指数関数について初歩的なことを教えて 下さい。

[H.M]

こんにちは、丸山と申します。よろしくお願いいたします。

指数関数のExp^x　は、不思議なものです。

このExp^xは、微分しても積分してもそのままですが、

質問１．
　　　このように微分または積分してもそのままなのは、Exp^x以外にあるの
　　　でしょうか？

質問２．
　　　ある関数f(ｘ)　（たとえば、Exp^x等　ほかでもOK）に、ある関数g(x) を 作
用
　　　させた場合、Exp^xの微積分のように　そのまま変わらないような関数g(x)は
　　　あるのでしょうか？

　　　　g(f(x))=f(x)　　　？？

質問３．
　　　なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなのでしょうか？その意味
　　　（？）は、どのように解釈すればよいのでしょうか？
　　　また、Exp^xを微分しても積分してもそのままであるような日常的な例は
　　　ないでしょうか？

昔からあった素朴な疑問です。初歩的なことで申し訳ございませんが、

よろしくお願いいたします。

[tegra]

tegra と申します。
丸山さんの質問に、私なりの答を出してみました。

> 指数関数のExp^x　は、不思議なものです。
>
> このExp^xは、微分しても積分してもそのままですが、
>
> 質問１．
> 　　　このように微分または積分してもそのままなのは、Exp^x以外にあるの
> 　　　でしょうか？
>

はい、他にもあります。たとえば、 3 Exp^x
つまり、Exp^x の 3 倍、という関数も、
「微分しても積分してもそのまま」という性質を持っています。

> 質問２．
> 　　　ある関数f(ｘ)　（たとえば、Exp^x等　ほかでもOK）に、ある関数g(x) を 作
> 用
> 　　　させた場合、Exp^xの微積分のように　そのまま変わらないような関数g(x)は
> 　　　あるのでしょうか？
>
> 　　　　g(f(x))=f(x)　　　？？
>

あります。たとえば、
f(x) = 3 （つまり、恒等的に 3 という値を持つ定数値関数、早い話が０次式です）
g(x) = x^2 - x - 3 （という２次式であらわされる関数）
を考えれば、すべての x に対して g(f(x))=f(x) が成立します。

> 質問３．
> 　　　なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなのでしょうか？その意味
> 　　　（？）は、どのように解釈すればよいのでしょうか？
> 　　　また、Exp^xを微分しても積分してもそのままであるような日常的な例は
> 　　　ないでしょうか？
>

微分方程式の教科書を、何でもいいですからご覧になって、本の初めのほうを
探してみてください。

“f'(x) = f(x) を満たす関数は c Exp^x （c は定数、つまり f(x) は
指数関数の定数倍）に限る”

ということが、どこかに説明してあるはずです。微分方程式というのは、
自然現象を記述するためのもの（たとえば運動方程式）で、それを解くために
これは一番基本的な、出発点とも言える関数でしょう。

Exp^x は、「 f'(x) = f(x) を満たす関数であって c = f(0) = 1 となるもの」
という性質で、一意的に特徴づけられるもので、これは Exp^x という関数の
定義と言ってもいいのではないでしょうか？

tegra

[Yoshitaka Ikeda]

tegraさんの<200208...@a.ne.jp>から

>> 質問１．
>> 　　　このように微分または積分してもそのままなのは、Exp^x以外にあるの
>> 　　　でしょうか？
>>
>はい、他にもあります。たとえば、 3 Exp^x
>つまり、Exp^x の 3 倍、という関数も、
>「微分しても積分してもそのまま」という性質を持っています。

f(x)=0
ってのも、
F(x)=0
f'(x)=0

になります。
#関数は関数

--
Yoshitaka Ikeda mailto:ik...@4bn.ne.jp

[Yuji Nomura]

野村と申します。

tegraさんの<200208...@a.ne.jp>から

>> 質問２．
>> 　　　ある関数f(ｘ)　（たとえば、Exp^x等　ほかでもOK）に、ある関数g(x) を 作
>> 用
>> 　　　させた場合、Exp^xの微積分のように　そのまま変わらないような関数g(x)は
>> 　　　あるのでしょうか？
>>
>> 　　　　g(f(x))=f(x)　　　？？
>>
>あります。たとえば、
>f(x) = 3 （つまり、恒等的に 3 という値を持つ定数値関数、早い話が０次式です）
>g(x) = x^2 - x - 3 （という２次式であらわされる関数）
>を考えれば、すべての x に対して g(f(x))=f(x) が成立します。

任意のf(x)に対してのg(x)をお尋ねのようですので、
g(x)=x
が唯一の解ではないでしょうか。

--
Yuji Nomura mailto:yno...@sam.hi-ho.ne.jp

[GON]

"Yuji Nomura" <yno...@sam.hi-ho.ne.jp> wrote in message news:bhd828$2ffk$1...@dojima-n0.hi-ho.ne.jp...

