距離と位相
柳楽盛男
e-近傍 U(x,e) = {y| d(x,y)<e }が定義できて、
任意のUの元xに対してd(x,e)⊂Uとなるe>0存在するXの部分集合U全体を
開集合としてXに位相が入ります。写像d: X x X -> Rが距離といわれるための
条件は
(i) d(x,y)>= ０,特にd(x,y) = 0とx = yとは同値。
(ii) d(x,y) = d(y,x)
(iii) d(x,z) =< d(x,y)+d(y,z)
ですが位相が入るための必要条件は(i)だけよいと思いますが正しいでしょうか？
疑問II.GL(n,C)に位相をいれるには距離
d(X,Y) = Σ_(ij) (X_ij-Y_ij){(X_ij-Y_ij)の複素共役}
を定義すればよいように思いますが正しいでしょうか？
あるいは一般的な方法でしょうか？
よろしくお願いします。
柳楽＠生物系
Tsukamoto Chiaki
In article <400837CB...@d5.dion.ne.jp>
柳楽盛男 <nag...@d5.dion.ne.jp> writes:
> 疑問I. 集合Xに2元間の距離d: X x X -> R が与えられていると
> e-近傍 U(x,e) = {y| d(x,y)<e }が定義できて、
> 任意のUの元xに対してd(x,e)⊂Uとなるe>0存在するXの部分集合U全体を
> 開集合としてXに位相が入ります。写像d: X x X -> Rが距離といわれるための
> 条件は
> (i) d(x,y)>= ０,特にd(x,y) = 0とx = yとは同値。
> (ii) d(x,y) = d(y,x)
> (iii) d(x,z) =< d(x,y)+d(y,z)
> ですが位相が入るための必要条件は(i)だけよいと思いますが正しいでしょうか？
位相を各点 p での基本近傍系 N(p) を定めて与えるには, 集合の族 N(p) が
(0) N(p) ∋ U ならば U ∋ p.
(1) N(p) ∋ U, V ならば, ある W ∈ N(p) があって, W ⊂ U ∩ V.
(2) N(p) ∋ U に対し, ある V ∈ N(p) があって, 任意の V の点 q に
対し, ある W ∈ N(q) があって, W ⊂ U.
を満たす必要があります. (2) の条件は, p が N(p) の元 U の内点になって
いることを保障するものです.
# 集合 A の点 p が A の内点であるとは, ある V ∈ N(p) があって, 任意
# の V の点 q に対し, ある W ∈ N(q) があって, W ⊂ A となること.
# (2) を使うと, この V の点が全て A の内点であることも分かります.
距離によって定義される基本近傍系の元 U(p, e) = { q | d(p, q) < e } は
三角不等式 (iii) を用いると, それ自体開集合であることが分かりますし,
基本近傍系が (2) を満足することも明らかですが, (i) しか満たさないよう
な「距離」ではそうとは限りません.
例えば, F(x) = x ((sin x)^2 + exp(-x)) として d(x, y) = F(|x - y|) と
いう「距離」を実数全体に入れると, U(0, e) は大体, |x| が小さいところと
|x| の大きなところでの π の整数倍の近くの小さな区間の和で, しかも
その区間の幅は |x| が大きくなればどんどん小さくなっています. p が 0 で
ないなら, U(p, c) は U(0. e) に含まれることはありません.
つまり, (i) だけでは位相を定義するには不足です.
> 疑問II.GL(n,C)に位相をいれるには距離
> d(X,Y) = Σ_(ij) (X_ij-Y_ij){(X_ij-Y_ij)の複素共役}
> を定義すればよいように思いますが正しいでしょうか？
これ自体は距離ではありません. 三角不等式が満たされませんから. これの
平方根をとったもの,
d(X,Y) = \sqrt{Σ_(ij) (X_ij-Y_ij){(X_ij-Y_ij)の複素共役}}
は GL(n, C) を C^{n^2} と考えたときの自然なユークリッド距離です. 基本
近傍系は, 距離で考えても「距離」で考えても, この場合は同じですから,
位相を定義するにはどちらでも良いとも言えはします.
