x) における x 自身はこの特別な場合にあたるような気がするのですが。
> （xがいかように変化しよとも （y＝f(x)における）yに関係なく，自分自身と同じに
> 変化するので。つまりy=x）
最後の「つまり y=x」はちょっとヘン。
> 素人考えなのでズレてるかも知れませんが。
いえいえそんなことはありません。
（平賀）
koun...@mbh.nifty.com
news:407EB40B...@slis.tsukuba.ac.jp...
>
> > △y ＝△x --------(2) だけのような気がしますが。
> > で y＝x なので x＝y と見れば定義より
> > dx＝(y)'・△y ＝△y -------(3)
> > (2)と(1)(3)より dy＝dx
>
> 概ねいいんですが、(2) のΔy が x のΔx の変化に対する y の変化というのは
> いいとして、これと (3) のΔy は同じものですか？
ちょっと分かりかねます。同じと言えば同じと見なしてもいいような。厳密に言えば
違うのかな？。
> それと何か回り道している気がしません？
> dy=dx を言うのもいいんですが、最終目標が dx=Δx なら、
> (2), (3) から直接出ますよね。
はい。別にdy=dx なんてどうでも良かったんですが，M_SHIRAISHIさんのやり方に
沿って質問して行くと変な方向いって行ってしまいました。
> # もっとも本当の最終目標は
> # dy = f'(x) dx
> # であって、そこに一足飛びに行ってしまうほうが簡単。
> ## その場合、"x=y" は "x=t" としたほうが紛れがない。
そうなんです。平賀さんが c5h4vc$po2$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp で書いている
> x = x(t) = t
> y = f(x) = f(t)
> と書きましょう。
> するとくだんの定義から
> dx = x'(t)Δt = Δt
> dy = f'(t)Δt
> 上を下に代入して
> dy = f'(t)dx = f'(x)dx
> というだけのことですよ。
で十分で何も付け加える必要なんかないと私は思ったんですが。どうもM_SHIRAISHI
さんは，自分以外のやり方（思考方法）を認めない方のようなので。ある意味宗教的
な気がします。
（解析概論の該当部分を初めから読めば，独立変数としてのx 自身を考えた場合，dx
＝△x に私は特に違和感というか証明の必要性さえ感じませんでしたが。）
> > 変化するので。つまりy=x）
>
> 最後の「つまり y=x」はちょっとヘン。
>
素人（大昔，ちょっと数学が好きだった程度）なので，良い表現が分かりませんでし
た。
あと蛇足ですが，鴻池であっています。
M_SHIRAISHI
>
> In article <68fzb6h...@somwinh.msi.co.jp>, NISHIZAWA Yutaka <yut...@msi.co.jp> writes
> > 別にどう思い込んでも勝手だけど、そういうことにして、なにかいい事があるの
> > かなあ。ある分野の大家、大御所の「間違い」を指摘して悦に入るのは「相対論
> > は間違っていた」シリーズと似たようなもんではありますけれど…。
>
> ここって本当に間違いなのかなぁ。
>
> もちろん、普通の定義を知ってから読んだので「変わってるな」ぐ
> らいしか思わなかったけど。
「何か(or どっか)、変だぞ？！？」と迄は思わなかった？ ヽ(＾。＾)ノ
# 「どっか、変だぞ？！？」と思っても、「じゃ～、具体的に何処がどういうふうに
変なのか？」って反芻してみても、その答は「何処がどういうふうに間違っている」
のかが判ってしまった後でなければ、分からないというジレンマが在る。
Web ページ↓
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Quiz_06iv2004.html
を作っておいたので、ご参照されたい。 特に、そのページの中に「註」をつけて
リンクを貼っておいたので。 ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI
> "Yuzuru Hiraga" <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message
> news:407EB40B...@slis.tsukuba.ac.jp...
>
>
> > x = x(t) = t
> > y = f(x) = f(t)
> > と書きましょう。
なんてなことをすることを、世間では、「屋上屋(おく)を架す」と言う。
# アホウが二乗されることだと考えて差し支えない。 ヽ(＾。＾)ノ
GON
>
> http://www.age.ne.jp/x/eurms/Quiz_06iv2004.html
>
> を作っておいたので、ご参照されたい。 特に、そのページの中に「註」をつけて
> リンクを貼っておいたので。 ヽ(＾。＾)ノ
これはギャグでつか？ｗｗｗ
Yuzuru Hiraga
koun...@mbh.nifty.com wrote:
> "Yuzuru Hiraga" <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message
> news:407EB40B...@slis.tsukuba.ac.jp...
>>概ねいいんですが、(2) のΔy が x のΔx の変化に対する y の変化というのは
>>いいとして、これと (3) のΔy は同じものですか？
>
> ちょっと分かりかねます。同じと言えば同じと見なしてもいいような。厳密に言えば
> 違うのかな？。
Δx, Δy の一方は独立量で他方は従属量、といったことが気になっちゃったんですが、
今の場合、考えすぎだったみたいですね。
出発点として関数（グラフ）上の２点からΔx, Δy を作り、
それに (1), (3) を当てはめるというのが紛れがないでしょうね。
さらに元をたどれば、ここが引っかかった理由の１つは、
文字面で同じというだけで同じと考えてしまうと、M_SHIRAISHI さんみたいに
「dy=Δx の dy も dy=f'(x)Δx の dy も同じ dy」
といったことになってしまう、といったことにありました。
=====
ついでだけど、y が一次関数なら誤差項は 0 だから dy=Δy は無条件で成り立ちますね。
つまり
dy = aΔx
Δy = aΔx
この２つは同じことですね。
その点から言うと、M_SHIRAISHI 流の議論：
>> dy：＝f'(x)・△x と定義しているので、y＝f(x)＝x という〔特別な場合〕だと、
>> f'(x)＝(x)'＝１であり、かつ（y＝x なのだから）dy＝dx が成立します。
>>
>> 従って、この〔特別な場合〕に限り、dx＝dy＝(x)'・△x ＝△x となります。
>> よって、（この〔特別な場合〕に限り！）dx＝△x が成立するってワケです。
この最後の結論は（たとえこの論法を認めたところで）これだけで間違ってますね。
なんか論理のひどさはこちらが想定しうるあらゆる場合をさらに凌駕してるなあ。
汲めども尽きせぬ間違いの泉。
> はい。別にdy=dx なんてどうでも良かったんですが，M_SHIRAISHIさんのやり方に
> 沿って質問して行くと変な方向いって行ってしまいました。
それは重々承知。ご愁傷様。
> （解析概論の該当部分を初めから読めば，独立変数としてのx 自身を考えた場合，dx
> ＝△x に私は特に違和感というか証明の必要性さえ感じませんでしたが。）
別便でも書きましたが、むしろそれが正常な感覚でしょう。
だけどいい説明かどうかは別問題で、
Δx を媒介するのは決していい説明方法ではないと思う。
だから M_SHIRAISHI さんみたいな犠牲者が出ちゃうわけです。
# ご本人はもう壊れちゃったみたいですが。
授業でも『解析概論』流の説明はカットして、
「微分とは局所一次近似である（局所一次化のほうがいいかな）」で済ませてしまう。
こんなところで拘泥するより、後になって、例えば１変数であれば
合成微分とか置換積分のところで意味・役割を身につけていくほうがいいでしょう。
# にしてもなんで「合成」だの「置換」だの言うんだろう？
# 両方とも変数変換の公式でいいのに。
それに文章もよくない。例えば p.36 で：
「しかし我々は点 (x,y) の近傍においてのみ (1) を用いるつもりであるから、
dx を変数 x の微分 (differential)、dy をそれに対応する函数 y の微分という。」
とあるけど「であるから」と言われても前半部分は後半部分の理由説明になっていない。
続く部分とも微妙に齟齬を来たしていて、ここでは dx を「変数 x の微分」
と言っているのに、後では x を函数と見なして dx=Δx としている。
だからこれを再び「変数の微分」に読み替えてやる必要がある。
M_SHIRAISHI さんもこれぐらいのこと言えばよかったのにね。
（平賀）
M_SHIRAISHI
> koun...@mbh.nifty.com wrote:
> > "Yuzuru Hiraga" <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message
> > news:407EB40B...@slis.tsukuba.ac.jp...
> ...
