Quiz_20i2004
M_SHIRAISHI
問題です。
# 以前、ここ(fj.sci.math)に投稿したことがあるのだけれど、その
当時とは、読者層も替わっていると思うので、再投稿します。
お楽しみあれ。 ヽ(^。^)ノ
【問題】 仮釈放を申請した３人の囚人 Ａ，Ｂ，Ｃ がいて、Ａは
看守から「Ａ，Ｂ，Ｃ の３人のうち、２人にだけ許可が下りた。」
と知らされたが、「その中に君(Ａ)が含まれているのかについては、
釈放当日まで教えられない。」と告げられた。 そこで、Ａは「自分
自身に関することでなかったならば、尋ねても差し支えあるまい。」
と考え、「Ｂ，Ｃ のうちでいいから、釈放される囚人を１人だけ
教えて貰えまいか？」と看守に頼んだ。 看守はその要求を受け入れ、
「Ｂは釈放される。」とＡに教えた。 これを聞いたＡは「しまった！
馬鹿なことしてしまった。 "Ｂは釈放される"ということを教えて
貰う前は、俺が釈放される確率は 2/3 だったのに、"Ｂは釈放される"
ということを知ってしまった今、釈放される残りの１人は、俺(Ａ)か
Ｃかのどちらか一方なのだから、俺の釈放される確率は 1/2 に
減ってしまった！」と悔やんだ。
さて、Ａのこの判断は正しいのだろうか？
## ある学会でこの問題が紹介された際には、１時間余り、正解を
めぐって、議論が沸騰したとか。
M_SHIRAISHI ＠ The_New_York_Academy_of_Sciences
Satoshi Nakajima
> さて、Ａのこの判断は正しいのだろうか？
誰もこたえないみたいなので、マナイタの上にのります。
ぼくのこたえです。どんな感じでしょう。
場合わけをして考えるものとします。
○「Ａのこの判断」
Ａの判断という言葉が「自分自身に関することでなかったならば、尋ねても差し支えある
まい。」という判断をさすのであれば、看守がその要求を受け入れたのだから、その判断
は正しかった。
Ａの判断という言葉が「「しまった！馬鹿なことしてしまった。」という判断をさすので
あれば、「馬鹿なことであるか否か」という問いは命題として認めにくいので、その判断
が正しかったかどうかの判断はできない。
Ａの判断という言葉が「"Ｂは釈放される"ということを教えて貰う前は、（…中略…）俺
の釈放される確率は 1/2 に減ってしまった！」という判断をさすのであれば、更に次の
ように場合わけをする。
○「Ａ，Ｂ，Ｃ の３人のうち、２人にだけ許可が下りた。」という条件
許可の下りた２人がこの時点ですでに決められていた場合、Ａが釈放されるかどうかとい
う事実は（Ａは知らないにしても既に決定しているので）変化しない。従って、「釈放さ
れる確率が変化した」のではなく、「（分母が減ることにより）釈放される期待値が変化
した」とすべきだったので、正しくない。
「３人のうち２人だけに許可」という条件のみが決まっていて、どの２人かは決まってお
らず、看守が「Ｂは釈放される。」とＡに教えた時点で１人を決定していたのであれば、
その決定によりＡの釈放される確率は変化している。従って判断は正しい。
==
nakajima
Shinji KONO
In article <bulosd$3q1$1...@x1wa.gunma-ct.ac.jp>, "Satoshi Nakajima" <naka...@chem.gunma-ct.ac.jp> writes
> その決定によりＡの釈放される確率は変化している。従って判断は正しい。
どういう確率かっていうと、もう事象は起こっているので、主観確
率の話なんですよね。
そりゃ、変わるけど、どうせ事象は起こってしまっているので、し
まったと思うようなこっちゃないだろってのが僕の考え。なんで、
この問題、いまいち面白くないです。
> > ## ある学会でこの問題が紹介された際には、１時間余り、正解を
> > めぐって、議論が沸騰したとか。
ありがち。
---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus,
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科,
Shin-ichi TSURUTA
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> 【問題】 仮釈放を申請した３人の囚人 Ａ，Ｂ，Ｃ がいて、Ａは
> 看守から「Ａ，Ｂ，Ｃ の３人のうち、２人にだけ許可が下りた。」
> と知らされたが、「その中に君(Ａ)が含まれているのかについては、
> 釈放当日まで教えられない。」と告げられた。 そこで、Ａは「自分
> 自身に関することでなかったならば、尋ねても差し支えあるまい。」
> と考え、「Ｂ，Ｃ のうちでいいから、釈放される囚人を１人だけ
> 教えて貰えまいか？」と看守に頼んだ。 看守はその要求を受け入れ、
> 「Ｂは釈放される。」とＡに教えた。 これを聞いたＡは「しまった！
> 馬鹿なことしてしまった。 "Ｂは釈放される"ということを教えて
> 貰う前は、俺が釈放される確率は 2/3 だったのに、"Ｂは釈放される"
> ということを知ってしまった今、釈放される残りの１人は、俺(Ａ)か
> Ｃかのどちらか一方なのだから、俺の釈放される確率は 1/2 に
> 減ってしまった！」と悔やんだ。
>
> さて、Ａのこの判断は正しいのだろうか？
間違い。釈放される確率は変化しない。
事象の起る確率と、既に確定した事象に対するリストの作成の確率
を同列に扱う事が既に間違っている。もしくは時系列及び順序に依
存する確率の扱いについての理解がない。
1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
はずれた人、998人に名乗り上げてもらえば、自分の当たる確率は
1/2になると言っているのと同じ。
釈放にしろ、くじにしろ、納得するまで何度もやって統計をとれば
誰でもわかること。
____________________________________________________________
Name : Shin-ichi TSURUTA 鶴田 真一 (as SYN)
E-mail : s...@emit.jp
URL : http://www.emit.jp/
M_SHIRAISHI
Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> wrote in message news:<bum91s$29j$1...@nwall2.odn.ne.jp>
> 1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
> はずれた人、998人に名乗り上げてもらえば、自分の当たる確率は
> 1/2になると言っているのと同じ。
しかし、その場合の確率なら、1/2 は「正解」でしょう。
自分が当たっているのか、残りの一人が当たっているのかの
いずれかで、両方が同様に確からしいのだから。
M_SHIRAISHI
>
> どういう確率かっていうと、もう事象は起こっているので、主観確
> 率の話なんですよね。
主観的確率は、各自の主観によって、いろいろな値を付与できるけれども、
この問題の場合の確率値はただ一つであり、それが（囚人Ａが考えたように）
1/2 になってしまったのか否かということなので、この問題の確率は主観的
確率ではないでしょう。
Shin-ichi TSURUTA
いいえ。違います。
実は「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」にマジックがあ
ります。
嘘だと思うのなら、1000人集めて、1000回ぐらい実験してください。
というのは冗談ですが、思考実験でも簡単にわかります。
1/2になる場合と言うのは、
『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
です。
Satoshi Nakajima
> eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> > Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> wrote in message
news:<bum91s$29j$1...@nwall2.odn.ne.jp>
> > > 1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
> > > はずれた人、998人に名乗り上げてもらえば、自分の当たる確率は
> > > 1/2になると言っているのと同じ。
> > しかし、その場合の確率なら、1/2 は「正解」でしょう。
> >
> > 自分が当たっているのか、残りの一人が当たっているのかの
> > いずれかで、両方が同様に確からしいのだから。
>
> いいえ。違います。
>
> 実は「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」にマジックがあ
> ります。
>
> 嘘だと思うのなら、1000人集めて、1000回ぐらい実験してください。
> というのは冗談ですが、思考実験でも簡単にわかります。
>
> 1/2になる場合と言うのは、
> 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
> であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
> です。
鶴田さん、『』の文と、下の再引用した文は、本質的にどこが違うのか
教えていただけませんか。
> > > 1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
> > > はずれた人、998人に名乗り上げてもらえば、自分の当たる確率は
『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」である』
確率も、
>>> 各人が一つずつ引き、自分以外ではずれた人が 998人に名乗り上げる
ことが可能である確率も
どちらも1/500で同じと読んでいたのですが。
Otsuka Katsumi
> > > > 1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
> > > > はずれた人、998人に名乗り上げてもらえば、自分の当たる確率は
>
> 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」である』
> 確率も、
> >>> 各人が一つずつ引き、自分以外ではずれた人が 998人に名乗り上げる
> ことが可能である確率も
> どちらも1/500で同じと読んでいたのですが。
1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引いた時は、自分以外で
はずれた人は必ず998人以上います。従って、自分以外の全員が結果を知っ
ているならば、自分以外ではずれた人が 998人名乗り上げることが可能で
ある確率は1.0です。
--
おおつか かつみ
e-mail:ot...@kajima.com
M_SHIRAISHI
> >その場合の確率なら、1/2 は「正解」でしょう。
> >
> > 自分が当たっているのか、残りの一人が当たっているのかの
> > いずれかで、両方が同様に確からしいのだから。
>
> いいえ。違います。
>
> 実は「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」にマジックがあ
> ります。
>
> 嘘だと思うのなら、1000人集めて、1000回ぐらい実験してください。
> というのは冗談ですが、思考実験でも簡単にわかります。
>
> 1/2になる場合と言うのは、
> 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
> であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
> です。
先ず、自分のクジが当たっていたかハズレていたかは未だ不明。
ハズレていたことが判明した 998人には名乗り出て貰ったが、
残りの一人については、たとえ、ハズレていたとしても、名乗り
でないという設定なので、その人がクジに当たっていたか、ハズレ
ていたかは五分五分。つまり、その人がクジにハズレている確率
は 1/2。 従って、自分が当たっている確率は 1/2 ■
M_SHIRAISHI
> ???????????
>
> > ???????????????????
>
> ??????????????????????????
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M_SHIRAISHI
>
> > さて、Ａのこの判断は正しいのだろうか？
>
> 誰もこたえないみたいなので、マナイタの上にのります。
その「勇気」を讃えて、オリジナル写真集『ロシアの印象』を、
後日、お贈りします。
Shin-ichi TSURUTA
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> wrote in message news:<buopgl$2a7g$1...@nwall1.odn.ne.jp>...
