【中心極限定理】のパラドックス
M_SHIRAISHI
Pr{a≦<Ｘ>n≦b} の値は {1／(σ/√n)(√2π)}∫[a,b]exp{-(x-μ)^2／2(σ^2／n)}
で近似できる。 但し、μ，σは、それぞれ、母集団の、平均値，標準偏差で、
<Ｘ>n は、母集団から繰り返しを許してｎ個選んだ値の平均とする」というのは、
≪経験法則≫であるから、これはこれでいいとして、これを数学的に定式化した
ものとされる、次の
【定理】：α，βを任意の実数とするとき、
ｎ→∞ では Pr{α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β}
は ∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt に収束する．
には、以下のようなパラドックスが含まれている：－
α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β は、α(σ/√n)＋μ≦<Ｘ>n≦β(σ/√n)＋μ と
変形できる。 従って、ｎ→∞ では、α(σ/√n)→0，β(σ/√n)→0 であるから、
μ≦<Ｘ>n≦μ，即ち、<Ｘ>n＝μ．
よって、ｎ→∞ では、Pr{α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β}＝Pr{<Ｘ>n＝μ}．
従って、ｎ→∞ では、Pr{<Ｘ>n＝μ}＝∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt．
しかるに、Pr{<Ｘ>n＝μ} の値は、α,βに依存せず、１つに定まる筈であるのに、
∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt の値は、α,βに依存して、非可算無限個の値をとる筈
であり、不合理である。
上記のパラドックスを解明せよ。
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI さんさあ、いっちゃなんだけど、
あなたには解析学的な素質は全くないんだから、いいかげん諦めたら？
そもそも fxxy の件での自分の間違い（というか、ナンセンスぶり）は
わかったの？
M_SHIRAISHI wrote:
> 【定理】：α，βを任意の実数とするとき、
> ｎ→∞ では Pr{α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β}
> は ∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt に収束する．
>
> には、以下のようなパラドックスが含まれている：－
>
> α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β は、α(σ/√n)＋μ≦<Ｘ>n≦β(σ/√n)＋μ と
> 変形できる。 従って、ｎ→∞ では、α(σ/√n)→0，β(σ/√n)→0 であるから、
> μ≦<Ｘ>n≦μ，即ち、<Ｘ>n＝μ．
まず最後の行が間違い。それもどーしよーもなく初等的な間違いで、
学生には口を酸っぱくして「これだけはやるな」と強調する類の間違い。
n→∞ の極限とったら、<X>n みたいに n が残るはずないじゃないの！！
しかしそんなこと以前に、確率変数というものがわかってませんね。
この論法にしたがえば、最初の式：
α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β
は n→∞ のとき α≦ 0 ≦β に「収束(?)」するの？
> よって、ｎ→∞ では、Pr{α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β}＝Pr{<Ｘ>n＝μ}．
なにこれ？
あまりにあまりでコメントのしようもない。
（平賀＠筑波大）
M_SHIRAISHI
> まず最後の行が間違い。それもどーしよーもなく初等的な間違いで、
> 学生には口を酸っぱくして「これだけはやるな」と強調する類の間違い。
> n→∞ の極限とったら、<X>n みたいに n が残るはずないじゃないの！！
n→∞ のとき、<X>n＝μ なので、Pr{<X>n＝μ} と書くかわりに、
Pr{μ＝μ} と書いてもよかったのだが、*敢えて*Pr{<X>n＝μ}
と書いておいた迄のことだ。 ヽ(＾。＾)ノ
> しかしそんなこと以前に、確率変数というものがわかってませんね。
> この論法にしたがえば、最初の式：
> α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β
> は n→∞ のとき α≦ 0 ≦β に「収束(?)」するの？
βακαμων！
n→∞ のとき、<Ｘ>n がμに収束するってのに、(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n) が
0 に収束するわけ無いだろ。 ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI
Yuzuru Hiraga <hir...@ulis.ac.jp> wrote in message news:<40443957...@ulis.ac.jp>...
> n→∞ の極限とったら、<X>n みたいに n が残るはずないじゃないの！！
# 馬鹿も休み休み言うものだよ、源内１３世。 ヽ(＾。＾)ノ
ｎ→∞ のときの <X>n を問題にしているのだから、何ら問題無い。
Yoshitaka Ikeda
>n→∞ のとき、<Ｘ>n がμに収束するってのに、(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n) が
>0 に収束するわけ無いだろ。 ヽ(＾。＾)ノ
分母が->∞,分子が->0なんだから、0に収束するんじゃないんですか?
--
Yoshitaka Ikeda mailto:ik...@4bn.ne.jp
M_SHIRAISHI
>
> よって、ｎ→∞ では、Pr{α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β}＝Pr{<Ｘ>n＝μ}．
> 従って、ｎ→∞ では、Pr{<Ｘ>n＝μ}＝∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt．
> しかるに、Pr{<Ｘ>n＝μ} の値は
上記で、「Pr{<Ｘ>n＝μ} の値」って書いたのは、言う迄も無く、
「ｎ→∞ のときの Pr{<Ｘ>n＝μ} の値」ってことだよ。
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHIさんの<800c7853.04030...@posting.google.com>から
> >n→∞ のとき、<Ｘ>n がμに収束するってのに、(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n) が
> >0 に収束するわけ無いだろ。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> 分母が->∞,分子が->0なんだから、0に収束するんじゃないんですか?