> >>概ねいいんですが、(2) のΔy が x のΔx の変化に対する y の変化というのは
> >>いいとして、これと (3) のΔy は同じものですか？
> >
> > ちょっと分かりかねます。同じと言えば同じと見なしてもいいような。厳密に言えば
> > 違うのかな？。
>
> Δx, Δy の一方は独立量で他方は従属量、といったことが気になっちゃったんですが、
> 今の場合、考えすぎだったみたいですね。
# 「間抜けどうしが傷を舐めあっている」って構図で絵になるな（爆笑
（以下、甚だ愚劣につき、引用は、全部、省略）
で、こっち↓のほうはどうなった？ 回答に窮したか？（爆笑＋嘲笑
Y.N.
M> dx＝△x が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである。
これはなぜなんでしょうか？
M> もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には dy＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も (4) に代入できる筈であり、そうすると、
M>
M> △x＝f'(x)・△x
M>
M> ∴ f'(x)＝１
M>
M> となってしまい、「y＝f(x) は＊(微分可能な)任意の函数＊である」という仮定に反し、
M> 不合理である。
y=x の場合に f'(x)=1 となるののどこが不合理なんでしょうか？
そういう問題じゃないんでしょうか？
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> （以下、甚だ愚劣につき、引用は、全部、省略）
やっぱり理解できなかったのね。
> で、こっち↓のほうはどうなった？ 回答に窮したか？（爆笑＋嘲笑
>
> http://groups.google.com/groups?hl=ja&lr=&ie=UTF-8&c2coff=1&selm=800c7853.0404150155.75e0c285%40posting.google.com
回答も何も、質問がないじゃないの。
それ以前に、何か意味のあること書いているつもり？
まあ駄々っ子がかまってほしくて駄々こねてるんだろうけど、
みっともないからあっち行ってね。
M_SHIRAISHI
>
> M> dx＝△x が成立するのは、 y＝x という〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである。
>
> これはなぜなんでしょうか？
訂正しておいた筈だけど、
「dx＝△x が成立するのは、（y＝x だけではなくて）y＝x＋c である様な〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである」
ってのが正解。
dy は f'(x)・△x と定義されているのだから、y＝ f(x)＝x＋c である様な〔＊特殊な函数＊の場合〕には、dy＝(x＋c)'△x
＝ △x -------------------------------------- (1)
一方、d{g(x)＋h(x)}＝dg(x)＋dh(x)であることと、 dc＝0 であること（但し、c
は定数）は容易に証明できるので、y＝x＋c の場合、dy＝d{x＋c}＝dx＋dc＝dx ----------- (2)
(1) と (2) とから、y＝x＋c である場合には、dx＝△x．
そして、f(x) が x＋c である様な〔＊特殊な函数＊〕ではない、一般の場合だと、
f'(x)＝１ とは限らないので、dy＝f'(x)・△x ＝ △x が言えないので、dx＝△x とは
言えない。
即ち、dx＝△x が成立するのは、y＝x＋c である様な〔＊特殊な函数＊の場合〕に限って
のことである ■
>
> M> もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には dy＝dx＝△x であるのだから、dy＝△x も (4) に代入できる筈であり、そうすると、
> M>
> M> △x＝f'(x)・△x
> M>
> M> ∴ f'(x)＝１
> M>
> M> となってしまい、「y＝f(x) は＊(微分可能な)任意の函数＊である」という仮定に反し、
> M> 不合理である。
>
> y=x の場合に f'(x)=1 となるののどこが不合理なんでしょうか？
> そういう問題じゃないんでしょうか？
y＝f(x) が＊(微分可能な)任意の函数＊であるのに、f'(x)=1 であるわけ無いでしょう。
Y.N.
M> > M> もしも、そんなことが許されるのであれば、y＝x の場合には dy＝dx＝△x であるのだから、
の「y＝x の場合には」ということの意味がうまくとれないのです(..)。
Takao Ono
<800c7853.04042...@posting.google.com>の記事において
eu...@apionet.or.jpさんは書きました。
eurms> そして、f(x) が x＋c である様な〔＊特殊な函数＊〕ではない、一般の場合だと、
eurms> f'(x)＝１ とは限らないので、dy＝f'(x)・△x ＝ △x が言えないので、dx＝△x とは
eurms> 言えない。
もちろん y = f(x) が一般の関数の場合には f'(x) とは限らないので
dy = Δx はいえません. とはいえ, この場合 dy = dx もいえないはず
なので「dx = Δx とはいえない」というのは「dx = Δx かどうかはわ
からない」(dx = Δx かもしれないし, そうではないかもしれない) の
意味ですよね?
そこからどうして
eurms> 即ち、dx＝△x が成立するのは、y＝x＋c である様な〔＊特殊な函数＊の場合〕に限って
eurms> のことである ■
になるんだろう?
--
名古屋大学大学院 情報科学研究科 計算機数理科学専攻
小野 孝男
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHI wrote:
> > （以下、甚だ愚劣につき、引用は、全部、省略）
>
> やっぱり理解できなかったのね。
オマエがなぁ（爆笑
> みっともないからあっち行ってね。
そりゃ～、「恒等函数が恒等式 x＝x で表わされて、そのグラフがｘ軸自体だ」
なんて主張していた貴様にとっては、≪みっともなくて、しょうがない≫だろな
ヽ(＾。＾)ノ
# どうだ、"あっち(sci.math)"に行って、投稿してやろうか？
日本の筑波大学という大学の教官で、「恒等函数が恒等式 x＝x で表わされて、
そのグラフがｘ軸自体だ」と主張しているアホがいるって。
## 世界中の笑いものになるぞ ヽ(＾。＾)ノ
Yuzuru Hiraga
>一方、d{g(x)＋h(x)}＝dg(x)＋dh(x)であることと、 dc＝0 であること（但し、c
>は定数）は容易に証明できるので、
これが last straw ですね。これによって M_SHIRAISHI 氏が自分で
提供した道具立てだけで自己矛盾を生じます。
いわば自分の死刑執行書に署名したわけです。
せっかく <4080DA5F...@slis.tsukuba.ac.jp> で警告してあげたのに、
全然通じない（理解できない）のでは如何ともしがたい。
# まあそれ以前に間違いだらけ、矛盾だらけだから、
# 自己矛盾ったっていまさらですが。
======
y = 3x としましょう。すると
dy = d(3x) = 3dx
一方で定義により：
dy = 3Δx
したがって
3dx = 3Δx つまり dx = Δx
つまり：
>「dx＝△x が成立するのは、（y＝x だけではなくて）y＝x＋c である様な〔＊特殊な函数＊の場合〕に限ってのことである」
>ってのが正解。
ってのがもろに不正解なわけです。
もっとも上の「証明」中で使った「y=x なら dy=dx」というのは
インチキがあることはすでに述べた通り。他にも問題はあるけど、
上の導出自体は M_SHIRAISHI 氏と同じことは見比べればわかるでしょう。
もちろん実際には y=3x の場合でなく、任意の１次関数 y = ax+b でも
同じだし、さらには任意の y=f(x) に対しても dx = Δx は成り立つ。
（というよりそもそも dx=Δx が成り立つことに f(x) は無関係。）
妙な話だけど、自分自身の議論をよく見直せば自分の間違いがわかるはず。
間違いを指摘されても理解さえできず、もはや同じことの繰り返しと
悪罵しかできないのは毎度のこととはいえ、そぞろあわれ。
（平賀）
Y.N.
dy＝f'(x)・△x.
z=g(x)=x とすると
dz＝dx＝g'(x)・△x＝1・△x＝△x よって dx＝△x.
したがって
dy＝f'(x)・dx.
ってことじゃないんでしょうか？ z＝x のとき dz＝dx は，なりたちますよね？
M_SHIRAISHI
“塩”を送ってつかわそう。 ヽ(＾。＾)ノ
ほれっ！ http://www.age.ne.jp/x/eurms/Quiz_06iv2004-2.html
# まぁ、一応の整合性はあるようだが、Leibniz や Euler の考えた
dx, dy に無限小の量だったのに、dy＝f'(x)・△x と「定義」して
シマッタのでは、無限小とは全く何の関係も無い、ツマラヌ方便として、
dy＝f'(x)dx が得られるに過ぎない。 (゜д゜)
M_SHIRAISHI
ギャグだということがよく分かったな。
褒めてつかわす。 ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI
>
> > ## んじゃ～、ここで、ひとつ、“x＝x”のグラフでも書いてみせろ！（爆笑＋嘲笑
>
> 簡単じゃん。
> 直線１本書いておしまい。
恒等式“x＝x”でｘ軸が表わされるわけ無いだろ、こんバカタレが！！！
# ｘ軸を表わす方程式は y＝0 だってことぐらい、中学生でも知っているワ。（爆笑＋嘲笑
koun...@mbh.nifty.com
> 「恒等函数が恒等式 x＝x で表わされて、そのグラフがｘ軸自体だ」
> なんて主張して、思いっきり恥を晒しているソチの様なアホの為に、
> “塩”を送ってつかわそう。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> ほれっ！ http://www.age.ne.jp/x/eurms/Quiz_06iv2004-2.html
>
しょうもない証明をわざわざホームページに載せるヒマがあるのなら，M_SHIRAISHI
がしきりに主張している
「dx＝△x が成立するのは、（y＝x だけではなくて）y＝x＋c である様な〔＊特殊
な函数＊の場合〕に限ってのことである」
に対して，平賀さんが思いっきり間違っていますよと示した反証に対する反証（ある
のなら）を示すべきではないでしょうか。
koun...@mbh.nifty.com
news:c659bl$32j$1...@caraway.media.kyoto-u.ac.jp...