> > 実は「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」にマジックがあ
> > ります。
> > 嘘だと思うのなら、1000人集めて、1000回ぐらい実験してください。
> > というのは冗談ですが、思考実験でも簡単にわかります。
> > 1/2になる場合と言うのは、
> > 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
> > であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
> > です。
> 先ず、自分のクジが当たっていたかハズレていたかは未だ不明。
> ハズレていたことが判明した 998人には名乗り出て貰ったが、
> 残りの一人については、たとえ、ハズレていたとしても、名乗り
> でないという設定なので、その人がクジに当たっていたか、ハズレ
> ていたかは五分五分。つまり、その人がクジにハズレている確率
> は 1/2。 従って、自分が当たっている確率は 1/2 ■
ネタのために、わざと間違いを主張していませんか？
M_SHIRAISHIさんがこんな単純なこと判らないはずがありません。
1/2になる場合というのは、私が上記に書いたような場合であり、
「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」の方は、
くじを引いたときの、
自分以外に「あたり」がある確率 999/1000
自分に「あたり」がある確率 1/1000
から何も変わっていません。
どうしても納得いかないなら、私とM_SHIRAISHIさんで、博打で勝
負しませんか？
1. 1000本に1本だけ当たるくじを作ります。
2. 私が991本くじを引きます。M_SHIRAISHIさんが9本くじを引き
ます。
3. 私が990本のはずれを公開します。M_SHIRAISHIさんは自分のく
じを見ないでください。
この時点でM_SHIRAISHIさんは、M_SHIRAISHIさんの当たる確率
を9/10と考えるわけですよね。
4. 残り全部を両者が同時に公開して、あたりがあった方が相手か
ら1万円もらえるとします。
5. 1.に戻る。
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
>>>その場合の確率なら、1/2 は「正解」でしょう。
>>>
>>>自分が当たっているのか、残りの一人が当たっているのかの
>>>いずれかで、両方が同様に確からしいのだから。
...
> 先ず、自分のクジが当たっていたかハズレていたかは未だ不明。
> ハズレていたことが判明した 998人には名乗り出て貰ったが、
> 残りの一人については、たとえ、ハズレていたとしても、名乗り
> でないという設定なので、その人がクジに当たっていたか、ハズレ
> ていたかは五分五分。
なぜ「両者が同様に確からしい」のか、「五分五分」なのかを
きちんと説明しましょう。
その間によいこのみなさんは、なぜ五分五分では「いけない」のか
を考えましょう。
# ってとっくに考えているか。
Satoshi Nakajima wrote:
> 1/2になる場合と言うのは、
>> 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
>> であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
>> です。
>
> 鶴田さん、『』の文と、下の再引用した文は、本質的にどこが違うのか
> 教えていただけませんか。
>
>>> 1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
>>> はずれた人、998人に名乗り上げてもらえば、自分の当たる確率は
テレビの早押しクイズのように、各人が早押しボタンを持っている
場合を考えてみましょう。各人には番号がついていて、
「自分」の番号は最後の 1000 とします。
で、はずれクジの人にボタンを押してもらいます。
ボタンを押したかどうかは本人（と集計システム）にしか
わからなものとします。
（その１）
「自分」（だけ）はクジを見ていないので、
このボタン押しに加わらなかったとしましょう。
したがってボタンを押した人は、残り 999 人中の 998 人か 999 人です。
集計システムは早押しした順に、998 位までの番号を表示したとします。
つまり押した人全員の番号を表示するか（998 人の場合）、
最後に押した１人の番号以外を表示するか（999 人の場合）のいずれかです。
# もっとも別に「早押し順」でなく、「ランダムに 998 人を選択して」
# でもかまいません。
すると 1-999 のうち、１つの番号だけが表示されません。
その表示されない番号（例えば 536）がわかったとして、
自分が当たりである確率はいくらでしょう？
（その２）
今度は集計システムは、早押し順ではなく、番号の小さい順に、
998 個まで表示したとします。
表示されなかった番号が 1-999 の各々の場合について、
自分が当たりである確率はいくらでしょう？
どの番号が表示されないかは互いに等確率で起こるとすれば、
自分が当たりである全体的確率はいくらでしょう？
（その３）
今度は「自分」もクジを見て、ボタン押しに加わったとします。
ところが「自分」（だけ）のボタンが故障していて、
押した、押さないの如何に関わらず、「押さなかった」ものとして
システム側では処理されたとします。
システムは（その１）同様、998位までの番号を表示します。
ここで第３者（第 1001 者というべきか）が表示結果を見ました。
(a) 第３者が「自分」（つまり番号 1000）のボタンが故障している
ことを知らなかった場合、「自分」が当たりである確率は
いくらと判断するでしょう？
(b) 故障していることを知っていた場合はどうなりますか？
（平賀＠筑波大）
M_SHIRAISHI
次のような「思考実験」をしてみましょう：－
二人の人Ａ，Ｂがいて、Ｂは白い球 999個と赤い球 1個とを持って
いるとします。 そして、白い球 998個を自分のもとに残した後で、
残りの 2個の中から 1個だけをＡに渡すこととします。
Ａに渡った球が赤球である確率は、まぎれもなく、1/2 ■
# これは、最初の「囚人のパラドックス」とは、全く別の問題です。
M_SHIRAISHI
> “ベルトラン(Bertrand)のパラドックス”と並ぶ、確率論では有名な
> 問題です。
>
> # 以前、ここ(fj.sci.math)に投稿したことがあるのだけれど、その
> 当時とは、読者層も替わっていると思うので、再投稿します。
>
> お楽しみあれ。 ヽ(^。^)ノ
>
>
> 【問題】 仮釈放を申請した３人の囚人 Ａ，Ｂ，Ｃ がいて、Ａは
> 看守から「Ａ，Ｂ，Ｃ の３人のうち、２人にだけ許可が下りた。」
> と知らされたが、「その中に君(Ａ)が含まれているのかについては、
> 釈放当日まで教えられない。」と告げられた。 そこで、Ａは「自分
> 自身に関することでなかったならば、尋ねても差し支えあるまい。」
> と考え、「Ｂ，Ｃ のうちでいいから、釈放される囚人を１人だけ
> 教えて貰えまいか？」と看守に頼んだ。 看守はその要求を受け入れ、
> 「Ｂは釈放される。」とＡに教えた。 これを聞いたＡは「しまった！
> 馬鹿なことしてしまった。 "Ｂは釈放される"ということを教えて
> 貰う前は、俺が釈放される確率は 2/3 だったのに、"Ｂは釈放される"
> ということを知ってしまった今、釈放される残りの１人は、俺(Ａ)か
> Ｃかのどちらか一方なのだから、俺の釈放される確率は 1/2 に
> 減ってしまった！」と悔やんだ。
>
> さて、Ａのこの判断は正しいのだろうか？
>
>
> ## ある学会でこの問題が紹介された際には、１時間余り、正解を
> めぐって、議論が沸騰したとか。
いつもなら、こういうクイズには、すぐに飛びついて来る馬鹿ＧＯＮ
だが、今回は「動き」がないな。
さては、警戒してるな？ 恥を晒すことになるのを。 ヽ(^。^)ノ
GON
> だが、今回は「動き」がないな。
>
> さては、警戒してるな？ 恥を晒すことになるのを。 ヽ(^。^)ノ
すでに２ｃｈで食いついているわけだが、何か？ｗ
M_SHIRAISHI
こういう御仁が「ガッカイ」に出席すると、「ガッカイ」が紛糾する
ワケだ（ｗ
GON
> ワケだ（ｗ
ってか、御大が学会に出席してくれたらものすごい盛り上がると
思うんだけどｗ
Yuzuru Hiraga
わっ、まちがいまちがい。
I wrote:
> （その２）
> 今度は集計システムは、早押し順ではなく、番号の小さい順に、
> 998 個まで表示したとします。
> 表示されなかった番号が 1-999 の各々の場合について、
> 自分が当たりである確率はいくらでしょう？
に対して：
> どの番号が表示されないかは互いに等確率で起こるとすれば、
> 自分が当たりである全体的確率はいくらでしょう？
これだと別の問題になってしまう。
「（問題通りに）クジが当たる確率が全員同じだとすれば、
1-999 の番号が表示されない確率はそれぞれいくらでしょう？」
に直しておきます。
（平賀）
M_SHIRAISHI
>
> 1/2になる場合というのは、私が上記に書いたような場合であり、
> 「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」の方は、
> くじを引いたときの、
> 自分以外に「あたり」がある確率 999/1000
> 自分に「あたり」がある確率 1/1000
> から何も変わっていません。
先に投稿した「思考実験」の説明が不充分だったと思うので、
補足/修正しておきます。
# 二人の人Ａ，Ｂがいて、Ｂは白い球 999個と赤い球 1個とを持って
おり、その事実をＡに知らせておきます。 そして、Ｂは白球 998個を
自分のもとに残したこともＡに知らせた後で、残りの 2個の中から
無作為に1個を選んで、それをＡに渡すこととします。
Ａに渡った球が赤球である確率は 1/2 ■
## 「Ｂは白い球 999個と赤い球 1個とを持っており、その事実をＡに
知らせておいて、その1000個の球の中から無作為に1個を選んで、
それをＡに渡す」という条件下での「Ａに渡った球が赤球である確率」
ならば、それは、当然、1/1000ですが、上記（#）のような条件下で
の確率は、まぎれもなく、1/2 です。
M_SHIRAISHI
> わっ、まちがいまちがい。
遅かりし蔵之助。(゜д゜)
# 間違いは*そこだけ*かな～？
M_SHIRAISHI
“御大”などという≪２ｃｈの(アホウどもが私を指して使っている)方言≫
を fj に持ち込まれては困ります。 (゜д゜)
M_SHIRAISHI
そーか、この↓アホな記事を投稿したのは、ソチだったのか！ ヽ(^。^)ノ
Shin-ichi TSURUTA
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> wrote in message news:<bushrj$2s9p$1...@nwall1.odn.ne.jp>...
