“ベルトランの逆説”の再考
M_SHIRAISHI
<3DFCDCC4...@worldnet.att.net>
M_SHIRAISHI wrote:
>
> 私としては、<3DE269F3...@apionet.or.jp> のクイズ
> （への回答）のほうが、ずっと価値があると思いますよ。あの問題、1/2 (=50%)というのも有りなんじゃないですか。
> ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられているとする。
> その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他の一点とを結ぶ直線ということですから、要は半径Ｒの円に対して、ある長さＬの直線を
弦として選んでやればいいのですよね。そのときＬが取り得る範囲は
０＜Ｌ≦２Ｒ ですが、Ｒ＜Ｌ≦２Ｒ であるようなＬに対して、
問題の条件が満たされるわけです。そこでこの問題を、０＜Ｌ≦２Ｒの範囲に分布するＬに対して、Ｌが
Ｒより長くなる確率と考えると、1/2 (=50%)も有りなのではと。
件（くだん）の問題を書いた記事 <3DB28F4B...@apionet.or.jp>
が、表示画面からは消えてしまっている筈なので、再掲しておきます：－
【問題】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられているとする。
その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他の一点とを結ぶ直線
を引いたときにできる弦の長さがその円の半径よりも大きくなる確率は
いか程か？
+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
この問題は、記事 <3DCA8C54...@apionet.or.jp>
で触れて
おいた通り、“ベルトランの逆説”の名で知られている、確率論史上の
有名な問題を、ほんの少しだけ、変形したものに過ぎません。
そして、“ベルトランの逆説”そのものは、手近なところでは、
『確率・統計入門』 （小針あき宏 著，岩波書店，1973）の pp.6-9 に
載っています。
私の記憶するところでは、「この問題には、“同様に確からしい”という
概念をどう解釈するかによって、３通りの“正解”が在る」 というのが
通説だったと思うのですが、上記の小針氏の本を読んでみられると
わかる様に、“正解”は（なんと！）「無数に在る」と解説されています。
しかし、よく考えてみると、「“正解”は無数に在る」という小針氏の
説が誤りであるのは勿論のこと、「“正解”は３通り在る」 というの説も
間違っています。
なぜならば、実際に「実験」を多く繰り返して、“統計的確率”をとって
みるならば、（大数の法則によって！）その数値は或る１つの値の
近辺で安定してくる筈だからです。
では、どうして、「“正解”は３通り在る」だことの「“正解”は無数に在る」
だことのといった≪謬説≫が、これまで、まかり通っていたのかと言えば、
「確率は、すべて、何らかの条件を前提としたものである」との認識が
欠如していたが為に、≪帰結は同じであっても前提の異なる確率≫を、
それと知らずに、算定していたからです。
件（くだん）のクイズで言えば、例えば、2/3 という答を出した人は、
A：［最初に円周上に一点を任意に選び、それ以降は常にその一点
から円周上の他の一点へ弦を描く］という条件（＝前提）のもとでの、
R：「弦の長さが円の半径よりも大きくなる」確率（ADR）を算出したに
過ぎません。 求めるべきは、そのような確率（ADR）ではなくして、
H：［円周上から任意に（＝random に）二点を選んだ］ときに、
R：「弦の長さが円の半径よりも大きくなる」確率（HDR）なのです。
M_SHIRAISHI
自己フォローです。
記事<3DFE1028...@apionet.or.jp>は、玉川さんの「1/2
も正解
の筈だ」という主張に対しての間接的な response でしかないにので、
ここで、直接的な responce をしておきます。
今回、玉川さんが得られた 1/2 という確率は、K：［最初に描いた弦に
対して常に平行に弦を描く］という条件のもとでの R:［弦の長さが半径
以上になる］確率（KDR）であって、実際に、そのような条件下で多数回
の実験を繰り返し、“統計的確率”を算出してみれば、その値は 1/2 を
中心にして安定してくる筈です。
# しかし、そのような確率（KDR）は 問題の確率（HDR）とは別のもので
あることは明らかです。
Yoshitaka Ikeda
<snip>
>なぜならば、実際に「実験」を多く繰り返して、“統計的確率”をとって
>みるならば、（大数の法則によって！）その数値は或る１つの値の
>近辺で安定してくる筈だからです。
これは、
「文章の解釈で一意に実験可能である」という前提がありますが、
そうではないところに問題の本質があるのではないでしょうか。
>では、どうして、「“正解”は３通り在る」だことの「“正解”は無数に在る」
>
>だことのといった≪謬説≫が、これまで、まかり通っていたのかと言えば、
>「確率は、すべて、何らかの条件を前提としたものである」との認識が
>欠如していたが為に、≪帰結は同じであっても前提の異なる確率≫を、
>それと知らずに、算定していたからです。
結局問題の文章が不足していて、どの確率を求めるべきなのかという情報が欠
落しているが故にどれも正解と認めうることになるのでは？、
>件（くだん）のクイズで言えば、例えば、2/3 という答を出した人は、
>A：［最初に円周上に一点を任意に選び、それ以降は常にその一点
>から円周上の他の一点へ弦を描く］という条件（＝前提）のもとでの、
>R：「弦の長さが円の半径よりも大きくなる」確率（ADR）を算出したに
>過ぎません。 求めるべきは、そのような確率（ADR）ではなくして、
>H：［円周上から任意に（＝random に）二点を選んだ］ときに、
>R：「弦の長さが円の半径よりも大きくなる」確率（HDR）なのです。
円周上から任意に選ぶのなら、円周上に取られる点は「均一」で
よいのでしょうか。
ADRとHDRは違うように見えるけれども、結局
ADRを開始位置を変数として積分してるわけで、
ADRのパラメータに開始位置が存在しない以上、
ADR=HDRでかまわないのでは？
これは、任意の点をどう解釈するかの一点にかかってくる話だと
思います。
--
池田 尚隆(Yoshitaka Ikeda) mailto:ik...@4bn.ne.jp
Atsunori Tamagawa
>
> 求めるべきは、そのような確率（ADR）ではなくして、
> H：［円周上から任意に（＝random に）二点を選んだ］ときに、
> R：「弦の長さが円の半径よりも大きくなる」確率（HDR）なのです。
うーん、それじゃあ僕が上の文章を僕なりの理解の仕方で、
計算に反映させてみます。ステップごとに記述しますから、
どこでM_SHIRAISHIさんの考えと異なってくるのか教えて
もらえると、問題の理解の仕方の差がはっきりするんじゃ
ないでしょうか。
前提-1 円周がＮ等分されたある円について考え、「任意の点を選ぶ」
とは、Ｎ個の区分点中のいずれかを選ぶ行為を意味する。
前提-2 なお、オリジナルの問題には「その円の円周上の任意の一点と、
同じ円周上の他の一点とを結ぶ直線」とあるので、同じ点が
２回選ばれる事は無いことにする。
前提-3 「任意の点を選ぶ」とは、商店街の福引方法を意味する。
つまり、福引に１からＮまでの番号をふった玉がＮ個入っており、
一度回すと玉が一個出てくるが、その玉の番号に対応する円周上の
点が選ばれたこととする。
前提-4 一度取り出した玉は福引に戻さない。
Step-1 ある番号Aの玉が最初に出たとする。
その確率は：1/N
Step-2 福引の中には(N-1)個の玉が残っているが、そのうちの約2/3に相当
する点が、問題の条件を満たすはずである。
Step-3 よってStep-1で番号Aの玉が出て、２回目の福引で出た玉の番号
とを結んだ直線の長さが、その円の半径Ｒより長くなる確率は、
(1/N) x (2/3) = 2/(3N)
Step-5 実際には最初に何の玉が出ても良いから、真の確立はStep-3で
得られた値のＮ倍となるはずである。
2/(3N) x N = 2/3
だいたいこんなところじゃ、ないかなあ。
玉川厚徳
M_SHIRAISHI
> From <3DFE1028...@apionet.or.jp> Written by M_SHIRAISHI
> <snip>
> >なぜならば、実際に「実験」を多く繰り返して、“統計的確率”をとって
> >みるならば、（大数の法則によって！）その数値は或る１つの値の
> >近辺で安定してくる筈だからです。
>
> これは、
> 「文章の解釈で一意に実験可能である」という前提がありますが、
> そうではないところに問題の本質があるのではないでしょうか。
そうではなくて、“ベルトランの逆説”の本質は、「確率とは、
すべて、何らかの前提条件のもとで定義されるものである」
との基本的認識が欠けていたことによって生じたものと見る
べきでしょう。
要するに、“ベルトランの逆説”に関しての 従来の≪通説≫は
「“同様に確からしい”という測度の付与の仕方は いくつか
--- 小針氏の本での主張によれば、無限(！)に --- 存在し、
それに応じて、いくつかの / 小針氏によれば、無限個(！)の /
“正解”が在る」というものだったのですが、この≪通説≫は、
実は、誤りだったのであって、「“同様に確からしい”という
測度をどのように付与したか」ではなくして、「問題の確率の
“前提条件”を どう解釈したのか」によって、異なった答が
得られていたということです。
そして、件（くだん）の問題：－
「ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられている
とする。 その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他
の一点とを結ぶ直線 を引いたときにできる弦の長さがその円
の半径よりも大きくなる確率は いか程か？」
での“前提条件”は、［最初に、円周上から任意（at random）
に一点を選び、それ以降は常にその一点から、円周上の他の
任意の 一点に向けて弦を引く］とか、［最初に、任意に一つの
弦を 描き、それ以降は常にその弦に対して平行な弦を任意に
描く］など ではなくして、［毎回、円周上から、任意に二点を
選んで、その二点を端点とする弦をとる］ということの筈です。
従って、この問題に対しての“正解”はただ一つ在るのみ。
M_SHIRAISHI ＠The_New_York_Academy_of_Sciences
http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html
taka...@denken.or.jp
>「ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられている
>とする。 その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他
>の一点とを結ぶ直線 を引いたときにできる弦の長さがその円
>の半径よりも大きくなる確率は いか程か？」
>
>での“前提条件”は、［最初に、円周上から任意（at random）
>に一点を選び、それ以降は常にその一点から、円周上の他の
>任意の 一点に向けて弦を引く］とか、［最初に、任意に一つの
>弦を 描き、それ以降は常にその弦に対して平行な弦を任意に
>描く］など ではなくして、［毎回、円周上から、任意に二点を
>選んで、その二点を端点とする弦をとる］ということの筈です。
>
あ～、よくわからない(^^; ２点…
１）「それ以降は常に」とか「毎回」とか、繰り返し実験(試行)できるようなこと
に対して
のみ確率が(相対頻度として)決まるのでしょうか？
実験できないような一回きりの事象の確率はどうなるのでしょう？
＃「今後５年間に東海大地震が起こる確率」とか「２００３年阪神がセリーグ優勝
する確率」とかは？
論理学の対象じゃないかもしれないが、こうした事象が扱えない確率なんて何の役
にもたたない
２）「円周上の任意(at random)の点」は「円周上に一様分布する点集合から選ぶ
」と
「一意に」解釈することを誰が決めたのでしょうか？
＃確率事象は「選ぶ」という操作で生起するのでしょうか。
＃中学/高校数学のあるいは18～19世紀ころの確率解釈から一歩も出ていない感じ
…
＃20世紀確率論には「積分幾何学」という分野もありますが、
＃新世紀論理学とは相性悪そう
M_SHIRAISHI
taka...@denken.or.jp wrote:
> あ～、よくわからない(^^; ２点…
>
> １）「それ以降は常に」とか「毎回」とか、繰り返し実験(試行)できるようなこと
> に対してのみ確率が(相対頻度として)決まるのでしょうか？
“それ以降は常に” とか “毎回” とかの語句は、確率の≪前提条件≫を
明確化せんが為に、敢えて、付け加えた≪冗長語句≫に過ぎない。
> 実験できないような一回きりの事象の確率はどうなるのでしょう？
> ＃「今後５年間に東海大地震が起こる確率」とか「２００３年阪神がセリーグ優勝
> する確率」とかは？
実験に代替できる、何らかの“データ”が在ればそれでいい。
それらのデータを前提条件としての確率が考えられるのだから。
# そのような“データ”が全然無いのであれば、その事象の起こる確率
は --- 起こるか起こらないかが同等に確からしいのだから --- 1/2。
M_SHIRAISHI
Atsunori Tamagawa wrote:
問題となるのは、
Step-2 福引の中には(N-1)個の玉が残っているが、そのうちの約2/3に相当
する点が、問題の条件を満たすはずである。
の「そのうちの約2/3に相当する点が、問題の条件を満たすはずである」って
箇所ですね。
これは、Ａ:［最初に円周上から任意に一点を選んだ後、その次からは、常に、
その点と円周上の別の任意の点とを結んで弦をつくる］ということを前提条件
にした場合に言えることなのですが、しかし、このような条件は、元のクイズ
の題意に照らし合わせてみた場合、適当とは言えないでしょう。
元のクイズに照らし合わせてみて適当なのは Ｈ:［毎回、円周上から、任意
に 二点を選んで、その二点を端点とする弦をとる］ということの筈であり、
従って、求めるべきは、この条件のもとで Ｒ：［弦の長さが円の半径よりも
大きくなる］確率、即ち、（ＨＤＲ） です。
# 因みに、（ＡＤＲ）は 2/3，（ＨＤＲ）は 3/4 となる筈です。
AIDA Shin
M_SHIRAISHI wrote:
> # そのような“データ”が全然無いのであれば、その事象の起こる確率
> は --- 起こるか起こらないかが同等に確からしいのだから --- 1/2。
それはどうかと思う :)
--AIDA Shin
taka...@denken.or.jp
>> １）「それ以降は常に」とか「毎回」とか、繰り返し実験(試行)できるような
こと
>> に対してのみ確率が(相対頻度として)決まるのでしょうか？
>
>“それ以降は常に” とか “毎回” とかの語句は、確率の≪前提条件≫を
>明確化せんが為に、敢えて、付け加えたに過ぎない。
そうですか。繰り返しを前提にしないのなら、２つの条件
A:［最初に、円周上から任意（at random）に一点を選び、それ以降は
常にその一点から、円周上の他の任意の 一点に向けて弦を引く］
H:［毎回、円周上から、任意に二点を選んで、その二点を端点とする弦をとる］
から、"最初に"、“それ以降は常に”、"毎回”を取り除くことができ
ますが、そうなると２つの条件は全くおなじで区別できません。
１回きりの場合と繰り返す場合とで同じ事象の確率が変わるのでしょうか。
それとも、逐次的に2回任意(ランダム)選択するのと、２点を”同時”に
選択するのとで結果が異なるのでしょうか。
SHIRAISHIさんの実験結果ではA:2/3、H：3/4だそうですが、
どんな実験(あるいは統計処理方法)であったのか非常に興味をそそられます。
私には、「繰り返し実験」でも同じ結果(=2/3)になると思いますが。
＃円周上の点分布(密度)が「非一様(不均一)」というのはナシ。
＃それを許せばどんな答でも出せる(ベルトランの逆説に戻ってしまう)
＃あるいは誰かが指摘しているように"判断材料なしなので1/2"とか
Yoshiro NAKAYA
> どんな実験(あるいは統計処理方法)であったのか非常に興味をそそられます。
せているのでしょうか？だとするとまたぞろ「測度」を考えないと計算でき
ないんじゃないかしらっと思ってしまうのですが…(^^;。
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
M_SHIRAISHI
> takahasiです。ますますわからなくなりました。
だから言ってるやろ：－ 「“（A.N.Kolmogoroff 流の）２０世紀的確率論”
に凝り固まっていたのでは、そりゃー分かるまいよ。」 って。 ヽ(＾。＾)ノ
> そうですか。繰り返しを前提にしないのなら、２つの条件
> A:［最初に、円周上から任意（at random）に一点を選び、それ以降は
> 常にその一点から、円周上の他の任意の 一点に向けて弦を引く］
>
> H:［毎回、円周上から、任意に二点を選んで、その二点を端点とする弦をとる］
>
> から、"最初に"、“それ以降は常に”、"毎回”を取り除くことができ
> ますが、そうなると２つの条件は全くおなじで区別できません。
事象 Ａ から、"最初に"と“それ以降は常に”という語句を取り除くと：－
Ａ’：［円周上から任意（at random）に一点を選び、その一点から、円周上の
他の任意の一点に向けて弦を引く］
# この場合だと、始めに選んだ一点はそれで固定されている。
一方、事象 Ｈ から"毎回”なる語句を取り除くと：－
Ｈ’：［円周上から、任意に二点を選んで、その二点を端点とする弦をとる］
となり、区別するのは、やや、難しくなるとは言え、両者は依然として
違っている。
尚、Ａ’，Ｈ’を英文で表わしたならば、必要な箇所に定冠詞が付くので、
両者の違いは、一層、判然としてくる。
> １回きりの場合と繰り返す場合とで同じ事象の確率が変わるのでしょうか。
“事象の確率”なんてな、従来の表現と概念が、そもそもの、≪間違い≫。
確率は、≪事象≫に対して定義されるものではなくて、［事象Ｈが起こったとき、
事象Ｒが起こる］という様な≪不完全仮言命題≫に対して定義されるものである
ということをよ－く認識すべきでしょう。 そして、"Bertrand の逆説"は、この認識
が欠如していたが為に生じたものであることも。
M_SHIRAISHI
taka...@denken.or.jp wrote:
> あ～、よくわからない(^^;
“（A.N.Kolmogoroff 流の）２０世紀的確率論” に凝り固まって
いたのでは、そりゃー分かるまいよ。 ヽ(＾。＾)ノ
HOSOI Osamu
>これは、Ａ:［最初に円周上から任意に一点を選んだ後、その次からは、常に、
>その点と円周上の別の任意の点とを結んで弦をつくる］ということを前提条件
>にした場合に言えることなのですが、しかし、このような条件は、元のクイズ
>の題意に照らし合わせてみた場合、適当とは言えないでしょう。
>
>元のクイズに照らし合わせてみて適当なのは Ｈ:［毎回、円周上から、任意
>に 二点を選んで、その二点を端点とする弦をとる］ということの筈であり、
>従って、求めるべきは、この条件のもとで Ｒ：［弦の長さが円の半径よりも
>大きくなる］確率、即ち、（ＨＤＲ） です。
>
> # 因みに、（ＡＤＲ）は 2/3，（ＨＤＲ）は 3/4 となる筈です。
箱の中から2個のボール同時にを選んだ場合と、
1個のボールを取り出したのち、さらにもう1個を選んだ場合に、
結果が異なるということがあるのでしょうか?
