数列
SET
数列のことでわからないので教えてください
[1番目の数列の定義]
n項目 ＝ max( prime(i)*(n+1-i) ) , 1 <= i <= n.
ここで、prime(i)とは i 番目の素数。
この数列の最初のいくつかの項
2,4,6,10,15,22,33,44,55,68,85,102,119,145,174,203,....
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p1=2
p2=2*3
p3=2*3*5
p4=2*3*5*7
p5=2*3*5*7*11
pnは、 １番目の素数からn番目までの素数の積とする
[2番目の数列の定義]
n項目 ＝ m!はdnで割り切れる、そのような最小のm.
ここで、dnはp1からpnまでの積
この数列も1番目に定義した数列と同じ結果になります。
2,4,6,10,15,22,33,44,55,68,85,102,119,145,174,203,....
何故なのか教えてください
Tsukamoto Chiaki
In article <bbluj2$as0$1...@nntp.tiki.ne.jp>
"SET" <pcmu...@m11.alpha-net.ne.jp> writes:
> [1番目の数列の定義]
>
> n項目 ＝ max( prime(i)*(n+1-i) ) , 1 <= i <= n.
> ここで、prime(i)とは i 番目の素数。
> pnは、 １番目の素数からn番目までの素数の積とする
>
> [2番目の数列の定義]
>
> n項目 ＝ m!はdnで割り切れる、そのような最小のm.
> ここで、dnはp1からpnまでの積
d(n) = Π_{k=1}^n (Π_{h=1}^k prime(h))
= Π_{i=1}^n prime(i)^{n+1-i},
m(n) = min { m ; d(n) | m! }
= min { m ; prime(i)^(n+1-i) | m! (1≦i≦n) },
として定まるのが二番目の数列 {m(n)} ですね. (Πは積を
取る事を表す. "|" は左が右を割り切るの意.)
まず prime(i)*(n+1-i)≦m であれば prime(i)^(n+1-i) | m!
であることに注意しましょう.
n≧2 としましょう. prime(i) は i について増加で, n+1-i
は i について減少ですから, 次の内どちらかが起こります.
(A) ある k について prime(k) = n+1-k.
(B) ある k について prime(k) < n+1-k, prime(k+1) > n-k.
(A)の場合, k≦i であれば, n+1-i≦prime(i) であり,
prime(i)^(n+1-i) | m! となる為には prime(i)*(n+1-i)≦m
となることが必要十分になります.
(B)の場合, k+1≦i であれば, n+1-i < prime(i) であり, やはり,
prime(i)^(n+1-i) | m! となる為には prime(i)*(n+1-i)≦m
となることが必要十分になります.
一方, i < k であれば,
prime(i)*(n+1-i)
≦(prime(k) - (k-i))*((n+1-k) + (k-i))
= prime(k)*(n+1-k) - ((n+1-k) - prime(k))*(k-i) - (k-i)^2
< prime(k)*(n+1-k),
従って, prime(k)*(n+1-k)≦m のとき prime(i)*(n+1-i) < m
であり, 自動的に prime(i)^(n+1-i) | m! となります.
更に, (B)の場合, prime(k)≦n-k, n-k+1≦prime(k+1) ですから,
prime(k)*(n+1-k)≦(n-k)*prime(k+1) = prime(k+1)*(n+1-(k+1))
となっています.
(A)の場合,
m(n) = min { m ; prime(i)^(n+1-i) | m! (k≦i≦n) }
= max { prime(i)*(n+1-i) ; k≦i≦n }
= max { prime(i)*(n+1-i) ; 1≦i≦n },
(B)の場合,
m(n) = min { m ; prime(i)^(n+1-i) | m! (k+1≦i≦n) }
= max { prime(i)*(n+1-i) ; k+1≦i≦n }
= max { prime(i)*(n+1-i) ; 1≦i≦n },
となり, どちらでも [1番目の数列の定義] に一致します.
--
塚本千秋@応用数学.高分子学科.繊維学部.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chi...@ipc.kit.ac.jp
【】誠【】
／´ ￣｀ヽ,
/ 〃 _,ァ---‐一ヘヽ
i ／´ リ}
| 〉. -‐ '''ー {!
| | ‐ー くー |
ヤヽリ ´゜ ,ｒ "_,,>、 ゜'｝
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ｒ|、｀ '' ー--‐ｆ´
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