> > 1/2になる場合というのは、私が上記に書いたような場合であり、
> > 「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」の方は、
> > くじを引いたときの、
> > 自分以外に「あたり」がある確率 999/1000
> > 自分に「あたり」がある確率 1/1000
> > から何も変わっていません。
> 先に投稿した「思考実験」の説明が不充分だったと思うので、
> 補足/修正しておきます。
> # 二人の人Ａ，Ｂがいて、Ｂは白い球 999個と赤い球 1個とを持って
> おり、その事実をＡに知らせておきます。 そして、Ｂは白球 998個を
> 自分のもとに残したこともＡに知らせた後で、残りの 2個の中から
> 無作為に1個を選んで、それをＡに渡すこととします。
> Ａに渡った球が赤球である確率は 1/2 ■
はい。これはその通りです。しかし、
1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
はずれた人998人に名乗り上げてもらった時の、自分の当たる確率は
1/1000です。
ここで残っている2本のくじを一度回収して引き直せば、当たる確
率は1/2になります。
((1/1000)+(999/1000))/2 = 1/2
Tomohiro Yamada
"Shin-ichi TSURUTA" <s...@emit.jp> wrote in message
news:bum91s$29j$1...@nwall2.odn.ne.jp...
> 1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
> はずれた人、998人に名乗り上げてもらえば、自分の当たる確率は
> 1/2になると言っているのと同じ。
一般にn枚のくじ(当たりは1枚のみ)を人物1, ..., nというn人の
人間に配布し, 1以外で外れた人からn-2人に名乗り上げて
もらう場合...
（以下, 当選者がmで, 1とl以外のn-2人が名乗り上げる確率を
P(m, n)とおく）
当選者が1の場合, 他のn-1人で, 誰が名乗りに参加しないかは
同様に確からしいからP(1, i)=0(i=1), n^(-1)*(n-1)^(-1)(i≠1).
当選者がm≠1の場合, 名乗り上げるのは1とm以外のn-2人の
場合しかあり得ないので
P(m, i)=n^(-1)(i=m), 0(i≠m).
よって, 1とl以外のn-2人が名乗り出た場合, 1が当選者である
確率は
P(1, l)/Σ{m=1}^{n}P(m, l)
=P(1, l)/（P(1, l)+P(l, l)）
=n^(-1)*(n-1)^(-1)/（n^(-1)*(n-1)^(-1)+n^(-1)）
=n^(-1)*(n-1)^(-1)/ (n-1)^(-1)
=n^(-1)
となって, 結局1が当選者である確率は1/nから変化して
いませんね.
＊確率を用いないモデルでの説明
(n(n-1), n)行列A=(a_ij)（1≦i≦n(n-1), 1≦j≦n）を次のように決める:
a_ij=1（(j-1)(n-1)+1≦i≦j(n-1)のとき）, 0（そうでないとき）
続いて, (n(n-1), n)行列B=(b_ij)を次のように決める:
b_ij=1（1≦i≦n-1, j=1のとき; このときa_ij=1である）,
0（1≦i≦n-1で、jが1でもi+1でもないとき; このときa_ij=0である）,
-1（1≦i≦n-1, j=i+1のとき; このときa_ij=0である）,
0（i≧n, j>1, a_ij=0のとき）,
-1（i≧n, j=1のとき）,
1（i≧n, j>1, a_ij=1のとき）.
# 1が当選, 0が名乗りを上げたこと, -1が当選しなかったが
名乗りも上げなかったことに相当しています.
ここで, 2≦k≦nをとると, b_ijのうち, b_ik≠0となるiは
k-1, (k-1)(n-1)+1, ..., k(n-1)でn個存在しますが,
このうちb_i1=1となるのはi=k-1のときのみで, 他の場合は
すべてb_i1=-1です.
Tomhiro Yamada,
for the honor of the human mind
y6...@chive.ocn.ne.jp
M_SHIRAISHI
>
> 1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
> はずれた人998人に名乗り上げてもらった時の、自分の当たる確率は
> 1/1000です。
はずれた人998人に名乗り上げてもらう以前の確率が 1/1000 なので
あって、はずれた人998人が名乗り上げてしまった後は 1/2 に変わる
のです。
# 前提条件が変わってしまったのだから、確率の値が変わっても何ら
不合理ではありません。
> ここで残っている2本のくじを一度回収して引き直せば・・・
そんな無駄なことをせずとも、確率は 1/2 に変ってしまっています。
M_SHIRAISHI
目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
１の目が出ている確率は 1/6 ですが、「奇数の目が
出ている」ということを知らされたならば、件の確率
の値は 1/3 に*上昇*します。
クジの問題での、998人が「ハズレだった」ことを
知らせたのは、上記での「奇数の目が出ている」こと
を知らせたのに相当します。
# 尤も、「前提条件が変われば、確率の値は必ず変わる」
ってワケのものでは、無論、ありませんが・・・。
Shin-ichi TSURUTA
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> wrote in message news:<bv04u7$q2$1...@nwall1.odn.ne.jp>
> > 1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
> > はずれた人998人に名乗り上げてもらった時の、自分の当たる確率は
> > 1/1000です。
> はずれた人998人に名乗り上げてもらう以前の確率が 1/1000 なので
> あって、はずれた人998人が名乗り上げてしまった後は 1/2 に変わる
> のです。
ならないです。
私が999人分担当し、M_SHIRAISHIさんと博打で勝負しましょうか？
Yoshitaka Ikeda
>追記：
>
>
>目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
>１の目が出ている確率は 1/6 ですが、「奇数の目が
>出ている」ということを知らされたならば、件の確率
>の値は 1/3 に*上昇*します。
サイコロを投げた時点で「奇数の目が出ている」といわれる確率が1/2で、
「偶数の目が出ている」といわれる確率が1/2です。
偶数の目が出ているといわれた場合、1の目が出ている確率は0です。
サイコロを投げた回数と、そのなかでの「奇数の目が出ている」と
言われた回数が異なるわけで、1が出た回数が同じだったとしても、
確率が変わるのはあたりまえ。
つまりこういうこともいえます。
「目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
１の目が出ている確率は 1/6 ですが、「偶数の目が
出ている」ということを知らされたならば、件の確率
の値は 0 に*下降*します。
特に矛盾はないと思いますが。
--
Yoshitaka Ikeda mailto:ik...@4bn.ne.jp
Shin-ichi TSURUTA
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> 目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
> １の目が出ている確率は 1/6 ですが、「奇数の目が
> 出ている」ということを知らされたならば、件の確率
> の値は 1/3 に*上昇*します。
こちらはその通りです。
2,4,6の目が出ている確率が0になりますから。
> クジの問題での、998人が「ハズレだった」ことを
> 知らせたのは、上記での「奇数の目が出ている」こと
> を知らせたのに相当します。
相当しません。
Shinji KONO
In article <bv0mqa$cdg$1...@nwall2.odn.ne.jp>, Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> writes
> > クジの問題での、998人が「ハズレだった」ことを
> > 知らせたのは、上記での「奇数の目が出ている」こと
> > を知らせたのに相当します。
> 相当しません。
もう少し詳しく解析した方がいいんじゃないかな... 例えば、
ランダムに998人を指名して、その人が「ハズレだった」ことを確
認したあと
自分と決まったもう一人以外の998人が自分のクジを見てハズレと
確認したあと
自分以外のハズレの人を998人分探し出した後
自分以外のハズレの人を998人分探し出だせるはずだと思った後
とかさ。ってわけなので、相当する場合の方が一般的です。つうか、
相当しないように998人のハズレを確認するのは不可能でしょ?
確率が確率「過程」だってのを思い出せば自明ですよね。
---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus,
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科,
Shin-ichi TSURUTA
ko...@ie.u-ryukyu.ac.jp (Shinji KONO) wrote:
> In article <bv0mqa$cdg$1...@nwall2.odn.ne.jp>, Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> writes
> > > クジの問題での、998人が「ハズレだった」ことを
> > > 知らせたのは、上記での「奇数の目が出ている」こと
> > > を知らせたのに相当します。
> > 相当しません。
> もう少し詳しく解析した方がいいんじゃないかな... 例えば、
> ランダムに998人を指名して、その人が「ハズレだった」ことを確
> 認したあと
>
> 自分と決まったもう一人以外の998人が自分のクジを見てハズレと
> 確認したあと
この二つの条件が成功する確率は、それぞれ2/1000です。この条件
下で自分が当たる確率は1/2ですが、全体では2/1000 * 1/2 = 1/1000で、
自分がくじに当たる確率は変わっていません。条件下で1/2となる
ことは既に以下で
Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> wrote:
> 1/2になる場合と言うのは、
> 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
> であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
> です。
説明しています。
ところが、「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」の場合、
おおつかさんが解説しているように、これが成功する確率は1.0です。
この条件が成功する確率と、この条件下で当たりを引く確率の積が、
当初くじを引いたときに当たる確率となります。
実際、1.0 * 1/1000 = 1/1000となり、何も問題ありません。
100%起こり得る情報は、確率に何の影響も与えません。
> とかさ。ってわけなので、相当する場合の方が一般的です。つうか、
> 相当しないように998人のハズレを確認するのは不可能でしょ?
自分以外の999人にくじを確認してもらい、はずれた人のうち998人
に名乗ってもらうことは可能です。
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHIさん、こんにちは、鶴田です。
>
> eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> > 目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
> > １の目が出ている確率は 1/6 ですが、「奇数の目が
> > 出ている」ということを知らされたならば、件の確率
> > の値は 1/3 に*上昇*します。
>
> こちらはその通りです。
> 2,4,6の目が出ている確率が0になりますから。
>
> > クジの問題での、998人が「ハズレだった」ことを
> > 知らせたのは、上記での「奇数の目が出ている」こと
> > を知らせたのに相当します。
>
> 相当しません。
Non, vous etes completement dans l'erreur !