分母は、σ/√n ですよ。
だから、n→∞ のとき、分母（σ/√n）も 0 に収束します。
従って、「(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n) が 0 に収束する」とは言えません。
Yuzuru Hiraga
# 別件で不思議なんだけど、なんで M_SHIRAISHI さんのリプライの
# Subject: には間に妙な空白が入ったりするの？
M_SHIRAISHI wrote:
>>しかしそんなこと以前に、確率変数というものがわかってませんね。
>>この論法にしたがえば、最初の式：
>> α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β
>>は n→∞ のとき α≦ 0 ≦β に「収束(?)」するの？
>
> βακαμων！
>
> n→∞ のとき、<Ｘ>n がμに収束するってのに、(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n) が
> 0 に収束するわけ無いだろ。 ヽ(＾。＾)ノ
ああ。そんなことを書いているということは、
問題にされているのがそんなことではないということが
まるっきりわかっていないことの現われですね。
「α≦0≦β」なんて書いたのは、それ以前の部分のナンセンスさを
際立たせるためだったのですが、際立たせ方が足りませんでしたか。
# それにしても「収束するわけ無いだろ」はないだろ。
# 単純に考えても 0/0 の不定形になるのだから、
# 0 に収束することだってありうるのに。
最初からやり直しますか。
それにしてもこれまで M_SHIRAISHI 氏の所業は数々見てきたつもりですが、
今回のハチャメチャぶりはその中でも群を抜いて際立ってますね。
何をどう考えればこんなにシッチャカメッチャカになるんだろう？
M_SHIRAISHI wrote:
> α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β は、α(σ/√n)＋μ≦<Ｘ>n≦β(σ/√n)＋μ と
> 変形できる。 従って、ｎ→∞ では、α(σ/√n)→0，β(σ/√n)→0 であるから、
> μ≦<Ｘ>n≦μ，即ち、<Ｘ>n＝μ．
簡単のために y_n = (<Ｘ>n－μ)／(σ/√n) と書きましょう。
普通の人が考える場合、y_n は確率変数であり、α≦ y_n ≦β というのは、
「確率変数 y_n がα以上、β以下の値をとる事象」として考えるでしょう。
Pr{α≦ y_n ≦β} はこの事象が生じる確率。
・注意 1： α、βは任意の値にとることができます。
まあ、α≦βぐらいの条件はつけるでしょうが、実はα＞βであってさえ
かまわない（その場合、自動的に空事象になるだけ）。
・注意 2： y_n は変数です。何か特定の値を持つわけではありません。
y_n に具体的な値を与えたとき、不等式が成り立つかどうかで、
その値が事象に含まれるかどうかが決まります。
・注意 3： つまり y_n は[α, β] 以外の値をも（一般には）とりえます。
・注意 4： n は標本の大きさを表すパラメタです。
ところが M_SHIRAISHI 氏はどうもこれを：
・y_n はなんらかの数列(??) を表す。
・α≦ y_n ≦β というのは、y_n が満たす条件を表す。
しかもこれはすべての n について成り立つ。
（つまりどの n についても y_n が [α, β] からはみ出すことはありえない。）
と解釈しているようですね。
そうでなければその後の「極限計算」が意味を持たない。
で、この２つが同じものかと言えば、....
おいおい、勘弁してくれよ、ですね。
見かけが同じ式でこれほど相反する解釈というのもそうそう思い浮かばない。
Comparing apples and oranges どころではなく、
これに匹敵するだけの例を探そうとしても、
「方程式を恒等式を間違える」ぐらいしか思い浮かばない。
到底かないませんなあ。
で、n→∞のとき <X>n = μ（正確に「書けば」<X>n→μ）らしいんですが、
すると <X>1, <X>2, ... 等々はどういう値なんでしょうねえ。
この問いは私には答えようがない。
「y = x^2 とする。このとき x の値を答えよ（あるいは y の値を答えよ）」
と聞かれているようなものですからね。
> n→∞ のとき、<X>n＝μ なので、Pr{<X>n＝μ} と書くかわりに、
> Pr{μ＝μ} と書いてもよかったのだが、*敢えて*Pr{<X>n＝μ}
> と書いておいた迄のことだ。 ヽ(＾。＾)ノ
上に比べればこっちのほうはもうどうでもいいようなものだけど、
それにしてもこのわずか 18 分後に：
> ｎ→∞ のときの <X>n を問題にしているのだから、何ら問題無い。
「*敢えて*」が「何ら問題無い」に変わっちゃったのはなぜ？
# まあこういったコロコロ変わりは fxxy のときも見られたけど。
いずれにせよ、大学（あるいは高校）の先生で、
「M_SHIRAISHI 君の言う通り、<X>n のままで正しい。」
という人がいたらお目にかかりたいですね。
私の試験でこれをやったら無条件でほぼ 0 点。
典型的誤答例：
lim (-1)^n (1/n) = (-1)^n・0 = 0
（平賀）
Yuzuru Hiraga
I wrote:
> 見かけが同じ式でこれほど相反する解釈というのもそうそう思い浮かばない。
> これに匹敵するだけの例を探そうとしても、
> 「方程式を恒等式を間違える」ぐらいしか思い浮かばない。
これは「方程式を恒等式であるかのように間違える」です。
ところで昔からのパズルでこんなのがありました。
３人の仲間が１個 1000円の商品を買うことにし、
代金 3000 円を A 君に渡して購入を頼んだ。
店員は A 君に商品を渡すとともに、「割引きです」と言って
500 円を返してくれた。帰りがてら A 君は、「どうせ 500 円じゃ
３人で割り切れないし、手間賃もあるから」といって 200 円を
ポケットに入れ、３人には商品と１人 100 円ずつの返金を渡した。
さて、３人が払ったのは結局各 900 円の合計 2700 円、
A 君がポケットに入れた 200 円を足しても 2900 円で、
当初の 3000 円に 100 円たりません。これはどうしたことでしょう？
M_SHIRAISHI さんがやったのは、感覚的にはこのパズルのトリックと
似たところがあるように思う。
# パズルのタネがわからない人は、割引きが 1000 円で
# A 君の着服が 100 円、400 円、700 円などとして考えてみてね。
（平賀）
Shinji KONO
In article <4044B1C2...@slis.tsukuba.ac.jp>, Yuzuru Hiraga <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> writes
> # 別件で不思議なんだけど、なんで M_SHIRAISHI さんのリプライの
> # Subject: には間に妙な空白が入ったりするの？
MIMEの規格は空白を保存しないからです。保存したければ全部をbase64
で encode しろってことらしいですね。
長すぎて分割されると、 =?...?=\n=?...?= となるわけですが、それが
decode されると空白が一つ入ります。これを入れないようにすると、
意図的に空けた空白が削除されます。次の空白を無視するマークってのを
入れてくれれば解決するんですが....
---
Shinji KONO @ Information Engineering, University of the Ryukyus
河野真治 @ 琉球大学工学部情報工学科
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> 上記のパラドックスを解明せよ。
要するに、数列の収束判定に使うような評価式でもなんでもないものを、
形が似ているからというだけの理由でそのように使ったのが最大の敗因。
そうと気づかずに書いたのならただのアホ。
承知の上で書いたのなら、間違い探しクイズとしてはまあまあかな。
こう言っておけば「そうだろうとも！」とか言って、
喜んで撤退してくれるかしらん。
実際には他にもおかしな点があり、それがクイズとしての完成度を
下げてもいるけど、それは許してあげよう。
Shinji KONO wrote:
> 長すぎて分割されると、 =?...?=\n=?...?= となるわけですが、それが
> decode されると空白が一つ入ります。
なるほど、改行が原因ですか。
だけど入る場合と入らない場合がある（ありそう？）なのはなぜだろう？
（平賀＠筑波大）
Nobuhiro Shibuya at Office
> だけど入る場合と入らない場合がある（ありそう？）なのはなぜだろう？
・Subject Header のRHS全体に対して B-encoding/decoding することなく
部分的に生JISコードで処理しているから(M_SHIRAISHIさんの場合が該当)
・Subject Header のRHSが一定以上の長さになると改行と空白文字[SPまたはTAB]を
挿入してRHSの長さを一定以内に保つよう置換された場合
B-encodeing/decodingにMUA実装毎に細かい違いがある
--
mailto:shi...@dd.iij4u.or.jp
Nobuhiro Shibuya at Office
Tokyo Japan
M_SHIRAISHI
>
> 簡単のために y_n = (<Ｘ>n－μ)／(σ/√n) と書きましょう。
> 普通の人が考える場合、y_n は確率変数であり、α≦ y_n ≦β というのは、
> 「確率変数 y_n がα以上、β以下の値をとる事象」として考えるでしょう。
> Pr{α≦ y_n ≦β} はこの事象が生じる確率。
> ・注意 1： α、βは任意の値にとることができます。
> まあ、α≦βぐらいの条件はつけるでしょうが、実はα＞βであってさえ
> かまわない（その場合、自動的に空事象になるだけ）。
> ・注意 2： y_n は変数です。何か特定の値を持つわけではありません。
> y_n に具体的な値を与えたとき、不等式が成り立つかどうかで、
> その値が事象に含まれるかどうかが決まります。
> ・注意 3： つまり y_n は[α, β] 以外の値をも（一般には）とりえます。
> ・注意 4： n は標本の大きさを表すパラメタです。
>
> ところが M_SHIRAISHI 氏はどうもこれを：
> ・y_n はなんらかの数列(??) を表す。
> ・α≦ y_n ≦β というのは、y_n が満たす条件を表す。
> しかもこれはすべての n について成り立つ。
> （つまりどの n についても y_n が [α, β] からはみ出すことはありえない。）
> と解釈しているようですね。
何を一人で妄想を逞しくして居るのだ、平賀源内１３世？ ヽ(＾。＾)ノ
同値な事象の確率は等しいので、α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β という事象を
「同値変形している」までのことだ。
α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β が α(σ/√n)＋μ≦<Ｘ>n≦β(σ/√n)＋μ と
同値であることは、論を待たない。
lim_[n→∞]Ｐｒ｛α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β｝----------------- (1)
＝ lim_[n→∞]Ｐｒ｛α(σ/√n)＋μ≦<Ｘ>n≦β(σ/√n)＋μ｝------- (2)
＝ lim_[n→∞]Ｐｒ｛μ≦<Ｘ>n≦μ｝------------------------------ (3)
＝ lim_[n→∞]Ｐｒ｛<Ｘ>n＝μ｝---------------------------------- (4)
# (1) と (2) との間の等号の成立は問題ないが、(2) と (3) との間に等号が
成立するかどうかには、疑問の余地があり、これが下記のパラドックスが発生す
るの原因なのかも知れないが、それはひとまずおこう ヽ(＾。＾)ノ
中心極限定理は
lim_[n→∞]Ｐｒ｛α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β｝＝∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt
の成立をうたっているのだから、(1)～(4) までの等式が成立するとすれば、
lim_[n→∞]Ｐｒ｛<Ｘ>n＝μ｝＝∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt
上記の等式の左辺は、α,βには依存せず、１つの値にきまる。 しかるに、左辺は
α,βの値いかんによって、非可算無限個の値をとりえる ---- パラドックス発生！
Takao Ono
<800c7853.04030...@posting.google.com>の記事において
eu...@apionet.or.jpさんは書きました。
eurms> lim_[n→∞]Ｐｒ｛α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β｝----------------- (1)
eurms> ＝ lim_[n→∞]Ｐｒ｛α(σ/√n)＋μ≦<Ｘ>n≦β(σ/√n)＋μ｝------- (2)
eurms> ＝ lim_[n→∞]Ｐｒ｛μ≦<Ｘ>n≦μ｝------------------------------ (3)
eurms> ＝ lim_[n→∞]Ｐｒ｛<Ｘ>n＝μ｝---------------------------------- (4)
eurms> # (1) と (2) との間の等号の成立は問題ないが、(2) と (3) との間に等号が
eurms> 成立するかどうかには、疑問の余地があり、これが下記のパラドックスが発生す
eurms> るの原因なのかも知れないが、それはひとまずおこう ヽ(＾。＾)ノ
(1) ⇒ (2), (3) ⇒ (4) はいいと思うけど, (2) ⇒ (3) はまずいんじゃ
ないかな?
「α(σ/√n) + μ ≦ <X>n ≦ β(σ/√n) + μ」
と
「ασ√n + μn ≦ X1～Xn までの和 ≦ βσ√n + μn」[1],
「μ ≦ <X>n ≦ μ」
と
「μn ≦ X1～Xn までの和 ≦ μn」[2]
はそれぞれ同値だけど, [1] と [2] は全く違うから.
--
名古屋大学大学院 情報科学研究科 計算機数理科学専攻
小野 孝男
M_SHIRAISHI
>
> lim_[n→∞]Ｐｒ｛α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β｝＝∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt
>
> の成立をうたっている
∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt の前に定数係数の 1／√(2π) を付け忘れてました。 m(_ _)m
M_SHIRAISHI
ん？ [1] は「ασn√n + μn ≦ X1～Xn までの和 ≦ βσn√n + μn」のミスでは？
しかし、n→∞ のときには、α(σ/√n)＋μ→μ で、かつ β(σ/√n)＋μ→μ なのだ
から、
lim_[n→∞]Ｐｒ｛α(σ/√n)＋μ≦<Ｘ>n≦β(σ/√n)＋μ｝
＝ lim_[n→∞]Ｐｒ｛μ≦<Ｘ>n≦μ｝
が成立する筈では？
Takao Ono
<800c7853.04030...@posting.google.com>の記事において
eu...@apionet.or.jpさんは書きました。
eurms> > 「α(σ/√n) + μ ≦ <X>n ≦ β(σ/√n) + μ」
eurms> > と
eurms> > 「ασ√n + μn ≦ X1～Xn までの和 ≦ βσ√n + μn」[1],
eurms> > 「μ ≦ <X>n ≦ μ」
eurms> > と
eurms> > 「μn ≦ X1～Xn までの和 ≦ μn」[2]
eurms> > はそれぞれ同値だけど, [1] と [2] は全く違うから.
eurms> ん？ [1] は「ασn√n + μn ≦ X1～Xn までの和 ≦ βσn√n + μn」のミスでは？
[1], [2] はどちらもその上の式に n を掛けて得られたものです.
eurms> しかし、n→∞ のときには、α(σ/√n)＋μ→μ で、かつ β(σ/√n)＋μ→μ なのだ
eurms> から、
eurms> lim_[n→∞]Ｐｒ｛α(σ/√n)＋μ≦<Ｘ>n≦β(σ/√n)＋μ｝
eurms> ＝ lim_[n→∞]Ｐｒ｛μ≦<Ｘ>n≦μ｝
eurms> が成立する筈では？
n が変化すると <X>n が従うべき確率分布も変化します (μ のまわりに
集中する).