> 野村と申します。
>
> tegraさんの<200208...@a.ne.jp>から
> >> 質問２．
> >> 　　　ある関数f(ｘ)　（たとえば、Exp^x等　ほかでもOK）に、ある関数g(x) を 作
> >> 用
> >> 　　　させた場合、Exp^xの微積分のように　そのまま変わらないような関数g(x)は
> >> 　　　あるのでしょうか？
> >>
> >> 　　　　g(f(x))=f(x)　　　？？
> >>
> >あります。たとえば、
> >f(x) = 3 （つまり、恒等的に 3 という値を持つ定数値関数、早い話が０次式です）
> >g(x) = x^2 - x - 3 （という２次式であらわされる関数）
> >を考えれば、すべての x に対して g(f(x))=f(x) が成立します。
>
> 任意のf(x)に対してのg(x)をお尋ねのようですので、
> g(x)=x
> が唯一の解ではないでしょうか。

唯一ではないですね。

丸山さんの疑問はtegraさんのいうようにすべて微分方程式の性質に帰する
わけですけど、例えば、質問２の場合合成関数の微分の性質からそれを
微分方程式で表せば

（ｄｆ（ｘ）/dx）（∂ｇ（ｆ）/∂ｆ）＝ｆ（ｘ）　・・・（１）

となります。適当なｇ（ｆ）を与えればそれに対応してｆ（ｘ）に関する微分方程式が
得られてそれを解けばｆ（ｘ）が求まります。

何でもいいんですけど例えばｇを

ｇ（ｆ）＝ｆ^n

というｆをｎ乗する関数とすれば（１）は

（ｄｆ/dx）（ｎ ｆ^(n-1)）＝ｆ

変数分離できて

ｎ ｆ^(n-2) ｄｆ＝ｄｘ

両辺を積分して整理すれば

ｆ（ｘ）＝[√｛（１－1/n）ｘ＋Ｃ）｝]＾(n-1)　　；ｎ≠１，Ｃは積分定数

となります。もちろん、これ以外にもｇをいろいろ考えればそれに対応して
ｆの微分方程式はいくらでも出てきます。（解ける解けないは別にして）

丸山さんは解の性質でものを考えているわけですけど、解の満たす
微分方程式でものを考えればより広い世界が開けてくるわけです。

丸山さんも微分方程式の基礎を勉強なさったほうが良いと思います。
そうすればもっと視野が広がるでしょう。物理が楽しくなりますよ。

では。

[H.M]

皆様、お返事ありがとうございます。

> f(x) = 3 （つまり、恒等的に 3 という値を持つ定数値関数、早い話が０次式で
す）
> g(x) = x^2 - x - 3 （という２次式であらわされる関数）
> を考えれば、すべての x に対して g(f(x))=f(x) が成立します。
>

> となります。もちろん、これ以外にもｇをいろいろ考えればそれに対応して
> ｆの微分方程式はいくらでも出てきます。（解ける解けないは別にして）
>

なるほど、そうですか。では、下記はどうでしょうか？次の微分方程式があるとしま
す。

y=g''(x)-2g'(x)=0

この解は、

(1/2)*E^(2*x)*C[1] + C[2]

ですが、yを

y^2したり、3y にしても、やはり解は、

(1/2)*E^(2*x)*C[1] + C[2]

です。yは、２階の微分方程式ですが、更に、yに何らかの変換と言うのか、操作と言
うのか
を作用させて高階にした場合、同じ解

(1/2)*E^(2*x)*C[1] + C[2]

は、簡単に得られるでしょうか？（答えを見ながら、操作して解を得るのは駄目で
す。）

例えば、yを、単純に

ｙ’　や　y'' しても　解は、

(1/4)*E^(2*x)*C[1] + C[2] + x*C[3]

(1/8)*E^(2*x)*C[1] + C[2] + x*C[3] + x^2*C[4]

になり、yの解　(1/2)*E^(2*x)*C[1] + C[2]　とは

違ってきます。如何でしょうか？

[GON]

"GON" <g...@mocha.freemail.ne.jp> wrote in message news:bhdf7r$fnm$1...@news511.nifty.com...