どのような考え方をして、3/4 という解を得たのかたいへん興味があります。
=========================∧∧===
beo...@mdd.sst.ne.jp ≧・≠≦
細井 修 (HOSOI, Osamu) ( )し
================================
M_SHIRAISHI
HOSOI Osamu wrote:
> In article <3E01D7E6...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
> >これは、Ａ:［最初に円周上から任意に一点を選んだ後、その次からは、常に、
> >その点と円周上の別の任意の点とを結んで弦をつくる］ということを前提条件
> >にした場合に言えることなのですが、しかし、このような条件は、元のクイズ
> >の題意に照らし合わせてみた場合、適当とは言えないでしょう。
> >
> >元のクイズに照らし合わせてみて適当なのは Ｈ:［毎回、円周上から、任意
> >に 二点を選んで、その二点を端点とする弦をとる］ということの筈であり、
> >従って、求めるべきは、この条件のもとで Ｒ：［弦の長さが円の半径よりも
> >大きくなる］確率、即ち、（ＨＤＲ） です。
> >
> > # 因みに、（ＡＤＲ）は 2/3，（ＨＤＲ）は 3/4 となる筈です。
>
> 箱の中から2個のボール同時にを選んだ場合と、
> 1個のボールを取り出したのち、さらにもう1個を選んだ場合に、
> 結果が異なるということがあるのでしょうか?
その場合に、Ａ:［最初に円周上から任意に一点を選んだ後、その次からは、
常にその点と円周上の別の任意の点とを結んで弦をつくる］に相当する事象
は、
［箱の中から、1個のボールを取り出したのち、さらにもう1個を選ぶ］
ではなくて、
［箱の中から、最初に任意の一個のボールａを選ぶが、その次からは、
最初に選ぶボールは、常にａとするようにする］
ってこと。 オワカリ？
> どのような考え方をして、3/4 という解を得たのかたいへん興味があります。
図を使わないで説明するのは至難なので、説明は省略。 悪しからず。
# 資料をあれこれ調べてみたことろ、「数学セミナー」（1974年８月号 ---
えらく古いな ヽ(＾。＾)ノ ）の「パラドックスのいろいろ」という記事の中に
ベルトランの逆説が載っていているのを見つけました。
その中に載っている、“第三番目の正解”が本当の「正解」で、クイズの
正解の 3/4 のほうは、それに準じて考えてみれば得られる筈です。
尚、小針氏の本：『確率・統計入門』のほうには、残念ながら、本当の
「正解」は載っていません。
Yoshiro NAKAYA
たとえ HDR としても 2/3 という結果がでるでしょう？
正方形[0,2π]×[0,2π]から一点を選ぶとしたって2つの球面から一点を選ぶと
したって H は満たされてませんか？要は「測度」のとりかた「確率空間」の取
り方の違いじゃないですか？
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
HOSOI Osamu
>>
>> 箱の中から2個のボール同時にを選んだ場合と、
>> 1個のボールを取り出したのち、さらにもう1個を選んだ場合に、
>> 結果が異なるということがあるのでしょうか?
>
>その場合に、Ａ:［最初に円周上から任意に一点を選んだ後、その次からは、
>常にその点と円周上の別の任意の点とを結んで弦をつくる］に相当する事象
>は、
>
>［箱の中から、1個のボールを取り出したのち、さらにもう1個を選ぶ］
>
>ではなくて、
>
>［箱の中から、最初に任意の一個のボールａを選ぶが、その次からは、
>最初に選ぶボールは、常にａとするようにする］
>
>ってこと。 オワカリ？
残念ながら、さっぱり解りません。
円周上の任意の1点(ボールa)のどれを最初に選んでも等価ですから、
それがボールbであっても、同じ結果しか出せないと思うのですが。
># 資料をあれこれ調べてみたことろ、「数学セミナー」（1974年８月号 ---
>えらく古いな ヽ(＾。＾)ノ ）の「パラドックスのいろいろ」という記事の中に
>ベルトランの逆説が載っていているのを見つけました。
>
>その中に載っている、“第三番目の正解”が本当の「正解」で、クイズの
>正解の 3/4 のほうは、それに準じて考えてみれば得られる筈です。
こちらの資料を探して、じっくり考えてみます。
Atsunori Tamagawa
>
> > どのような考え方をして、3/4 という解を得たのかたいへん興味があります。
>
> 図を使わないで説明するのは至難なので、説明は省略。 悪しからず。
僕もどうやったら3/4 という解を得たのかが気になってたので
いろいろやってみたんですが、以下のようなプロセスを踏んだの
ではないか、という気がするのですが？
原点Ｏ(0, 0)を中心とする円の円周上の２点は
Ｐ１(Xp1, Yp1) = (cos(θ1), sin(θ1))
ｐ２(Xp2, Yp2) = (cos(θ2), sin(θ2))
と表現することができます。ここにθ1, θ2は、径ＯＰ１及び
ＯＰ２が正のx軸との間に作る角度をそれぞれ表し、θ2 > θ2 とします。
さてＰ１とＰ２の間の距離Ｌは、
Ｌ = {(Xp1-Xp2)^2 + (Yp1-Yp2)^2}^0.5
= [{cos(θ1)-cos(θ2)}^2 + {sin(θ2)-sin(θ1)}^2]^0.5
= [{cos(θ1)}^2 - 2cos(θ1)cos(θ2) + {cos(θ2)}^2 + {sin(θ2)}^2 - 2sin(θ2)sin(θ1) + {sin(θ1)}^2]^0.5
= [2 - 2cos(θ1)cos(θ2) - 2sin(θ1)sin(θ2)]^0.5
= [2 - cos(θ1 + θ2) - cos(θ1 - θ2) + cos(θ1 + θ2) - cos(θ1 - θ2)]^0.5 （加法定理より）
= [2 - 2cos(θ1 - θ2)]^0.5
Ｌ > 1 が問題の条件として(ここでは半径１の単位円を問題にしていますから)、
[2 - 2cos(θ1 - θ2)]^0.5 > 1
両辺を二乗して
2 - 2cos(θ1 - θ2) > 1
2cos(θ1 - θ2)] < 1
∴ cos(θ1 - θ2) < (1/2)
ここでcosθが取り得る数値の幅は -1≦cosθ≦1、つまり２なのですが、
問題の条件が成立するのは -1≦cosθ≦(1/2)、つまり数値の幅にして
1.5です。したがって、
1.5/2 = 3/4
というようなことを考えてみたのですが、どうでしょうか。
玉川厚徳
M_SHIRAISHI
> takahasiです。ますますわからなくなりました。
だから言ってるやろ：－ 「“（A.N.Kolmogoroff 流の）２０世紀的確率論”
に凝り固まっていたのでは、そりゃー分かるまいよ。」 って。 ヽ(＾。＾)ノ
> そうですか。繰り返しを前提にしないのなら、２つの条件
> A:［最初に、円周上から任意（at random）に一点を選び、それ以降は
> 常にその一点から、円周上の他の任意の 一点に向けて弦を引く］
>
> H:［毎回、円周上から、任意に二点を選んで、その二点を端点とする弦をとる］
>
> から、"最初に"、“それ以降は常に”、"毎回”を取り除くことができ
> ますが、そうなると２つの条件は全くおなじで区別できません。
事象 Ａ から、"最初に"と“それ以降は常に”という語句を取り除くと：－
Ａ’：［円周上から任意（at random）に一点を選び、その一点から、円周上の
他の任意の一点に向けて弦を引く］
# この場合だと、始めに選んだ一点はそれで固定されている。
一方、事象 Ｈ から"毎回”なる語句を取り除くと：－
Ｈ’：［円周上から、任意に二点を選んで、その二点を端点とする弦をとる］
となり、区別するのは、やや、難しくなるとは言え、両者は依然として
違っている。
尚、Ａ’，Ｈ’を英文で表わしたならば、必要な箇所に定冠詞が付くので、
両者の違いは、一層、判然としてくる。
> １回きりの場合と繰り返す場合とで同じ事象の確率が変わるのでしょうか。
“事象の確率”なんてな、従来の表現と概念が、そもそもの、≪間違い≫。
確率は、≪事象≫に対して定義されるものではなくて、［事象Ｈが起こったならば、
事象Ｒが起こりえる］という形の文でもって表される≪不完全仮言命題≫に対して
Yoshiro NAKAYA
は回避できないんじゃないでしょうか？
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
M_SHIRAISHI
Atsunori Tamagawa wrote:
答の 3/4 の数値に釣られて、「その解法でも正解かな？」と、一瞬、思った
のでしたが、精読してみると ---- どうもオカシイ。
数値がたまたま一致しただけのようです。
M_SHIRAISHI
HOSOI Osamu wrote:
> In article <3E048250...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
> >HOSOI Osamu wrote:
> >> In article <3E01D7E6...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
> >> > # 因みに、（ＡＤＲ）は 2/3，（ＨＤＲ）は 3/4 となる筈です。
> >>
> >> 箱の中から2個のボール同時にを選んだ場合と、
> >> 1個のボールを取り出したのち、さらにもう1個を選んだ場合に、
> >> 結果が異なるということがあるのでしょうか?
