Bu bir polinom mudur ?

[Nora]

Merhaba, bu resimdeki polinom mudur ? 

x² - 1 Çarpanlarına ayrılırsa (x+1)(x-1) oluyor ve aşağıdakiyle sadeleştiği için x-1 kalıyor, fakat çarşanlarına ayrılmamış haliyle x’e -1 verirsem tanımsız oluyor. Bu tarz sorularda polinom olup olmadığını anlamak için çarpanlarına ayırmam gerekiyor mum? Yoksa direkt polinom değildir diyebilir miyim ?

Teşekkürler.

[Yusuf AYDIN]

Hocam p(x) in bir polinom oldugu bilgisi soruda verilirse o zaman sadelestirilip polinom bulunabileceginden sıkıntı olmaz. Mesela (x+1).P(x)=×^2-1 icin p(x) polinom denmişse soruda o zaman sadelestirme yapılır ve problem olmaz. Ama sizin sordugunuz şekilde polinom olmaz. Çünkü polinom tanımına uymaz. 

11 Oca 2022 Sal 20:53 tarihinde Nora <gulera...@gmail.com> şunu yazdı:

Merhaba, bu resimdeki polinom mudur ? 

x² - 1 Çarpanlarına ayrılırsa (x+1)(x-1) oluyor ve aşağıdakiyle sadeleştiği için x-1 kalıyor, fakat çarşanlarına ayrılmamış haliyle x’e -1 verirsem tanımsız oluyor. Bu tarz sorularda polinom olup olmadığını anlamak için çarpanlarına ayırmam gerekiyor mum? Yoksa direkt polinom değildir diyebilir miyim ?

Teşekkürler.

--
http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.
Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/153a8e62-c795-4ef3-971a-8457685e5729n%40googlegroups.com adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

Baştan, x bir belirsiz olarak verilmişse

pay ve payda ayrı ayrı birer polinom olur.

P(x) de bir polinom bölmesine karşılık geldiği için

bir polinom olur.

P(x) = x-1 polinomu olur.

Burada, P(-1) = -2 diyebiliriz. 

Ama; kesir  R'de bir fonksiyon olarak verilmişse

yani

x'in bir gerçel sayı olduğu verilmişse

kesir bir polinom 

ya da polinom fonksiyon olmaz.

P(-1)  tanımsız olur.

Yusuf AYDIN <fusu...@gmail.com>, 11 Oca 2022 Sal, 23:52 tarihinde şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAOk900K9S-Rynb5G-1%2BV1MDS-jpkdfg422Lg%2BT2rjcz5SSMP2A%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

--

.

[Yusuf AYDIN]

Muharrem hocam zaten sıkıntı bu soruyu hazırlayanların fonksiyonun nerde tanımlandığını vermemelerinden kaynaklanıyor.

12 Oca 2022 Çar 01:18 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcNE7zq3RNvC2GnVvyd%2B2GepW8mQAdx06gm-3sqs-2s1%2Bw%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Nora]

Hocam fakat polinomların tanım kümesi olmaz ki. Yani benim anladığım kadarıyla sıkıntı ifadenin estetiğinden kaynaklanıyor. Eğer çarpanlarına ayırırsam polinom, ayırmazsam polinom değil gibi sanırım.

12 Ocak 2022 Çarşamba tarihinde saat 01:26:15 UTC+3 itibarıyla fusu...@gmail.com şunları yazdı:

[Yusuf AYDIN]

Hocam bilemiyorum. Benim anladığım ve bildigim şu: Eger soru direk bu şekildeyse polinom degil. Çünkü x'e veremeyeceğimiz bir deger var. Sadeleştirme olsun veya olmasın.  Çünkü polinomlarda x'e bütün degerleri verebilmemiz gerekiyor.  Tanımsız bir deger almaması gerekiyor polinomsa. 

[Muharrem Şahin]

Yazdığımda anlaşılmayan yerler var sanıyorum. 

Yazdığım doğrusudur.

x değişkeni hakkında hiçbir bilgi verilmemişse,

onu "kısıtsız bir belirsiz" sayabiliriz.

Bu durumda,

bölünüyorsa polinomdur.

Ama; böyle verilip

"x bir gerçel sayıdır." deniyorsa

polinom da değildir,

polinom fonksiyon da değildir.

Çünkü; 

bu durumda

polinom fonksiyonun tanım kümesi gerçel sayılar olur.

Yusuf AYDIN <fusu...@gmail.com>, 12 Oca 2022 Çar, 02:18 tarihinde şunu yazdı:

Hocam bilemiyorum. Benim anladığım ve bildigim şu: Eger soru direk bu şekildeyse polinom degil. Çünkü x'e veremeyeceğimiz bir deger var. Sadeleştirme olsun veya olmasın.  Çünkü polinomlarda x'e bütün degerleri verebilmemiz gerekiyor.  Tanımsız bir deger almaması gerekiyor polinomsa. 

