Quelques questions, bis.
Nicolas FRANCOIS
1- Groupe diedral toujours.
Un groupe d'ordre 2n, avec n impair, possede exactement n elements d'ordre
2. Comment montrer qu'il est isomorphe au groupe diedral D(2n) ? Tout
conseil est le bienvenu.
2- Polynomes cyclotomiques
Je connais la preuve de l'irreductibilite des polynomes cyclotomiques. On
peut cependant montrer directement que si p est premier, Phi(p) est
irreductible par le critere d'Eisenstein, en ecrivant Phi(p)(X+1). Dans le
Fraysse-Arnaudies algebre 1, il est suggere qu'on peut encore utiliser ce
meme critere dans le cas de Phi(p^alpha), sachant par exemple que
Phi(p^alpha)=Phi(p)(X^alpha) ?
3- Groupe symetrique
Soient sigma et tau deux permutations de [[1,n]]. Peut-on compter le
nombre d'inversions de sigma o tau en fonction des nombres d'inversions de
sigma et tau ?
4- Groupe symetrique encore
Dans le groupe Sigma(R) (ensemble des bijections de R dans R, R corps des
reels), le sous-groupe G des similitudes fait partie du normalisateur N(T)
du sous-groupe T des translations, mais en est distinct. C'est le distinct
qui me chiffone. Et si on cherche des elements de N(T) qui sont en plus
des applications continues ?
5- Groupe quotient Q/Z
Tout sous-groupe fini G du quotient Q/Z est cyclique. Ca, c'est facile.
Q/Z n'est pas de type fini, c'est aussi facile. Mais comment montrer que
(Q/Z)/G est isomorphe avec Q/Z pour tout sous-groupe fini G de Q/Z ?
Merci d'avance pour toute votre aide.
\bye
--
Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr
A TRUE Klingon programmer does NOT comment his code
Pascal
"Nicolas FRANCOIS (AKA El Bofo)" <nicolas....@free.fr> a écrit dans le
message news: 20030904213509.0ce65...@free.fr...
> A tout hasard, je repose.
>
> 1- Groupe diedral toujours.
> Un groupe d'ordre 2n, avec n impair, possede exactement n elements d'ordre
> 2. Comment montrer qu'il est isomorphe au groupe diedral D(2n) ? Tout
> conseil est le bienvenu.
J'ai un doute quant à l'exactitude de cet énoncé. Il me semble que parmi les
cinq groupes d'ordre
18, il y a un groupe autre que le diédral et admettant exactement 9 éléments
d'ordre 2.
Soient G un groupe avec tes hypothèses, X={éléments d'ordre 2} et H=G\X. Si
s,t sont dans X et distincts alors st n'est pas dans X (car sinon {1,s,t,st}
serait un sous-groupe de G et 4 ne divise pas |G|). Donc, G=X union sX où s
est un élément donné de X et H=sX.
L'ensemble H est un sous-groupe de G car si t,u sont dans X alors
(su)(st)=(sus^{-1})t est le produit de deux éléments de X.
De plus H est abélien car si t,u sont dans X alors il existe v dans X tel
que ts=uv (en sorte que vu=st) et donc (st)(su)=
s(ts)u=suvu=(su)(st). Ainsi, G est produit semi-direct d'un groupe abélien
d'ordre n par le groupe à 2 éléments. Bien sûr si n est premier alors oui G
est diédral.
> 2-
[snip]
> 3- Groupe symetrique
> Soient sigma et tau deux permutations de [[1,n]]. Peut-on compter le
> nombre d'inversions de sigma o tau en fonction des nombres d'inversions de
> sigma et tau ?
>
Je ne sais pas si ça va répondre à ta question.
Si I_f désigne l'ensemble des inversions de f i.e des paires {i,j}
telles que (j-i)(f(j)-f(i))<0. Alors,
A est une inversion de (gf)
ssi
[A est une inversion de f
et f(A) n'est pas une inversion de g]
OU
[A n'est pas une inversion de f
et f(A) est une inversion de g].
Donc, I_(gf)= I_f delta f^{-1}(I_g) ce qui permet de
(re)démontrer que la signature est un morphisme.
Camille
Nicolas FRANCOIS (AKA El Bofo) <nicolas....@free.fr> wrote:
> 1- Groupe diedral toujours.
> Un groupe d'ordre 2n, avec n impair, possede exactement n elements d'ordre
> 2. Comment montrer qu'il est isomorphe au groupe diedral D(2n) ? Tout
> conseil est le bienvenu.