クジの場合、998人の各自について、当選していた確率が０
になることなのだから、そのことは、サイコロの場合の
２,４,６の目が出ている確率が０となることに相当します。
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHIさんの<800c7853.04012...@posting.google.com>から
> >追記：
> >
> >
> >目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
> >１の目が出ている確率は 1/6 ですが、「奇数の目が
> >出ている」ということを知らされたならば、件の確率
> >の値は 1/3 に*上昇*します。
>
> サイコロを投げた時点で「奇数の目が出ている」といわれる確率が1/2で、
> 「偶数の目が出ている」といわれる確率が1/2です。
> 偶数の目が出ているといわれた場合、1の目が出ている確率は0です。
>
> サイコロを投げた回数と、そのなかでの「奇数の目が出ている」と
> 言われた回数が異なるわけで、1が出た回数が同じだったとしても、
> 確率が変わるのはあたりまえ。
>
> つまりこういうこともいえます。
> 「目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
> １の目が出ている確率は 1/6 ですが、「偶数の目が
> 出ている」ということを知らされたならば、件の確率
> の値は 0 に*下降*します。
「前提条件が追加されれば、確率の値が変わることがありうる」
という話をしているのであって、「条件が追加されれば、確率の
値はいつも上昇する」なんてことを言っているのではありません。
# 前掲のクジの問題の場合、条件が追加されて、たまたま、確率
の値が上昇することになったってだけのことです。
する」
Masamichi Takatsu
記事 <800c7853.04012...@posting.google.com> で
M_SHIRAISHIさんは書きました
> 目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
> １の目が出ている確率は 1/6 ですが、「奇数の目が
> 出ている」ということを知らされたならば、件の確率
> の値は 1/3 に*上昇*します。
ここで、
・1の目が出ている場合
→「1か2」「1か3」…「1か6」のどれか一つを選び、それを知らせる
・2の目が出ている場合
→「1か2の目が出ている」と知らせる
・3の目が出ている場合
→「1か3の目が出ている」と知らせる
・4の目が出ている場合
→「1か4の目が出ている」と知らせる
・5の目が出ている場合
→「1か5の目が出ている」と知らせる
・6の目が出ている場合
→「1か6の目が出ている」と知らせる
とした場合、1の目が出る確率は1/2に上昇するのでしょうか?
そうではなくて、「1かXの目が出ている」と知らされた場合、
1である確率が1/6で、Xである確率は5/6です。
「998人にハズレだったと申告してもらう」とはこういうことです。
PROJECT TEAM ＤｏＧＡ 高津正道 ta...@doga.jp
TBD0...@nifty.ne.jp
PROJECT TEAM DoGAのホームページ → http://doga.jp/
1月26日(月) 今日のマーフィーの法則 [ティーンエイジャーとチャンスについてのシュリンプトンの法則]
チャンス到来。ノックの音がするときは、ヘッドホンをしている。
KUROSAWA Takashi
Masamichi Takatsu <ta...@doga.jp> wrote in
message <0401260447...@maha2.doga.jp>:
> そうではなくて、「1かXの目が出ている」と知らされた場合、
> 1である確率が1/6で、Xである確率は5/6です。
>
> 「998人にハズレだったと申告してもらう」とはこういうことです。
私にはこの説明が判り易いと感じました。
くじの話に戻って。
ハズレの人 998 人に申告してもらった後、自分ともう 1 人の人と
の間で「くじを交換するか?」という問題なら、交換する事によって
当たる確率が上がりますが、SHIRAISHI さんはその問題と混同され
ていませんか?
# この場合は 1/2 ではなく 999/1000 に跳ね上がりますが。
Tabby as くろさわ
ta...@yk.rim.or.jp
http://www.yk.rim.or.jp/‾tabby/
Shinji KONO
In article <bv10f5$rv0$1...@nwall2.odn.ne.jp>, Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> writes
> > とかさ。ってわけなので、相当する場合の方が一般的です。つうか、
> > 相当しないように998人のハズレを確認するのは不可能でしょ?
> 自分以外の999人にくじを確認してもらい、はずれた人のうち998人
> に名乗ってもらうことは可能です。
ふーん。ちょっと、アルゴリズムを教えてもらえませんか?
「はずれた人、一人目手を上げて。じゃ、二人目....」「じゃ、残
った二人、どっちがあたりクジを持っているでしょう? 確率は?」
みたいな? これじゃ「だめじゃん、二人手をあげちゃ～ 」となる
のはみえみえか。
かといって「はずれた人、全員、手を上げて」ってのはだめなんで
しょ?
カウンタみたいなのを渡して、順々に手を上げて行くってのだと、
あたりクジ持っている人のところに来たときに困るし...
結局、誰かが嘘付くしか仕方ないんじゃないかなぁ。そういうのは、
ちょっと、前提条件とずれているような気がする。
Satoshi Nakajima
＃ 週末の間に増殖してしまっていて、どこにフォローしたらいいのか判らなくなりそ
う。
河野さんの仰有ることは、関係のない第３者に選ばせれば、
その人が誰が当たりかを知ったところでそれで良いんじゃないでしょうか。
でも、その前に、
鶴田さん
>ところが、「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」の場合、
>おおつかさんが解説しているように、これが成功する確率は1.0です。
>この条件が成功する確率と、この条件下で当たりを引く確率の積が、
>当初くじを引いたときに当たる確率となります。
>実際、1.0 * 1/1000 = 1/1000となり、何も問題ありません。
>
>100%起こり得る情報は、確率に何の影響も与えません。
ハズレの一部の名前リストを挙げた時点で、1000人（自分以外の999人）
のうち、どの998人かが確定してしまったわけですから、任意の誰でも
かまわない998人が名乗りを上げることが可能なのとはワケが違うので
はないかと…。
1000人中（そしてあなたを除く999人中の）998人はハズレです、と教
えてもらうこと（成功する確率が１）と、具体的にどの998人がハズレ
かを教えてもらうこと（それぞれの個々のケースを考えると、その一
つずつのケースが成功する確率は１ではない）の違いではありませんか？
==
ナカジマ
M_SHIRAISHI
> 高津@ドーガです。
>
> 記事 <800c7853.04012...@posting.google.com> で
> M_SHIRAISHIさんは書きました
>
> > 目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
> > １の目が出ている確率は 1/6 ですが、「奇数の目が
> > 出ている」ということを知らされたならば、件の確率
> > の値は 1/3 に*上昇*します。
>
> ここで、
> ・1の目が出ている場合
> →「1か2」「1か3」…「1か6」のどれか一つを選び、それを知らせる
> ・2の目が出ている場合
> →「1か2の目が出ている」と知らせる
> ・3の目が出ている場合
> →「1か3の目が出ている」と知らせる
> ・4の目が出ている場合
> →「1か4の目が出ている」と知らせる
> ・5の目が出ている場合
> →「1か5の目が出ている」と知らせる
> ・6の目が出ている場合
> →「1か6の目が出ている」と知らせる
> とした場合、1の目が出る確率は1/2に上昇するのでしょうか?
勿論、上昇して、1/2 になります！
# 例えば、２の目が出ている場合だと、目をつぶっている人にとって、
３ or ４ or ５ or ６ の目が出ている確率は０となり、１の目か
２の目のいずれか一方である可能性しか無くなるからです。
## 但し、*教えた人*は「２の目が出ている」ことを知っている
わけだから、*教えた人*にとっては、「２の目が出ている確率」
は１であり、「１の目が出ている確率」は０です ---- 言う迄
も無いことですが。 ヽ(^。^)ノ
M_SHIRAISHI
Masamichi Takatsu <ta...@doga.jp> wrote in message news:<0401260447...@maha2.doga.jp>...
> 高津@ドーガです。
>
> 記事 <800c7853.04012...@posting.google.com> で
> M_SHIRAISHIさんは書きました
>
> > 目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
> > １の目が出ている確率は 1/6 ですが、「奇数の目が
> > 出ている」ということを知らされたならば、件の確率
> > の値は 1/3 に*上昇*します。
>
> ここで、
> ・1の目が出ている場合
> →「1か2」「1か3」…「1か6」のどれか一つを選び、それを知らせる
> ・2の目が出ている場合
> →「1か2の目が出ている」と知らせる
> ・3の目が出ている場合
> →「1か3の目が出ている」と知らせる
> ・4の目が出ている場合
> →「1か4の目が出ている」と知らせる
> ・5の目が出ている場合
> →「1か5の目が出ている」と知らせる
> ・6の目が出ている場合
> →「1か6の目が出ている」と知らせる
> とした場合、1の目が出る確率は1/2に上昇するのでしょうか?
「1の目が*出る*確率」じゃ～なくて、「1の目が*出ている*確率」ですよ。
# サイコロは投げられて、どれかの目が既に出てしまっているのだから。
## サイコロを投げる以前での「1の目が出る確率」は、勿論、1/6 です。
Otsuka Katsumi
> In article <bv10f5$rv0$1...@nwall2.odn.ne.jp>, Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> writes
> > > とかさ。ってわけなので、相当する場合の方が一般的です。つうか、
> > > 相当しないように998人のハズレを確認するのは不可能でしょ?
> > 自分以外の999人にくじを確認してもらい、はずれた人のうち998人
> > に名乗ってもらうことは可能です。
>
> ふーん。ちょっと、アルゴリズムを教えてもらえませんか?
早押しボタンのようなものを999人に渡して、はずれた人に押してもらい、
早い順でも遅い順でもいいからその中の998人分だけを表示することは
十分可能だと思います。
--
おおつか かつみ
e-mail:ot...@kajima.com
M_SHIRAISHI
> Tabby as くろさわ@秩父です。
>
> ハズレの人 998 人に申告してもらった後、自分ともう 1 人の人と
> の間で「くじを交換するか?」という問題なら、交換する事によって
> 当たる確率が上がりますが、SHIRAISHI さんはその問題と混同され
> ていませんか?