--

http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAOk900%2BVWtXHPZikDo3rDeOF1ZNJgz%2BmxOL79N-_MEmqOfhQww%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

--

.

[Muharrem Şahin]

Polinom ve Polinom Fonksiyon Üzerine;

Soru

P(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) eşitliği ile verilen

P(x) polinom mudur?

...

Ben

bu kavramı

1970'lerde

Modern Matematiği öğrenirken

öğrenmeye çalıştım.

"Polinom" kavramı

"fonksiyon" kavramından çok farklıdır.

"Ama;

öğrenciye

Lisede mi söyleyelim,

yoksa üniversitede

gerektiğinde mi?"

Lise öğrencisine

kavramı olduğu gibi verebilmek için gerekli olan

"Halka" kavramını veremediğimiz için,

en azından

polinom ile polinom fonksiyonun

farklı kavramlar olduğunu söyleyebilmeliyiz.

Zihne

yanlış bir temel atmamalıyız.

...

Sevgili Arkadaşlarım;

"Polinomlar" konusunu 40 gün önce didiklemiş

ve fikir birliğine vardığımızı büyük bir mutlulukla

görmüştüm.

Yanlış görmüşüm.

Ben öyle sanmışım.

Bir tartışmada doğrular ortaya konulunca, artık

yanlış düşünenlerin düşüncelerini değiştirmeleri

beklenir.

Tartıştığımız konular, öyle özel üretim konuları değil.

Üniversitelerimizde bunların doğruları söz konusu

ediliyor. Onların sunduğu kaynaklarda doğruları

yazılıyor.

Burada da, sağ olsun İbrahim Kuşçuoğlu Hocam

kavramı tam olduğu gibi aktarmış.

Artık farklı bakış olmamalı.

Farklı bakanlar, nerede hata yaptıklarını sorgulamalı.

Konuya tam hakim olamayan arkadaşlarımızı da

yanlış etkilememeli.

Tartışılanları şöyle özetleyeyim:

- "Polinom" ve "polinom fonksiyon" kavramları

farklı kavramlardır.

P(x) = a0 + a1.x + a2.x^2 + ... + an.x^n

ifadesi bir polinom ise, x belirsizi kısıtsız ve tanımsızdır.

Buradaki "kısıtsızlık" ve "tanımsızlık" en geniş anlamıyladır.

Yani; x, kat sayıların yazıldığı kümenin elemanı değildir.

"x" o kümeye dışarıdan katılmış kısıtsız ve tanımsız bir belirsizdir.

"x" e kat sayılar kümesinden değerlerin verilmesi ile

"polinom fonksiyon" kavramı ortaya çıkar.

Kat sayılar kümesi R ise ve x de R'nin elemanı olarak alınırsa

R'den R'ye P(x) fonksiyonu elde edilir. "Polinom fonksiyon"

terimindeki "polinom"; ifadenin bir polinomdan türetilmiş

olmasından başka bir anlam taşımaz. İki kavramın "x"e yüklediği

anlamlar tamamen farklıdır.

- Herhangi bir sayı kümesine bir x belirsizinin katılması ile

polinomlar elde edilemeyebilir.

Bir x belirsizi ile (ya da x, y, z, ... belirsizleri ile) genişleterek

polinom elde edebileceğimiz sayı kümeleri;

- toplama ve çarpma işlemlerine göre kapalı,

- bu işlemlerin değişme ve birleşme özeliklerinin bulunduğu,

- bu işlemlere göre birim elemanları bulunan,

- toplama işlemine göre ters elemanların da bulunduğu

sayı kümeleri olmalıdır.

Buna göre; kat sayılar kümesi "Tam sayılar", "Rasyonel sayılar",

"Reel sayılar", "Z/5", ... kümeleri olarak alınabilir.

Örneğin; "Doğal sayılar" kümesi "x" ile genişletilirse, elde edilen

elemanlara polinom denilemez.

- A(x).B(x) = C(x) eşitliğini sağlayan A(x) ve B(x) polinomları için

A(x) = C(x) / B(x) ve B(x) = C(x) / A(x) yazılabilir.

A(x) = C(x) / B(x) eşitliği, A(x).B(x) = C(x) anlamında kullanılır.

Şurasını netleştireyim:

Pay ve payda birer polinom olmak üzere; "P(x) = (x^2 -4) / (x+2)"

ifadesi, hiç kısıtlamasız, P(x) = x - 2 polinomunun aynısıdır.

Doğal olarak; x = -2 için de geçerlidir. P(-2) = -4 olur.