> >
> >その場合に、Ａ:［最初に円周上から任意に一点を選んだ後、その次からは、
> >常にその点と円周上の別の任意の点とを結んで弦をつくる］に相当する事象
> >は、
> >
> >［箱の中から、1個のボールを取り出したのち、さらにもう1個を選ぶ］
> >
> >ではなくて、
> >
> >［箱の中から、最初に任意の一個のボールａを選ぶが、その次からは、
> >最初に選ぶボールは、常にａとするようにする］
> >
> >ってこと。 オワカリ？
>
> 残念ながら、さっぱり解りません。
そのうち、わかるでしょうよ。 ヽ(＾。＾)ノ
> 円周上の任意の1点(ボールa)のどれを最初に選んでも等価です
最初の試行では、確かに、任意の１つAを選ぶのだけれど、それ以降
のどの試行においても、最初に選ぶ点はAに固定されてしまっていて、
二番目に選ぶ点だけが任意ということになるってこと。
> ># 資料をあれこれ調べてみたことろ、「数学セミナー」（1974年８月号 ---
> >えらく古いな ヽ(＾。＾)ノ ）の「パラドックスのいろいろ」という記事の中に
> >ベルトランの逆説が載っていているのを見つけました。
> >
> >その中に載っている、“第三番目の正解”が本当の「正解」で、クイズの
> >正解の 3/4 のほうは、それに準じて考えてみれば得られる筈です。
>
> こちらの資料を探して、じっくり考えてみます。
ご健闘あれ。
M_SHIRAISHI
Yoshiro NAKAYA wrote:
> > 図を使わないで説明するのは至難なので、説明は省略。 悪しからず。
>
> たとえ HDR としても 2/3 という結果がでるでしょう？
いいや、違う。 嘘だと思うのなら、実験してみることだ。
# アルキメデスも、先ず、実験してみることによって、予想を
立ててから、後でそれを理論的に証明したのだそうな。
## 半径 10cm の円を描き、その円周上から、毎回、ランダムに
二点を選んで、それらの二点を結ぶ弦を描き、その長さを実測
してみる。そして、10cm 以上となった場合の数を実験した回数
で割ってみればよいだけのことだ。1000 回以上実験できれば
それに越したことは無いが、50 回くらいでも値は落ち着いて
くるだろう --- 0.75（＝ 3/4）のあたりに。
> 要は「測度」のとりかた「確率空間」の取り方の違いじゃないですか？
先般から、繰り返し、言ってるやろ：－ ２０世紀の標準理論として君臨
して来た Kolmogoroff流の確率論は「根本的に間違っていた」のだと。
こういうことは、無論、チョットした思いつきなんぞで言えることでは無く、
Fermat-Pascal間の往復書簡を端緒とする、確率論史上の殆んど
すべての主要文献を読破した上での≪結論≫として言って居るのだ。
尚、誤解の無いように付け加えておくと、「根本的に間違っていた」とは、
「基礎が間違っていたダケのこと」であって、それから導かれた事柄が
何から何まで間違っているわけでは「決してない」 ----- もっとも、
すべてにわたって再検討しなけれならないことになり、生き残る事柄
もあれば、廃れる事柄もあろうけど。
Takahashi Makoto
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E05E2A1...@apionet.or.jp...
[途中省略]
> 答の 3/4 の数値に釣られて、「その解法でも正解かな？」と、一瞬、思った
> のでしたが、精読してみると ---- どうもオカシイ。
>
> 数値がたまたま一致しただけのようです。
Atsunori Tamagawa さんのやり方では、cosθ が一様分布し、θそのものは一様で
はなく、
円周上の点密度は不均一です。これでは「ランダムな点選択」とはいえないでしょ
う。
ベルトランの逆説では「ランダム(均一)な選択方法」が複数提示されています。
ただし、－ここが需要－ ベルトランの問題は「円周上のランダムな2点間の
距離(弦の長さ)」ではなく「ランダムな直線が円と交わってできる弦の長さ」です。
だから、「ランダムな直線」の選び方が問題なのです。
SHIRAISHI's Quizは円周上のランダムな点の選び方を問題にしています。
少なくとも私にはそう読めます。出題者自身も繰り返しそう述べています。
しかし（出題者の意図とはうらはらに）、この問題の書き換えによりベルト
ランのパラドクスは解消してしまいました（と私たちは思いました）。
ところが、出題者はこのQuizでも、標準的な解釈は「間違って」おり、
別の正解が存在すると主張しています。しかも、「実験」によって確認した
というのですから大発見です。そこでその実験方法ですが、最近になって
「タネ明かし」がありました。
===別記事より===
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E05CF30...@apionet.or.jp...
[大幅省略]
## 半径 10cm の円を描き、その円周上から、毎回、ランダムに
二点を選んで、それらの二点を結ぶ弦を描き、その長さを実測
してみる。そして、10cm 以上となった場合の数を実験した回数
で割ってみればよいだけのことだ。1000 回以上実験できれば
それに越したことは無いが、50 回くらいでも値は落ち着いて
くるだろう --- 0.75（＝ 3/4）のあたりに。
=========
しかし、依然として「ランダムに二点を選ぶ」やり方は示されていません。
#しかし、紙の上に半径10cmの円を描いたとしてどうやって
#どうやってランダムな点を（50個以上も）決めるのだ？
#ルーレットを回すか、ダーツをなげるか？
パソコン上で乱数を使うのは禁じ手でしょうか？
Shin-ichi TSURUTA
M_SHIRAISHI <eu...@apionet.or.jp> wrote:
> > > 図を使わないで説明するのは至難なので、説明は省略。 悪しからず。
> > たとえ HDR としても 2/3 という結果がでるでしょう？
> いいや、違う。 嘘だと思うのなら、実験してみることだ。
>
> # アルキメデスも、先ず、実験してみることによって、予想を
> 立ててから、後でそれを理論的に証明したのだそうな。
>
> ## 半径 10cm の円を描き、その円周上から、毎回、ランダムに
> 二点を選んで、それらの二点を結ぶ弦を描き、その長さを実測
> してみる。そして、10cm 以上となった場合の数を実験した回数
> で割ってみればよいだけのことだ。1000 回以上実験できれば
> それに越したことは無いが、50 回くらいでも値は落ち着いて
> くるだろう --- 0.75（＝ 3/4）のあたりに。
計算(もしくは実験結果の考察)方法を間違えていませんか？
|←--- 2/3 (弧に沿う場合。
| 弧に
| ●●●●● 沿う
| ●●● ●●● 曲線で
●● ●● 書き
●●● ●● たい)→|
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ●|
● ● ● ●|
● ● ● ●
● ● ● ●
●● ● ●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
| |
|←------- 3/4 (x軸成分で考える場合)-----→|
____________________________________________________________
Name : Shin-ichi TSURUTA 鶴田 真一 (as SYN)
E-mail : s...@emit.jp
URL : http://www.emit.jp/
M_SHIRAISHI
Takahashi Makoto wrote:
> 紙の上に半径10cmの円を描いたとしてどうやって
> ランダムな点を（50個以上も）決めるのだ？
“どのように任意の点を選ぶのか？”なんてな問題提起は馬鹿げたもの
であることに気づくべきやね。
# 「任意に」選んでこそ、“任意の点”と言えるのであって、「どのように
選ぶのか？」と問えば、「任意に選ぶ」としか言えない。 それ以外の
規定をもうけたのでは、もはや、“任意”とは言えないのだから。
ただ、「どのような≪手段≫によって、任意の点を選ぶのか？」という問
に対してならば、その手段としてはいくつか考えらる。
#“紀州の殿様”の申さるる：－「汝等、よきに計らえ」。ヽ(＾。＾)ノ
HOSOI Osamu
>HOSOI Osamu wrote:
>> 円周上の任意の1点(ボールa)のどれを最初に選んでも等価です
>
>最初の試行では、確かに、任意の１つAを選ぶのだけれど、それ以降
>のどの試行においても、最初に選ぶ点はAに固定されてしまっていて、
>二番目に選ぶ点だけが任意ということになるってこと。
これに対してのみ。
もちろん上記の通りです。
で、最初にAが固定されるかBが固定されるかは等価でしょう？ってことです。
Aが固定される確率と2/3の積、Bが固定される確率と2/3の積、、、、
これらの総和が円周上の任意の2点の距離が半径を越える確率。
Yoshiro NAKAYA
これはどちらも0ですよね？
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
Yoshiro NAKAYA
「２０世紀の標準理論として君臨して来た Kolmogoroff流の確率論」も実験は否
定してないですよね？様々な「確率空間」は考えられるけど現実に適用するとき
は実験によって「確率空間」を選択する。コインを２枚投げるときと2つの電子
のスピンを考えるときはそれぞれ別の「確率空間」を採用しますよね。
HDR としても 2/3 と 3/4 という答えが可能ですが実験によっていずれかを選択
するってことでしょうか？なら
> ２０世紀の標準理論として君臨して来た Kolmogoroff流の確率論は「根本的に
> 間違っていた」
という例にはこのクイズはふさわしくないんじゃないでしょうか？
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
Takahashi Makoto
いやはや、語るに落ちるとはこういうことでしょうか？
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E06BDB5...@apionet.or.jp...
>
>
> Takahashi Makoto wrote:
>
> > 紙の上に半径10cmの円を描いたとしてどうやって
> > ランダムな点を（50個以上も）決めるのだ？
>
> “どのように任意の点を選ぶのか？”なんてな問題提起は馬鹿げたもの
> であることに気づくべきやね。
>
> # 「任意に」選んでこそ、“任意の点”と言えるのであって、「どのように
> 選ぶのか？」と問えば、「任意に選ぶ」としか言えない。 それ以外の
> 規定をもうけたのでは、もはや、“任意”とは言えないのだから。
あなたは、どんな方法を適用したか言えないような"実験"の結果を
信じろというのですか？
いつぞや、「任意」と「ランダム」は違うよ、と指摘したと思いますが、
「任意選択」ならば「デタラメに選ぶ」もよし、「恣意的」でも「意図的」でも
とにかく選べばよい。「ランダム選択」も特定の一つの方法に限られる
わけではないけれども、決して「任意」ではなく、いろいろな条件が必要です。
>
> ただ、「どのような≪手段≫によって、任意の点を選ぶのか？」という問
> に対してならば、その手段としてはいくつか考えらる。
>
だからその手段を教えてください。いくつか考えなくてもよいから、
あなたが件の"実験"に採用した、その≪手段≫を知りたい。
#定冠詞を補ってみました
> #“紀州の殿様”の申さるる：－「汝等、よきに計らえ」。ヽ(＾。＾)ノ
# この殿様、ほんとに自分で実験をなさったのですかね。
# 「よきに計らえ」なんて、人まかせにしているとひどい目に会うよ。
M_SHIRAISHI
M_SHIRAISHI wrote:
> Yoshiro NAKAYA wrote:
>
> > > 図を使わないで説明するのは至難なので、説明は省略。 悪しからず。
> >
> > たとえ HDR としても 2/3 という結果がでるでしょう？
>
> いいや、違う。 嘘だと思うのなら、実験してみることだ。
>
> # アルキメデスも、先ず、実験してみることによって、予想を
> 立ててから、後でそれを理論的に証明したのだそうな。
>
> ## 半径 10cm の円を描き、その円周上から、毎回、ランダムに
> 二点を選んで、それらの二点を結ぶ弦を描き、その長さを実測
> してみる。そして、10cm 以上となった場合の数を実験した回数
> で割ってみればよいだけのことだ。1000 回以上実験できれば
> それに越したことは無いが、50 回くらいでも値は落ち着いて
> くるだろう --- 0.75（＝ 3/4）のあたりに。
# アルキメデスとは違い、今回の私は、先ず、理論的に確率
の値を得たのち、実験でそれを確認することとなった。
【実験の計画】 充分大きな紙の上に半径10cm の円を描き、
その円の上に プラスチック製の 50cm尺の定規を、文字通り、
出鱈目にあてがって、出鱈目な方向で 出鱈目な長さの 弦
を描き、その都度、その弦の長さを実測して記録して行く。
【実験の結果】 私はこの実験を４０回ほど繰り返してみた。
以下がその結果の記録である：－ （単位は cm）
20.0， 15.5， 7.2， 19.2， 14.2， 2.2， 16,8， 10.4， 9.0， 15.7，
16.5， 8.5， 20.0， 11.4， 20.0， 8.5， 13.3， 6.7， 16.1， 13.2，
10.5， 2.4， 17.3， 11.6， 5.2， 12.8， 15.3， 7.2， 15.0， 12.7，
15.0， 2.2， 12.1， 6.3， 13.7， 10.6， 10.7， 17.7， 4.3， 12.9
この記録をチェックしてみれば判る様に、円の半径（10cm）を
越えた長さの弦が得られたのは、ちょうど、30回であり、従って、
（驚いたことに！）確率の実測値は 30/40＝3/4＝0.75 となり、
他でもない、理論値とぴったり一致した。（このような結果を出そ
うと思って、作為的に弦を描いたのでは、無論、なかった。）
# この実験を、もっと多数回（例えば、400回）繰り返したならば、
果たして、どういう結果が得られるであろうか？
# やっていて感じたのだけれども、この実験は けっこうオモシロイ
ので、読者の中に奇特な人がいらして、400回までトライされ、
その結果を御報告いただくことを期待したい。
M_SHIRAISHI ＠The_New_York_Academy_of_Science
M_SHIRAISHI
Takahashi Makoto wrote:
> いつぞや、「任意」と「ランダム」は違うよ、と指摘したと思いますが、
バカモン！
"alligator"も"crocodile"も、日本語では「ワニ」と言うのと同様、漢語では
"arbitrary"も"random"も「任意」と言うダケのことだ。
# “任意”を、英語での"random"の意味に使っていることを示す為に、
「任意に（at random に）」ってな具合に表記して来たことに、貴様は、
一向に、気が付かなんだか？
> 「よきに計らえ」なんて、人まかせにしているとひどい目に会うよ。
何なら、貴様を、「酷い目」に遭わせてやろうか？ 見せしめの為に。
# 無礼者に、"情け容赦"などあると思うな！
M_SHIRAISHI
Yoshiro NAKAYA wrote:
