環RからR自身への準同型
柳楽盛男
すなわちφ:R->Rで任意のRの元a,bに対してφ(a+b) = φ(a)+φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b)を満たすものの全体の集合をEndRとする。EndRの2元φ,ψに和、積、合成の3演算を
(φ+ψ)(a) = φ(a)+ψ(a)
(φψ)(a) = φ(a) ψ(a)
(φ○ψ)(a)=φ(ψ(a))
とすると和、積について可換環、和、合成について非可換環、積、合成について非可換環の
構造が入りEndRは可換環以上の構造を持っています。
このような構造の集合になにか呼び方があるでしょうか？
2. R,R'を環として写像f:EndR->EndR'に、環準同型に対応するような制限をかけようとするとき
(i) f(φ+ψ) = f(φ)+f(ψ)
(ii) f(φψ) = f(φ) f(ψ)
(iii) f(φ○ψ) = f(φ)○f(ψ)、または(iii')f(φ○ψ) =f(ψ)○ f(φ)
の3条件をかけることは制限が強すぎて面白くないでしょうか？ちなみに
kernelは{φ∈EndR | f(φ) = 0_EndR'}と{φ∈EndR | f(φ) = 1_EndR'}と二つとれて
共通元はなしです。
柳楽＠生物系
Eiji KATSURA
em...@domain.comさんは書きました。
> １.可換環RからR自身への環準同型
> すなわちφ:R->Rで任意のRの元a,bに対してφ(a+b) = φ(a)+φ(b), φ(ab) = φ(a)φ(b)を満たすものの全体の集合をEndRとする。EndRの2元φ,ψに和、積、合成の3演算を
> (φ+ψ)(a) = φ(a)+ψ(a)
> (φψ)(a) = φ(a) ψ(a)
> (φ○ψ)(a)=φ(ψ(a))
> とすると和、積について可換環、和、合成について非可換環、積、合成について非可換環の
> 構造が入りEndRは可換環以上の構造を持っています。
和や積が 「環」準同型になるのは、かなりまれだと
思いますが、どんな例がありますか？
桂 英治＠(株)横浜インテリジェンス
(kat...@hamaint.co.jp)
?´?V
<0306061050...@psv.hamaint.co.jp>
> 和や積が 「環」準同型になるのは・髟阡擦・覆蠅泙譴世漠・w)・・?凾タ思いますが・髟阡擦匹鵑蔑磴・・・・りますか？
元記事
<3EDF4473...@domain.com>
の様に「環準同型」に和と積の線型性だけを求めて・髟阡・・w)「環」について0!=1などを求めない・・豺腓任癨・w)匳?・?・・ぢだけになりそう瘢雹です。
0(a)=(0-0)(a)=0(a)-0(a)=0
・逅師(a)
=・逅師(1・瘢雹a)
=・逅師(1)・瘢雹・逅師(a)
より非0な・逅師に対して・逅師(1)=1
また・髟阡使・・・ぢな・逅師に対して
(・逅師+・逅師)(1)=・逅師(1)+・逅師(1)=1+1
でう髟阡擦蝓・・・R!={0}ならば1+1!=1なので・逅師+・逅師=0
特に1+1=0
……『どんな「環準同型」も2倍すると0になる「環」』
なんて{0,1}以外になさそう瘢雹。(ここは詰めきれていません)
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yos...@parkcity.ne.jp
柳楽盛男
思い付きません。こんなのはダメでしょうか？
φ:Z[X]->Z[X]
でZ[X]の元f(X) = a_1 X^n + a_2 X^(n-1) + ... + a_n+1に対して
φ(f(X)) = a_n+1 X + ... + a_2 X + a_1
この場合でもEndRの構造を考えるほど多くの写像があるわけではないですね。
環A->Bの環準同型は豊富にあると思いますが、自己への環準同型は制限が強く
あまり豊かではないのでしょうか？
柳楽＠生物系
Eiji KATSURA
em...@domain.comさんは書きました。
> 確かに恒等写像や０への写像を除くと整数環Z->Zで準同型というのは
> 思い付きません。こんなのはダメでしょうか？
> φ:Z[X]->Z[X]
> でZ[X]の元f(X) = a_1 X^n + a_2 X^(n-1) + ... + a_n+1に対して
> φ(f(X)) = a_n+1 X + ... + a_2 X + a_1
>
> この場合でもEndRの構造を考えるほど多くの写像があるわけではないですね。
えっと、Z[X]->Z[X] の環準同型は、X の行き先だけで決まる
( そして、Xの行き先は任意に選べる ) のでそこそこあるのですけれど、
> > 和や積が 「環」準同型になるのは、かなりまれだと
> > 思いますが、どんな例がありますか？
でいいたかったのは、φとψが環の準同型でも、
(φ+ψ)(a) = φ(a)+ψ(a) で定義した写像は 一般には加群の準同型
ではあるけれど、環の準同型ではない。
( それは 文字化けしていてほとんど解読できない 清娵 さんの
記事 <61c04dbb.03060...@posting.google.com> に 書かれて
いるのだと思う)
> 環A->Bの環準同型は豊富にあると思いますが、自己への環準同型は制限が強く
> あまり豊かではないのでしょうか？
豊富な環もあれば、豊富でない環もあるということでしょう。
例えば、 R = k[W, X, Y, Z]/( WZ - XY - 1 ) などはいかがですか？
桂 英治＠(株)横浜インテリジェンス
(kat...@hamaint.co.jp)
?´?V
A) 0(a)=(0-0)(a)=0(a)-0(a)=0
B)for non-zero f, there are some a
with f(a) is non-zero.