Verilen ifade bir polinom bölmesini gösterir. Bir kesre karşılık gelmez.

x'in bir reel sayı olarak düşünüldüğü f(x) = (x^2 -4) / (x+2) fonksiyonu

ise bir polinom fonksiyon değildir. Burada, f(-2) tanımsızdır.

Sevgiler, saygılar

...

x = 2 denirse, eşitlik fonksiyonlara taşınmış olur.

Daha geniş bakıldığında

(x'in bir reel sayı olmadığı da düşünüldüğünde)

P(x) = x+2 bir polinom olur.

...

"Polinomlar R'den R'ye tanımlıdır." yorumu hatalıdır.

O "polinom fonksiyon"lardan biridir.

(x-2).P(x) = x^2-4 eşitliği verilip de

x üzerine hiçbir kısıtlama getirilmemişse,

P(x)'in polinom olacağı kesindir.

x'in bir reel sayı olduğunun düşünülmesi bir kısıtlamadır.

Bu, kavramı "polinom fonksiyon" kavramına indirger.

...

Örneğin;

(x-2).Q(x) = x^2+1 eşitliğinde

tam bölme yapılamadığından

Q(x) polinom değildir..

Diğerinde, kalansız bölme mümkün olduğundan

x'in kısıtsız olduğu düşünülebilir.

P(x) = (x^2 - 4) / (x - 2) polinomdur.

...

Soruyu veren

"(x-2).P(x) = x^2 - 4

eşitliğinde

P(x) bir fonksiyonun kuralıdır."

dememişse

yani, x kısıtlanmamış bir belirsiz ise

P(x) bir polinomdur.

2) P(x) = (x^2-4)/(x-2)

eşitliğinin dayandığı ilk eşitlikte

P(x)'in bir fonksiyon olduğu verilmişse

P: R - {2} --> R bir fonksiyondur.

İlk eşitlikte P(x)'in bir fonksiyon olduğu verilmemişse

P(x) = (x^2-4)/(x-2) = x+2 polinomudur.

3) Polinom kavramı

programda

Modern Matematiği

tam anlamıyla işlediğimiz dönemdeki gibi

ele alınmamıştır.

Bu durumda

verilen eşitlikteki P(x)'in

bir polinom olduğunun belirtilmesi yararlı olur.

4) Polinomlar

R'den R'ye veya Z'den Z'ye diye verilmez.

Öyle verebileceğimiz "Polinom fonksiyon"lardır.

...

x belirsiz iken

P(x) = x+2,

(x-2).P(x) = x^2-4,

P(x) = (x^2-4)/(x-2)

eşitliklerindeki P(x) 'ler aynı polinomdur.

Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com>, 12 Oca 2022 Çar, 10:11 tarihinde şunu yazdı:

--

.

[Hüsameddin Yurdagül]

Kıymetli bilgileriniz için teşekkür ederiz Muharrem hocam. Kıymetli bilgilerini bizlerden esirgemeyen siz ve sizin gibi hocalarımızdan Allah razı olsun. Sizlerden çok şey öğrendik, öğrenmeye devam ediyoruz. 

12 Oca 2022 Çar 14:34 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcO_Pfd8Opwp6GFjQr6xs11sNq%2BuoVL%2BLxL%3DCf89UHx1JA%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Muharrem Şahin]

Sevgiler, saygılar hocam.

Hüsameddin Yurdagül <hygu...@gmail.com>, 12 Oca 2022 Çar, 20:01 tarihinde şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CANC-56Ho5CK2PqQUPioY-p4rFyACCgsOheap9N4j4s4xX7Jouw%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

--

.

[Yusuf AYDIN]

Muharrem hocam verdiğiniz bilgiler için teşekkürler. Bir noktada kafam takıldı.  İki polinomun birbirine bölümü bir polinom mudur sorusuna cevap aradığımızı düşünelim.  Bu noktada bir bölme işlemi soz konusu. Bölme işlemi neden polinom mudur ya da değildir diye soruluyor? Yani ilk önce bölme işleminin yapılması gerekmez mi? Yani anlatmak istedigim madem böyle bir soru soruluyor.O  zaman bu işlemin kalansız bölme durumunda sonucunun yani bölümün polinom olup olmaması sorulması gerekmez mi? 

[Muharrem Şahin]

Aslında; şöyle dememiz daha doğru hocam:

Polinom polinoma bölünmüyorsa

bölüm 

polinomlar kümesinde tanımsızdır.

Bölünüyorsa,

bölüm polinomdur.

Yusuf AYDIN <fusu...@gmail.com>, 12 Oca 2022 Çar, 23:23 tarihinde şunu yazdı:

Muharrem hocam verdiğiniz bilgiler için teşekkürler. Bir noktada kafam takıldı.  İki polinomun birbirine bölümü bir polinom mudur sorusuna cevap aradığımızı düşünelim.  Bu noktada bir bölme işlemi soz konusu. Bölme işlemi neden polinom mudur ya da değildir diye soruluyor? Yani ilk önce bölme işleminin yapılması gerekmez mi? Yani anlatmak istedigim madem böyle bir soru soruluyor.O  zaman bu işlemin kalansız bölme durumunda sonucunun yani bölümün polinom olup olmaması sorulması gerekmez mi? 

--

http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAOk900Jg1jc22SU_FuBMruih%2BJw6Z1WujjYEshRTOt%2BbpzcfRw%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

--

.

[sd sd]

Polinom değildir diye düşünen hocalarım derece ile ilgili der(P(x)/Q(x)) i sorulduğu zaman bu soru ile ilgili ne düşünmektesiniz. 

13 Oca 2022 Per 00:08 tarihinde Muharrem Şahin <muhar...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CADf0OcP-M4xNOSzFxJkbHiihuk80vx292N9EstbLstct6pqncg%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Yusuf AYDIN]

Muharrem hocam teşekkürler. 

Sd sd hocam iki polinomun bölümünün bir polinom olduğu söz konusuysa derecesi sorulabilir. Zaten böyle bir soruda iki polinomun birbirine bölünmesi gerektiğinden derecesi sorulabilir.  Çunkü bölme işlemiyle degil ,sonucun derecesiyle ilgileniyoruz. Yoksa düşünmeden rastgele yazilan iki polinomun bölümünün derecesi sorulamaz bence. Mesela P(x) = x+1 ve Q(x) =x ise der[P(x)/Q(x)] nedir diye soru sorulabilir mi . 

Ya da şu şartlarda sorulabilir : P(x)/Q(x) isleminin bölüm polinomu R(x) ise der[R(x)] nedir.  

Yani sırf soru yazmak icin değil de ne istenildiğini açıkça yazmak bence çok önemli. Sorular yazılırken genelde birçok sey gözardı ediliyor 

14 Oca 2022 Cum 13:31 tarihinde sd sd <sdev...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAKrFA2m76AWT2shzxcJn2mUT0EQ4rTTb-SywSZxhVG3j8ntuJg%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[sd sd]

Yusuf hocam kastettiğim zaten buydu. Sorulan kısım sadeleşme varken (bölünme halinde) polinom olup olmadığı ile ilgili olduğundan bu şekilde yazmam soruyu soran ve polinom olmadığını düşünen arkadaşların derece ile ilgili de bu şekilde mi düşündüğüydü. 

Ben pek derece sorularından sorularda sıkıntılı soru ile karşılaşmadım bu arada soru hazırlanırken nasıl bir düzenleme yapılmalı anlayamadım.Düşündünüz  mesela der(P(x)/Q(x))=5 verilmişse zaten anlaşılan bölümünün bir polinom olduğudur.

14 Oca 2022 Cum 14:35 tarihinde Yusuf AYDIN <fusu...@gmail.com> şunu yazdı:

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAOk900%2BbXV2_W2Y6Y2N%2BEgcnWYpuq4XfAYE3mOr-8RT%3DJ7C2Ug%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Yusuf AYDIN]

Hocam aşağıdaki sorulardan ilki bence dogru bir soruş tarzi. Yalnız ikincisinde bölme isleminden elde edilecek bölüm polinomunun derecesi sorulmuyor. polinom olup olmayacağı sıkıntılı.  

[sd sd]

Alt kısımdaki gibi örnekler tabii konu anlatılırken veriliyor orada verilirken de bölünme durumuna değinmek gerekiyor dediğiniz gibi hocam. 

14 Oca 2022 Cum 15:20 tarihinde Yusuf AYDIN <fusu...@gmail.com> şunu yazdı:

Hocam aşağıdaki sorulardan ilki bence dogru bir soruş tarzi. Yalnız ikincisinde bölme isleminden elde edilecek bölüm polinomunun derecesi sorulmuyor. polinom olup olmayacağı sıkıntılı.  

--

http://www.facebook.com/groups/358210690921074/
 
Matematik geometri bilgi paylaşım platformu.
Mesajlarınıza "KONU BAŞLIĞI" eklemeyi lütfen unutmayınız.
---
Bu iletiyi Google Grupları'ndaki "TMOZ" grubuna abone olduğunuz için aldınız.
Bu grubun aboneliğinden çıkmak ve bu gruptan artık e-posta almamak için tmoz+uns...@googlegroups.com adresine e-posta gönderin.

Bu tartışmayı web'de görüntülemek için https://groups.google.com/d/msgid/tmoz/CAOk900LgZSqW_imaPCqHq07v7OvNZs0nch_MQczp%3DrP6TgCncw%40mail.gmail.com adresini ziyaret edin.

[Yusuf AYDIN]

Evet hocam. Guzel bir irdeleme oldu benim icin bu başlık.  Tesekkurler herkese