「２０世紀の標準理論として君臨して来た Kolmogoroff流の確率論」も実験は否
定してないですよね？様々な「確率空間」は考えられるけど現実に適用するとき
は実験によって「確率空間」を選択する。
結論から言えば、その様な、従来の考え方は、「間違いであった」ってことになる。
どこが間違っていたのかと言うと、確率とは、すべて、何らかの条件下のもので
ある --- 換言すれば、確率とは、集合の測度ではなくして、不完全仮言命題
に対しての測度である --- という≪基本的認識≫に欠けていた。
そして、その為、例えば、（HDR），（ＡDR） のような、「前提が異なるにも拘らず、
帰結が同じ」確率を 同一視してしまう という誤りを犯していた。
HDR としても 2/3 と 3/4 という答えが可能ですが実験によっていずれかを選択
するってことでしょうか？
（HDR）＝3/4 で、 （ＡDR）＝ 2/3 であって、 （HDR） が 2/3 と 3/4
の二つの値
を取りえるわけではない。
（HDR）＝3/4 ，（ＡDR）＝ 2/3 であることは、（無論、実験的にも検証することが
できるが） 理論的に導出できる。 その説明を 図を用いずにすることは
至難なの
で、省略。 悪しからず。
尚、記事 <3E048250...@apionet.or.jp>
で指摘しておいた様に、
「数学セミナー」（1974年８月号）の「パラドックスのいろいろ」という記事の中に
ベルトランの逆説の解説が載っていることが判明したので、そこでの説明を読め
ば、 （HDR）＝3/4 ，（ＡDR）＝ 2/3 が いかにして理論的に導出できるのかも
分かる かも。
M_SHIRAISHI
Atsunori Tamagawa wrote:
> M_SHIRAISHI wrote:
> >
> > > どのような考え方をして、3/4 という解を得たのかたいへん興味があります。
> >
> > 図を使わないで説明するのは至難なので、説明は省略。 悪しからず。
>
> 僕もどうやったら3/4 という解を得たのかが気になってたので
> いろいろやってみたんですが、以下のようなプロセスを踏んだの
> ではないか、という気がするのですが？
>
> 原点Ｏ(0, 0)を中心とする円の円周上の２点は
>
> Ｐ１(Xp1, Yp1) = (cos(θ1), sin(θ1))
> ｐ２(Xp2, Yp2) = (cos(θ2), sin(θ2))
>
> と表現することができます。ここにθ1, θ2は、径ＯＰ１及び
> ＯＰ２が正のx軸との間に作る角度をそれぞれ表し、θ2 > θ2 とします。
>
> さてＰ１とＰ２の間の距離Ｌは、
>
> Ｌ = {(Xp1-Xp2)^2 + (Yp1-Yp2)^2}^0.5
> = [{cos(θ1)-cos(θ2)}^2 + {sin(θ2)-sin(θ1)}^2]^0.5
> = [{cos(θ1)}^2 - 2cos(θ1)cos(θ2) + {cos(θ2)}^2 + {sin(θ2)}^2 - 2sin(θ2)sin(θ1) + {sin(θ1)}^2]^0.5
> = [2 - 2cos(θ1)cos(θ2) - 2sin(θ1)sin(θ2)]^0.5
> = [2 - cos(θ1 + θ2) - cos(θ1 - θ2) + cos(θ1 + θ2) - cos(θ1 - θ2)]^0.5 （加法定理より）
> = [2 - 2cos(θ1 - θ2)]^0.5
>
この方策は、うまく行けば、図を使わなくても済む可能性が高いので、何とかして
成功させたいものですね。
M_SHIRAISHI
M_SHIRAISHI wrote:
Takahashi Makoto wrote:> 「よきに計らえ」なんて、人まかせにしているとひどい目に会うよ。
何なら、貴様を、「酷い目」に遭わせてやろうか？ 見せしめの為に。
# 無礼者に、"情け容赦"などあると思うな！
記事<JpuN9.25242$ZS4.4...@news1.rdc1.ky.home.ne.jp>を書いた
≪タワケ（＝浅学
の痴れ者)≫ は「円周上から 任意（random）に 二点を選ぶ ≪手段≫ が問題だ」との
錯覚に陥って居る様子だが、それは“アホウのアホウたる所以(ゆえん)”と言うものだ。
“円周上から任意に二点を選ぶ手段”など、件の問題の本質とは［何ら関わりの無い話］
だからだ。
記事 <3E084B58...@apionet.or.jp> に書いた ≪私の実施した実験≫ での
「充分大きな紙の上に半径10cm の円を描き、その円の上に プラスチック製の
50cm尺の
定規を、出鱈目にあてがって、出鱈目な方向で 出鱈目な長さの 弦を描く」
という手段は、恐らく、最も素朴なものだろうけれど、もう少し sophisticate
な方法と
しては、例えば、次が考えられる：－
「半径 10cm の円の円周を 36 等分してできた（小さい）弧を順番に (I-1)，(I-2)，(I-3)，
・・・，(II-1), (II-2)，(II-3)，・・・・・・・，(VI-1)，(VI-2)，・・・，(VI-6)
と
名づけておく。次に、サイコロを二回振って、例えば、最初に２の目が出て、次に５の目が
出たのであれば、弧(II-5)を選ぶ。 次に、もう一度、サイコロを二回振り、今度は、例えば、
最初に３の目が出て、次に４の目が出たのであれば、弧(III-4)を選ぶ。 そして［
弧(II-5)
の中央の点 と 弧(III-4)の中央の点とを結ぶ 線分]（＝ 半径 10cm の円の弦）を描き、
その長さを実測して記録する。
上記の実験を 40 回ほど繰り返し、半径（＝10cm）よりも大きい弦が得られた場合の数を
調べ、その数を実験の回数（＝40）で割る。」
その結果は、≪私の実施した実験≫での結果と大差のないものとなろう ---
Thus I predict.
M_SHIRAISHI
M_SHIRAISHI wrote:
> 少し sophisticate な方法としては、例えば、次が考えられる：－
>
> 「半径 10cm の円の円周を 36 等分してできた（小さい）弧を順番に
> (I-1)， (I-2)，(I-3)，・・・，(II-1), (II-2)，(II-3)，・・・・・・，
> (VI-1)，(VI-2)，・・・， (VI-6) と名づけておく。
> 次に、サイコロを二回振って、例えば、最初に２の目が出て、次に５の目が
> 出たのであれば、弧(II-5)を選ぶ。
> 次に、もう一度、サイコロを二回振り、今度は、例えば、最初に３の目が
> 出て、次に４の目が出たのであれば、弧(III-4)を選ぶ。 そして［ 弧(II-5)
> の中央の点 と 弧(III-4)の中央の点とを結ぶ 線分]（＝ 半径 10cm の円
> の弦）を描き、その長さを実測して記録する。
> 上記の実験を 40 回ほど繰り返し、半径（＝10cm）よりも大きい弦が得ら
> れた場合の数を調べ、その数を実験の回数（＝40）で割る。」
上記で、“［ 弧(II-5)の中央の点 と 弧(III-4)の中央の点とを結ぶ 線分]
（＝半径 10cm の円の弦）を描き、・・・”としたところが間違いでしたね。
# ２つの小弧の中央の点を採ったのでは、円周上から任意の二点を選んだ
ことにはならない。 (＾＾；)
Shin-ichi TSURUTA
100,000,000回の実験の結果、2/3に収束しました。
乱数には、周期が2^19937-1で、623次元超立方体の中に均等に分布
することが証明されているMersenneTwister法を使用しています。
HOSOI Osamu
>【問題】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられているとする。
>
>その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他の一点とを結ぶ直線
>を引いたときにできる弦の長さがその円の半径よりも大きくなる確率は
>いか程か？
円周に6n+3のボールを並べる。
ここから、2個のボールを選択する。
この組み合わせの総数は、(6n+3)(6n+2)/2。
2個のボールの短い方の間にn個を越えるボールが入る組み合わせ総数が、
(6n+3)(4n+2)/2。
結局、(2n+1)/(3n+1)。
やっぱり、2/3 ですよね。
組み合わせ総数の数え上げは、間違えてないと思うなぁ。
M_SHIRAISHI
既に、記事 <3E0B121B...@apionet.or.jp> に書いたとおり、
Ａ：［所与の円Ｃの円周上から（一点ずつ）任意に二点をとって、
それらの二点を結ぶ弦を描くこと］
と
Ｈ：［円Ｃの内部を通る任意の直線を引いて、それによって切り
取られる弦を得ること］
とは、同値ではないということが分かっています。
実験を、後者（Ｈ）の条件のもとでやってみると、3/4 という数値が得られる
筈です。
# 尚、前者（Ａ）の条件のもとでの確率なら、理論的にも 2/3 であることが
証明できます。
私は、Ａ のケース（即ち、円周上から任意の一点を選んだ後で、もう一つ
任意の一点を選んで、両者を結ぶケース）は想定していなくて、Ｈ のケース
（即ち、円周上から任意の二点を一度に選んでしまうケース）を想定して
居り、そのほうが件（くだん）のクイズの題意にマッチしていると思います。
しかし、いづれにせよ、“Bertrand の逆説”に対しての従来の通説は誤り
であったことは明らかでしょう。
つまり、「“同様に確からしい”という測度をどのように付与するか」ではなく
して、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によって、異なった
答が得られていたということであり、そもそも、確率とは、集合の測度など
ではなくして、不完全仮言命題に対しての測度だということです。
takah...@jcom.home.ne.jp
> M_SHIRAISHI wrote:
> >
〔省略〕
>> さてＰ１とＰ２の間の距離Ｌは、
>>
>> Ｌ = {(Xp1-Xp2)^2 + (Yp1-Yp2)^2}^0.5
>> = [{cos(θ1)-cos(θ2)}^2 + {sin(θ2)-sin(θ1)}^2]^0.5
>> = [{cos(θ1)}^2 - 2cos(θ1)cos(θ2) + {cos(θ2)}^2 + {sin(θ2)}^2 -
2sin(θ2)sin(θ1) + {sin(θ1)}^2]^0.5
>> = [2 - 2cos(θ1)cos(θ2) - 2sin(θ1)sin(θ2)]^0.5
>> = [2 - cos(θ1 + θ2) - cos(θ1 - θ2) + cos(θ1 + θ2) - cos(θ1 -
θ2)]^0.5 （加法定理より）
>> = [2 - 2cos(θ1 - θ2)]^0.5
>>
>この方策は、うまく行けば、図を使わなくても済む可能性が高いので、何とかして
>成功させたいものですね。
な、なんと、Shinichi Tsurutaさんが”図を使って”この方法の『欠陥』を
説明しているのですが,…
#takahasiは『cosθでなく、θそのものが一様分布すべきだ』と指摘しましたが
#『点選択の手段など何の関係もない！』と一蹴されてしまいました。
それにしても、SHIRAISHI流の図形による理論とはどんなものでしょう？
#まさか、確率論的(不完全)ベン図形では…
>>計算(もしくは実験結果の考察)方法を間違えていませんか？
|←--- 2/3 (弧に沿う場合。
| 弧に
| ●●●●● 沿う
| ●●● ●●● 曲線で
●● ●● 書き
●●● ●● たい)→|
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ● |
● ● ● ●|
● ● ● ●|
● ● ● ●
● ● ● ●
●● ● ●
●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●●
| |
|←------- 3/4 (x軸成分で考える場合)-----→|
#この絵からおもいついて、例の＜＜実験結果＞＞を半円状にプロットしてみまし
た。
#実験者の選択は中央に偏っているようで、短い弦(上図では左端付近)が
#少ないようです。"無作為"なのでしょうが、ランダムというにはちょっと…
taka...@denken.or.jp
>バカモン！
>"alligator"も"crocodile"も、日本語では「ワニ」と言うのと同様、漢語では
>"arbitrary"も"random"も「任意」と言うダケのことだ。
確かに、『任意の～』には『～を無作為に選んでよい』という意味もありますが
(例：平面上の任意の一点)、それは英語でも"arbitrary"のはず。
># “任意”を、英語での"random"の意味に使っていることを示す為に、
>「任意に（at random に）」ってな具合に表記して来たことに、貴様は、
>一向に、気が付かなんだか？
一向に、気が付きませんでした。
＃その括弧書きは誰かに指摘されてからついたので、最初は無かったような,…
>“どのように任意の点を選ぶのか？”なんてな問題提起は馬鹿げたもの
>であることに気づくべきやね。
># 「任意に」選んでこそ、“任意の点”と言えるのであって、「どのように
>選ぶのか？」と問えば、「任意に選ぶ」としか言えない。 それ以外の
>規定をもうけたのでは、もはや、“任意”とは言えないのだから。
とおっしゃるので、てっきり"arbitrary"の意味で使われているのだなと。
takah...@jcom.home.ne.jp
>記事<JpuN9.25242$ZS4.4...@news1.rdc1.ky.home.ne.jp>を書いた ≪タワケ（＝浅学
>の痴れ者)≫ は「円周上から 任意（random）に 二点を選ぶ ≪手段≫ が問題だ
」との
>錯覚に陥って居る様子だが、それは“アホウのアホウたる所以(ゆえん)”と言う
ものだ。
>“円周上から任意に二点を選ぶ手段”など、件の問題の本質とは［何ら関わりの
無い話］
>だからだ。
浅学菲才ではありますが、・・・
>記事 <3E084B58...@apionet.or.jp> に書いた ≪私の実施した実験≫ での
>「充分大きな紙の上に半径10cm の円を描き、その円の上に プラスチック製の
50cm尺の
>定規を、出鱈目にあてがって、出鱈目な方向で 出鱈目な長さの 弦を描く」
ここまで素朴なやり方だったとは、思いもよらず，…
>という手段は、恐らく、最も素朴なものだろうけれど、もう少し sophisticate な
方法と
>しては、例えば、次が考えられる：
>「半径 10cm の円の円周を 36 等分してできた（小さい）弧を順番に (I-1)，
(I-2)，(I-3)，
>・・・，(II-1), (II-2)，(II-3)，・・・・・・・，(VI-1)，(VI-2)，・・・，
(VI-6) と
>名づけておく。次に、サイコロを二回振って、例えば、最初に２の目が出て、次
に５の目が
>出たのであれば、弧(II-5)を選ぶ。 次に、もう一度、サイコロを二回振り、今度
は、例えば、
>最初に３の目が出て、次に４の目が出たのであれば、弧(III-4)を選ぶ。 そして
［ 弧(II-5)
>の中央の点 と 弧(III-4)の中央の点とを結ぶ 線分]（＝ 半径 10cm の円の弦）
を描き、
>その長さを実測して記録する。
> 上記の実験を 40 回ほど繰り返し、半径（＝10cm）よりも大きい弦が得られた
場合の数を
>調べ、その数を実験の回数（＝40）で割る。」
>その結果は、≪私の実施した実験≫での結果と大差のないものとなろう --- Thus
I predict.
