Olasılık sorusu

[İlkay Sakar]

Şimdiden teşekkürler

[Muharrem Şahin]

Çantadaki mendilin 

eşit olasılıkla 

siyah ya da beyaz olması,

çektiğimizde beyaz gelmesi olasılığının 1/2 olması demektir.

Bu, çantada bir beyaz, bir siyah olduğunda da böyledir.

Öyleyse; 

içinde bir beyaz bir siyah mendil bulunan torbaya

2 beyaz mendil atıp

birer birer çektiğimizi düşünebiliriz.

Torbada 3 beyaz 1 siyah varken

ilk çekişte 1 beyaz gelmiştir.

İkincinin de beyaz olması olasılığı 2/3 olur.

İlkay Sakar <ilkays...@gmail.com>, 9 Şub 2019 Cmt, 21:58 tarihinde şunu yazdı:

Şimdiden teşekkürler

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAFJNquOaqHuzV7zQKDumH09-ugQivnB1w6H8HA3w%2Bu9dv4J_mA%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Matematikci]

Değerli hocam çözüm için cok teşekkür ederim.Aklima takılan bir şey var çantaya bir mendil atılıyor demis.Bir de başlangıçta siyah ve beyaz bilye sayısını eşit farklı sayılar secemez miyiz bu sonucu değiştirir mi?(2siyah 2 beyaz gibi)

[Muharrem Şahin]

Uyarınız için çok teşekkürler hocam.

Eksik düşünmüşüm.

Mendil sayısını arttırdıkça

beyaz çekme olasılığı artıyor.

Buna göre

beyaz çekme olasılığı

2/3'ten küçük olmalı.

Biraz daha düşünelim.

Matematikci <ilkays...@gmail.com>, 10 Şub 2019 Paz, 15:13 tarihinde şunu yazdı:

Değerli hocam çözüm için cok teşekkür ederim.Aklima takılan bir şey var çantaya bir mendil atılıyor demis.Bir de başlangıçta siyah ve beyaz bilye sayısını eşit farklı sayılar secemez miyiz bu sonucu değiştirir mi?(2siyah 2 beyaz gibi)

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/

Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---

Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.

Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu gruba kayıt göndermek için tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/ec3d90e4-14ed-45ac-9002-4c1fd61ae155%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.
Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.

--

.

[Muharrem Şahin]

Mendil sayısını arttırdıkça

eklediğimiz beyaz mendil sayısını da

arttırdığım için

beyaz çekme olasılığı artar demiştim.

Hep bir beyaz eklediğimizde

ikinci çekişteki olasılık 1/2 kalıyor.

Bu 

sorudaki kandırmacayı çözebilir.

Bizi 1/2 cevabına götürebilir.

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 10 Şub 2019 Paz, 15:29 tarihinde şunu yazdı:

--

.

[Matematikci]

Cok sagolun hocam

10 Şub 2019 Paz 16:30 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubunda bir konuya abone olduğunuz için aldınız.
Bu konunun aboneliğinden çıkmak için https://groups.google.com/d/topic/tmoz/YAXsePiDwCc/unsubscribe adresine gidin.
Bu grubun ve tüm konularının aboneliğinden çıkmak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcMEL2gcCBYkBY8eYqGVveoQdqTkwrNfZvmwgRpMA-5wrQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

Son yorumum:

Çantada 1/2 olasılıkla beyaz,

1/2 olasılıkla siyah mendil vardır.

İkinci çekişte beyaz gelmesi olasılığı,

1/2.(1.1) + 1/2.(1.0) = 1/2 olur.

Matematikci <ilkays...@gmail.com>, 10 Şub 2019 Paz, 15:39 tarihinde şunu yazdı:

Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.

Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAFJNquN3eGgw%3D9JTXrp1UbFm5yC4ByGfY0A90JqBsTsntFeWcg%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Muharrem Şahin]

Kaynakta önerilen doğru cevabı biliyor musunuz hocam.

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 10 Şub 2019 Paz, 15:43 tarihinde şunu yazdı:

--

.

[Matematikci]

Hocam 2/3 diye verilmiş 

10 Şub 2019 Paz 17:27 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcPwUe7fev8AV9WTw7t1SZD0%3DdoQPS3Nx_3pft-swH%3DEeQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

2/3 'ün işaretli olması

beni de yanılttığına göre

çok kişiyi yanıltacaktır.

Düzenleyenin haberi olsa keşke.