で, 例えば f(x) = x + 3 に対しては
lim_[n → ∞] [f(1 + b/√n) - f(1 + a/√n)] = 0,
lim_[n → ∞] [f(1) - f(1)] = 0
だけど, f_n(x) = (√n)x + 3 だと
lim_[n → ∞] [f_n(1 + b/√n) - f(1 + a/√n)] = (b-a),
lim_[n → ∞] [f(1) - f(1)] = 0
というだけの話ではないかと.
Takao Ono
<0403041230...@flame.hirata.nuee.nagoya-u.ac.jp>の記事において
私は書きました。
takao> だけど, f_n(x) = (√n)x + 3 だと
takao> lim_[n → ∞] [f_n(1 + b/√n) - f(1 + a/√n)] = (b-a),
takao> lim_[n → ∞] [f(1) - f(1)] = 0
う, 中途半端に間違えた. それぞれ
lim_[n → ∞] [f_n(1 + b/√n) - f_n(1 + a/√n)] = (b-a),
lim_[n → ∞] [f_n(1) - f_n(1)] = 0
です.
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> 同値な事象の確率は等しいので、α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β という事象を
> 「同値変形している」までのことだ。
ああ、ようやく何を問題にしているのかがわかってきました。
（もっとも説明されたからわかったというよりは、考えた末に
「こういうことであろう」と想像がついた、というべきですが。）
これは直接的には中心極限定理の問題ではない、というか、
それを中心極限定理の文脈で騙ろう、もとい、語ろうという話ですね。
=====
関数列 fn(x) を
fn(x) = n-n^2|x| (|x|≦1/n)
= 0 (|x|>1/n)
とします（n は自然数に限定せず、正の実数でもよい）。
これは x 軸を底辺とし、y 軸上に頂点のある面積 1 の二等辺三角形の
等辺を表しています（|x|>1/n の部分はオマケ）。
したがって任意の n について：
Fn = ∫_{-∞, +∞} fn(x) dx = ∫_{-1/n, 1/n} fn(x) dx = 1
Fn は常に 1 だから、明らかに lim Fn = 1。
ところが fn(x) のほうは、n が大きくなるにつれて
三角形の底辺はどんどん狭くなり、頂点はどんどん高くなる。
lim fn(x) = 0 (x≠0), lim fn(0) は発散。
これを上の積分式に当てはめると、
・第１の式では、x=0 以外のすべての x で fn(x)→0 なのに、
積分値が 0 にならないのは不合理。
・第２の式では、積分範囲が [0, 0] に収束し、一般に
∫_{a,a} f(x) dx = 0 なので不合理。
といった議論はできるわけですね。
これは確かにパラドキシカルだけど、古典解析の範囲では
関数列の極限と積分の順序交換可能性（無条件にはできない）、
一様収束性などの文脈で語られる話題ですね。
ちなみに上では fn(0) は発散するけど、底辺を [-1/n, 1/n]
から [0, 2/n] にずらす（あるいは頂点を x=1/n にずらす）、つまり
gn(x) = fn(x-1/n)
とすると、面積（積分）はそのままで、今度はすべての x について
lim gn(x) = 0
になります。つまりいくらでも高くなっていく頂点が、
極限では忽然と消えてしまいます。その結果、
「定数関数 g(x)=0 の積分が 1 になるのは矛盾！」ですね。
# これはもちろん、gn(x) の収束が一様収束でないことによります。
一方、fn(x) の極限にも意味を持たせようとすると古典的な関数概念の
拡張が必要で、それが Dirac のδ(x) にほかなりません。
実は正規分布 N(0, σ^2/n) で n→∞ とするのは、
δ(x) の「表現形式」の１つです。
=====
さて、M_SHIRAISHI さんの議論は、端的に言ってしまえば、
確率変数 X に対し、Yn = X/n とすると：
Pr(α≦X≦β) = Pr(α/n≦Yn≦β/n)
しかるに n→∞をとると、右辺は Pr(0≦Y∞≦0) であってこれは不合理、
といったことにあたります。これは上で
lim ∫_{-1/n, 1/n} fn(x) dx = ∫_{0, 0} f∞(x) dx = 1
は不合理、というのにほぼそのまま対応します。
中心極限定理が言っているのは、あくまで (<X>n-μ)/(σ/√n) の
確率密度関数 fn(x) が N(0, 1) に収束する、ということで、
上の議論とは直接的には関係ありません。
なお上の議論でも、そもそも Y∞ にはどういう意味があるのか
（そもそも意味があるのか）、元に戻って、<X>n はどういう意味か、
lim <X>n は何なのかは考えてもらう必要はあります。
そこが問題点の１つではある。
（平賀＠筑波大）
Takahasi Makoto
誰かが指摘するだろうと思っていたのだけれど、…
この問題、SHIRAISHIさんがはじめに提起した、
------------------
【定理】：α，βを任意の実数とするとき、
ｎ→∞ では Pr{α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β}
は ∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt に収束する．
------------------
がすでに間違っているのではないか。なぜかというとその前段、
------------------
「母集団の分布がどんなものであっても、ｎの値を充分大きくとれば、
Pr{a≦<Ｘ>n≦b} の値は {1／(σ/√n)(√2π)}∫[a,b]exp{-(x-μ)^2／2(σ^2／n)}
で近似できる。 但し、μ，σは、それぞれ、母集団の、平均値，標準偏差で、
<Ｘ>n は、母集団から繰り返しを許してｎ個選んだ値の平均とする」というのは、
≪経験法則≫であるから、これはこれでいいとして、これを数学的に定式化した
ものとされる、次の…
------------------
で、ｎ→∞としたとき、{1／(σ/√n)(√2π)}∫[a,b]exp{-(x-μ)^2／2(σ^2／n)}
が1／(√2π)∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dtに収束するとは思えない。
積分の前の係数1／(σ/√n)と指数関数の中の分母(σ^2／n)はどこへ？
常識的に考えても、nが大きくなるほど平均値<X>_nのバラつきは小さくなる。
ｎ→∞では分散が０になり、<X>_nは一定値に収束する。
その収束先がμに一致するというのが「中心極限定理」です。
上の被積分関数はディラックのデルタ関数(の一種）δ(ｘ-μ)に「収束」する。
(超関数（ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ）としての収束)
したがって、問題の確率(積分)は区間[α,β]がμを含めば１、そうでなければ０に
収束
すなわち<X>_nはほぼ確実にμに収束するのです。
(「ほぼ確実」とは、「確率０の場合を除いて」のことです、念のため）。
＃上のことはさておいても、
極限と確率(積分)の順序を変えて、
lim_(n→∞)Pr{ E_n } (確率の値の極限)と、
Pr{ lim_(n→∞)E_n } (極限事象の確率の値)が、