これならば、Ａｔｓｕｎｏｒｉ Ｔａｍａｇａｗａ さんが提案(12/1)した方法と原理的に同じです。ただし
Ｔａｍａｇａｗａさんの方法では同じ点が続けて出ること(長さ0の弦)を排除して
いますが。
つまり、内接正36角形の2頂点の弦(対角線＋各頂点)1296とおり(対角線は重複2度
数える)
のうち内接正6角形の辺より長いものを数えるとそれは864通りとなります(ちょう
ど等しくなる
場合は1/2と数えた)。864/1296=0．666…=2/3です。私はたぶんこちらに近い答が
出ると思う。
#2/3対3/4を"大差"と見るかどうかですが、…
taka...@denken.or.jp
Tsurutaさんへ
大掛かりな『実験』ご苦労様です。
おかげで、頑固な論理学者も真理に近づいたようです。
100,000,000回の実験の結果、2/3に収束しました。
乱数には、周期が2^19937-1で、623次元超立方体の中に均等に分布
することが証明されているMersenneTwister法を使用しています。
解析的に結果がわかっていることの実験(モンテカルロ法)は、(擬似)乱数発生
器の性能検査にすぎないような気がします。推測ですが、
[0,1]一様乱数u1,u2に対して、xi＝cos(2 Pi ui), y=sin(2 Pi ui), L^2=(x２
-x1)^2+(y-y1) ^2)
L>=1を確認したのだと思いますが、それは結局 (u2-u1)<= 1/3(Mod 2Pi)) と同
じでしょう。
SHIRAISHIさんへ
>既に、記事 <3E0B121B...@apionet.or.jp> に書いたとおり、
>Ａ：［所与の円Ｃの円周上から（一点ずつ）任意に二点をとって、
> それらの二点を結ぶ弦を描くこと］
>と
>Ｈ：［円Ｃの内部を通る任意の直線を引いて、それによって切り
取られる弦を得ること］
>とは、同値ではないということが分かっています。
そのとおりです。円周上の任意の2点間の距離ではなく、
ランダムな直線が円と交わってできる弦の長さが問題なのだ、
と何回もいったでしょう。
>実験を、後者（Ｈ）の条件のもとでやってみると、3/4 という数値が得られる
>筈です。
ここは同意できません。（H)条件でまだいくつも"正解"がある。
3/4が"唯一"の答にはなりません。
># 尚、前者（Ａ）の条件のもとでの確率なら、理論的にも 2/3 であることが
> 証明できます。私は、Ａ のケース（即ち、円周上から任意の一点を選んだ後で
、もう一つ
>任意の一点を選んで、両者を結ぶケース）は想定していなくて、Ｈ のケース
>（即ち、円周上から任意の二点を一度に選んでしまうケース）を想定して
>居り、そのほうが件（くだん）のクイズの題意にマッチしていると思います。
ここは、以前の同氏の主張と全く矛盾しているが、それはおいとくとして、
>しかし、いづれにせよ、“Bertrand の逆説”に対しての従来の通説は誤り
>であったことは明らかでしょう。
どういう根拠があるのでしょう？Bertrand自身がこの矛盾の原因を
認識していなかったと言うのでしょうか？
われわれは『ランダムな直線』に問題があると主張してきました。
つまり（H)にもまだ解釈の余地があるのです。
>つまり、「“同様に確からしい”という測度をどのように付与するか」ではなく
>して、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によって、異なった
>答が得られていたということであり、そもそも、確率とは、集合の測度など
>ではなくして、不完全仮言命題に対しての測度だということです。
あるひとつの解釈がなぜ『正しい』と断定できるのか。
Shin-ichi TSURUTA
M_SHIRAISHI <eu...@apionet.or.jp> wrote:
> > 100,000,000回の実験の結果、2/3に収束しました。
> >
> > 乱数には、周期が2^19937-1で、623次元超立方体の中に均等に分布
> > することが証明されているMersenneTwister法を使用しています。
>
> 既に、記事 <3E0B121B...@apionet.or.jp> に書いたとおり、
>
> Ａ：［所与の円Ｃの円周上から（一点ずつ）任意に二点をとって、
> それらの二点を結ぶ弦を描くこと］
>
> と
>
> Ｈ：［円Ｃの内部を通る任意の直線を引いて、それによって切り
> 取られる弦を得ること］
>
> とは、同値ではないということが分かっています。
>
>
> 実験を、後者（Ｈ）の条件のもとでやってみると、3/4 という数値が得られる
> 筈です。
>
> # 尚、前者（Ａ）の条件のもとでの確率なら、理論的にも 2/3 であることが
> 証明できます。
後者（Ｈ）について実験を行いました。
まず、問題を単純化するために、半径1の円 x^2 + y^2 = 1を使用
しました。
1)x,y各成分につき-1.0～1.0の範囲でランダムに点を選びます。
同時に方向ベクトルを0～2π(ラジアン)で選びます。
2)選ばれた点が円の内部に無い場合を除外します。
3)選ばれた点と方向ベクトルから直線を生成し、その直線と原点の
間の距離を求め、cos30°より小さければ、弦の長さが半径を超
えたことになるので、これをカウントします。
上記実験を100,000,000回行った結果です。
円の中に入った数(c0), 弦の長さが半径を超えた数(c1), 弦の長さ
が半径を超える確率(p = c1 / c0), この実験から得られる円周率
(π = c0 * 4 / 100,000,000)を表にします。
c0 | c1 | p | π
----------+----------+----------+----------
78541385 | 74013642 | 0.942352 | 3.141655
以上より、3/4より遥かに大きな値になります。
ここで
3)選ばれた点と原点を結ぶ直線に垂直になるような弦を引く場合、
＝その選ばれた点で最短の弦を生成するとした場合、
＝その選ばれた点で半径以下の弦が引けない場合、をカウントする
とすると、結果は以下のようになり、
c0 | c1 | p | π
----------+----------+----------+----------
78541385 | 58905266 | 0.749990 | 3.141655
3/4に収束します。
おまけ
後者を1,000,000,000回行った結果です。
c0 | c1 | p | π
-----------+-----------+----------+----------
785379109 | 589048091 | 0.750018 | 3.141516
M_SHIRAISHI
Stupid_Takahasi stupidly wrote:
> 頑固な論理学者も真理に近づいたようです。
タワケが！
# そのうち、こちらの手の内を知るだろう。 ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI
> takahasiです。
>
> >バカモン！
>
> >"alligator"も"crocodile"も、日本語では「ワニ」と言うのと同様、漢語では
> >"arbitrary"も"random"も「任意」と言うダケのことだ。
>
> 確かに、『任意の～』には『～を無作為に選んでよい』という意味もありますが
> (例：平面上の任意の一点)、それは英語でも"arbitrary"のはず。
念の為、手元の Oxford English-Chinese Dictionary を引いてみた；－
"arbitrary" を引いても "任意(的)"と出ており、"random"を引いても、
任意(的)"と出ていた。
これは、漢語の本家本元の、(現代)中国語でのことではあるが、日本語
でも、"任意"という語を"arbitrary" の意味にも"random"の意味にも使う
ことは周知の通り。
# 尚、Concise Oxford English Dictionary で、"arbitrary"を引いて
みたら、"random"と出ていた！ 何のことは無い、英語でも、日常的
には、"arbitrary" は "random" と同義。 ヽ(＾。＾)ノ
M_SHIRAISHI
加えて、記事 <3E0C7162...@apionet.or.jp>
に書いた理由により、
上掲の“少し sophisticate な方法”は適切なものではないですね。
M_SHIRAISHI
HOSOI Osamu wrote:
In article <3DFE1028...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
>【問題】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられているとする。
>
>その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他の一点とを結ぶ直線
>を引いたときにできる弦の長さがその円の半径よりも大きくなる確率は
>いか程か？円周に6n+3のボールを並べる。
ここから、2個のボールを選択する。
この組み合わせの総数は、(6n+3)(6n+2)/2。2個のボールの短い方の間にn個を越えるボールが入る組み合わせ総数が、
(6n+3)(4n+2)/2。結局、(2n+1)/(3n+1)。
やっぱり、2/3 ですよね。
組み合わせ総数の数え上げは、間違えてないと思うなぁ。
スレッドの配置の関係で、あなたの投稿を見落として居りました。
追って、詳しく説明するつもりだけど、とりあえず、
記事 <3E0C7162...@apionet.or.jp>
を ご参考あれ。
M_SHIRAISHI
Shin-ichi TSURUTA wrote:
上記の実験は、≪Ｈの条件のもとで、弦が円の半径よりも大きくなる
確率≫を実測したものとは言えません。
［円の内部の点を決めたあとで、更にその点を通る無限個の直線の
中から一本を選ぶ］ということは、［円周上からいっきに二点を選ぶ］
こととは同値ではないからです。
なぜ同値ではないのかと言うと、［円周上からいっきに二点を選ぶ］
ことは、［円周上からいっきに選ぶ筈の二点を結ぶ線分（＝所与の
円の弦）の中点を円の内部から任意（random）に選ぶ］ということと
同値なのですが、そのことは、明らかに、［円の内部の点を決めた
あとで、更にその点を通る無限個の直線の中から一本を選ぶ］と
いうことは同値ではないからです。
尚、Ｈなる事象が［円周上からいっきに二点を選ぶ］ことと同値で
あることは、言うまでも無いでしょう。
> ここで
>
> 3)選ばれた点と原点を結ぶ直線に垂直になるような弦を引く場合、
> ＝その選ばれた点で最短の弦を生成するとした場合、
> ＝その選ばれた点で半径以下の弦が引けない場合、をカウントする
>
> とすると、結果は以下のようになり、
>
> c0 | c1 | p | π
> ----------+----------+----------+----------
> 78541385 | 58905266 | 0.749990 | 3.141655
>
> 3/4に収束します。
>
> おまけ
> 後者を1,000,000,000回行った結果です。
> c0 | c1 | p | π
> -----------+-----------+----------+-----
> 785379109 | 589048091 | 0.750018 | 3.141516
前述の理由によって、こちらの実験こそが、≪Ｈの条件のもとで、
弦が円の半径よりも大きくなる確率≫を実測したものとなります。
M_SHIRAISHI
記事<3E0A9801...@apionet.or.jp>を読んで言って居るのか？
M_SHIRAISHI
takah...@jcom.home.ne.jp wrote:
> takahasiです。
>
> > M_SHIRAISHI wrote:
> > >
> 〔省略〕
> >> さてＰ１とＰ２の間の距離Ｌは、
> >>
> >> Ｌ = {(Xp1-Xp2)^2 + (Yp1-Yp2)^2}^0.5
> >> = [{cos(θ1)-cos(θ2)}^2 + {sin(θ2)-sin(θ1)}^2]^0.5
> >> = [{cos(θ1)}^2 - 2cos(θ1)cos(θ2) + {cos(θ2)}^2 + {sin(θ2)}^2 -
> 2sin(θ2)sin(θ1) + {sin(θ1)}^2]^0.5
> >> = [2 - 2cos(θ1)cos(θ2) - 2sin(θ1)sin(θ2)]^0.5
> >> = [2 - cos(θ1 + θ2) - cos(θ1 - θ2) + cos(θ1 + θ2) - cos(θ1 -
> θ2)]^0.5 （加法定理より）
> >> = [2 - 2cos(θ1 - θ2)]^0.5
> >>
>
> >この方策は、うまく行けば、図を使わなくても済む可能性が高いので、何とかして
> >成功させたいものですね。
>
> な、なんと、Shinichi Tsurutaさんが”図を使って”この方法の『欠陥』を
> 説明しているのですが,…
玉川さんのアプローチは、私が引用した部分までなら、正しいものであるって
話なのだよ。
M_SHIRAISHI
taka...@denken.or.jp wrote:
> ランダムな直線が円と交わってできる弦の長さが問題なのだ
と主張することは、確率の前提条件を一意に決める（＝解釈する）ことに
他ならぬのだってことに、一向に、合点が行かぬのか？
> >つまり、「“同様に確からしい”という測度をどのように付与するか」ではなく
> >して、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によって、異なった
> >答が得られていたということであり、そもそも、確率とは、集合の測度など
> >ではなくして、不完全仮言命題に対しての測度だということです。
>
> あるひとつの解釈がなぜ『正しい』と断定できるのか。
「ランダムな直線が円と交わってできる弦の長さが問題なのだ」と主張して、
自分自身が、（確率の）前提条件の解釈を一つに絞っておきながら、どの面
さげて、「ある一つの解釈がなぜ『正しい』と断定できるのか？」なんて言える
のだ？ このバカモン！
Yoshiro NAKAYA
> して、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によって、異なった
> 答が得られていたということであり、そもそも、確率とは、集合の測度など
> ではなくして、不完全仮言命題に対しての測度だということです。
これがおっしゃりたいことだということは明らかでしたが…。
「“同様に確からしい”という測度をどのように付与するか」と
「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」
が一対一に対応している例を出しても，
> しかし、いづれにせよ、“Bertrand の逆説”に対しての従来の通説は誤り
> であったことは明らかでしょう。
とは言えない気がするのですが？もう少し別の例が必要じゃないのでしょうか？
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
Tarokun
異なるように感じます。
"arbitrary"は、人為的な要素が介入していると思います。研究
社の新英和中辞典では、「任意的な」、「恣意的な」、「勝手
な」、「独断的な」という言葉が続きます。Collins English
Dictionaryという代表的な英英中辞典でも、"founded on or
subject to personal whims, prejudices etc."と説明がなされて
います。
実際、"arbiter"（仲裁者）や"arbitrament"（仲裁判決）という
派生語からもその意味が想像できます。
これに対して、"ramdom"は、人の意思などが介入しないニュアン
スが感じられます。研究社の辞書では、「いきあたりばったりの」
という意味がかかれています。（「任意」という言葉は出てきませ
ん。そもそも、「任意」とはある人がその自由意思で選ぶこと、と
いうのが、通常の国語辞典の説明だと思います。）
ですので、"arbitrary"は「恣意的」あるいは「任意の」で、
"random"は「無作為」という訳語が適切のように思われます。よっ
て、本件における実験に関しては、「無作為に・・・」の言葉を用
いるのが適切であろうと思われます。
Tarokun
M_SHIRAISHI
Shin-ichi TSURUTA wrote:
上記の実験は、≪Ｈの条件のもとで、弦が円の半径よりも大きくなる
確率≫を実測したものとは言えません。
［円の内部の点を決めたあとで、更にその点を通る無限個の直線の
中から一本を選ぶ］ということは、［円周上からいっきに二点を選ぶ］
こととは同値ではないからです。
なぜ同値ではないのかと言うと、［円周上からいっきに二点を選ぶ］
ことは、［円周上からいっきに選ぶ筈の二点を結ぶ線分（＝所与の
円の弦）の中点を円の内部から任意（random）に選ぶ］ということと
同値なのですが、そのことは、明らかに、［円の内部の点を決めた
後で、更にその点を通る無限個の直線の中から一本を選ぶ］という
こと と は同値ではないからです。
尚、Ｈなる事象が［円周上からいっきに二点を選ぶ］ことと同値で
あることは、言うまでも無いでしょう。
> ここで
>
> 3)選ばれた点と原点を結ぶ直線に垂直になるような弦を引く場合、
> ＝その選ばれた点で最短の弦を生成するとした場合、
> ＝その選ばれた点で半径以下の弦が引けない場合、をカウントする
>
> とすると、結果は以下のようになり、
>
> c0 | c1 | p | π
> ----------+----------+----------+----------
> 78541385 | 58905266 | 0.749990 | 3.141655
>
> 3/4に収束します。
>
> おまけ
> 後者を1,000,000,000回行った結果です。
> c0 | c1 | p | π
M_SHIRAISHI
Tarokun wrote:
> わたしは文系の人間ですが、arbitraryとrandomはかなり語感的に
> 異なるように感じます。
>
> "arbitrary"は、人為的な要素が介入していると思います。研究
> 社の新英和中辞典では、「任意的な」、「恣意的な」、「勝手
> な」、「独断的な」という言葉が続きます。
"arbitrary"の意味を、 辞典では、１）任意の ２）専横的な というふうに