Matematikci <ilkays...@gmail.com>, 10 Şub 2019 Paz, 16:34 tarihinde şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAFJNquP0DAvxVyeXiD94CD22-i2-e8rtuztT7p0vdSBTUuMBrQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Matematikci]

Hocam tekrar teşekkür ediyorum emeğinize sağlık

10 Şub 2019 Paz 17:48 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcO0QRW1xo_OsLYTfB-w1S8bUJypukd3AvqatMNWz9KDAQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

Çözüm

1. yol

Çantadaki durum

n tane beyaz ve

n tane siyah mendile karşılık gelmektedir.

1 beyaz mendil daha atılınca

çantada n+1 tane beyaz, 

n tane siyah mendil olur.

1 beyaz çekilince

yine

n tane beyaz, n tane siyah mendil kalır. 

n/(2n) = 1/2

2. yol

1/2 olasılıkla çantada beyaz vardır.

İkinci çekişte beyaz çekilir.

1/2 olasılıkla çantada siyah vardır.

İkinci çekişte beyaz çekilmez.

1/2.1 + 1/2.0 = 1/2

Matematikci <ilkays...@gmail.com>, 10 Şub 2019 Paz, 16:50 tarihinde şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAFJNquODq-5Mhn89ty%2BhCpz5paGauud5nJgd50qZtJKYZgB1-g%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[HANOĞLU]

9 Şubat 2019 Cumartesi 21:59:01 UTC+2 tarihinde Matematikci yazdı:
> Şimdiden teşekkürler

Muharrem hocam şu düşüncemdeki hata nedir acaba yardımcı olursanız sevinirim (1/2)/(1/2. (1+1/2)) = 2/3

[Muharrem Şahin]

Düşüncenizi anlayamadım hocam. 

HANOĞLU <demire...@gmail.com>, 10 Şub 2019 Paz, 21:14 tarihinde şunu yazdı:

9 Şubat 2019 Cumartesi 21:59:01 UTC+2 tarihinde Matematikci yazdı:
> Şimdiden teşekkürler

Muharrem hocam şu düşüncemdeki hata nedir acaba yardımcı olursanız sevinirim (1/2)/(1/2. (1+1/2)) = 2/3

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/

Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu e-postayı Google Grupları'ndaki "TMOZ" adlı gruba abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba kayıt göndermek için tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/9ce6c570-1523-44ae-a161-6a80b061553c%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için, https://groups.google.com/d/optout adresiniz ziyaret edin.

--

.

[Muharrem Şahin]

Hanoğlu Hocam;

Ben de hatalı olabilirim.

Akıl karıştırıcı bir problemle

karşı karşıya olduğumuz açık.

Doğruda buluşmamız gerekir.

Bu,

ilgilenenler için önemli.

Yazdığınız kesrin paydası

ilk çekişte beyaz gelmesi olasılığı olmalı.

Payı anlayamadım.

Sevgiler, saygılar.

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 10 Şub 2019 Paz, 21:53 tarihinde şunu yazdı:

--

.

[Muharrem Şahin]

Anladım hocam.

Hata bendeymiş.

Bir kere daha dönüyorum.

2/3 olmalı.

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 11 Şub 2019 Pzt, 10:33 tarihinde şunu yazdı:

--

.

[Muharrem Şahin]

TMOZ'dan esinlenerek;

Problem-1

Bir torbada
siyah ya da beyaz olduğu eş olumlu
bir bilye vardır.  
Torbaya bir beyaz bilye daha atılıyor.
a) İlk çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?
b) İkinci çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?
c) İlk çekilenin beyaz olduğu görüldüğüne göre
ikinci çekilenin de beyaz olması olasılığı kaçtır?

Problem-2

Bir torbada
siyah ya da beyaz olduğu eş olumlu
bir bilye vardır.  

Torbaya 2 beyaz bilye daha atılıyor.
a) İlk çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?
b) İkinci çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?
c) İlk çekilenin beyaz olduğu görüldüğüne göre
ikinci çekilenin de beyaz olması olasılığı kaçtır?
d) İlk iki çekilenin beyaz olduğu görüldüğüne göre
üçüncünün de beyaz olması olasılığı kaçtır?  

Beni, 

çözümlerimi sorgulamaya yönlendirdikleri için

Hanoğlu Hocama ve Ömer Bulut Hocama

candan teşekkürler.

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 11 Şub 2019 Pzt, 10:37 tarihinde şunu yazdı:

--

.