> ｆ（ｘ）＝[√｛（１－1/n）ｘ＋Ｃ）｝]＾(n-1)　　；ｎ≠１，Ｃは積分定数

ここは

ｆ（ｘ）＝｛（１－1/n）ｘ＋Ｃ）｝＾(1/(n-1))

でした。n-1乗根ですから累乗で書けば上のようになります。

[GON]

"H.M" <hirokazu...@nifty.com> wrote in message news:bheuhe$e5t$1...@news511.nifty.com...
> y=g''(x)-2g'(x)=0

> ｙ’　や　y'' しても　解は、
>
> (1/4)*E^(2*x)*C[1] + C[2] + x*C[3]
>
> (1/8)*E^(2*x)*C[1] + C[2] + x*C[3] + x^2*C[4]
>
> になり、yの解　(1/2)*E^(2*x)*C[1] + C[2]　とは
>
> 違ってきます。如何でしょうか？

まず、丸山さんに言いたいのは、まず手で微分方程式を解いてみてください。
そうしたらこういった初歩的な間違いはなくなります。

つまり、ｙ＝０なんですからｙ’もｙ’’も０になります。
ですから、上でいうC[3]、C[4]は０になります。

ｙ’＝g'''(x)-2g''(x)=0

これを積分して

ｙ＝g''(x)-2g'(x)=C[3]＝０

ｙ’’の場合も同様です。

一番いけないのはMathematicaの結果を鵜呑みにしていることです。
微分方程式で解をきちんと出すには初期条件や境界条件を考慮
しなくてはなりません。丸山さんはそこが完全に抜けてます。

ですから初歩的な微分方程式については教養として書籍で勉強しておくべきです。
１階の線形微分方程式の解法やそれ以外でも名前のついた有名どころの微分方程式
については１度はご自分の手で解いてみるべきです。そうしたらこういった初歩的な
間違いはなくなりますし、あなたが一番やりたいと思っている物理についても、もっと
見通しのよい形で展開することが可能になります。

上の例が教訓的なのは、境界条件（先の例ではｙ＝０）を考慮すればどんな高階の
微分方程式でも結局は係数がきちんと消えてくれて簡単になるということです。

先に丸山さんが投稿したMathematicaの高階の微分方程式でも恐らくは同様な
自明な境界条件からバシバシ消えている項があるんじゃないかと思います。

まずは腰を落ち着けて微分方程式の書籍（物理向けの）で勉強されることを
強くお奨めします。

[H.M]

GONさん、丸山です。

いつも　お返事頂きまして感謝致しております。

> > ｆ（ｘ）＝[√｛（１－1/n）ｘ＋Ｃ）｝]＾(n-1)　　；ｎ≠１，Ｃは積分定数
>

実は、変だと思ってました。

> ここは
>
> ｆ（ｘ）＝｛（１－1/n）ｘ＋Ｃ）｝＾(1/(n-1))
>
> でした。n-1乗根ですから累乗で書けば上のようになります。
>

んんー。ほんの少しだけ、おかしい気もします。

[H.M]

GONさん、お返事ありがとうございます。

>
> つまり、ｙ＝０なんですからｙ’もｙ’’も０になります。
> ですから、上でいうC[3]、C[4]は０になります。
>
> ｙ’＝g'''(x)-2g''(x)=0
>
> これを積分して
>
> ｙ＝g''(x)-2g'(x)=C[3]＝０
>
> ｙ’’の場合も同様です。
>

おっしゃる通りでございます。

よくわかりました。ありがとうございました。

[GON]

"H.M" <hirokazu...@nifty.com> wrote in message news:bhf72c$ov6$1...@news511.nifty.com...