C'est vrai pour n premier > 2, mais faux pour n impair en general.
Tu peux remarquer que le fait qu'il y ait exactement n elements
d'ordre 2 entraine que les autres forment un sous-groupe distingue
(je te laisse faire) d'indice 2.
Notons R ce sous-groupe et p la projection canonique de D dans Z/2Z.
On a un morphisme s : Z/2Z -> D tel que p s = Id, et D est donc le
produit semi-direct de R par Z/2Z. Les involutions de D sont precisement
les (r,1), donc
(r,1)^2 = (r 1.r, 0) = neutre. (1.r represente l'image de r sous
l'action de 1)
donc Z/2Z agit par inversion sur R.
Si R est cyclique, on reconnait la structure du groupe diedral.
En particulier, le resultat est vrai pour n premier.
En revanche, si R n'est pas cyclique, D ne peut pas etre diedral,
car le sous-groupe des rotations est toujours cyclique.
R = (Z/3Z)^2 est un contre-exemple.
> 3- Groupe symetrique
> Soient sigma et tau deux permutations de [[1,n]]. Peut-on compter le
> nombre d'inversions de sigma o tau en fonction des nombres d'inversions de
> sigma et tau ?
Non, tu peux en effet considerer deux transpositions, d'abord
identiques, puis a supports disjoints. En revanche, leur parite est un
morphisme du groupe dans Z/2Z, qu'on appelle leur signature.
> 5- Groupe quotient Q/Z
> Tout sous-groupe fini G du quotient Q/Z est cyclique. Ca, c'est facile.
> Q/Z n'est pas de type fini, c'est aussi facile. Mais comment montrer que
> (Q/Z)/G est isomorphe avec Q/Z pour tout sous-groupe fini G de Q/Z ?
Comme G est fini, G est cyclique d'ordre n. La classe de 1/n en est
un generateur et G = (Z/n)/Z. On a (Q/Z)/G = Q/(Z/n).
Des lors, tu peux considerer le morphisme
Q/(Z/n) -> Q/Z
x -> nx.
Camille
Charles Delorme
Nicolas FRANCOIS (AKA El Bofo) <nicolas....@free.fr> writes:
[je supprime le message, qui comporte 5 questions]
Je reponds a trois des questions, (pas trop sechement, j'espere):
Question 1:
Soit G groupe d'ordre 2n, avec n impair, ayant n elements d'ordre 2 :
cela implique-t-il qu'il est diedral?
Reponse: non, car on obtient de tel groupes
en partant d'un groupe H abelien (additif) non-cyclique
d'ordre impair, on peut former le produit semi-direct de H
avec S le groupe a deux elements (1, -1), comme suit:
(h,s)(h',s')=(h+sh',ss').
Si on fait la meme chose avec un groupe H cyclique, on obtient
un groupe diedral.
Inversement, si on fait agir par translation le groupe G sur
lui-meme, on voit que les elements d'ordre 2 donnent des permutations
impaires de G, et les elements d'ordre impair des permutations paires
de G, il ya des deux, donc autant des uns que des autres. Donc
les elements d'ordre impair forment un sous-groupe H d'indice 2,
donc distingue. Si tous les autres elements sont d'ordre 2, alors
soit s l'un d'entre eux. On aura pour tout element a d'ordre impair
(as)^2=asas=e donc s^{-1}as=a^{-1}. Le passage a l'inverse est donc
un automorphisme du groupe H, qui est donc commutatif.
Question 3:
Soient sigma et tau deux permutations de [[1,n]]. Peut-on compter le
nombre d'inversions de sigma o tau en fonction des nombres d'inversions de
sigma et tau ?
Reponse non: voir le cas n=3 avec sigma et tau deux transpositions,
dans deux cas: d'abord sigma = tau = (12) et ensuite sigma =(12) et tau=(23).
Question 5:
Tout sous-groupe fini G du quotient Q/Z est cyclique. Ca, c'est facile.
Q/Z n'est pas de type fini, c'est aussi facile. Mais comment montrer que
(Q/Z)/G est isomorphe avec Q/Z pour tout sous-groupe fini G de Q/Z ?
Tu as du voir que G est engendre par 1/|G|. L'application bijective
de Q dans Q qui est la multiplication par |G| induit dans le quotient
un homomorphisme surjectif de groupes de Q/Z vers Q/Z, de noyau G.
ce qui se factorise en la surjection de Q/Z sur (Q/Z)/G et un
homomorphisme injectif et surjectif de groupes (Q/Z)/G vers Q/Z.
Juste ce qu'on veut!