[Matematikci]

Tüm hocalarımın zihnine saglik.zaman ayirdiniz cok teşekkür ederim

11 Şub 2019 Pzt 13:53 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubunda bir konuya abone olduğunuz için aldınız.
Bu konunun aboneliğinden çıkmak için https://groups.google.com/d/topic/tmoz/YAXsePiDwCc/unsubscribe adresine gidin.

Bu grubun ve tüm konularının aboneliğinden çıkmak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcPOHMJnHccmvzSoktLpJVpz-YdHNSMNwcNMfnkTCyep4g%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

Olasılık Problemi

Problem-1

Bir torbada

siyah ya da beyaz olduğu eş olumlu
bir bilye vardır.
Torbaya bir beyaz bilye daha atılıyor.

Bilyeler sırayla çekiliyor.

a) İlk çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?
b) İkinci çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?

c) Çekilen bilyelerin ikisin de beyaz olması olasılığı kaçtır?
d) İlk çekilenin beyaz olduğu görüldüğüne göre

ikinci çekilenin de beyaz olması olasılığı kaçtır?

Çözüm

a) 
1. yol

1/2 olasılıkla sonradan atılan çekilir;
1/2 olasılıkla torbadaki çekilir.

1/2 + 1/2.1/2 = 3/4

2. yol

İlkinin siyah olması olasılığı = 1/2.1/2 = 1/4
İlkinin beyaz olması olasılığı = 1 - 1/4 = 3/4

b) 
1. yol

İlki çekilip rengine bakılmıyorsa,
ikinci çekilenin beyaz olması olasılığı da 3/4 olur.

2. yol

İlk çekişten sonra
1/2 olasılıkla sonradan atılan kalmış olabilir;
1/2 olasılıkla torbadaki kalmış olabilir.
Bu durumda
ikincinin beyaz olması olasılığı = 1/2 + 1/2.1/2 = 3/4 olur.

c) Bilyelerden birinin beyaz olduğu kesindir.
Diğeri de, 1/2 olasılıkla beyaz; 1/2 olasılıkla siyahtır.
Öyleyse; ikisinin de beyaz olması olasılığı 1/2'dir.

d) Bu koşullu olasılıktır.
İlk çekilenin beyaz olması koşuluyla
ikinci çekilenin de beyaz olması olasılığı sorulmaktadır.

İki çekişte de beyaz gelmesi olasılığı 1/2 'dir. P(AnB)
İlk çekişte beyaz gelmesi olasılığı 3/4 'tür. P(B)

P(A/B) = P(AnB)/P(B)

P(A/B) = (1/2)/(3/4) = 2/3

Matematikci <ilkays...@gmail.com>, 11 Şub 2019 Pzt, 13:30 tarihinde şunu yazdı:

Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.

Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu gruba yayın göndermek için, tm...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu grubu https://groups.google.com/group/tmoz adresinde ziyaret edebilirsiniz.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAFJNquPecXR-VLJ4-APjROjUV7xPDxf197ENo1nwS_jwc1M8eg%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

Daha fazla seçenek için https://groups.google.com/d/optout adresini ziyaret edin.

--

.

[Muharrem Şahin]

Problemin çözümünde yaptığım,

kendimi de yanılttığım,

ilk yorumlarımın neden hatalı olduğunu

ilk fırsatta açıklayacağım.

Böylece; o yorumların da bir yararı olacaktır.

İlgilenen öğretmenlerimin de

bu hataları bulmalarını öneriyorum.   

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 11 Şub 2019 Pzt, 18:32 tarihinde şunu yazdı:

--

.

[Muharrem Şahin]

İlgilenenlerin aşağıdaki problem üzerinde düşünmeleri,

konunun tam aydınlanmasını sağlayacaktır.

Problem-2

Bir torbada
siyah ya da beyaz olduğu eş olumlu
bir bilye vardır.

Torbaya 2 beyaz bilye daha atılıyor.

a) İlk çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?
b) İkinci çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?
c) İlk çekilenin beyaz olduğu görüldüğüne göre
ikinci çekilenin de beyaz olması olasılığı kaçtır?

d) İlk iki çekilenin beyaz olması olasılığı kaçtır?

e) İlk iki çekilenin beyaz olduğu görüldüğüne göre

üçüncünün de beyaz olması olasılığı kaçtır?

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 11 Şub 2019 Pzt, 19:34 tarihinde şunu yazdı:

--

.