一致すると決めてかかってよいものか？
Yuzuru Hiraga
Takahasi Makoto wrote:
> この問題、SHIRAISHIさんがはじめに提起した、
> ------------------
> 【定理】：α，βを任意の実数とするとき、
> ｎ→∞ では Pr{α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β}
> は ∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt に収束する．
>
> ------------------
> がすでに間違っているのではないか。
うんにゃ。これは正しいですよ。
もっともご本人からも訂正があったように、
正規化係数 1/√(2π) を掛ける必要がありますけど。
# ところで「正規」(normal, normalize) というのは、「正規直交基底」
# とかの場合のように大きさ等を規格化するという用語だから、
# N(0,1) (μ=0, σ=1) は「正規正規分布」と呼んでもよさそうな
# ものだけど、さすがにみっともないので「標準正規分布」ですね。
# もっともこれは英語等からそのまま来ている（Standard Normal Dist.)。
# 統計学と数学本流との用語の違いがこの原因らしい。
> 常識的に考えても、nが大きくなるほど平均値<X>_nのバラつきは小さくなる。
そうなんですけど、σ/√n で割っている点に注意。
これもどんどん小さくなりますから、バラつきの小さくなり加減と
バランスがとれてしまうんです。
> ＃上のことはさておいても、
> 極限と確率(積分)の順序を変えて、
> lim_(n→∞)Pr{ E_n } (確率の値の極限)と、
> Pr{ lim_(n→∞)E_n } (極限事象の確率の値)が、
> 一致すると決めてかかってよいものか？
これはまあその通り。
（平賀＠筑波大）
M_SHIRAISHI
>
> 極限と確率(積分)の順序を変えて、
> lim_(n→∞)Pr{ E_n } (確率の値の極限)と、
> Pr{ lim_(n→∞)E_n } (極限事象の確率の値)が、
> 一致すると決めてかかってよいものか？
そこが、この paradox の眼目だな。 ヽ(＾。＾)ノ
しかし、lim_(n→∞)Pr{ E_n } ＝ Pr{ lim_(n→∞)E_n }
は、必ずしも成立しない ---- 更に言えば、どういう場合に成立し、
どういう場合には成立しない ---- ってことを「証明」しないこと
には、この paradox を解明したことにはナラナイ。 (゜д゜)
M_SHIRAISHI
>
> n が変化すると <X>n が従うべき確率分布も変化します (μ のまわりに
> 集中する).
μ のまわりに集中するからこそ、
lim_[n→∞]Ｐｒ｛α(σ/√n)＋μ≦<Ｘ>n≦β(σ/√n)＋μ｝
＝ lim_[n→∞]Ｐｒ｛μ≦<Ｘ>n≦μ｝------- (A)
の等式が成立することになるのではないかってわけです。 ヽ(＾。＾)ノ
> で, 例えば f(x) = x + 3 に対しては
> lim_[n → ∞] [f(1 + b/√n) - f(1 + a/√n)] = 0,
> lim_[n → ∞] [f(1) - f(1)] = 0
> だけど, f_n(x) = (√n)x + 3 だと
> lim_[n → ∞] [f_n(1 + b/√n) - f(1 + a/√n)] = (b-a),
> lim_[n → ∞] [f(1) - f(1)] = 0
> というだけの話ではないかと.
これは「上記の(A)の等式が成立するではないか？」という問題とは
関係の無い話じゃないの？
M_SHIRAISHI
>
> > 極限と確率(積分)の順序を変えて、
> > lim_(n→∞)Pr{ E_n } (確率の値の極限)と、
> > Pr{ lim_(n→∞)E_n } (極限事象の確率の値)が、
> > 一致すると決めてかかってよいものか？
>
> これはまあその通り。
「これはまあその通り」じゃなくて、こここそが件の paradox の
目玉なんだよ。 ヽ(＾。＾)ノ
Takahasi Makoto
> Takahasi Makoto wrote:
> > この問題、SHIRAISHIさんがはじめに提起した、
> > ------------------
> > 【定理】：α，βを任意の実数とするとき、
> > ｎ→∞ では Pr{α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β}
> > は ∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt に収束する．
> >
> > ------------------
> > がすでに間違っているのではないか。
> うんにゃ。これは正しいですよ。
> もっともご本人からも訂正があったように、
> 正規化係数 1/√(2π) を掛ける必要がありますけど。
確かに、ｎがどんなに大きくても有限なら
期待値０分散１の分布に変換可能ですが、ｎ→∞と
した”後”では、分散０ですから標準正規分布には
なりえません。つまり、ｎが大きくなればいくらでも
正規分布に近づくが、最終到達(収束)先は正規分布ではない。
「○○でいくらでも近似でき」ても「○○に収束する」とは
限らないのです。
＃ 「アキレスは、”亀に追いつくまでは、いつでも”亀の後ろにいる」
といえばあたりまえだが、
「アキレスは、”いつまでたっても”亀に追いつけない」
といいかえると有名なパラドクス
> > 極限と確率(積分)の順序を変えて、
> > lim_(n→∞)Pr{ E_n } (確率の値の極限)と、
> > Pr{ lim_(n→∞)E_n } (極限事象の確率の値)が、
> > 一致すると決めてかかってよいものか？
といったのですが、この場合は極限操作の順序より前に
lim_(n→∞)E_n という”極限事象”の定義が問題です。
数列と同じように”事象列”の極限や収束を定義できる
のでしょうか？
普通は、事象をある空間の集合に対応させるので、
集合の極限や収束が定義できれば事象の極限の
確率も定義できるのですが、さて、……
＃”確率は集合の測度などでは断じてない”とおっしゃる方に
どう説明したものやら
M_SHIRAISHI
>
> 数列と同じように”事象列”の極限や収束を定義できる
> のでしょうか？
「大数の強法則」の名で知られている定理は、Pr｛lim_[n→∞]<Ｘ>_n＝μ｝＝１
だけど、この定理を否定するつもりなの？ ヽ(＾。＾)ノ
> ＃”確率は集合の測度などでは断じてない”とおっしゃる方に
> どう説明したものやら
確率は集合の測度などでは断じてないが、それは上記の一件とは、何ら「関係無い」。
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI さ～ん。大丈夫ですかあ～？
って書くのは何度目か。
まあそろそろこわれてくるタイミング、ということか。
この前の「A(x,y) は*適当な函数*」もすごかったけどね。
それにしても sci.math にまで書いちゃったようですね。
よせばいいのに。ってもう手遅れか。
問題１：上の文脈で適切な表現はどれか。
a.「これはまあその通り」じゃなくて、こここそが件の paradox の目玉なんだよ。
b.「これはまあその通り」どころか、【以下同文】
c.「これはまあその通り」の通りで、....
d.「これは無関係」じゃなくて、...
e.「これは無関係」どころか、...
f.「これは無関係」の通りで、...