> あるいは一般的な方法でしょうか？
距離と単調連続関数との合成で作った「距離」では余り面白くありません.
--
塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chi...@ipc.kit.ac.jp
Tsukamoto Chiaki
In article <0401181407...@ims.ipc.kit.ac.jp>
Tsukamoto Chiaki <chi...@ipc.kit.ac.jp> writes:
> 例えば, F(x) = x ((sin x)^2 + exp(-x)) として d(x, y) = F(|x - y|) と
> いう「距離」を実数全体に入れると, U(0, e) は大体, |x| が小さいところと
> |x| の大きなところでの π の整数倍の近くの小さな区間の和で, しかも
> その区間の幅は |x| が大きくなればどんどん小さくなっています. p が 0 で
> ないなら, U(p, c) は U(0. e) に含まれることはありません.
最後のところは「 p が π の整数倍でないなら」です. U(p, e) の全体が
(2) の成立しない部分集合族になることには影響ありません.
# 相異なる p, q について U(p, e1) と U(q, e2) の間に包含関係がない
# ようにするには, 「等間隔」にならないように, sin x を sin(\sqrt{x})
# にすれば良いでしょう.
> は GL(n, C) を C^{n^2} と考えたときの自然なユークリッド距離です.
ここも正確には「 C^{n^2} の開集合」ですね.
# ああ, 完備でない.
柳楽盛男
集合Xの族Oが
O1. U_λ∈O、λ∈Λならば(無限個の元の和集合も含めて)∪U_λ∈O
O2. U_λ∈O、λ∈Λならば有限個の元の共通部分、∩U_λ∈O
O3. φ, X ∈ O
を満たす時,(X,O)を位相構造と呼ぶというのが私の理解ですが、基本近傍系の
条件も必要でしょうか？(O1,O2,O3だけなら(i)だけでOKですよね．．．．）
(iii)が成り立てばU(x,e)が開集合であることが示せますから
(ii)の条件下では異なるx,yに対して0<e<d(x,y)/2とすると
x∈U(x,e), y∈U(y,e), U(x,e) ∩ U(y,e)=φ
となる「開集合」U(x,e),U(y,e)がとれるので(ii)(iii)は
ハウスドルフ空間の為の条件と考えますがいかがでしょう？
柳楽＠生物系
Tsukamoto Chiaki
開集合の全体を与えることと, 開集合の基を与えることと, 基本近傍系を
与えることとは, 同じく位相を与えますが, それぞれの満たすべき条件に
つては宜しいでしょうか.
In article <400C2B93...@d5.dion.ne.jp>
柳楽盛男 <nag...@d5.dion.ne.jp> writes:
> 集合Xの族Oが
> O1. U_λ∈O、λ∈Λならば(無限個の元の和集合も含めて)∪U_λ∈O
> O2. U_λ∈O、λ∈Λならば有限個の元の共通部分、∩U_λ∈O
> O3. φ, X ∈ O
> を満たす時,(X,O)を位相構造と呼ぶというのが私の理解ですが、
その通りですが, (i) d(x, y) ≧ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, を満たす
d(x, y) について U(x, e) = { y | d(x, y) < e} としたものの全体は
一般に O1 も O2 も満たしていません. (O3 は約束の仕方による.)
> 基本近傍系の条件も必要でしょうか？
> (O1,O2,O3だけなら(i)だけでOKですよね．．．．）
U(x, e) の全体を基本近傍系とすることが一般には出来ないことを既に
示しました. U(x, e) の全体を開集合の基とすることも一般には出来ません.
U(x, e1) ∩ U(y, e2) の点 z について U(x, e1) ∩ U(y, e2) に含まれる
U(z, e3) を見つけることが出来るとは限らないからです.
U(x, e) の全体が生成する開集合の基から位相を定義することは出来ます.
つまり, U(x, e) いくつかの共通部分の全体を開集合の基とする訳です.
例えば d(x, y) = |x - y| for |x - y| ≦ 1, d(x, y) = 3 otherwise,
とすると, U(x, 2) = [x-1, x+1] となり, U(x-1, 2) ∩ U(x+1, 2) = {x}
も開集合とすることになって, discrete な位相が入ったりもしますが,
そうすると U(x, e) とか d(x, y) は何の特別な意味も持たなくなります.