混同してはいないけど、たとえ混同していたとしても、確率の値は
どちらも 1/2 です。
> # この場合は 1/2 ではなく 999/1000 に跳ね上がりますが。
残りの一人がクジに当たっている確率は 1/2 なので、999/1000
に跳ね上がるわけでは、決して、ありません。 ヽ(＾。＾)ノ
Shin-ichi TSURUTA
"Satoshi Nakajima" <naka...@chem.gunma-ct.ac.jp> wrote:
> >ところが、「はずれた人、998人に名乗り上げてもらう」の場合、
> >おおつかさんが解説しているように、これが成功する確率は1.0です。
> >この条件が成功する確率と、この条件下で当たりを引く確率の積が、
> >当初くじを引いたときに当たる確率となります。
> >実際、1.0 * 1/1000 = 1/1000となり、何も問題ありません。
> >
> >100%起こり得る情報は、確率に何の影響も与えません。
>
> ハズレの一部の名前リストを挙げた時点で、
囚人の問題の方もリストを挙げた後のことです。
> 1000人（自分以外の999人）
> のうち、どの998人かが確定してしまったわけですから、任意の誰でも
> かまわない998人が名乗りを上げることが可能なのとはワケが違うので
> はないかと…。
では、私が999人分を担当して、貴方と博打で勝負しましょうか？
貴方が当たったときは、一回当たり倍払ってもいいですよ。
> 1000人中（そしてあなたを除く999人中の）998人はハズレです、と教
> えてもらうこと（成功する確率が１）と、
それは、教えてもらう前からわかっていることです。
> 具体的にどの998人がハズレ
> かを教えてもらうこと（それぞれの個々のケースを考えると、その一
> つずつのケースが成功する確率は１ではない）の違いではありませんか？
この場合は、ハズレの人を確実に教えるわけですから、成功率は
100%で、確率は1.0です。ただし以下の場合は別です。
M_SHIRAISHI
>
> 記事 <800c7853.04012...@posting.google.com> で
> M_SHIRAISHIさんは書きました
>
> > 目をつぶったまんまで、サイコロを投げたとします。
> > １の目が出ている確率は 1/6 ですが、「奇数の目が
> > 出ている」ということを知らされたならば、件の確率
> > の値は 1/3 に*上昇*します。
>
> ここで、
> ・1の目が出ている場合
> →「1か2」「1か3」…「1か6」のどれか一つを選び、それを知らせる
> ・2の目が出ている場合
> →「1か2の目が出ている」と知らせる
> ・3の目が出ている場合
> →「1か3の目が出ている」と知らせる
> ・4の目が出ている場合
> →「1か4の目が出ている」と知らせる
> ・5の目が出ている場合
> →「1か5の目が出ている」と知らせる
> ・6の目が出ている場合
> →「1か6の目が出ている」と知らせる
そのサイコロが１の目か２の目のどちらかしか出ないように細工が
されているサイコロであって、尚かつ、１の目が出る確率も２の目
が出る確率も等しいものであった場合、その事実を目をつぶっている
人に知らせたならば・・・・？
Yuzuru Hiraga
# いくつかまとめちゃいます。
Otsuka Katsumi wrote:
> Shinji KONO wrote:
>> ふーん。ちょっと、アルゴリズムを教えてもらえませんか?
>
> 早押しボタンのようなものを999人に渡して、はずれた人に押してもらい、
> 早い順でも遅い順でもいいからその中の998人分だけを表示することは
> 十分可能だと思います。
これ、別記事：
Message-ID: <40122590...@ulis.ac.jp>
に書いたんだけど配送されてませんかね？
Google には出てるし M_SHIRAISHI さんには届いている
みたいだけど。 :-)
M_SHIRAISHI wrote:
> Yuzuru Hiraga wrote:
>> わっ、まちがいまちがい。
>
> 遅かりし蔵之助。(゜д゜)
ちっちっち。
人の揚げ足取ろうという人が自分で間違えてちゃサマないですな。
名前が違うし、その字まで間違えてはねえ。
========
M_SHIRAISHI wrote:
> “ベルトラン(Bertrand)のパラドックス”と並ぶ、確率論では有名な
> 問題です。
くだんの問題は日本では（心理学関係などでは）
「３囚人問題」として知られています。
欧米ではむしろ、（細部は違うけど本質的には同じ）
Monty Hall Problem として知られてます。
どちらも関連サイトは山ほどありますね。例えば：
http://mathworld.wolfram.com/MontyHallProblem.html
「実験すれば」という声もあるけど、シミュレーション実験できる
サイトまでいろいろあります。
http://www.cut-the-knot.org/hall.shtml
http://homepage2.nifty.com/hashimoto-t/try/prison-j.html
> ## ある学会でこの問題が紹介された際には、１時間余り、正解を
> めぐって、議論が沸騰したとか。
どの学会のこと言っているのか知りませんが、
認知科学会ではもっとはるかに長時間やってますね。
本にまでなっています。
市川伸一：「確率の理解を探る－３囚人問題とその周辺」
共立出版・認知科学モノグラフ 10 (1998) BN 4320028600
もっとも論点は M_SHIRAISHI さんが思われているようなものとは
たぶん違うだろうけど。
======
釈放されることを○、されないこと（「未決」とします）を×と書き：
事象 a: A× B○ C○
事象 b: A○ B× C○
事象 c: A○ B○ C×
とすると、等確率仮定により事前確率は：
P(a) = P(b) = P(c) = 1/3
です。これは各人が未決である確率と同一視できます。
この問題が難しい理由の１つは：
直観定理１： ３人の囚人は釈放／未決については対等である。
したがって「B は釈放」という情報が伝えられた後も、
A, C は対等であり、釈放される確率も等しい。
直観定理２： B, C のいずれかは釈放されるのだから、
どちらが釈放されるかという情報は A の釈放／未決については
何も情報を与えない。したがって A の釈放確率は変わらない。
という２つの直観定理がせめぎあうこと、むしろ一般には１のほうが
優勢なことです。
直観定理１への疑問点：
本当に A, C は対等か？（看守は「C は釈放」と言う可能性は
あるが、「A は釈放」と言う可能性はない。）
直観定理２への疑問点：
本当に「何も情報は与えられない」のだろうか？
ここで実は看守の態度も問題になります。
事象 a の場合、看守は B, C どちらとも答えられますが、
ではその場合、どのように答えるかです。
暗黙の仮定としては半々の確率で選ぶ、でしょう。
問題： 看守は B が釈放される場合（事象 a, c の場合）には
必ず「B は釈放」と答えるとする。
その場合、「B は釈放」と言った場合の A の釈放確率はいくらか？
「C は釈放」と言った場合はどうか？
実は本問の場合、等確率仮定があるので、まだ話は簡単です。
（ある意味では潜在的な誤解が残る可能性があります。）
問題： P(a) = P(b) = 1/4, P(c) = 1/2 の場合、
1) 看守が「B は釈放」と言ったら A の釈放確率はいくらか？
2) 看守が「C は釈放」と言ったら A の釈放確率はいくらか？
この場合、事象 a のとき看守がどう答えるかの問題はさらに
クローズアップされます。
（平賀＠筑波大）
Satoshi Nakajima
鶴田さんが言おうとしていることと
同じことをくり返してしまっているのだったらすみません。
自分以外の９９９人に、番号（名前のかわり）が振られているものとして、
>> 具体的にどの998人がハズレ
>> かを教えてもらうこと（それぞれの個々のケースを考えると、その一
>> つずつのケースが成功する確率は１ではない）の違いではありませんか？
>
>この場合は、ハズレの人を確実に教えるわけですから、成功率は
>100%で、確率は1.0です。ただし以下の場合は別です。
具体的にどの998人が教えてもらう個々のケースというのは、
・自分と１さん以外がハズレだと知らされること：確率 2/1000 × 1/999
・自分と２さん以外がハズレだと知らされること：（同上）
：
・自分と９９８さん以外がハズレだと知らされること：（同上）
・自分と９９９さん以外がハズレだと知らされること：（同上）
のそれぞれを指しているつもりなのですが。
（上の確率が合計で 2/1000）
つまり、誰がハズレたかを公開された時点で、下で仰有るもの
>ただし以下の場合は別です。
>
> Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> wrote:
> > 1/2になる場合と言うのは、
> > 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
> > であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
> > です。
と同じになると思うのですが。
==
ナカジマ
Shinji KONO
In article <bv2m5u$4cr$1...@x1wa.gunma-ct.ac.jp>, "Satoshi Nakajima" <naka...@chem.gunma-ct.ac.jp> writes
> 自分以外の９９９人に、番号（名前のかわり）が振られているものとして、
....
> 具体的にどの998人が教えてもらう個々のケースというのは、
...