> "M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
> news:800c7853.04042...@posting.google.com...
>
M_SHIRAISHI
> がしきりに主張している
>
すいません。上の記事で，「M_SHIRAISHIがしきりに主張している」は「M_SHIRAISHI
さんがしきりに主張している」の書き損じです。大変失礼致しました。
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> 「恒等函数が恒等式 x＝x で表わされて、そのグラフがｘ軸自体だ」
> なんて主張して、思いっきり恥を晒しているソチの様なアホの為に、
...
なんか最後そこしかすがるところがなくなっちゃったみたいだけど、
念のために言えば私はそんなこと主張してませんよ。
それどころかこのスレッドの投稿者でそんなこと言っている人は
（M_SHIRAISHI さんを除いては）１人もいません。
だからこれは M_SHIRAISHI さんによる悪質な捏造であるわけだし、
それにすがろうということなら、自分で作り出した妄想に自分で
すがろうという滑稽なことではある。
一応よいこのための問題：
では私は正しくは何を主張したのでしょう？
ヒント： y = 1, 少し書き換えて y-1 = 0 は何を意味するでしょう？
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHI wrote:
> > 「恒等函数が恒等式 x＝x で表わされて、そのグラフがｘ軸自体だ」
> > なんて主張して、思いっきり恥を晒しているソチの様なアホの為に、
> ...
>
今更、シラは切れんな。ヽ(＾。＾)ノ
＞『解析概論』では「x'=1 だから」と書かれているんですが、
＞これから察するに、
＞ x = x ⇒ dx = x' Δx ⇒ dx = Δx
＞と受け取るのが一番素直じゃないのかなあ。
とマヌケなことを書いたのは、Yuzuru、貴様だからな。
また、
＞＞んじゃ～、ここで、ひとつ、“x＝x”のグラフでも書いてみせろ！（爆笑＋嘲笑
に対して
＞簡単じゃん。
＞直線１本書いておしまい。
とマヌケなことを書いたのも、Yuzuru、貴様だからな。ヽ(＾。＾)ノ
Y.N.
M> ＞これから察するに、
M> ＞ x = x ⇒ dx = x' Δx ⇒ dx = Δx
M> ＞と受け取るのが一番素直じゃないのかなあ。
M>
M> とマヌケなことを
またまたわからなくてすみません。ここのどこがいけないのでしょうか？
Y.N.
y_2 = x_1 ⇒ dy_2 =(x_1)'・Δx_1
が OK なんですよね。
なら x = x は常に成り立つので，
dx =x'・Δx
は常に成立ですよね。x は x で微分可能な関数ですから。
なんか勘違いしているのでしょうか(..)？
Yuzuru Hiraga
In <800c7853.04042...@posting.google.com> M_SHIRAISHI wrote:
> # まぁ、一応の整合性はあるようだが、...
なんだ、これは M_SHIRAISHI さんの敗北宣言だったのですね。
素直じゃないなあ。
> ほれっ！ http://www.age.ne.jp/x/eurms/Quiz_06iv2004-2.html
で改めて上を見ると、何のことはない、１週間も前に教えてあげたこと：
In <c5j90a$cue$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp> (Wed, 14 Apr 2004 11:58:02 +0000) I wrote:
> ...
> 変数名を y から z に変えて、
> z = x, dz = Δx, dz = dx ⇒ dx = Δx
> としたって全く同じこと。
> ...
> そして第２のミス、これが致命的なのですが、
> y = x などと書いたため、出発点の y = f(x) の y と混同してしまい、
> dy = dx = Δx の dy と dy = f'(x)Δx の dy を同じものだと思ってしまった。
> 上記のように、y ではなく z を使っていればこんな混同はしなかったでしょう。
あるいは昨日 Y.N. さんが書いたこと：
これを実質的に書き写しただけのことじゃない。
「“塩”を送る」もなにも、捏造だけでなく剽窃までやるんですか？
しかもこれでは証明として不完全とまで教えてあげたでしょ？
=====
で冒頭の続きを見ると：
> # まぁ、一応の整合性はあるようだが、Leibniz や Euler の考えた
> dx, dy に無限小の量だったのに、dy＝f'(x)・△x と「定義」して
> シマッタのでは、無限小とは全く何の関係も無い、ツマラヌ方便として、
> dy＝f'(x)dx が得られるに過ぎない。 (゜д゜)
無限小という逃げ道は自分自身で潰しちゃったことまで忘れたの？
しかもご丁寧に２度までも。
I wrote:
> まあ想像するに、「変数 x を関数のように言うのはけしからん」とか、
> 「無限小である dx を有限量のΔx と等値できるわけない」、あるいは逆に
> 「Δx→0 ではどうなるんだ」とかいったところで
> お気に入りの超準解析が引っ張り出されるんじゃないかと。
これに対して：
Message-ID: <800c7853.04040...@posting.google.com>
> 全部、ハズレ。 ヽ(^。^)ノ
Message-ID: <800c7853.04040...@posting.google.com>
> 従って、当然ながら、
...
> なんてことは、全くの≪見当違い≫ということになる。
ちょっと調子に乗りすぎたよね。これぐらい、逃げ道として残しておけばよかったのに。
======
ついでに鴻池さんの書かれた：
In <c659bl$32j$1...@caraway.media.kyoto-u.ac.jp> keizi kounoike <koun...@mbh.nifty.com> wrote:
> しょうもない証明をわざわざホームページに載せるヒマがあるのなら，
> M_SHIRAISHI[さん]がしきりに主張している
>
> 「dx＝△x が成立するのは、（y＝x だけではなくて）y＝x＋c である様な〔＊特殊
> な函数＊の場合〕に限ってのことである」
>
> に対して，平賀さんが思いっきり間違っていますよと示した反証に対する反証（ある
> のなら）を示すべきではないでしょうか。
これはねえ、まだ逃げ道（と本人だけが思うもの）はあるんですよ。
「y=x だけでなく、y=x+c に訂正」としたのと同様に、
「y=x+c だけでなく、y=ax+b に訂正」、というね。
もちろんこれはその場逃れに過ぎなくて、そもそも x+c とした時点で
もともとの論点が崩壊、ax+b では完全瓦解。
また ax+b まで行っちゃうと、微分やってるんだから、一般の場合にも
dx=Δx であることはすぐ手が届くんですがねえ。
と思ってたらなんと！
http://www.age.ne.jp/x/eurms/Quiz_06iv2004.html
これが最初 x+c となっていたのがこっそり ax+c に変更されてますね。
さすがに本人もまずいと思ったんでしょう。
ax+b じゃなく ax+c になってるのが「尻尾が見えてるよ」でかわいいね。
だけど相変わらず一般の場合にも成り立つことがわかってないのは：
http://www.age.ne.jp/x/eurms/NB.html#00
にあるとおり。
にしても、これにしてもさっきのページにしても、fj に投稿せずに
こそこそやってるのは：
・よほど恥ずかしかった。
・fj に投稿すると証拠が残る。
のどっちでしょう？
ついでだけど：
http://www.age.ne.jp/x/eurms/A_Paradox_of_The_Central_Limit_Theorem.html
この中のスペルミス（Tenorem, satates, numbetrs, infinitively) も
直しておけばいいのにね。
sci.math のこちらのスレッドは 4/7 で途絶えた（尻尾巻いて逃げた）みたいですが。
（平賀）
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> Yuzuru Hiraga <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message news:<40863398...@slis.tsukuba.ac.jp>...
>>M_SHIRAISHI wrote:
>>>「恒等函数が恒等式 x＝x で表わされて、そのグラフがｘ軸自体だ」
>>>なんて主張して、思いっきり恥を晒しているソチの様なアホの為に、
>>
>>...
>>
>>念のために言えば私はそんなこと主張してませんよ。
>
> 今更、シラは切れんな。ヽ(＾。＾)ノ
だ・か・ら。わかってないなあ。
> 一応よいこのための問題：
> では私は正しくは何を主張したのでしょう？
> ヒント： y = 1, 少し書き換えて y-1 = 0 は何を意味するでしょう？
と書いたように、まず捏造部分を訂正して原型を復元しなさい。
そっちの妄想にまで付き合う義理はこっちにはないのだから。
Yuzuru Hiraga
# どうでもいいけど
I wrote:
> sci.math のこちらのスレッドは 4/7 で途絶えた（尻尾巻いて逃げた）みたいですが。
こう書くとお決まりの「逃げたのは Robin Chapman のほうだ」という
応答が帰ってきそうね。文脈も何も読めない人だから。
もとい、「M_SHIRAISHI は」文脈も何も読めない人だから。
本題に入る前に（M_SHIRAISHI が）門前払いを食らった感じですが、
それだけで 70 通以上のスレッドになるのもすごいと言えばすごい。
M_SHIRAISHI
恒等式“x = x”はいかなる函数も表わしてはいないのに、それが
恒等函数を表わしているように考えるのが「勘違い」です。
Shiino Masayoshi
>本題に入る前に（M_SHIRAISHI が）門前払いを食らった感じですが、
>それだけで 70 通以上のスレッドになるのもすごいと言えばすごい。
やっぱり、「生産性が高い」からでしょう :-p
--
椎野正元 （しいの まさよし）
Y.N.
YN> 立つ」）を演じていますし，右辺は x の関数を表していますが，"x = x"
YN> が関数を表しているなどとは決して読めないと思うのですが？
もちろん
M> ＞ x = x ⇒ dx = x' Δx ⇒ dx = Δx
という表現においても，「"x = x" が関数を表している」とは読めないと思うの
です。
それとも上記のような表現では 「"x = x" が関数を表している」と読めてしま
い「マヌケ」なんでしょうか(..;？
M_SHIRAISHI
> # どうでもいいけど
>
> I wrote:
> > sci.math のこちらのスレッドは 4/7 で途絶えた（尻尾巻いて逃げた）みたいですが。
春雨や
Yuzuruが
ゆするか
貧乏揺すり
啄木 圖
M_SHIRAISHI
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote in message news:<800c7853.04042...@posting.google.com>...
もっと≪致命的≫なのは、微分(differential) dy を f'(x)・△x と
「定義」してシマッタのでは、高階の微分 d^2y, d^3y, d^2x etc. が
定義できなくなってしまうし、「(dy)^2 は高位の無限小なので、無視
できて・・・」などという論法も行使できなくなってしまう。
従って、微分 dy を f'(x)・△x と「定義」するのは、［微分 dy の
本性を正しく捕らえていない］という意味において、≪誤り≫なのである。
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> もっと≪致命的≫なのは、微分(differential) dy を f'(x)・△x と
> 「定義」してシマッタのでは、高階の微分 d^2y, d^3y, d^2x etc. が
> 定義できなくなってしまうし、
どして？
『解析概論』の p.51 を見てごらんよ。
前にも言ったようにこれが必ずしもいい説明だとは言わないけどさ。
dx の関数であるとか非線型になるといったことが言いたいのかな。
そういったことは皆さん、百も承知なんだけど。
最後の d^2x は何？ dx^2 のつもりだったのかな？
> 「(dy)^2 は高位の無限小なので、無視
> できて・・・」などという論法も行使できなくなってしまう。
これは何が言いたいのかな？
> 従って、微分 dy を f'(x)・△x と「定義」するのは、［微分 dy の
> 本性を正しく捕らえていない］という意味において、≪誤り≫なのである。
これは M_SHIRAISHI さんが仰々しくも持ち出した解答、もとい、誤答とは無関係。
つまりそこからは転進する（旧日本軍用語：日常語では「尻尾巻いて逃げる」）
ということなのね。
ちなみに上記ページには、x=φ(t) である場合の合成微分の式が示されたあとで：
「(1) では［＝d^2y の直接計算では］補助変数 t を表面に出さないで、
直接に x と y との間の関係が示されている。そこに微分記号の特色がある。」
とあるけど、φ(t)=t、つまり x=t と書けばその (1) の場合に戻るわけで、
これはこのスレッドの一番最初に「x=t とおく」と書いたのと同じこと。
おそらく p.37 についても、高木の念頭にあったのはそういうことではないかな。
# p.37 だとまだ合成微分の公式やってないし。
２階微分で思い出したけど、演習問題としての：
lim_{h→0} {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2
というのは案外難しい。何かうまいやり方ないかな。
（平賀）
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHI wrote:
> > もっと≪致命的≫なのは、微分(differential) dy を f'(x)・△x と
> > 「定義」してシマッタのでは、高階の微分 d^2y, d^3y, d^2x etc. が
> > 定義できなくなってしまうし、
>
> どして？
> 『解析概論』の p.51 を見てごらんよ。
そこ（『解析概論』p.51）に書かれていることは「前提は間違い
だが、結論はすべて正しい。」
［前提は間違っていても、その帰結は正しいことが在り得る］と
いう論理法則のみごとな例と言えよう。 ヽ(＾。＾)ノ
dy を f'(x)・△x と定義した場合には、dy は y が x のみの
函数であるときにしか意味を持たない。 しかるに、その場合、
dy は x と x_1 （但し、△x＝x_1－x とする）との函数で
あって、x のみの函数ではないのだから、d(dy) は意味を成さ
ない。 つまり、(d^2)y は意味を成さなくなってしまう。
(d^2)y が意味を成さないのだから、当然、(d^3)y, (d^4)y
や (d^2)x も意味を成さなくなってしまう。
かくして、dy を f'(x)・△x と定義してシマッタならば、
高階の微分は定義できないことになってしまう。
"well-defined"という概念があるかぎり、"ill-defined"という
概念もあるわけで、dy を f'(x)・△x と定義することなどは、
ill-defined の典型的な例だ。
> 最後の d^2x は何？ dx^2 のつもりだったのかな？
d^2x は d(dx) の意味であり、一方、dx^2 は (dx)^2 の意味
であって、両者は全く別の概念だ。
> > 「(dy)^2 は高位の無限小なので、無視
> > できて・・・」などという論法も行使できなくなってしまう。
>
> これは何が言いたいのかな？
微分方程式ではよくお目にかかる論法だ。
> > 従って、微分 dy を f'(x)・△x と「定義」するのは、［微分 dy の
> > 本性を正しく捕らえていない］という意味において、≪誤り≫なのである。
>
> これは M_SHIRAISHI さんが仰々しくも持ち出した解答、もとい、誤答とは無関係。
> つまりそこからは転進する（旧日本軍用語：日常語では「尻尾巻いて逃げる」）
> ということなのね。
βακαμων！
“塩”を送ってもらったお蔭で「息を吹き返した」分際でありながら、
大口を叩くのもエーカゲンにせい！
“塩”を送ってもらう前に、ソチがほざいて居たことを拾ってみると：－
なになに？
Stupid_Yuzuru repetedly and stupidly wrote:
>
>> うーん。うまい説明ではないなあ。
>> 要するに y=x と x=x の違い、と言えばいいのかなあ。
>
>> > んじゃ～、ここで、ひとつ、“x＝x”のグラフでも書いてみせろ！（爆笑＋嘲笑
>
>> 簡単じゃん。
>> 直線１本書いておしまい。
笑わせるんじゃないぜ、こんバカタレが！！！
"x＝x" に限らず、恒等式にはグラフなど存在せぬワ！