and 1 f(a)
=f(a)
=f(1 a)
=f(1) f(a),
so f(1)=1
C) 1+1 is not 1
so g(1)=1+1 implies g=0
D)for non-zero f, C)
and (f+f)(1)=f(1)+f(1)=1+1,
f+f=0
---
yos...@parkcity.ne.jp
清娵です。
前回の投稿が文字化けしたのでＡＳＣＩＩで
書き直してみました。ご迷惑をおかけしました。
＃Ｇｏｏｇｌｅを使うのがいけないのでしょうが
＃今は代替手段を知らなくって。
Eiji KATSURA
yos...@parkcity.ne.jpさんは書きました。
> B)for non-zero f, there are some a
> with f(a) is non-zero.
> and 1 f(a)
> =f(a)
> =f(1 a)
> =f(1) f(a),
> so f(1)=1
ここは、ちょっとGAPがあるね。
桂 英治＠(株)横浜インテリジェンス
(kat...@hamaint.co.jp)
柳楽盛男
ないということですね。
(φ+ψ)(ab) = (φ+ψ)(a)(φ+ψ)(b)
= (φ+ψ)(a)(φ+ψ)(b)
= (φ(a)+ψ(a))(φ(b)+ψ(b))
!= φ(a)φ(b)+ψ(a)ψ(b)
= φ(ab)+ψ(ab)
すいません。なにか勘違いしていたようです。
柳楽
?´?V
ＧＡＰは「１・ｆ（ａ）＝ｆ（１）・ｆ（ａ）」まで
でしょうか？その後でしょうか？
後者については両辺に「ｆ（ａ）」の逆元を
右から掛けて、結合法則と逆元の定義と
単位元の定義を用いれば良いと思って
省略しています。
＝１
＝１・１
＝１・（ｆ（ａ）・ｉｎｖ ｆ（ａ））
＝（１・ｆ（ａ））・ｉｎｖ ｆ（ａ）
＝（ｆ（１）・ｆ（ａ））・ｉｎｖ ｆ（ａ）
＝ｆ（１）・（ｆ（ａ）・ｉｎｖ ｆ（ａ））
＝ｆ（１）・１
＝ｆ（１）
＃ ＡＳＣＩＩと漢字を行内で混ぜなければ化けないのかな？
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yos...@parkcity.ne.jp
I wrote:
<61c04dbb.03060...@posting.google.com>
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B)for non-zero f, there are some a
with f(a) is non-zero.