区分しているのが普通でしょう。
# 実際、研究社の『新英和中辞典』でも、そうしていますね。
> "arbitrary"は「恣意的」あるいは「任意の」で、
> "random"は「無作為」という訳語が適切のように思われます。
現代中国語で"random"に、「任意的」という訳語をあてているのと
同様に、日本語でも"at random"の意味で「任意に」という語*も*
使っているのが実情です。 勿論、「無作為に」という訳語を使う人
もいますが。
Tarokun
私の語感では、arbitraryは「任意的」あるいは「恣意的」（研
究者の英和辞書にある最初の意味）で、at random（でたらめに、
無作為に）とは、まあ違うだろうと感じていました。
昔の数学の確率の授業を思い出してみると、袋から玉を２個取り
出すときなど、「無作為に」と使っていたようにも覚えています。
「任意に」（つまり自由に、好きに）２個とるのとは正確には異な
りそうです・・・ 証明問題の最初で、「座標上で任意の一点選ん
で・・・」というのは、とにかく恣意的でもなんでもいいから、好
きな一点選んでください、という意味だと思います。
しかし、実際上、両者を同じ意味で使う場合が（特に数学の世界
で）あるようでしたら、（誤用かどうかわかりませんが）なるほど
と思います。
あまり本題とは関係が薄いので、このあたりで・・・
Tarokun
M_SHIRAISHI
Yoshiro NAKAYA wrote:
> > つまり、「“同様に確からしい”という測度をどのように付与するか」ではなく
> > して、「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」によって、異なった
> > 答が得られていたということであり、そもそも、確率とは、集合の測度など
> > ではなくして、不完全仮言命題に対しての測度だということです。
>
> これがおっしゃりたいことだということは明らかでしたが…。
> 「“同様に確からしい”という測度をどのように付与するか」と
> 「問題の確率の“前提条件”を どう解釈したのか」
> が一対一に対応している例を出しても，
>
> > しかし、いづれにせよ、“Bertrand の逆説”に対しての従来の通説は誤り
> > であったことは明らかでしょう。
>
> とは言えない気がするのですが？もう少し別の例が必要じゃないのでしょうか？
［（八百長細工をされていない）サイコロを、二回続けて投げたならば、二度とも
偶数の目がでることがありえる］という≪不完全仮言命題≫を量的に評価した
ものが“（八百長細工をされていない）サイコロを、二回続けて投げたとき、二度
とも偶数の目がでる確率”であって、それは、集合の測度などではない -----
ってな「例」で、充分じゃないかな？
M_SHIRAISHI
# さて、諸君、一連の議論を終結させるべき時が来たようだ。
Ａ：［円周上から、先ず一点を任意に選んで、次にまた（円周上に
残った点の中から）任意に一点を選ぶ］こと
と
Ｈ：［円周上から、（一度に！）二点を選ぶ］こと
とが、どうして同値ではないのかというワケを、アッフォーにも
分かるような≪わかりやすい例≫でもって、示しておこう：－
Ａ’：［５個の異なるものから、先ず任意に１個を選ぶ、次に、
残った４個の中から任意に１個を選ぶ］こと
と
Ｈ’：［５個の異なるものから、一度に２個を任意に選ぶ］こと
とは、同値ではない。 なんとならば、前者の組合わせの数は
（5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）であり、後者の組合わせの数は
（5!／2! 3!） であって、明らかに、
（5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!） ≠（5!／2! 3!）
であるからである。
# これを、≪トドメの一撃≫とぞ、人は言ふらむ。
M_SHIRAISHI
# さて、諸君、一連の議論を終結させるべき時が来たようだ。
Ａ：［円周上から、先ず一点を任意に選んで、次にまた（円周上に
残った点の中から）任意に一点を選ぶ］こと
と
Ｈ：［円周上から、（一度に！）二点を選ぶ］こと
とが、どうして同値ではないのかというワケを、アッフォーにも
分かるような≪わかりやすい例≫でもって、示しておこう：－
Ａ’：［５個の異なるものから、先ず任意に１個を選んで、次に、
残った４個の中から任意に１個を選ぶ］こと
と
Ｈ’：［５個の異なるものから、一度に２個を任意に選ぶ］こと
とは、同値ではない。
なんとならば、前者の組合わせの数は （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）
であり、後者の組合わせの数は（5!／2! 3!） であって、明らかに、
（5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!） ≠（5!／2! 3!）
であるからである。
# これを、≪トドメの一撃≫とぞ、人は言ふらし。
M_SHIRAISHI ＠The_New_York_Academy_of_Sciences
http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html
Yoshiro NAKAYA
> Ａ’：［５個の異なるものから、先ず任意に１個を選んで、次に、
> 残った４個の中から任意に１個を選ぶ］こと
>
> と
>
> Ｈ’：［５個の異なるものから、一度に２個を任意に選ぶ］こと
>
> とは、同値ではない。
>
> なんとならば、前者の組合わせの数は （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）
> であり、後者の組合わせの数は（5!／2! 3!） であって、明らかに、
>
> （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!） ≠（5!／2! 3!）
>
> であるからである。
A' : 「５個の異なるものから、先ず任意に１個を選んで、次に、残った４個の
中から任意に１個を選ひ、次に、残った３個の中から任意に１個を選ひ、次に、
残った２個の中から任意に１個を選ぶ」
と比べるべきなんでしょうけど…。
> # これを、≪トドメの一撃≫とぞ、人は言ふらし。
わざと外してるんでしょうか？
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
Yoshiro NAKAYA
> A' : 「５個の異なるものから、先ず任意に１個を選んで、次に、残った４個の
> 中から任意に１個を選ひ、次に、残った３個の中から任意に１個を選ひ、次に、
> 残った２個の中から任意に１個を選ぶ」
>
> と比べるべきなんでしょうけど…。
なにやってるんだかわからないですよね(--;。
> なんとならば、前者の組合わせの数は （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）
> であり、後者の組合わせの数は（5!／2! 3!） であって、明らかに、
>
> （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!） ≠（5!／2! 3!）
（5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）/(2!) と 5!／2! 3!を比べるか
（5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）と （5!／2! 3!）を比べるべきなんでしょうね…。
の誤りですねm(__)m。
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
Yoshiro NAKAYA
> （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）と （5!／2! 3!）を比べるべきなんでしょうね
> …。
（5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）と （5!／2! 3!）×（2！）を比べるべきなんで
しょうね…。
ですm(__)m。
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
Yoshiro NAKAYA
「1,2,3 の 3 つの数字から重複を許して 3 個選ぶとき，1が3個選ばれる確率を求めよ」
という問いに対し，M_SHIRAISHIさんならどうお答えになるのか興味があるのですが…。
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
HOSOI Osamu
>Ａ：［円周上から、先ず一点を任意に選んで、次にまた（円周上に
> 残った点の中から）任意に一点を選ぶ］こと
>
>と
>
>Ｈ：［円周上から、（一度に！）二点を選ぶ］こと
>
>とが、どうして同値ではないのかというワケを、アッフォーにも
>分かるような≪わかりやすい例≫でもって、示しておこう：－
>
>
>Ａ’：［５個の異なるものから、先ず任意に１個を選んで、次に、
> 残った４個の中から任意に１個を選ぶ］こと
>
>と
>
>Ｈ’：［５個の異なるものから、一度に２個を任意に選ぶ］こと
>
>とは、同値ではない。
>
>なんとならば、前者の組合わせの数は （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）
>であり、後者の組合わせの数は（5!／2! 3!） であって、明らかに、
>
> （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!） ≠（5!／2! 3!）
>
>であるからである。
おかしな点を一つ。
2点の組み合わせでは順番は問われないのですから、A'は、2で割らないと。
で、結局両者は等しい。
=========================∧∧===
beo...@mdd.sst.ne.jp ≧・≠≦
細井 修 (HOSOI, Osamu) ( )し
================================
Shin-ichi TSURUTA
M_SHIRAISHI <eu...@apionet.or.jp> wrote:
> > 後者（Ｈ）について実験を行いました。
> > まず、問題を単純化するために、半径1の円 x^2 + y^2 = 1を使用
> > しました。
> > 1)x,y各成分につき-1.0～1.0の範囲でランダムに点を選びます。
> > 同時に方向ベクトルを0～2π(ラジアン)で選びます。
> > 2)選ばれた点が円の内部に無い場合を除外します。
> > 3)選ばれた点と方向ベクトルから直線を生成し、その直線と原点の
> > 間の距離を求め、cos30°より小さければ、弦の長さが半径を超
> > えたことになるので、これをカウントします。
> > 上記実験を100,000,000回行った結果です。
> > 円の中に入った数(c0), 弦の長さが半径を超えた数(c1), 弦の長さ
> > が半径を超える確率(p = c1 / c0), この実験から得られる円周率
> > (π = c0 * 4 / 100,000,000)を表にします。
> > c0 | c1 | p | π
> > ----------+----------+----------+----------
> > 78541385 | 74013642 | 0.942352 | 3.141655
> > 以上より、3/4より遥かに大きな値になります。
> 上記の実験は、≪Ｈの条件のもとで、弦が円の半径よりも大きくなる
> 確率≫を実測したものとは言えません。
>
> ［円の内部の点を決めたあとで、更にその点を通る無限個の直線の
> 中から一本を選ぶ］ということは、［円周上からいっきに二点を選ぶ］
> こととは同値ではないからです。
決めた後ではありません。プロセスとしては全く同時です。方向ベ
クトルを先に求めておいても、論理的に全く同じ結果です。
> なぜ同値ではないのかと言うと、［円周上からいっきに二点を選ぶ］
> ことは、［円周上からいっきに選ぶ筈の二点を結ぶ線分（＝所与の
> 円の弦）の中点を円の内部から任意（random）に選ぶ］ということと
> 同値なのですが、そのことは、明らかに、［円の内部の点を決めた
> 後で、更にその点を通る無限個の直線の中から一本を選ぶ］という
> こと と は同値ではないからです。
任意に直線を引き、円の内部に入ったものの中で確率を求める場合、
結局前者の通りになります。また「条件Ｈ」は、弦を作る前に直線
を引いています。「条件Ｈ」に対してはこちらの方法が正しいはず
です。また、この方法で同時に二点選べています。
> > ここで
> > 3)選ばれた点と原点を結ぶ直線に垂直になるような弦を引く場合、
> > ＝その選ばれた点で最短の弦を生成するとした場合、
> > ＝その選ばれた点で半径以下の弦が引けない場合、をカウントする
> > とすると、結果は以下のようになり、
> > c0 | c1 | p | π
> > ----------+----------+----------+----------
> > 78541385 | 58905266 | 0.749990 | 3.141655
> > 3/4に収束します。
> 前述の理由によって、こちらの実験こそが、≪Ｈの条件のもとで、
> 弦が円の半径よりも大きくなる確率≫を実測したものとなります。
こちらは、選んだ点に対する直線の方向ベクトルを勝手に拘束して
いるので、正しくありません。弦の生成方向を原点方向にしてしまっ
たら、確率は1.0になることから、この考え方の間違いは明らかです。
M_SHIRAISHI
HOSOI Osamu wrote:
> In article <3E0F31A2...@apionet.or.jp>, eu...@apionet.or.jp says...
> >Ａ：［円周上から、先ず一点を任意に選んで、次にまた（円周上に
> > 残った点の中から）任意に一点を選ぶ］こと
> >
> >と
> >
> >Ｈ：［円周上から、（一度に！）二点を選ぶ］こと
> >
> >とが、どうして同値ではないのかというワケを、アッフォーにも
> >分かるような≪わかりやすい例≫でもって、示しておこう：－
> >
> >
> >Ａ’：［５個の異なるものから、先ず任意に１個を選んで、次に、
> > 残った４個の中から任意に１個を選ぶ］こと
> >
> >と
> >
> >Ｈ’：［５個の異なるものから、一度に２個を任意に選ぶ］こと
> >
> >とは、同値ではない。
> >
> >なんとならば、前者の組合わせの数は （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!）
> >であり、後者の組合わせの数は（5!／2! 3!） であって、明らかに、
> >
> > （5!／1! 4!）Ｘ（4!／1! 3!） ≠（5!／2! 3!）
> >
> >であるからである。
>
> おかしな点を一つ。
> 2点の組み合わせでは順番は問われないのですから、
［先ず一点を任意に選んで、次にまた（円周上に 残った点の中から）
任意に一点を選ぶ］のであるから、当然、順番は問われる。
例えば、最初に５を選び、次に２を選んだ場合の（５，２）と、最初に
２を選び、次に５を選んだ場合の（２，５）とは区別されねばならない。
M_SHIRAISHI
Yoshiro NAKAYA wrote:
> 「1,2,3 の 3 つの数字から重複を許して 3 個選ぶとき，1が3個選ばれる確率を求めよ」
> という問
それは、別に、どうってことは無いんじゃないかなぁ～：－
二項係数 n!／[r!(n-r)!] を Ｃ{r,n} と書くことにすれば、
求める確率：P ＝ 1 ／Ｃ{3,9} ＝ 1／84，即ち、約 0.0119。
M_SHIRAISHI
Shin-ichi TSURUTA wrote:
この場合、ヴェクトルの始点を先に決めるか方向を先に決めるかなんて
ことは問題ではないのだよ。
どちらを先に決めたところで、［円周上からいっきに二点を選ぶ］こととは
同値ではありえぬのだから。
ヴェクトルの方向のほうを先に決めるとした場合、
「ヴェクトルの方向を無限にある方向の中から一方向を決め、今度はその
始点を円内の無限個の点の中から選ぶ」
のだから、それは
［円周上からいっきに二点を選ぶ］
こととは同値ではありえない。
> > 前述の理由によって、こちらの実験こそが、≪Ｈの条件のもとで、
> > 弦が円の半径よりも大きくなる確率≫を実測したものとなります。
>
> こちらは、選んだ点に対する直線の方向ベクトルを勝手に拘束して
> いるので、正しくありません。弦の生成方向を原点方向にしてしまっ
> たら、確率は1.0になることから、この考え方の間違いは明らかです。
そのように考えるのこそ、「明らかな間違い」だ。 ヽ(＾。＾)ノ
［弦の中点を決める］ってことは［その弦を決める］ことに他なならず、
そのことは、即ち、［円周上からいっきに二点を決める］ことと同値だ
からだ。
M_SHIRAISHI
> 件（くだん）の問題を書いた記事 <3DB28F4B...@apionet.or.jp>
> が、表示画面からは消えてしまっている筈なので、再掲しておきます：－
>
>
> 【問題】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
> する。その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他の一点とを
> 結ぶ直線を引いたときにできる弦の長さがその円の半径よりも大きく
> なる確率はいか程か？
今にして思えば、この問題における確率の前提条件は、今ひとつ、明解性
に欠けてた曖昧なものでしたね。 ヽ(＾。＾)ノ
曖昧さを除去すべく、次の様に書き換えておくことにします：－
【問題】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
する。 この円の内部を通る直線を任意（at random）に引いた場合、
その時できる弦の長さが所与の円の半径の長さより大きくなる確率は
いか程か？
M_SHIRAISHI ＠The_New_York_Academy_of_Sciences
Akira Kakuto
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E105497...@apionet.or.jp...