> > ｆ（ｘ）＝｛（１－1/n）ｘ＋Ｃ）｝＾(1/(n-1))
> >
> > でした。n-1乗根ですから累乗で書けば上のようになります。
> >
>
> んんー。ほんの少しだけ、おかしい気もします。

確かに。

質問２をよく見たら

g(f(x))=f(x)

となってました。両辺をｘで微分したら

（ｄｆ（ｘ）/dx）（∂ｇ（ｆ）/∂ｆ）＝ｆ（ｘ）

でなくて

（ｄｆ（ｘ）/dx）（∂ｇ（ｆ）/∂ｆ）＝ｆ'（ｘ）

ですね。右辺をｘで微分するのを忘れてました。

とすると（∂ｇ（ｆ）/∂ｆ）＝１となりますからｇ（ｆ）＝ｆで
結局トートロジーですね。

ｆ＝Exp[x]ならｇとして１を掛けるという自明な恒等演算以外に
任意回の微分演算も恒等演算になりますが、他のｆについては
どうなんでしょうかね。

知りたいのは非自明な恒等演算を常に考えることができるのか？
ってことですよね？

ｆ＝Exp[kx]ならｇ＝（1/k）ｄ/ｄｘがとれます。

微分演算のような線形演算以外にこういった性質を満たすものが
存在するのかはよくわかりません。数学やってる方のほうが詳しいかも。

[GON]

"GON" <g...@mocha.freemail.ne.jp> wrote in message news:bhdf7r$fnm$1...@news511.nifty.com...

> > 任意のf(x)に対してのg(x)をお尋ねのようですので、
> > g(x)=x
> > が唯一の解ではないでしょうか。
>
> 唯一ではないですね。
>
> 丸山さんの疑問はtegraさんのいうようにすべて微分方程式の性質に帰する
> わけですけど、例えば、質問２の場合合成関数の微分の性質からそれを
> 微分方程式で表せば
>
> （ｄｆ（ｘ）/dx）（∂ｇ（ｆ）/∂ｆ）＝ｆ（ｘ）　・・・（１）

これは完全に間違ってました。右辺をｘで微分するのを忘れてました。
で、微分しても結局トートロジーなので先の投稿は無視してください。

[H.M]

GONさん、　　お世話になります。　丸山です。

すいません、下記についてご教示頂けましたら幸いです。

y=5g''(x)/g(x)

z=k　　（但し、k　は、０　以外）

で、

y=ｚ

とき、この解は、

E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])*C[1] + C[2]/E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])

です。

yは２階の微分方程式ですが、更に、yに何らかの変換と言うのか、

操作と言うのかを作用させて高階にした場合、同じ解

E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])*C[1] + C[2]/E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])

は、簡単に得られるでしょうか？（答えを見ながら、操作して解を得るのは

駄目です。）

例えば、yを、単純に

ｙ’　や　y'' しても　

ｙ’=ｚ や　y''=ｚ　にした場合

解は、違ってくると思いますが、（全く自信無くなってますが、、、）

如何でしょうか？

> まずは腰を落ち着けて微分方程式の書籍（物理向けの）で勉強されることを
> 強くお奨めします。

　実は、専門的に物理は勉強しておりませんが、微分方程式は、大昔、ラプラス変換
や、
変数分離等して解く方法等の基礎をほんの少し学びました。
資格試験「熱管理士」受験時には、熱伝達の計算を、試験時に、微分方程式を作って
解いたり、仕事では、熱交換器の設計等に、安全サイドをとってものすごく簡単
に解ける形にして、解いたりしてました。
しかし、今は、普段全く使用しませんので、忘れております。
　誠に申し訳ございませんが、ご寛大なお気持ちで　お返事頂ければ幸いです。
（先ほどは、自分でもアホと思える質問をして、少々、後悔してます。でも、また、
当たり前のことを、質問しているかも、、、、ええい、でも　いいから　質問しま
す。）

よろしくお願いします。

[to...@lbm.go.jp]

最も哲学的で回答が厄介な「質問３」が
置いてけぼりになってるようなので、
ちょっと考えてみます。

In article <200208...@a.ne.jp> te...@anet.ne.jp writes:
>> 質問３．
>> 　　　なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなのでしょうか？その意味
>> 　　　（？）は、どのように解釈すればよいのでしょうか？
>> 　　　また、Exp^xを微分しても積分してもそのままであるような日常的な例は
>> 　　　ないでしょうか？
>微分方程式の教科書を、何でもいいですからご覧になって、本の初めのほうを
>探してみてください。
>
>“f'(x) = f(x) を満たす関数は c Exp^x （c は定数、つまり f(x) は
>指数関数の定数倍）に限る”
>
>ということが、どこかに説明してあるはずです。微分方程式というのは、
>自然現象を記述するためのもの（たとえば運動方程式）で、それを解くために
>これは一番基本的な、出発点とも言える関数でしょう。
>
>Exp^x は、「 f'(x) = f(x) を満たす関数であって c = f(0) = 1 となるもの」
>という性質で、一意的に特徴づけられるもので、これは Exp^x という関数の
>定義と言ってもいいのではないでしょうか？