and 1 f(a)
=f(a)
=f(1 a)
=f(1) f(a),
so f(1)=1
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Eiji KATSURA wrote:
<0306092049...@psv.hamaint.co.jp>
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ここは、ちょっとGAPがあるね。
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柳楽盛男
可換環RからR自信への写像の全体集合をSとして、Sの元φ、ψの和、積、合成を
(φ+ψ)(a) = φ(a)+ψ(a)
(φψ)(a) = φ(a)ψ(a)
(φ○ψ)(a) = φ(ψ(a))
と定義すると φ+ψ、φψ、φ○ψはRからRの写像でFの元でこれらの演算はSで閉じています。
容易に
φ+ψ= ψ+φ(和の可換律)、
φψ= ψφ(積の可換律)、
(φ+ψ)+η= φ+(ψ+η)(和の結合律)、
(φψ)η= φ(ψη)(積の結合律)、
(φ○ψ)○η = φ○(ψ○η)(合成の結合律)、
(φ+ψ)η = φη+ψη、
φ(ψ+η) = φψ+φη(和と積の分配律)、
(φ+ψ)○η = φ○η+ψ○η、
φ○(ψ+η) = φ○ψ+φ○η(和と合成の分配律)、
(φψ)○η = (φ○η)(ψ○η)、
φ○(ψη) = (φ○ψ)(φ○η)(積と合成の分配律)、
が示され、また
任意のφ∈Sに対して
φ+ 0_S = 0_S +φ = φ
φ 1_S = 1_S φ = φ
φ○ E_S = E_S ○φ = φ
となるそれぞれの演算の単位元
0_S:R->R, 0_F(a) = 0、
1_S:R->R, 1_F(a) = 1、
E_S:R->R, E_F(a) = a
が存在します。また任意の元φ∈Sに対して 加法についての逆元-φが存在します。
和と積について可換環であり、和-合成については非可換環です。積-合成について非可換環
というのは間違いで積の逆元が存在しませんでした。体Fから自信への写像とすると
逆元a->1/φ(a)が存在し、積-合成についても非可換環となります。
このような構造の集合に呼び方はついていますか？
柳楽＠生物系
Eiji KATSURA
em...@domain.comさんは書きました。
> RからRの写像を環準同型にする必要はありませんでした。
>
> 可換環RからR自信への写像の全体集合をSとして、Sの元φ、ψの和、積、合成を
> (φ+ψ)(a) = φ(a)+ψ(a)
> (φψ)(a) = φ(a)ψ(a)
> (φ○ψ)(a) = φ(ψ(a))
> と定義すると φ+ψ、φψ、φ○ψはRからRの写像でFの元でこれらの演算はSで閉じています。
>
> 容易に
> φ○(ψ+η) = φ○ψ+φ○η(和と合成の分配律)、
(φ○(ψ+η))(a) =
φ((ψ+η)(a)) =
φ(ψ(a)+η(a)) =?
(φ○ψ+φ○η)(a)
となるためには、φが線形(和を和に写す)でないといけませんが、
大丈夫ですか？
> φ○(ψη) = (φ○ψ)(φ○η)(積と合成の分配律)、
これも。
桂 英治＠(株)横浜インテリジェンス
(kat...@hamaint.co.jp)
?´?V
news:<3EE5D05B...@domain.com>
> 体Fから自信への写像とすると
# 自身
> 逆元a->1/φ(a)が存在し、積-合成についても非可換環となります。
Sが「積-合成について非可換環」になるためには、
積についての逆元が、Sの全ての元に対して必要ですが、
R上で積の逆元が存在するのは非零元に対してだけです。
例えば0_Sに対する逆元が存在するのはR={0}の場合だけだと思います。
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YOSIDA, Takayuki
Tsukamoto Chiaki
1 を持つ可換環の準同型としては「単位的」なものを考える
ことが多いようですが, それはサテオキ.
In article <61c04dbb.0306...@posting.google.com>
?´?V <yos...@parkcity.ne.jp> writes:
> 後者については両辺に「f(a)」の逆元を
f(a) が 0 でないからといって, その(乗法)逆元があるとは
限りませんね.
R, R' を 1 を持つ可換環とし, その直和 R + R' を考えます.
即ち, R + R' の元 (a, b) と (a', b') の和と積を
(a, b) + (a', b') = (a + a', b + b'),
(a, b) * (a', b') = (a * a', b * b'),
で与えたものを考えると, やはり, 1 を持つ可換環になります.
R + R' の自己準同型 f: R + R' → R + R' を
f(a, b) = (a, 0)
で定義すると, f による 1 = (1, 1) の像は (1, 0) という
零因子になります.
よくある例としては, R = Z/6Z で f([a]) = [3a] としたもの
がそうです.
一般に, f(1) = f(1*1) = f(1)*f(1) より f(1)*(1-f(1)) = 0
ですが, f(1) が 0 でも 1 でもなく, 零因子になっている場合,
そのような自己準同型を持つ 1 を持つ可換環 R はどんなものか,
は, 演習問題です.
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塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chi...@ipc.kit.ac.jp
柳楽盛男
(φ+ψ)○η = φ○η+ψ○η
1_F○0_F!=0_F○1_F
なのでうまくいきません。どうも考えているような構造は簡単にできないようです。
柳楽＠生物系
?´?V
「環」ではなく「体」を扱っているのとごっちゃに
してしまったみたいです。失敗、失敗。
清娵> 後者については両辺に「f(a)」の逆元を
塚本> f(a) が 0 でないからといって, その(乗法)逆元があるとは
塚本> 限りませんね.
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YOSIDA, Takayuki