--
Charles Delorme tous les mégalomanes
LRI ont une signature
c...@lri.fr à étages
Pascal
"Nicolas FRANCOIS (AKA El Bofo)" <nicolas....@free.fr> a écrit dans le
message news: 20030904213509.0ce65...@free.fr...
>
> 1- Groupe diedral toujours.
> Un groupe d'ordre 2n, avec n impair, possede exactement n elements d'ordre
> 2. Comment montrer qu'il est isomorphe au groupe diedral D(2n) ? Tout
> conseil est le bienvenu.
>
> 2- Polynomes cyclotomiques
> Je connais la preuve de l'irreductibilite des polynomes cyclotomiques. On
> peut cependant montrer directement que si p est premier, Phi(p) est
> irreductible par le critere d'Eisenstein, en ecrivant Phi(p)(X+1). Dans le
> Fraysse-Arnaudies algebre 1, il est suggere qu'on peut encore utiliser ce
> meme critere dans le cas de Phi(p^alpha), sachant par exemple que
> Phi(p^alpha)=Phi(p)(X^alpha) ?
>
C'est plutôt
Phi(p^a)(X)=Phi(p)(X^(p^(a-1)) ou encore (X^(p^a)-1)/(X^(p^(a-1))-1).
La réduction modulo p de Phi(p^a)(X+1) est
((X+1)^(p^a)-1)/((X+1)^(p^(a-1))-1)=
(X^(p^a)+1^(p^a)-1)/(X^(p^(a-1))+1^(p^(a-1))-1)=
X^(p^a)/X^(p^(a-1))=X^(p^a-p^(a-1)) et le terme constant
de Phi(p^a)(X+1) est p. Ainsi Eisenstein s'applique.
Nicolas FRANCOIS
écrit :
> Je reponds a trois des questions, (pas trop sechement, j'espere):
>
> Question 1:
> Soit G groupe d'ordre 2n, avec n impair, ayant n elements d'ordre 2 :
> cela implique-t-il qu'il est diedral?
>
> Reponse: non, car on obtient de tel groupes
> en partant d'un groupe H abelien (additif) non-cyclique
> d'ordre impair, on peut former le produit semi-direct de H
> avec S le groupe a deux elements (1, -1), comme suit:
> (h,s)(h',s')=(h+sh',ss').
A-t-on dans ce cas n elements d'ordre 2 ? Je ne suis pas sur.
> Si on fait la meme chose avec un groupe H cyclique, on obtient
> un groupe diedral.
>
> Inversement, si on fait agir par translation le groupe G sur
> lui-meme, on voit que les elements d'ordre 2 donnent des permutations
> impaires de G, et les elements d'ordre impair des permutations paires
> de G, il ya des deux, donc autant des uns que des autres. Donc
> les elements d'ordre impair forment un sous-groupe H d'indice 2,
> donc distingue. Si tous les autres elements sont d'ordre 2, alors
> soit s l'un d'entre eux. On aura pour tout element a d'ordre impair
> (as)^2=asas=e donc s^{-1}as=a^{-1}. Le passage a l'inverse est donc
> un automorphisme du groupe H, qui est donc commutatif.
Ca, ca me va bien :-) Je vais etudier cela en detail.
> Question 5:
> Tout sous-groupe fini G du quotient Q/Z est cyclique. Ca, c'est facile.
> Q/Z n'est pas de type fini, c'est aussi facile. Mais comment montrer que
> (Q/Z)/G est isomorphe avec Q/Z pour tout sous-groupe fini G de Q/Z ?
>
> Tu as du voir que G est engendre par 1/|G|. L'application bijective
> de Q dans Q qui est la multiplication par |G| induit dans le quotient
> un homomorphisme surjectif de groupes de Q/Z vers Q/Z, de noyau G.
> ce qui se factorise en la surjection de Q/Z sur (Q/Z)/G et un
> homomorphisme injectif et surjectif de groupes (Q/Z)/G vers Q/Z.
> Juste ce qu'on veut!
Merci. Celle-la, je l'ai trouvee entre temps.
> --
> Charles Delorme tous les mégalomanes
> LRI ont une signature
> c...@lri.fr à étages
Ca c'est bien vrai :-) Et ils en ont plusieurs, surtout, pour montrer
plein de facettes de leur illustre personne ;-)
Merci, au fait. J'ai eu plus de succes cette fois-ci.
\bye
--
Nicolas FRANCOIS
http://nicolas.francois.free.fr
Q: What is yellow, small and VERY VERY DANGEROUS ?
A: A canari bird with a root password.