> > 「1,2,3 の 3 つの数字から重複を許して 3 個選ぶとき，1が3個選ばれる確率を求めよ」
> > という問
>
> それは、別に、どうってことは無いんじゃないかなぁ～：－
>
> 二項係数 n!／[r!(n-r)!] を Ｃ{r,n} と書くことにすれば、
>
> 求める確率：P ＝ 1 ／Ｃ{3,9} ＝ 1／84，即ち、約 0.0119。
--
Akira Kakuto
Akira Kakuto
"Akira Kakuto" <kak...@fuk.kindai.ac.jp> wrote in message
news:I%8Q9.27085$ZS4.4...@news1.rdc1.ky.home.ne.jp...
--
Akira Kakuto
Takahashi Makoto
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E10568D...@apionet.or.jp...
>
> HOSOI Osamu wrote:
[省略]
>
> > おかしな点を一つ。
> > 2点の組み合わせでは順番は問われないのですから、
>
> ［先ず一点を任意に選んで、次にまた（円周上に 残った点の中から）
> 任意に一点を選ぶ］のであるから、当然、順番は問われる。
>
> 例えば、最初に５を選び、次に２を選んだ場合の（５，２）と、最初に
> ２を選び、次に５を選んだ場合の（２，５）とは区別されねばならない。
はて、何のことやら？？？
「ベルトラン－SHIRAISHIの逆説」では「２点間の距離=弦の長さ」が問題ですが、両端点
の順序により距離は変わりません。順序を区別すれば組合せ(弦)の数は２倍になりま
すが、分母(全部の弦の数)も分子(条件を満たす弦の数)も２倍になるのでので、確率
の値は変わりません。
#的外れな「トドメの一撃」のおかげで、年を越してしまいそうです（＾＾；
HOSOI Osamu
>［先ず一点を任意に選んで、次にまた（円周上に 残った点の中から）
>任意に一点を選ぶ］のであるから、当然、順番は問われる。
>
>例えば、最初に５を選び、次に２を選んだ場合の（５，２）と、最初に
>２を選び、次に５を選んだ場合の（２，５）とは区別されねばならない。
えっ!?
順列と組み合わせが別物だってことを、声高に叫んでたんですか?
弦の長さが、端点のどちらから描くかで変わるとでも言うんでしょうか?
Takahashi Makoto
うです。
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E108B31...@apionet.or.jp...
>
> 【問題】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
> する。 この円の内部を通る直線を任意（at random）に引いた場合、
> その時できる弦の長さが所与の円の半径の長さより大きくなる確率は
> いか程か？
12/26の投稿 Message-ID: auhcv8$eie$1...@dnknews.denken.or.jp
でものべたように、ベルトランのオリジナルの問題は、ランダムな直線が円と交わっ
て出来る弦の長さがテーマですを問題にしています。円周上の2点を決めるのは弦の
選び方の『ひとつ』にすぎません。
#これに気がつかぬまま年が明けるかと思った（＾＾；；
しかし「ランダムな直線」としてもまだあいまいさがあります。ベルトランは異なる
確率を与える複数の解釈を示し、このあいまいさを明確にしてみせたのです。「３つ
の正解」を示したのではありません。
#ましてや、そのひとつだけが「正解」と宣言されたら、びっくりするでしょう。
#これには気がつかぬまま年が明けるのでしょうか（＾＾；；；
「ランダムな弦」は、弦の中点を円内でランダムに選んでも決められます。しかし「ラ
ンダムに中点を選ぶ」方法(手順)が確定しません。「デタラメに」選ぶのでは、人によ
り場合により結果が異なる可能性があり、客観的とはいえません。
幾何学的対象の確率は、たとえば弧や線分の長さ、図形の面積、立体の体積など客
観的な『量』に比例するように決めるのが合理的です。幾何学的図形(点・線・面・立
体の集合)に関する確率を、長さ・角度・面積・体積などの測度(積分量)によって規
定するのはきわめて自然な考え方です。
＃「大数の法則」は集合や測度を用いずに証明できるのだろうか？
＃それとも、SHIRAISHI流確率論は「20世紀標準確率論」を前提として構築されるのか
？
たとえば、弦を任意に選ぶために定規を「デタラメ」に用いる方法が示されているが、
これが「弦の中点を円内でランダムに選ぶ」のと同等(equivalent)である根拠(論理)は
？
#Ｑ：「太陽を中心とする半径1億Kmの円」が対象でも「半径10cmの円」と(ほぼ)同じ結
果が得られる？
#Ａ：前提条件が異なるので、同じ確率が得られるとは限らない。？？？
Atsunori Tamagawa
>
> "M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
> news:3E108B31...@apionet.or.jp...
> >
> > 【問題】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
> > する。 この円の内部を通る直線を任意（at random）に引いた場合、
> > その時できる弦の長さが所与の円の半径の長さより大きくなる確率は
> > いか程か？
>
> 12/26の投稿 Message-ID: auhcv8$eie$1...@dnknews.denken.or.jp
> でものべたように、ベルトランのオリジナルの問題は、ランダムな直線が円と交わっ
> て出来る弦の長さがテーマですを問題にしています。円周上の2点を決めるのは弦の
> 選び方の『ひとつ』にすぎません。
僕もその後いろいろ面倒な計算をやってみたんですけど、弦を実際に引く
人の手順を横で見ないことには、当を得た計算式が立てられないのではと、
今では考えてます。
最初は半径Rの円内にランダムに点を選んで、その点を通るランダムな
方向の直線が作る弦の長さについても計算してみたのですけど、別の
記事でM_SHIRAISHIさんが鶴田さんに答えているように、そのやり方は
彼が規定するところの「任意の弦」ではないわけです。
ところで、以下のことは言えそうです。
---------------------------------------------------------------
原点 O(0, 0)を中心とする半径 Rの円を考えます。
この円を通過する直線を引く際に、円の中心 O(0, 0)とその直線との
間の距離ｒが、 r < {(3^0.5)・R}/2 の場合、その直線が作る弦は円の
半径 Rよりも大きくなり、したがって問題の条件を満たします。
【理由】
例えばｘ軸上にたまたま点Qが選ばれたとし、その点Qを通る直線が正の
ｘ軸との間に作る角度をθとし、弦の両端をそれぞれG1, G2とします。
L1 = |QG1|
L2 = |QG2|
L(弦の長さ) = L1 + L2
このときθが90度の場合、つまりｙ軸に並行な直線が引かれた場合に、
最も弦の長さが短くなることは明らかです。そこでθが90度の場合でも
弦の長さが円の半径 R以上となる rの条件ですが、
L = L1 + L2 = 2・(R^2 - r^2)^0.5 > R
∴ r < {(3^0.5)・R}/2 ---------- (1)
これはつまり、半径Rの円の中にある点 Qを任意に選ぶ場合、
もし点Qが半径((3^0.5)・R)/2 なる、やや小さな円 R'の中に
収まった場合には、その点を通るどのような角度の直線を
引いても常に弦の長さはRより大きくなり、したがって問題の
条件を満たすということです。
ちなみに、その様な内円 R'の、Rに対する面積の割合は以下の通りです。
π[{(3^0.5)・R}/2]^2 ÷ π・R^2 = 3/4 ---------- (2)
---------------------------------------------------------------
僕はもともと与えられた円 Rの内部にランダムな点を選んで、その
点からランダムな方向の直線を作るという計算をしたのですが、前述
の理由でそれはここではM_SHIRAISHIさんの考える方法ではないと
分りました。
しかし(1)を少し見方を変えて、半径Rの円が与えられ、その円を通過
するランダムな直線を引く場合に、その直線が(1)で与えられる半径の
内円 R'を通過すれば、問題の条件を満たすと考えることもできます。
単にある円の内部にランダムに点を選び、その点が(1)で与えられる
半径の内円 R'に収まる確率、ということであるなら、無論その値は
(2)で与えられる3/4となるんですけど。
玉川厚徳
M_SHIRAISHI
Takahashi Makoto wrote:
> #的外れな「トドメの一撃」のおかげで、年を越してしまいそうです（＾＾；
あな哀し
ぼけがぼけ呼ぶ
年の暮れ
啄木 圖
M_SHIRAISHI
Takahashi Makoto wrote:
>
> 「デタラメに」選ぶのでは、人により場合により結果が異なる可能性があり、
> 客観的とはいえません。
与えられた円の中に、デタラメに、一回だけ、弦を引くのであれば、
人により場合により結果が異なり得るのは、当たり前のこと。 ヽ(＾。＾)ノ
しかし、デタラメに弦を引く実験を、５０回以上、繰り返せば、弦の長さ
が半径の長さよりも大きくなった回数の（実験回数に対しての）比の値
は 或る一定の値の周辺に安定して来るのだよ。
# そして、その“一定の値”とは、0.75 なのだ。
M_SHIRAISHI ＠The_New_York_Academy_of_Sciences
http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html
M_SHIRAISHI
“ベルトランの逆説”を解説した Web site は、日本語のものは無い
ようだけど、英語のものだと、結構、在りますね：－
http://www.cut-the-knot.org/bertrand.shtml
http://www.math.uah.edu/stat/buffon/buffon3.html
M_SHIRAISHI
M_SHIRAISHI wrote:
> デタラメに弦を引く実験を、５０回以上、繰り返せば、弦の長さ
> が半径の長さよりも大きくなった回数の（実験回数に対しての）比の値
> は 或る一定の値の周辺に安定して来るのだよ。
>
> # そして、その“一定の値”とは、0.75 なのだ。
「正解はただ一つであって、その値は 3/4（＝0.75）である」との主張に
違和感を持つ人の気持ちは、私自身、よーく、承知の上のことなのだよ。
このクイズを出題した時点では、他ならぬ私自身が、従来の通説に従い、
このクイズには（ 2/3 や 3/4 を含めて）複数個の“正解”が在ると信じて
居たのだから。
しかし、よ～く、考えてみた結果、この「従来の通説」は、間違いである
ことに気づいたのさ。
M_SHIRAISHI
Akira Kakuto wrote:
新春や
今年も出るらし
ボケナスが
啄木 圖
M_SHIRAISHI
更なる追記。
M_SHIRAISHI wrote:
しかし、旧説に凝り固まっている人々に、それが間違った説であることを
説明して納得させることは、決して、容易なことではない。
説明するよりも、実験でもって事実に直面させたほうが手っ取り早い。
そこで、正月でもあることだから、“福笑い”のゲームの要領で、 次の
ような「実験」をやってみることをお奨めする：－
何人かと炬燵にあたり、炬燵の上には、半径が 10cm の円を描いた
紙を置く。 そして、一人が 、50cm尺の定規を持って、目を閉じる。
残りの人たちは、件の紙を炬燵の上の出鱈目な位置に置き、定規
を持って目をつぶっている人に、目をつぶったままで定規を振りあげ
て、円があると本人が思ったところに、出鱈目な方向から、振り下ろ
させる。 定規が円の上に振り下ろされて、定規の目盛りが刻まれて
いる側に弦ができたならば、目を開かせて、できた弦の長さを測らせ、
その数値を記録する。 但し、振り下ろされた定規が円を外れ、定規
の目盛りが刻まれている側に弦ができなかった場合は、エラーとして
処理し、記録からは外す。
以上の実験を、エラーは除いて、１００回繰り返し、弦の長さが
半径よりも大きくなった回数を数え、その数を１００で割る。
M_SHIRAISHI ＠The_New_York_Academy_of_Sciences
http://www.apionet.or.jp/~eurms/Ronri_Kaikaku.html
Yasuhiro Furuta
同時に二点とるか一点ずつとるかの問題ではありません。
任意の何かは、一様に取るとすると。
Aでは、円弧の長さが[０,２πｒ)の一様分散になります。
Hでは、円弧の中点と、円弧の端を結ぶ線分の中点の距離が[０,２ｒ)の一様分散にな
ります。
これは、円周の曲がりを利用したトリックです。
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E0B47EC...@apionet.or.jp...
> Ａ：［所与の円Ｃの円周上から（一点ずつ）任意に二点をとって、
> それらの二点を結ぶ弦を描くこと］
> Ｈ：［円Ｃの内部を通る任意の直線を引いて、それによって切り
> 取られる弦を得ること］
F.K.
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E108B31...@apionet.or.jp...