恒等式はすべて、"0＝0" という等式と同値だからだ。
> ２階微分で思い出したけど、演習問題としての：
>
> lim_{h→0} {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2
>
> というのは案外難しい。何かうまいやり方ないかな。
そんな問題は、造作も無いことだ：－
lim_{h→0}[{f(x+h)＋f(x-h)－2f(x)}／h^2]
＝lim_{h→0}[{f(x+h)－f(x)}／h － {f(x)－f(x-h)}／h]／h
＝lim_{h→0}[f'(x)－f'(x-h)]／h
＝lim_{h→0}[f''(x-h)]
＝f''(x)
# と書いたけど、間違ってたりしてな。 ヽ(＾。＾)ノ
Yuzuru Hiraga
ほかの部分はほっておいて（ずいぶん長時間考えてましたね）、
とりあえず最後のところだけ。
M_SHIRAISHI wrote:
>>２階微分で思い出したけど、演習問題としての：
>>
>> lim_{h→0} {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2
>>
>>というのは案外難しい。何かうまいやり方ないかな。
>
> そんな問題は、造作も無いことだ：－
>
> lim_{h→0}[{f(x+h)＋f(x-h)－2f(x)}／h^2]
> ＝lim_{h→0}[{f(x+h)－f(x)}／h － {f(x)－f(x-h)}／h]／h
> ＝lim_{h→0}[f'(x)－f'(x-h)]／h
> ＝lim_{h→0}[f''(x-h)]
> ＝f''(x)
>
> # と書いたけど、間違ってたりしてな。 ヽ(＾。＾)ノ
はい、見事に 0 点。
まあ白紙を本当の 0 点とすれば、ちょっとぐらい部分点は
つけられるから 0 点はかわいそうか。
相変わらず見事なまでに lim の意味がわかってませんね。
問題： 上の怪答で M_SHIRAISHI さんはどこをどう
間違えたかを指摘せよ。
======
ちょうどいいからちょっと補足しておくと、
上の問題は、２次のテーラー展開を使うのが最も正統的な解答と
思います。しかしそれだといかにも重苦しい。
# M_SHIRAISHI さんはテーラー展開もわかってませんでしたね。
１次まで、というか、平均値の定理までで処理できるかと言えば：
(f(x+h)-f(x))/h = f'(x+ah) (0≦a≦1)
(f(x)-f(x-h))/h = f'(x-bh) (0≦b≦1)
となって
(f(x+ah)-f(x-bh))/h
まではいくのですが、このままでは a と b の関係が見えないから
先に進めない。それを求めるというのは実質的に２次の展開まで
見ることになってしまうのかな。それとも別法があるのかしら。
別解としてロピタルの定理を使うというのがあって、
それで確かにできるのだけど、何やってるのかが見えにくくて、
ちょっと邪道っぽい感じがしてしまう。
（平賀）
Yuzuru Hiraga
なんかなあ。
末尾の迷怪答を見ちゃうと、こっちに答える気まで失せてしまうなあ。
あんなこともわからんやつが何をほざいてるんだと。
で、半分投げやりモード。
M_SHIRAISHI wrote:
> ［前提は間違っていても、その帰結は正しいことが在り得る］と
> いう論理法則のみごとな例と言えよう。 ヽ(＾。＾)ノ
それは確かに、（M_SHIRAISHI さんが）結論は正しいと思っているなら、
（M_SHIRAISHI さんについて）上はみごとな例として当てはまるでしょうね。
# こんなふうにいちいち "M_SHIRAISHI" と書いていたら、
# 皮肉にもジョークにもならんではないか。
そういえば、じゃ M_SHIRAISHI 流には何が正しいのか、
という話は全然出てきてませんね。
> dy を f'(x)・△x と定義した場合には、dy は y が x のみの
> 函数であるときにしか意味を持たない。 しかるに、その場合、
> dy は x と x_1 （但し、△x＝x_1－x とする）との函数で
> あって、x のみの函数ではないのだから、d(dy) は意味を成さ
> ない。 つまり、(d^2)y は意味を成さなくなってしまう。
なんかすごくこんがらがっちゃってるみたいですね。
どこから手をつけていいのか考えるのも面倒だから、とりあえず：
・M_SHIRAISHI さんは偏微分を全然わかってない
ぐらいにしておきましょうか。これだと飛躍のしすぎか。
> d^2x は d(dx) の意味であり、一方、dx^2 は (dx)^2 の意味
> であって、両者は全く別の概念だ。
あら、それは一応わかってるじゃない。
で、d^2x は何？ x は独立変数だよね？
>>>「(dy)^2 は高位の無限小なので、無視
>>>できて・・・」などという論法も行使できなくなってしまう。
>>
>>これは何が言いたいのかな？
>
> 微分方程式ではよくお目にかかる論法だ。
？？？
で、何が言いたいのかな？
> “塩”を送ってもらったお蔭で「息を吹き返した」分際でありながら、
> 大口を叩くのもエーカゲンにせい！
わかってないなあ。
１つ。
「息を吹き返した」のであれば（吹き返したもなにも、こちらが最初から
言っていることの不完全な剽窃にすぎないんだけど）、それと相反する
主張をしたM_SHIRAISHI さんは自動的に息を引き取ったことになる。
２つ。
最初の「解答」と今度の d^2y 云々とは内容的には関係ない。
後者が本来の主張であったなら最初にそれも持ち出すべきであり、
そうしなかったのは「解答」が破綻した苦し紛れに屁理屈こねてると
思われて当然。（ここで１つ目に戻る）
３つ。
あー、もうめんどくさいからやめ。
> “塩”を送ってもらう前に、ソチがほざいて居たことを拾ってみると：－
>
>>>うーん。うまい説明ではないなあ。
>>>要するに y=x と x=x の違い、と言えばいいのかなあ。
>>
>>>>んじゃ～、ここで、ひとつ、“x＝x”のグラフでも書いてみせろ！（爆笑＋嘲笑
>>>
>>>簡単じゃん。
>>>直線１本書いておしまい。
うん、言ったよ。
> 笑わせるんじゃないぜ、こんバカタレが！！！
>
> "x＝x" に限らず、恒等式にはグラフなど存在せぬワ！
> 恒等式はすべて、"0＝0" という等式と同値だからだ。
それと上の引用と全然関係ないじゃん。
あれだけ言ってもまだ違いがわからないの？
だから話がちっとも進まない。Robin Chapman の場合と同じ。
# もっとも本当に違いが理解できたなら、問題そのものが
# 雲散霧消してしまうんだけどね。
Tsukamoto Chiaki
In article <408DF9B1...@slis.tsukuba.ac.jp>
Yuzuru Hiraga <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> writes:
> 上の問題は、２次のテーラー展開を使うのが最も正統的な解答と
> 思います。
そうかな.
> 別解としてロピタルの定理を使うというのがあって、
> それで確かにできるのだけど、何やってるのかが見えにくくて、
> ちょっと邪道っぽい感じがしてしまう。
関数が微分可能で, その導関数が一点 x で微分可能, という条件で
証明できますね.
--
塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chi...@kit.ac.jp
Takao Ono
<408DF9B1...@slis.tsukuba.ac.jp>の記事において
hir...@slis.tsukuba.ac.jpさんは書きました。
hiraga> １次まで、というか、平均値の定理までで処理できるかと言えば：
hiraga> (f(x+h)-f(x))/h = f'(x+ah) (0≦a≦1)
hiraga> (f(x)-f(x-h))/h = f'(x-bh) (0≦b≦1)
hiraga> となって
hiraga> (f(x+ah)-f(x-bh))/h
hiraga> まではいくのですが、このままでは a と b の関係が見えないから
hiraga> 先に進めない。それを求めるというのは実質的に２次の展開まで
hiraga> 見ることになってしまうのかな。それとも別法があるのかしら。
コーシーの平均値の定理:
F(x), G(x) が区間 [a, b] で微分可能ならば
[F(b) - F(a)] / [G(b) - G(a)] = F'(c) / G'(c)
を満たす c ∈ (a, b) が存在する
において F(h) = f(x+h) + f(x-h) - 2f(x), G(h) = h^2 とおけばでき
るような気がします.