> (iii)が成り立てばU(x,e)が開集合であることが示せますから
> (ii)の条件下では異なるx,yに対して0<e<d(x,y)/2とすると
> x∈U(x,e), y∈U(y,e), U(x,e) ∩ U(y,e)=φ
> となる「開集合」U(x,e),U(y,e)がとれるので(ii)(iii)は
> ハウスドルフ空間の為の条件と考えますがいかがでしょう？
距離で定義される位相空間はハウスドルフ空間にもなるのですが, 距離の
公理を (i) だけに弱めると, 位相が定義できても, U(x, e) に余り意味の
ない位相になるということです.
柳楽盛男
Tsukamoto Chiaki wrote:
> 工繊大の塚本です.
>
> 開集合の全体を与えることと, 開集合の基を与えることと, 基本近傍系を
> 与えることとは, 同じく位相を与えますが, それぞれの満たすべき条件に
> つては宜しいでしょうか.
開集合の基というのはよく知りません．手元のテキストにもないので？です．
ここの理解不足が下の議論に影響するならごめんなさい．
>>集合Xの族Oが
>>O1. U_λ∈O、λ∈Λならば(無限個の元の和集合も含めて)∪U_λ∈O
>>O2. U_λ∈O、λ∈Λならば有限個の元の共通部分、∩U_λ∈O
>>O3. φ, X ∈ O
>>を満たす時,(X,O)を位相構造と呼ぶというのが私の理解ですが、
>
> その通りですが, (i) d(x, y) ≧ 0, d(x, y) = 0 ⇔ x = y, を満たす
> d(x, y) について U(x, e) = { y | d(x, y) < e} としたものの全体は
> 一般に O1 も O2 も満たしていません. (O3 は約束の仕方による.)
U(x,e)全体をOとするのではなく、Xの部分集合Uの任意の元xについて
U(x,e)⊂Uとなるe>0が存在するU全体をOと定義します。
O1については、x∈∪U_λに対して∃μ∈Λ｜x∈U_μだから∃e>0|U(x,e)⊂U_μ
よって∃e>0|U(x,e)⊂U_μ⊂∪U_λ．ゆえに∪U_λ∈O
O2については、x∈∩U_λならば任意のμ∈Λに対し∃e_μ>0|U(x,e_μ)⊂U_μ
Λの元の数は有限個なのでe_μに最小値eが存在する．
ここで任意のμに対して0<e≦e_μだから
任意のy∈U(x,e)に対して0≦d(x,y)<e≦e_μよりy∈U(x,e_μ)
従って任意のμに対してU(x,e)⊂U(x,e_μ)
U(x,e)は全てのU_μの部分集合だからU(x,e)⊂∩U_λで条件を満たす
e>0が存在する．ゆえに∩U_λ∈O
で(i)だけでO1,O2が成立すると思うのですがどこか不備があるのでしょうか？
> 距離で定義される位相空間はハウスドルフ空間にもなるのですが, 距離の
> 公理を (i) だけに弱めると, 位相が定義できても, U(x, e) に余り意味の
> ない位相になるということです.
確かに面白いものは少ないかもしれません．
Tsukamoto Chiaki
In article <400E955D...@d5.dion.ne.jp>
柳楽盛男 <nag...@d5.dion.ne.jp> writes:
> 開集合の基というのはよく知りません．手元のテキストにもないので？です．
> ここの理解不足が下の議論に影響するならごめんなさい．
直接は関係しません.
> U(x,e)全体をOとするのではなく、Xの部分集合Uの任意の元xについて
> U(x,e)⊂Uとなるe>0が存在するU全体をOと定義します。
そうすればひとつ位相が定義出来ることは宜しいですが, 注意するべきは,
その位相について, 一般には, U(x, e) が開集合になるとは限らないし,
従って, d は連続であるとも限らない, 更に, U(x, e) は x の近傍である
とも限らない, ということです.
U(x, e) を e-近傍と呼べなくても構わないなら, それでも良いでしょう.