[Muharrem Şahin]

Problem-2

Bir torbada
siyah ya da beyaz olduğu eş olumlu
bir bilye vardır.

Torbaya 2 beyaz bilye daha atılıyor.

a) İlk çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?
b) İkinci çekilen bilyenin beyaz olması olasılığı kaçtır?

c)  İlk iki çekilenin beyaz olması olasılığı kaçtır?

d) İlk çekilenin beyaz olduğu görüldüğüne göre

ikinci çekilenin de beyaz olması olasılığı kaçtır?  

e) İlk iki çekilenin beyaz olduğu görüldüğüne göre
üçüncünün de beyaz olması olasılığı kaçtır?

Çözüm

 

a) 

1. yol

 

2/3 olasılıkla sonradan atılanlardan biri,

1/3 olasılıkla torbadaki çekilir.

İlk çekilenin beyaz olması olasılığı,

2/3 + 1/3.1/2 = 5/6 olur.

 

2. yol

 

İlkinin siyah olması olasılığı = 1/3.1/2 = 1/6 'dır.

İlkinin beyaz olması olasılığı = 1 - 1/6 = 5/6 olur.

 

b) İlk çekilenin rengine bakılmıyorsa 

ikinci çekilenin beyaz olması olasılığı da 5/6 olur.

 

c) Torbada

1/2 olasılıkla B, B, B;

1/2 olasılıkla B, B, S renkli bilyeler vardır.

Buna göre;

ilk iki çekilenin beyaz olması olasılığı = 1/2 + 1/2.(2/3.1/2) = 2/3 olur.

 

d) İlk çekilenin beyaz olması olasılığı 5/6 'dır.  P(B)

İlk iki çekilenin beyaz olması olasılığı 2/3 'tür. P(AnB)

İlk çekilenin beyaz olması koşuluyla

ilk iki çekilenin beyaz olması olasılığı,

P(A/B) = P(AnB)/P(B) 

=> P(A/B) = (2/3)/(5/6) = 4/5 bulunur.

 

e) İlk iki çekilenin beyaz olması olasılığı, 2/3 'tür.    P(B)

Çekilenlerin üçünün de beyaz olması olasılığı 1/2 'dir.    P(AnB)

İlk iki çekilenin beyaz olması koşuluyla

üçünün de beyaz olması olasılığı,

 P(A/B) = P(AnB) / P(B)

=> P(A/B) = (1/2)/(2/3)

=> P(A/B) = 3/4  bulunur.

 

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 11 Şub 2019 Pzt, 21:18 tarihinde şunu yazdı:

--

.

[Matematikci]

Hocam ben de çözmeye başlamıştım cevapları teyit ettirmek için size soracaktım tekrar teşekkür ederim aydinlattiginiz için.

12 Şub 2019 Sal 15:36 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcOFX4sXJcqyXDk_BYA6HsR2%3Diy128BthyJausUk467buQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[mehmet kagizman]

Merhaba hocalarım. Cevabı ben 11/25 buldum.. sizler de bakabilirseniz sevinirim.

[muratkandilci(öğretmen)]

[Mehmet K.]

Çok teşekkür ederim sayın hocam elinize sağlık

[muratkandilci(öğretmen)]

Rica ederim sayın hocam.

[UĞUR BARIN ÖĞRETMEN]

[Matematikci]

10 Şub 2019 Paz 21:46 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcOyPzyOBD_UHiEg5BaGN5mATfS_jgKpqzJDKFDuCQRBMQ%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

İlk yorumum, "sonradan atılanın diğerlerinden farklı olduğu" bilgisini değerlendirmeden oldu.

Yeniden çözüyorum.

...

"Sonradan atılanın farklı olduğu bilgisi ile"

Çözümüm:

İlk çekişte, 1/2 olasılıkla sonradan atılan çekilmiştir.

Bu durumda; 1/2. 1/2 = 1/4 olasılıkla

ikinci çekişte beyaz gelir.

(Atılan çekilmişse, ikinci çekişin beyaz olması olasılığı 1/2'dir.

Bunun gerçekleşmesi olasılığı 1/2.1/2 olur.)

İlk çekişte 1/2 olasılıkla torbadaki beyaz çekilmiştir.

Bu durumda ikinci çekişte beyaz gelmesi olasılığı 1/2. 1 = 1/2 olur.

İstenen olasılık = 1/4 + 1/2 = 3/4 bulunur.