fy=0, fxx=0のとき、fxxy=0 になる条件
S Satoh
早速質問いたします。よろしくお願いします。
関数 f(x,y) があって、fx(x,y)をxでの変微分、
fyy(x,y)をyでの２階偏微分と書くことにします。
また、適当な(x,y) たとえば(0,0)において、
fy(0,0)=0 で、fxx(0,0)=0であるとします。
この時、fxxy(0,0)=0となるには、
関数fにどのような条件が必要になるのでしょうか。
fに、具体的な関数をいろいろ与えて様子を見てみたのですが、
どのようにして考えればよいのか、何からはじめればよいのか
さっぱりわかりません。よろしくお願いします。
なお、私は、高校時代に数学を楽しく勉強していましたが、
それからは自習です。
----
万両・千両の季節です。
お体をお大事に。
M_SHIRAISHI
>
> 関数 f(x,y) があって、fx(x,y)をxでの変微分、
> fyy(x,y)をyでの２階偏微分と書くことにします。
>
> また、適当な(x,y) たとえば(0,0)において、
> fy(0,0)=0 で、fxx(0,0)=0であるとします。
> この時、fxxy(0,0)=0となるには、
> 関数fにどのような条件が必要になるのでしょうか。
>
> fに、具体的な関数をいろいろ与えて様子を見てみたのですが、
> どのようにして考えればよいのか、何からはじめればよいのか
> さっぱりわかりません。よろしくお願いします。
[fy(0,0)=0]＆[fxx(0,0)=0]であるとき、[fxxy(0,0)=0]と
なる為の（必要）条件を Ю{f} とします。
すると、件の問題は、
「fy(0,0)=0]＆[fxx(0,0)=0]であるならば、[fxxy(0,0)=0]*ならば*、
Ю{f}である」という(二階の)仮言命題を満たす未知の述型 Ю{f} を
求める
ということに帰着します。
このような述型 Ю{f} は、無限に（しかも、非可算無限に！）存在
することは、ただちに判ります。
Ю{f} ならば、Я{f} であるが、その逆は成立しない様な、Я{f}
も解であり、そのような Я{f} は、非可算無限に存在するから
です。
実際、Ю{f} が f(x,y)＝Ａ(x^m)(y^n) （但し、Ａは任意の実数定数
で、m. n は それぞれ、m≧3. n≧2 であるような任意の実数）の
形式の述型は、この問題の解の一種であることは明らかです。
M_SHIRAISHI ＠ The_New_York_Academy_of_Sciences
M_SHIRAISHI
> Ю{f} が f(x,y)＝Ａ(x^m)(y^n) （但し、Ａは任意の実数定数
> で、m. n は それぞれ、m≧3. n≧2 であるような任意の実数）の
> 形式の述型は、この問題の解の一種であることは明らかです。
f(x,y)＝Ａ(x^m)(y^n) （但し、Ａは任意の実数定数で、m. n は
それぞれ、m≧3. n≧2 であるような任意の実数）であることは、
勿論、[fy(0,0)=0]＆[fxx(0,0)=0]であるとき、[fxxy(0,0)=0]と
なる為の充分条件であって、必要条件では（恐らく）ないでしょう
が、充分条件となるような函数でさえ、非可算無限に存在するの
だから、必要条件となるような函数は、当然、非可算無限に存在
することになります。
M_SHIRAISHI
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote in message news:<800c7853.0402...@posting.google.com>...
> "S Satoh" <s-s...@mug.biglobe.ne.jp> wrote in message news:<bvb4ig$iaq$1...@bgsv5648.tk.mesh.ad.jp>...