> つまり、誰がハズレたかを公開された時点で、下で仰有るもの
> > > 1/2になる場合と言うのは、
> > > 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
> > > であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
> > > です。
> と同じになると思うのですが。
うん。僕もそう思う。つまりあたりクジを特定せずに具体的な998人
を特定するというのは、なんらかのインチキ抜きにはできないって
ことじゃないかなぁ。
インチキ抜きならば、それは、2/1000の確率でしかできなくて、
1/2 * 2/1000 = 1/1000
で話は合うわけだよね。
ただし、その「インチキ抜き」っていう条件を正確に示すのは難し
そうだけど。逆にインチキ抜きできたとすれば、確率の定理に反し
ちゃうのでまずい。これは、一種のアルゴリズムの不存在の証明に
なるんだと思う。
囚人の場合でも、自分以外だれも釈放されないという情報を得れば、
事後確率が上がるのはそんなにおかしくはないですよね。
M_SHIRAISHI
その事実を知られる以前なら、目をつぶってサイコロを投げた人は
「１の目が出る確率は 1/6 である」と判断するだろうけれども、
その事実（＝「そのサイコロが１の目か２の目のどちらかしか出ない
ように細工がされており、尚かつ、１の目が出る確率も２の目が出る
確率も等しい様になっている」という事実）を知らされた後なら、
「１の目が出る確率は 1/2 である」と判断する筈ですよね。
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHI wrote:
> > Yuzuru Hiraga wrote:
> >> わっ、まちがいまちがい。
> >
> > 遅かりし蔵之助。(゜д゜)
わっ、まちがいまちがい。
「遅かりし由良之助」でした。 ヽ(^。^)ノ
M_SHIRAISHI
> “ベルトラン(Bertrand)のパラドックス”と並ぶ、確率論では有名な
> 問題です。
>
> # 以前、ここ(fj.sci.math)に投稿したことがあるのだけれど、その
> 当時とは、読者層も替わっていると思うので、再投稿します。
>
> お楽しみあれ。 ヽ(^。^)ノ
>
>
> 【問題】 仮釈放を申請した３人の囚人 Ａ，Ｂ，Ｃ がいて、Ａは
> 看守から「Ａ，Ｂ，Ｃ の３人のうち、２人にだけ許可が下りた。」
> と知らされたが、「その中に君(Ａ)が含まれているのかについては、
> 釈放当日まで教えられない。」と告げられた。 そこで、Ａは「自分
> 自身に関することでなかったならば、尋ねても差し支えあるまい。」
> と考え、「Ｂ，Ｃ のうちでいいから、釈放される囚人を１人だけ
> 教えて貰えまいか？」と看守に頼んだ。 看守はその要求を受け入れ、
> 「Ｂは釈放される。」とＡに教えた。 これを聞いたＡは「しまった！
> 馬鹿なことしてしまった。 "Ｂは釈放される"ということを教えて
> 貰う前は、俺が釈放される確率は 2/3 だったのに、"Ｂは釈放される"
> ということを知ってしまった今、釈放される残りの１人は、俺(Ａ)か
> Ｃかのどちらか一方なのだから、俺の釈放される確率は 1/2 に
> 減ってしまった！」と悔やんだ。
>
> さて、Ａのこの判断は正しいのだろうか？
この問題は「確率論の問題」と言うよりは、むしろ、「（確率論の
問題に偽装した）論理学の問題」であって、問題の核心は、囚人Ａが、
「“Ｂは釈放される”と看守が言う」という命題と「Ｂは釈放される」
という命題とを同値と“勘違い”してしまったことにあります。
“Ｂは釈放される”と看守が言えば、確かにＢは釈放されるだろう
けれども、「Ｂは釈放される」のが事実だったとしても、看守は
“Ｂは釈放される”とＡに告げるとは限りません。 もしも、Ｃも釈放
されるのであれば、看守は“Ｂは釈放される”とは言わずに、“Ｃは
釈放される”と告げるかも知れないからです。
従って、求めるべき確率は、「Ｂは釈放される」という条件下で「自分
（Ａ）が釈放される確率」ではなくて、「“Ｂは釈放される”と看守が
言う」という条件下で「自分（Ａ）が釈放される確率」でなければ
なりません。
Shin-ichi TSURUTA
ko...@ie.u-ryukyu.ac.jp (Shinji KONO) wrote:
> > > > 1/2になる場合と言うのは、
> > > > 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
> > > > であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
> > > > です。
> > と同じになると思うのですが。
> うん。僕もそう思う。つまりあたりクジを特定せずに具体的な998人
> を特定するというのは、なんらかのインチキ抜きにはできないって
> ことじゃないかなぁ。
囚人の問題では、看守は全てを知っていました。くじでも「看守」
をおけば済むことです。
Shinji KONO
In article <bv39e0$2d4l$1...@nwall1.odn.ne.jp>, Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> writes
> 囚人の問題では、看守は全てを知っていました。くじでも「看守」
> をおけば済むことです。
僕はそれをインチキと定義するわけだな。
> > > > > 『順番に指名してくじを確認していき、998人がすべて「はずれ」
> > > > > であれば、最後の二人のうち、自分の当たる確率は1/2になる』
を信じるためには、そういうインチキがないという仮定があるわけ
だよね。そういうインチキないなら、998人のはずれを確実に調べ
る方法はないって僕は言っているわけ。自分の知らないところに等
確率仮定を置くのが間違いであることは確かだけど、998人目の名
前があげられるまでに「なんかおかしい」って感じる方が普通だよ
ね。
この手の問題には、そういう問題外の部分に関しては等確率仮定を
置くというルールがあるんだと思う。囚人の看守についても、そう
いう情報を漏らすようなことをしてはいけないという仮定があるも
のですよね。(例えば、看守が、いきなり「Cが釈放される」とかい
うことはない)
囚人の問題の方の面白さは、囚人が前もって知っていた以上の情報
が得られたわけではないのに事後確率が変わったと感じるところで
すよね。必ずA or B は釈放されるわけだから。囚人は、
必ずAかBは釈放される
A が釈放された場合 C が釈放される確率 1/2
B が釈放された場合 C が釈放される確率 1/2
で、最初から1/2だったと考えていても良いはずですよね。
でも、実際には、A,B,C が等確率で釈放される仮定下では、
必ずAかBは釈放される
A が釈放された場合 C が釈放される確率 2/3
B が釈放された場合 C が釈放される確率 2/3
になって、それはそれで問題がない。条件は排他じゃないから、別
に足して1を上回っても問題ないし。
Shin-ichi TSURUTA
ko...@ie.u-ryukyu.ac.jp (Shinji KONO) wrote:
> In article <bv39e0$2d4l$1...@nwall1.odn.ne.jp>, Shin-ichi TSURUTA <s...@emit.jp> writes
> > 囚人の問題では、看守は全てを知っていました。くじでも「看守」
> > をおけば済むことです。
> 僕はそれをインチキと定義するわけだな。
囚人の問題でも「看守」を置くのはインチキということですか？
そうなら、そもそもそういう問題だっというだけで仕方がありませ
んが、「くじ」の方だけをインチキというのなら、それは納得でき
ません。囚人を1000人、釈放1人で、釈放されない囚人998人を聞く
としても同じ問題が作れます。
> この手の問題には、そういう問題外の部分に関しては等確率仮定を
> 置くというルールがあるんだと思う。囚人の看守についても、そう
> いう情報を漏らすようなことをしてはいけないという仮定があるも
> のですよね。(例えば、看守が、いきなり「Cが釈放される」とかい
> うことはない)
はい。
> 囚人の問題の方の面白さは、囚人が前もって知っていた以上の情報
> が得られたわけではないのに事後確率が変わったと感じるところで
> すよね。必ずA or B は釈放されるわけだから。囚人は、
> 必ずAかBは釈放される
> A が釈放された場合 C が釈放される確率 1/2
> B が釈放された場合 C が釈放される確率 1/2
> で、最初から1/2だったと考えていても良いはずですよね。
このように感じてしまうのは、
・看守に聞く前は、AとBを区別せず、ABとCを区別していた。
・看守に聞いた後では、AとBを区別してしまった。
ためではないでしょうか。
ABCを区別しなければ、釈放される囚人としてCが選択される可能性
もありますし、ABCを区別するのなら、Aは釈放されるかどうかとい
う形で聞くことになるのではないでしょうか。
1/2になってしまったと思った後、AとBをもう一度シャッフルし直
したら、Cが釈放される確率が上がるのはおかしくないでしょうか？
M_SHIRAISHI
> Dear,> news:bum91s$29j$1...@nwall2.odn.ne.jp...
> > 1000人に一人だけ当たるくじを、各人が一つずつ引き、自分以外で
> > はずれた人、998人に名乗り上げてもらえば、自分の当たる確率は
> > 1/2になると言っているのと同じ。
>
> 一般にn枚のくじ(当たりは1枚のみ)を人物1, ..., nというn人の
> 人間に配布し, 1以外で外れた人からn-2人に名乗り上げて
> もらう場合...
>
> （以下, 当選者がmで, 1とl以外のn-2人が名乗り上げる確率を
> P(m, n)とおく）
>
> 当選者が1の場合, 他のn-1人で, 誰が名乗りに参加しないかは
> 同様に確からしいからP(1, i)=0(i=1), n^(-1)*(n-1)^(-1)(i≠1).
>
> 当選者がm≠1の場合, 名乗り上げるのは1とm以外のn-2人の
> 場合しかあり得ないので
> P(m, i)=n^(-1)(i=m), 0(i≠m).
>
> よって, 1とl以外のn-2人が名乗り出た場合, 1が当選者である
> 確率は
> P(1, l)/Σ{m=1}^{n}P(m, l)
> =P(1, l)/（P(1, l)+P(l, l)）
> =n^(-1)*(n-1)^(-1)/（n^(-1)*(n-1)^(-1)+n^(-1)）
> =n^(-1)*(n-1)^(-1)/ (n-1)^(-1)
> =n^(-1)
>
> となって, 結局1が当選者である確率は1/nから変化して
> いませんね.