--
名古屋大学大学院 情報科学研究科 計算機数理科学専攻
小野 孝男
M_SHIRAISHI
> ほかの部分はほっておいて（ずいぶん長時間考えてましたね）
長時間考えてたんじゃなくて、このところ忙しくて、fj.sci.math
を見てなかったのだ。 見たのは 27iv2004、つまり、今日だ。
> とりあえず最後のところだけ。
>
> M_SHIRAISHI wrote:
> >>２階微分で思い出したけど、演習問題としての：
> >>
> >> lim_{h→0} {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2
> >>
> >>というのは案外難しい。何かうまいやり方ないかな。
> >
> > そんな問題は、造作も無いことだ：－
> >
> > lim_{h→0}[{f(x+h)＋f(x-h)－2f(x)}／h^2]
> > ＝lim_{h→0}[{f(x+h)－f(x)}／h － {f(x)－f(x-h)}／h]／h
> > ＝lim_{h→0}[f'(x)－f'(x-h)]／h
> > ＝lim_{h→0}[f''(x-h)]
> > ＝f''(x)
> >
> > # と書いたけど、間違ってたりしてな。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> はい、見事に 0 点。
> まあ白紙を本当の 0 点とすれば、ちょっとぐらい部分点は
> つけられるから 0 点はかわいそうか。
>
> 相変わらず見事なまでに lim の意味がわかってませんね。
f''(x) という答は、実は、limit なんかを使って出したもの
ではないのだ。 limit を使って計算したかに見せかけておいた
だけのことでな。 ヽ(＾。＾)ノ
df(x)／dx を lim_{h→0}[{f(x+h)－f(x)}／h] で定義する
Cauchyの流儀は、df(x) や dx 自体に意味が無くなってしまう
という意味で、非常にマズイやりかたなのだ。
元来そうであったように、dy や dx は無限小の量なのだ。
どうやったら、dy や dx の本来の意味を復活させることが
できるか？
# Robinson の Non-Standard Analysis などというものは、
愚の骨頂であり、あんなものに将来性は無い。
koun...@mbh.nifty.com
> 別解としてロピタルの定理を使うというのがあって、
> それで確かにできるのだけど、何やってるのかが見えにくくて、
正しいどうかは分かりませんが，ちょっと考えてみました。
(1)が前提なので，こんなんでいいのかなと(？)
また，(1)→(1')もいいのか疑問だし。
f(x+Δx) = f'(x)Δx+f(x) ------(1)
f(x+2Δx) = f'(x+Δx)Δx+f(x+Δx) ------(1')
f'(x+Δx) = f''(x)Δx+f'(x) ------(2)
(1')の右辺のf'(x+Δx)に(2)を代入し，
f(x+2Δx) = (f''(x+Δx)+f'(x))Δx+f(x+Δx)
さらに(1)より f'(x)Δx=f(x+Δx)-f(x)でこれを上式に代入し整理すると
f(x+2Δx) = f''(x)(Δx)^2+2f(x+Δx)-f(x)
これより
f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)=f''(x)(Δx)^2
{f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)}/(Δx)^2=f''(x)
ここで，X=x+Δxとすると
{f(X+Δx)+f(X+Δx)-2f(X)}/(Δx)^2=f''(X-Δx)
Δx→0で
f''(X-Δx)=f''(X)
となる。
GON
> > ほかの部分はほっておいて（ずいぶん長時間考えてましたね）
>
> 長時間考えてたんじゃなくて、このところ忙しくて、fj.sci.math
> を見てなかったのだ。 見たのは 27iv2004、つまり、今日だ。
うそこけ。毎日２ｃｈで見え見えの自作自演やってるくせにｗ
Tsukamoto Chiaki
In article <0404271942...@flame.hirata.nuee.nagoya-u.ac.jp>
Takao Ono <ta...@hirata.nuee.nagoya-u.ac.jp> writes:
> コーシーの平均値の定理:
> F(x), G(x) が区間 [a, b] で微分可能ならば
> [F(b) - F(a)] / [G(b) - G(a)] = F'(c) / G'(c)
> を満たす c ∈ (a, b) が存在する
> において F(h) = f(x+h) + f(x-h) - 2f(x), G(h) = h^2 とおけばでき
> るような気がします.
ロピタルの定理がそれを使って証明されていることは御存知でしたか?
Yuzuru Hiraga
>小野@名古屋大学 です.
...
>コーシーの平均値の定理:
>F(x), G(x) が区間 [a, b] で微分可能ならば
>[F(b) - F(a)] / [G(b) - G(a)] = F'(c) / G'(c)
>を満たす c ∈ (a, b) が存在する
>において F(h) = f(x+h) + f(x-h) - 2f(x), G(h) = h^2 とおけばでき
>るような気がします.
この方法だと f'' については x での存在だけあればいいわけですね。
だから塚本さんが言っているのもこれなのかな。
（あるいはそうではないかもしれない。）...(*)
=======
うーん、困ったな。
「ロピタルの定理」と言ったのはそういう話です、と言ったら怒る？
まあ怒るよね。もっともです。
だけどそう遠い話というわけでもない。
ロピタルはコーシーの平均値の定理の極限形ですよね。
で、ロピタルを使って：
lim {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2 = lim {f'(x+h)-f'(x-h)}/2h
ここでロピタル一本で行くならもう１回使って：
= lim {f''(x+h)+f''(x-h)}/2
となって x の近傍での f'' の存在とかも必要になるけど、
ロピタルはここでやめてしまって通常の極限計算に戻れば、
小野さんの言う：
lim {f'(x+c)-f'(x-c)}/2c (h→0 のとき c→0)
と大差ないことになります。ロピタルを回り道しただけで。
# ちょうどこの直前に lim {f(x+2h)-f(x)}/h とか lim {f(x)-f(x-h)}/h
# （M_SHIRAISHI さんの間違いの１つ）とかの練習問題をやるわけだし。
もっとも、たぶんロピタルに引っ張られてでしょう、
コーシーから直接というのを見落としていたのは確かです。
ありがとうございます。
（ラグランジュの）平均値の定理だと f(x+h), f(x-h) がバラバラなのを、
まとめて面倒みてしまうわけですね。
======
ただ、まだ問題はあります。
１つは証明として易しいかという点。
上でロピタルは回り道と書いたけど、証明過程は無視して
定理は所与と考えれば、コーシーよりはロピタルのほうが扱いやすい。
（もっともロピタルを１回使うと２回目まで突っ走りそうだけど。）
そしてロピタルが引っかかるのは、「h の関数として微分」というのが
発想の転換を伴う点で、これはコーシーでも同じこと。
発想の難しさだけでなく、「２階差分の極限は２階微分」がもっと
直接的に見えてほしいわけです。
(*) とここまで書いたら塚本さんの：
> ロピタルの定理がそれを使って証明されていることは御存知でしたか?
の記事が来たので、やはり塚本さんは違う考えのようですね。
うーん。見えない。
# ついでに、２次のテーラー展開もとりあえず知っているのは
# コーシーを使う流儀。
======
鴻池さんのは「２階差分の極限は２階微分」の精神に沿っているのですが：
> f(x+Δx) = f'(x)Δx+f(x) ------(1)
> f(x+2Δx) = f'(x+Δx)Δx+f(x+Δx) ------(1')
> f'(x+Δx) = f''(x)Δx+f'(x) ------(2)
これらはいずれも有限近似だから、誤差項が伴いますよね。
順に e1Δx, e2Δx, e3Δx とすると、
e1, e2, e3 はいずれも Δx→0 のとき、→0。
そうすると：
> f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)=f''(x)(Δx)^2
には実際には：
f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)=f''(x)(Δx)^2 + (-e1+e2+e3)Δx
{f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)}/(Δx)^2 = f''(x)+ (-e1+e2+e3)/Δx
という誤差項がついて回る。
これが始末できない。いや、実際には消えるんですが、やり方がわからない。
（平賀）
Tsukamoto Chiaki
In article <c6m0dj$3m4$1...@hagi.cc.tsukuba.ac.jp>
Yuzuru Hiraga <hir...@ulis.ac.jp> writes:
> 「ロピタルの定理」と言ったのはそういう話です、
だろうと思ったから, 小野さんにああいう followup をしたまで.
まあ普通一回だけ使うものでしょう.
# lim (1 - cos x)/x^2
# x→0
# で二回使われるといやになる.
Yuzuru Hiraga
>まあ普通一回だけ使うものでしょう.
>
># lim (1 - cos x)/x^2
># x→0
># で二回使われるといやになる.