> >
> > 関数 f(x,y) があって、fx(x,y)をxでの変微分、
> > fyy(x,y)をyでの２階偏微分と書くことにします。
> >
> > また、適当な(x,y) たとえば(0,0)において、
> > fy(0,0)=0 で、fxx(0,0)=0であるとします。
> > この時、fxxy(0,0)=0となるには、
> > 関数fにどのような条件が必要になるのでしょうか。
> >
> > fに、具体的な関数をいろいろ与えて様子を見てみたのですが、
> > どのようにして考えればよいのか、何からはじめればよいのか
> > さっぱりわかりません。よろしくお願いします。
>
>
>
> [fy(0,0)=0]＆[fxx(0,0)=0]であるとき、[fxxy(0,0)=0]と
> なる為の（必要）条件を Ю{f} とします。
>
> すると、件の問題は、
>
> 「fy(0,0)=0]＆[fxx(0,0)=0]であるならば、[fxxy(0,0)=0]*ならば*、
> Ю{f}である」という(二階の)仮言命題を満たす未知の述型 Ю{f} を
> 求める
>
> ということに帰着します。
>
> このような述型 Ю{f} は、無限に（しかも、非可算無限に！）存在
> することは、ただちに判ります。
>
> Ю{f} ならば、Я{f} であるが、その逆は成立しない様な、Я{f}
> も解であり、そのような Я{f} は、非可算無限に存在するから
> です。
そういうわけで、Ю{f} は、無限に存在するので、一意には定めようが
無いってのが、件の問題の答です。
M_SHIRAISHI
# あらかじめ お断りしておきますが、この投稿では、私が思って
いることを、歯に衣を着せず、ストレートに書きます。
従って、元記事の佐藤さん及び一般の読者諸氏の感情を害する
部分もあるやも知れませんが、ご容赦あれ。
又、“述型”とか“論階”とかいった、ＲＬ(the Reformed
Theory of Logic)の術語を何の解説もせずに用いますが、
これについては、http://www6.ocn.ne.jp/~eurms/Honron-3.html#02-3
を参照してください。
前置きが長くなりましたが、このへんで本論に入ります。
件の問題を、「～である為の必要条件は何か？」から、「～である為の
必要条件の一つは何か？」に変えると、≪馬鹿らしい程、易しい問題≫
になります。
［ f が x について、少なくとも１回は偏微分可能である］ことでも、
立派に（？）正解になってしまうからです。
しかし、元記事の佐藤さんは、「～である為の必要条件の一つは何か？」
でないことは勿論、「～である為の必要条件は何か？」でもなくて、
恐らく、「～である為の必要で充分な条件は何か？」を知りたかった
のではあるまいかと想像します。
もしそうだとして、これをＲＬの記号法と術語を使って定式化すると、
次のようになります：－
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
双条件命題(biconditional)：〔[fy(0,0)=0]&[fxx(0,0)=0]⇒/x/fxxy(0,0)=0〕
⇔/f/〔Ю{f(x,y)}〕 が成立するような Ю{f(x,y)} を求めよ．
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
そして、その答は、恐らく、 Ю{f(x,y)}：f(x,y)}＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n)
--- 但し、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能でかつ y について一回偏微分
可能な任意の函数であり、m, n は それぞれ m≧3, n≧2 であるような任意の
実数である。（尚、記号*は乗法を表わす。）--- ではないかと予想するのです
が、そのことを証明するのは、なかなか厄介なのではという予感がします。
尤も、充分条件であることは明らかですが・・・。
# しかし、率直に言って、私には、この問題にどれほどの価値があるとも思え
ないので、証明に費やす時間のほうが「もったいない」気がします。
## 関心がおありなら、証明は御自分でお考えください。 ご幸運を！
尚、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能でかつ y について一回偏微分可能な
任意の函数であり、m, n は それぞれ m≧3, n≧2 であるような任意の実数なの