問題２： lim Pr(μ≦<X>n≦μ) を、もちろん通常の数学記法の意味で解して、
上の Takahashi さんのどのケースにあたるか。
（実際には Takahashi さんはもっと厳密なことを気にされているようですが、
そんなレベルの話でもないのでおおらかに考えましょう。）
a. lim_(n→∞)Pr{ E_n } (確率の値の極限)
b. Pr{ lim_(n→∞)E_n } (極限事象の確率の値)
c. どちらでもない
問題３： An = Pr(μ≦<X>n≦μ)、A = lim An とするとき、
An, A について正しいのは次のどれか。
a. すべて 0
b. すべて 1
c. An はすべて 0 だが、A=1
d. An はすべて 1 だが、A=0
e. An の値は特定できないが、A=1
f. An の値は特定できないが、A=0
g. lim An は発散する、つまり A は存在しない
h. 上のどれでもない
（平賀＠筑波大）
Yuzuru Hiraga
Yuzuru Hiraga wrote:
> 問題３： An = Pr(μ≦<X>n≦μ)、A = lim An とするとき、
> An, A について正しいのは次のどれか。
> a. すべて 0
> b. すべて 1
> c. An はすべて 0 だが、A=1
> d. An はすべて 1 だが、A=0
> e. An の値は特定できないが、A=1
> f. An の値は特定できないが、A=0
> g. lim An は発散する、つまり A は存在しない
> h. 上のどれでもない
う、忘れてた。X は一応連続分布としましょう。
また離散分布だとどうなりますか？
> （平賀＠筑波大）
>
M_SHIRAISHI
> M_SHIRAISHI さ～ん。大丈夫ですかあ～？
ご心配を頂き(？)、ありがとう。
> まあそろそろこわれてくるタイミング、ということか。
いや、壊れはせんよ。 確固たる「論*狸*学」の上に立脚してるんでね。 ヽ(＾。＾)ノ
> それにしても sci.math にまで書いちゃったようですね。
イタズラ心が騒いだもんでね。 ヽ(＾。＾)ノ
# しかし、雑魚しか釣れなかったみたい。
M_SHIRAISHI
> > Yuzuru Hiraga <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message news:<4046CA0F...@slis.tsukuba.ac.jp>...
> >
> >>> 極限と確率(積分)の順序を変えて、
> >>> lim_(n→∞)Pr{ E_n } (確率の値の極限)と、
> >>> Pr{ lim_(n→∞)E_n } (極限事象の確率の値)が、
> >>> 一致すると決めてかかってよいものか？
> >>
> >>これはまあその通り。
> >
> > 「これはまあその通り」じゃなくて、こここそが件の paradox の
> > 目玉なんだよ。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> 問題１：上の文脈で適切な表現はどれか。
> a.「これはまあその通り」じゃなくて、こここそが件の paradox の目玉なんだよ。
> b.「これはまあその通り」どころか、【以下同文】
> c.「これはまあその通り」の通りで、....
> d.「これは無関係」じゃなくて、...
> e.「これは無関係」どころか、...
> f.「これは無関係」の通りで、...
>
> 問題２： lim Pr(μ≦<X>n≦μ) を、もちろん通常の数学記法の意味で解して、
> 上の Takahashi さんのどのケースにあたるか。
> （実際には Takahashi さんはもっと厳密なことを気にされているようですが、
> そんなレベルの話でもないのでおおらかに考えましょう。）
> a. lim_(n→∞)Pr{ E_n } (確率の値の極限)
> b. Pr{ lim_(n→∞)E_n } (極限事象の確率の値)
> c. どちらでもない
>
> An, A について正しいのは次のどれか。
> a. すべて 0
> b. すべて 1
> c. An はすべて 0 だが、A=1
> d. An はすべて 1 だが、A=0
> e. An の値は特定できないが、A=1
> f. An の値は特定できないが、A=0
> g. lim An は発散する、つまり A は存在しない
> h. 上のどれでもない
sci.mathでは、Robin Chapman なる御仁が、「a.すべて 0」を主張しているけど、
私は、「c. An はすべて 0 だが、A=1」が正しいんじゃないかって思うんだけど、
哀しい哉、その「証明」ができない。 ヽ(＾。＾)ノ
Yuzuru Hiraga
>> 問題３： An = Pr(μ≦<X>n≦μ)、A = lim An とするとき、
>> An, A について正しいのは次のどれか。
>> a. すべて 0
>> b. すべて 1
>> c. An はすべて 0 だが、A=1
>> d. An はすべて 1 だが、A=0
>> e. An の値は特定できないが、A=1
>> f. An の値は特定できないが、A=0
>> g. lim An は発散する、つまり A は存在しない
>> h. 上のどれでもない
>
>sci.mathでは、Robin Chapman なる御仁が、「a.すべて 0」を主張しているけど、
>私は、「c. An はすべて 0 だが、A=1」が正しいんじゃないかって思うんだけど、
>哀しい哉、その「証明」ができない。 ヽ(＾。＾)ノ
................. 絶句 .................
Takahashi Makoto
大数の法則とは、よいところに気がつきましたね。
これこそ私が、
------------------
【定理】：α，βを任意の実数とするとき、
ｎ→∞ では Pr{α≦(<Ｘ>n－μ)／(σ/√n)≦β}
は ∫[α,β]exp{-(t^2)／2}dt に収束する．
------------------
Xが正の分散をもつ連続確率分布に従うなら、任意の実数ｐに対して Pr{X=p}=0 で
あり、Pr｛lim_[n→∞]<Ｘ>_n＝μ｝＝１
なら、lim_[n→∞]<Ｘ>_n は正規分布ではないことになります。
> 「大数の強法則」の名で知られている定理は、Pr｛lim_[n→∞]<Ｘ>_n＝μ｝＝１
> だけど、この定理を否定するつもりなの？ ヽ(＾。＾)ノ
否定されるのは大数の法則ではなく、上の【定理】です。上の定理中の「収束」を
「漸近」にかえれば、ほぼ正しい。ただし、元の確率変数が(正の分散を持つ)正規分布
の場合は、漸近でなく正規分布に『一致』する(そのときもｎ→∞では正規分布では
ない）。
# S_n=∑[k=0,n](1/k!)
# では、すべてのｎについて S_nは有理数だが
# n→∞での収束先は無理数(自然対数の底ｅ）。
> > ＃”確率は集合の測度などでは断じてない”とおっしゃる方に
> > どう説明したものやら
>
>
> 確率は集合の測度などでは断じてないが、それは上記の一件とは、何ら「関係無
い」。
集合と測度(積分)の概念を使わずに確率論を展開できるなら、どうぞやってくださ
い。私にはできそうもないというだけのことです。
Takahashi Makoto
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:800c7853.04030...@posting.google.com...
> Yuzuru Hiraga <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message
news:<404A3268...@slis.tsukuba.ac.jp>...