本来の数学記号で書かれていない（それを NetNews で使用することは不可能！）
ので、意味が、じぇーんじぇん、読み取れましぇ～ん。 (゜д゜)
MIZUNO
eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) wrote:
> さて、Ａのこの判断は正しいのだろうか？
A の問題は釈放 されない のが「A」なのか「BCコンビ(の一方)」なのかだ。
看守はこれには答えない。
看守情報がない時点で(釈放 -されない- )確率は、
「A」 1/3
「BCコンビ(の一方)」 2/3
B 1/3
C 1/3
といえる。
看守情報は、
「釈放されないのが『BCコンビ(の一方)』である場合、それは C である」
というものだ。
確率は、
「A」 1/3
「BCコンビ(の一方)」 2/3
B 0
C 2/3
となる。
よって A の判断は間違い。C がおおいに嘆くべき。
A は最初
「A」 1/3
「BCコンビ(の一方)」 2/3
とおいていたのに、看守情報を得たとたん
「A」 1/2
「BCコンビ(の一方)」 1/2
(そして
B 0
C 1/2 )
としてしまった。
これには根拠がない。
--
_______________
MIZUNO
miz...@m-jy.net
_______________
Yuzuru Hiraga
Yuzuru Hiraga wrote:
> くだんの問題は日本では（心理学関係などでは）
> 「３囚人問題」として知られています。
> 欧米ではむしろ、（細部は違うけど本質的には同じ）
> Monty Hall Problem として知られてます。
名大（後期）の入試問題にもろに出てますね。
http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/n02-21p/5.htm
M_SHIRAISHI さんに解いてもらいたいものだ。
（平賀＠筑波大）
Yuzuru Hiraga
Yuzuru Hiraga wrote:
> 名大（後期）の入試問題にもろに出てますね。
>
> http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/n02-21p/5.htm
>
> M_SHIRAISHI さんに解いてもらいたいものだ。
河合塾の解答が出ました。
http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/04/n02.html
これの「数学（工）」の問題４がくだんの問題です。
（当然ながら）鶴田さんらの解答（にあたるもの）のほうが出ています。
名大が解答を公表するかは不明ですが、
まあ間違いなく河合塾と同じ結果ではあるでしょう。
M_SHIRAISHI さんとしては：
・解けない、間違える、いずれにしてもすごすごと引き下がる。
・「解答が間違っている」と天下の河合塾（や名大にも？）に
ケンカを売る。
のいずれかの選択肢があるわけです。
なお河合塾講評では「やや難」とありますから
出来なくても必ずしも恥ずかしいことはない、
と言いたいところなんですが、
難しいのは小問の (2) 以降、特に (4) であり、
ここでの話に関係があるのは (1) だけですから、
これだけ取り出すと「易」になっちゃうかも。
（平賀＠筑波大）
M_SHIRAISHI
> Yuzuru Hiraga wrote:
> > 名大（後期）の入試問題にもろに出てますね。
> >
> > http://www.yomiuri.co.jp/nyushi/honshi/04/n02-21p/5.htm
> >
> > M_SHIRAISHI さんに解いてもらいたいものだ。
>
> 河合塾の解答が出ました。
> http://hiw.oo.kawai-juku.ac.jp/nyushi/honshi/04/n02.html
>
> これの「数学（工）」の問題４がくだんの問題です。
> （当然ながら）鶴田さんらの解答（にあたるもの）のほうが出ています。
> 名大が解答を公表するかは不明ですが、
> まあ間違いなく河合塾と同じ結果ではあるでしょう。
>
> M_SHIRAISHI さんとしては：
> ・解けない、間違える、いずれにしてもすごすごと引き下がる。
> ・「解答が間違っている」と天下の河合塾（や名大にも？）に
> ケンカを売る。
> のいずれかの選択肢があるわけです。
バカタレが！
# 受験生でもないのに、そんなしょうもない問題にかかわるのは、時間の無駄だ。
余のレヴェルともなると、古代ギリシア以来の未解決の難問を「みごとに解く」
ことが、時間を割くのに相応しいことと、一般に、思われている。 ヽ(＾。＾)ノ
Yuzuru Hiraga
>>Yuzuru Hiraga wrote:
>>M_SHIRAISHI さんとしては：
>> ・解けない、間違える、いずれにしてもすごすごと引き下がる。
>> ・「解答が間違っている」と天下の河合塾（や名大にも？）に
>> ケンカを売る。
>>のいずれかの選択肢があるわけです。
そうそう、もう１つ、
・愚にもつかないことをわめき散らしてとりあえずその場をごまかす。
というのがありましたね。
M_SHIRAISHI wrote:
> バカタレが！
> # 受験生でもないのに、そんなしょうもない問題にかかわるのは、時間の無駄だ。
> 余のレヴェルともなると、古代ギリシア以来の未解決の難問を「みごとに解く」
> ことが、時間を割くのに相応しいことと、一般に、思われている。 ヽ(＾。＾)ノ
ようわからんのですが、つまりこれは：
・自らが 1/20 に持ち出し、しかも下記にもあるように、
それ以前からご執心らしい問題であって、
> From: eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI)
> Date: 19 Jan 2004 08:01:13 -0800
> Message-ID: <800c7853.04011...@posting.google.com>
>
> “ベルトラン(Bertrand)のパラドックス”と並ぶ、確率論では有名な
> 問題です。
>
> # 以前、ここ(fj.sci.math)に投稿したことがあるのだけれど、その
> 当時とは、読者層も替わっていると思うので、再投稿します。
・その後誰が頼んだわけでもないのに、2/6 までに合計 56 回もの
投稿をエンエンと続けた問題
が「しょうもない問題」であって、それに「かかわるのは、時間の無駄だ」
ということですか。何もそこまで謙遜・卑下することないのにね。
それに問題そのものは：
「それは、...大抵の通俗書に載っている、至極ありふれた「パラドックス」だな。」
# あら、引用で間に合っちゃった。
# 「３囚人問題」や「Monty Hall」で検索すればいくらでも引っかかるしね。
ただ名大の名誉のために言っておけば、すでに述べたように
出題ではここはほんの導入部にすぎず、難しいのはそのあと。
できないならできないと素直に言えばいいのにね。
そういうのを sour grapes という、ってこれも M_SHIRAISHI 君が自分で
書いたことじゃん。
# sci.math でも相変わらずバカやってるみたいですね。
fj ではふんぞり返ってみせても、sci.math ではロクに話せもしないし、
ましてや河合塾や名大といった堅気筋にはたてつく勇気もないってことかしら。
問題： 今の M_SHIRAISHI 氏の状況・心境を表す語として適切なものを選べ。
・自己卑下
・自己否定
・自暴自棄
・自縄自縛
・自業自得
・自己憐憫
・自画自賛
・自己陶酔
・自我崩壊
・自己矛盾
・自家撞着
・自虐趣味
・自傷性癖
・自意識過剰
・自滅
・自壊
・自晒馬鹿丸出
M_SHIRAISHI
> 問題： 今の M_SHIRAISHI 氏の状況・心境を表す語として適切なものを選べ。
> ・自己卑下
> ・自己否定
> ・自暴自棄
> ・自縄自縛
> ・自業自得
> ・自己憐憫
> ・自画自賛
> ・自己陶酔
> ・自我崩壊
> ・自己矛盾
> ・自家撞着
> ・自虐趣味
> ・自傷性癖
> ・自意識過剰
> ・自滅
> ・自壊
> ・自晒馬鹿丸出
ソチは、余程、「閑職」に付かされて居るようだな。 (゜д゜)
# 古人曰く：－ 小人閑居して不善をなす。 ヽ(＾。＾)ノ
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> ソチは、余程、「閑職」に付かされて居るようだな。 (゜д゜)
閑職だったらほんとうにいいのにね、とつくづく思う。これ本音。
> # 古人曰く：－ 小人閑居して不善をなす。 ヽ(＾。＾)ノ
そっちはヒマそうでいいですね。
でなになに？
> Date: 16 Mar 2004 03:05:23 -0800
> Message-ID: <800c7853.04031...@posting.google.com>
> # 受験生でもないのに、そんなしょうもない問題にかかわるのは、時間の無駄だ。
と言ったそばから
> Date: 17 Mar 2004 08:48:49 -0800
> Message-ID: <800c7853.04031...@posting.google.com>
> 999人の敵に一人ずつ対戦するとした場合、その全員に勝てる確率は (1/2)^999
ですか？よほどムダな時間が余ってるんでしょうね。
んでもって：
> Date: 28 Jan 2004 18:01:17 -0800
> Message-ID: <800c7853.04012...@posting.google.com>
>
> 愈々、この問題に「決着を付ける」べきときが来たようです。
> クジを引く前は（自分も含めて）当選する確率は誰もが
> 1/1000 である。
なんか別の問題やっちゃってるみたいですね。なんでまた。
# まさか (1/2)^999 = 1/1000 ではありますまいに。
M_SHIRAISHI さんへの論駁は簡単。
矛盾しているところをつないで示せばいいだけで、
こちらは何もする必要がない。省エネ反論ですね。
Robin Chapman がやってるのもそれだけのこと。
それにしても彼に対して律儀に応答しているみたいだけど、
内容が支離滅裂なだけでなく、妙に引け腰でオロオロしているわ、
媚びへつらっているようなところがあるわ、
「日本人ってや～ね！」の典型パターンじゃない。
こんな程度じゃ：
http://www.crank.net/
にも載せてもらえないよ。
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHI wrote:
> > ???????????????????????? (???)
>
> ??????????????????????????????
>
> > # ?????? ???????????? ?(???)?
>
> ???????????????
> ??????> > # ????????????????????????????????????
>
> ????????> > 999????????????????????????????? (1/2)^999
>
> ????????????????????????
> ??????> > ????????????????????????????
> > ?????????????????????????
> > 1/1000 ????
>
> ???????????????????????????
> ?# ??? (1/2)^999 = 1/1000 ??????????
>
> M_SHIRAISHI ??????????
> ???????????????????????
> ???????????????????????
>
> Robin Chapman ???????????????
> ???????????????????????????
> ??????????????????????????????
> ????????????????????
> ???????????????????????
>
> ????????
> ?http://www.crank.net/
> ????????????
????????????????????????????
??????????????(???)?
M_SHIRAISHI
こんな↑「しょうもない駄文」を投稿していることが、
ソチが閑職につかされている証拠だな。ヽ(＾。＾)ノ
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> こんな↑「しょうもない駄文」を投稿していることが、
> ソチが閑職につかされている証拠だな。ヽ(＾。＾)ノ
そうそう、その調子。
そうやって sci.math からも悪態つきながら逃げ出しなさい。
それがいつものスタイルなんだから。
# もっとも黙って消えたところで誰も気にもしないだろうけど。
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHI wrote:
> > こんな↑「しょうもない駄文」を投稿していることが、
> > ソチが閑職につかされている証拠だな。ヽ(＾。＾)ノ
>
> そうそう、その調子。
閑職につかされているのは図星のようだな。 ヽ(＾。＾)ノ
Atsunori Tamagawa
>
> 閑職につかされているのは図星のようだな。 ヽ(＾。＾)ノ
アインシュタインはチューリッヒ工科大学を卒業後に、
友人の世話でスイスの特許庁に閑職を見つけたからこそ、
その後に色々と世間を騒がす研究に打ち込めたのです。
雑事に忙しいと、本末が転倒しちゃうの。(徒然草 第188段参照)
ところで以下の問題を毎日ずーーーっと考えてるんですけど、
これ、本当に可能なんでしょうね？
>【問題】 単位（＝１）の長さの線分と、任意の長さ s の線分とか与えられているとき、
>
> １） s2 の長さの線分を作図せよ。
>
> ２） √s の長さの線分を作図せよ。
>
> ３） s^(1/3) の長さの線分を作図せよ。
玉川厚徳
M_SHIRAISHI
>
> 以下の問題を毎日ずーーーっと考えてるんですけど、
> これ、本当に可能なんでしょうね？
>
> >【問題】 単位（＝１）の長さの線分と、任意の長さ s の線分とか与えられているとき、
> >
> >
> > ２） √s の長さの線分を作図せよ。
> >
> > ３） s^(1/3) の長さの線分を作図せよ。
>
ギャグだったりして。 ヽ(＾。＾)ノ
N.S.