だから、Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n) は一意には定まらないわけですが、「"形式"は
同じです。 こういう場合、「述型としては一意に決まる」と言います。
そうは言っても、前記事に書いた通り、「必要条件だけなら、一意には定まら
ない」ことに変わりはありません。 このことは、「 f が x について、少なく
とも１回は偏微分可能である］ことと「f が y について、少なくとも１回は
偏微分可能である」とが同値ではないにもかかわらず、どちらも、「fy(0,0)=0
で、fxx(0,0)=0であるとき fxxy(0,0)=0」となる為の必要条件であること
からも明らかです。
M_SHIRAISHI
> --- 但し、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能でかつ y について一回偏微分
> 可能な任意の函数であり、m, n は それぞれ m≧3, n≧2 であるような任意の
> 実数である。（尚、記号*は乗法を表わす。）--- ではないかと予想する
うっかりして、積分定数を書き添えておくのを忘れていました。 ( ^ ^ ;)
上記で f(x,y)}＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n) と書いた箇所を
f(x,y)}＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n)＋C と訂正しておきます。 m(_ _)m
Yuzuru Hiraga
In message <800c7853.0402...@posting.google.com> eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> そして、その答は、恐らく、 Ю{f(x,y)}：f(x,y)}＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n)
> --- 但し、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能でかつ y について一回偏微分
> 可能な任意の函数であり、m, n は それぞれ m≧3, n≧2 であるような任意の
> 実数である。（尚、記号*は乗法を表わす。）--- ではないかと予想するのです
> が、そのことを証明するのは、なかなか厄介なのではという予感がします。
ううう。いいかげんにしてほしい。
こう延々と得意げに書かれると、却ってあわれに感じられてきますが。
それにしてもねえ。
=====
簡単のため f(x,y) はテーラー展開可能とします。
すると：
(A) fy(0,0) = fxx(0,0) = 0 という条件から、f(x,y) は下のように書けます。
f(x,y) = a + bx + cxy + dy^2 + （x, y の３次以上の項）...
(B) さらに fxxy(0,0) = 0 という条件を加えると：
f(x,y) = a + bx + cxy + dy^2 + px^3 + qxy^2 + ry^3
+ （x, y の４次以上の項）...
「n 次以上の項」の部分はなんでもよく、例えば項数が有限なら f(x,y) は
x, y の多項式になりますが、それらはすべて問題の条件を満たします。
> うっかりして、積分定数を書き添えておくのを忘れていました。 ( ^ ^ ;)
あああああ。テーラー展開も知らないんだろうか？
=====
元の問題に戻ると、(A) が成り立つことと (B) が成り立つことの間には、
「fxx(0,0)=0 が成り立つ」という同語反復以上に簡潔 and/or 意味のある
表現ができるとも思えません。
x の階数を減らして：
「fx(0,0)=fy(0,0)=0（つまり (0,0) は停留点）のとき、fxy(0,0)=0
となるのはどういう場合か」
と聞かれても、それは f(x,y) の方向性についての情報はありますが、
あまり重要とも思えません。（座標軸を回転しただけで変わっちゃうし。）
質問者にはこれが何か理由があっての質問なのか、単なる思いつきなのかを
言ってもらえばもう少しは何か言えるかもしれませんが。
（平賀＠筑波大）
M_SHIRAISHI
>
> 簡単のため f(x,y) はテーラー展開可能とします。
βακαμων！
何が「簡単のため f(x,y) はテーラー展開可能とします」だ。
ヽ(^。^)ノ
#「〔fy(0,0)=0]＆[fxx(0,0)=0]ならば[fxxy(0,0)=0]である〕