そうそう。
さっき書き忘れたけど、ロピタルって循環論法になる危険が
ついて回るのがいまいちな理由の１つでもあります。
（平賀）
Yuzuru Hiraga
>元来そうであったように、dy や dx は無限小の量なのだ。
やっぱりそこに行っちゃう（逃げちゃう）のね。
>f''(x) という答は、実は、limit なんかを使って出したもの
>ではないのだ。 limit を使って計算したかに見せかけておいた
>だけのことでな。 ヽ(＾。＾)ノ
確かに「見せかけ」だよね。中味は全くのデタラメだもん。
これもそうだけど、どうも M_SHIRAISHI さんは自分で意識しない
ところではたくまざるユーモアを発揮するところがあって：
> そんな問題は、造作も無いことだ：－
>
> lim_{h→0}[{f(x+h)＋f(x-h)－2f(x)}／h^2]
> ＝lim_{h→0}[{f(x+h)－f(x)}／h － {f(x)－f(x-h)}／h]／h
> ＝lim_{h→0}[f'(x)－f'(x-h)]／h
> ＝lim_{h→0}[f''(x-h)]
> ＝f''(x)
>
> # と書いたけど、間違ってたりしてな。 ヽ(＾。＾)ノ
これ書いた記事の最初のほうで：
> ［前提は間違っていても、その帰結は正しいことが在り得る］と
> いう論理法則のみごとな例と言えよう。 ヽ(＾。＾)ノ
とあるのは、見事に一巡して自己完結してますね。
もっとも「芸術性」という点ではこの前書いた ∫dx/(x+a) には劣るかな。
間違え方のバラエティが足りない。
M_SHIRAISHI
タワケ！ オマエじゃあるまいし。 ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI
>
> そういえば、じゃ M_SHIRAISHI 流には何が正しいのか、
> という話は全然出てきてませんね。
如来尊重
智慧深遠
久黙斯要
不務速説
> > dy を f'(x)・△x と定義した場合には、dy は y が x のみの
> > 函数であるときにしか意味を持たない。 しかるに、その場合、
> > dy は x と x_1 （但し、△x＝x_1－x とする）との函数で
> > あって、x のみの函数ではないのだから、d(dy) は意味を成さ
> > ない。 つまり、(d^2)y は意味を成さなくなってしまう。
>
> なんかすごくこんがらがっちゃってるみたいですね。
貴様が、意味が掴めずに「こんがらがっちゃってる」のだ。ヽ(＾。＾)ノ
# どうだ、上記の漢文の意味は掴めたか？ まぁ、無理な注文だろうが。
> どこから手をつけていいのか考えるのも面倒だから
それは、貴様が「こんがらがっちゃってる」証拠だな。
> >>>うーん。うまい説明ではないなあ。
> >>>要するに y=x と x=x の違い、と言えばいいのかなあ。
>
> >>>>んじゃ～、ここで、ひとつ、“x＝x”のグラフでも書いてみせろ！（爆笑＋嘲笑
> >>>
> >>>簡単じゃん。
> >>>直線１本書いておしまい。
>
> うん、言ったよ。
>
> > 笑わせるんじゃないぜ、こんバカタレが！！！
> >
> > "x＝x" に限らず、恒等式にはグラフなど存在せぬワ！
> > 恒等式はすべて、"0＝0" という等式と同値だからだ。
>
> それと上の引用と全然関係ないじゃん。
βακαμων！
何が「上の引用と全然関係ない」だ！
「“x＝x”のグラフでも書いてみせろ」という、こちらの突っ込みに、
愚かにも嵌って、「“x＝x”のグラフは直線だ」と答えていながら、
今更、シラが切れるとでも思ったか？ （爆笑＋嘲笑
koun...@mbh.nifty.com
news:c6lnr2$b3d$1...@caraway.media.kyoto-u.ac.jp...
> "Yuzuru Hiraga" <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message
> news:408DF9B1...@slis.tsukuba.ac.jp...
> (1)が前提なので，こんなんでいいのかなと(？)
> また，(1)→(1')もいいのか疑問だし。
>
> f(x+Δx) = f'(x)Δx+f(x) ------(1)
> f(x+2Δx) = f'(x+Δx)Δx+f(x+Δx) ------(1')
> f'(x+Δx) = f''(x)Δx+f'(x) ------(2)
やっぱまちがいですね。ほかにも，x+Δx=Xが変でした。
koun...@mbh.nifty.com
news:c6mp5j$7qh$1...@caraway.media.kyoto-u.ac.jp...> やっぱまちがいですね。ほかにも，x+Δx=Xが変でした。
F(x)={f(x+h)-f(x)}/h ----(1)
h→Δx で F(x)=f'(x) ----(1')
{F(x)-F(x-h)}/h -----(2)
h→Δx で F'(x)=f''(x) ----(2')
(2)に(1)を代入すると
{(f(x+h)-f(x))/h- (f(x)-f(x-h))/h}/h={f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2
h→Δx で(2')より
{f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2=f''(x)
こんなんでいいのだろうか。果たして(2')が言えるのだろうか？？？。
koun...@mbh.nifty.com
news:c6mtgs$bfi$1...@caraway.media.kyoto-u.ac.jp...
> <koun...@mbh.nifty.com> wrote in message
> news:c6mp5j$7qh$1...@caraway.media.kyoto-u.ac.jp...
> > <koun...@mbh.nifty.com> wrote in message
> > news:c6lnr2$b3d$1...@caraway.media.kyoto-u.ac.jp...
> >
> > やっぱまちがいですね。ほかにも，x+Δx=Xが変でした。
>
> F(x)={f(x+h)-f(x)}/h ----(1)
> h→Δx で F(x)=f'(x) ----(1')
> {F(x)-F(x-h)}/h -----(2)
> h→Δx で F'(x)=f''(x) ----(2')
大ミステェイクでした。取り消します。M_SHIRAISHIさんの証明と変わらないです
ね。
と言うことは，０点でした。やっぱ，慣れんものに手をだすもんじゃない。
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
>>>dy を f'(x)・△x と定義した場合には、dy は y が x のみの
>>>函数であるときにしか意味を持たない。 しかるに、その場合、
>>>dy は x と x_1 （但し、△x＝x_1－x とする）との函数で
>>>あって、x のみの函数ではないのだから、d(dy) は意味を成さ
>>>ない。 つまり、(d^2)y は意味を成さなくなってしまう。
>>
>>なんかすごくこんがらがっちゃってるみたいですね。
>
> 貴様が、意味が掴めずに「こんがらがっちゃってる」のだ。ヽ(＾。＾)ノ
うっとーしーなー。
「dy を f'(x)・△x と定義した場合には、dy は y が x のみの
函数であるときにしか意味を持たない。 しかるに f(x) = ag(x), y=f(x)
であるとき、y は a によって値が変わるから y は a と x との函数であって、
x のみの函数ではないのだから、dy は意味を成さない。」
と言っているのと同じこと。
> 何が「上の引用と全然関係ない」だ！
関係ないよ。
> 「“x＝x”のグラフでも書いてみせろ」という、こちらの突っ込みに、
> 愚かにも嵌って、「“x＝x”のグラフは直線だ」と答えていながら、
> 今更、シラが切れるとでも思ったか？ （爆笑＋嘲笑
切ってないよ。
自分（=M_SHIRAISHI）の場合は都合が悪くなるとシラを切って
ごまかす（ごまかそうとする）からといって、
相手が直答してくれない（教えてくれない）のは、相手が都合悪く
なっているからだ、と考えるのは初歩的な論理の誤謬であるとともに、
M_SHIRAISHI さんの精神性も透けて見える。
まあ捏造・歪曲とは言ったけど、意識的にそうしてるというよりは、
本当にわからないみたいですね。
わからないならわからないと素直に言えばいいのに、
とソクラテスのおっちゃんも言うとったで。
Yuzuru Hiraga
ちょっと訂正。
# なんかヘンだと思った。
Yuzuru Hiraga wrote:
> 鴻池さんのは「２階差分の極限は２階微分」の精神に沿っているのですが：
>
>>f(x+Δx) = f'(x)Δx+f(x) ------(1)
>>f(x+2Δx) = f'(x+Δx)Δx+f(x+Δx) ------(1')
>>f'(x+Δx) = f''(x)Δx+f'(x) ------(2)
>
> これらはいずれも有限近似だから、誤差項が伴いますよね。
> 順に e1Δx, e2Δx, e3Δx とすると、
> e1, e2, e3 はいずれも Δx→0 のとき、→0。
> そうすると：
>
>>f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)=f''(x)(Δx)^2
>
> には実際には：
> f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)=f''(x)(Δx)^2 + (-e1+e2+e3)Δx
> {f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)}/(Δx)^2 = f''(x)+ (-e1+e2+e3)/Δx
> という誤差項がついて回る。
上の最後の２式は：
> f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)=f''(x)(Δx)^2 + (-e1+e2+e3Δx)Δx