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:800c7853.0403...@posting.google.com...
何を用いて作図するかによると思いますが、
「定規とコンパスで作図できるのは、数式で表現したとき、
加減乗除と√の有限個の組み合わせに限る」
｛(定規とコンパスで挑む数学（ブルーバック
ス）｝
ではいけないのでしょうか。
それともまったく違う問題？
N.S
M_SHIRAISHI
「ふざけんじゃないよ！」って声が聞こえてきそうなので、マジメに回答
しておきます：－
上記の、１）と ２）とは「定規とコンパスのみで」作図できます。(゜д゜)
# ３）は「定規とコンパスのみでは」作図できないことが証明されています。
Yoshitaka Ikeda
π^2とか√πも描けるんですか?
すみませんが、作図法をお教えください。
--
Yoshitaka Ikeda mailto:ik...@4bn.ne.jp
M_SHIRAISHI
任意に選んだ線分の長さが、たまたま、πであったときに、π^2や√πが作図
できる（定規とコンパスのみを使って！）だけの話です。 ヽ(＾。＾)ノ
Shinji KONO
In article <c3k4bl$81f$1...@caraway.media.kyoto-u.ac.jp>, Yoshitaka Ikeda <ik...@4bn.ne.jp> writes
> >> > >【問題】 単位（＝１）の長さの線分と、任意の長さ s の線分とか与えられているとき、
> >> > > １） s^2 の長さの線分を作図せよ。
> π^2とか√πも描けるんですか?
> すみませんが、作図法をお教えください。
なので、πの線分は与えられるんじゃないですか?
> >> > > ２） √s の長さの線分を作図せよ。
> >> > > ３） s^(1/3) の長さの線分を作図せよ。
> ># ３）は「定規とコンパスのみでは」作図できないことが証明されています。
2)が許されるんなら、3) も同じような方法で許されて良いんじゃ
ないかと思うんだけど、何故かそうではないんですよね。
作図の制約って時代を反映しているわけだけど、時代だけじゃなく
て、その時の学者の趣味も反映しているんだろうな。
今なら「有限回の繰り返しによる十分な近似」ぐらいは許すよね。
そうすると作図の範囲はかなり広がるわけですけど、どれくらい
広がるんだろう? っていうか、それでも作図できない問題って、
どんな問題?
---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科
Eiji KATSURA
ko...@ie.u-ryukyu.ac.jpさんは書きました。
> > >> > > ２） √s の長さの線分を作図せよ。
> > >> > > ３） s^(1/3) の長さの線分を作図せよ。
> > ># ３）は「定規とコンパスのみでは」作図できないことが証明されています。
>
> 2)が許されるんなら、3) も同じような方法で許されて良いんじゃ
> ないかと思うんだけど、何故かそうではないんですよね。
もちろん、放物線定規みたいのがあれば、ｓ^(1/3)は、(有限回で)
作図できる。
> 作図の制約って時代を反映しているわけだけど、時代だけじゃなく
> て、その時の学者の趣味も反映しているんだろうな。
いまどきの高校生は、πが無理数であることくらいは普通に
証明してくれる。( それだけ、パワフルな道具が普通の
道具になっているということ 。たぶん、その時代の
使いこなし難い道具を使ってやっと証明できるくらいの問題が
面白い問題なんでしょう。)
つまらない問題とは言わないけれど、もう面白い問題ではなくなっていますね。
> 今なら「有限回の繰り返しによる十分な近似」ぐらいは許すよね。
> そうすると作図の範囲はかなり広がるわけですけど、どれくらい
> 広がるんだろう? っていうか、それでも作図できない問題って、
> どんな問題?
選択公理が必要な図形とか？
桂 英治＠(株)横浜インテリジェンス ( kat...@hamaint.co.jp )
Yoshitaka Ikeda
SHIRAISHI氏ができると主張するのはわかってます。
可能か不可能かを問うているのではありません。
作図法を示せと言ってるだけです。
それは本当に有限手順内に実行できるのですか？
--
池田 尚隆(Yoshitaka Ikeda) mailto:ik...@4bn.ne.jp
Yuzuru Hiraga
まとめてのリプライ。
# にしても、Subject 変えようよ。
# これでは M_SHIRAISHI さんが晒し者じゃない。 :-)
Yoshitaka Ikeda wrote:
>>>【問題】 単位（＝１）の長さの線分と、任意の長さ s の線分とか与えられているとき、
>>> ...
>>>π^2とか√πも描けるんですか?
>>>すみませんが、作図法をお教えください。
>>
>>任意に選んだ線分の長さが、たまたま、πであったときに、π^2や√πが作図
>>できる（定規とコンパスのみを使って！）だけの話です。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> SHIRAISHI氏ができると主張するのはわかってます。
> 可能か不可能かを問うているのではありません。
> 作図法を示せと言ってるだけです。
>
> それは本当に有限手順内に実行できるのですか？
できますけど？
何か行き違いがあるようですが、問題では単位長 1 と s（今の場合π）が
所与であることに注意。
これは s=π 自身が（単位長だけを与えられて）作図可能かどうかとは別問題。
# これはできない。
1, s があれば s^2 の作図はほとんど自明、√s はもうちょっとトリッキー
だけど、これもできます。一般には 1, s があれば、それへの加減乗除と
平方根で得られる数はすべて作図可能です。
まあ作図法自体は M_SHIRAISHI さんに示してもらいましょう。
Eiji KATSURA wrote:
> もちろん、放物線定規みたいのがあれば、ｓ^(1/3)は、(有限回で)
> 作図できる。
定規に目印をつけていいなら、その定規とコンパスだけで
３次・４次方程式も解けます。
# すべてではないと思ったけど、不確か。方法は Vieta によります。
具体的には、倍積問題も角の３等分もできます。
> いまどきの高校生は、πが無理数であることくらいは普通に
> 証明してくれる。
そうかなあ。高校レベルでは難しいと思いますが。
πの無理性よりは簡単な e の無理性は、入試問題レベルでは見かけますね。
昨年の阪大とか。これも誘導があってやっと、という感じかな。
東大はこのところπに入れ込んでいるから、来年あたりπの無理性の証明が
出るかも。（今からツバつけとこ。）
それと超越性の証明は無理性の証明とは格段に違う。
# なお「高校生にもわかる作図不能問題」（特に倍積問題）は
# 別のところに書きました。
# http://rforum.rakuten.co.jp/?act=cattop&sid=2&cname=tokyo-shuppan
# の中の
# http://rforum.rakuten.co.jp/?act=viewmsg&cid=100081&fid=16105&mid=3717
# 続きの部分（定規とコンパスで作図できる条件）のところを
# まだ書いてないけど。
# まあネット検索しても、関連サイトは多数ありますね。
（平賀＠筑波大）
M_SHIRAISHI
人様に教えを乞うのに、「作図法を示せ」などという命令口調はいかがなものか？
フェルマと並んで「解析幾何学」の発見者であるデカルトが『方法序説』の付録
の「幾何学」↓で、それらの線分の作図法を示している。
"The Geometry of Rene Descartes" (Dover Reprint, pp.4-5)
Yoshitaka Ikeda
>
>まとめてのリプライ。
># にしても、Subject 変えようよ。
># これでは M_SHIRAISHI さんが晒し者じゃない。 :-)
>
>Yoshitaka Ikeda wrote:
>>>>【問題】 単位（＝１）の長さの線分と、任意の長さ s の線分とか与えられているとき、
>>>> ...
>>>>π^2とか√πも描けるんですか?
>>>>すみませんが、作図法をお教えください。
>>>
>>>任意に選んだ線分の長さが、たまたま、πであったときに、π^2や√πが作図
>>>できる（定規とコンパスのみを使って！）だけの話です。 ヽ(＾。＾)ノ
>>
>> SHIRAISHI氏ができると主張するのはわかってます。
>> 可能か不可能かを問うているのではありません。
>> 作図法を示せと言ってるだけです。
>>
>> それは本当に有限手順内に実行できるのですか？
>
>できますけど？
>何か行き違いがあるようですが、問題では単位長 1 と s（今の場合π）が
>所与であることに注意。
>これは s=π 自身が（単位長だけを与えられて）作図可能かどうかとは別問題。
> # これはできない。
>
>1, s があれば s^2 の作図はほとんど自明、√s はもうちょっとトリッキー
>だけど、これもできます。一般には 1, s があれば、それへの加減乗除と
>平方根で得られる数はすべて作図可能です。
>まあ作図法自体は M_SHIRAISHI さんに示してもらいましょう。
1とsがあるという条件だけで、ずいぶん変わるのですね。
s^2の作図については、自分でも考え付きました。
#よく考えれば、単なる比例の問題ですねこれは。
まだ√sはわかってないです。同じ問題に帰着できるのかな。
Yuzuru Hiraga
>s^2の作図については、自分でも考え付きました。
>#よく考えれば、単なる比例の問題ですねこれは。
はい。それを一般化すれば長さ a, b を与えられたとき、
積 ab, 商 a/b が作図できるのもいいですよね。
a+b, a-b は自明だろうから、これで四則演算が揃います。
（a-b は「ユークリッド原論」第１巻命題 3）
>まだ√sはわかってないです。同じ問題に帰着できるのかな。
余計なことを言って楽しみを奪ってもなんですので。
基本となるのは「縦横が 1, s の長方形と同面積の正方形」かな。
（実は原論第２巻命題 14）
方べきの定理を知ってれば話は早いし、他にもいろいろなやり方があります。
（平賀＠筑波大）