為には、f(x,y) が テーラー展開可能であることが必要である」
ということを*証明した後*でなくては、f(x,y) をテーラー展開
することなど許されぬワ！
## ワカランのか、その程度のことが！ 人様に言われなくとも！
> テーラー展開も知らないんだろうか？
Taylor's expansin も Maclaurin's expansion も
Laurent's expansion も Fourier's expansion も、
余は、みーんな、知って居るワ。 ヽ(^。^)ノ
M_SHIRAISHI
> f(x,y) = a + bx + cxy + dy^2 + （x, y の３次以上の項）
f(x,y)＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n) --- 但し、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能で
かつ y について一回偏微分可能な任意の函数であり、m. n は それぞれ、m≧3. n≧2
であるような任意の実数 --- において、m, n を それぞれ m＝3, n＝2 とし、且つ、
Ａ(x,y)＝ a／{(x^3)*(y^2)} + b／{(x^2)*(y^2)} + c／{(x^2)*(y^1)} +
d／{(x^3)*(y^0)}+ （Ｋ／{(x^r)*(y^s)}）--- ここで、r, s はそれぞれ r≦0, r≦-1
である様な整数 --- ととれば、
f(x,y)＝ a + bx + cxy + dy^2 + （x, y の３次以上の項）
となるじゃないか！
> (B) さらに fxxy(0,0) = 0 という条件を加えると：
> f(x,y) = a + bx + cxy + dy^2 + px^3 + qxy^2 + ry^3
> + （x, y の４次以上の項）
こちらついても、同様。 ヽ(^。^)ノ
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> βακαμων！
あ、元気そうですね。よかったよかった。
マジに落ち込んじゃってたら悪かったかな、と思って。
> #「〔fy(0,0)=0]＆[fxx(0,0)=0]ならば[fxxy(0,0)=0]である〕
> 為には、f(x,y) が テーラー展開可能であることが必要である」
> ということを*証明した後*でなくては、f(x,y) をテーラー展開
> することなど許されぬワ！
あ、テーラー展開では難しかったですか。
なら「多項式」でもいいですよ。議論は同じだから。
「考える範囲を多項式（あるいはテーラー展開可能な関数）の範囲に
限ってもすでにナンセンスである議論は、より一般の場合でも
そのままナンセンス。」
ということです。
もっとも表面的にはそうメチャクチャ間違っているわけでもなくて：
> そして、その答（←「～である為の必要で充分な条件は何か？」の答え）
> は、恐らく、 Ю{f(x,y)}：f(x,y)}＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n)
> --- 但し、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能でかつ y について一回偏微分
> 可能な任意の函数であり、m, n は それぞれ m≧3, n≧2 であるような任意の
> 実数である。（尚、記号*は乗法を表わす。）--- ではないかと予想するのです
上で明らかに「間違い」と言えるのは、これを「必要条件」としている
部分ですね。まあそれもあくまで「予想」として述べているだけだけど。
> 尤も、充分条件であることは明らかですが・・・。
はい、細かいことを気にしなければそれは OK。
# 細かいこととしては、Axxy の存在なんかも必要でしょうが。
# なお「一回、二回」は「１階、２階」と書きべきでしょうね。
しかし問題なのは、数学的センスがどーしよーもなく悪いとか、
基礎的な知識・能力が全然備わっていない、といった点なんです。
試験でもよくありますね。答えだけは合っているけど、解き方とか
考え方がおかしい答案。
ちなみに多項式の範囲に限れば、fxx(0,0) = fy(0,0) = fxxy(0,0) = 0 を
満たすのは：
(A) f(x,y) = a + bx + cxy + dy^2 + px^3 + qxy^2 + ry^3
+ （x, y の４次以上の項）
の形のもの全体。a, ..., r は任意の実数で、0 でもかまわない。
M_SHIRAISHI さんの A(x,y) x^m y^n はこれを全部 0 としたような
ものです（もっとも m, n は整数ではなく、実数とされていたりするので、
直接対応するわけではありませんが）。
ただ老婆心ですが、間違っても
「A(x,y), m, n を適当にとれば (A) の形にもできる」
なんてことは言わないでくださいね。傷口を広げるだけだから。
これは friendly advice。
> Taylor's expansin も Maclaurin's expansion も
> Laurent's expansion も Fourier's expansion も、
> 余は、みーんな、知って居るワ。
「知って」はいるでしょうね。
だけど内容をきちんと理解し、必要なところで適切に使えなければ
「わかった」ことにはならないんです。
なお過去の例から類推すると、そろそろ「錯乱モード」に突入しそうなので
私としてはこのへんで切上げたいです。
（平賀＠筑波大）
PS:
前便で：
I wrote:
> 元の問題に戻ると、(A) が成り立つことと (B) が成り立つことの間には、
> 「fxx(0,0)=0 が成り立つ」という同語反復以上に簡潔 and/or 意味のある
> 表現ができるとも思えません。
と書きましたが、fxx(0,0)=0 は fxxy(0,0)=0 でした。すみません。
ついでだけど、「不世出」と「不出世」はやはり反意語ですかねえ。
出世できないようなら不世出にはなれないだろうから。
Yuzuru Hiraga
あちゃあ。やっぱりやっちゃいましたか。
傷口を広げましたね。
M_SHIRAISHI wrote:
> f(x,y)＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n) --- 但し、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能で
> かつ y について一回偏微分可能な任意の函数であり、m. n は それぞれ、m≧3. n≧2
> であるような任意の実数 --- において、m, n を それぞれ m＝3, n＝2 とし、且つ、
>
> Ａ(x,y)＝ a／{(x^3)*(y^2)} + b／{(x^2)*(y^2)} + c／{(x^2)*(y^1)} +
> d／{(x^3)*(y^0)}+ （Ｋ／{(x^r)*(y^s)}）--- ここで、r, s はそれぞれ r≦0, r≦-1
> である様な整数 --- ととれば、
>
> f(x,y)＝ a + bx + cxy + dy^2 + （x, y の３次以上の項）
>
> となるじゃないか！
水漏れが起こっている箇所を手でふさいだら、別のところでも
水漏れが始まったので、そちらに手を移して「漏れを止めたぞ！」
と言っているようなものですね。
後学のためにお聞きしますが、A(0,0) の値はなんです？
偏微分できるそうなので、Ay(0,0) とか Axx(0,0) とかの値も。
やっぱり錯乱モードになっちゃいましたね。
（平賀）
PS: 前便で：
> M_SHIRAISHI さんの A(x,y) x^m y^n はこれを全部 0 としたような
> ものです（もっとも m, n は整数ではなく、実数とされていたりするので、
> 直接対応するわけではありませんが）。
と書きはしたのですが、f(x,y) = x^3 y のようなものもあるので、
やはり対応付けはムリですね。
M_SHIRAISHI
>
> ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
>
> 双条件命題(biconditional)：〔[fy(0,0)=0]&[fxx(0,0)=0]⇒/x/fxxy(0,0)=0〕
> ⇔/f/〔Ю{f(x,y)}〕 が成立するような Ю{f(x,y)} を求めよ．
>
> ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
>
> そして、その答は、恐らく、 Ю{f(x,y)}：f(x,y)}＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n)
> --- 但し、Ａ(x,y) は x について二回偏微分可能でかつ y について一回偏微分
> 可能な任意の函数であり、m, n は それぞれ m≧3, n≧2 であるような任意の
> 実数である。（尚、記号*は乗法を表わす。）--- ではないかと予想するのですが、
or rather,