このあたり、
「何が定義で何が帰結か」が一意に決まらないという状況も
混乱の元になっていると思うのですが……

通常、現代の数学教育では、指数関数を
「冪乗（自然数乗）」の概念の拡張という形で導入していきます。
しかし、後々の応用のことまで考えると、
むしろ「f'(x) = f(x) を満たす」というのが指数関数の定義であり、
それが“たまたま”冪乗の概念を拡張したものに一致している
と考えた方が理解しやすい側面があります。

この考え方に基づけば、
「なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなのでしょうか？」
に対する答えは
「元々そのように定義された関数だから」
という、人を喰ったようなものになってしまいます。

「冪乗の概念の拡張」と「微分しても積分してもそのまま」とが
一致するのが当然だと思わせるような説明って何かありますかね？
「A^x」を微分の定義式に代入して変形すれば
「A^x」自身の定数倍になることは簡単に示せる
（但し、(A^d - 1) / d が d→0 で収束することを前提として）
のですが、これって何となく騙されたような気分になる式変形で、
いまひとつ「当然」という気になれないんです……

ちなみに、

In article <bhd6bt$904$1...@caraway.media.kyoto-u.ac.jp> ik...@4bn.ne.jp writes:
>f(x)=0
>ってのも、
>F(x)=0
>f'(x)=0
>になります。

というフォローがありましたが、これも「c Exp^x」の一種です。
単に「c = 0」なだけ。

戸田 孝＠滋賀県立琵琶湖博物館
to...@lbm.go.jp

[H.M]

GONさん、お返事ありがとうございます。

丸山でございます。

> これは完全に間違ってました。右辺をｘで微分するのを忘れてました。
> で、微分しても結局トートロジーなので先の投稿は無視してください。

了解いたしました、本当に、私が、知りたいのは、

現在、投稿中の質問で、で、ございます。　

何卒、よろしくお願いいたします。

[GON]

"H.M" <hirokazu...@nifty.com> wrote in message news:bhfca7$1v9$1...@news511.nifty.com...

> y=5g''(x)/g(x)
> z=k　　（但し、k　は、０　以外）

> y=ｚ
>
> とき、この解は、
>
> E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])*C[1] + C[2]/E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])

また、Mathematicaですか？このぐらいは自分の手で解かないと・・・

> yは２階の微分方程式ですが、更に、yに何らかの変換と言うのか、

この表現もおかしいですね。ｙ＝ｚはｇ（ｘ）について２階の微分方程式
ってことですね。

> 操作と言うのかを作用させて高階にした場合、同じ解
>
> E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])*C[1] + C[2]/E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])
>
> は、簡単に得られるでしょうか？（答えを見ながら、操作して解を得るのは
>
> 駄目です。）
>
> 例えば、yを、単純に
>
> ｙ’　や　y'' しても　
>
> ｙ’=ｚ や　y''=ｚ　にした場合

これは間違ってます。ｙを１階微分したらｚも微分しないと。
もともとｙ＝ｚは成り立っているわけですよね？そうしたら
ｙ’＝ｚ’＝０ですからやはり解は同じです。

> > まずは腰を落ち着けて微分方程式の書籍（物理向けの）で勉強されることを
> > 強くお奨めします。
>
> 　実は、専門的に物理は勉強しておりませんが、微分方程式は、大昔、ラプラス変換

> や変数分離等して解く方法等の基礎をほんの少し学びました。

> 資格試験「熱管理士」受験時には、熱伝達の計算を、試験時に、微分方程式を作って
> 解いたり、仕事では、熱交換器の設計等に、安全サイドをとってものすごく簡単
> に解ける形にして、解いたりしてました。
> しかし、今は、普段全く使用しませんので、忘れております。
> 　誠に申し訳ございませんが、ご寛大なお気持ちで　お返事頂ければ幸いです。

いや、十分寛大ですよ。あなたの疑問の多くがちょこっと微分方程式を勉強すれば
解消するたぐいのことだからアドバイスしたのです。一度、手で解いてみてください。
そうすると今まで見えなかったものが見えるようになります。

１階の微分方程式、解析的に解ける有名どころの微分方程式、これだけでも
手で追ってみると意外に多くの場面にこういった類の微分方程式が顔を出して
くることに気付きます。しかも、そこで使われた変数変換やある種のトリッキーな
手法が別な場面でも有効なことって結構あります。

