交換子「群」

[柳楽盛男]

こんにちは．

群Gの元 a , b に対して[a, b] = a^(-1) b^(-1) a b を交換子と呼んで
D(G) = { [a,b] | a, b ∈G }を交換子「群」というとどのテキストにも
記載されていますが、よく分からないので教えてください．

I. D(G) はGの演算について群なのでしょうか？
もしそうとすると D(G) がGの演算について閉じていないように思いますが
間違いでしょうか？つまり任意の [a, b] [c, d] が常に [x, y] になるように
うまく x, y をとる方法があるはずですがよくわかりません．これがクリアできれば
群になるのは理解できます。

II. D(G) は交換子の演算について群なのでしょうか？
この場合 [a,b],[c,d] ∈ Gですから[[a,b],[c,d]] ∈ D(G)で積について閉じていますが
D(G)の単位元をE，Gの単位元をeとすると
[a, E] = [E, a] = a
より直ちに E^(-1) a^(-1) E = eよって任意のGの元 a について E = a Eを満たすので
単位元 E は存在しないので 交換子の演算について群にならないと思いますが間違いでしょうか？

よろしく御教授お願いします．

柳楽@生物系

[Ys]

交換子全体で生成される群が交換子群です．
すなわち，有限個の交換子の積の全体です．

交換子の集合それ自体はありません．

[柳楽盛男]

よく見ると交換子全体でなく交換子全体で生成される群となっていました．
ようやく、次にすすめます．ありがとうございました．

柳楽＠生物系

[TOSHI]

"柳楽盛男" <nag...@d5.dion.ne.jp> wrote in message
news:3F90372D...@d5.dion.ne.jp...

交換子群は交換子の集合ではなく交換子によって生成されるGの群（正規部分群とな
る。）です。
単位元はもちろんｅです、もちろんＧと同じ演算によって群です。部分群ですから
ね。。。

TOSHI