「Ａ(x,y)を、x について二回偏微分可能でかつ・・・・な任意の函数としてじゃ
なくて、*適当な函数として* f(x,y)}＝Ａ(x,y)*(x^m)*(y^n)と書けること
（但し、m, n は それぞれ m≧3, n≧2 であるような任意の実数）」かな。
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHI wrote:
>
> > #「〔fy(0,0)=0]＆[fxx(0,0)=0]ならば[fxxy(0,0)=0]である〕
> > 為には、f(x,y) が テーラー展開可能であることが必要である」
> > ということを*証明した後*でなくては、f(x,y) をテーラー展開
> > することなど許されぬワ！
>
> 限ってもすでにナンセンスである議論は、より一般の場合でも
> そのままナンセンス。」
> ということです。
考える範囲を、テーラー展開可能な関数に限って、それで成り立つと
主張していたのほ、他でも無い、ソチだろが。 ヽ(＾。＾)ノ
GON
> > βακαμων！
>
> あ、元気そうですね。よかったよかった。
> マジに落ち込んじゃってたら悪かったかな、と思って。
エムシラ御大を落ち込ますほどの人間はまずいないでしょうね。
彼の位相と同調できる人間というのはある意味（ｒｙ
エムシラのバカの壁ポテンシャルを量子論的にすり抜けるには
ある種の位相同調がないと無理でしょう。その確率は10^(-40)ですから（笑）
宇宙の年齢たってもまず無理でしょう。陽子崩壊の確率よりはるかに低い
確率です。
> ついでだけど、「不世出」と「不出世」はやはり反意語ですかねえ。
> 出世できないようなら不世出にはなれないだろうから。
最近の説ではこの「不出世」というワードは御大自らが文中に意図的に配した
ＮＧワードではないかといううわさもありますｗ。ＮＧの突っ込みさんに突っ込んで
貰いたいんでしょうね。（笑）
これがＮＧワードではないかという理由は、仮名入力中に「ふせいしゅつ」を
「ふしゅっせい」とは入力しないだろうと考えられるからです。これは別に
ローマ字変換だろうが仮名漢字変換だろうが同じです。つまり、御大は
とにかくなりふり構わず突っ込んでもらいたいがために（笑）わざとＮＧワード
をちりばめたんでしょうね。
＃ まぁ、エムシラ御大は私の蒔いたＮＧワードには良くパク付いてますけどねｗ
M_SHIRAISHI
その場合に言う“馬鹿の壁”とは、トンデモ馬鹿ＧＯＮなどには
乗り越えられない壁のことだな。 ヽ(^。^)ノ
ところで、このところ、患者が多くて忙しくてな。 数学の問題
なんてなもんは落ち着いて考える暇など無い。
死なせてしまった患者が、たったの４人しかおらず、あとは全員
全快させたのが余の誇りじゃ。 ヽ(^。^)ノ
# 海外でも多くの人々を治療して、有り難がられた。
外傷には、よくヨードチンキを使った。 あれは「痛い」が、
よく効くからな。 そして、薬をつけたり飲んだりして、
痛かったり、苦かったりすると、患者は「傷とか病気にその
薬がよく効く」という心理状態になるんだよな。 そうなる
と、薬は更によく効く。いわゆる“placebo効果”ってやつだ。
よくこの台詞を使ったものだった；－
"Endure the unendurable!"
GON
> ところで、このところ、患者が多くて忙しくてな。 数学の問題
> なんてなもんは落ち着いて考える暇など無い。
>
> 死なせてしまった患者が、たったの４人しかおらず、あとは全員
> 全快させたのが余の誇りじゃ。 ヽ(^。^)ノ
とうとう開き直ったかｗ
> # 海外でも多くの人々を治療して、有り難がられた。
それは*治療*じゃなくて*痴漁*だろｗ
M_SHIRAISHI
> 後学のためにお聞きしますが、A(0,0) の値はなんです？
> 偏微分できるそうなので、Ay(0,0) とか Axx(0,0) とかの値も。
Ａ(x,y)＝ a／{(x^3)*(y^2)} + b／{(x^2)*(y^2)} + c／{(x^2)*(y^1)} +
d／{(x^3)*(y^0)} + （Ｋ／{(x^r)*(y^s)}）とした場合、
f(x,y) は x,y=(0,0)では定義されていないが、それ以外では、 a＋bx＋cxy＋dy^2＋(Kx^(m-r)y^(n-s)
として定義されているだろが、
だから、x,y=(0,0)の場合は、f(x,y)＝a＋bx＋cxy＋dy^2＋(Kx^(m-r)y^(n-s) として
*強引に*定義してしまうんだ。
一種の「解析接続」ってわけだな。
この場合、Ａ(0,0)Ay(0,0) とか Axx(0,0) とかは、無定義のままであっても
一向に構わない。