そういったことを知っとくと先のえらい高階の微分方程式なんてもっと単純な
微分方程式に還元されるかもしれません。

決して遠回りでないです。１日もあればできるでしょう。

> （先ほどは、自分でもアホと思える質問をして、少々、後悔してます。でも、また、
> 当たり前のことを、質問しているかも、、、、ええい、でも　いいから　質問しま
> す。）

なんで後悔するんですか？全然後悔する必要ないです。単に知らないだけと
いうことは何も恥ずることではありません。むしろ、すでに確立されていることを
全く勉強せずかたくなに拒否して「相対論は間違ってる」的な方向へ逝ってしまう
ことのほうが大いに恥ずべきことです。

あなたの場合、自分のわからないことを素直に疑問の形で投稿してますから
まだ科学的態度に近いのです。ただ、その疑問が勉強不足からくると思われる
ものが多いので、もったいないなぁって感じがしてるんです。

たぶん、学部レベルの物理や数学を修めるだけでも随分違うと思いますよ。
何かを発見したいという動機の部分は非常に大きい人だと思うんで、是非それらを
探求するためにもその道具立てである数学や物理の知識を書籍等や今なら
放送大学なんてのもありますからそういったものを利用して身に付けるべきだと
思います。

またまた余計なお世話になっちゃいましたが（＾＾；）

[H.M]

GONさん、お返事ありがとうございます。丸山です。

> これは間違ってます。ｙを１階微分したらｚも微分しないと。
> もともとｙ＝ｚは成り立っているわけですよね？そうしたら
> ｙ’＝ｚ’＝０ですからやはり解は同じです。
>

その通りでございます。質問の仕方が悪かったです。

y=5g''(x)/g(x)

z=k　　（但し、k　は、０　以外）

とします。

y=ｚ

の関係が成立します。更に

（yに何らかの作用をさせて、高階の微分方程式にする）

＝........

＝（yに何らかの作用をさせて、３階の微分方程式にする）

＝（yに何らかの作用をさせて、２階の微分方程式にする）＝y＝ｚ

の関係が成立する　　（yに何らかの作用をさせて、高階の微分方程式にする）

式は、簡単に得られるでしょうか？

例えば、（yに何らかの作用をさせて、２階の微分方程式にする）は、 ｙ’では

３階になりますが、ｙ’＝y＝ｚ　とはならないので、駄目ですよね。

考えられる方法としては、aｙ’+by+c の　a,b,cに適当な数を代入して、aｙ’+by+c
＝y＝ｚ　

を求める方法があるような気がします。でも、これで、得られるのでしょうか？

>
> またまた余計なお世話になっちゃいましたが（＾＾；）
>

とんでもないです。ご忠告感謝致します。

大昔、読みました　微分方程式　の　本を、読み返してみます。但し、取り敢えず、

上記をご教示頂ければ幸いです。

[H.M]

GONさん、お返事ありがとうございます。丸山です。

(一部　間違っておりました。改正　１　）

> これは間違ってます。ｙを１階微分したらｚも微分しないと。
> もともとｙ＝ｚは成り立っているわけですよね？そうしたら
> ｙ’＝ｚ’＝０ですからやはり解は同じです。
>

その通りでございます。質問の仕方が悪かったです。

y=5g''(x)/g(x)

z=k　　（但し、k　は、０　以外）

とします。

y=ｚ

の関係が成立します。更に

（yに何らかの作用をさせて、高階の微分方程式にする）

＝........

＝（yに何らかの作用をさせて、４階の微分方程式にする）

＝（yに何らかの作用をさせて、３階の微分方程式にする）＝y＝ｚ

の関係が成立する　　（yに何らかの作用をさせて、高階の微分方程式にする）

式は、簡単に得られるでしょうか？

例えば、（yに何らかの作用をさせて、３階の微分方程式にする）は、 ｙ’では

[Kazunori Ueno]

上野です。

<bhfhhj$dsi$1...@bluegill.lbm.go.jp>の記事において
to...@lbm.go.jpさんは書きました。

>> 最も哲学的で回答が厄介な「質問３」が
>> 置いてけぼりになってるようなので、
>> ちょっと考えてみます。

(略)

>> In article <200208...@a.ne.jp> te...@anet.ne.jp writes:
>> >> 質問３．
>> >> 　　　なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなのでしょうか？その意味
>> >> 　　　（？）は、どのように解釈すればよいのでしょうか？