> > Yuzuru Hiraga wrote:
> > > 問題３： An = Pr(μ≦<X>n≦μ)、A = lim An とするとき、
> > > An, A について正しいのは次のどれか。
> > > a. すべて 0
> > > b. すべて 1
> > > c. An はすべて 0 だが、A=1
> > > d. An はすべて 1 だが、A=0
> > > e. An の値は特定できないが、A=1
> > > f. An の値は特定できないが、A=0
> > > g. lim An は発散する、つまり A は存在しない
> > > h. 上のどれでもない
> >
> > う、忘れてた。X は一応連続分布としましょう。
> >
【一部省略】
>
> sci.mathでは、Robin Chapman なる御仁が、「a.すべて 0」を主張しているけど、
> 私は、「c. An はすべて 0 だが、A=1」が正しいんじゃないかって思うんだけど、
> 哀しい哉、その「証明」ができない。 ヽ(＾。＾)ノ
わたしはsci.mathをまだ参照してませんが、標準的な答えは
a すなわちAnも Aも0だと思う。理由はＡｎは実数列なので、有限項がすべて０のと
きにそれと異なる極限値に収束するとは考えにくい。もちろん極限や収束の定義に
よってはｇやｈになるかもしれない。
一方、An = Pr(μ≦<X>n≦μ)、A = Pr(μ≦lim<X>n≦μ)、
ならば、ｃが答えでしょう。証明は、<X>nはすべて正の分散をもつ連続確率変数だか
ら一点における確率は０。ｎ→∞では大数の法則によりμに概収束するから
A=Pr(lim<X>n=μ)=1。
＃離散分布の場合も、大数の法則Pr(lim<X>n=μ)=1はたいてい成立するが、有限のｎ
についてPr(<X>n=μ)=０とは限らないので、なんともいえない(強いて言えばｈか
な）。
Tsukamoto Chiaki
平均 μ, 分散 σ^2 > 0 を持つ可算個の独立同分布の確率変数 X_n に
対し, その「 n 個の平均」Y_n = (Σ_{i=1}^n X_i)/n と, (Y_n は,
平均 μ, 分散 (σ^2)/n であるので,) Y_n を平均 0, 分散 1 となる
ように規格化したもの Z_n = (Y_n - μ)/(σ/sqrt(n)) を考える訳ですが,
In article <c29fcp$7im$1...@dccns.dcc.co.jp>
"Takahasi Makoto" <taka...@dcc.co.jp> writes:
> 確かに、ｎがどんなに大きくても有限なら
> 期待値０分散１の分布に変換可能ですが、ｎ→∞と
> した”後”では、分散０ですから標準正規分布には
> なりえません。つまり、ｎが大きくなればいくらでも
> 正規分布に近づくが、最終到達(収束)先は正規分布ではない。
これは, Y_n の収束先 Y の分布が μ での Dirac 測度であるという
ことと, Z_n の収束先 Z の分布が標準正規分布 N(0, 1) であることの
理解において, 何か混乱があるのではないですか.
--
塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chi...@ipc.kit.ac.jp
GON
>
> いや、壊れはせんよ。 確固たる「論*狸*学」の上に立脚してるんでね。 ヽ(＾。＾)ノ
御大自らが自分の理論を「論*狸*学」と認めた瞬間か？ｗ
つまり、自分がトンデモであることを自覚したってことかｗ
> > それにしても sci.math にまで書いちゃったようですね。
>
> イタズラ心が騒いだもんでね。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> # しかし、雑魚しか釣れなかったみたい。
２ｃｈでたくさんの雑魚を釣ってる御大でありますたｗｗｗ
M_SHIRAISHI
>
> > 確率は集合の測度などでは断じてないが、それは上記の一件とは、何ら「関係無
> い」。
> 集合と測度(積分)の概念を使わずに確率論を展開できるなら、どうぞやってくださ
> い。私にはできそうもないというだけのことです。
「確率」は集合の測度などでは断じてないが、「*確率論*が集合や測度(積分)の概念を
使わずに展開できる」などと言った覚えは無い。 (゜д゜)
M_SHIRAISHI
餅でも喉に詰まらせたのかな？
GON
また御大特有の「*○○○*」記号使って屁理屈捏ねまわしてからにｗ
Yuzuru Hiraga
Yuzuru Hiraga wrote:
> In article <800c7853.04030...@posting.google.com> eu...@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI) writes:
>>>問題３： An = Pr(μ≦<X>n≦μ)、A = lim An とするとき、
...
>>sci.mathでは、Robin Chapman なる御仁が、「a.すべて 0」を主張しているけど、
>>私は、「c. An はすべて 0 だが、A=1」が正しいんじゃないかって思うんだけど、
>>哀しい哉、その「証明」ができない。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> ................. 絶句 .................
と書いてはみたものの、この調子でいくと次の攻撃目標は
「εδ論法は間違っている！」になるのかなあ、と危惧したりする。
それはともかく、問題の一部は用語のあまりの独自性（言い換えれば稚拙さ）
にあるわけで、そこらをできるだけ好意的に解釈してあげようとは
努力しているんですが、なかなかそれを汲んでもらえないようで。
=======================================================================
L. Wittgenstein:
もしライオンが話せたとして、我々にはその言うことが全く理解できないだろう。
# 念のため：これは「燕雀安くんぞ鴻鵠の志を知らんや」
# といった意味では全然ありませんぞ。
=======================================================================
もいちどやると、
fn(x) = n (0≦x≦1/n), 0 (otherwise)
gn(x) = n (0＜x≦1/n), 0 (otherwise)
としようね。fn と gn の違いは x=0 での値だけ。
で、縦 n、横 1/n の長方形の面積だから、
∫_{0, 1/n} fn(x) dx = ∫_{0, 1/n} gn(x) dx = 1
がすべての n で成り立つよね。
「だから」n→∞とした極限でも、極限値は 1 だよね。
これは確かに不思議だよね。
横幅は 0 に近づいていくのに面積は 1 のままだからね。
とりわけ gn(x) なんか、n→∞の極限では定数関数 g(x)=0 に
収束するからなおさら不思議だよね。
だけどこれは一応カタがついている話なの。
fn(0) なんか n→∞のとき発散しちゃって、20 世紀中頃は
確かに「パラドックス」めいた話にはなっていたけど、
これも一応カタはついているし、少なくとも今頃改めて
「パラドックス発見！」と騒ぐような話ではないの。
「中心極限定理」云々といっても、本質的は上の話であって、
別に中心極限定理固有の話ではないの。
σ/√n という形があるから上の話に翻訳はできるんだけど。
で、M_SHIRAISHI 君の「μ≦<X>n≦μ」というのは、
上の積分式で上端だけを 1/n→0 としてしまった：
∫_{0, 0} fn(x) dx
にあたるんだけど、これはライオン語の世界では通用するのかもしれないけど、
日本語にせよ英語にせよ、人間語の世界では通用しないの。
プリンにしてもコンクリートにしても、鋳型に流しいれて、
固まってから鋳型をはずすでしょ？
上でやっているのは、固まる前に鋳型をはずしてしまったことにあたるの。
そうすると中身はみんな流れてしまうでしょ？
それからどうこうしてももう遅いの。今更固まっても、ちゃんとした形
（具体的には ∫ fn(x) dx = 1）にはならないでしょ？
これを「覆水盆にかえらず」と言うの。
投稿でも同じこと。一度出しちゃったものは元に戻せないの。わかった？
# David C. Ullrich さんの sci.math の記事には
# "I hope you enjoy living in your little world of paradoxes"
# とあって、これは一読「パラドックスを扱ったあなたの小世界」
# に読めるけど、その小世界自体がパラドックスに満ちていると
# 言っているとも解釈できますね。意図的かしらん。
（平賀＠筑波大）
Takahashi Makoto
"Tsukamoto Chiaki" <chi...@ipc.kit.ac.jp> wrote in message
news:04030719483...@ims.ipc.kit.ac.jp...