> {f(x+2Δx)+f(x)-2f(x+Δx)}/(Δx)^2 = f''(x) + (-e1+e2)/Δx + e3
の誤りでした。すみません。
> これが始末できない。いや、実際には消えるんですが、やり方がわからない。
e3 の項は平和に消えてなくなる。
(-e1+e2)/Δx は -e1+e2 のほうが Δx より急速に 0 に近づけば消えるけど、
それとラグランジュの平均値の定理を使った f(x+ah), f(x-bh) の話とは
実質的に同じこと（たぶん）。
具体的な関数、例えば f(x)=x^2, f(x)=x^3 なんかでやってみれば一目瞭然なんですが。
鴻池さん：
> ほかにも，x+Δx=Xが変でした。
これは修正可能です。
> （平賀）
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHI wrote:
> >>>dy を f'(x)・△x と定義した場合には、dy は y が x のみの
> >>>函数であるときにしか意味を持たない。 しかるに、その場合、
> >>>dy は x と x_1 （但し、△x＝x_1－x とする）との函数で
> >>>あって、x のみの函数ではないのだから、d(dy) は意味を成さ
> >>>ない。 つまり、(d^2)y は意味を成さなくなってしまう。
> >>
> >>なんかすごくこんがらがっちゃってるみたいですね。
> >
> > 貴様が、意味が掴めずに「こんがらがっちゃってる」のだ。ヽ(＾。＾)ノ
>
> うっとーしーなー。
> 「dy を f'(x)・△x と定義した場合には、dy は y が x のみの
> 函数であるときにしか意味を持たない。 しかるに f(x) = ag(x), y=f(x)
> であるとき、y は a によって値が変わるから y は a と x との函数であって、
> x のみの函数ではないのだから、dy は意味を成さない。」
> と言っているのと同じこと。
またまた馬脚を現したな（爆笑＋嘲笑
y が x のみの函数である（即ち、y=f(x)である）とき、f(x)＝ag(x) とおいた
ならば、a は（変数ではなくて）定数だってことがワカランのか？
こんバカタレが！！！
Yuzuru Hiraga
>ならば、a は（変数ではなくて）定数だってことがワカランのか？
ヨチヨチ。
じゃ始めから y=ax としてごらん。y=xz だとどうなるかな？
# 完全にお子チャマ相手になってしまった。
もっとも迷怪答スレッドのほうの「f(x+h) を h で微分」が
この話の本質になっているんだけどね。
それが M_SHIRAISHI さんにできないのは当然と言えば当然か。
GON
>
> M_SHIRAISHI wrote:
> >>
> >>なんかすごくこんがらがっちゃってるみたいですね。
> >
> > 貴様が、意味が掴めずに「こんがらがっちゃってる」のだ。ヽ(＾。＾)ノ
>
> うっとーしーなー。
> > 何が「上の引用と全然関係ない」だ！
>
> 関係ないよ。
> > 「“x＝x”のグラフでも書いてみせろ」という、こちらの突っ込みに、
> > 愚かにも嵌って、「“x＝x”のグラフは直線だ」と答えていながら、
> > 今更、シラが切れるとでも思ったか？ （爆笑＋嘲笑
>
> 切ってないよ。
完璧エムシラの術中に嵌っちゃってるっつうか何つうかｗ
＃ 大方の人間はエムシラの人間性は経験上理解しているんで
＃ もはやエムシラの手には乗らないんですが、平賀さんが
＃ 真剣に（まあ本人はその気はないようですが）相手している様を見ると
＃ また１匹毒蛾に刺されて弄ばれてるなぁと・・・ｗ
＃ また、βακαμων！が来るかなぁ？ｗｗｗ
M_SHIRAISHI
> In article <800c7853.04042...@posting.google.com> eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) writes:
> > y が x のみの函数である（即ち、y=f(x)である）とき、f(x)＝ag(x) とおいた
> >ならば、a は（変数ではなくて）定数だってことがワカランのか？
>
dy を f'(x)・△x と定義してシマッタならば、y＝ax の場合には a が、
y＝xz の場合には z が、それぞれ定数でなければ、y＝ax や y＝xz に
おいては dy は意味を成さないってことだ。
# ワカランのか、その程度のことが！？！
> # 完全にお子チャマ相手になってしまった。
それは、こっちの台詞であることは、上述のことからして明らかだな。
# 今回の件と言い、「"x＝x"に“グラフ”があって、それは直線だ」と主張
していたことと言い、また、lim_{h→0} {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2」
なんてな“たわいも無い問題”を“案外難しい”と言ったりで、２ｃｈに
≪トンデモ Yuzuru 痰スレ≫が立つ条件はみごとに揃った様だな。ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI
> "Yuzuru Hiraga" <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message news:408F192E...@slis.tsukuba.ac.jp...
> >
> > M_SHIRAISHI wrote:
> > >>
> > >>なんかすごくこんがらがっちゃってるみたいですね。
> > >
> > > 貴様が、意味が掴めずに「こんがらがっちゃってる」のだ。ヽ(＾。＾)ノ
> >
> > うっとーしーなー。
>
> > > 何が「上の引用と全然関係ない」だ！
> >
> > 関係ないよ。
>
> > > 「“x＝x”のグラフでも書いてみせろ」という、こちらの突っ込みに、
> > > 愚かにも嵌って、「“x＝x”のグラフは直線だ」と答えていながら、
> > > 今更、シラが切れるとでも思ったか？ （爆笑＋嘲笑
> >
> > 切ってないよ。
>
> 完璧エムシラの術中に嵌っちゃってるっつうか何つうかｗ
>
> ＃ 大方の人間はエムシラの人間性は経験上理解しているんで
> ＃ もはやエムシラの手には乗らないんですが、
と思いながらも、いつも余の術中に嵌って居るのが、馬鹿ＧＯＮ、貴様だな。ヽ(＾。＾)ノ
それはそうとして、こっち↓の方は何とかならぬか？
http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1061747809/l50
２ｃｈでも「最低」の、便所の落書き的なページになってシマッテ居るが。
# まぁ、これも、馬鹿ＧＯＮの personality を反映しているのだと考え
れば、致し方の無いことか・・・・。
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> dy を f'(x)・△x と定義してシマッタならば、y＝ax の場合には a が、
> y＝xz の場合には z が、それぞれ定数でなければ、y＝ax や y＝xz に
> おいては dy は意味を成さないってことだ。
a や z が定数かそうでないかはどうやって区別します？
私はどっちであるとも言ってませんよ。
さらには、「a は定数である」と「a は定数でない」との違いは
どこにありますか？
# あ、こういう質問の仕方だと M_SHIRAISHI チャンにはわからないよね。
# まあそれが M_SHIRAISHI チャンの理解のほどの反映でもあるけど。
# どうせ「バカモン！」回答が帰ってくるだろうから、
# そのときに M_SHIRAISHI チャンにもわかるような質問に書き換えてあげるね。
> # 今回の件と言い、「"x＝x"に“グラフ”があって、それは直線だ」と主張
> していたことと言い、また、lim_{h→0} {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}/h^2」
> なんてな“たわいも無い問題”を“案外難しい”と言ったりで、
問題の難易度なんてあくまで相対的なものです。
・解析学の基本がわかっている人には「たわいもない問題」。
・「案外難しい」というのは、これが演習問題として取り上げられるような
層の標準レベルとしての話。まあ大学の初年級ぐらい、高校だと範囲から
ちょっと逸脱するかもしれないけど、受験問題レベルではありうる。
・M_SHIRAISHI チャンにとっては「途方もなく難しい問題」。
なにしろ全然できないんだから。
それにしても“たわいも無い問題”なんて言っちゃいけないなあ。
ちゃんとできるならまだしもだけどそれでも謙虚さはほしいし、
ましてや全然できないのに言うのでは全くの負け惜しみ、負け犬の遠吠え、
sour grapes になっちゃうでしょ？（前にもそう言ったよね。）
本問の特徴は、f(x) = x^2, x^3, ..., e^x, sin x, ... のような
具体的な関数の場合には簡単にできてしまう（ケースが多い）し、
そこから一般の場合の連想もつく。
だけどいざ一般的に示そうとすると案外やっかい。
陥りやすい落とし穴もいろいろあって、0 とか ∞ なんてのは頻出誤答。
# 具体例で試せばこれらが誤答であることはすぐわかるんだけど、
# そういうチェックすらしようとしないのが多い。
# それをするかしないかといった卑近なことが、
# 案外数学ができる／できないの決定的な分かれ道になる。
x=x が M_SHIRAISHI チャンに理解できない理由は後で教えてあげるね。
（気が向いたらだけど。）
GON
>
> http://science2.2ch.net/test/read.cgi/math/1061747809/l50
>
> ２ｃｈでも「最低」の、便所の落書き的なページになってシマッテ居るが。
>
>
> # まぁ、これも、馬鹿ＧＯＮの personality を反映しているのだと考え
> れば、致し方の無いことか・・・・。
ってか、そのスレってエムシラ御大のpersonalityがもろに反映されてるんですが？ｗｗｗ