(略)

>> 「冪乗の概念の拡張」と「微分しても積分してもそのまま」とが
>> 一致するのが当然だと思わせるような説明って何かありますかね？

f(x) の代わりに x が離散的な数列 Ax について、
微分を以下のように近似的に定義します

・微分 A' xとは、x を +1 したときに A x+1 が Ax に比べて がどれだけ増えるかを
　示したものである ; A x+1 = A x + A'x

次に A'x = A x という微分方程式を上の定義に代入すると
Ax+1 = 2Ax ; つまり、数列の次の項では値が二倍になる
このような数列 Ax とは
Ax = 2^x
のような冪乗である、という説明はできそうです。

＃もちろん、上の「2」は本当は「e」ですが、それは近似なので。

[GON]

"H.M" <hirokazu...@nifty.com> wrote in message news:bhfunf$ooq$1...@news511.nifty.com...

> y=5g''(x)/g(x)
>
> z=k　　（但し、k　は、０　以外）
>
> とします。
>
> y=ｚ
>
> の関係が成立します。更に

まず、この時点で解g(x)は確定してますからさらなる条件付け

> （yに何らかの作用をさせて、高階の微分方程式にする）
>
> ＝........
>
> ＝（yに何らかの作用をさせて、４階の微分方程式にする）
>
> ＝（yに何らかの作用をさせて、３階の微分方程式にする）＝y＝ｚ

からはy＝ｚと矛盾する解は得られません。上のようにすることは
とりもなおさず

１）　y＝ｚ
２）　（yに何らかの作用をさせて、３階の微分方程式にする）＝ｚ
３）　（yに何らかの作用をさせて、４階の微分方程式にする）＝ｚ
・
・

といった異なる微分方程式を付加していることに他なりません。
それらを連立して解いたｇ（ｘ）は高々y（ｇ（ｘ））＝ｚの解の係数を
制約するか、あるいは解なしになるかのどちらかでしょう。

> 例えば、（yに何らかの作用をさせて、３階の微分方程式にする）は、 ｙ’では
>
> ３階になりますが、ｙ’＝y＝ｚ　とはならないので、駄目ですよね。
>
> 考えられる方法としては、aｙ’+by+c の　a,b,cに適当な数を代入して、
>
> aｙ’+by+c＝y＝ｚ　
>
> を求める方法があるような気がします。でも、これで、得られるのでしょうか？

aｙ’+by+c＝y＝ｚ　

でy＝ｚが成立しているんですよね？だったら同時にy’＝０が成立してしまいます。
すると

aｙ’+by+c＝bｚ+c

となります。これはｚと等しいわけですから

bｚ+c＝ｚ

で

c＝ｚ（1- b）

となります。とにかくy＝ｚが成立する限りｙの微分はすべて０となってしまいますから
考える意味はありません。

[H.M]

GONさん、お返事ありがとうございます。

申し訳ございません。やはり、質問の仕方が悪かったです。

> > y=5g''(x)/g(x)
> >
> > z=k　　（但し、k　は、０　以外）
> >
> > とします。
> >
> > y=ｚ
> >
> > の関係が成立します。更に
>
> まず、この時点で解g(x)は確定してますからさらなる条件付け
>
> > （yに何らかの作用をさせて、高階の微分方程式にする）
> >
> > ＝........
> >
> > ＝（yに何らかの作用をさせて、４階の微分方程式にする）
> >
> > ＝（yに何らかの作用をさせて、３階の微分方程式にする）＝y＝ｚ

（yに何らかの作用をさせて、３階の微分方程式にする）は、得られました。

5(2g'(x)g''(x)+g(x)g'''(x))^2/(g'(x)^2+2g(x)g''(x))^2　　　　　----（式１）

であり、

5(2g'(x)g''(x)+g(x)g'''(x))^2/(g'(x)^2+2g(x)g''(x))^2＝5g''(x)/g(x)＝k

を満たし、この解（の１つ）は、

E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])

です。　昨晩、試行錯誤（むちゃくちゃ）してたら、偶然、得られたのですが、

一般的な求め方がわかりません。

そこで、質問ですが、式（１）は、5g''(x)/g(x)＝k　から　簡単に得られるので
しょうか？

また、得られる場合、式（１）の求め方を、ご教示頂けましたら幸いです。

[to...@lbm.go.jp]