> 工繊大の塚本と申します.
>
> 平均 μ, 分散 σ^2 > 0 を持つ可算個の独立同分布の確率変数 X_n に
> 対し, その「 n 個の平均」Y_n = (Σ_{i=1}^n X_i)/n と, (Y_n は,
> 平均 μ, 分散 (σ^2)/n であるので,) Y_n を平均 0, 分散 1 となる
> ように規格化したもの Z_n = (Y_n - μ)/(σ/sqrt(n)) を考える訳ですが,
>
> In article <c29fcp$7im$1...@dccns.dcc.co.jp>
> "Takahasi Makoto" <taka...@dcc.co.jp> writes:
> > 確かに、ｎがどんなに大きくても有限なら
> > 期待値０分散１の分布に変換可能ですが、ｎ→∞と
> > した”後”では、分散０ですから標準正規分布には
> > なりえません。つまり、ｎが大きくなればいくらでも
> > 正規分布に近づくが、最終到達(収束)先は正規分布ではない。
>
> これは, Y_n の収束先 Y の分布が μ での Dirac 測度であるという
> ことと, Z_n の収束先 Z の分布が標準正規分布 N(0, 1) であることの
> 理解において, 何か混乱があるのではないですか.
確かにそのとおりでした。極限後の規格化と、規格化後の極限では結果が異なるので
した。わたしは極限化と積分の順序に問題があると勘違いしていました。
言い訳になりますが、元の出題者が(記法はTsukamoto式）
Pr{Z_n≦β} ＝ Pr{Y_n≦μ+β(σ/sqrt(n))}
と書き換えたので、大数の強法則が頭にあって、
Y_nがμ一点分布に収束する、即 Z_n も同じと早とちりしました。
”パラドクス”のトリックはこの書き換えにあったのでしょうか？
Tsukamoto Chiaki
In article <sDH2c.789$8h.5...@news1.rdc1.ky.home.ne.jp>
"Takahashi Makoto" <takah...@jcom.home.ne.jp> writes:
> 確かにそのとおりでした。極限後の規格化と、規格化後の極限では結果が異なるので
> した。
ええ.
> わたしは極限化と積分の順序に問題があると勘違いしていました。
いや, それはそれで良いのです.
> 言い訳になりますが、元の出題者が(記法はTsukamoto式）
> Pr{Z_n≦β} ＝ Pr{Y_n≦μ+β(σ/sqrt(n))}
> と書き換えたので、大数の強法則が頭にあって、
> Y_nがμ一点分布に収束する、即 Z_n も同じと早とちりしました。
> ”パラドクス”のトリックはこの書き換えにあったのでしょうか？
論狸家のはつまらない間違いでどうしようもありませんが,
Pr[α ≦ Z_n ≦ β]
= Pr[μ + α(σ/sqrt(n)) ≦ Y_n ≦ μ + β(σ/sqrt(n))]
を「極限移行」すると
→ Pr[μ ≦ Y ≦ μ] = 1
となってアラフシギ, とでもしてあれば, 多少は「教育的」であった
かも知れません.
# 旅に出ます.
M_SHIRAISHI
>
> 「εδ論法は間違っている！」になるのかなあ
間違ちゃあいないが、あんなののは、生産性の乏しい「無用の長物」だ。
# Euler は“無限小”の概念を大いに利用して、大変、実り多い仕事を
成し遂げた。
M_SHIRAISHI
> "M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message news:800c7853.04030...@posting.google.com...
> > > まあそろそろこわれてくるタイミング、ということか。
> >
> > いや、壊れはせんよ。 確固たる「論*狸*学」の上に立脚してるんでね。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> 御大自らが自分の理論を「論*狸*学」と認めた瞬間か？ｗ
>
> つまり、自分がトンデモであることを自覚したってことか
ソチは、相変わらず、「見方が甘いな」。 ヽ(^。^)ノ
それだから、“トンデモ馬鹿ＧＯＮ”と呼ばれるのだ --- Kentarou からさえ。
ここ↓が流行るのも道理だな。ヽ(^。^)ノ
Yuzuru Hiraga
M_SHIRAISHI wrote:
> Yuzuru Hiraga <hir...@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message news:<404B3EFE...@slis.tsukuba.ac.jp>...
>
>>「εδ論法は間違っている！」になるのかなあ
>
> 間違ちゃあいないが、あんなののは、生産性の乏しい「無用の長物」だ。
「間違ちゃあいない」ですか。
なんでわざわざ、自分で自分の首絞めるようなこと書くのかなあ。
# こう書いても何言われているかさえわからないかも。
# そこまでめんどうみきれないや。
（平賀）
Yugo Ishimaru
仮定1 数列{An}はすべて0
仮定2 A = lim An
仮定1より、Anの要素はすべて0だから、
|An-A|
= |0-A|
= |A| ---- [1]
また{An}がAに収束するという仮定2より、
任意の正数εについて
|An-A|<ε ---- [2]
[1],[2]より(任意の正数εについて)
|A| < ε
∴ A=0
だと思うのですが、どうでしょうか?
koun...@mbh.nifty.com
news:4055893a$0$19838$44c9...@news2.asahi-net.or.jp...
> 哀しい哉、その「証明」ができない。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> 仮定1 数列{An}はすべて0
> 仮定2 A = lim An
>
> 仮定1より、Anの要素はすべて0だから、
> |An-A|
> = |0-A|
> = |A| ---- [1]
>
> また{An}がAに収束するという仮定2より、
> 任意の正数εについて
> |An-A|<ε ---- [2]
>
> [1],[2]より(任意の正数εについて)
> |A| < ε
> ∴ A=0
>
> だと思うのですが、どうでしょうか?
ということは，
仮定1 数列{An}はすべて1
としたら
A=1
ということになりますが，どちらが正しいんでしょうか。
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keizi kounoike
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Yugo Ishimaru
意味が良く分からないのですが勝手に解釈して答えると、
仮定が違うのに、どちらが正しいかどうかを議論するのは意味が在るのでしょうか。