Sayma sayılarının tersleri toplamı

[nilufer]

1) a,b,c farklı   sayma sayıları için  1/a+1/b+1/c=1  eşitliğini sağlayan değerleri bulunuz.

2)  a,b,c farklı   sayma sayıları için  1/a+1/b+1/c+1/d=1  eşitliğini sağlayan değerleri bulunuz.

Hocalarım bu sorular nasıl çözülür? İlk soruda 2,3,6 değerlerini deneyerek buldum. Bunun pratik bir yolu var mı?

[Deniz KARADAĞ]

Geomania da bu tarz sorular için bir yol sunulmuştu. Şimdi aradım bulamadım. a<b<c olsun. 3/c<(1/a+1/b+1/c)<3/a buradan da 3/c<1<3/a dolayısıyla c>3 ve a<3 bulunur. a=1 alınırsa çözümsüz olduğu görülür ; o halde a=2 dir. 1/b+1/c=1/2 buluruz. Buradan da bc=2b+2c sonrasında düzenlersek; (b-2)(c-2)=4 bulunur. b<c olduğundan b-2=1 ve de c-2=4 olmaktan başka durum yoktur. b=3 ve c=6 bulunur.

nilufer <niluferp...@gmail.com>, 4 Eyl 2023 Pzt, 16:00 tarihinde şunu yazdı:

1) a,b,c farklı   sayma sayıları için  1/a+1/b+1/c=1  eşitliğini sağlayan değerleri bulunuz.

2)  a,b,c farklı   sayma sayıları için  1/a+1/b+1/c+1/d=1  eşitliğini sağlayan değerleri bulunuz.

Hocalarım bu sorular nasıl çözülür? İlk soruda 2,3,6 değerlerini deneyerek buldum. Bunun pratik bir yolu var mı?

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/59015fdf-8820-4fb2-b606-75b8d0929302n%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[timcanpy]

3/c<(1/a+1/b+1/c)<3/a hocam bu eşitsizliği nasıl yazdınız, açıklar mısınız?

5 Eylül 2023 Salı tarihinde saat 19:07:37 UTC+3 itibarıyla Deniz KARADAĞ şunları yazdı:

[Deniz KARADAĞ]

a,b,c farklı sayma sayıları ise genelliği bozmadan a<b<c diyebiliriz. O halde 1/a>1/b>1/c bu eşitsizlikten;

• 1/a>1/c
• 1/a>1/b
• 1/a>=1/a

bu eşitsizlikleri taraf tarafa toplarsak 3/a>1/a+1/b+1/c elde ederiz. benzer işlemler ile 3/c<1/a+1/b+1/c olduğu da gösterilebilir.

timcanpy <kursa...@gmail.com>, 5 Eyl 2023 Sal, 20:36 tarihinde şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/c1e74901-11a9-4ecf-94a9-49b21cfbaeefn%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[alper(geomania.org)]

Deniz hocam güzelce çözmüş. Şöyle de düşünülebilir:

a > 1 olduğu denklemden kolayca görülür.

a>= 3  ise a = b = c= 3 olmak zorundadır. O zaman a = 2 olmalıdır.  b = 3  ve  c = 6 olduğu yukarıdaki gibi bulunur. Demek ki verilen denklemin sayma sayılarındaki biricik çözüm kümesi (2 , 3, 6) olmalıdır. Yani 1 sayısının üç farklı birim kesirle(payı 1 olan kesirler) yalnız bir tane temsili vardır. 

Bu birim kesirleri mükemmel sayıları kullanarak bulanlar da var. Örneğin bu soru için 6 mükemmel sayısı öz bölenlerinin toplamı olarak

6=1+ 2 +3

6/6= 1 =1/6+2/6+3/6=1/6+1/3+1/2

şeklinde yazılarak istenen bulunuyor. 

1=1/a+1/b+1/c+1/d+1/e=1 şeklinde verilen 5 birim kesirlik denklemi sayma sayılarında çözmek istediğimizde benzer şekilde sonra gelen 28 mükemmel sayısına uygulanarak

28/28=1=1/28+1/14+1/7+1/4+1/2

a=28, b=14, c=7, d=4, e=2

bulunuyor. 

Ancak burada bu değerlerin tek çözüm olmadığına dikkat etmek gerekiyor. Burada 

a=36, b=18, c =12, d=3, e=2

değerleri de bu denklemi sağlar.

5 Eylül 2023 Salı tarihinde saat 20:52:52 UTC+3 itibarıyla Deniz KARADAĞ şunları yazdı:

[Kürşat Kaya]

Teşekkür ederim hocam 

5 Eyl 2023 Sal 20:52 tarihinde Deniz KARADAĞ <karada...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubunda bir konuya abone olduğunuz için aldınız.
Bu konunun aboneliğinden çıkmak için https://groups.google.com/d/topic/tmoz/1WRQNwSA2wk/unsubscribe adresine gidin.
Bu grubun ve tüm konularının aboneliğinden çıkmak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAFsz7R2cFFrM%2B4rvS%3DGY20a38baWYKNfFyMzD%2BJhCHFjfz%2BaAA%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[nilufer]

Teşekkür ederim hocam. 28 sayısının 5 tane öz böleni olduğundan 1/a+1/b+1/c+1/d+1/e=1 denklemini çözebildik. Ama 4 tane öz böleni olan mükemmel sayı olmadığından 

1/a+1/b+1/c+1/d=1 denklemini mükemmel sayılar ile çözemeyiz. Genel bir çözüm yolu yok mu acaba?

6 Eylül 2023 Çarşamba tarihinde saat 15:56:17 UTC+3 itibarıyla Kürşat Kaya şunları yazdı:

[nilufer]

Bir çözüm yolu yok mu acaba?

14 Eylül 2023 Perşembe tarihinde saat 14:14:00 UTC+3 itibarıyla nilufer şunları yazdı:

[nilufer]

Güncel.

18 Eylül 2023 Pazartesi tarihinde saat 11:47:56 UTC+3 itibarıyla nilufer şunları yazdı: