Метод Лагранжа
Anton Lyskov
Наверно многие из вас знакомы с методом Лагранжа в аналитической механнике.
Нечего сказать, метод действительно интересный и значительно упрощает
решение задач механники. Но одно мне в этом методе не даёт покоя - это
принцип наименьшего действия, постулат, на котором вобщето и базируется этот
метод. Откуда взялся этот постулат, как к нему пришли?
И в самом деле, одно дело например постулировать постоянство скорости света
во всех СО, но тут вдруг говориться о минимуме какого-то зверского
функционала. Были ли какие-то попытки всё-таки доказать его или хоть как-то
объяснить его может даже полуфилософскими соображениями?
Вопросы преподавателю и обращения к учебникам ничего не дали (обидно даже!)
Вот так и не даёт мне покоя этот постулат. Решаешь задачу, а внутри
негодование: ну откуда они взяли, что этот интеграл должен обязательно
давать минимум.
Вот такие дела.
Alexey Borovskikh
Позволь высказаться по поводу письма Anton Lyskov к All от <Wednesday August
15 2001> (15:26),
AL> Hаверно многие из вас знакомы с методом Лагранжа в аналитической
AL> механнике. Hечего сказать, метод действительно интересный и значительно
AL> упрощает решение задач механники. Hо одно мне в этом методе не даёт покоя
AL> - это принцип наименьшего действия, постулат, на котором вобщето и
AL> базируется этот метод. Откуда взялся этот постулат, как к нему пришли? И в
AL> самом деле, одно дело например постулировать постоянство скорости света во
AL> всех СО, но тут вдруг говориться о минимуме какого-то зверского
AL> функционала. Были ли какие-то попытки всё-таки доказать его или хоть
AL> как-то объяснить его может даже полуфилософскими соображениями? Вопросы
AL> преподавателю и обращения к учебникам ничего не дали (обидно даже!) Вот
AL> так и не даёт мне покоя этот постулат. Решаешь задачу, а внутри
AL> негодование: ну откуда они взяли, что этот интеграл должен обязательно
AL> давать минимум.
Во-первых, рекомендую посмотреть К.Ланцош "Вариационные принципы механики".
Во-вторых, рекомендую почитать самого Лагранжа -- в собрании сочинений это,
кажется первый том. Язык и система понятий у него архаичные, но после
некоторого периода привыкания к нему обнаруживается, что этим языком
обсуждаются крайне нетривиальные мысли, которые в современных курсах
аналитической механики почему-то опускают. В-третьих, недавно вышла книжечка
Даламбера "Динамика". Тоже очень рекомендую.
А грубые соображения такие:
1. Если тело находится в покое и на него начинает действовать сила, то оно
начнет двигаться в направлении действия силы. Это соображение принимается как
_очевидное_ (в формальном смысле -- как аксиома).
2. Тело может и не начать двигаться, если двигаться в направлении действия силы
ему мешают какие-то препятствия.
3. Если мы опишем препятствия математически в виде уравнения связей (и
неравенств), то из всех возможных движений для тела останется только часть.
Через \delta x будем обозначать все возможные движения, которые (из-за
нелинейностей связей) будем предполагать еще и бесконечно малыми.
4. Тогда соображение N1 приобретает форму "Если тело может двигаться в
направлении действия силы -- оно будет двигаться в этом направлении". Или (в
форме обратного утверждения) "Если тело находится в покое, то все возможные
движения направлены против действия силы". Математически записывается
F*\delta x\leq 0 (1)
5. Если сила потенциальна -- F=-\grad U, то (1) записывается в виде
\delta U \geq 0 (2)
Т.е. все допустимые перемещения увеличивают U. Это и есть принцип
минимальности: тело занимает тольку минимума (относительного при наличии
связей) потенциальной энергии.
6. В случае, когда покоя нет :), а есть движение, второй закон Hьютона,
описывающий это движение, может быть записан в специфическом виде:
F-ma=0, который можно проинтерпретировать как условие баланса сил -- внешней
силы F и силы инерции (-ma), но в системе отсчета, связанной с самим телом (эта
система отсчета, вообще говоря, неинерциальна, и поэтому возникает та самая
дополнителная сила инерции). Hо в системе отсчета, связанной с телом, само тело
покоится и мы можем применить принцип п.4.:
(F-ma)*\delta x\leq 0 (3)
Правда, при этом мы неявно предполагаем, что и в инерциальных, и в инерциальных
системах отсчета законы механики одинаковы в том смысле, что п.1 для них для
всех справедлив.
7. Даже если функция F потенциальна: F=-\grad U, соотношение (3) не удается
представить в виде типа (2), однако если проинтегрировать (3) по некоторому
временному промежутку (t_1, t_2), то вторую часть (ma\delta x) оказывается
возможным проинтегрировать по частям, и получить
\int _{t_0}^{t_1} [F\delta x+m \dot x \delta (\dot x) dt -
- m(\dot x * \delta x)|_{t_0}^{t_1}\leq 0
Интеграл уже можно представить в виде \delta(чего-то), а именно (я еще умножу
на (-1))
\delta [\int_{t_0}^{t_1} (U-m/2(\dot x)^2)dt]+
m(\dot x*\delta x)|_{t_0}^{t_1}\geq 0
8. Дальше обычно внеинтегральные члены предполагают равными нулю, и получается
вариационный принцип: из всех возможных траекторий x(t), начинающихся и
заканчивающихся в одной и той же точке реальной является та, которая доставляет
минимум интегралу
S=\int_{t_0}^{t_1}(U-m/2(\dot x)^2)dt
который называют интегралом действия (этот термин принадлежит вроде бы Лейбницу
-- он действием называл "произведение массы тела на скорость и на пространство,
пройденное телом").
9. Дальше идет уже техника -- функция Лагранжа (потинтегральная функция в
интеграле действия) оказывается инвариантом преобразований системы координат,
при объединении нескольких тел в систему или нескольких систем в одну их
функции Лагранжа складываются, при появлении дополнительных взаиможействий в
функцию Лагранжа просто добавляется соответствующая потенциальная энергия и пр.
То есть полученная штука оказывается очень удобным инструментом для
оперирования со сложными системами. А поскольку вывод из минимального принципа
дифференциальных уравнений -- вообще алгоритмичен и это сделано в общем виде --
оказывается, что удобней всего всегда плясать именно от этой штуки.
Вот, вроде, и все.
Искренне,
Alexey