向量問題求解
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向量OA+向量OB+向量OC=零向量
向量OA‧向量OB=向量OB‧向量OC=向量OC‧向量OA=-1
求(1)向量AB長
(2)三角形ABC面積?
謝謝
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天才軒
> 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
> 向量OA‧向量OB=向量OB‧向量OC=向量OC‧向量OA=-1
> 求(1)向量AB長
> (2)三角形ABC面積?
> 謝謝
A = OA向量
B = OB向量
C = OC向量
A+B+C = 0 =>
0 = (A+B)‧0 = (A+B)‧(A+B+C) = (A+B)‧(A+B) + (A+B)‧C = |A+B|^2 - 2
=> |A+B| = √2 ---(1)
從這邊可以知道 |C| = |A+B| (因為 -C = A+B )
類似手法可得可得到 |A| = |B| = |C| = √2,
所以面積 = (√3/2) (正三角形面積 = 邊長平方x√3/4)
僅供參考....
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[1;36m弄清π是無理數這件事可能是根本沒有實際用處的 [m
[1;36m但是如果我們能弄清楚那麼肯定就不能容忍不去設法把它弄清楚 [m
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(short)(-15074)
> ※ 引述《So...@kkcity.com.tw ( )》之銘言：
> > 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
> > 向量OA‧向量OB=向量OB‧向量OC=向量OC‧向量OA=-1
> > 求(1)向量AB長
> > (2)三角形ABC面積?
> > 謝謝
> A = OA向量
> B = OB向量
> C = OC向量
> A+B+C = 0 =>
> 0 = (A+B)‧0 = (A+B)‧(A+B+C) = (A+B)‧(A+B) + (A+B)‧C = |A+B|^2 - 2
> => |A+B| = √2 ---(1)
> 從這邊可以知道 |C| = |A+B| (因為 -C = A+B )
> 類似手法可得可得到 |A| = |B| = |C| = √2,
> 所以面積 = (√3/2) (正三角形面積 = 邊長平方x√3/4)
> 僅供參考....
OA向量/OB向量/OC向量都不是三角形的邊...
不過從這裡可以求出三向量的夾角:
由 2 = |C|^2 = |A+B|^2 = |A|^2 + 2A‧B + |B|^2 = 4 + 2A‧B
得 -1 = A‧B = |A||B|cosθ = 2cosθ -> cosθ=-1/2
因此知道三個向量兩兩之間皆夾120度
(其實這用對稱性也求得出來...)
所以所求面積 = 3(1/2)|A||B|sin120度 = 3(1/2)(√2)(√2)(√3/2) = 3√3/2
---
或者就從對稱性得知O點即為ABC這個正三角形的中心
故OA向量長為邊長的的√3/3倍 即邊長為√2/(√3/3) = √6
一樣也能求出面積為(√3/4)(6) = 3√3/2
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有人喜歡邊玩 [32m遊戲 [m邊 [32m上逼 [m；
也有人喜歡邊 [33m聽歌 [m邊 [33m打字 [m。
但是，我有個請求，
[1;36m選字 [m的時候請 [1;36m專心 [m好嗎？
-- 改編自「古 火田 任三郎」之開場白
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[1;30m作者從 118-171-251-53.dynamic.hinet.net 修改文章於 2008/09/04 Thu 21:21:05 [m
天才軒
我想錯了....
我的確把三個向量想成三角形的三邊...
囧..........
※ 引述《LPH...@bbs.cs.nctu.edu.tw ((short)(-15074))》之銘言：
> ※ 引述《Fres...@cd.twbbs.org (天才軒)》之銘言：
> > A = OA向量
> > B = OB向量
> > C = OC向量
> > A+B+C = 0 =>
> > 0 = (A+B)‧0 = (A+B)‧(A+B+C) = (A+B)‧(A+B) + (A+B)‧C = |A+B|^2 - 2
> > => |A+B| = √2 ---(1)
> > 從這邊可以知道 |C| = |A+B| (因為 -C = A+B )
> > 類似手法可得可得到 |A| = |B| = |C| = √2,
> > 所以面積 = (√3/2) (正三角形面積 = 邊長平方x√3/4)
> > 僅供參考....
> 差了一點點...
> OA向量/OB向量/OC向量都不是三角形的邊...
> 不過從這裡可以求出三向量的夾角:
> 由 2 = |C|^2 = |A+B|^2 = |A|^2 + 2A‧B + |B|^2 = 4 + 2A‧B
> 得 -1 = A‧B = |A||B|cosθ = 2cosθ -> cosθ=-1/2
> 因此知道三個向量兩兩之間皆夾120度
> (其實這用對稱性也求得出來...)
> 所以所求面積 = 3(1/2)|A||B|sin120度 = 3(1/2)(√2)(√2)(√3/2) = 3√3/2
> ---
> 或者就從對稱性得知O點即為ABC這個正三角形的中心
> 故OA向量長為邊長的的√3/3倍 即邊長為√2/(√3/3) = √6
> 一樣也能求出面積為(√3/4)(6) = 3√3/2
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cc
> 向量OA+向量OB+向量OC=零向量
> 向量OA‧向量OB=向量OB‧向量OC=向量OC‧向量OA=-1
> 求(1)向量AB長
> (2)三角形ABC面積?
> 謝謝
向量OA‧(向量OA+向量OB+向量OC) = 0
2
==> OA +向量OA‧向量OB+向量OA‧向量OC = 0
2
==> OA = 2 ==> OA = √2,同理,OB = OC = √2.
2 2 2 2
(1) (向量AB長) = ︱向量OB-向量OA︱ = OB + OA -2向量OA‧向量OB = 6
所以,向量AB長 = √6.
(2) 同理,向量BC長 = 向量CA長 = √6,三角形ABC為邊長√6的正三角形,面積為
√3 2 3 √3
------(√6) = -------
4 2
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