> > 【問題】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
> > する。その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他の一点とを
> > 結ぶ直線を引いたときにできる弦の長さがその円の半径よりも大きく
> > なる確率はいか程か？
>
> 今にして思えば、この問題における確率の前提条件は、今ひとつ、明解性
> に欠けてた曖昧なものでしたね。 ヽ(＾。＾)ノ
>
> 曖昧さを除去すべく、次の様に書き換えておくことにします：－
>
> 【問題】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
> する。 この円の内部を通る直線を任意（at random）に引いた場合、
> その時できる弦の長さが所与の円の半径の長さより大きくなる確率は
> いか程か？
自分の答に合わせて問題を変えようと努力するとは，M_SHIRAISHI氏らしく大胆
ですね．
Yoshiro NAKAYA
Yoshiro NAKAYA
> > > >
> > > > それは、別に、どうってことは無いんじゃないかなぁ～：－
> > > >
> > > > 二項係数 n!／[r!(n-r)!] を Ｃ{r,n} と書くことにすれば、
> > > >
> > > > 求める確率：P ＝ 1 ／Ｃ{3,9} ＝ 1／84，即ち、約 0.0119。
> > > 普通は P = 1 / C{2,5} = 1 / 10 ではないですか?
> > これは個数のみに着目した場合で、一番素直に 1/27 が普通かも。
る確率を求めよ」に対してはどうお答えになるのでしょう？
1/6ですか，1/3ですか，それとも 1/4 ですか？
「 2 枚のコインを投げて，2 枚とも表になる」のは？
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
Yoshiro NAKAYA
> > > > > れる確率を求めよ」
> > > >
> > > > 二項係数 n!／[r!(n-r)!] を Ｃ{r,n} と書くことにすれば、
> > > >
> > > > 求める確率：P ＝ 1 ／Ｃ{3,9} ＝ 1／84，即ち、約 0.0119。
> > > 普通は P = 1 / C{2,5} = 1 / 10 ではないですか?
> > これは個数のみに着目した場合で、一番素直に 1/27 が普通かも。
≪不完全仮言命題≫の「解釈」により確率が変わるんだとすれば，「確率空間」
のとり方により「事象」の確率が変わる話となにが違うのでしょう？
# そういう意味では「ベルトランの逆説」は現代確率論でも「逆説」じゃなかっ
# たわけだし…。
## 「ふつう」1/27 でしょうね(^^)
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
M_SHIRAISHI
>
> > 1,2,3 と書いた
> > ボールが一個ずつ、合計 3 個あり、一個ずつ採り出し、採りだしたら
> > また元に戻します。3 回試行して 3 回とも 1 である確率は
> > 1/3 を 3 回掛けて 1/27 です。
次に、上記 のほうですが、「一度とりだしたものを、元へ返して、再度、
選びなおす」のであれば、問題文に、明確にそのように書いておく必要が
あると思います。
# もっとも、「選んだものは元へは戻さないのなら、それも問題文に明確
に書いておくべきだ」と言われれば、確かに、その通りでしょうが。
M_SHIRAISHI
"F.K." wrote:
F.K.と申します．
"F.K"では「申した」ことにはナラヌわ、この卑怯者！
自分の答に合わせて問題を変えようと努力するとは，M_SHIRAISHI氏らしく
大胆ですね．
“ベルトランの逆説”の問題は
http://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html での
What is the probability that a chord drawn at random on a circle of
radius r
(i.e., circle line picking) has length (or sometimes greater
than or equal to
the side length of an inscribed equilateral triangle; Solomon 1978,
p. 2)?
と提起されるのが通常であり、それに合わせた迄のことだ。
M_SHIRAISHI
Wise Akira Kakuto humbly wrote:
> "M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
> news:3E11BC06...@apionet.or.jp...
> > > > > > 「1,2,3 の 3 つの数字から重複を許して 3 個選ぶとき，1が3個選ばれる確率を求めよ」
> > > > > > という問
> > > > >
> > > > > それは、別に、どうってことは無いんじゃないかなぁ～：－
> > > > >
> > > > > 二項係数 n!／[r!(n-r)!] を Ｃ{r,n} と書くことにすれば、
> > > > >
> > > > > 求める確率：P ＝ 1 ／Ｃ{3,9} ＝ 1／84，即ち、約 0.0119。
> > > > 普通は P = 1 / C{2,5} = 1 / 10 ではないですか?
> > > これは個数のみに着目した場合で、一番素直に 1/27 が普通かも。
> >
> >
> >
> > 新春や
> > 今年も出るらし
> > ボケナスが
> ボケナスです。
> (1) M_SHIRAISHI さんのものは、1 と書いたボールが 3 個、2 と書いた
> ボールが 3 個、3 と書いたボールが 3 個、合計 9 個のものから
> 3 個取り出すとき、三つとも 1 である確率のようです。これは 1/84
> でしょう。 1,1,2 である確率は 9/84, 1,2,3 である確率は 27/84。
> さて、1 と書いたボールの数、2 と書いたボールの数、3 と書いた
> ボールの数を n ( n > 2) とし、 n をずーっと大きくして下さい。
> そうすると n(n-1)(n-2)/[3n(3n-1)(3n-2)] ---> 1/27。
> これが一番素直と書いた場合に相当します。つまり、 1,2,3 と書いた
> ボールが一個ずつ、合計 3 個あり、一個ずつ採り出し、採りだしたら
> また元に戻します。3 回試行して 3 回とも 1 である確率は
> 1/3 を 3 回掛けて 1/27 です。
> (2) 1/10 としたのは、高校(中学?) で習う 3 個の異なったものから
> 重複を許して 3 個採りだす場合の数 C{3,5} = C{2,5} を数えたもの
> です。
> 出題者がどういう状況を考えているか存じません。
「1,2,3 の 3 つの数字から重複を許して 3 個選ぶとき，1 が 3個
選ばれる確率を求めよ」という問いが well-posed なものでない為、
この問題をどう解釈するか如何によって、解答は３つ在り得るという
趣旨と拝読しました。
最初に読んだときは、「成る程なぁ、これは自分が迂闊だったかな」
という気がしたのでしたが、よく検討してみると、その御見解には、
やはり、無理があると思います。
先ず、(2) のほうですが、これは、≪１０個の集合 {1,1,1}, {1,1.2}，
{1,1.3}，{1,2,2}, {1,2.3}，{1,3,3}, {2,2.2}，{2,2,3}, {2,3.3} が
与えられたとき、その中から 集合{1,1,1} を選び出す確率≫であって、
それは≪1, 2, 3 の三種の数字より、重複を許して、三個を選び出すとき、
三個とも 1 となる確率≫とは、一見、同じものであるかの様に感じられる
ものの、実際は、全然、別のものであることが分かります。
Yoshiro NAKAYA
> に書いておくべきだ」と言われれば、確かに、その通りでしょうが。
ことが書いてなかったっていうオチなのでは？ってことなんですが(^^;。
○●○●○●○●○●○●○●○●
仲谷佳郎
yos...@mail.wind.ne.jp
EZ: yoshiro...@ezweb.ne.jp
Akira Kakuto
> 先ず、(2) のほうですが、これは、≪１０個の集合 {1,1,1}, {1,1.2}，
> {1,1.3}，{1,2,2}, {1,2.3}，{1,3,3}, {2,2.2}，{2,2,3}, {2,3.3} が
> 与えられたとき、その中から 集合{1,1,1} を選び出す確率≫であって、
> それは≪1, 2, 3 の三種の数字より、重複を許して、三個を選び出すとき、
> 三個とも 1 となる確率≫とは、一見、同じものであるかの様に感じられる
> ものの、実際は、全然、別のものであることが分かります。
おっしゃる通りです。このためには "全く区別できないボール" が必要
ですから特別な場合が必要です。次の量子論の問題は相当するものです。
三つの同等な調和振動子 (数字 1, 2, 3 に対応) からなる系
のエネルギー準位が (3 + 3/2) だったとする。(\hbar\omega = 1 の単位をとります)。
このとき、2 番目と 3 番目の調和振動子が基底状態にある
確率はいくらか。ただし全ての可能な状態は同等に確からしいと仮定する。
言い換えると
n1 + n2 + n3 = 3 (n1, n2, n3 >=0, integer)
で n1 = 3 である確率です。n1 = 3 が 1 を三つ選んだことに対応します。
n2 = 3 だったら 2 を三つ選んだことになります。
--
Akira Kakuto
F.K.
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E15A321...@apionet.or.jp...
> “ベルトランの逆説”の問題は
> http://mathworld.wolfram.com/BertrandsProblem.html
> (本文略)
> と提起されるのが通常であり、それに合わせた迄のことだ。
M_SHIRAISHI氏が，2002/10/20 20:11の記事
news:3DB28F4B...@apionet.or.jp...
で提出した問題が，Bertrandの逆説と違う設定であることは，高橋氏が
2002/10/22 17:16の記事
news:ap31hj$gkn$1...@dnknews.denken.or.jp...
で，やんわりと指摘なさっています．
2ヶ月以上たって，いまさら何を言っているのですか？
M_SHIRAISHI
Stupid "F.K." stupidly wrote:
> M_SHIRAISHI氏が，2002/10/20 20:11の記事
> news:3DB28F4B...@apionet.or.jp...
> で提出した問題が，Bertrandの逆説と違う設定であることは，高橋氏が
> 2002/10/22 17:16の記事
> news:ap31hj$gkn$1...@dnknews.denken.or.jp...
> で，やんわりと指摘なさっています．
>
> 2ヶ月以上たって，いまさら何を言っているのですか？
裏を返して言えば、こういうこと↓だ。
Bertrand本人がやった、次のような問題設定：－
【問題A】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
する。 この円の内部を通る直線を任意（at random）に引いた場合、
その時できる弦の長さが所与の円の半径の長さより大きくなる確率は
いか程か？
では、逆説とはならぬので、逆説にしたかったなら、
【問題B】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
する。その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他の一点とを
結ぶ直線を引いたときにできる弦の長さがその円の半径よりも大きく
なる確率はいか程か？
というふうに設定せよ。
# "小心者の F.K"、これで少しは合点が行ったか、それとも未だ、一向に
合点が行かぬか？
F.K.
"M_SHIRAISHI" <eu...@apionet.or.jp> wrote in message
news:3E16F52B...@apionet.or.jp...
> > M_SHIRAISHI氏が，2002/10/20 20:11の記事
> > news:3DB28F4B...@apionet.or.jp...
> > で提出した問題が，Bertrandの逆説と違う設定であることは，高橋氏が
> > 2002/10/22 17:16の記事
> > news:ap31hj$gkn$1...@dnknews.denken.or.jp...
> > で，やんわりと指摘なさっています．
> >
> > 2ヶ月以上たって，いまさら何を言っているのですか？
>
>
> 裏を返して言えば、こういうこと↓だ。
>
> Bertrand本人がやった、次のような問題設定：－
>
> 【問題A】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
> する。 この円の内部を通る直線を任意（at random）に引いた場合、
> その時できる弦の長さが所与の円の半径の長さより大きくなる確率は
> いか程か？
>
> では、逆説とはならぬので、逆説にしたかったなら、
>
> 【問題B】 ある一定の円（どんな円でもかまわない）が与えられていると
> する。その円の円周上の任意の一点と、同じ円周上の他の一点とを
> 結ぶ直線を引いたときにできる弦の長さがその円の半径よりも大きく
> なる確率はいか程か？
>
> というふうに設定せよ。
裏に返っていないし，返答にもなっていませんね．
その上，主張していることも誤っています．【問題B】の設定のどこが逆説なの
でしょうか？ 【問題B】に比べて，【問題A】のどこが曖昧さの少ない点なので
しょうか？
不十分な説明をいくら繰り返しても，主張の正しさが増加するわけではありませ
ん．
ついでに記せば，罵詈雑言を付け加えても，主張の正しさが増加するわけではあ
りません．単に主張に弱点があることを無意識に感じている証左になるだけで
す．
M_SHIRAISHI
"F.K." wrote:
> 【問題B】の設定のどこが逆説なのしょうか？
> 【問題B】に比べて，【問題A】のどこが曖昧さの少ない点なので
> しょうか？
アホウには、分からない。 ヽ(^。^)ノ
M_SHIRAISHI
Yoshiro NAKAYA wrote:
> ≪不完全仮言命題≫の「解釈」により確率が変わるんだとすれば，「確率空間」
> のとり方により「事象」の確率が変わる話となにが違うのでしょう？
文（sentence）に対してなら、「解釈」が在り得るわけだけれども、
命題 --- 勿論、≪不完全仮言命題≫も命題の一種ですが ---
に対しては、「解釈」など在り得ません。
# 文（sentence） --- より正確には、平叙文 --- を解釈した結果
が≪命題≫なのだから。
【参考資料】 命題とそれを表わした文との区別
--- 記事 <39242806...@apionet.or.jp>より ---
Shingo Matsumoto stupidly wrote in the message:
<8fq1iu$2mi$1...@ipc02.rtri.or.jp>
>
> 命題は基本的には文です。
>
ばかもん！
# 「‘赤’という漢字で表わされる≪色≫は、基本的には、
≪‘赤’という漢字自体≫ のことです」 と言って、小学生
たち からさえも 笑われたいのか？
「‘赤’という漢字で表わされる≪色≫は、≪‘赤’という漢字自体≫
のことではない」 のと同様、
［赤は光の三原色の一つである］ という文によって表わされる≪命題≫は、
≪［赤は光の三原色の一つである］ という、文自体≫ のことではないワ。
このことは、件（くだん）の命題が、文（sentence）としては 全く別のもの
である、 “Red is a primary colour of light” なる英文でも表わすことが
できることからしても、明らかなことだ。
M_SHIRAISHI ＠ The_New_York_Academy_of_Sciences
Atsunori Tamagawa
>
> Shingo Matsumoto stupidly wrote in the message:
> <8fq1iu$2mi$1...@ipc02.rtri.or.jp>
> >
> > 命題は基本的には文です。
> >
>
> ばかもん！
白石さん、白石さん。そりゃ20世紀でおしまい、おしまい。
世紀も完全に改まったことだし、そのパターンからそろそろ
脱却しましょうよ。 (^^:)
パターンに嵌って「論理改革」とは、これいかに？
玉川厚徳
F.K.
> アホウには、分からない。 ヽ(^。^)ノ
M_SHIRAISHI氏の記事は，いつも最後は相手への悪罵でおわります．(他のNGの
Kaz Tanaka氏と同じですね．) これは，M_SHIRAISHI氏に論理的に数学を語る能
力がないことを示しています．
GON
これは大変有益な情報ありがとうございます。
一番上のサイトを見てベルトランのパラドックスの本質が理解できました。