In article <bhfvdl$dda$1...@xfire.aist.go.jp> kazuno...@aist.go.jp writes:
>>> 「冪乗の概念の拡張」と「微分しても積分してもそのまま」とが
>>> 一致するのが当然だと思わせるような説明って何かありますかね？
>f(x) の代わりに x が離散的な数列 Ax について、
>微分を以下のように近似的に定義します
>・微分 A' xとは、x を +1 したときに A x+1 が Ax に比べて がどれだけ増えるかを
>　示したものである ; A x+1 = A x + A'x
>次に A'x = A x という微分方程式を上の定義に代入すると
> Ax+1 = 2Ax ; つまり、数列の次の項では値が二倍になる
>このような数列 Ax とは
> Ax = 2^x
>のような冪乗である、という説明はできそうです。

うーん、
本質的には私が「騙されたような気分になる」式変形と同じなんですけどね。
ただ、直感でイメージし易いように状況を変えてある分だけ
説得力は強いのかな？

＃それにしても、離散化するとネピア定数ｅが２になってしまう
＃というのは、ウッカリしてました。

戸田 孝＠滋賀県立琵琶湖博物館
to...@lbm.go.jp

[GON]

"H.M" <hirokazu...@nifty.com> wrote in message news:bhh83j$gm5$1...@news511.nifty.com...
> （yに何らかの作用をさせて、３階の微分方程式にする）は、得られました。

まず、その「何らかの」操作をきちんと示してください。

でなければ

> 5(2g'(x)g''(x)+g(x)g'''(x))^2/(g'(x)^2+2g(x)g''(x))^2　　　　　----（式１）
>
> であり、
>
> 5(2g'(x)g''(x)+g(x)g'''(x))^2/(g'(x)^2+2g(x)g''(x))^2＝5g''(x)/g(x)＝k
>
> を満たし、この解（の１つ）は、

の正当性は言えません。

> E^((Sqrt[k]*x)/Sqrt[5])
>
> です。　昨晩、試行錯誤（むちゃくちゃ）してたら、偶然、得られたのですが、

むちゃくちゃしたらじゃ意味がありません。むちゃくちゃするならｋについても
操作しなくちゃいけませんね。

結局、ｙ＝ｚをいくら弄ってもその解以上の解は得られません。

[GON]

丸山さんの疑問とは直接関係ないかもしれませんが
g''/gについては面白い特徴があるので考察してみます。

これは微分方程式を解いてると良く出てくるパターンです。

つまり、

(g'/g)'=g''/g-(g'/g)^2

となるからです。g'/g=y(x)，g''/g=f(x)とおくと上の式は

y'(x)+y(x)^2=f(x)　・・・（１）

となります。これはRiccati（リカッチ）の微分方程式といって
物理やってるといろんなところに顔を出してきます。

この方程式はf(x)によって様々な解が存在して最も有名なのは
f(x)=1の時で特解は

y(x)=tanh(x)

となります。Riccatiの微分方程式は１つの特解与えられると容易に
一般解を構成することができます。そのときの特解をy1(x)とおくと

y(x)=y1(x)+1/ξ(x)

が（１）の一般解になります。ここでξ(x)は上の式を（１）へ代入する
ことでξ(x)に関する１階の線形微分方程式が得られますのでこれを
解くことで得られます。

その他のf(x)についてはｘのベキ乗で特別な場合以外は一般に解法
があるわけではありません。

これが丸山さんの疑問にどう関連するかはもうちょっと考えてみます。

では。

[H.M]

GONさん、お返事ありがとうございます。丸山です。

>
> 結局、ｙ＝ｚをいくら弄ってもその解以上の解は得られません。
>

よーく考えましたら、そうですね。

最初から、意味のないことを、考えていたようです。

また、別のアイデアを考えます。　皆様、お騒がせいたしました。

今後とも、よろしくお願いいたします。

[go...@het.phys.sci.osaka-u.ac.jp]

> 「冪乗の概念の拡張」と「微分しても積分してもそのまま」とが
> 一致するのが当然だと思わせるような説明って何かありますかね？

関数を無限級数で表示することを認めれば、
f'(x) = f(x) かつ f(0)=1
（微分してもそのまま）を満たす関数 f(x) と
g(x) g(y) = g(x+y) かつ g(1) = e = 2.71828...
（冪乗の拡張）を満たす関数 g(x) が一致することは素朴に示せますが…。

T.G.